Strutture Algebriche - Università degli Studi di...
77
Operazioni Propriet` a delle . . . Gruppi... Anelli... Gruppo di Klein Stampa Home Page Title Page Page 1 of 31 Go Back Full Screen Close Quit Strutture Algebriche Docente: Francesca Benanti 21 gennaio 2008 Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Transcript of Strutture Algebriche - Università degli Studi di...
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 1 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Strutture Algebriche
Docente: Francesca Benanti
21 gennaio 2008
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 2 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
1. Operazioni
Definizione Sia A un insieme non vuoto, A 6= ∅. Una op-erazione ∗ (o operazione binaria o legge di composizione in-terna) su A e un’applicazione dal prodotto cartesiano A× Ain A
A× A → A
(a, b) → a ∗ b
Quindi e un legge che associa ad ogni coppia a, b di elementidi A un e un solo elemento di A, a ∗ b.
a e b sono detti operandi
a ∗ b e detto risultato
Definizione Un insieme non vuoto A 6= ∅ su cui e definitaun’operazione ∗ e detto struttura algebrica, e si denota
(A, ∗) oppure A(∗)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 3 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi
1. Sia A = Na ∗ b = a + b e un’operazione
(N, +) e una struttura algebrica
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 3 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi
1. Sia A = Na ∗ b = a + b e un’operazione
(N, +) e una struttura algebrica
Analogamente
a ∗ b = a · b e un’operazione
(N, ·) e una struttura algebrica
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 3 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi
1. Sia A = Na ∗ b = a + b e un’operazione
(N, +) e una struttura algebrica
Analogamente
a ∗ b = a · b e un’operazione
(N, ·) e una struttura algebrica
2. (Z, +), (Q, +), (R, +), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
sono strutture algebriche
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 4 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Sia A = N, definiamo ∀a, b ∈ N
a ∗ b = ab
ab ∈ N, dunque ∗ e un’operazione in N
(N, ∗) e una struttura algebrica
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 4 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Sia A = N, definiamo ∀a, b ∈ N
a ∗ b = ab
ab ∈ N, dunque ∗ e un’operazione in N
(N, ∗) e una struttura algebrica
4. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = ab
∗ non e un’operazione, infatti
2 ∗ (−3) = 2−3 =1
236∈ Z
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 5 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = a + b− 2
a + b− 2 ∈ Z, dunque ∗ e un’operazione in Z
(Z, ∗) e una struttura algebrica
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 5 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = a + b− 2
a + b− 2 ∈ Z, dunque ∗ e un’operazione in Z
(Z, ∗) e una struttura algebrica
6. Sia A = Z, definiamo ∀a, b ∈ Z
a ∗ b = a + b− ab
a + b− ab ∈ Z, dunque ∗ e un’operazione in Z
(Z, ∗) e una struttura algebrica
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 6 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Osservazione: Se un’operazione ∗ e definita su un insiemefinito avente n elementi, allora puo essere rappresentata me-diante una tabella di tipo n× n, detta tavola moltiplicativa di∗, in cui il valore di a ∗ b viene scritto nella casella all’incrociodella riga corrispondente ad a e della colonna corrispondentea b.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 6 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Osservazione: Se un’operazione ∗ e definita su un insiemefinito avente n elementi, allora puo essere rappresentata me-diante una tabella di tipo n× n, detta tavola moltiplicativa di∗, in cui il valore di a ∗ b viene scritto nella casella all’incrociodella riga corrispondente ad a e della colonna corrispondentea b.
Esempio: Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
Tavola moltiplicativa:
∗ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 7 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Proprieta delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione associativa se,∀a, b, c ∈ A
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 7 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Proprieta delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione associativa se,∀a, b, c ∈ A
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni associative
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 7 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Proprieta delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione associativa se,∀a, b, c ∈ A
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni associative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 7 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Proprieta delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione associativa se,∀a, b, c ∈ A
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni associative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
L’operazione non e associativa, infatti
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 7 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Proprieta delle operazioni
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione associativa se,∀a, b, c ∈ A
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni associative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
L’operazione non e associativa, infatti
(a ∗ b) ∗ c = (ab) ∗ c = (ab)c = abc
mentrea ∗ (b ∗ c) = a ∗ (bc) = abc
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 8 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 8 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
L’operazione e associativa, infatti
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 8 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
L’operazione e associativa, infatti
(a∗b)∗c = (a+b−2)∗c = (a+b−2)+c−2 = a+b+c−4
e
a∗(b∗c) = a∗(b+c−2) = a+(b+c−2)−2 = a+b+c−4
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 9 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione commutativa se,∀a, b ∈ A
a ∗ b = b ∗ a
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 9 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione commutativa se,∀a, b ∈ A
a ∗ b = b ∗ a
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 9 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione commutativa se,∀a, b ∈ A
a ∗ b = b ∗ a
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 9 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione commutativa se,∀a, b ∈ A
a ∗ b = b ∗ a
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
L’operazione non e commutativa, infatti
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 9 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione commutativa se,∀a, b ∈ A
a ∗ b = b ∗ a
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
L’operazione non e commutativa, infatti
a ∗ b = ab
mentreb ∗ a = ba
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 9 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Si dice che ∗ e un’operazione commutativa se,∀a, b ∈ A
a ∗ b = b ∗ a
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
sono insiemi dotati di operazioni commutative
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
L’operazione non e commutativa, infatti
a ∗ b = ab
mentreb ∗ a = ba
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
L’operazione e commutativa
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 10 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 10 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, definiamo ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
L’operazione e commutativa
La tavola moltiplicativa e simmetrica rispetto alla di-agonale principale
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 11 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Un elemento e ∈ A e detto elemento neutro diA se, ∀a ∈ A
a ∗ e = e ∗ a = a
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 11 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗. Un elemento e ∈ A e detto elemento neutro diA se, ∀a ∈ A
a ∗ e = e ∗ a = a
Esempi:
1. In (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +)
e = 0,
In (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)
e = 1.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Non esiste elemento neutro!
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Non esiste elemento neutro!
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Non esiste elemento neutro!
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
Esiste e ∈ Z tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Non esiste elemento neutro!
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
Esiste e ∈ Z tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
Risolviamoa + e− 2 = a
e + a− 2 = a
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 12 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
Esiste e ∈ N tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
a ∗ e = ae = a ⇒ e = 1
ma1 ∗ a = 1a = 1 6= a
Non esiste elemento neutro!
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
Esiste e ∈ Z tale che a ∗ e = a, e ∗ a = a?
Risolviamoa + e− 2 = a
e + a− 2 = a
Soluzione:e = 2
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 13 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 13 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
Allorae = 0
∗ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 14 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗ e sia e ∈ A un elemento neutro di A. Si diceche a∗ ∈ A e simmetrico di a ∈ A se
a ∗ a∗ = a∗ ∗ a = e
In notazione moltiplicativa: a∗ = a−1 inverso
In notazione additiva: a∗ = −a opposto
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 14 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un insieme non vuoto dotato dioperazione ∗ e sia e ∈ A un elemento neutro di A. Si diceche a∗ ∈ A e simmetrico di a ∈ A se
a ∗ a∗ = a∗ ∗ a = e
In notazione moltiplicativa: a∗ = a−1 inverso
In notazione additiva: a∗ = −a opposto
Esempi:
1. In (N, +)−0 = 0,
−n 6∈ N′ ∀n 6= 0
In (N, ·)1−1 = 1,
n−1 6∈ N, ∀n 6= 1
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 15 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. In (Z, +)
−n ∈ Z, ∀n ∈ Z
In (Z, ·)1−1 = 1, −1−1 = −1
n−1 6∈ Z, ∀n 6= 1,−1
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 15 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
2. In (Z, +)
−n ∈ Z, ∀n ∈ Z
In (Z, ·)1−1 = 1, −1−1 = −1
n−1 6∈ Z, ∀n 6= 1,−1
3. In (Q, +)
−a ∈ Q, ∀a ∈ Q
In (Q, ·)
a−1 ∈ Q, ∀a 6= 0
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 16 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. In (R, +)
−a ∈ R, ∀a ∈ R
In (R, ·)
a−1 ∈ R, ∀a 6= 0
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 17 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 17 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5. Sia Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}, con ∀a, b ∈ Z5
a ∗ b = r
dove r e il resto della divisione di a + b per 5
Allorae = 0
1∗ = 4, 2∗ = 3, 3∗ = 2
∗ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 18 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Strutture algebriche con una so-
la operazione
Definizione: Un insieme non vuoto (A, ∗) dotato di op-erazione ∗ associativa e detto semigruppo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 18 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Strutture algebriche con una so-
la operazione
Definizione: Un insieme non vuoto (A, ∗) dotato di op-erazione ∗ associativa e detto semigruppo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 18 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Strutture algebriche con una so-
la operazione
Definizione: Un insieme non vuoto (A, ∗) dotato di op-erazione ∗ associativa e detto semigruppo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
(N, ∗) non e un semigruppo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 18 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
3. Strutture algebriche con una so-
la operazione
Definizione: Un insieme non vuoto (A, ∗) dotato di op-erazione ∗ associativa e detto semigruppo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
2. Consideriamo (N, ∗), dove a ∗ b = ab.
(N, ∗) non e un semigruppo.
3. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
(Z, ∗) e un semigruppo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 19 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se ∗ gode del-la proprieta commutativa allora (A, ∗) e detto semigruppocommutativo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 19 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se ∗ gode del-la proprieta commutativa allora (A, ∗) e detto semigruppocommutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
semigruppi commutativi
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 19 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se ∗ gode del-la proprieta commutativa allora (A, ∗) e detto semigruppocommutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
semigruppi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
(Z, ∗) e un semigruppo commutativo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 19 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se ∗ gode del-la proprieta commutativa allora (A, ∗) e detto semigruppocommutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·), (R, +), (R, ·)
semigruppi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
(Z, ∗) e un semigruppo commutativo.
Proposizione: Sia (A, ∗) un semigruppo. Se in A esiste unelemento neutro allora questo e unico.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 20 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) e detto monoide sepossiede l’elemento neutro.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 20 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) e detto monoide sepossiede l’elemento neutro.
Definizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se ∗ gode dellaproprieta commutativa allora (A, ∗) e detto monoide com-mutativo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 20 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) e detto monoide sepossiede l’elemento neutro.
Definizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se ∗ gode dellaproprieta commutativa allora (A, ∗) e detto monoide com-mutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·) (R, +), (R, ·)
monoidi commutativi
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 20 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) e detto monoide sepossiede l’elemento neutro.
Definizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se ∗ gode dellaproprieta commutativa allora (A, ∗) e detto monoide com-mutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·) (R, +), (R, ·)
monoidi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
(Z, ∗) e un monoide commutativo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 20 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un semigruppo (A, ∗) e detto monoide sepossiede l’elemento neutro.
Definizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se ∗ gode dellaproprieta commutativa allora (A, ∗) e detto monoide com-mutativo.
Esempi:
1. (N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·), (Q, +), (Q, ·) (R, +), (R, ·)
monoidi commutativi
2. Consideriamo (Z, ∗), dove a ∗ b = a + b− 2.
(Z, ∗) e un monoide commutativo.
Proposizione: Sia (A, ∗) un monoide. Se a ∈ A possiedesimmetrico a∗ ∈ A allora questo e unico.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 21 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un monoide (G, ∗) e detto gruppo se ognisuo elemento possiede simmetrico. Dunque (G, ∗) e gruppose
1. l’operazione ∗ e associativa;
2. esiste l’elemento neutro e ∈ G;
3. ∀a ∈ G esiste il simmetrico a∗ ∈ G.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 21 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un monoide (G, ∗) e detto gruppo se ognisuo elemento possiede simmetrico. Dunque (G, ∗) e gruppose
1. l’operazione ∗ e associativa;
2. esiste l’elemento neutro e ∈ G;
3. ∀a ∈ G esiste il simmetrico a∗ ∈ G.
Definizione: Sia (G, ∗) un gruppo. Se ∗ gode della pro-prieta commutativa allora (G, ∗) e detto gruppo commutativoo abeliano.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 22 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi:
1. (N, +) non e un gruppo;
(N, ·) non e un gruppo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 22 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi:
1. (N, +) non e un gruppo;
(N, ·) non e un gruppo.
2. (Z, +) e un gruppo abeliano;
(Z, ·) non e un gruppo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 22 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi:
1. (N, +) non e un gruppo;
(N, ·) non e un gruppo.
2. (Z, +) e un gruppo abeliano;
(Z, ·) non e un gruppo.
3. (Q, +) e un gruppo abeliano;
(Q∗, ·) e un gruppo abeliano.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 22 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Esempi:
1. (N, +) non e un gruppo;
(N, ·) non e un gruppo.
2. (Z, +) e un gruppo abeliano;
(Z, ·) non e un gruppo.
3. (Q, +) e un gruppo abeliano;
(Q∗, ·) e un gruppo abeliano.
4. (R, +) e un gruppo abeliano;
(R∗, ·) e un gruppo abeliano.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 23 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
4. Strutture algebriche con due op-
erazioni
Definizione: Si definisce anello, e si indica (A; ∗, ◦) uninsieme A in cui sono definite due operazioni ∗ e ◦ tali che:
1. (A, ∗) e un gruppo abeliano;
2. (A, ◦) e un semigruppo;
3. Valgono le proprieta distributive:
a ∗ (b ◦ c) = (a ∗ b) ◦ (a ∗ c),
(a ◦ b) ∗ c = (a ∗ c) ◦ (b ∗ c).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 24 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto commutativo se(A, ◦) e un semigruppo commutativo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 24 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto commutativo se(A, ◦) e un semigruppo commutativo.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto con unita se (A, ◦)e un monoide.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 24 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto commutativo se(A, ◦) e un semigruppo commutativo.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto con unita se (A, ◦)e un monoide.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto campo se (A− {e∗}, ◦)e un gruppo commutativo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 24 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto commutativo se(A, ◦) e un semigruppo commutativo.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto con unita se (A, ◦)e un monoide.
Definizione: Un anello (A; ∗, ◦) e detto campo se (A− {e∗}, ◦)e un gruppo commutativo.
Esempi:
1. (N; +, ·) non e un anello;
2. (Z; +, ·) e un anello commutativo con unita;
3. (Q; +, ·) e un campo;
4. (R; +, ·) e un campo.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 25 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
5. Gruppo di Klein
Consideriamo un punto P=(x,y) del piano cartesiano e lequattro trasformazioni geometriche
• L’identita id che al punto P=(x,y) fa corrispondere sestesso;
id : P = (x, y) → P = (x, y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 26 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
• la simmetria rispetto all’asse delle ascisse, Sx, che alpunto P=(x,y) fa corrispondere il punto P’=(x,-y)
Sx : P = (x, y) → P ′ = (x,−y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 27 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
• la simmetria rispetto all’asse delle ordinate, Sy, che alpunto P=(x,y) fa corrispondere il punto P”=(-x,y)
Sy : P = (x, y) → P ′′ = (−x, y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 28 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
• la simmetria rispetto all’origine, S0, che al punto P=(x,y)fa corrispondere il punto P”’=(-x,-y)
S0 : P = (x, y) → P ′′′ = (−x,−y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 29 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Consideriamo l’insieme costituito da queste quattro trasfor-mazioni:
K = {id, Sx, Sy, S0}
Definiamo in esso l’operazione di composizione che indichi-amo con ◦ nel modo seguente:comporre due trasformazioni vuol dire eseguire prima l’unae poi l’altra.
Ad esempio:
Sy ◦ Sx : P (x, y) → P ′ = (x,−y) → P ′′′ = (−x,−y)
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 30 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Possiamo scrivere la tavola moltiplicativa:
◦ id Sx Sy S0
id id Sx Sy S0
Sx Sx id S0 Sy
Sy Sy S0 id Sx
S0 S0 Sy Sx id
(K, ◦) e un gruppo commutativo, detto Gruppo di Klein
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Operazioni
Proprieta delle . . .
Gruppi...
Anelli...
Gruppo di Klein
Stampa
Home Page
Title Page
JJ II
J I
Page 31 of 31
Go Back
Full Screen
Close
Quit
6. Stampa
Versione di Stampa
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
