UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO

FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE

CORSO DI LAUREA

SCIENZE UMANE E PEDAGOGICHE

INDIRIZZO SCIENZE UMANE E DELL’EDUCAZIONE

IL CONCETTO DI FRAZIONE:

CONVINZIONI, CONCEZIONI ED OSTACOLI.

ANALISI DI UN’ESPERIENZA DIDATTICA NELLA

SCUOLA SECONDARIA INFERIORE

Tesi di: Relatore:

Maria Antonietta Prof. Filippo Spagnolo

Caltagirone

Matricola:

0540724

Anno Accademico 2009-2010

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3

Indice

QUALE QUADRO TEORICO DI RIFERIMENTO? ........................................................ 7

1.1 Il triangolo della didattica: quale sapere? ................................................................... 7

1.2 Interpretazioni e rappresentazioni della frazione......................................................... 9

1.3 Sintassi e semantica della frazione ............................................................................. 12

1.4 La frazione tra ostacolo e conoscenza innata ........................................................... 15

LA RICERCA IN DIDATTICA E L‟INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA

FRAZIONE ...................................................................................................................... 19

2.1 Le ricerche degli anni ‟60-‟70-„80 ............................................................................. 20

2.2 Le ricerche degli anni ‟90-2000 ................................................................................. 22

SEMIOTICA E NOETICA DELLE FRAZIONI ............................................................. 27

3.1 Apprendimento e concettualizzazione ........................................................................ 27

3.2 Le macro caratteristiche della semiotica e la costruzione di un “concetto” .............. 31

3.3 Quale rappresentazione per la frazione? ................................................................... 34

L‟INDAGINE SPERIMENTALE .................................................................................... 37

4.1 Introduzione alla sperimentazione ............................................................................. 37

4.2 La ricerca: quale obiettivo? ....................................................................................... 37

4.3 L‟indagine sperimentale ............................................................................................. 38

4.4 Il campione di indagine .............................................................................................. 40

4.5 Somministrazione del questionario ............................................................................ 40

4.6 Analisi a priori dei comportamenti ............................................................................ 41

RACCOLTA DATI E ANALISI QUANTITATIVA E QUALITATIVA ........................ 49

4

5.1 Analisi quantitativa ................................................................................................... 49

5.2 Analisi qualitativa ..................................................................................................... 59

CONCLUSIONI.............................................................................................................. 81

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI ESSENZIALI .......................................................... 83

APPENDICE I ................................................................................................................ 89

APPENDICE II ............................................................................................................... 93

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“L‟educazione matematica deve contribuire a una formazione culturale

del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con

consapevolezza e capacità critica […] In particolare l‟insegnamento della

matematica deve avviare gradualmente, a partire da campi di esperienza

ricchi per l‟allievo, all‟uso del linguaggio e del ragionamento matematico, come

strumenti per l‟interpretazione del reale, non unicamente come bagaglio di

nozioni”.

Unione Matematica Italiana, 2001.

Obiettivo primario della didattica della Matematica è certamente quello di

riflettere in maniera critica su quelle che possono presentarsi come le azioni, le

scelte e le posizioni assunte da un insegnante nella fase di insegnamento della

disciplina e, di conseguenza, sull‟apprendimento, da parte dell‟allievo, dei

contenuti insegnati. Sembrerebbe quasi che un “migliore” insegnamento porti

inevitabilmente un migliore apprendimento degli allievi; non è proprio così

semplice però. La letteratura discussa in didattica della matematica ha ormai

ampiamente dibattuto quest‟aspetto e, risultati teorico/sperimentali condotti in

lavori nazionali ed internazionali su specifici contenuti matematici, hanno messo

in evidenza, ormai da diversi anni, come quest‟inferenza sia “scorretta” e come il

sistema ad essa sotteso sia molto complesso da analizzare.

L‟idea guida del corso di “Comunicazione delle matematiche”, da me seguito

durante l‟anno accademico 2008/2009, era proprio questa ed ha stimolato in me

una curiosità ed un interesse verso la Matematica e la sua didattica che ritenevo

ormai dimenticata. Se per un certo verso il corso, proponendo svariate attività

“laboratoriali” su più contenuti disciplinari, mi ha permesso di entrare in relazione

con quelli che potevano presentarsi come misconcezioni, errori ed ostacoli di

allievi di scuola primaria e secondaria inferiore su certi contenuti matematici,

dall‟altro ha favorito in me una fase di riflessione autonoma su quelle che sono

state le mie difficoltà in Matematica e quindi un loro probabile superamento. Tra

6

queste una delle problematiche più “importanti” e più affascinati sulle quali ho

avuto modo di riflettere è l‟insegnamento-apprendimento delle frazioni come

campo di esperienza di Aritmetica e Geometria.

Un‟analisi superficiale del concetto di frazione potrebbe portarci all‟errore di

considerare questo contenuto matematico come semplice e immediato, ma non è

così; il mio lavoro di tesi, addentrandosi nella problematica didattica ed

epistemologica del concetto trattato e sviluppandosi sperimentalmente attraverso

un‟indagine di tipo quantitativo, condotta in cinque classi di scuola secondaria

inferiore mi ha permesso, in una prima approssimazione, di poter analizzare alcuni

ostacoli epistemologici e didattici relativi concetto di frazione e alla sue

rappresentazioni semiotiche, definendo quindi la frazione come “catalizzatore di

errore”.

7

1

QUALE QUADRO TEORICO DI RIFERIMENTO?

“Lo stesso concetto matematico è tanto uno strumento che trova

la sua funzione nei diversi problemi che permette di risolvere, quanto

un oggetto poiché è un dato culturale che trova il suo posto in un

edificio più vasto, il sapere matematico”

D‟Amore, 1999

1.1 Il triangolo della didattica: quale sapere?

È oggetto oramai diffuso tra tutti coloro che si occupano di Didattica della

Matematica il cosiddetto triangolo della didattica:

Insegnante

Allievo Sapere

Triangolo nel quale il “sapere” cui si fa riferimento è il sapere accademico, quello

della ricerca, quello degli scienziati. Il contenuto disciplinare quindi è l‟oggetto

fondamentale della trasposizione didattica come una possibile reinterpretazione

funzionale del sapere, funzionale alla scuola, ai suoi allievi, al curricolo didattico,

8

al grado scolastico, alle attese della società, alla tradizione culturale etc.

(D‟Amore, 1999)

In questo senso la trasposizione trasforma, quindi, dapprima il sapere in sapere da

insegnare e poi in sapere insegnato e sapere appreso.

Riflettere su questi “passaggi” aiuta molto nella comprensione della realtà

scolastica ed in particolar modo sulla natura stessa dei concetti che vengono

presentati in classe nei vari ordini scolastici.

Per far ciò è sempre opportuno però contestualizzare queste riflessioni teoriche a

possibili esempi concreti, contenuti matematici significativi capaci di far luce

sulle problematiche didattiche ad essi connesse sia a livello propriamente didattico

che epistemologico.

Il concetto di numero e in particolare il numero decimale, nella sua espressione di

frazione o “numero con la virgola” è in questo senso un buon riferimento teorico

perché rappresenta un contenuto matematico fondamentale per la “crescita” degli

allievi lungo tutto il percorso scolastico (dalla scuola primaria all‟università ed

oltre) e trasversalmente è uno dei concetti portanti per tutta la matematica di base.

In Matematica il numero è teoricamente ben definito attraverso gli assiomi di

Peano, tramite la costruzione di Von Neumann o secondo altre modalità più o

meno complesse; tuttavia una lettura attenta dei curricoli scolastici sottolinea

come in nessun livello scolastico il numero viene così introdotto; molto spesso la

sua trattazione è frammentaria e lacunosa, lasciando allo studente un‟idea di

numero molto disorganica nelle sue accezioni ed estensioni (dal numero Naturale

a quello Reale). Viene dunque spontaneo affrontare il problema della

trasposizione didattica del concetto stesso e sottolineare alcuni aspetti più ostici

come ad esempio la trattazione del concetto di frazione come possibile

espressione di numero.

Che cosa del concetto di numero deve essere oggetto della didattica?

Quali immagini di numero sono opportune ai vari livelli scolastici, per esempio

nella Scuola Elementare o Secondaria Inferiore? Quali gli ostacoli sottesi al suo

apprendimento?Quali le concezioni degli allievi sulle varie rappresentazioni ad

esso connesse?

9

Questioni tipiche, a questo proposito, oramai prassi consolidate nella scuola,

riguardano ovviamente aspetti del numero che non fanno parte del sapere

accademico e che tuttavia sono considerati importanti, utili, necessari,

irrinunciabili del sapere scolastico. Esempi possono essere:

• il numero come oggetto del contare;

• il numero come strumento del misurare;

• il numero-etichetta, come strumento per identificare, per indicare.

Come detto, fra gli aspetti “scolastici” più significativi ma anche più ostici del

numero, vanno certamente tenuti in considerazione i numeri frazionari, “oggetti

matematici” definiti, in maniera rigorosa, in modo poco intuito e “artificioso”.

Se si potesse allora portare a scuola il sapere “accademico” o una sua parte, quasi

non ci sarebbero problemi...tranne che l‟impossibilità da parte degli allievi di

comprendere appieno l‟argomento trattato, per ovvii ostacoli ontogenetici.

Che cos‟è dunque questo “numero frazionario”? Quale didattica deve essere

proposta in aula per il suo apprendimento?

Un‟analisi dei libri di testo ci conduce alla conclusione che in realtà, l‟oggetto

matematico “numero frazionario” didatticamente viene (o dovrebbe essere)

pensato come l‟insieme delle sue interpretazioni o rappresentazioni, puntando

l‟attenzione sulla delicata e decisiva questione del passaggio dalla pluralità di

rappresentazioni nei vari registri semiotici, alla noetica, cioè all‟apprendimento

concettuale del contenuto matematico (Duval, 1993, 1995).

Non c‟è dunque un‟unica interpretazione o rappresentazione del numero

frazionario, dato che ne esistono invece molte che fanno riferimento sia alla realtà

oggettiva concreta (anche extrascolastica) sia alla realtà scolastica.

1.2 Interpretazioni e rappresentazioni della frazione

Come detto, non esiste un‟unica interpretazione o rappresentazione del numero

frazionario, esse possono variare a livello semantico e sintattico in funzione del

contesto di espressione del numero considerato e del grado scolastico in esame. In

10

accordo con le ricerche di Bruno D‟Amore-Martha Isabel Fandiño Pinilla e Silvia

Sbaragli, alcuni esempi posso riassumersi così:

- Frazione come parte di un tutto a volte continuo e a volte discreto: nel

linguaggio matematico il termine “frazione” indica le diverse parti di una

grandezza ottenute dividendo quella grandezza in parti uguali.

- Frazione come quoziente: è possibile vedere la frazione a/b come una divisione

non necessariamente effettuata ma solo indicata: a:b; in questo caso

l‟interpretazione più intuitiva non è la parte/tutto, ma la seguente: abbiamo a

oggetti e li dividiamo in b parti.

- Frazione come rapporto: a volte la frazione indica un rapporto; l‟interpretazione

non si accorda più né alla parte-tutto, né alla operazione di divisione, diventando

un legame tra grandezze.

- Frazione come operatore moltiplicativo: molto spesso la frazione è considerata

un operatore moltiplicativo, anzi questo è forse uno dei suoi significati più usati

nella scuola. In questo caso però solo con uno sforzo si può ammettere di aver

sfruttato la definizione iniziale di frazione, anche se a quella ci si può comunque

ricondurre. La frazione come operatore, dunque, agisce sui numeri puri piuttosto

che sulle raccolte o sugli oggetti; è, di fatto, una nuova operazione che combina la

divisione e la moltiplicazione.

- Frazione in probabilità: in probabilità la frazione è profondamente presente, ma

non rispetta più, almeno nella sua forma ingenua, la sua primitiva definizione.

- Frazione nei punteggi: le frazioni nei punteggi sono un oggetto matematico che

ha peculiarità proprie, intuitive, ma assai poco vicine alla definizione che era stata

data all‟inizio.

- Frazione come numero razionale: prima o poi, la frazione si deve trasformare,

lungo il corso di studi di un individuo, in numero razionale. In questo caso si

mettono in particolare evidenza questioni aventi a che fare con l‟operatività:

equivalenza fra frazioni, addizioni…

- Frazione come punto di una retta orientata: spesso è richiesto di porre una

frazione su una retta numerica. Per fare ciò bisogna valutare quella frazione come

se fosse un numero razionale, applicare la relazione d‟ordine in Q e mettere un

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cerchietto nero o una tacca nella posizione appropriata e opportuna. La frazione

indica in questo caso la distanza tra l‟origine e il punto-frazione.

- Frazione come misura: la frazione viene spesso usata come misura, specie nella

sua espressione di numero con la virgola. Ad esempio, la quantità di vino nella

bottiglia, la spesa per una matita sono delle misure; a volte ha senso pensarle

espresse come numeri razionali, a volte anche come frazioni, ma in nessun caso

occorre o conviene fare riferimento alla definizione originaria di frazione. È più

spontaneo un uso diretto della misura così come viene espresso.

- Frazione come percentuale: la percentuale non è altro che una frazione; ma

anche in questo caso ha peculiarità specifiche.

- Frazione nel linguaggio quotidiano: nel linguaggio quotidiano, infatti, colpisce

l‟uso che si fa delle frazioni, non sempre in modo esplicito. Si pensi ad esempio:

- alla lettura dell’orologio (sette e un quarto);

- alla musica in cui le frazioni hanno un ruolo determinante, ma non sempre si

comportano come quelle in matematica; lo studente però sente nominare gli stessi

nomi e dunque pensa agli stessi oggetti concettuali;

- allo sconto; se lo sconto è del 50% è intuitivo far capire che si tratta della metà.

Se lo sconto è del 25% è istruttivo far riflettere sul fatto che si tratta di un quarto.

Il viceversa è più complicato. Se una cosa che costava 80 ora costa 100 è

aumentata di “4

1cioè del 25%; se ora cala di

4

1 non torna a 80, come molti

credono, ma arriva a 75;

- alla pendenza delle strade;

- alle ricette di cucina;

- alla medicina.

Come si evince dai molteplici aspetti legati all‟unico concetto di frazione, nel

lungo e difficile processo di costruzione di senso e significato del contenuto

matematico, non sempre i risultati sperati sono evidenti. Un elemento ormai

abbastanza dibattuto in ricerca in didattica sottolinea ad esempio come la sola

notazione frazionaria sia profondamente complessa da concettualizzare e

12

possedere in maniera critica ed autonoma incidendo quindi negativamente

sull‟apprendimento del concetto di numero e, di conseguenza, nella sua libera

espressione. Prova ne sono gli scarsi risultati degli allievi italiani nei test

INVALSI che si riferiscono proprio all‟utilizzo dei numeri razionali e alle sue

rappresentazioni.

Un lavoro di ricerca del 1995 su allievi di terza media (Mariotti et al., 1995)

conferma questi risultati e li discute attraverso un „indagine quantitativa su un

questionario che presentava numeri decimali, frazioni e razionali. Il risultato

significativo messo in evidenza dai ricercatori coinvolti nella sperimentazione

sottolineava come per gli allievi scritture diverse corrispondano a numeri di tipo

diverso rappresentati graficamente con insiemi numerici disgiunti.

Quest‟aspetto è certamente da collegare al modello cognitivo ormai stabilizzato

dei numeri Naturali che spesso fa da ostacolo alla concettualizzazione dei numeri

razionali.

La pluralità di significati associati alla frazione esige quindi una riflessione: quale

ingegneria didattica impostare in classe per non far perdere agli studenti il senso

e il significato del concetto matematico trattato? Come insegnare questi concetti

quindi? E, soprattutto: come far sì che gli studenti li apprendano, li padroneggino

(se li apprendono)?

Queste sono solo alcune delle domande di ricerca che mi sono posta e alle quali

ho cercato di rispondere prima di definire il mio lavoro sperimentale e quindi

l‟impianto metodologico di studio che ho proposto didatticamente.

1.3 Sintassi e semantica della frazione

Da quanto detto, seppur brevemente, è evidente che il concetto di frazione è uno

dei più importanti della Matematica e proprio per questo motivo è uno dei temi

più studiati nella ricerca in didattica, fin dagli anni ‟60. Nel capitolo successivo

approfondirò questo aspetto citando quelle che sono state le ricerche e i risultati

più significativi su questo contenuto matematico negli ultimi anni, ricerche legate

alle possibili difficoltà degli allievi nello studio del concetto stesso e alle sue

13

rappresentazioni di numero razionale1 in relazione al contesto di presentazione e

alla conoscenza anteriore riferita al numero Naturale.

Una prima riflessione su quest‟ultimo aspetto è però immediata. Le ricerche di

Fishbein (1984) sottolineano, infatti, come spesso nello studente di scuola media

(ma anche primaria, per certi aspetti) si evidenzia un certa ambiguità concettuale

della frazione dovuta alla costruzione precedente di un modello forte, rigido dei

numeri Naturali che, in accordo con quanto lo stesso Fishbein(1984) afferma, si

scontra con la “frazione in seconda media, così come con i decimali alla fine della

scuola elementare e all‟inizio della scuola media”. Questa situazione emerge

chiaramente in numerose indagini. Ad esempio, i già citati Mariotti et al. (1995)

evidenziano che, per quanto riguarda i numeri decimali, essi sono visti come due

numeri naturali giustapposti, tenuti separati da una virgola. Questo spiegherebbe il

perché di errori del tipo: 3,15>3,7 perché 15>7.

Brousseau nel 1981 affermando che, per i bambini della scuola primaria, i numeri

decimali sono dei “naturali con la virgola” aveva già ampiamente sottolineato

questo aspetto attraverso diverse ricerche sperimentali. Ancora oggi questa

concezione è assai radicata e persiste, talvolta, fino all‟università; essa costituisce

un ostacolo didattico piuttosto diffuso alla comprensione dei numeri reali.

Secondo Duval (1993) l‟acquisizione concettuale di un oggetto matematico come

quello del numero frazionario si basa su due sue caratteristiche “essenziali” che

discuteremo più avanti nel corso del capitolo 3.

Nel caso delle frazioni, la quantità di registri semiotici a disposizione è, come ho

messo in evidenza nel paragrafo precedente, immensa. A gestire i diversi registri,

a scegliere i tratti distintivi del concetto da trattare, a convertire, non si impara

automaticamente; questo apprendimento deve necessariamente essere il risultato

di un insegnamento esplicito nel quale l‟insegnante chiama ad essere

corresponsabile lo studente. L‟insegnante spesso sottovaluta questo aspetto e

passa da un registro all‟altro senza problemi, perché ha già concettualizzato; ma lo

studente no, egli lo segue sul piano delle rappresentazioni semiotiche, ma non su

1All‟indirizzo web del progetto internazionale “Rational Number Project”

http://education.umn.edu/rationalnumberproject/default.html è possibile ritrovare un alto numero

di pubblicazioni realizzate da parecchi ricercatori che si sono occupati dello stesso argomento.

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quello dei significati. Il rischio è enorme. L‟apparente semplicità e leggibilità di

certi registri, non deve far credere che lo studente se ne appropri o ne sia già

padrone.

Ad esempio, la moltiplicazione tra due numeri naturali dà luogo ad un prodotto

che è certamente maggiore di ciascuno dei due fattori; questa affermazione è vera

in N, insieme dei numeri naturali, ma non certo nell‟insieme dei razionali assoluti.

Il modello dei Numeri Naturali può quindi presentarsi come un ostacolo

all‟apprendimento della stessa operazione sui razionali assoluti.

Didatticamente conviene lasciare immagini ancora instabili, in attesa di poter

creare modelli adatti e significativi, il più possibile vicini al sapere matematico

che si vuole raggiungere.

Nel caso delle frazioni, succede molto spesso che un‟immagine si trasformi in

modello mentale interno troppo presto, quando ancora dovrebbe restare

immagine. Ad esempio:

- L‟immagine di un‟unità-tutto che viene divisa in parti uguali, intendendo questo

uguale come identità, congruenza, sovrapponibilità, marchia in modo efficace e

duratura il concetto di frazione, trasformandosi in modello e pretendendo dunque

di essere rispettata in ogni occasione. Ciò pregiudica assai presto la formazione

noetica della frazione.

- L‟immagine di dividere un‟unità-tutto in parti uguali e prenderne alcune,

suggerisce semanticamente che questo “alcune” non possa essere “tutte”; il

modello si forma facilmente, dato che coincide con un‟intuizione forte; ma

pregiudica poi il passaggio all‟unità come frazione n/n ed alle frazioni improprie.

- L‟uso delle figure geometriche viene visto dagli studenti come specifico e

significativo, mentre l‟adulto le pensa causali e le vede come generiche. Per

esempio il continuo e unico ricorso a rettangoli o cerchi costringe a ragionare in

modo tale che l‟immagine (che avrebbe dovuto essere aperta, duttile,

modificabile) diventa invece persistente e stabile, e si fa modello; se la frazione

viene proposta su figure diverse (triangoli, trapezi…) lo studente non domina più

la noetica della frazione perché la situazione proposta non fa parte del suo

modello.

15

- Se l‟unità-totalità viene insistentemente proposta stilizzata come una figura

geometrica unica, connessa, compatta, convessa, la costruzione del concetto di

frazione si fa modello con questa configurazione fissa, irremovibile. Se poi si

tenta di usare una unità-totalità che è formata da un insieme discreto di oggetti, il

modello troppo presto formatosi non risponde più ai bisogni nuovi della

situazione.

- Se bisogna dividere sempre e solo n numero per un altro più piccolo e questo

diventa il modello di divisione, allora, al momento di dividere 2 euro tra 4

persone, difficilmente allo studente sarà spontaneo operare con la frazione 2/4 o

con la divisione tra numeri razionali 2:4. Questi due atteggiamenti non saranno

compatibili con quel modello e lo studente cercherà alternative, come, per

esempio, quella di operare solo tra centesimi 200:4, come se questa

trasformazione fosse obbligatoria. Avrà sempre come risultato 50 centesimi e mai

0.5 o 0.50 euro perché questi due valori gli sembreranno innaturali (Fandino

Pinilla, 2005).

Su questi aspetti si è definito il mio lavoro di ricerca condotto attraverso

un‟indagine sperimentale mediante l‟utilizzo di un questionario capace di

riprendere questi elementi fondamentali del concetto matematico e proporli

didatticamente su contesti disciplinari differenziati. Approfondirò questo aspetto

nel V capitolo.

1.4 La frazione tra ostacolo e conoscenza innata

Occorre innanzitutto precisare che l‟ostacolo, così come qui lo si intende, è

un‟idea che, al momento della formazione di un concetto, è stata efficace per

affrontare dei problemi (anche solo cognitivi) precedenti, ma che si rivela

fallimentare quando si tenta di applicarla ad un problema nuovo. Visto il successo

ottenuto, anzi, a maggior ragione a causa di questo, si tende a conservare l‟idea

già acquisita e comprovata e, nonostante il fallimento, si cerca di salvarla; ma

questo fatto finisce con l‟essere una barriera verso successivi apprendimenti.

16

L‟idea di ostacolo conduce, quindi, a ripensare alla presenza e alla funzione

dell‟errore nella pratica scolastica; seguendo D‟Amore: «L‟errore, dunque non è

necessariamente solo frutto di ignoranza, ma potrebbe invece essere il risultato di

una conoscenza precedente, una conoscenza che ha avuto successo, che ha

prodotto risultati positivi, ma che non tiene alla prova di fatti più contingenti o

più generali».

Si fa solitamente una distinzione fra tre tipi di ostacoli:

- di natura ontogenetica: legati all‟allievo e alla sua natura;

- di natura didattica: legati all‟insegnante ed alle sue scelte;

- di natura epistemologica: legati alla natura stessa degli argomenti della

Matematica.

Tra i tre, i più significati ai fini del lavoro di tesi sono certamente gli ultimi due

che proverò ad approfondire.

Per quanto riguarda gli ostacoli didattici, questi vanno ricondotti alle scelte

didattiche dell‟insegnate e sono quindi fortemente legate alle buone pratiche di

insegnamento/apprendimento. Ma come scegliere una “comunicazione” piuttosto

che un‟altra? Come facilitare il superamento di errori o misconcetti relativi ad un

contenuto matematico? Quali metodologie efficaci seguire? Tutte queste domande

si riconducono all‟analisi e allo studio della natura stessa del contenuto da

insegnare (sapere da insegnare) e quindi al riconoscimento di possibili schemi di

ragionamento ad esso sottesi. Un esempio tipico è costituito dall‟insistenza nel

voler trovare un “successivo” di una frazione o di un razionale; per cui la frazione

“successiva” di 5

3è allora

5

4e il successivo di 0.3 è 0.4; è ovvio che si tratta di un

ostacolo didattico legato al fatto che lo studente ha appreso a far uso del termine

“successivo” nell‟insieme N dei numeri naturali ed ha costruito il concetto che ha

esteso poi a tutti i domini numerici, senza che mai si avesse un momento nel quale

questa concezione venisse messa in crisi.

Gli esempi di ostacoli epistemologici vengono forniti o dalla storia della

Matematica o dalla vita d‟aula. Concetti che nella storia hanno creato fratture,

discussioni, difficoltà sono ostacoli epistemologici; argomenti sui quali gli

17

studenti commettono errori che sono sempre gli stessi in qualsiasi tempo e in

qualsiasi Paese. Tra gli apprendimenti legati alle frazioni, molti possono essere

pensati come veri e propri ostacoli epistemologici. Essi sono facilmente

riconoscibili nella storia e/o nella pratica didattica. Un esempio chiaro è il

passaggio dalle frazioni ai numeri con la virgola. A scuola questo passaggio non

è sempre difficoltoso e causa di parecchi errori degli allievi. Perché? Oltre alle

motivazioni strettamente matematiche potrei anche argomentare il discorso

considerando come esso abbia richiesto alla Matematica più di 4500 anni,

nonostante fosse già disponibile (nel mondo sumero) un sistema posizionale; nel

mondo indiano è nato nel VI secolo d.C. un sistema decimale corretto; ma

solamente dal XV secolo si può dire che si sia fatto un uso consapevole e corretto

dei numeri decimali. La storia della matematica, permette, in questo senso, di

osservare la natura di ostacolo della frazione in questo suo aspetto significativo di

numero decimale ed è una lente di osservazione interessante per l‟analisi delle

dinamiche scolastiche legate allo stesso contenuto.

Eppure la frazione sembra che sia elaborata automaticamente dal cervello umano

(Journal of Neuroscience nell‟aprile del 2009)! Alcune ricerche condotte sulle

regioni dell'area del solco intraparietale (IPS) e della corteccia prefrontale

confermano quest‟aspetto discutendo l'elaborazione dei numeri interi.

Lo studio è stato condotto da Simon Jacob e Andreas Nieder dell'Università di

Tübingen, in Germania, che hanno sottoposto a scansione il cervello di un gruppo

di volontari di differente età e preparazione scientifica mentre questi osservavano

su un monitor l'apparizione, per brevissimi instanti, dell'immagine di varie

frazioni.

Come sostiene Jacob, che con il suo gruppo ora intende verificare se

l'elaborazione delle frazioni avviene in modo analogo anche nei bambini, «Questi

esperimenti cambiano il modo in cui dobbiamo pensare alle frazioni. Sicuramente

i cervelli educati degli adulti rappresentano intuitivamente le frazioni, e questo

potrebbe avere riflessi sul modo in cui si dovrebbe insegnare l'aritmetica e la

matematica a scuola». In questo senso, l‟analisi sperimentale che ho condotto ha

fatto riferimento anche ad un lavoro di tesi di laurea sviluppato quest‟anno sul

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medesimo argomento2 attraverso un lavoro di ricerca qualitativa e quantitativa su

un campione di soggetti adulti ai quali è stato sottoposto il medesimo questionario

da me portato in classe. Quest‟ultimo lavoro ha evidenziato alcune false

convinzioni ed errate concezioni riscontrabili in soggetti adulti in età compresa tra

i 35 e 45 anni con gradi di istruzione differenti, relative e riferite al concetto

matematico trattato definendo la frazione come ostacolo epistemologico. Il mio

lavoro di tesi si propone di analizzare, seppur in una prima approssimazione, il

percorso di “crescita” del concetto di frazione e delle sue rappresentazioni

semiotiche in un grado scolastico nel quale questo assume un ruolo fondamentale.

La scuola secondaria inferiore ed in particolare le classi II e III si presentano come

le classi di riferimento per la concettualizzazione del numero in tutte le sue

accezioni peculiari e quindi nelle sue rappresentazioni semiotiche di riferimento.

2 Tesi di laurea in Scienze della Formazione, CDL Scienze Umane e Pedagogiche, 2010, “Indagine

sperimentale sulle concezioni spontanee del concetto di frazione negli adulti”

19

2

LA RICERCA IN DIDATTICA E

L’INSEGNAMENTO/APPRENDIMENTO DELLA FRAZIONE

“Le teorie [matematiche] nascono e crescono su cantieri di

problemi, ed i concetti si formano intorno alle questioni che essi

devono risolvere, ai ragionamenti nei quali essi intervengono”

CREM, 199

Come detto in precedenza la Didattica della matematica si è interessata all‟analisi

delle fasi di insegnamento apprendimento della frazione da parecchi anni.

Molteplici sono le ricerche pubblicate su tale argomento, ricerche che affrontano

il concetto matematico trattato sotto le più disparate lenti di analisi e di ricerca.

Nel presente lavoro mi limiterò quindi a descriverne solo alcune ed in particolare

quelle che si sono sviluppate dagli anni ‟60 ad oggi e che ritengo significative per

l‟analisi teorico/sperimentale del mio lavoro. Questo capitolo si inserisce infatti

nel quadro teorico della tesi, tra la discussione dell‟impianto metodologico del

lavoro sperimentale e le rappresentazioni semiotiche del concetto trattato.

Argomento questo che ho accennato nel primo capitolo e che approfondirò nel

capitolo successivo per quanto attiene specificatamente alla semiotica e alla

noetica delle frazioni.

20

2.1 Le ricerche degli anni ‟60-‟70-„80

Tra gli anni „60 ed ‟80, in particolare negli USA, sono fioriti in quantità enorme

studi sull‟apprendimento delle frazioni da parte degli allievi di età compresa fra

gli 8 ed i 14-15 anni; questi studi erano principalmente dedicati a:

questioni generali connesse con il concetto stesso di frazione (Krich, 1964;

Green,1969; Desjardins, Hetu, 1974; Ellerbruch, 1975; Minskaya, 1975; Kieren,

1975, 1976; Hesemann, 1979);

operazioni tra frazioni e difficoltà loro connesse (Sluser, 1962 (divisione);

Bergen, 1966 (divisione); Green, 1969 (moltiplicazione); Streefland, 1978

(sottrazione));

diverse interpretazioni dell‟idea di frazione (Streefland, 1979 (misura e

rapporto)).

Tra tutti questi lavori, emergono principalmente quelli di Kieren (1975, 1976) che

trattano tutti i precedenti argomenti, evidenziando l‟esistenza di almeno sette

significati diversi del termine “frazione” e mostrando che proprio in questa

polisemia si nasconde il problema dell‟ apprendimento concettuale del contenuto

matematico stesso e quindi le sue operazioni.

I lavori di ricerca discussi negli anni ‟80 miravano essenzialmente:

all‟apprendimento generale del concetto di frazione (Owens, 1980;

Rouchier et al., 1980; Woodcock, 1986; Chevallard, Jullien, 1989);

all‟apprendimento delle operazioni tra frazioni (Streefland, 1982

(sottrazione); Peralta, 1989 (addizione e moltiplicazione));

all‟operzione di confronto tra valori frazionari e/o decimali e difficoltà

dell‟estensione dei Numeri Naturali a frazioni e/o decimali (Leonard, Grisvard,

1980; Nesher, Peled, 1986; Resnik et al., 1989);

problemi connessi con le diverse interpretazioni del termine “frazione”

(Ratsimba-Rajohn, 1982 (misura); Davis, 1989 (senso generale da dare alle

frazioni nella vita quotidiana); Peralta, 1989 (diverse rappresentazioni grafiche)).

21

Tra tutti questi lavori, i più importanti sono quelli di Hart (1980, 1981, 1985,

1988, 1989; con Sinkinson, 1989), che, riprendono in modo critico i lavori di

Kieren discussi precedentemente.

Proprio all‟inizio degli anni ‟80, più precisamente nel 1980 e nel 1981,

raccogliendo esperienze fatte nel corso degli anni ‟70 presso la scuola primaria “J.

Michelet” a Talence in Francia, apparve un articolo di Guy Brousseau (1980c,

1981) dedicato alla didattica dei decimali. Tali articoli, fondamentali

nell‟evoluzione della Didattica della Matematica per il concetto matematico

approfondito, definiscono una metodologia di ricerca e di analisi (detta allora

“epistemologia sperimentale”, del tutto nuova nel panorama mondiale), ancora

fortemente utilizzata nella ricerca in didattica della matematica e fondamentale,

come discuterò in seguito, per il mio lavoro di tesi. La lettura delle ricerche

teorico/sperimentali di Brousseau mi permette di poter affermare che gran parte

del modo moderno di pensare alla ricerca in Didattica della Matematica è nato

proprio dai suoi lavori.

In tali lavori, Brousseau definisce l‟insieme D dei decimali come ampliamento di

N e utilizza questo per poi passare alla definizione e strutturazione dei numeri

razionali Q di cui ne studia le caratteristiche algebriche e, brevemente, la storia.

Dopo di che mostra un‟interessantissima sequenza didattica, oramai storica, che

sfrutta le esperienze effettuate nella scuola primaria (“ripetute 10 volte”). La

prima fase passa attraverso attività fatte con il pantografo che richiamano in causa

le frazioni; la seconda passa attraverso la ricostruzione ingrandita di un dato

puzzle; la terza riguarda un interessante problema concernente i diversi spessori di

fogli di carta. Di ciascuna fase, Brousseau studia dettagliatamente tutti gli aspetti

che oggi si considerano di didattica ma che allora erano assolutamente nuovi.

Riporta poi un test effettuato a verifica delle conoscenze acquisite e ne discute i

risultati. Ogni tanto fornisce un approccio decimale ai razionali, sempre più

approfondito, ed analizza costantemente le singole fasi del processo sperimentale.

Un ultimo riferimento teorico ai lavori pubblicati negli anni ‟80 che mi sembra

interessante citare si riferisce al progetto americano del 1979 “The Rational

Number Project”, nell‟ambito del quale furono pubblicati oltre 90 articoli fino al

22

2003. I focus di queste ricerche sono i numeri razionali, con tutto ciò che li

accompagna nell‟ambito del “ragionamento proporzionale”. Nel mio lavoro di tesi

non indagherò specificatamente su questi aspetti connessi alle frazioni, mi è però

sembrato opportuno riportare in bibliografia qualcuno degli articoli pubblicati su

questi aspetti matematici del concetto di frazione e del numero decimale.

2.2 Le ricerche degli anni ‟90-2000

Le ricerche discusse in questi anni sul contenuto disciplinare trattato sono

tantissime e, come detto anche in precedenza, affrontano l‟oggetto matematico da

diversi punti di osservazione e di analisi (concetto di frazione, di numero

decimale, l‟introduzione ai numeri razionali come ampliamento o

quozientamento, approcci didattici al concetto di frazione e sue rappresentazioni a

livello di scuola primaria e secondaria Inferiore etc.). Mi limiterò quindi a citare

solamente le ricerche più significative e quelle che ho utilizzato nella definizione

e strutturazione del mio quadro teorico di riferimento e nell‟impianto

metodologico del lavoro sperimentale.

Le ricerche di Saenz-Ludlow (1990, 1995) hanno proposto un filone di

ricerca che ancora oggi è molto seguito e applicato in più ambiti matematici,

quello dei “case studies”. Il loro lavoro di ricerca sull‟apprendimento delle

frazioni e quindi sul processo di insegnamento/apprendimento dello stesso prende

in esame singoli soggetti analizzati su item costruiti ad hoc. In tutti i loro lavori

vengono analizzate strategie personali non solo per la concettualizzazione delle

frazioni, ma anche per l‟esecuzione spontanea dell‟ addizione tra queste.

Davis e Hunting (1990) suggeriscono, nelle loro ricerche, di svolgere

attività didattica parallela su diverse competenze da attivare sulle frazioni, per

esempio su contesti discreti e continui, proseguendo nelle ricerche di Hunting e di

Korboski condotte negli anni ‟80.

Mack (1990, 1993) propone l‟idea di “conoscenza informale” come quella

conoscenza basata su attività spontanee della vita quotidiana effettuate per dare

risposta a problemi posti nel contesto della vita reale dell‟individuo. Le sue

23

esperienze in aula dimostrano che su questa conoscenza informale possono

costruirsi le idee iniziali del concetto frazione e di numero razionale. Le frazioni si

presentano come parti che compongono un tutto; ciascuna di queste parti viene

trattata come un numero a sé stante, piuttosto che come frazione.

I lavori di Mack, che ho avuto modo di consultare sono stati un buon input nella

definizione del mio lavoro di tesi; l‟approccio metodologico che ho seguito nella

strutturazione del questionario (che discuterò nel capitolo quarto e che riporto in

appendice) ha preso le orme proprio dall‟idea di “conoscenza informale” sul

concetto di frazione e quindi di analisi dei modelli cognitivi spontanei di

concettualizzazione dello stesso.

Le ricerche di Hunting, Davis e Bigelow nel 1991, dopo un‟analisi critica

di alcune esperienze didattiche riferite al concetto di frazioni, propongono l‟idea

secondo la quale sia fondamentale trattare a lungo il concetto di frazione unitaria e

le sue rappresentazioni semiotiche. Saltando dopo una matura acquisizione del

concetto stesso, si può passare ad un ulteriore frazionamento delle parti

frazionarie ottenute, ritornando di tanto in tanto all‟unità da cui si era partiti. Sulla

stessa lunghezza d‟onda, si collocano le ricerche pubblicate da Steffe, Olive

(1990).

Valdemoros (2001, et al. 1998) dedica una grande varietà di attenzioni al

linguaggio delle frazioni; in particolare studia la costruzione del significato della

frazione attraverso l‟uso di diversi sistemi simbolici, anche in riferimento all‟uso

di materiali e modelli concreti e all‟espressione linguistica in lingua naturale.

I lavori di Valdemoros, mi hanno permesso di riflettere su quelle che potevano

presentarsi come espressioni linguistiche di ostacolo al concetto di frazione e

numero decimale. L‟approccio metodologico che ho seguito nella strutturazione

del questionario (che discuterò nel capitolo quarto e che riporto in allegato) ha

preso in esame proprio questo aspetto nella definizione di due item.

Cannizzaro nel 1992, presentando un possibile intreccio tra i piani di

studio matematico, cognitivo e di sviluppo curricolare nella didattica

dell‟aritmetica, esamina il caso della didattica della frazione. Nei sui lavori,

evidenzia alcuni aspetti significativi del concetto qui affrontato che io stessa

24

metterò in evidenza più avanti discutendo ad esempio le diverse accezioni del

termine stesso di frazione e quindi dei rischi che si possono correre nell‟uso di

modelli concreti che di solito didatticamente vengono usati per la

concettualizzazione della frazione.

Le ricerche di Bonotto (1992) presentando i risultati di un ampio test

effettuato su allievi di V Primaria e della prima classe di scuola Secondaria

Inferiore sulle frazioni e sui numeri decimali e, discutendo l‟ordinamento dei

numeri decimali e frazionari, mostrano come la conoscenza dei numeri Naturali

sia allo stesso tempo supporto ed ostacolo all‟ apprendimento e come gli allievi

possano trovare difficoltà nella gestione del passaggio tra numeri frazionali a

quelli decimali. Ulteriore riferimento significativo, che ho trovato analizzando

queste ricerche, si rifà alla conoscenza delle frazioni e dei decimali come

“conflitto”. Ipotesi questa che discuterò più avanti da un punto di vista

epistemologico.

Giménez (1994) propone una distinzione tra il termine “frazionare” nel

linguaggio comune e il termine “frazione” in Matematica. Le sue ricerche mettono

in campo racconti, storie, provocazioni cognitive varie e sfruttano il ricorso alla

storia ed alla discussione collettiva in aula; il suo scopo è quello di creare in aula

una situazione di maggior integrazione culturale di situazioni di frazionamento. Il

questionario da me utilizzato, seppur in una prima approssimazione, pone le sue

basi anche su questo aspetto di rappresentazione del concetto.

Mariotti, Sainati Nello e Sciolis Marino nelle ricerche pubblicate nel 1995,

esaminano le competenze che gli studenti dichiarano di possedere al passaggio tra

la scuola secondaria Inferiore e quella Superiore. I loro lavori mostrano a chiare

lettere come gli studenti pensano generalmente che i diversi insiemi numerici

siano tra loro disgiunti e che sia proprio la scrittura diversa a determinare la natura

di un numero. L‟idea di ostacolo, discussa da Brouseau e riferita alla

rappresentazione del numero, è, a mio parere, in questo senso, centrale per un

apprendimento consapevole del concetto matematico.

Sensevy nel lavoro del 1996 riporta un‟esperienza di

insegnamento/apprendimento con studenti di a4 e a5 Primaria sul concetto

25

indagato. Caratteristica di questa esperienza era la negoziazione continua dei

significati associati al concetto stesso e quindi la creazione di formalismi

“rigorosi” relazionati a situazioni problematiche, problemi coinvolgenti le

frazioni. Lo scopo comune che veniva riconosciuto era quello della

comunicazione efficace. Per raggiungere questo scopo, significati e formalismi

erano basati su strumenti semiotici opportuni che dovevano avere la caratteristica

di far condividere agli allievi e al maestro coinvolto i significati di volta in volta

in gioco.

Rilevanti per il mio lavoro di tesi sono state anche le ricerche di Adjiage e

Pluvinage del 2000 e quelle di O‟Connor (2001). Le prime discutono come le

classiche rappresentazioni bidimensionali del concetto matematico di frazione

spesso portino ad ostacoli ben noti e difficili da superare. In questo senso gli

Autori sottolineano l‟importanza di fare costante riferimento alle grandezze

comuni nella vita degli allievi. O‟Connor presenta invece un gruppo di

discussione tra bambini di una a5 primaria dove l‟oggetto “frazione” viene scelto

come tema di ricerca e non solo come finalità di studio di errori. Lo scopo della

ricerca è infatti quello di mostrare come, nel lavoro dell‟insegnante, si

frappongano spesso varie interpretazioni personali dovute alle complicazioni

matematiche riferite al concetto stesso, al calcolo vero e proprio su questo, alle

conoscenze spontanee e spesso errate del concetto indagato e alle sue

rappresentazioni.

Particolarmente significativo per il mio lavoro di tesi è stata poi la

consultazione delle ricerche condotte da Martha Isabel Fandiño Pinilla; lavori di

ricerca dai quali la mia tesi prende spunto sia per quanto riguarda la definizione de

Quadro Teorico e sia per l‟impianto metodologico ad esso associato. Il testo

pubblicato dall‟Autrice discute attraverso molteplici riferimenti teorici, differenti

approcci di studio delle frazioni, riuniti in un insieme coerente e di grande

impatto: la didattica disciplinare del contenuto trattato, la semiotica, il contratto

didattico, gli ostacoli epistemologici, didattici ed ontogenetici, le situazioni

didattiche “migliori” per l‟acquisizione e la concettualizzazione della frazione,

l‟idea di frazione come quoziente, come rapporto, come operatore, etc.

26

Uno studio quindi multidimensionale delle frazione che io stessa, seppur in una

prima approssimazione ho cercato di approfondire.

27

3

SEMIOTICA E NOETICA DELLE FRAZIONI

“La considerazione della storia della matematica come una

specie di laboratorio epistemologico in cui esplorare lo sviluppo

della conoscenza matematica [...] richiede l‟assunzione di un punto

di vista teorico che giustifichi il collegamento tra lo sviluppo

concettuale nella storia e quello moderno”

Radford, 1997

3.1 Apprendimento e concettualizzazione

Negli anni ‟70, la didattica della matematica, ha fatto notevoli passi avanti nel

panorama della comunicazione della disciplina. Mentre fino a quegli anni era

radicata l‟idea secondo la quale la buona riuscita degli allievi era dovuta alla sola

capacità degli insegnanti, “se insegnerete bene i vostri allievi apprenderanno”;

successivamente si cominciò a riflettere in maniera diversa sugli obiettivi

dell‟insegnamento della matematica, riflettendo sul fatto che “la matematica è più

di una tecnica”. Una volta accertato che “apprendere la matematica” significa

conquistare l‟attitudine ad un “comportamento matematico”3, con lo sviluppo

delle ricerche condotte proprio negli ultimi anni del 1970, l‟attenzione si è

spostata dal solo insegnare al binomio insegnamento/apprendimento fino ad

arrivare a sottolineare l‟importanza della parola apprendimento.

Schematizzando brevemente, potrei dire che, quando si parla di apprendimento, si

intendono le modificazioni del comportamento che si basano sull'esperienza e che

3 Freudehantal H., Ripensando l'educazione matematica (a cura di F.Manara), 1994,

Brescia, ed. La Scuola.

28

durano nel tempo. È un processo “esperienza-dipendente”: l‟apprendimento

umano è strettamente connesso alle nostre esperienze, più sperimentiamo e più

apprendiamo. Le nostre esperienze possono influenzare significativamente le

nostre connessioni neuronali e le nostre strutture cerebrali. Dal punto di vista

psicologico, l'apprendimento è una funzione dell'adattamento del comportamento

di un soggetto, risultato da una esperienza. Dunque, l'apprendimento è un

processo attivo di acquisizione di comportamenti stabili in funzione

dell'adattamento, dovuto a stimoli esterni o interni. Apprendere è, in questo senso,

adattarsi.

L‟apprendimento matematico genera alcune problematiche legate alla natura

stessa dei concetti matematici; infatti, in Matematica, l‟acquisizione concettuale di

un oggetto passa necessariamente attraverso l‟acquisizione di una o più

rappresentazioni semiotiche. Prima di trattare questo aspetto, significativo per il

mio lavoro di tesi sulla frazione, voglio soffermarmi sulla definizione di concetto

che, come dice D‟Amore, rivela, nella sua definizione un‟intensa complessità.

Una delle difficoltà è che all‟idea di “concetto” partecipano tanti fattori e tante

cause. Alcuni autori (Godino, Batanero,1994 nell‟articolo Significado

institucional y personal de los objetos matemáticos. Recherches en Didactique des

Mathématiques, 3, 325-355), sostengono che alla “costruzione” di un “concetto”

parteciperebbe tanto la parte istituzionale (il Sapere) quanto la parte personale (di

chiunque abbia accesso a tale Sapere).

Un concetto è, per così dire, continuamente in fase di costruzione ed in questa

stessa costruzione sta la parte più problematica e dunque ricca di significato.

Spesso questa costruzione viene chiamata “concettualizzazione”.

Vergnaud (1990) unifica nel concetto la sua stessa componente costruttiva.

Secondo l‟autore, il punto decisivo nella concettualizzazione è il passaggio dai

concetti-come-strumento ai concetti-come-oggetto ed un‟operazione linguistica

essenziale in questa trasformazione è la nominalizzazione. L‟idea di Vergnaud

potrebbe essere considerata come una possibile conclusione di un filone

“classico”, quello che passa attraverso il “triangolo del sapere” già discusso nel

primo capitolo. Bisogna sottolineare che in matematica la questione è molto

29

complessa perché: la concettualizzazione non è e non può essere sempre basata su

significati che poggiano sulla realtà concreta; ogni concetto matematico è

costretto a servirsi di rappresentazioni e dunque la concettualizzazione deve

necessariamente passare attraverso registri rappresentativi; e inoltre si parla spesso

in matematica di “oggetti matematici” che non di concetti matematici in quanto in

matematica si studiano preferibilmente oggetti piuttosto che concetti. «La nozione

di oggetto è una nozione che non si può non utilizzare dal momento in cui ci si

interroga sulla natura, sulle condizioni di validità o sul valore della conoscenza»

(Duval, 1998). In Duval, ciò che assume carattere di priorità è la coppia (segno,

oggetto); infatti riprendendo Vygotskij, Duval afferma che non c‟è concetto senza

segno. Gli studenti, durante l‟apprendimento matematico, possono incappare in un

paradosso: potrebbero confondere gli oggetti matematici con le loro

rappresentazioni semiotiche visto che non possono che avere relazione con le sole

rappresentazioni semiotiche e allo stesso tempo non possono avere padronanza dei

trattamenti matematici, legati alle rappresentazioni semiotiche, se non hanno già

un apprendimento concettuale degli oggetti rappresentati. La mia indagine

sperimentale è mirata anche a questo aspetto relativo al concetto di frazione e alle

sue rappresentazioni semiotiche.

L‟impossibilità di un accesso diretto agli oggetti matematici, al di fuori di ogni

rappresentazione semiotica, rende la confusione quasi inevitabile. In linea con

Duval, Radford scrive (traduzione italiana di D‟Amore B.): «come possiamo

giungere alla conoscenza di questi oggetti generali, dal momento che non abbiamo

accesso a questi oggetti se non attraverso rappresentazioni che ci facciamo di

essi?» (Radford, 2005).

Secondo l‟insegnante, secondo la noosfera4 e secondo lo stesso studente,

quest‟ultimo sta entrando in contatto con un “oggetto” matematico ma, di fatto, e

nessuno talvolta sembra rendersene conto, lo studente sta entrando a contatto solo

4 Con il termine noosfera si indica la "sfera del pensiero umano"; deriva dall'unione della parola

greca νους ("nous"), che significa mente e della parola sfera. Per Pierre Teilhard de Chardin, più

l'umanità si organizza in forma di reti sociali complesse, più la noosfera acquisisce

consapevolezza.

30

con una rappresentazione semiotica particolare di quell‟“oggetto”. Lo studente

non ha, non può avere, accesso diretto all‟“oggetto” e l‟insegnante e la noosfera

confondono le due cose; lo studente è come bloccato, come inibito: non può far

null‟altro che confondere “oggetto” e sua rappresentazione semiotica perché non

se ne rende conto, non lo sa (D‟Amore B. (2001). Concettualizzazione, registri di

rappresentazioni semiotiche e noetica. La matematica e la sua didattica. 2, 150-

173.). Lo studente non ha mezzi critici né culturali né cognitivi per superare

l‟ostacolo; l‟insegnante e la noosfera non capiscono il perché ed “accusano” lo

studente, colpevolizzandolo di qualche cosa che egli non capisce.

A questo proposito mi sembra significativo citare una breve frase di Duval (1998):

«L‟analisi delle rappresentazioni è cominciata dal momento in cui ci si è

interrogati sulle condizioni di validità della conoscenza e che si è scoperto che

ogni conoscenza è inseparabile da un‟attività di rappresentazione». Dunque,

prendendo a prestito le parole di Duval: non c è noetica senza semiotica.

La semiotica è una rappresentazione realizzata per mezzo di un sistema di segni,

mentre la noetica è l‟acquisizione concettuale di un oggetto. Se cambia il registro

semiotico, cambia necessariamente anche la rappresentazione semiotica, mentre

non è detto il viceversa; cioè può cambiare la rappresentazione semiotica pur

mantenendosi lo stesso registro semiotico.

L‟acquisizione concettuale di un oggetto matematico si basa su due sue

caratteristiche “forti” (Duval, 1993):

1. l‟uso di più registri di rappresentazione semiotica è tipica del pensiero umano;

2. la creazione e lo sviluppo di sistemi semiotici nuovi è simbolo (storico) di

progresso della conoscenza.

Queste considerazioni mostrano l‟interdipendenza stretta tra noetica e semiotica,

come si passa dall‟una all‟altra: non solo dunque non c‟è noetica senza semiotica,

ma la semiotica viene assunta come caratteristica necessaria per garantire il primo

passo verso la noetica.

31

3.2 Le macro caratteristiche della semiotica e la costruzione di un “concetto”

Le macro caratteristiche della semiotica sono: rappresentazione, trattamento,

conversione. Duval afferma che la più importante è la conversione.

La costruzione dei concetti matematici dipende dalla capacità di usare più registri

di rappresentazioni semiotiche di quei concetti:

- di rappresentarli in un dato registro;

- di trattare tali rappresentazioni all‟interno di uno stesso registro;

- di convertire tali rappresentazioni da un dato registro ad un altro.

Bisogna riflettere sul fatto che nell‟apprendimento matematico concettuale non ci

può essere noetica se non c‟è stata semiotica in quanto l‟acquisizione di un

concetto matematico è di fatto l‟acquisizione di una sua rappresentazione

semiotica in un dato registro semiotico; infatti, solo attraverso ciò, il concetto si

“manifesta” e si rende disponibile alla costruzione dell‟apprendimento.

Occorre valutare, però, che la rappresentazione semiotica di un concetto in un

determinato registro semiotico, non è l‟unica, ma ce ne sono altre e il passaggio da

una all‟altra avviene attraverso una trasformazione di trattamento. Quindi un

concetto rappresentato in un determinato registro semiotico, è limitato, si ha solo

una “costruzione” parziale di esso. Per raggiungere la totale comprensione del

concetto occorre avere tutte le rappresentazioni semiotiche in tutti i diversi

registri.

Di seguito riporto degli esempi che mi sembrano significati, tratti da D‟Amore B.

(2001). Concettualizzazione, registri di rappresentazioni semiotiche e noetica. La

matematica e la sua didattica. 2, 150-173.

registro semiotico 1r :la lingua comune

rappresentazione semiotica: un mezzo

rappresentazione semiotica: la metà

etc.

32

registro semiotico 2r : la lingua aritmetica

rappresentazione semiotica: 2

1 (scrittura frazionaria)

rappresentazione semiotica: 0.5 (scrittura decimale)

rappresentazione semiotica: 5.

110 (scrittura esponenziale)

etc.

Inoltre, se si vede un segno, un disegno, una formula, una scrittura algebrica,...

come rappresentazione semiotica di un certo “oggetto” o concetto, non si può

stabilire con certezza a quale registro semiotico essa appartiene perché la

caratteristica specifica di un registro semiotico dipende strettamente dall‟oggetto

che si vuol rappresentare; dunque per “capire” il messaggio proposto, bisogna

avere delle indicazioni preliminari sull‟oggetto, per esempio, se l‟oggetto C è

“calcolo numerico in Q”, il registro semiotico “scrittura decimale” e il registro

semiotico “scrittura frazionaria” sono due registri semiotici diversi perché le 3

attività cognitive fondamentali legate alla semiotica (rappresentazione,

trattamento, conversione) sono diverse (come si dimostra in Duval, 1993, pagg.

41-42); ed inoltre il passaggio dall‟uno all‟altro è una trasformazione di

conversione.

Ecco alcuni esempi di rappresentazioni semiotiche che si prestano a varie

interpretazioni a seconda del registro nel quale si ritiene di doverle comprendere,

tratte da D‟Amore B. (2001). Concettualizzazione, registri di rappresentazioni

semiotiche e noetica. La matematica e la sua didattica. 2, 150-173.

“quadrato”: nel registro geometrico figurale

“è necessario che”: nel registro scrittura formale della logica

modale

< “minore”: nel registro scrittura dell‟aritmetica

“angolo”: nel registro figurale geometrico

33

“valor assoluto”: nel registro scrittura algebrica

“coppia di rette parallele”: nel registro simbolico geometrico

elementare

^ “angolo”: nel registro figurale geometrico

“et”: nel registro scrittura formale della logica enunciativa

“

8

1”: nel registro schematico pittografico riferito a frazioni

“45°”: nel registro figurale geometrico sintetico

“settore circolare”: nel registro figurale geometrico sintetico

+

“più”: nel registro scrittura aritmetica

“assi cartesiani non orientati”: nel registro figurale geometrico

analitico

“rette perpendicolari”: nel registro figurale geometrico sintetico

x “per”: nel registro scrittura aritmetica

“rette incidenti”: nel registro figurale geometrico sintetico

“vettore”: nel registro algebra lineare o fisica o geometria

“indicatore”: in uno registro schema

“implicazione materiale”: nel registro logica formale o

matematica

“vuoto”: nel registro scrittura insiemistica

“zero”: nel registro scrittura numerica degli informatici

“2

1” nel registro schematico pittografico scrittura frazionaria

34

3.3 Quale rappresentazione per la frazione?

Parlando di apprendimento concettuale di “oggetti” matematici, è opportuno in

questo capitolo dare uno sguardo generale all‟apprendimento del concetto

frazione. Poiché è immediato che il “concetto di frazione” non si può presentare

concretamente, al più si può operare su un intero, su un oggetto, ad esempio sulla

torta, per frazionarlo ed ottenerne una parte, questa parte non è una “frazione” ma

è una “frazione di quell‟oggetto”; dunque, abbiamo utilizzato una

rappresentazione semiotica, non il concetto. Possiamo decidere di usare parole per

descrivere quel che abbiamo fatto alla torta; cambiando registro semiotico,

cambiamo la rappresentazione semiotica, ma non il concetto.

In genere, le rappresentazioni semiotiche privilegiate per questo concetto sono la

torta, il rettangolo, tutti oggetti continui; ma se si passa ad un‟unità discreta, per

esempio a 12 palline che però vanno pensate come unità-tutto, si è cambiato il

registro in maniera totale e brutale, ma si dà per scontato che la conversione

avvenga spontaneamente.

In caso di fallimento nel gestire questa enorme massa di rappresentazioni e

trasformazioni, non bisogna colpevolizzare l‟allievo, come talvolta fa l‟insegnante

deluso dal mancato apprendimento dei suoi allievi (D‟Amore, 2001 p.8)

A questo proposito va sottolineato come ci sia un‟enorme differenza tra

l’istituzionalizzazione della conoscenza da parte dell‟insegnante come

rappresentante dell‟istituzione che ha deciso qual è il sapere che conta; e la

scolarizzazione, l‟accettazione supina delle scelte dell‟insegnante.

Nel primo caso, l‟insegnante funge da mediatore tra allievo e sapere e fa essere il

primo attivo: consacra le scelte e le “scoperte” dell‟allievo riconoscendo ad esse

uno statuto istituzionale di spendibilità; il fondamento di tutto ciò sta nel fatto che

è stato l‟allievo a costruire.

Nel secondo caso, l‟insegnante funge da mediatore totalizzante e fa essere

l‟allievo soggetto passivo: gli chiede fiducia cieca in cambio di promesse su

capacità e competenze future che non è detto arrivino mai, o che potrebbero non

essere mai spendibili. L‟allievo cessa di costruire, cessa cioè di apprendere.

35

Dunque, una rappresentazione semiotica in sé non è un messaggio in assoluto, a

meno che non ne sia specificato in qualche modo il registro di rappresentazione;

esso dipende cioè dall‟oggetto che si vuol rappresentare, in una sorta di circolo

vizioso. In altre parole, una rappresentazione semiotica costituisce un significante

diverso a seconda del significato di cui è significante.

“L‟utilizzo di più rappresentazioni e registri, arricchisce il significato, la

conoscenza, la comprensione dell‟oggetto, ma anche la sua complessità, così che

l‟oggetto matematico si presenta, in un certo senso, come unico, ma, in un altro

senso, come molteplice”5; spesso però gli allievi riescono a capire il senso ma non

padroneggiano una effettiva comprensione del significato, dimostrando difficoltà

nell‟effettuare conversioni di trattamento, così come ho potuto verificare durante

la mia sperimentazione e come si può notare dal grafico che qui riporto.

5 D‟Amore B., 2001, Oggetti matematici, trasformazioni semiotiche e senso,

pag.8.

36

Alla luce di quanto detto sopra, va affermato e non dimenticato che « è ogni

singolo allievo che apprende, nessuno può apprendere (o comprendere) al posto di

un altro. Inoltre, la riuscita di un‟azione didattica non si giudica immediatamente,

ma solo alcuni anni più tardi: ci sono molti casi di riuscita immediata che si

rivelano poi degli insuccessi, a distanza di tempo...».6

6 Fandiño Pinilla M.I. (2005). Le frazioni, aspetti concettuali e didattici. Bologna: Pitagora.

37

4

L’INDAGINE SPERIMENTALE

“L‟errore «non appartiene né alla facoltà logica né all‟intuizione, [ma]

s‟introduce nel momento delicato del loro raccordo”.

Federigo Enriques, 1942

4.1 Introduzione alla sperimentazione

La sperimentazione è stata condotta somministrando il questionario a studenti di

cinque classi seconde e terze di due differenti istituiti di istruzione secondaria

inferiore di Palermo, ho inserito i risultati di tale sperimentazione in una tabella

Excel, registrando la presenza o l‟assenza dei comportamenti attesi sulla quale ho

poi lavorato sia quantitativamente che qualitativamente.

I risultati ottenuti sul campione scelto, infatti, sono stati sottoposti parallelamnete

ad un‟analisi statistica con l‟utilizzo del programma Chic, che permette di fare

l‟analisi delle implicazioni e ad un‟analisi qualitativa delle risposte, che ha tenuto

conto delle motivazioni più significative date dai bambini alle domande del

questionario e delle rappresentazioni semiotiche (Duval, 2007) apportate sui vari

protocolli.

4.2 La ricerca: quale obiettivo?

La somministrazione del questionario di indagine, è stata guidata dall‟idea di

voler classificare, seppur in una prima approssimazione, gli schemi di

ragionamento dei bambini coinvolti nella sperimentazione sul concetto di frazione

nelle sue possibili fasi di conversione e trattamento.

38

Fine ultimo dell‟analisi dei protocolli è stato quello di sottolineare eventuali

convinzioni e concezioni spontanee errate e non del concetto indagato.

4.3 L‟indagine sperimentale

La scelta del questionario come strumento di sperimentazione è stata guidata

dall‟idea che esso consente di raccogliere informazioni, poiché interroga i soggetti

su specifici nodi dell‟argomento che interessa verificare e fornisce le loro risposte

in forma scritta. Il questionario è lo strumento principale per la raccolta dei dati

nella ricerca di indagine. Fondamentalmente, si tratta di una serie di domande

standardizzate, spesso chiamate elementi, che seguono uno schema fisso al fine di

raccogliere dati individuali su uno o più argomenti specifici. I questionari a volte

sono confusi con le interviste. In realtà, il questionario può essere definito come

un particolare tipo di intervista, in cui la conversazione è disciplinata dal testo e

dall'ordine delle domande. Spesso il questionario viene somministrato in maniera

standardizzata, nello stesso modo, a tutti gli intervistati del sondaggio e le risposte

ottenute tra gli individui dovrebbero essere comparabili tra loro.

La struttura del questionario deve essere logica, e le domande collegate in modo

corretto. Inoltre, la sua lunghezza deve essere ragionevole: solo domande che sono

assolutamente necessarie dovrebbero essere incluse nello strumento. L‟ampiezza

dello strumento è relativa al numero di domande comprese nel questionario e da

essa dipendono l‟impegno e la fatica richiesti all‟intervistato, impegno e fatica che

dipendono anche dalla gravosità dei temi argomentati. Coerentemente alla sua

ampiezza, il tempo complessivo per rispondere al questionario non dovrebbe

superare i 30-40 minuti (infatti ai bambini è stato dato un tempo massimo proprio

di 40 minuti). In realtà tempi troppo lunghi, oltre a richiedere un carico d‟impegno

troppo elevato, possono demotivare la persona a rispondere, legittimando risposte

a caso, oppure il tornare sulle risposte qualora ritenesse opportuno correggerle;

d‟altra parte, tempi ridotti rischiano di stressare il soggetto senza che questi possa

liberamente esprimersi.

39

Le domande devono essere chiare nella terminologia, e semplici nella struttura.

Più in particolare: le domande devono usare un linguaggio semplice; la loro

sintassi deve essere semplice, senza doppia negazione; non devono esprimere

giudizi ed evitare domande tendenziose. Fondamentalmente, si possono

distinguere due tipi di domande: aperte o chiuse. Queste ultime sono più

frequenti nei sondaggi. Le domande aperte sono adatte quando il ricercatore pensa

che sarebbe meglio lasciare gli intervistati liberi di esprimere i loro pensieri con le

loro stesse parole.

Il questionario da me utilizzato riprende alcune domande già somministrate

dall‟NRD di Bologna diretto da Martha Isabel Fandiño Pinilla ed inoltre è

coerente con il livello scolastico dei bambini delle classi seconde e terze di scuola

media e si compone di dieci item a risposta aperta, con richiesta di motivazione.

Ogni item è costituito dalla domanda scritta e in qualche caso da una figura di

riferimento, sulla quale i bambini hanno potuto “operare” direttamente con la

matita. La scelta di proporre quindi differenti registri semiotici (Duval, 2007) è

stata opportunamente scelta in relazione al contesto proposto. Quasi tutte le figure

sulle quali i bambini sono stati invitati a riflettere non sono state scelte tra le

“classiche” figure geometriche che si studiano a scuola, ma figure “nuove”, non

propriamente standard, con le quali spesso non “lavorano” sul concetto di

frazione propria e impropria; figure costruite appositamente per stimolare il

ragionamento dei bambini. Tale impostazione degli item mi ha permesso di

registrare le risposte dei bambini e, grazie all‟esplicitazione della motivazione

della risposta, di individuare le procedure ed i ragionamenti che vi stanno dietro.

Nell‟analisi dei dati, ho tenuto conto anche dei risultati discussi in letteratura su

questo tema ed in particolare ho fatto riferimento al lavoro di tesi della dott.ssa

Grassagliata Maria7 per provare a fare un parallelo tra i risultati evidenziati sul

campione da lei analizzato (soggetti adulti che avevano già terminato il loro corso

di studi) e i comportamenti degli allievi di scuola secondaria inferiore da me

coinvolti nella sperimentazione.

7 Tesi di laurea in Scienze della Formazione, CDL Scienze Umane e Pedagogiche, 2010, “Indagine

sperimentale sulle concezioni spontanee del concetto di frazione negli adulti”

40

Come detto, contenuto matematico privilegiato è stato quello relativo alla frazione

come parte di un tutto, come quoziente, come rapporto, come operatore, come

numero razionale, come misura, come termine di uso quotidiano nel linguaggio

naturale.

L‟ipotesi di ricerca che ho provato a falsificare è stata quindi quella secondo la

quale la frazione in virtù della sua natura epistemologica complessa rimane un

ostacolo all‟apprendimento consapevole del concetto di numero per gli allievi di

scuola secondaria inferiore.

In questo senso, il registro semiotico di rappresentazione più ostico per il numero

frazionario è quello che lo esprime solamente in Linguaggio naturale.

4.4 Il campione di indagine

L‟indagine è stata rivolta a 63 alunni di Palermo. Il lavoro si è svolto nell‟anno

scolastico 2009/2010, nel mese di Novembre 2009. La sperimentazione si è svolta

grazie: alla disponibilità di cinque classi di scuola media inferiore, una seconda

della scuola Michelangelo Buonarroti e due seconde e due terze della scuola

Vittorio Emanuele III di Palermo a partecipare alla sperimentazione; alla

collaborazione attiva dell‟insegnante e alla compatibilità con le attività didattiche.

Le classi interessate alla sperimentazione non sono state “preparate” alla

somministrazione del questionario con dei momenti di ripasso teorico

sull‟argomento frazione, né da parte delle insegnanti, né da parte mia. Questo

accorgimento è stato volutamente preso soprattutto per evitare che gli alunni,

durante la formulazione delle risposte, si lasciassero condizionare da definizioni o

concetti teorici appresi e conservati nella memoria a breve termine.

4.5 Somministrazione del questionario

Prima della somministrazione del questionario, mi sono presentata ai bambini

come studentessa universitaria spiegando loro il perché della mia presenza in

classe. Successivamente ho chiesto loro se erano disponibili ad offrirmi una

collaborazione per la mia ricerca, spiegando che il fine della somministrazione

41

non era quello di dare una valutazione ai loro elaborati, che tra le altre cose

sarebbero rimasti anonimi, ma quello di raccogliere informazioni. Ottenuta la

disponibilità a collaborare ho distribuito a ciascun bambino una copia del

questionario, quindi ho chiesto di lavorare individualmente.

4.6 Analisi a priori dei comportamenti

L‟analisi a priori comprende l‟insieme di tutti quei comportamenti ipotizzabili

dagli allievi nei confronti della “situazione-problema”, ossia tutte le possibili

strategie risolutive corrette e non, che possono sottendere dei riferimenti

epistemologi della disciplina .

La costruzione e la revisione dell‟analisi a priori è avvenuta sia durante la

costruzione del questionario che dopo la somministrazione del questionario al

campione.

Nella seconda fase ho provveduto ad aggiungere alle strategie da me ipotizzate

quelle non previste ed utilizzate dai bambini in classe.

L‟analisi a priori è, come detto in precedenza, uno strumento indispensabile per

prevedere e analizzare le varie situazione-problema presentate dall‟insegnante in

aula, al fine di garantire l‟apprendimento.

È dunque di supporto importante per la didattica in quanto può aiutare a:

osservare (permette d‟identificare più rapidamente le strategie che sono

effettivamente utilizzate dagli allievi, comprese quelle che eventualmente non

sono state previste); classificare (permette di operare una classificazione delle

procedure) ed organizzare (permette di analizzare e confrontare tutti gli elaborati

e di conseguenza, scegliere le produzioni significative ed individuare gli allievi da

sollecitare.

L‟analisi a-priori, infatti, mettendo in luce lo spazio degli eventi, ossia l‟insieme

delle possibili risposte ipotizzate per il contesto di azione, permette in un fase

successiva di individuare il buon problema, ossia quello che può consentire una

migliore formulazione, e le variabili didattiche, che permettono di favorire un

cambiamento del comportamento degli alunni.

42

Nel presente capitolo, riporto l‟elenco delle strategie e/o risposte effettivamente

adoperate dagli alunni che hanno partecipato alla sperimentazione e che sono state

considerate nella tabulazione dei dati per ogni singolo item del questionario.

1) Che cosa è per te una frazione?

S11. È una divisione tra due numeri;

S12. È un‟operazione aritmetica

S13. È un rapporto fra due numeri

S14. È una parte dell‟intero

S15. È una operazione che permette di dividere l‟intero in parti uguali

S16. È un confronto fra numeri

S17. È un‟operazione che mi permette per esempio di dividere una torta in parti

uguali come dice il denominatore e prendere solo quelle indicate dal numeratore

S18. Una frazione è quando devo prendere una parte o più parti di qualche cosa

S19. È un calcolo che indica una parte di un numero, di un tempo, di una

lunghezza

S110. Indica una parte inferiore all‟unità

S111. È un calcolo che si può fare solo se il denominatore è più grande del

numeratore

S112. Non lo so

2) A scuola, quando hai incontrato ed utilizzato le frazioni?

S21. A scuola

S22. Alle scuole Elementari

S23. Alle scuole medie

S24. Non lo so

43

3) Hai trovato delle difficoltà nello studio delle frazioni? Quali?

S31. Si, nel rappresentarle

S32. Si, quando la frazione ha il numeratore più grande del denominatore

S33. Si, quando la frazione ha il denominatore più grande del numeratore

S34. Si, quando c‟è lo zero

S35. Si, nel passaggio dalla rappresentazione decimale alla frazione

S36. Nel calcolo aritmetico con le frazioni

S37. No

S38. Non risponde

S39. Si, ma non ricordo

4) Secondo te, gli aspetti della frazione che hai studiato ti hanno aiutato nel

risolvere problemi reali? Se sì, puoi fare un esempio?

S41. Si (non discute un esempio)

S42. Si (discute un esempio in un registro tipico matematico)

S43. Si (discute un esempio in un registro di presentazione quotidiano)

S44. No

S45. Non risponde

5) Andando a fare la spesa al supermercato normalmente chiedi:

“2

1Kg di zucchero” “0,5 Kg di zucchero”

“una bottiglia da 4

3 di Litro” “una bottiglia da 0,75 Litri”

“una bottiglia da 75”

S51. 2

1Kg di zucchero

S52. 0,5 Kg di zucchero

44

S53. una bottiglia da 4

3 di Litro

S54. una bottiglia da 0,75 Litri

S55. una bottiglia da 75

S56. Non risponde

6) Quando devi descrivere il tuo peso dici:

“ 46 Kg e 2 hg” “46,2 kg” “5

231di kg”

S61. 46 Kg e 2 hg

S62. 46,2 kg

S63. 5

231di kg

S64. Non risponde

7) Quando parli della tua altezza che tipo di rappresentazioni utilizzi?

Frazioni, decimali… Fai un esempio.

S71. Frazioni (non discute un esempio)

S72. Frazioni (discute un esempio)

S73. Numeri decimali (discute un esempio)

S74. Numeri decimali (non discute un esempio)

S75. Non risponde

S76. Altro

45

8) Prova a risolvere questo problema: Filippo prende dalla cassa 6

1 di quanto

disponibile e Massimiliano ne prende i 2

3di quanto ha preso Filippo. Calcola

quanto resta, in frazione e in soldi, al loro fratello minore Ludovico, sapendo

che la cifra disponibile era di 180 €.

S81. Procede per tentativi ed errori aritmetici

S82. Imposta un‟equazione (definendo come incognita la somma di denaro

disponibile)

S83. Calcola sia 6

1che

2

3 di 180

S84. Svolge correttamente i calcoli richiesti ne problema, rimanendo su un

registro di tipo aritmetico

S85. Evidenzia degli errori di calcolo nel problema, rimanendo su un registro di

tipo aritmetico (Es. somma o moltiplica le frazioni)

S86. Cambia il registro di presentazione del problema per svolger ei calcoli

(evidenzia un disegno che raffiguri la situazione problema)

S87. Nell‟evidenziare il risultato non esprime la frazione risultante.

S88. Esprime delle perplessità nel riconoscere le frazioni considerate

S89. Evidenzia difficoltà nella comprensione del testo del problema

S810. Non risolve il problema e non motiva la scelta

9) Prova a colorare la parte relativa a 4

1 nelle seguenti configurazioni:

S91. Segna nelle quattro figure 1 solo “rappresentante”

46

S92. Segna un solo “rappresentante” nella prima nella seconda e nella quarta

figura data. Non evidenzia lacuna soluzione nella terza figura

S93. Nella terza figura colora quattro cerchietti

S94. Nella terza figura colora solo un cerchietto

S95. Colora tutta la prima figura

S96. Colora una parte della figura maggiore di 4

1

S97. Nell‟evidenziare i risultati trovati motiva la risposta

S98. Nell‟evidenziare i risultati trovati non motiva la risposta

S99. Non risponde

S910. Colora 4

1correttamente

S911. Sbaglia la prima e/o la terza

10) Secondo te, i rettangoli riportati di seguito sono tutti divisi in 4 parti

rispettivamente uguali? Argomenta la tua risposta.

S101. Segna correttamente le figure divise in 4 parti rispettivamente uguali

S102. Segna come figure divise in 4 parti rispettivamente uguali solamente la I,

II, V e VI e non risponde sulle altre

S103. Segna come figure divise in 4 parti rispettivamente uguali solamente la I,

II, V e VI e non le altre

47

S104. Ne segna solo alcune

S105. Utilizza i termini “equivalenti”, “area”, “parte di area”, “compensazione”

“parte/tutto”, “scomposizione”

S106. Evidenzia ragionamenti aritmetici sul calcolo delle aree

S107. Nell‟evidenziare i risultati trovati non motiva la risposta

S108. Non risponde

48

49

5

RACCOLTA DATI E ANALISI QUANTITATIVA E

QUALITATIVA

Chi incontra e “supera” un ostacolo epistemologico ha una conoscenza

diversa rispetto a colui che non si è scontrato con esso.

Broussesu, 1986

5.1 Analisi quantitativa

Come detto, per l‟analisi dei dati sperimentali ho fatto riferimento alla statistica

descrittiva che, utilizzando la tabulazione dei dati con il programma Excel, mi ha

consentito di stabilire come gli alunni hanno adottato le diverse strategie per

rispondere al questionario e a quella non parametrica facendo riferimento al

programma Chic per costruire il grafo implicativo di Gras (Gras, Spagnolo et alii,

2008). Questa ulteriore indagine quantitativa mi ha permesso di mettere in luce

quali tra le risposte e/o strategie utilizzate per rispondere al questionario si

somigliano maggiormente ed erano tra loro implicate.

I dati emersi dalla somministrazione del questionario sono stati tabulati, sulla base

dell‟analisi a-priori, in una tabella a doppia entrata “alunni/strategie”8, una per

ogni domanda del questionario.

All‟interno della tabella sono stati indicati i seguenti elementi:

- la classe di appartenenza;

- un‟etichetta numerica rappresentativa dello studente coinvolto;

8 Riporto la tabella con la tabulazione dei dati relativi alla somministrazione del questionario in

Appendice 2.

50

- le possibili strategie risolutive (S1, S2, S3).

La presenza del numero 1 su una determinata strategia, indica la presenza della

strategia stessa, ossia quella di cui l‟alunno si è servito; il numero 0 indica

l‟assenza della strategia.

Le frequenze delle risposte ottenute per ogni domanda del questionario sono state

rappresentate attraverso dei grafici “a torta”, che hanno reso più evidenti le

caratteristiche distribuzionali delle modalità di risposta del campione preso in

esame e le eventuali modifiche di concezione.

Un primo risultato evidente, analizzato nella sperimentazione è stato quello

secondo il quale i bambini, durante la fase in cui ho proposto il questionario,

senza avere nessun aiuto e nessuna spiegazione a parte dell‟insegnate, ma

basandosi solamente sulle proprie conoscenze pregresse, e in alcuni casi, sulla

percezione visiva, hanno avuto qualche difficoltà nel riconoscere e “controllare” il

concetto di frazione su tutti i contesti. Questo risultato conferma quanto discusso

in parecchie ricerche di Didattica della Matematica sullo stesso contenuto

disciplinare. Il grafico di implicazione realizzato con il software Chic evidenzia

alcune significative implicazioni tra le strategie evidenziate nell‟analisi a priori.

Attraverso la lettura del grafico di implicazione che riporto di seguito, è possibile

notare delle implicazioni significative che permettono di estrapolare alcune

informazioni sui comportamenti degli allievi, comportamenti della classe che non

avrei potuto osservare solamente con l‟analisi descrittiva dei dati. L‟implicazione

di R.Gras9 infatti prova rispondere alla questione: “Date delle variabili binarie a e

b, in quale misura posso assicurare che in una popolazione, da ogni osservazione

di a segue necessariamente quella di b?”. O anche in maniera più lapidaria: “è

vero che se a allora b?”. In generale la risposta non è possibile e spesso ci si deve

accontentare di una implicazione “quasi” vera.

9Régis Gras, Le Fondements de l'analyse statistique implicative, Quaderni di Ricerca in Didattica,

n.9, Palermo. La rivista si trova on-line al seguente indirizzo: http://math.unipa.it/

grim/menuquad.htm.

51

Con l‟analisi implicativa di R. Gras si cerca di misurare il grado di validità di una

proposizione implicativa tra variabili binarie e non. Nel mio caso si sono

analizzate modellizzazioni di tipo binario.

Dal grafo si evincono chiaramente alcuni aspetti:

- l‟implicazione S87-S73 (rilevata al 99%), evidenzia come la rappresentazione

decimale di un numero venga intesa come espressione distinta da quella

frazionaria che nella risoluzione del problema non viene esplicitata;

- l‟implicazione S15-S87 (rilevata al 95%), sottolinea come il concettualizzare la

frazione come operazione aritmetica di divisione in parti uguali, implichi

fortemente il non riconoscere questa come possibile soluzione del problema;

- l‟implicazione S73-S104 (rilevata al 95%), evidenzia come una visione parziale

della frazione, intesa nel quesito 7, come solo “numero decimale” implichi, nel

quesito 10, un riconoscimento parziale di questa in un registro differente come

quello grafico.

- l‟implicazione S51-S62 (rilevata al 99%), dimostra come la concettualizzazione

della frazione cambi in relazione al contesto di presentazione e all‟espressione di

linguaggio naturale utilizzato. Gli allievi che utilizzano la frazione per esprimere

la quantità di zucchero, non la riutilizzano riferendosi al peso. L‟implicazione

inversa, ci porta poi a concludere che l‟espressione decimale del peso viene

privilegiata rispetto all‟espressione 0,5 kg per l‟indicazione sullo zucchero.

Quest‟ultimo risultato conferma quanto dichiarato nella tesi di laurea della

dott.ssa Grassagliata Maria in relazione al comportamento degli adulti sullo stesso

item10

.

10 Tesi di laurea in Scienze della Formazione, CDL Scienze Umane e Pedagogiche, 2010,

“Indagine sperimentale sulle concezioni spontanee del concetto di frazione negli adulti”.

52

S 6 2

S 5 1

S 3 7

S 5 4

S 1 0 4

S 7 3

S 8 1 0

S 9 1 1

S 2 3

S 4 4S 9 1 0

S 2 2

S 5 2

S 1 4

S 8 1

S 1 0 3 S 2 1

S 1 0 7

S 5 5

S 4 3

S 8 7

S 7 5

S 4 5 S 1 1 2

S 7 4S 1 8

S 1 1

S 3 6

S 4 1

S 4 2

S 1 5

S 3 9

S 1 2

S 1 9

S 7 6

S 2 4

S 3 8

S 8 5

S 6 4

Grafo implicativo : C:\Users\Benedetto\Desktop\dati bambini Caltagirone.csv 99 95 90 85

53

Parallelamente all‟analisi statistica implicativa, discussa prima, ho analizzato,

come detto, le occorrenze relative alle singole strategie.

Dai risultati ottenuti, che riporto graficamente per ogni singolo item, si evince che

alla prima domanda, ovvero che cosa è per te una frazione, la maggior parte degli

allievi ha risposto dichiarando un‟operazione che permette di dividere l‟intero in

parti uguali (S15) (20%) o semplicemente una parte dell‟intero (S14) (18%).

Questo risultato conferma quanto discusso in letteratura da Martha Isabel Fandiño

Pinilla in Insegnamento e apprendimento delle frazioni in aula.

Alcune strategie sono state utilizzate meno; non si ritrovano occorrenze relative

alla strategia “è un confronto fra numeri” (S16), “indica una parte inferiore

all‟unità” (S110), “è un calcolo che si può fare solo se il denominatore è più

grande del numeratore” (S111).

54

Alla seconda domanda a scuola, quando hai incontrato ed utilizzato le frazioni,

quasi tutti gli alunni (43%) hanno risposto dichiarando di averle studiate alle

scuole elementari (S22) o alle scuole medie (S23) (34%).

Alla terza hai trovato delle difficoltà nello studio delle frazioni il 63 % ha risposto

“no” (S37), il 16% “nel calcolo aritmetico con le frazioni” (S36). Nessuno ha

utilizzato le strategie: S32, S33 e S34.

55

Alla quarta domanda secondo te, gli aspetti della frazione che hai studiato ti

hanno aiutato nel risolvere problemi reali. Se sì, puoi fare un esempio, il 33% ha

risposto “si” e ha fatto un esempio in un registro di presentazione quotidiano

(S43). Il 30% ha risposto con la S44.

Alla quinta domanda andando a fare la spesa al supermercato normalmente

chiedi:

“2

1Kg di zucchero” “0,5 Kg di zucchero”

“una bottiglia da 4

3 di Litro” “una bottiglia da 0,75 Litri”

“una bottiglia da 75”

il 38% ha risposto “ Kg di zucchero” (S51), il 10% “0.5 Kg di zucchero” (S52),

il 10% “una bottiglia da 4

3 di Litro” (S53), il 31% “una bottiglia da 0.75

litri“(S54), il 9% “una bottiglia da 75” (S55) e il 2% non ha risposto (S56).

56

Alla sesta domanda quando devi descrivere il tuo peso dici:

“ 46 Kg e 2 hg” “46,2 kg” “5

231di kg”

l‟86% ha risposto “46.2 Kg” (S62), il 9% ha risposto “46Kg e 2 hg”, il 5% non ha

risposto (S64) e nessuno ha utilizzato la S63.

Alla settima domanda, quando parli della tua altezza che tipo di rappresentazioni

utilizzi? Frazioni, decimali… Fai un esempio, il 59% ha risposto “numeri

decimali discutendo un esempio” (S73), il 16 % ha risposto “numeri decimali ma

non ha discusso un esempio” (S74) e il 16% non ha risposto (S75), il resto degli

alunni hanno utilizzato in minima parte le altre strategie.

57

All‟ottava domanda che si chiedeva di risolvere il seguente problema Prova a

risolvere questo problema: Filippo prende dalla cassa 6

1 di quanto disponibile e

Massimiliano ne prende i 2

3di quanto ha preso Filippo. Calcola quanto resta, in

frazione e in soldi, al loro fratello minore Ludovico, sapendo che la cifra

disponibile era di 180 €.

il 45% degli alunni non ha risolto il problema e non ha nemmeno motivato la

risposta (S810), il 31% ha proceduto per tentativi ed errori aritmetici (S81); la

restante parte degli allievi hanno scelto altre strategie ma nessuno ha utilizzato le

strategie S82, S84, S86 e S88.

58

Alla nona domanda prova a colorare la parte relativa a 4

1 nelle seguenti

configurazioni:

La maggior parte degli alunni (62%) ha sbagliato la prima e/o la terza figura

(S911), il 24% ha colorato 4

1 correttamente (S910), il 6% nella terza figura ha

colorato quattro cerchietti (S93). Nessuno ha segnato la S92, la S94 e la S95.

59

Nell‟ultimo quesito Secondo te, i rettangoli riportati di seguito sono tutti divisi in

4 parti rispettivamente uguali?

Argomenta la tua risposta.

Il 38% “segna solo alcune figure” (S104), il 18% “segna come figure divise in 4

parti rispettivamente uguali solamente la I, II, V e VI e non le altre” (S103).

5.2 Analisi qualitativa

L‟analisi qualitativa fa specifico riferimento alle motivazioni delle risposte date

dagli allievi ai vari item e alle relative rappresentazioni, che, nella maggior parte

dei protocolli, integrano le risposte. Queste, considerate parallelamente ai dati

quantitativi raccolti, testimoniano, in alcuni casi, una discreta concettualizzazione

60

teorica della frazione, ma anche difficoltà di vario genere sulla sua

rappresentazione nelle fasi di conversione e trattamento ad essa connessa.

Difficoltà che erano state previste e volutamente provocate dalla scelta di costruire

le situazioni-problema in un determinato modo.

Relativamente all‟analisi qualitativa dei protocolli, riporto di seguito alcune

scansioni di questionari rilevanti.

In questo senso particolarmente significativo è il protocollo di A3H16 per il

decimo quesito. Lo studente, pur riconoscendo come equivalenti tutte le

configurazioni spaziali riportate nell‟item 10, dichiara che la quarta figura

(esattamente “identica” alla decima) non è divisa in quattro parti uguali. Il

comportamento di questo allievo rimane un problema aperto della tesi.

61

Altro protocollo interessante è quello relativo ad A2H1 che è stato l‟unico allievo

a risolvere il problema espresso in linguaggio naturale pur non riuscendo ad

esplicitare il risultato sotto forma di frazione.

Altri protocolli interessanti sono stati:

Protocollo A3M12

Protocollo A2H1

62

Protocollo A2H3

Protocollo A2H9

Protocollo A3M7

Protocollo A2H11

63

Protocollo A3M12

Protocollo A2M2

Protocollo A2H11

64

Protocollo A2H6

Protocollo AB2

65

Protocollo AB10

Protocollo A2H2

66

Protocollo A2H1

67

Protocollo A3M7

Protocollo A2H11

68

Protocollo A2M8 Fronte

69

Protocollo A2M8 Retro

70

Protocollo A3H4 Fronte

71

Protocollo A3H4 Retro

72

Protocollo A2M6 Fronte

73

Protocollo A2M6 Retro

74

Protocollo A2H9 Fronte

75

Protocollo A2H9

76

Protocollo AB11 Fronte

77

Protocollo AB11Retro

78

Protocollo A3H13 Fronte

79

Protocollo A3H13 Retro

80

81

CONCLUSIONI

A conclusione del percorso sperimentale, posso affermare che l‟ipotesi di ricerca

che ho provato a falsificare, e cioè la frazione in virtù della sua natura

epistemologica complessa rimane un ostacolo all‟apprendimento consapevole del

concetto di numero per gli allievi di scuola secondaria inferiore, è stata validata.

Dalle risposte degli allievi sono emerse preziose informazioni che hanno messo in

evidenza come sia necessario, a scuola, partire dalle convinzioni personali degli

allievi per poi strutturare significative attività successive.

Vista la validità e le tipologie di situazioni proposte dagli allievi, è possibile

dedurre quanto sia importante, per la costruzione del concetto di frazione,

sollecitare gli alunni a ricercare esempi di frazioni sulla base del loro vissuto e nel

linguaggio quotidiano. Si tratta di far emergere la consapevolezza che la frazione

è un concetto matematico presente in modo significativo nella vita reale: sapere

scolastico e quotidianità non possono disgiungersi.

Il campione di indagine, seppur esiguo per questo tipo di ricerche, non permette

delle generalizzazioni assolute ma mi consente di poter sottolineare come i dati

raccolti siano in linea con le ricerche condotte in Italia e all‟estero sul medesimo

argomento. Particolarmente significative sono, per questo lavoro di tesi le

implicazioni condotte con il software CHIC sulle prestazioni e risoluzioni dei vari

item. Dall‟analisi dei dati sperimentali emerge chiaramente infatti un forte link tra

alcuni item che, come discusso nel capitolo precedente, è da ricondurre, a mio

parere, alla natura stessa del linguaggio di presentazione dei vari problemi.

L‟indagine ha dimostrato come molte delle difficoltà degli alunni sono la diretta

conseguenza di un incerto apprendimento e quindi di un possibile lacunoso

percorso di maturazione, non attento al trattamento e alla conversione dei registri

semiotici.

Dai risultati ottenuti, significativo è stato l‟item otto che ha registrato il 76% di

alunni che non hanno saputo svolgere il problema; da ciò credo che sia più

opportuno in seguito soffermarsi sulla possibilità di utilizzare le frazioni e i

82

numeri decimali nel modo più naturale e spontaneo possibile, usando per molto

tempo il linguaggio quotidiano e sia necessario fare spesso esercitazioni per così

dire “contrarie”, partendo cioè da una frazione data per arrivare a determinare

l‟intero che l‟ha generata, scegliendo situazioni e figure diverse.

La comunicazione delle Matematiche deve quindi prevedere la comunicazione dei

“contenuti” inseriti opportunamente in un pratica didattica attenda alla natura

stessa dell‟oggetto da insegnare, partendo da contesti reali e sviluppandosi via via

su linguaggio sempre più formalizzati e definiti su registri semiotici differenti.

Questa esperienza è certamente stata significativa per me in quanto mi ha

permesso di riflettere in maniera più approfondita su un contenuto disciplinare

che, seppur apparentemente semplice, si è spesso “nascosto” ai miei occhi, per

anni. Che cosa è la frazione e perché è ritenuta importante per il curricolo

didattico scolastico? E‟ sempre difficile rispondere a questa domanda ma adesso,

forse, sono un po‟ più matura nel poter dire cosa non è e cosa non deve essere per

gli allievi e…per me.

83

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88

89

APPENDICE I

90

91

Questionario

1) Che cosa è per te una frazione?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

2) A scuola, quando hai incontrato ed utilizzato le frazioni?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3) Hai trovato delle difficoltà nello studio delle frazioni? Quali?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4) Secondo te, gli aspetti della frazione che hai studiato ti hanno aiutato nel

risolvere problemi reali? Se sì, puoi fare un esempio?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

5) Andando a fare la spesa al supermercato normalmente chiedi:

“2

1Kg di zucchero” “0,5 Kg di zucchero”

“una bottiglia da 4

3 di Litro” “una bottiglia da 0,75 Litri”

“una bottiglia da 75”

6) Quando devi descrivere il tuo peso dici:

“ 46 Kg e 2 hg” “46,2 kg” “5

231di kg”

7) Quando parli della tua altezza che tipo di rappresentazioni utilizzi? Frazioni,

decimali… Fai un esempio.

92

8) Prova a risolvere questo problema: Filippo prende dalla cassa 6

1 di quanto

disponibile e Massimiliano ne prende i 2

3di quanto ha preso Filippo. Calcola

quanto resta, in frazione e in soldi, al loro fratello minore Ludovico, sapendo che

la cifra disponibile era di 180 €.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

9) Prova a colorare la parte relativa a 4

1 nelle seguenti configurazioni:

10) Secondo te, i rettangoli riportati di seguito sono tutti divisi in 4 parti

rispettivamente uguali?

Argomenta la tua risposta.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

93

APPENDICE II

94

S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S110 S111 S112

AB1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

AB2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AB3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AB4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

AB5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

AB6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AB7 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AB8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

AB9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

AB10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

AB11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

A3H3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

A3H4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

A3H5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

A3H6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

A3H10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H11 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A3H13 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H15 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H16 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3H17 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A3H18 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A3H19 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A3H20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

A3M1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

A3M2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

A3M3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3M4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3M5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

A3M6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

A3M7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

A3M8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3M9 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A3M10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3M11 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A3M12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A3M13 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

A2H2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2H4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H7 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2H9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2H10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2H11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2M1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2M2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2M3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

A2M4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

A2M5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2M6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

A2M7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A2M8 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

TOT 7 10 3 12 13 0 2 7 4 0 0 8

95

96

S21 S22 S23 S24 S31 S32 S33 S34 S35 S36 S37 S38 S39

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

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0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

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0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

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1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

11 28 22 4 1 0 0 0 1 10 40 4 7

97

S41 S42 S43 S44 S45 S51 S52 S53 S54 S55 S56 S61 S62 S63 S64

0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

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