1

DEFINIZIONE. Per insieme matematico si intende un raggruppamento di elementi che possono essere definiti con assoluta certezza.DEFINIZIONE. Per insieme matematico si intende un raggruppamento di elementi che possono essere definiti con assoluta certezza.

1 Il concetto di insieme

A B C D …

Gli insiemi matematici vengono indicati con una lettera maiuscola dell’alfabeto:

a b c d …

Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi di quell’insieme e vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto:

2

1 Il concetto di insieme

a A

Per indicare che un oggetto appartiene ad un insieme si usa il simbolo e si scrive:

b A

Per indicare che un oggetto non appartiene ad un insieme si usa il simbolo e si scrive:

Si legge << l’elemento a appartiene all’insieme A >>.

Si legge << l’elemento b non appartiene all’insieme A >>.

ESEMPIO

L’insieme A degli utensili da lavoro.

3

DEFINIZIONE. Un insieme si dice finito quando è costituito da un numero limitato di elementi.DEFINIZIONE. Un insieme si dice finito quando è costituito da un numero limitato di elementi.

1 Il concetto di insieme

A

4

DEFINIZIONE. Un insieme si dice infinito quando è costituito da un numero illimitato di elementi.DEFINIZIONE. Un insieme si dice infinito quando è costituito da un numero illimitato di elementi.

1

ESEMPIO

Il concetto di insieme

L’insieme dei numeri naturali.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 …

5

DEFINIZIONE. Un insieme privo di elementi si dice vuoto.DEFINIZIONE. Un insieme privo di elementi si dice vuoto.

1 Il concetto di insieme

Un insieme vuoto si indica con i seguenti simboli:

{ }oppure

DEFINIZIONE. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi.DEFINIZIONE. Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi.

matite elica

a i e e i a

a i e e i a

L’insieme A delle vocali della parola <<matite>> e l’insieme B delle vocali della parola <<elica>>.

ESEMPIO

6

La rappresentazione di un insieme

2

Rappresentazione per elencazione: si scrivono gli elementi dell’insieme all’interno di una parentesi graffa, separati uno dall’altro da un punto e virgola.

A { nord ; sud ; ovest ; est }L’insieme A dei punti cardinali.

Rappresentazione per caratteristica: si scrive all’interno di una parentesi graffa la proprietà che caratterizza gli elementi dell’insieme.

A { x | x è una lettera della parola condizionatore

Si legge << l’insieme A è formato dagli elementi x tali che ogni x è una lettera della parola “condizionatore” >>.

Rappresentazione grafica: si traccia una linea chiusa e al suo interno si scrivono gli elementi dell’insieme.

L’insieme A delle lettere che formano la parola “telefono”.

}

• t• e

• l • f

• o• n

Diagramma di Eulero-Venn

7

DEFINIZIONE. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B.DEFINIZIONE. Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di un insieme A se ogni elemento di B appartiene ad A ma c’è almeno un elemento di A che non appartiene a B.

3 Il concetto di sottoinsieme

ESEMPIO

• t

• o• e

• l• g

• a

A = { t ; e ; g ; o ; l ; a }

B = { l ; e ; g ; a }

AB

DEFINIZIONE. Due particolari sottoinsiemi di A: l’insieme vuoto e lo stesso insieme A. Questi due sottoinsiemi vengono definiti impropri.DEFINIZIONE. Due particolari sottoinsiemi di A: l’insieme vuoto e lo stesso insieme A. Questi due sottoinsiemi vengono definiti impropri.

AAA

8

3 Il concetto di sottoinsieme

A B

<< l’insieme A include l’insieme B >>.

B A

<< l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A >>.

oppure

Per indicare che A include B come suo sottoinsieme si usa la scrittura

che si leggono

B A

<< l’insieme B non è incluso nell’insieme A >>.

Se B non è sottoinsieme di A si scrive

e si legge

9

DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B. In simboli si scriveDEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice intersezione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e B. In simboli si scrive

4 Intersezione di insiemi

ESEMPIO

• 5

• 12

• 8

BAC

A BC C { 10 ; 20 }

• 10

• 20

DEFINIZIONE. Se due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune la loro intersezione è l’insieme vuoto e si dice che A e B sono disgiunti.DEFINIZIONE. Se due insiemi A e B non hanno alcun elemento in comune la loro intersezione è l’insieme vuoto e si dice che A e B sono disgiunti.

A BC

10

4 Unione di insiemi

DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A o B, presi una sola volta, quando esistono elementi comuni. In simboli si scrive

DEFINIZIONE. Dati due insiemi A e B si dice unione di tali insiemi, l’insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A o B, presi una sola volta, quando esistono elementi comuni. In simboli si scrive

ESEMPIO

• 5

• 12

BAC

A BC C { 5 ; 12 ; 10 ; 20 ; 8 }

• 8• 10

• 20

A BC