06 – FRAZIONI ALGEBRICHE · 06 – FRAZIONI ALGEBRICHE PREREQUISITI - Operazioni con i polinomi...

06 – FRAZIONI ALGEBRICHE

PREREQUISITI

- Operazioni con i polinomi (Capitolo 4 e Capitolo 5). - Scomposizione in fattori di un polinomio (Capitolo 5).

OBIETTIVI DIDATTICI

- Saper calcolare M.C.D. ed M.C.M. di polinomi. - Saper operare con le frazioni algebriche.

PARAGRAFI

1 DIVISORI E MULTIPLI DI POLINOMI

2 FRAZIONI ALGEBRICHE

3 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Antonio Caputi – Roberto Manni – Sergio Spirito

1 DIVISORI E MULTIPLI DI POLINOMI

Siano dati i polinomi 3 2 4 24 4 e 5 4A x x x B x x= − − + = − + . Osserviamo che è possibile scriverne altri che li dividono entrambi, ad esempio 1x − , 2 4x − , 2 3 2x x− + , o che da essi sono divisi, quali

5 3 6 4 25 4 , 4 4x x x x x x− + − − + , 5 4 3 22 10 5 8 4x x x x x+ − − + + . Verificate quanto detto eseguendo le relative divisioni.

Possiamo allora domandarci:

1. Dati due o più polinomi, tutti non nulli, fra quelli che li dividono è possibile determinarne unoavente grado massimo?

2. Dati due o più polinomi, tutti non nulli, fra quelli che da questi sono divisi è possibiledeterminarne uno non nullo avente grado minimo?

Rispondere affermativamente al primo quesito vuol dire determinare un polinomio che chiamiamo polinomio massimo comune divisore o semplicemente massimo comune divisore (M.C.D.) dei polinomi dati, mentre rispondere affermativamente alla seconda domanda significa determinare un polinomio che diciamo polinomio minimo comune multiplo o semplicemente minimo comune multiplo (M.C.M.) dei polinomi dati. Sussistono, pertanto, le seguenti

DEFINIZIONI (massimo comune divisore, minimo comune multiplo fra polinomi)

Chiamiamo polinomio massimo comune divisore di due o più polinomi, tutti non nulli, un polinomio che, fra quelli che li dividono, ha grado massimo. Chiamiamo polinomio minimo comune multiplo di due o più polinomi, tutti non nulli, un polinomio che, fra quelli che da questi sono divisi, ha grado minimo.

Vediamo ora come procedere praticamente per determinare nel campo razionale un polinomio che sia massimo comune divisore ed uno che sia minimo comune multiplo di due o più polinomi assegnati. In entrambi i casi, scomposti in fattori i polinomi, conviene assumere

1. come massimo comune divisore un polinomio ottenuto moltiplicando i fattori comuni, aventi ilminimo esponente, presi una sola volta;

2. come minimo comune multiplo un polinomio ottenuto moltiplicando i fattori comuni e noncomuni, aventi il massimo esponente, presi una sola volta.

OSSERVAZIONE

È bene tener presente che massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra polinomi non sono determinati in modo unico, potendo ottenerne infiniti altri moltiplicando quelli trovati per un qualsiasi fattore razionale non nullo. Pertanto si suol dire che massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra polinomi sono determinati a meno di un fattore razionale non nullo.

Facciamo alcuni

Fraz

ioni

alg

ebric

he

2


ESEMPI Determiniamo massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di polinomi. 1. 2 2 3 2, 1, 2A x x B x C x x x= − = − = − + . Abbiamo

2 2( 1), ( 1)( 1), ( 2 1) ( 1)A x x B x x C x x x x x= − = + − = − + = − pertanto, utilizzando una simbologia analoga a quella vista per gli interi naturali, possiamo scrivere

2( , , ) 1e ( , , ) ( 1)( 1)mcd A B C x mcm A B C x x x= − = + − . Notiamo che, per quanto detto nella precedente osservazione, si può scrivere pure

2( , , ) ( 1)3

mcd A B C x= − e 2( , , ) 5 ( 1)( 1)mcm A B C x x x= + − , come potete facilmente verificare.

2. 2 4 23 2 ; 16 ; 2 2A x x B x C x x xy y= − + = − = − + − . Abbiamo

( 1)( 2)A x x= − − 2 2 2( 4)( 4) ( 4)( 2)( 2)B x x x x x= + − = + + −

( 2) ( 2) ( 2)( )C x x y x x x y= − + − = − + pertanto

2( , , ) 2 e ( , , ) ( 1)( 2)( 2)( )( 4)mcd A B C x mcm A B C x x x x y x= − = − − + + + . 3. 3 2 2 3 2 3 2 2 22 2 ; ;A x x y x xy x y B x x x y y C x xy x y= + − − + + = − + − = − − + . Abbiamo

2 2 2( ) 2 ( ) 1( ) ( )( 2 1) ( )( 1)A x x y x x y x y x y x x x y x= + − + + + = + − + = + − 2 2( ) 1( ) ( )( 1) ( )( 1)( 1)B x x y x y x y x x y x x= + − + = + − = + + − 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1)( )( )C x x y x x x y x x y x y= − − − = − − = − + −

pertanto

( , , ) ( 1)( )mcd A B C x x y= − + e 2( , , ) ( )( )( 1)( 1)mcm A B C x y x y x x= + − + − . 4. 2 2 2 2 21 ; ;A x B a b a C x y= − = − = − . Abbiamo

Fraz

ioni

alg

ebric

he

3


2( 1)( 1), ( 1), ( )( )A x x B a b C x y x y= + − = − = + − pertanto

( , , ) 1mcd A B C = e 2( , , ) ( 1)( )( )( 1)( 1)mcm A B C a b x y x y x x= − + − + − . OSSERVAZIONE Quest'ultimo esempio presenta il caso di polinomi per i quali il massimo comune divisore è evidentemente uguale ad 1. In tal caso diciamo che i polinomi dati sono primi fra loro. ESERCIZI GUIDATI Determinate un polinomio che sia massimo comune divisore ed uno che sia minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di polinomi. 1. 3 3 2 3 2, 2 , 3 3 1A x x B x x x Cx x x= − = − + − − − . Risulta

( )( )A x= …… …… ( )B x …= …−…

( )C …= …−… . Pertanto

( , , ) ( 1)mcd A B C x=… … ...( , , ) ( )( )mcm A B C x= …+… …−…

2. 4 4 4 2 2 4 3 2 2 3, 2 ,A x y B x x y y C x xy x y y= − = − + = + − − . Risulta

2 2( )( )( )A x y= + …+… …−… ( ) ( )B x x y… …= +… … ( )( )C = …… …… .

Pertanto

( , , )mcd A B C =…−… 2( , , ) ( )( ) ( )mcm A B C x y… …= +… …+… …−

APPLICHIAMO ... Determinare un polinomio che sia massimo comune divisore e uno che sia minimo comune multiplo fra i seguenti gruppi di polinomi.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

4


1. 3 2 3 2, 2 1 , 1x x x x x x x− + + + − − 2. 2 3 2 22 , 4 , 2a ab a ab a ab b+ − − + 3. 3 2 3 3 23 2 , 1 , 2x x x x x x− + − − 4. 4 3 2 4 3 2 3 2, , ( )x x x x x x x x x x− − + + − − − 5. 3 2 4 3 2 3 22 2 , 5 6 4 8 , 4 5 2x x x x x x x x x x− − + + + + − − + − 6. 3 2 2 4 3 3( 1) , , ( 1)x x x x x x+ + + − − 7. 2 2 2 3 2 2 2( ) , , 2x y x xy x xy y− − + − . La ricerca di un massimo comune divisore e di un minimo comune multiplo fra polinomi dipendenti da una sola variabile può condursi con l’algoritmo di Euclide, che abbiamo già incontrato nel capitolo dedicato allo studio dei numeri naturali. A tal proposito ricordiamo che, se a e b sono due numeri naturali non nulli, con a b> , detto r il resto della divisione :a b , risulta che

( , ) ( , )mcd a b mcd b r= . Vediamo di enunciare un teorema analogo a proposito dei polinomi. TEOREMA (sul M.C.D. fra polinomi) Siano ( )A x e ( )B x due polinomi non nulli. Supponiamo che il grado di ( )A x sia maggiore o uguale di quello di ( )B x . Indicato con ( )R x il resto della divisione fra ( )A x e ( )B x , si ha che

( , ) ( , )mcd A B mcd B R= . Per utilizzare tale teorema possiamo procedere in modo analogo a quello visto per i numeri naturali. Pertanto, se il resto ( )R x della divisione ( ) : ( )A x B x è nullo, allora ( )B x è divisore di ( )A x , quindi

( )B x è un polinomio massimo comune divisore. Se invece il resto ( )R x non è nullo, calcoliamo il resto 1( )R x di ( ) : ( )B x R x ; se 1( )R x è nullo, allora ( )R x è divisore di ( )B x , quindi ( , )mcd B R R= e, per il precedente teorema, anche

( , )mcd A B R= , se invece 1( )R x è diverso da zero, si calcola il resto 2 ( )R x di 1( ) : ( )R x R x , e così via, ripetendo il procedimento finché non si ottiene un resto ( )nR x che sia nullo; il divisore dell’ultima divisione, ossia quella che ha dato resto nullo, è un polinomio massimo comune divisore. ESEMPIO Dati i polinomi 4 3A x x= + e 3B x x= − ; determiniamo con l’algoritmo di Euclide ( , )mcd A B . Eseguendo la divisione ( ) : ( )A x B x , otteniamo come resto 2( )R x x x= + , diverso dal polinomio nullo. Determiniamo, allora, il resto 1( )R x di ( ) : ( )B x R x ; esso è il polinomio nullo. Pertanto ( )R x è divisore di ( )B x , quindi 2( , )mcd B R x x= + e, per il precedente teorema, anche

2( , ) ( 1)mcd A B x x x x= + = + . Verificate il risultato calcolando ( , )mcd A B con la regola pratica precedentemente enunciata. Una volta trovato ( , )mcd A B , possiamo ricavare anche ( , )mcm A B , in quanto è possibile dimostrare che

Fraz

ioni

alg

ebric

he

5


( , ) : ( , )mcm A B A B mcd A B= ⋅ .

ESEMPIO

Consideriamo nuovamente i polinomi 4 3( )A x x x= + e 3( )B x x x= − ; determiniamo ( , )mcm A B . Ricordato che 2( , )mcd A B x x= + , in base a quanto detto abbiamo

4 3 3 2 7 6 5 4 2

5 3 3

( , ) : ( , ) ( )( ) : ( ) ( ) : ( )( 1)( 1)

mcm A B A B mcd A B x x x x x x x x x x x xx x x x x

= ⋅ = + − + = + − − + =

= − = + − .

Anche in questo caso verificate il risultato individuando ( , )mcm A B con la regola pratica.

APPLICHIAMO ...

Facendo ricorso all'algoritmo di Euclide, determinate massimo comune divisore e minimo comune multiplo fra i seguenti polinomi.

1. 3 2 2x x x x+ −2. 3 2 1x x x+ − 3. 3 2 23 2 2 1x x x x x+ + + + 4. 3 28 2x x x− −5. 4 3 2 3 2 1x x x x x x x+ − − − − +

2 FRAZIONI ALGEBRICHE

2.1 ALCUNE DEFINIZIONI

Consideriamo due polinomi eA B , con B non nullo. Poiché la divisione :A B rappresenta un'espressione letterale, possiamo dare la seguente

DEFINIZIONE (frazione algebrica)

Siano A e B due polinomi, B non nullo. Chiamiamo frazione algebrica F di numeratore A e

denominatore B l’espressione : AF A BB

= = . I polinomi A e B si dicono anche termini della

frazione.

ESEMPI

Le seguenti espressioni letterali rappresentano altrettante frazioni algebriche

Fraz

ioni

alg

ebric

he

6


3

2

2 1 1 2 1, , ,3 1 1

a a x x xb b x x x

− − − ++ − +

.

OSSERVAZIONE Anche un polinomio A può essere rivisto come una particolare frazione algebrica avente come

denominatore 1B = , potendo scrivere :11A A A= = .

ESEMPIO

22 2 2 22 2 , 2

1 1x x x yx x x y− + −

− + = − = .

Tenendo conto di quanto detto a proposito delle espressioni letterali, salvo avviso contrario, intenderemo tutte le lettere presenti in una frazione algebrica F come variabili razionali. Inoltre, l’insieme dei valori numerici che possono essere sostituiti ad ogni variabile di F, ossia tutti e soli quelli che non annullano il suo denominatore, si dice dominio di F e si indica con la scrittura

( )dom F . I valori che annullano il denominatore di una frazione algebrica la fanno perdere di significato. ESEMPI Determiniamo il dominio delle seguenti frazioni algebriche

1. 12

xFx+

=−

Risulta 2 0x − = per 2x = , pertanto { }( ) : 2dom F x x= ∈ ≠Q

2. 2

2

11

xFx+

=−

Scomponendo in fattori il denominatore della frazione possiamo scrivere

2 1( 1)( 1)

xFx x

+=

+ −

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il denominatore ( 1)( 1)x x+ − è nullo se 1 0x + = o se 1 0x − = , il che si ha per 1x = − o per 1x = ; pertanto, in questo caso

{ }( ) : 1 e 1dom F x x x= ∈ ≠ − ≠Q .

3. 2

2 1x yFx y y+ −

=−

Fraz

ioni

alg

ebric

he

7


Scomponendo in fattori il denominatore della frazione possiamo scrivere

2 1( 1)( 1)

x yFy x x

+ −=

+ −

Risulta quindi ( 1)( 1) 0y x x+ − = per 0y = , oppure per 1x = − , oppure per 1x = ; pertanto, in questo caso si ha

{ }( ) ( , ) : 1 , 1 , 0dom F x y x x y= ∈ × ≠ − ≠ ≠Q Q .

4. 22 1

1x yFx y− +

=− −

Risulta

{ }( ) ( , ) : 1 0dom F x y x y= ∈ × − − ≠Q Q .

5. 2a bFa b−

=−

Risulta

{ } { }( ) ( , ) : 0 ( , ) :dom F a b a b a b a b= ∈ × − ≠ = ∈ × ≠Q Q Q Q . APPLICHIAMO ... Determinate il dominio delle seguenti frazioni algebriche.

1. 2

2 2, ,2

x y x yxy x x x

+ −−

2. 3 4

2 3 2

3 2 2, ,2 1 4 5 6

x a b x yx x a a x x

− + + −− + − + +

3. 2 3 2 2, ,10 16 3 3 1 ( 1)

x mn xx x m m m x y− + + + + −

È bene osservare che il valore che una frazione algebrica assume sostituendo alle lettere numeri razionali del suo dominio è un numero razionale. Questo fatto consente di estendere alle frazioni algebriche tutte le proprietà formali delle frazioni numeriche. Sussiste pertanto la seguente DEFINIZIONE (uguaglianza tra due frazioni algebriche)

Siano eA CB D

due frazioni algebriche, con B e D polinomi non nulli. Diciamo che AB

e CD

sono

uguali se sono uguali i polinomi A D⋅ e B C⋅ . L’uguaglianza tra le due frazioni è valida solo nell'intersezione dei due domini, in modo da escludere i valori delle variabili che annullano i denominatori B e D.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

8


In simboli A CB D= se e solo se A D B C⋅ = ⋅ .

OSSERVAZIONE In base alla precedente definizione, sono da considerarsi uguali frazioni algebriche del tipo

, ,A A AB B B

−−

−.

Ad esempio sono uguali le frazioni 1 ( 1) 1, ,1 1 ( 1)

x x xx x x+ − + +

−− − − −

.

Consideriamo alcuni ESEMPI Stabiliamo se le seguenti frazioni algebriche sono uguali.

1. 1x

e 2

xx

.

Supposto 0x ≠ , le due frazioni algebriche sono uguali in quanto risulta 21 x x x⋅ = ⋅ .

2. 11

xx−+

e 2

2

3 22

x xx x− +− −

.

Scomponendo in fattori il denominatore della seconda frazione, abbiamo:

11

xx−+

e 2 3 2

( 1)( 2)x xx x

− ++ −

Supposto, quindi, 1x ≠ − e 2x ≠ , le due frazioni algebriche sono uguali in quanto risulta

2 3 2( 1)( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 2x x x x x x x x− + − = − − = − − + e

2 3 2 2 3 2( 1)( 3 2) 3 2 3 2 2 2x x x x x x x x x x x+ − + = − + + − + = − − + .

3. 21

xx++

e 2

2 1x xx−−

.

Scomponendo in fattori il denominatore della seconda frazione, abbiamo:

21

xx++

e 2

( 1)( 1)x x

x x−

+ −

Fraz

ioni

alg

ebric

he

9


Supposto, quindi, 1x ≠ − e 1x ≠ , risultando

2 3 2( 2)( 1)( 1) ( 2)( 1) 2 2x x x x x x x x+ + − = + − = + − − e

2 3 2 2 3( 1)( )x x x x x x x x x+ − = − + − = − le due frazioni algebriche non sono uguali. ESERCIZIO GUIDATO

Stabilite se le frazioni algebriche 2 1x

xy y++

e 4

3 2

1xx y x y xy y

−+ − −

sono uguali.

Scomponendo in fattori i denominatori delle due frazioni, otteniamo

2 1( )x

y+

…+… e

4 1( ) ( )

xy x …

−+… …−…

.

Supposto , y x≠… ≠… e x ≠…, poichè 2( 1) ( ) ( )x y …+ ⋅ ⋅ …+… …−… =… e ( 1)( )y x + …−… =…, possiamo affermare che ...... . APPLICHIAMO ... Stabilire se le seguenti frazioni algebriche sono uguali.

1. 2

2

1 1,2 3 1

x xx x x− −+ + −

2. 2

2 3 2

2 4 4,1 2 2

x x xx x x x− − ++ − + −

3. 2 3 2

2

2 3 2 3,2 2

x x x x xx x x− − − −− −

4. 2 4 2

3 2,2 4 2 2 4x x x xx x x x− −− − −

5. 2

2 3 2

3 1 3,2 2

x x y xyx x x y x y

− −− −

2.2 RIDURRE FRAZIONI ALGEBRICHE ALLO STESSO DENOMINATORE Anche per le frazioni algebriche vale la proprietà invariantiva, già vista per le frazioni numeriche. Infatti, in base alla definizione di uguaglianza tra frazioni algebriche, si ha che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione algebrica per una stessa espressione diversa da zero, la frazione si trasforma in un’altra uguale.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

10


ESEMPI

1. Consideriamo la frazione algebrica 1xFx+

= , con 0x ≠ . Moltiplichiamo numeratore e

denominatore per 1x − supponendo 1 0x − ≠ , il che avviene per 1x ≠ . Essa si trasforma in 2

2

1xGx x

−=

−. Si verifica facilmente che F G= . Infatti

2 3 2 2 3( 1)( )x x x x x x x x x+ − = − + − = − e 2 3( 1)x x x x− = − .

2. Data la frazione algebrica 23x yF

x+

= , con 0x ≠ , moltiplichiamo numeratore e denominatore

per x y− supponendo 0x y− ≠ , il che avviene per x y≠ . Essa si trasforma in 2 2

2

23 3x xy yG

x xy− −

=−

.

Si verifica facilmente che F G= . Infatti

2 3 2 2(2 )(3 3 ) 6 3 3x y x xy x x y xy+ − = − − e 2 2 3 2 23 (2 ) 6 3 3x x xy y x x y xy− − = − − .

La proprietà invariantiva consente di fare delle considerazioni analoghe a quelle studiate per le frazioni numeriche. Sussiste la successiva

DEFINIZIONE (frazione algebrica riducibile, irriducibile)

Una frazione algebrica si dice riducibile oppure semplificabile se i suoi termini non sono primi fra loro, ossia ammettono massimo comune divisore diverso dal polinomio unità. In caso contrario essa si dice irriducibile oppure non semplificabile.

Se una frazione è riducibile, si può semplificare o ridurre ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per un loro massimo comune divisore. Una frazione irriducibile si dice anche ridotta ai minimi termini. Facciamo alcuni

ESEMPI

Semplifichiamo le seguenti frazioni algebriche.

1. 7 5 3

2 4 2

a b ca b cd

Osserviamo preliminarmente che la frazione non perde di significato per 0, 0, 0a b c≠ ≠ ≠ e 0d ≠ . Sotto tali ipotesi, dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore 2 4a b c otteniamo

Fraz

ioni

alg

ebric

he

11


2. 3

5 3

x xx x

−−

Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore

3

( 1)( 1)( 1)( 1)

x x xx x x

+ −+ −

.

Osserviamo che la frazione non perde di significato per 0x ≠ , per 1x ≠ − e per 1x ≠ ; inoltre essendo ( 1)( 1)x x x+ − un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore, applicando la proprietà invariantiva e semplificando ricaviamo

Osserviamo che la frazione 2

1x

ha significato per 0x ≠ , ma è uguale alla frazione data solo se si

suppone anche 1x ≠ − e 1x ≠ .

3. 2

2 2

xy x y yx y− + −

−


( 1) ( 1) ( 1)( )( )( ) ( )( )

x y y y y x yx y x y x y x y− + − − +

=+ − + −

.

La frazione non perde di significato per x y≠ − e per x y≠ ; inoltre essendo x y+ un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore, semplificando ricaviamo

4. 2

2

4 4 14 1

x xx− +−


2(2 1)(2 1)(2 1)

xx x

−+ −

.

La frazione non perde di significato per 2 1x ≠ − e per 2 1x ≠ , ossia per 12

x ≠ − e per 12

x ≠ ; inoltre

essendo 2 1x − un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore, semplificando ricaviamo

Fraz

ioni

alg

ebric

he

12


5. 2

2

5 64

x xx− +−


( 2)( 3)( 2)( 2)x xx x− −+ −

.

La frazione non perde di significato per 2x ≠ − e per 2x ≠ ; inoltre essendo 2x − un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore, semplificando ricaviamo

6. 3

3 2

1xx x x

−+ +


2

2

( 1)( 1)( 1)

x x xx x x− + +

+ + .

La frazione non perde di significato per 0x ≠ e per 2 1 0x x+ + ≠ ; inoltre essendo 2 1x x+ + un massimo comune divisore fra numeratore e denominatore, semplificando ricaviamo

Sfruttando la proprietà invariantiva possiamo ridurre allo stesso denominatore due o più frazioni. Distinguiamo due eventualità.

A. Se AB

e CD

individuano, sotto le opportune ipotesi, due frazioni algebriche e se i polinomi B e D si possono scomporre in fattori, volendo ridurle allo stesso denominatore, procederemo assumendo come denominatore comune un polinomio M che sia loro minimo comune multiplo e come numeratore della prima e della seconda frazione rispettivamente i prodotti 'A B⋅ e 'C D⋅ , dove

' : e ' :B M B D M D= = , ottenendo le frazioni algebriche

Fraz

ioni

alg

ebric

he

13


'A BM⋅ e 'C D

M⋅

che sono uguali a quelle date (verificatelo!). B. Invece, non riuscendo a fattorizzare i polinomi B e D, possiamo assumere come denominatore comune il prodotto B D⋅ e come numeratore della prima e della seconda frazione rispettivamente i prodotti A D⋅ e B C⋅ , ottenendo le frazioni algebriche A DB D⋅⋅

e B CB D⋅⋅

uguali alle date (verificatelo!). OSSERVAZIONE È bene notare che, prima di ridurre allo stesso denominatore due o più frazioni algebriche, potrebbe essere conveniente semplificarle, nel caso ciò sia possibile. Chiariamo quanto detto con alcuni ESEMPI Riduciamo allo stesso denominatore le seguenti frazioni

1. 2 2

1 ,5 6 4 4

x xx x x x

−− + − +

Scomponiamo in fattori i denominatori delle frazioni

2

1 ,( 2)( 3) ( 2)

x xx x x

−− − −

Supponendo 2x ≠ , 3x ≠ . Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ( 2)( 3)x x− − e 2( 2)x − , ossia 2( 2) ( 3)x x− − . Osservato che 2( 2) ( 3) : ( 2)( 3) 2x x x x x− − − − = − e che 2 2( 2) ( 3) : ( 2) 3x x x x− − − = − , moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per 2x − e per 3x − , ottenendo

2

( 1)( 2)( 2) ( 3)

x xx x− −− −

e 2

( 3)( 2) ( 3)

x xx x

−− −

.

2. 2 2 4 2 2

3,x x yx y x x y

−− −


Fraz

ioni

alg

ebric

he

14


2

3,( )( ) ( )( )

x x yx y x y x x y x y

−+ − + −

supponendo x y≠ − , x y≠ e 0x ≠ . Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ( )( )x y x y+ − e 2 ( )( )x x y x y+ − , ossia 2 ( )( )x x y x y+ − . Osservato che

[ ]2 2( )( ) : ( )( )x x y x y x y x y x + − + − = e che

2 2( )( ) : ( )( ) 1x x y x y x x y x y + − + − = , moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per 2x e per 1, ottenendo

3

2 ( )( )x

x x y x y+ − e 2

3( )( )

x yx x y x y

−+ −

.

3. 3 2 3 2

2 2,2 2 2

x y x yx x x x x x

− +− − − − +


2 2,( 1)( 2) ( 2)( 1)( 1)

x y x yx x x x x x

− ++ − − + −

supponendo 0x ≠ , 1x ≠ − , 2x ≠ , 1x ≠ . Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori ( 1)( 2)x x x+ − e ( 2)( 1)( 1)x x x− + − , ossia ( 1)( 1)( 2)x x x x+ − − . Osservato che [ ( 1)( 1)( 2)] :[ ( 1)( 2)] 1x x x x x x x x+ − − + − = − e che [ ( 1)( 1)( 2)] :[( 2)( 1)( 1)]x x x x x x x x+ − − − + − = , moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per 1x − e per x, ottenendo

( 2 )( 1)( 1)( 1)( 2)

x y xx x x x

− −+ − −

e ( 2 )( 1)( 1)( 2)

x y xx x x x

++ − −

.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

15


4. 2 2

2 2

1 4,2 1 2

x xx x x x

− −+ + −

Scomponiamo in fattori i numeratori e i denominatori delle frazioni

2

( 1)( 1) ( 2)( 2),( 1) ( 2)

x x x xx x x+ − + −+ −

supponendo 1x ≠ − , 0x ≠ , 2x ≠ . Semplificando le frazioni abbiamo

1 2,1

x xx x− ++

.

Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori 1x + ed x, ossia ( 1)x x + . Osservato che [ ( 1)] : ( 1)x x x x+ + = e che [ ( 1)] : 1x x x x+ = + , moltiplichiamo i numeratori delle frazioni rispettivamente per x e per 1x + , ottenendo

( 1)( 1)

x xx x

−+

e ( 2)( 1)( 1)

x xx x+ +

+.

ESERCIZIO GUIDATO Ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni.

2 3 2 2

1 2 1, ,2 1

x x xx x x x x x− +− + − +

Scomponiamo in fattori i denominatori

2 2

1 2 1, ,( 1) ( 1) ( 1)x x x

x x x x x− +− + +

supponendo x ≠…, x ≠…, x ≠… . Semplifichiamo le frazioni 1 1, ,

( 1)x…

… … + … .

Assumiamo come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori, ossia ( )… …+… . Osservato che dividendo il denominatore comune per i denominatori delle frazioni otteniamo nell'ordine

Fraz

ioni

alg

ebric

he

16


, ,x … … , le frazioni aventi lo stesso denominatore sono

, ,x +… … ……… …… ……

.

APPLICHIAMO ... Ridurre allo stesso denominatore le seguenti frazioni, dopo averne determinato il dominio.

1. 2 2

2 3 3 2

1 3,x x yx y x y z− −

2. 2 2

2 1,3 6 9

x xx x x x+ −− − +

3. 3 3 3 2 2 3

2 1,2 2x y x x y xy y− + + +

4. 2

2 3 2

1 2 1, ,3 3 1

x xx x x x x x

− +− − + −

5. 2 3 2

1 2 1 1 3, ,4 3 6 3 2

x xx x x x x

− −− − − +

3 OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE 3.1 L'ADDIZIONE ALGEBRICA Definiamo l'addizione algebrica tra frazioni procedendo in modo analogo a quello visto per i numeri razionali. Pertanto, se le frazioni hanno lo stesso denominatore poniamo A C A CB B B

++ = .

Se invece le frazioni presentano denominatori diversi, applicheremo la precedente definizione dopo averle ridotte allo stesso denominatore A C A D B C A D B CB D B D B D B D

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ = + =

⋅ ⋅ ⋅ .

Spesso si è soliti scrivere direttamente A C A D B CB D B D

⋅ + ⋅+ =

⋅ .

Fraz

ioni

alg

ebric

he

17


Ricordiamo che l’uguaglianza è valida solo nell'intersezione dei domini delle due frazioni addendi, in modo da escludere i valori delle variabili che annullano i denominatori B e D. Ovviamente, se i denominatori delle frazioni algebriche sono polinomi fattorizzabili nel campo razionale, conviene assumere come denominatore comune un polinomio che sia minimo comune multiplo fra i denominatori delle frazioni assegnate. È bene osservare inoltre che, se le frazioni addendi sono riducibili, conviene prima semplificarle e poi addizionarle. OSSERVAZIONI Si può verificare che 1. l’operazione di addizione così definita è associativa; 2. l’operazione di addizione è commutativa;

3. l’operazione di addizione è dotata di elemento neutro dato dalla frazione nulla 0B

con B

polinomio arbitrario non nullo;

4. ogni frazione algebrica AB

è dotata di opposto dato da AB

− .

Esaminiamo degli ESEMPI Eseguiamo le addizioni indicate.

1. 2 2 2 2

1 2 1 2y x xyx y xy xy x y

+ −+ − = , con 0x ≠ , 0y ≠ .

2. 2 2 2 2

2

1 2 2 ( 2) 2( 2) 4 4 2 4 74 2 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)

x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x− + − − + − − − − − − − + −

− − = = =− − + + − + − + −

,

con 2x ≠ , 2x ≠ − .

3. 2 2 2 2

2 2 3

2 2 1 4 2 (2 1)( 1) ( 2)( 2)2 2 4 ( 2) ( 1)( 2) ( 2)( 2)

x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x

− − − + − + −− − = − − =

− + − − − − + + −

22 2 1 1 2 ( 2) ( 2)(2 1) ( 2)( 2)

2 2 ( 2)( 2)x x x x x x x x x

x x x x x x+ + − − + − − +

= − − = =− + − +

3 2 2 2 3 2 2 22 4 (2 4 2) ( 4) 2 4 (2 3 2) 4

( 2)( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x+ − + − − − − + − − − − +

= = =− + − +

3 2 3 2 2 22 4 2 3 2 4 6 2 4

( 2)( 2) ( 2)( 2)x x x x x x x x

x x x x x x+ − + − − + − +

= =− + − +

,

con 0x ≠ , 2x ≠ , 1x ≠ , 2x ≠ − . ESERCIZIO GUIDATO Eseguite le addizioni indicate.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

18


2

1 1 1 ( ) ( )3 2 1 2 ( )( ) 1 2 ( )( )

1 2 1( )( ) ( )( )

x x x x x x x xx x x x x x x

x

+ + …+ − …−… + …−…− + = − + = =

− + − − …−… −… − − …−… …−……+ −…+…+…−… +

= =…−… …−… …−… …−…

Con 1x ≠ , 2x ≠ .

APPLICHIAMO ...

Eseguire le addizioni indicate, determinando di volta in volta il dominio delle frazioni algebriche.

1. 2

2 1 11 1 1

xx x x

+ −− + −

2. 3 2

2 3 2

1 21 2 1 3 3 1

x x xx x x x x x

−− −

− − + − + −

3. 2

2 2 3 3

1 2 2 2x x yx y x xy y x y

− +− −

− − + −

4. 3

2

2 2 31

x y x xyx x y x xy x y

−− −

− − − − +

5. 1 2 4 3 32 1 2

x x xx x x+ − −

− +− + −

.

3.2 MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE

Siano AB

e CD

due frazioni algebriche. Per definizione poniamo

A C A CB D B D

⋅⋅ =

⋅ .

OSSERVAZIONI

Si può verificare che:

1. l’operazione di moltiplicazione così definita è associativa;2. l’operazione di moltiplicazione è commutativa;

3. l’operazione di moltiplicazione è dotata di elemento neutro dato dalla frazione unitaria 111

= ;

4. ogni frazione algebrica AB

non nulla, ossia tale che A sia diverso dal polinomio nullo, è dotata di

reciproco dato da BA

;

5. l’addizione e la moltiplicazione sono legate dalla proprietà distributiva;6. vale la legge di annullamento del prodotto.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

19


Passiamo ora alla divisione tra frazioni algebriche.

Siano AB

e CD

due frazioni algebriche, con B, C e D polinomi non nulli.

Per definizione poniamo

:A C A DB D B C

= ⋅ .

Per rendere più agevole la moltiplicazione tra frazioni algebriche, tenendo conto di quanto già detto a proposito delle frazioni numeriche, conviene, se possibile, eseguire la nota “semplificazione in croce”. Esaminiamo alcuni

ESEMPI

Eseguiamo le moltiplicazioni e le divisioni proposte. 1.

2.

3.

4.

5.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

20


6.

ESERCIZIO GUIDATO

Eseguite le moltiplicazioni e divisioni proposte.

APPLICHIAMO ...

Eseguite le moltiplicazioni e divisioni proposte, indicando di volta in volta i valori delle variabili che non fanno perdere di significato le espressioni.

1. 2 2

2 2 2

2 5 6 1:4 3 9

x x x xx x x x− + +

⋅− − −

2. 2 2 2

2 2 2

2 1:2 3 2 1 2 2x x x x

x x x x x x− −

⋅− − + + +

Fraz

ioni

alg

ebric

he

21


3. 2 3 2 2 3

2 2 2 2

2 2 3 3 2: :2

x xy x x y xy y xx y x y x xy y− − + −+ − − +

4. 2 3

3 3

4 4 28 4 1

a a a a aa a a a− + + −

⋅ ⋅− − −

5. 2 2

2

3:3 2

ab a b b bb a ab a− +

⋅−

3.3 ELEVAMENTO A POTENZA

Sia n un numero naturale maggiore o uguale a 2; l’ennesima potenza della frazione algebrica AB

è

data dal prodotto della frazione per se stessa n volte, pertanto, in base alla definizione di moltiplicazione, se 2n ≥ abbiamo

n n

n

A AB B

=

.

Inoltre poniamo

1A AB B

=

e, se il numeratore è diverso dal polinomio nullo,

0

1AB

=

Si verifica facilmente che, sotto le opportune ipotesi, sono ancora valide tutte le proprietà dell’elevamento a potenza già studiate nel capitolo dedicato ai numeri razionali. OSSERVAZIONE È bene tenere presente che nello svolgimento degli esercizi sull’elevamento a potenza di una frazione algebrica, al fine di rendere più agevoli i calcoli, è conveniente per prima cosa fattorizzare, se possibile, i polinomi che si trovano al numeratore e al denominatore della frazione stessa, eventualmente semplificarla e quindi operare in base alla definizione data. Esaminiamo alcuni ESEMPI Eseguiamo i seguenti elevamenti a potenza.

1. 3 3

3

1 ( 1)1 ( 1)

x xx x+ + = − −

, con 1x ≠

Fraz

ioni

alg

ebric

he

22


2.

3.

4.

5.

6.

APPLICHIAMO ...

Eseguite i seguenti elevamenti a potenza, indicando di volta in volta i valori delle variabili che non fanno perdere di significato le espressioni.

1. 5

3 2

2xa x+

Fraz

ioni

alg

ebric

he

23


2. 32

2

42 1

xx x

− + +

3. 43 2 2 3

3 2

x xy x y yx x y

− + − −

4. 23 2 2

4 3 3 2

x x y x xyx x y x x y

+ − − + + +

5.02

3

2 14

x xx x

− + −

3.4 FRAZIONI A TERMINI FRAZIONARI

Una frazione a termini frazionari è individuata da una scrittura del tipo

ABCD

, dove B, C, D sono

polinomi non nulli. Sotto le precedenti ipotesi, ricordando la definizione di frazione algebrica, una frazione a termini

frazionari può riscriversi anche nel modo seguente :A CB D

.

Così facendo, una frazione a termini frazionari viene trasformata nella divisione tra due frazioni algebriche, cosa che può rivelarsi utile nello svolgimento di alcuni esercizi, come viene messo in evidenza dai successivi

ESEMPI

1.

2.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

24


3.

APPLICHIAMO ...

Semplificate le seguenti frazioni algebriche a termini frazionari.

1.

( )2

2

2

1412

xxxx

−−−−

2.

2

2 2

4 2

2

5 64

13 363 2 6

x xx y

x xx x xy y

− +−

− ++ − −

3.

2

3

2

2

214

1

x xxx

x x

+ −−−

+ +

3.5 ESPRESSIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Dedichiamo questo paragrafo allo svolgimento di alcune espressioni con le frazioni algebriche. Ricordiamo che anche in questo tipo di esercizi valgono le regole già viste per le espressioni numeriche.

1.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

25


2.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

26


3.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

27


4.

5.

Fraz

ioni

alg

ebric

he

28

06 – FRAZIONI ALGEBRICHE · 06 – FRAZIONI ALGEBRICHE PREREQUISITI - Operazioni con i polinomi...

Documents

Transcript of 06 – FRAZIONI ALGEBRICHE · 06 – FRAZIONI ALGEBRICHE PREREQUISITI - Operazioni con i polinomi...