Post on 01-May-2015
LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
A. Martini
ILSENO DI UN ANGOLO
DISEGNAMO UN ANGOLO
DISEGNAMO UN ANGOLO
b
c
b
c
E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b
b
c
E TRACCIAMO UNA PERPENDICOLARE AL LATO b
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
b
c
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
A
B
C
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO ABC
A
B
C
ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE CHE PASSA PER IL PUNTO C’
A
B
C
A
B
C C’
B’
ORA TRACCIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLARE CHE PASSA PER IL PUNTO C’
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
A
B
C C’
B’
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
A
B
C C’
B’
A
B
C C’
B’
SI VIENE A FORMARE IL TRIANGOLO AB’C’
POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:
A
B
C C’
B’
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
POICHÉ QUESTI DUE TRIANGOLI SONO SIMILI POSSIAMO SCRIVERE LA RELAZIONE:
SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLAREDAL PUNTO C”
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
SE ORA MANDIAMO UN’ALTRA PERPENDICOLAREDAL PUNTO C”
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
C”
B”
INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C”
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
C”
B”
INDIVIDUIAMO UN TERZO TRIANGOLO AB”C”
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
ac’=
C”
B”
ANCHE QUESTO TRIANGOLO È SIMILE AI PRECEDENTI
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”
PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”
PER CUI POTREMO SCRIVERE ANCORA:
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”c”=
a”
DUNQUE:QUESTI RAPPORTI SONO UGUALI AD UNA COSTANTE
CHE DIPENDE SOLO DALL’ANGOLO
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”c”=
a”
= COST
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”c”=
a”
= COST
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTACOSTANTE.
LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTACOSTANTE.
LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”c”=
a”
= COST
DECIDIAMO ALLORA DI DARE UN NOME A QUESTACOSTANTE.
LA CHIAMIAMO: SENO DELL’ANGOLO
A
B
C C’
B’
ac
c’
a’
ac
a’c’=
c”
C”
B”
a”c”=
a”
= sen
POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c)DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD ac
POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c)DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO
ac
POSSIAMO CALCOLARE IL SENO DI OGNI ANGOLO ,CALCOLANDO IL RAPPORTO TRA IL CATETO OPPOSTO ALL’ANGOLO (a) E L’IPOTENUSA (c)DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
CHE HA UN ANGOLO UGUALE AD E COSTRUIRE COSÌ UNA TABELLA DEI SENI DI OGNI ANGOLO
VEDIAMO ORA IL SENO DI ALCUNI ANGOLI PARTICOLARI
ac
PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0
ca
PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0
c
PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD è UGUALE A ZERO
c
PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD è UGUALE A ZERO
ca
PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD è UGUALE A ZERO
PER CUI: sen =
ca
0ca= c
0=
PARTIAMO DALL’ANGOLO = 0
IN QUESTO CASO
ANCHE IL CATETO OPPOSTO AD è UGUALE A ZERO
PER CUI: sen = 0
c
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/cE QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c sen = 0
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/cE QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c
sen = 0a
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/cE QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c
sen = 0
a
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/cE QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c
sen = 0
a
ALL’AUMENTARE DELL’ANGOLO ,
AUMENTA ANCHE IL RAPPORTO a/cE QUINDI ANCHE IL SENO DELL’ANGOLO
c
sen = 0
a
QUANDO L’ANGOLO È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c
c
sen = 0
a
QUANDO L’ANGOLO È DI 90 GRADI
a È UGUALE A c
c
sen = 0
a
QUANDO L’ANGOLO È DI 90 GRADI
a È UGUALE A cE QUINDI:
c
sen = 0
a
1ca= c
c=sen =
QUANDO L’ANGOLO È DI 90 GRADI
a È UGUALE A cE QUINDI:
c
sen = 0
a
sen = 1
POSSIAMO RAPPRESENTARE IL SENO DI UN ANGOLO COSTRUENDO UN GRAFICO
DI sen IN FUNZIONE DELL’ANGOLO a
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare
r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare
r=1
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di coincide con a:
r=1a
Disegnamo un cerchio di raggio r=1
Se disegnamo questa perpendicolare, il seno di coincide con a:
r=1a
1a
= asen =
Tracciamo allora il grafico
Tracciamo allora il grafico
Tracciamo allora il grafico
sen
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Procedendo in modo analogo si ottiene:
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Procedendo in modo analogo si ottiene:
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Procedendo in modo analogo si ottiene:
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Procedendo in modo analogo si ottiene:
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Procedendo in modo analogo si ottiene:
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Procedendo in modo analogo si ottiene:
Tracciamo allora il grafico
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Come si vede, il valore del seno di unangolo non può mai essere maggiore di 1né minore di -1
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Vediamo alcuni casi particolarmente interessanti
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen 0 0
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen 90 1
sen 0 0
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen 90 1
sen 0 0
sen 180 0
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen 90 1
sen 0 0
sen 180 0
sen 270 -1
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen 90 1
sen 0 0
sen 180 0
sen 270 -1
sen 360 0
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 -sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 -sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 -sen
sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 -sen
sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 -sen
sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen
sen (180 + sen
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
sen
sen (180 + sen
ILCOSENO DI UN ANGOLO
ANALOGAMENTE A QUANTO FATTO PER LA
FUNZIONE sen, DEFINIAMO UN’ALTRA FUNZIONE,
CHE CHIAMIAMO: COSENO DELL’ANGOLO
A
B
C C’
B’
b
c
c’
b’
c”
C”
B”
b”
bc
b’c’= b”
c”= = cos
Consideriamo nuovamente il cerchio di raggio r=1
È chiaro che questa volta è il segmento b, che coincide con il coseno dell’angolo
r=1
b
1b
= bcos =
Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche
r=1
b
bcos =
cos
90 180 270 360 0
+1
- 1
Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche
r=1
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni
cos
Prova a costruire il grafico della funzione cos , analogamente a quanto abbiamo fatto per sen e scopri le differenze e le analogie fra queste due funzioni trigonometriche
r=1
b
bcos =
sen
90 180 270 360 0
+1
- 1
Quando avrai finito, torna qui per verificare le tue conclusioni
VERIFICA
b=r=1
bcos =
cos
90 180 270 360 0
+1
- 1
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b=0
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
-b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
-b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
-b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b=-r= -1
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos 0 1cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos 0 1
cos 90 0cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos 0 1
cos 90 0
cos 180 -1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos 0 1
cos 90 0
cos 180 -1
cos 270 0
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos 0 1
cos 90 0
cos 180 -1
cos 360 +1
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos 0 1
cos 90 0
cos 180 -1
cos 360 +1
cos 270 0
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos (180 -- (cos
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos (180 -- (cos
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos (180 -- (cos
cos
b
bcos =
90 180 270 360 0
+1
- 1
cos (180 +- (cos
cos
RIEPILOGANDO
cos 0 1
cos 90 0
cos 180 -1
cos 270 0
sen 90 1
sen 0 0
sen 180 0
sen 270 -1
a
b
c
sen a/c cos b/c
cos (180 +- (cos
cos (180 -- (cos sen (180 + sen
sen (180 -sen
fine