1

1. Il rapporto incrementale

2. La derivata di una funzione

3. Il significato geometrico della derivata

2

Il rapporto incrementale

Consideriamo la funzione y = x2+1 e un punto del suo grafico A(3; 10) f(3)= 32+1 = 10Incrementando l’ascisse di 0,1 si ottiene il punto B di coordinate: xB=3+0,1=3,1 yB= f(xB) = 3,12+1=10,61Chiamiamo xB - xA= 0,1 l’incremento di x e yB - yA=10,61-10 = 0,61 l’incremento di y.Il rapporto tra questi due valori sarà chiamato rapporto incrementale

1,631,3

1061,10

AB

AB

xx

yy

3

Coefficiente angolare della retta passante per AB

Consideriamo la retta passante per AB e calcoliamo la sua equazione.La retta ottenuta ha coefficiente angolare uguale al rapporto incrementaleRicordiamo che …l’equazione esplicita della retta è y = mx + q m è chiamato coefficiente angolare della retta

3,81,6103,181,6

)3(1,610)(

xyxy

xyxxmyy

xx

yym

AA

AB

AB

4

Definizione di rapporto incrementale

Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali c e c + h interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c), il numero

Infatti se consideriamo A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h)) xB = c + h yB = f(xB)= f(c + h) Si ottiene

h

cfhcf

chc

cfhcf

xx

yy

AB

AB )()(

h

cfhcf )(

5

Esempio. Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione y = 2x2 - 3x relativo al suo punto A di ascissa 1.

Applichiamo la formula e troviamo

12

12211

211211

113121

1233242

3321213121

11

2

22

2

22

22

hh

hh

h

hh

h

fhf

h

cfhcf

hhhhfhf

f

hhhhh

hhhhhhfh

fhf

h

cfhcf

)()()(

)()(

)(

)()()()(

)()(

In generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h. Nell’esempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4… con h=0,1 allora il rapporto vale 1,2

6

Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -1 e con h = 0,25

3

44

3

1

4

13

1

25,0

13

2

11

12

1

1)1(2)1(

3

2

75

50

75,0

50,0

75,0

150,1

75,0

1)75,0(2)75,0(

75,025,01)(

12)(

f

f

hchch

cfhcfx

xxf

7

)1(3

41

3

475,025,01

3

2;75,0)1;1(

12)(

xy

mhchc

BA

x

xxf

8

Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione nel punto c = -3 e con h generico.

10

)10(292910)(

2981298)3(4)3()3(

29108412698)3(4)3()3(

33)(

84)(

2

2

222

2

hh

hh

h

hh

h

cfhcf

f

hhhhhhhhf

hhcgenericohch

cfhcf

xxxf

9

Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione in un punto generico c e un incremento generico h.

22)22(22

2222)(

2)(

222)(2)()(

)(

2)(

2

222

2

222

2

chh

chh

h

hhch

h

cchchchc

h

cfhcf

cccf

hchchchchchcf

genericihech

cfhcf

xxxf

10

Il rapporto incrementale

Il rapporto

incrementale si

indica in generale

con i simboli

yx

f (c h) f (c)

h

11

La derivata di una funzione

f '(c) limh 0

f (c h) f (c)h

12

La derivata di f in un punto c

rappresenta il coefficiente

angolare della retta tangente al

grafico di f nel suo punto di

ascissa c.

Significato geometrico della derivata

13

Significato geometrico della derivata

Quando h 0

la retta secante s

tende alla tangente t

18

Il calcolo della derivata in un punto particolare

6)6(

lim6

lim

8169lim

)19(13lim

)3(3lim)3(

31)()(

lim)(

0

2

0

2

0

2

0

0

'

2

0

'

h

hh

h

hh

h

hh

h

h

h

fhff

cexxfconh

cfhcfcf

hh

h

h

h

h

19

)3(68 tangente

6)3(')(

6)3('83)8;3(1)( 2

xyretta

fmxxmyyrettedifascio

fyxAxxf

AA

AA

20

Il calcolo della derivata in un punto generico

46)463(lim

)463(lim

463lim

4344363lim

)43()(43lim

)(lim)(

43)()(

lim)(

0

0

2

0

222

0

22

0

0

'

2

0

'

cchh

chh

h

hchh

h

cchchchc

h

cchchc

h

cfhcfcf

xxxfconh

cfhcfcf

h

hh

h

h

h

h

21

F’ (c) = 6c - 4 è la derivata della

funzione f(x) = 3x2 - 4x .

Al variare di c si ottengono i

coefficienti angolari delle rette

tangenti nel punto c.

1)-10(x7-yè)7(-1;in tangente

104)1(6)1('7)1(1

2)-8(x4-yè4)(2;in tangente

84)2(6)2('4812)2(2

46)('46)('43)( 2

rettaLa

ffyxSe

rettaLa

ffyxSe

xxfccfxxxf

22

03

4

3

20

3

4

3

4;

3

2in tangente

043

26

3

2'

3

4

3

8

3

4

3

24

9

43

3

24

3

23

3

2

3

2 xSe

2

yxyèrettaLa

f

fy

La retta tangente calcolato

in quest’ultimo esempio è

parallela all’asse delle x e

individua un punto

particolare della funzione:

un punto di minimo

23

Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico è orizzontale ed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare è uguale a 0. Quindi la derivata in quei punti è uguale a 0. m = f ‘ (x) = 0

minimo massimo punti di flesso

I PUNTI STAZIONARIData una funzione y = f(x) e un punto x = c, se f ’(c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario o punto a tangenza orizzontale.

24

Una funzione è derivabile in un intervallo [ a ; b ] :

- è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;

- le derivate sono valori finiti;

- la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.

Inoltre se una funzione è derivabile in un punto essa è anche

continua in quel punto

La derivata destra e la derivata sinistra

h

cfhcfcfistraderivatala

h

cfhcfcfdestraderivatala

h

cfhcfcfderivatala

h

h

h

)(lim)(sin

)(lim)(

)(lim)(

0

'

0

'

0

'

25

Esempio in cui la derivata destra non è uguale alla derivata sinistra

La funzione valore assoluto non è derivabile nel punto x=0

26

Le derivate fondamentali

5 35

35

31

5

2

5

25 2

3 23

23

21

3

13

1

22111

2

12

11

2

1

2

1

267341

5

2

5

2

5

2

5

2

3

1

3

1

3

1

3

1,0

1

11

1

02

1

2

1

2

1

2

1

1;2;7;4

04

3;030

xx

xxDxxD

xx

xxDxDNnxconxn

xD

xxxDx

xD

xconx

x

xxDxxD

DxxDxxDxxDxnxDx

DDDk

esempion n

n

esempinn

esempi

27

Le derivate fondamentali

22

22

22

22

2

2

2

2

22

2

22

1

1

1

11

1

1

1

11

11

1111

1333

xxD

xxarcsenD

xxD

xxarctgD

inversefle

xxsen

xD

xtgx

x

x

xsen

x

xxsen

xxtgD

senxxD

xsenxD

richetrigonometflex

ex

xDex

xDex

xD

eeeeDeDaaDa

fLe

eesempioaa

xxxxxesempi

xx

arccosen

arccotg

cotgcotg

helogaritmiceliesponenzia

.

)(

coscos

coscoscos

cos

cos

cos

.

logln;loglogloglog

)(lnln;lnln

.

28

Le regole di derivazione

La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione

55634' 962

3

2

3433 xxxDxxDxfkxfkD

esempio

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate delle singole funzioni

5121245324532

25

)(

354646

42525

''

xxDDxDxDxxxxD

xxDxDxxxD

xgxfxgxfD

29

Le regole di derivazione

xxxsenxDsenxxsenDxxsenxD

xx

xx

xxxDxxDxxxD

xgxfxgxfxgxfD

cos

2

3

22

11

)( ''

La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma della derivata della prima funzione per la seconda funzione non derivata con la prima funzione non derivata per la seconda derivata

30

Le regole di derivazioneLa derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione che ha:

• Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione al numeratore per la funzione al denominatore e la funzione al numeratore per la derivata della funzione al denominatore

• Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore

2

2

2

22

2

22

2

''

52

8102

52

82104

52

24522

52

4

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xD

xg

xgxfxgxf

xg

xfD

31

32

33

2

2

2

2

2

''

22

'

2223

'1

''

42525''

34'

52

1062.....

52

252522

52

4

2

2

52

11

231232232

2

3

22

11

)(

25)(

433

x

xx

x

xxx

x

xD

xg

xgxfxgxf

xf

xgD

xxD

xf

xf

xfD

xxxDxxD

xfxfnxfD

xx

xx

xxxDxxDxxxD

xgxfxgxfxgxfD

xxDxDxxxDxgxfxgxfD

xxDxfkxfkD

esempio

esempio

esempio

nn

esempio

esempio

esempio

34

2

2

2

2

2

''

22

'

2223

'1

''

42525''

34'

52

1062.....

52

252522

52

4

2

2

52

11

231232232

2

3

22

11

)(

25)(

433

x

xx

x

xxx

x

xD

xg

xgxfxgxf

xf

xgD

xxD

xf

xf

xfD

xxxDxxD

xfxfnxfD

xx

xx

xxxDxxDxxxD

xgxfxgxfxgxfD

xxDxDxxxDxgxfxgxfD

xxDxfkxfkD

esempio

esempio

esempio

nn

esempio

esempio

esempio

35