Introduzione alla derivate con geogebra
24
INTRODUZIONE ALLA DERIVATE CON GEOGEBRA
description
Introduzione alle derivate con Geogebra
Transcript of Introduzione alla derivate con geogebra
INTRODUZIONE ALLA DERIVATE CON
GEOGEBRA
OCCORRE RICORDARE:
l'equazione di una retta per due punti 𝑥0;𝑦0 𝑥1; 𝑦1 è 𝑦 =𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 ; dove il
coefficiente angolare è 𝑚 =𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0
data una curva nel piano di equazione y=f(x), una retta si dice secante se incontra la curva in almeno
due punti distinti, si dice tangente se la incontra in due punti coincidenti
Geogebra è un software gratuito; all'avvio possiamo scegliere di visualizzare la "Vista grafica" e la
"Vista Algebra"; in basso troviamo una barra dove è possibile inserire formule/funzioni ...
per dichiarare una funzione in Geogebra occorre scrivere il nome (ad esempio f(x) ) seguito da :=
l'espressione della funzione
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
Data la funzione e due punti del dominio
, vogliamo
a) rappresentare la funzione;
b) individuare i punti del grafico della
funzione di ascissa assegnata
c) rappresentare graficamente la retta
secante che passa per tali punti, ricavarne
l'equazione e il coefficiente angolare
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
a) Rappresentare la
funzione
a) digitiamo nella riga di inserimento la nostra funzione f(x):=(1-2x)^(1/2).
Premendo <invio> avremo la nostra funzione disegnata (possiamo aggiustare la visuale
aprendo l'icona indicata )
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
b) Individuare i punti di
ascissa assegnata
Il punto del grafico della funzione di ascissa
𝑥0 = −1, lo otteniamo digitando le coordinate
del punto tra parentesi tonde separate da
virgola: (-1,f(-1)).
Analogo per l’altra ascissa
c) Rappresentiamo la
retta e ricaviamo
l’equazione
per rappresentare la retta apriamo il menù
rappresentato dall'icona indicata e scegliamo
"retta per due punti". Indichiamo, cliccando in
mouse, i punti individuati in precedenza.
Nella "vista Algebra" troviamo l'equazione della
retta
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
c) Rappresentiamo la
retta e ricaviamo
l’equazione
confrontiamola con quella ottenuta "carta e penna" utilizzando la formula
vista all'inizio: 𝑦 =𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑦0 sostituendo i punti A(-1, 3)
B(0,1)
Infine per ricavare il coefficiente angolare possiamo digitare nella riga di
inserimento la formula 𝑚 =𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0. Attenzione per indicare che vogliamo
l'ordinata del punto A occorre scrivere y[A] e per l'ascissa x[A], pertanto la
formula da digitare risulta m:=(y[A]-y[B])/(x[A]-x[B])
Premendo invio avremo il risultato nella nostra vista Algebra
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 1
𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 e due punti del dominio 𝑥0 = −1 𝑒 𝑥1 = 0
Il nostro primo esercizio è finito, possiamo rendere il tutto più facilmente
leggibile: vorremmo un testo che riassuma quello che appare nel disegno
ovvero funzione f(x)= ; retta per i punti A B ; coefficiente angolare
Per fare questo:
1) clicchiamo sull'icona inserisci testo
(evidenziata in giallo)
2) nella finestra che si apre digitiamo
Funzione f(x)= poi nel menù a discesa oggetti
scegliamo la lettera che indica la funzione che
vogliamo inserire nel testo.
Digitiamo ora Retta per i punti A e scegliamo l'oggetto A, e B e scegliamo l'oggetto B. Poi
scegliamo l'oggetto corrispondente alla retta. Infine digitiamo coefficiente angolare e
scegliamo l'oggetto corrispondente. Confermiamo con OK
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2
Data la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 e il punto del dominio 𝑥0 = 1 vogliamo
a) rappresentare la funzione e individuare sul grafico il punto di ascissa
assegnata
b) considerare il punto sulla funzione di ascissa 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ con h=1 e
rappresentare la retta per i due punti e calcolare il coefficiente angolare
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 2
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4 e il punto del dominio 𝑥0 = 1
In un nuovo foglio digitiamo la funzione f(x):=x^2-4
individuiamo il primo punto (1, f(1)) , per il secondo punto prima assegniamo ad h il valore proposto h:=1
individuiamo il punto scrivendo (1+h,f(1+h)) e tracciamo la retta.
infine calcoliamo il coefficiente angolare m:=(y[B]-y[A])/(x[B]-x[A])
riassumiamo il tutto usando il comando testo
RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO
Abbiamo una funzione f(x)
Abbiamo un punto x0
Abbiamo un valore di h
Ricaviamo un secondo punto x1=x0+h
Individuiamo la retta secante che avrà coefficiente angolare
h
xfhxfm
)()( 00
RIASSUMIAMO QUANTO VISTO FINO AD ADESSO
h
xfhxf
x
f )()( 00
rapporto
incrementale
Osserviamo che il rapporto incrementale dipende da due variabili:
• x0
• h
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3
Consideriamo la funzione 𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3:
fissiamo un punto 𝑥0 a piacere (ad esempio =1)
vogliamo rappresentare le rette secanti e i coefficienti angolari
(ovvero i rapporti incrementali) che otteniamo considerando
𝑥1 = 𝑥0 + ℎ per ℎ = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Iniziamo a risolvere il problema “carta e penna” poi
vedremo come Geogebra può aiutarci
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
h
xfhxf
x
f )()( 00
3
0
)(
0 )(2)( 0 hxhxfhx 3
0
)(
0 )(2)( 0 xxfx
Calcoliamo il rapporto incrementale
00
3
0
)(3
0
)()(2)(2 00
xhx
xhx
x
fxhx
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – CARTA E PENNA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Il rapporto incrementale
00
3
0
)(3
0
)()(2)(2 00
xhx
xhx
x
fxhx
Ora dovremmo armarci di pazienza e :
1. Assegnare un valore ad x0, ad esempio 1
2. Assegnare un valore ad h, ad esempio 1
3. Calcolare il rapporto incrementale
4. Ripetere il calcolo per un altro valore di h, ad esempio 0.9
… e così via
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Vediamo come possiamo fare utilizzando Geogebra
Dall'icona indicata scegliamo "Inserisci campo di inserimento" e clicchiamo
con il mouse in una zona della vista grafica. Si aprirà una finestra: nel campo
"Legenda" scriviamo "h" (ovvero il testo che vogliamo visualizzare), in
"Oggetto collegato" scegliamo l'oggetto h. Ora clicchiamo su applica.
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
Creiamo un campo inserimento testoDall'icona indicata scegliamo "Inserisci
campo di inserimento" e clicchiamo con il
mouse in una zona della vista grafica.
Si aprirà una finestra: nel campo
"Legenda" scriviamo "h" (ovvero il
testo che vogliamo visualizzare), in
"Oggetto collegato" scegliamo
l'oggetto h. Ora clicchiamo su
applica.
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
possiamo utilizzare uno
strumento di Geogebra:
"slider". Clicchiamo
sull'icona, e poi sulla vista Gr
afica.
Si apre una finestra; in nome
diamo il nome "h", in intervallo
indichiamo il minimo e il massimo
valore che vogliamo assegnare ad
h e il suo incremento. Nel nostro
caso min=0 max=1
incremento=0.1.
Cliccando su applica
ESEMPIO – ESERCIZIO N. 3 – GEOGEBRA𝑓 𝑥 = 2−𝑥𝑥3; 𝑥0 a piacere ; h assume valori = 1,0.9,0.8, … ,0.1
ESEMPIO- ESERCIZIO N.3 - OSSERVAZIONE
Azionando sullo slider possiamo vedere cosa
accade alla retta e al rapporto incrementale
Modificando il valore di x_0 possiamo
cambiare il punto
1) Perché per h=0 la retta sparisce?
2) Più h è piccolo, più la retta secante si avvicina alla retta
tangente (questa osservazione vale sia per
h>0 che per h<0)
PRIME COCLUSIONIPerché per h=0
la retta
sparisce?
Potremmo pensare che la retta, da
secante, tende ad essere tangente.
Perché la nostra retta deve passare per due punti, quando
h=0 i due punti coincidono e per un punto passano infinite
lettere.
Inoltre se riguardiamo il calcolo del rapporto incrementale, al
denominatore troviamo h e quindi non può essere uguale a
0
1) Per h “che tende a zero” cosa accade alla retta
Per verificare la correttezza della nostra congettura
possiamo procedere a calcolare cosa accade al
rapporto incrementale quando h “tende” a zero
IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE
A ZERO
Se volessimo procedere “carta e penna”
h
xfhxf
h
)()(lim 00
0
00
3
0
)(3
0
)(
0
)(2)(2lim
00
xhx
xhxxhx
h
Chiediamo ancora aiuto a GEOGEBRA
IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE
A ZERO
00
3
0
)(3
0
)(
0
)(2)(2lim
00
xhx
xhxxhx
h
Assegniamo il rapporto incrementale ad una nuova funzione che chiamimof’(x)
f’(h):=(f(x_0+h)-f(x_0))/h
Digitiamo Limite[f',0]
Nella finestra algebra vedremo il valore del limite calcolato da Geogebra
IL RAPPORTO INCREMENTALE QUANDO H TENDE
A ZERO
00
3
0
)(3
0
)(
0
)(2)(2lim
00
xhx
xhxxhx
h
Se la nostra congettura è corretta, se scriviamo l’equazione di
una retta che passa per (x_0,f(x_0)) e ha come coefficiente
angolare il valore calcolato nel limite, dovremmo ottenere una
retta tangente
.
)()( 00 xfxxmy
