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Il calcolo vettoriale

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I vettori: definizionen Attenzione a definizioni superficiali

n Del tipo: “Definito da modulo, direzione, verso”n Sono valide “a senso”, e solo in coordinate

cartesiane!n Dimenticatela se l’avete sentita a scuola!

n In realtà si definisce il vettore come un

Ente astratto che si trasforma come le coordinate di un punto

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I vettori: definizionen In una relazione vettoriale tutti i termini si

trasformano in modo identico. Quindi

le relazioni vettoriali sono invarianti per trasformazioni di

coordinaten Quindi una relazione valida in un sistema di

coordinate, vale, nella stessa forma, in ognisistema di coordinate!

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I vettori: definizionen Si definisce come scalare un numero, però

un numero che sia indipendente dal sistema di

coordinaten Quindi una componente di un vettore NON è uno

scalare…n questa dipende dal sistema di coordinate

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Vettori e componentin Quindi un vettore è definito

come un punton Coppia o terna ordinata di numeri reali

n I numeri che lo definiscono si dicono le

componenti del vettoren Attenzione: Nei sistemi polari o cilindrici le

componenti dei vettori possono essere sia misure sia di distanze, sia di angoli

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Vettori e componenti

n Ci riferiremo nel Corso sempre ad un sistema cartesiano ortogonale

n Salvo un paio di casi

n Nello spazio 3D un vettore è definito da tre componenti

n Ecco alcune notazioni usate di solito( ) ( ), ,

x

x y z x y z y

z

vv v v v v v v

v

= = =

v

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Vettori e componenti

n Nello spazio 2D un vettore è definito da due componenti

n Ecco alcune notazioni usate di solito

( ) ( ), xx y x y

y

vv v v v

v

= = =

v

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Vettori e componenti n Le componenti di un vettore sono

interpretabili, ad esempio, comen Le coordinate di un punton Le proiezioni di un segmento orientato

n Da questo l’interpretazione geometrica o grafica (molto comoda, peraltro) della “freccetta”

n Però fate attenzione: un vettore è l’insieme di TUTTE le freccette parallele nello spazio!

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Uno schizzo

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Prodotto vettore per scalare

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Vettorimoltiplicazione per uno scalare

n Un vettore è definito tramite le sue componenti

n Si dà significato al vettore nullo

n Attenzione: i vettori vanno indicati in mododiverso dagli scalari!

n Freccette, grassetto, corsivo...

( )x y zv v v=v

( )0 0 0=O

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Vettorimoltiplicazione per uno scalare

n Si definisce la moltiplicazione di un vettore per uno scalare nel modo seguente

n Si dà quindi significato all’opposto di un vettore

( ) ( )x y z x y zw w w v v v

λ

λ λ λ

=

=

w v

( ) ( )x y z x y zw w w v v v

= −

= − − −

w v

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Vettorimoltiplicazione per uno scalare

n Se un vettore si ottiene da un altro moltiplicandolo per uno scalare, i due vettori si dicono

parallelin Il significato grafico spiega la ragione di

questo nome:

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Ecco la situazione

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Somma di vettori

Detta anche “composizione”

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Vettorila somma

n Si definisce la somma di due vettori come

n Le proprietà della somma dei vettori sono facili da dimostrare

n Commutativan Associativan Distributiva (rispetto alla moltiplicazione per uno scalare)

( ) ( )( )

x y z x y z

x x y y z z

v v v w w w

v w v w v w+

= =

= + + +

v w

v w

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Vettorila somma

n Interpretazione geometrica:n Vettore come segmento orientaton Somma come costruzione testa-coda

n Caso particolare: regola del parallelogramman Attenzione: questa è comoda solo nel caso di DUE vettori

n Attenzione al nome somma: nome usato per economia (e viste le operazioni sulle componenti)n Il nome è alquanto improprion Spesso (e meglio) si usa “composizione”

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Ecco la situazione

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La combinazione lineare

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Vettorila combinazione lineare

n È la combinazione di moltiplicazione per uno scalare e di somma

n Molto utile!

( ) ( )

( )

x y z x y z

x x y y z z

v v v w w w

v w v w v w

α β

α β α β α β

= =

+ =

+ + +

v w

v w

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Vettorila combinazione lineare

n Un caso particolare notevole: la differenza

n Una combinazione lineare di due vettori fornisce sempre un vettore complanareal piano individuato dai primi due

1 1α β= = −

( )x x y y z zv w v w v w− = − − −v w

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Ecco la situazione

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Somma e differenza di vettori

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Il prodotto scalare

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Vettoriil prodotto scalare

n Attenzione: il nome di “prodotto” può trarre in inganno

n Si tratta di sempre operazioni nuove, su enti nuovi, le cui proprietà vengono definite caso per caso

n Ci sono solo analogie superficiali col prodotto fra numeri reali!

n Definizionex x y y z zv w v w v w= + +v wg

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Vettoriil prodotto scalare

n Il risultato è uno scalaren Numero indipendente dal sistema di

riferimento!n La dimostrazione è un po’ lunga e non la

facciamo

n Comunque il prodotto scalare fornisce un

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Vettoriil prodotto scalare

numero indipendente dal sistema di

riferimenton È detto prodotto scalare o interno

n Inner product, dot product

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Vettoriil prodotto scalare

n Si dà significato al prodotto scalare di un vettore per sé stesso

n Questo è detto il quadrato del vettore

2 2 2 2x y zv v v v= = + +v vg

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Vettoriil prodotto scalare

n Si definisce come modulo del vettore il numero

n Attenzione: non confondete un vettorecol suo modulo!

n Questa è una ragione per cui i vettori vengono segnalati in modo tipograficamente diversodacli scalari o dai numeri in generale

2 2 2x y zv v v v= = + +v vg

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Vettoriil prodotto scalare

n Un vettore con modulo unitario viene detto versore

n unit vector

n Viene indicato con un simbolo che lo distinguen Di solito

n Prendiamo ora un vettore generico...

V̂

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Vettoriil prodotto scalare

n Dato un vettore potremo n Calcolare il suo modulo

n Definire il vettore

n Per definizione questo ha modulo unitario

( )x y zv v v=v

2 2 2x y zv v v v= = + +v

ˆ yx zvv v

v v v v

= =

vv

ˆ 1≡v

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Vettoriil prodotto scalare

n Chiameremo questo vettore un versore, e precisamente il versore del vettore

n Unit vector in inglese

n Quindi il vettore potrà essere scritto sempre come

vr

ˆ ˆv v= =v v v

v

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Vettoriil prodotto scalare

n Sono importanti i versori degli assi coordinati

n Ogni vettore può sempre essere scritto come

( )( )( )

ˆˆ 1 0 0ˆˆ 0 1 0ˆˆ 0 0 1

≡ = ≡ = ≡ =

x i

y j

z k

ˆ ˆ ˆx y zV V V= + +V x y z

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Ecco i versori coordinati

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Vettoriil prodotto scalare

n Vediamo ora il significato geometrico del prodotto scalaren Mettiamoci in 2Dn Scegliamo un sistema di riferimento

specialen Dato che si tratta di vettori…( )

( )ˆ ˆ0 0

ˆ ˆx y x y

V V

W W W W

= = +

= = +

V x y

W x y

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V

W

θ

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Vettoriil prodotto scalare

n Calcoliamo il prodotto scalare

n E quindi

x x y y xV W V W V W= + =V Wg

2 2

2 2 2 2

cos

x y xx

x y x y

VW

W W WV W V W

W W W W

V W θ

+= =

+ +

=

V Wg

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Vettoriil prodotto scalare

n Attenzione: è il prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo compreso...

n Se usiamo l’interpretazione tramite “freccette”n Utile, però da prendere con le molle…

…non il modulo del primo per la componente del secondo nella direzione del primo

n E perché non viceversa?

n Questione NON banalen La ritroveremo!

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Vettoriil prodotto scalare

n Proprietà del prodotto scalaren Commutativan Distributiva rispetto alla somma di vettorin NON associativa!

n Attenzione: il prodotto scalare viene definito solo fra DUE operandi!n Ecco una differenza dal prodotto numerico!

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Vettoriil prodotto scalare

n Ogni vettore si può sempre scrivere come

n Notate che

n Etc...

ˆ ˆ ˆx y zV V V= + +V x y z

ˆxV=V xg

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Vettoriil prodotto scalare

n Dato il significato geometricoapplichiamolo ad un versore generico e ad un

versore fondamentale

LE COMPONENTI DI UN VERSORE SONO I COSENI DEGLI ANGOLI

FRA IL VERSORE E L’ASSE CORRISPONDENTE

cosVW θ=V Wg

ˆ ˆˆ ˆ cos cos xθ θ= =V x V xg

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Ecco gli angoli in questione

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Vettoriil prodotto scalare

n Si chiamano

COSENI DIRETTORI