Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine1 Un po di calcoli..

Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine

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Un po’ di calcoli..


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La notazione numerica Come si scrivono i numeri?

UN PROBLEMA TECNICO

Si ha spesso a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli

Dipende dalle nostre unità di misura E dall’enorme estensione dell’Universo

Inoltre non si conosce mai un numero “esattamente”: la fisica non è una scienza esatta!


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La notazione numerica

Soluzione Si usa la notazione scientifica

O la notazione tecnica Di solito la notazione scientifica nei

calcoli...

… e la notazione tecnica nei risultati (non sempre)

412 345,67 1,234567 10

312 345,67 12,34567 10


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La notazione numerica Ogni numero è separato quindi in

mantissa e ordine numero di grandezza

Nella mantissa si scrivono solo le cifre di cui si è sicuri Cifre significative

Ogni numero definisce quindi un intervallo Intervallo di confidenza


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La notazione numerica Ogni numero deve sempre essere

accompagnato dal suo intervallo di confidenza

Esempi

Senza di esso il numero non ha sensonon ha senso!

0.040.01

1,2 1,2 0.05

1,2 0,07

1,2 0,02

1,2


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La notazione numerica Attenzione alle operazioni

In prima approssimazione si accetta il fatto che il numero delle cifre significative si conserva nelle operazioni

Eccezione: la differenza La differenza comporta sempre una

perdita di precisione! Il controllo della precisione nei calcoli è

un problema decisamente complesso


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RICORDATE

1,2 1,2 1,4 1,44!NON


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La differenza Fate sempre molta attenzione a

questa operazione Esempio:

7

89

78

1,

1,234 567

1,2

1 10

34 567

0,000 00011


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Come si trasmettono gli errori?

Un problema importante


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La propagazione degli errori

COSA VUOL DIRE PROPAGAZIONE DEGLI

ERRORI? Un semplice esempio

Data un’imprecisione su x, con che precisione ci è noto il valore di x2 ?


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La propagazione degli errori Facciamo un caso semplice:

Poiché le formule sono di solito di tipo algebrico

Prendiamo il logaritmo naturale del tutto Differenziamo Prendiamo i moduli del risultato

…ed avremo una regola semplice per calcolare come si propagano gli errori percentuali!

In prima approssimazione, e con una sovrastima


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Esempio Ecco un caso fittizio:

2

3

abx f

c

2

3ln ln

1ln 2ln 3ln ln

2

abx f

c

a b c f


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Esempio Differenziamo

Prendiamo i moduli

1ln 2 3

2

dx da db dc dfd x

x a b c f

1ln 2 3

2

dx da db dc dfd x

x a b c f


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Esempio Se gli errori sono piccoli rispetto alle

quantità, potremo approssimare la formula precedente con

Regola pratica molto comoda, che porta ad una leggera sovrastima dell’errore

1ln 2 3

2

x a b c fx

x a b c f


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La notazione numerica Per quanto riguarda voi

Difficilmente supererete la III cifra significativa

Non pensate che “calcoli precisi” possano darvi precisioni che non esistono già in partenza

Se gli operandi sono noti al 10% non potete pretendere che con operazioni

matematiche otteniate precisioni di 1/1.000.000!


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La notazione numerica

LA PRECISIONE UNA VOLTA PERSA,

NON SI RIACQUISTA PIU’PIÙ O MENO COME I SOLDI


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QUINDI... Usate sempre la notazione scientifica Attenzione al numero di cifre

significative Effettuate i calcoli con la massima

precisione che avete a disposizione Date i risultati numerici con la

precisione del vostro dato noto peggio


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La notazione tecnica

(engineer notation)


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La notazione tecnica Nei risultati finali si preferisce

spesso usare la notazione tecnica La mantissa varia da 0 a 1000 Gli ordini di grandezza variano di

1000 Si usano prefissi alle unità, per es. 9

3kilo 1

nano-metro

-grammo

0

0

1

k

m

g

n m

g


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Prefissi per grandi dimensioni

Yotta Y 24

Zetta Z 21

Exa E 18

Peta P 15

Tera T 12

Giga G 9

Mega M 6 kilo k 3


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Prefissi per piccole dimensioni

milli m -3

micro -6

nano n -9

pico p -12

femto f -15

atto a -18

zepto z -21 yocto y -24


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Le grandezze fisiche


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I campioni delle grandezze Nello studio della Natura si individuano

anzitutto delle grandezze fondamentali Ciò avviene anche in tecnologia

Viscosità, durezza, potere detonante di una benzina, rendimento termico di una stufa a

legna… Si può passare dalla grandezza fisica

(potere detonante, ad es.) al numero solo Definendo un campione Definendo una procedura di misura


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I campioni delle grandezze Campioni e procedure vengono

stabiliti da organismi appositi National Bureau of Standards (USA) Istituto Colonnetti (TO) …


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I campioni delle grandezze Vengono definiti da Commissioni

Internazionali

NIENTE

DI IDEALISTICO/CONCETTUALE


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I campioni delle grandezze I criteri che si usano per scegliere i

campioni sono Disponibilità Facilità di riproduzione Precisione

Assieme al campione dev’essere garantita la sua portabilità


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I campioni delle grandezze Esempio

Quando comprate un misuratore di lunghezza vi è garantito

Che un millimetro sia un millimetro... …Entro certe tolleranze

E la precisione la pagate!

Per ogni grandezza è definito un campione

Per ogni misura è definito un metodo


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I campioni delle grandezze

La definizione di ogni grandezza fisica è basata

esclusivamente sulla ricetta che definisce la sua misura

Definizione operativa delle grandezze fisiche

Il tempo? Ciò che si misura con gli orologi!


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Lo spazio


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Lo spazio Inizialmente si erano prese delle sbarre

di ferro spesso murate sulle facciate dei Palazzi del

Comune

Poi si definì il metro Prima 1/40.000.000 del meridiano terrestre Poi la distanza fra due tacche di una sbarra

di Pt-Ir conservata a Parigi Circa uguale ad una yard

Circa la lunghezza di un braccio


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Lo spazio È sempre importante la riproducibilità,

la disponibilità ed anche il fatto che il campione sia in qualche modo “intuitivo”

Sia basato più o meno su una scala “umana”

Tenete presente che Noi non abbiamo percezioni istintive di

lunghezze superiori ai 100 m ed inferiori al mm

Più o meno come l’uomo delle caverne…


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Lo spazio Oggi non viene più definito un

campione di lunghezza né di tempo Vengono definiti infatti

Un campione di frequenza (reciproco di un tempo)

Un campione di velocità e da questi si derivano tempo e lunghezza


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Il tempo


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Il tempo Inizialmente definito più o meno sul

battito del polso …poi definito come 1/86400 del giorno

solare medio Ci si basa sul fatto che la rotazione della Terra

avvenga con velocità angolare costante! Il che è falso...

…infine su orologi sempre più sofisticati

Meccanici, al quarzo, atomici


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Il tempo Oggi siamo agli orologi atomici (1967)

Si definisce un secondo come il tempo che occorre ad un

atomo di a compiere vibrazioni

(per una particolare linea spettrale)

133Cs9 192 631 770


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Il tempo In fisica classica il tempo si considera

assoluto = indipendente dai sistemi di riferimento

Misure precise danno deviazioni di già con aerei a 900 km/h

Precisioni attuali degli orologi _ Circa 1s in 300 000 anni

Quindi in realtà spazio e tempo sono intercorrelati!

1310


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Il tempo Pertanto un sistema di riferimento

dovrà stabilire Posizioni Tempi

CON OROLOGI “SINCRONIZZATI” Per definire degli

EVENTI

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