Post on 21-Jan-2016
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11 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
GoniometriaGoniometria
Funzioni goniometriche
grafici
Formule fondamentali
equazioni
disequazioni
22 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzioni goniometricheFunzioni goniometriche
P(cos , sin)
sin2 + cos2
tansin / cos
tan
33 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Dalla definizione al grafico della Dalla definizione al grafico della funzionefunzione
2
44 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Funzioni goniometricheFunzioni goniometriche
f(x)=cos x
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-10 -5 0 5 10
x
y
f(x)=tan x
-6
-4
-2
0
2
4
6
-3,5 -1,5 0,5 2,5
x
y
f(x)=sin x
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-7 -5 -3 -1 1 3 5 7
x
y
55 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
FUNZIONI GONIOMETRICHEFUNZIONI GONIOMETRICHE
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-3,2 -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,8
Domf: R
Imf [-1, 1]
Funzione non iniettiva (perché periodica)
Funzione non suriettiva (imf ≠ R)
Funzione non biiettiva
Funzione periodica T = 2
Monotona ad intervalli
Funzione non invertibile (non monotona)
Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [-, ]
Funzione inversa così definita si chiama
f(x) = arcsenx
66 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
FUNZIONI GONIOMETRICHEFUNZIONI GONIOMETRICHE
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-3,2 -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,8
Domf: R
Imf [-1, 1]
Funzione non iniettiva (perché periodica)
Funzione non suriettiva (imf ≠ R)
Funzione non biiettiva
Funzione periodica T = 2
Monotona ad intervalli
Funzione non invertibile (non monotona)
Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [0, ]
Funzione inversa così definita si chiama
f(x) = arcos x
f(x) = cos x
77 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
FUNZIONI GONIOMETRICHEFUNZIONI GONIOMETRICHE
Domf: R -{(2k+1k є Z
Imf R
Funzione non iniettiva (perché periodica)
Funzione suriettiva (imf ≡ R)
Funzione non biiettiva
Funzione periodica T =
Monotona ad intervalli
Funzione non invertibile (non monotona)
Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico ]
Funzione inversa così definita si chiama
f(x) = arctan x
f(x) = tan x
-12
-7
-2
3
8
-1,8 -0,8 0,2 1,2
88 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Senx e arcsenxSenx e arcsenx
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1,6 -1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9 1,4
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
f[- (x) = sin x
Dom f: [-Imf: [- 1, 1]funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione disparifunzione invertibile
f (x) = arcsin x
Dom f: [- 1, 1]
Imf: [-funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione disparifunzione invertibile
99 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Cosx e arcosxCosx e arcosx
-1,3
-0,8
-0,3
0,2
0,7
1,2
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
f[0 (x) = cos x
Dom f: [0Imf: [- 1, 1]funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione monotona decrescente
funzione invertibile
f (x) = arcos x
Dom f: [- 1, 1]
Imf: [0funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione decrescentefunzione invertibile
1010 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Tanx e arctan xTanx e arctan x
-1,7
-1,2
-0,7
-0,2
0,3
0,8
1,3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f (x) = tan x
Dom f: (-Imf: Rfunzione iniettiva funzione suriettivafunzione monotona crescentefunzione dispari
funzione invertibile
f (x) = arctan x
Dom f: R
Imf: funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione monotona crescente
Funzione disparifunzione invertibile
-12
-7
-2
3
8
-1,8 -0,8 0,2 1,2
1111 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Andiamo oltre nel nostro programma e facciamo un salto nel Andiamo oltre nel nostro programma e facciamo un salto nel programma di analisiprogramma di analisi
Le funzioni esponenziale, logartimica, goniometriche hanno una legge Le funzioni esponenziale, logartimica, goniometriche hanno una legge
matematica che non è di tipo polinomiale. Sarebbe difficile calcolare la matematica che non è di tipo polinomiale. Sarebbe difficile calcolare la
f(x), nota la x, anche con una calcolatrice, che in fondo è solo una f(x), nota la x, anche con una calcolatrice, che in fondo è solo una
addizionatrice, addizionatrice, se per ognuna di queste funzioni non ci fossero dei se per ognuna di queste funzioni non ci fossero dei
polinomi che le approssimano bene.. Queste approssimanzioni si polinomi che le approssimano bene.. Queste approssimanzioni si
chiamano di Taylor, se l’approssimazione viene fatta a partire da un chiamano di Taylor, se l’approssimazione viene fatta a partire da un
punto noto, qualsiasi, o di Mac Laurin se il punto scelto è x = 0.punto noto, qualsiasi, o di Mac Laurin se il punto scelto è x = 0.
Vediamo il loro significato su casi particolari. Vediamo il loro significato su casi particolari.
1212 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione senoL’approssimazione di Mac Laurin per la funzione seno
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
---- La curva disegnata in blue è f(x)=sinx
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x
---- la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3!
---- La curva disegnata in blue è f(x)=sinx
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x- x3/3!
---- la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3!+x5/5!
1313 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione cosenoL’approssimazione di Mac Laurin per la funzione coseno
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
---- La curva disegnata in blue è f(x)=cosx
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2!
---- la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x2/2!+x4/4!
---- La curva disegnata in blue è f(x)=cosx
---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2!
---- la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x2/2!+x4/4!-x6/6!
1414 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni goniometricheEquazioni goniometrichesin x = ksin x = k l’eq. è possibile se e solo se |k| l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1
sin x = ½ sin x = ½ x = x = V x = 5/6 V x = 5/6
s in x = - ½ s in x = - ½ x =- x =- V x = 7/6 V x = 7/6
cos x = kcos x = k l’eq. è possibile se e solo se |k| l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1 cos x = ½ cos x = ½ x = x = V x = - V x = - coscosxx½ ½ x = 2/3 x = 2/3 V x = - 2/3 V x = - 2/3
Sin x
1515 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni goniometricheEquazioni goniometrichesin x = hsin x = h l’eq. è possibile se e solo se |k| l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1
1.1. sin x = ½ sin x = ½ x = x = V x = 5/6 V x = 5/6 2.2. s in x = - ½ s in x = - ½ x =- x =- V x = 7/6 V x = 7/6 3.3. sin xsin xx =x =4.4. sin xsin xx =x =5.5. sin xsin xxx
cos x = hcos x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè - ≤1 e cioè - 1 ≤ h ≤ 11 ≤ h ≤ 16.6. cos x = ½ cos x = ½ x = x = V x = -V x = -
7.7. coscosxx½ ½ x = 2/3 x = 2/3 V x = - 2/3 V x = - 2/3
8.8. cos xcos xxx
9.9. cos xcos xxx
10.10. cos xcos xxx
1 2 6 7
1616 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni goniometricheEquazioni goniometriche
sin x = hsin x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1
1.1. sin x = √3/2 sin x = √3/2 x = x = V x = 2/3 V x = 2/3
2.2. sin x = - √3/2 sin x = - √3/2 x =- x =- V x = 4/3 V x = 4/3
cos x = hcos x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1
3.3. cos x = √3/2 cos x = √3/2 x = x = V x = - V x = -
4.4. coscosxx√3/2 √3/2 x = 5/6 x = 5/6 V x = - 5/6 V x = - 5/6
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1717 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi
Equazioni goniometricheEquazioni goniometriche
tan x = htan x = h l’eq. è possibile qualsiasi h l’eq. è possibile qualsiasi h єє R R
1.1. tan x = √3/3 tan x = √3/3 x = x = 2.2. tan x = - √3/3 tan x = - √3/3 x =- x =- V x = 4/3 V x = 4/3 3.3. tan x = √3 tan x = √3 x = x = 4.4. tan xtan x√3/3 √3/3 x = 5/6 x = 5/6 5.5. tan xtan x x x 6.6. tan xtan xxx7.7. tan xtan xxx
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