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Prof. Calogero Contrino

GONIOMETRIA

introduzione : concetti di geometria euclidea

Corso multimediale di matematica

04/03/2014

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Prof Calogero Contrino

Figura 1

Richiami di geometria euclidea:

Partizione del piano: semipiani

Considerata una retta di un piano, essa divide l’insieme dei punti del piano che non le

appartengono in due sottoinsiemi (regioni ) che godono delle seguenti proprieta’:

postulato

Con riferimento alla figura 1 si consideri il seguente

due punti qualsiasi , appartenenti allo stesso sottoinsieme, sono estremi di un

segmento che non interseca la retta;

due punti qualsiasi , appartenenti a sottoinsiemi diversi , sono estremi di un

segmento che interseca la retta .

B A

B A B A B A A B A B

B A

B

A

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dicesi semipiano (chiuso) ciascuna delle due parti di piano

individuate dalla retta inclusa la retta medesima

Ogni retta divide il piano in due semipiani ;

Figura 2


Partizione del piano: semipiani

assegnata una retta di un piano,

Definizione 1

Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente

”

’

Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente

Considerazioni

Ogni retta appartiene a ciascuno dei semipiani che essa individua e ne costituisce la

frontiera detta anche origine del semipiano;

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Figura 3


Partizione del piano: angoli

Definizione 2

due punti qualsiasi , appartenenti allo stesso

sottoinsieme ,sono estremi di un segmento che e’

costituito solo da punti dello stesso sottoinsieme ;

Anche due semirette giacenti sul piano ed aventi la stessa origine (fig .3) suddividono

l’insieme dei punti del piano che non appartengono ad esse in due sottoinsiemi ognuno dei

quali gode di una sola delle seguenti proprieta’ :

dicesi angolo (proprio) ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la

stessa origine, incluse le due semirette.

esiste almeno una coppia di punti appartenenti allo

stesso sottoinsieme che sono estremi di un segmento

costituito da punti non tutti appartenenti allo stesso

sottoinsieme.

Si può pertanto dare la seguente

Il punto origine delle due semirette prende il nome di vertice ;

le due semirette prendono il nome di lati .

V

r

s

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angoli convessi e concavi

Definizione 3 :

angolo convesso : un angolo si dice convesso se

due qualsiasi suoi punti sono estremi di un segmento

costituito soltanto da punti appartenenti all’angolo .

Si hanno inoltre le seguenti definizioni

angolo concavo : un angolo si dice concavo se

esiste almeno una coppia di suoi punti che sono estremi

di un segmento non tutto costituito da punti ad esso

appartenenti .

Definizione 4 :

angolo convesso

angolo concavo

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un angolo risulta concavo se i

prolungamenti dei suoi lati dalla parte opposta al vertice

appartengono all’angolo.

un angolo risulta convesso se i

prolungamenti dei suoi lati dalla parte opposta al vertice

non appartengono all’angolo.


Criteri per individuare angoli convessi e concavi

angolo convesso :

Si hanno i seguenti criteri per individuare la concavità o

convessità di un angolo

angolo concavo :

angolo convesso

angolo concavo

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angolo piatto e angolo giro

Definizione 5 :

angolo piatto : un angolo si dice piatto se i suoi lati

sono semirette opposte.

Si hanno ancora le seguenti definizioni

angolo giro : un angolo si dice giro se i lati sono

semirette coincidenti e ad esso appartengono tutti i punti

del piano.

Definizione 6 :

angolo piatto

angolo giro

P Indicheremo l’angolo piatto con il simbolo

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angolo nullo

Definizione 7 :

angolo nullo : un angolo si dice nullo se i suoi lati

sono semirette coincidenti e ad esso appartengono

soltanto i punti delle semirette .

angolo nullo

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Figura 3


angoli : altre definizioni e convenzioni

Per indicare un angolo generico che ha per vertice il

punto V e lati le semirette a e b si usa la seguente

scrittura : aVb

Per indicare un angolo generico che ha per vertice il

punto V ed i cui lati passano per i punti A e B , si usa

la seguente scrittura : AVB

V

b

a

B

A

Angoli orientati

Anche gli angoli come i segmenti possono essere

orientati .

Se per i segmenti si puo’ stabilire un verso di

percorrenza da un estremo all’altro cui corrisponde un

ordinamento dei suoi punti interni ,

per gli angoli si puo’ stabilire un verso di rotazione per

le semirette che avendo origine nel vertice ruotino

intorno ad esso da un lato all’altro , fissando così un

ordinamento per le semirette che ricadono all’interno

dell’angolo .

Figura 4

V

b

a

B

A

(gli orientamenti possibili sono ovviamente due)

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Angoli consecutivi


angoli : alcune definizioni e convenzioni

Non volendo indicare vertici e lati, un angolo generico

verrà indicato con le lettere minuscole dell’alfabeto

greco (come i piani ed i semipiani).

b

a A

Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune

il vertice ed un lato ed hanno i lati non comuni da parti

opposte rispetto a quello in comune (vedi figura )

Definizione 8 :

Definizione 9 :

Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e

hanno i lati non comuni appartenenti alla stessa retta

(vedi figura )

V

B

Angoli adiacenti

b

a A

V

B

C

c

C c

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Postulato del trasporto degli angoli

Si ha il seguente

Assegnati un angolo ed un semipiano, sulla cui origine (retta di frontiera) sia fissata una

semiretta, esiste ed è unico l’angolo del semipiano congruente all’angolo assegnato che ha

un lato sulla semiretta ed il vertice nella sua origine .

Postulato del trasporto

Postulato

’

’ ≅

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Confronto di angoli

Dal postulato del trasporto consegue il seguente criterio per il confronto di angoli che hanno

un orientamento fissato .

Assegnati due angoli per effettuare il loro confronto si agirà come segue (vedi figura):

Criterio per il confronto di angoli

Criterio per il confronto di angoli

Si trasportano gli angoli in modo tale da sovrapporre un lato (primo lato) di ciascun angolo

Il secondo lato di ciascun angolo deve ricadere dalla stessa parte rispetto al lato comune :

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Confronto di angoli

Assegnati due angoli e , dal confronto effettuato

con le modalità precedenti possono emergere tre

situazioni .

Se il secondo lato di risulta interno ad allora si dirà

che è maggiore di ( > )

A : >

Se anche i secondi lati si sovrappongono allora si dirà

che i due angoli sono congruenti ( ≅ )

Confronto di angoli

B : <

C : ≅

Se il secondo lato di risulta esterno ad ad allora si

dirà che è minore di ( < )

>

<

≅

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essendo rispettivamente a,b,c il primo lato di , il

lato comune ad e , il secondo lato di ,


addizione di angoli consecutivi

Assegnati due angoli consecutivi e ,

Addizione di angoli consecutivi

= +

Si ha la seguente definizione

a

b c

V

In simboli si scriverà : = + o aVc aVb = + bVc o AVC AVB = + BVC

Avendo indicato con V il vertice e con A,B,C tre generici punti rispettivamente sui lati a,b,c .

si definisce angolo somma degli angoli e

l’angolo che ha lo stesso vertice dei precedenti e come lati i lati non comuni (a,c) ad e .

a

c

V

C B

A

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si definisce angolo somma degli angoli e

l’angolo somma di due angoli consecutivi rispettivamente congruenti agli angoli assegnati.


addizione di angoli

Assegnati due angoli non consecutivi e ,

Addizione di angoli non consecutivi

’

= + = ’ + ’

In generale se i due angoli non sono consecutivi il postulato del trasporto ne rende ancora

possibile il calcolo della somma essendo assicurato un movimento rigido che li rende

consecutivi . Si ha pertanto la seguente

definizione

’

a

c

V

Per la scrittura in simboli si utilizzeranno ancora le convenzioni viste in precedenza .

C B

A

b

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’

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si definisce angolo differenza degli

angoli e l’angolo che sommato a (il secondo) da come risultato (il primo)


sottrazione di angoli

Assegnati due angoli non consecutivi e , con > ,

Sottrazione di angoli non consecutivi

= - = ’- ’

La sottrazione di angoli si riconduce all’operazione di addizione. A tal proposito si ha la

seguente definizione

a

In simboli, con le precedenti convenzioni, si scriverà :

V

= - = ’ - ’ o bVc aVc = − aVb o BVC AVC = − AVB

’

C B

A

c b

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si dice multiplo dell’angolo secondo

n l’angolo somma di n angoli congruenti ad .


multipli di angoli

Assegnati un angolo e un numero naturale n > 1,

Multiplo di un angolo = n

Si ha la seguente definizione

In simboli, con le precedenti convenzioni, si

scriverà : = n∙

definizione

Considerazione

La precedente definizione si può estendere ai casi in cui n valga 1 o 0 considerando come

multiplo di nel primo caso se stesso e nel secondo caso l’angolo nullo

= n∙

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= n∙

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esiste sempre un angolo multiplo del

minore che supera il maggiore.


postulato di Eudosso - Archimede

Assegnati due angoli , non congruenti o nulli,

Postulato di Eudosso - Archimede

= n >

Si ha il seguente postulato

In simboli (con < ) si scriverà :

= n >

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si dice sottumultiplo dell’angolo

secondo n l’angolo tale che l’angolo risulti la somma di n angoli congruenti ad .


sottomultipli di angoli

Assegnati un angolo e un numero naturale n > 1,

Sottomultiplo di un angolo

Dato un angolo multiplo di un angolo secondo n (= n ) , i termini della relazione

possono essere invertiti e si può dare la seguente

definizione

In simboli, si scriverà :

definizione

n =

n =

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dicesi angolo retto il sottomultiplo di un angolo piatto secondo il naturale n = 2 .


angolo retto

Angolo retto

definizione

Si ha la seguente

In simboli si scriverà : R P = 2

R P = 2

P R

R

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dicesi angolo acuto un angolo minore di un angolo retto.


angolo acuto ed ottuso

Angolo acuto ed angolo ottuso

definizioni

Si hanno le seguenti

R

dicesi angolo ottuso un angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

P

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R

R

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due angoli si dicono complementari se la loro somma è congruente ad un angolo retto.


angoli complementari ed anticomplementari

Angoli complementari ed anticomplementari

definizioni

Assegnati due angoli , si hanno le seguenti

due angoli si dicono anticomplementari se la loro differenza è congruente ad un angolo

retto .

≅ = + R

≅ = - R

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due angoli si dicono supplementari se la loro somma è congruente ad un angolo piatto.


angoli supplementari ed antisupplementari

Angoli supplementari ed antisupplementari

definizioni

Assegnati due angoli , si hanno le seguenti

due angoli si dicono antisupplementari se la loro differenza è congruente ad un angolo

piatto .

≅ = + P

≅ = - P

P

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due angoli si dicono esplementari se la loro somma è congruente ad un angolo giro.


angoli esplementari

Angoli esplementari

≅ = + G G

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se esiste una grandezza

omogenea a quelle assegnate che sia sottomultipla comune .


misura degli angoli : grandezze commensurabili

Due grandezze geometriche omogenee si dicono commensurabili

angoli commensurabili

Si richiamano a questo punto alcune definizioni fondamentali per pervenire al concetto di

misura di un angolo.

definizione

Applicando tale definizione ad angoli si avrà che l’angolo sottomultiplo comune sarà nella

seguente relazione con gli angoli assegnati e :

n =

m = ;

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Dati due angoli commensurabili e dicesi misura di rispetto ad il numero razionale

tale che


misura degli angoli : definizione per angoli commensurabili

angoli commensurabili

Da :

m =

n = ; Si ottiene : m =

n

m = n

m =

Assumendo l’angolo come unità di misura ( = ) si può dare la seguente

definizione

n

m = m n m m

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misura degli angoli : definizione generale

Se due angoli non ammettono sottomultiplo comune si dirà, come per qualsiasi altra

grandezza, che sono incommensurabili .

Unificando le due definizioni precedenti si può ora dare una più generale

In tal caso si potrà sempre assumere uno dei due angoli come unità di misura e si potrà

ancora parlare di misura di uno rispetto all’altro intendendo che ad essi risulti associato un

numero irrazionale secondo il solito legame : = ’ , con ’ numero irrazionale .

Dati due angoli e dicesi misura di rispetto ad il numero reale ’ tale che = ’

definizione

in accordo con il fatto che la misura

euclidea è una misura assoluta che non tiene conto dell’orientamento.

Si noti che, essendo m, n due naturali, n m m Q+

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