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Geometria euclidea, affine e proiettiva

Anno accademico 2008/09

Presentazione del corso

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Quante geometrie?

Felix Klein, 1872, “Programma di Erlangen”

S, insieme di punti

G, gruppo di trasformazioni di S

una teoria geometrica di S consiste nello studio delle proprietà delle figure di S che sono

invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G

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Figure equivalenti rispetto a G

Dati• F, F’ sottoinsiemi di S, figure• φ Є G, φ: S → S bigettiva (trasformazione)

diremo che

• F è equivalente a F’ rispetto a G , F G F’

se

F = φ(F’) Esercizio

• La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva

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Dal programma di Klein segue:

se la geometria dello spazio S dotato del gruppo G è la ricerca e lo studio delle proprietà delle figure di S che sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo G, allora

figure equivalenti rispetto a G hanno le stesse proprietà geometriche.

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Trasformazioni in natura: ombre

• Raggi del sole a perpendicolo: figura e ombra hanno lati e angoli uguali (isometria, trasformazione euclidea)

• Lampada sulla verticale: figura e ombra sono simili

• Figure da M. Menghini

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Altre ombre e trasformazioni

• Ombra prodotta dai raggi del sole: i quadrati diventano parallelogrammi, trasformazione affine

• Ombra da una lampada: i quadrati si proiettano in quadrilateri generici, proiettività– Figura da M. Menghini

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Perché la geometria proiettiva?

E’ il modello matematico che spiega l’insieme delle tecniche – la prospettiva - trovate dai pittori del Rinascimento– Leon Battista Alberti, De pictura, 1435– Piero della Francesca, De prospectiva

pingendi, 1482– Albrecht Dürer, L’arte della misura, 1525

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Pittura e geometria

poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principi a tutti i giovani che vogliono apprendere l’arte... (A. Dürer)

• Dürer è in Italia, dove, a Venezia nel 1505 viene stampata Ottica, di Euclide

• Gli studi sulla prospettiva trovano compimento nell’opera di Desargues, La prospettiva, 1636– http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/

HistTopics/Art.html

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Che cosa è la prospettiva?

• Per farcene un’idea, cominciamo osservando alcuni quadri

• Molte fra le immagini che seguono sono tratte dal CD allegato al testo “Le geometrie della visione” di Catastini-Ghione

• Per i disegni, è stato usato un software di geometria

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Confrontate questo dipinto…

Duccio da

Boninsegna

(ca. 1255-1319)

Nozze di Canaan

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…con questo dipinto

Raffaello Sanzio

(1483-1520)

Sposalizio della vergine

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Il modello della piramide visiva(figura da E.Danti, 1536-1586)

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I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in un piano

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Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta

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Corrispondenza tra retta osservata e retta immagine

• Supponiamo che l’occhio segua un punto P che si muove lungo una retta…

• C:\Documents and Settings\daprile1\Documenti\geap0809\rettaguardata.fig

• La corrispondenza P P’ è una bigezione tra le due rette?

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Ci sono delle eccezioni

• C’è un punto I sulla retta guardata che non ha corrispondente sul quadro e c’è un punto J sul quadro che non è immagine di nessun punto sulla retta osservata.

• Le eccezioni sono dovute all’esistenza di rette parallele.

• Come vengono viste nel quadro due rette parallele del pavimento?

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Rette parallele sono viste incidentiincidenti

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Il punto di fuga

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Punti all’infinito

• Le immagini di due rette parallele si intersecano in un punto, il punto di fuga

• che si può pensare come immagine di un punto lontano, dove convergono le due rette parallele, il punto all’infinito delle due rette

• La proiezione dall’occhio, corrispondenza quasi biunivoca tra una retta e la sua immagine, diviene bijettiva con l’introduzione dei punti all’infinito

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In linguaggio simbolico

Siano:• r la retta osservata dall’occhio O• r’ la retta sezione del piano del quadro con il

piano di O ed r• nel fascio di centro O, p la retta parallela ad r,

p’ la parallela ad r’• I = rp’, J =r’p• R il punto all’infinito di r• R’ il punto all’infinito di r’.

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Proiezione di centro O

È l’applicazione

O: r r’, definita come segue• se Pr, PI, P R,

O(P) = P’ , tale che O,P,P’ siano allineati• se P = I, O(P) = R’• se P = R, O(P)= J

O è una bijezione

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La proiezione, come funzione dallo spazio al quadro

• Ogni punto P, diverso da O, ha una immagine P’ sul quadro– se la retta OP è parallela al quadro, l’immagine di P è un punto

della retta limite, o orizzonte

• Ogni punto P’ del quadro è immagine di infiniti punti, appartenenti alla retta OP’

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Da un’applicazione non iniettiva…

Siano: S lo spazio, il piano del quadro, un piano che non passi per O. L’applicazione non iniettiva “proiezione da O”

O: S \

induce un’applicazione O|: , che è iniettiva se ai due piani si aggiungono i punti impropri

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La proiezione del pavimento

• Ogni punto P’ del quadro è immagine di un solo P del piano del pavimento: la proiezione da O è biunivoca tra pavimento e quadro

• Linea di terra: retta comune ai due piani; i punti della linea di terra hanno come immagine se stessi

• I punti all’infinito del pavimento hanno come immagine i punti “di fuga”, o punti della retta “limite”, o dell’”orizzonte”

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Il pittore disegna su un semipiano

• Gli interessa la corrispondenza tra il pavimento al di là del quadro e il quadro

• Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua immagine nel quadro descrive un segmento

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Iniziare dal pavimento

• La raffigurazione del pavimento è un espediente per dare la sensazione di profondità

• Alle tecniche empiriche usate nelle botteghe del suo tempo, Piero della Francesca sostituisce una tecnica basata sullo studio di una trasformazione della geometria proiettiva, detta “omologia”

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L’omologia di Piero della Francesca

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Il pavimento e le alzate

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Il pavimento a piastrelle di Fra Lippi

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La città ideale (scuola di Piero della Francesca o L. B. Alberti ?)

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Scopo del corso

• Conoscere i fondamenti della geometria proiettiva

• Classificare le trasformazioni del piano proiettivo in sé, riconoscendo tra queste l’omologia di Piero

• Studiare le geometrie affine ed euclidea come sottogeometrie della geometria proiettiva

• Costruire le classificazioni proiettiva, affine, metrica delle curve piane del secondo ordine (coniche)

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Indice indicativo

• Il piano proiettivo come ampliamento del piano della geometria elementare

• Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, proiettività tra rette

• Spazi proiettivi, dualità• Proiettività del piano, omologia• Affinità, isometrie• Polarità, coniche e quadriche

– Classificazioni proiettive e affini

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Prequisiti al corso

• Geometria analitica elementare: – equazioni cartesiane e parametriche di rette e coniche nel piano, – di rette, piani, cilindri, sfere nello spazio.

• Sistemi lineari: – il teorema di Rouché-Capelli, autosoluzioni di un sistema lineare

omogeneo.

• Algebra lineare: – spazi vettoriali, sottospazi, dimensioni, formula di Grassmann, – applicazioni lineari e matrici associate, nucleo e immagine di

un’applicazione lineare, relazione tra rango della matrice e dimensioni del nucleo e dell’immagine dell’applicazione associata alla matrice;

– autovalori e autovettori

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Testi• Beltrametti, Carletti, Gallarati, Monti

Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Bollati Boringhieri, Torino, 2002

• Catastini-Ghione, Le geometrie della visione, Springer, 2003, http://www.mat.uniroma2.it/mep

• Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1989

• Stillwell, The four pillars of geometry, Springer, New York, 2005

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Siti utili• Siti di storia:

– http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Art.html

– http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Architecture.html

• Altri siti di geometria– www.treccani.it/site/Scuola/Zoom/prospettiva/scuola_zoom.h

tm

• Appunti ed esercizi del corso e altri materiali http://www.mat.unical.it/%7Edaprile/Materiali.htm

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Aiuti allo studio• Un compito a casa ogni settimana (per sette volte,

possibilmente)• esercitazione scritta a metà corso

influiscono sul voto finale Proposta, basata sull’esperienza dell’anno scorso: indicato con v il voto della prova intermedia,• Se v < 18 , non ha nessun effetto sul voto finale• Se 18 v 26 , viene aggiunto 1 punto al voto finale• Se 27 v 30 con lode , vengono aggiunti 2 punti al voto

finale.• A chi consegna almeno la metà dei compiti , viene

aggiunto un punto• Se invece almeno quattro compiti a casa erano

corretti, due punti

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Aiuti allo studio

Ricevimento lunedì dalle 14.30 alle 16, sesto piano (livello ponte

carrabile)

per appuntamento: tel. 0984/496452, posta el. m.daprile@unical.it

• Esame scritto e orale sugli argomenti svolti nelle lezioni. E’ obbligatoria la prenotazione https://didattica.unical.it/

• Tutor?