Linee e superfici : le forme e le forze 6. sommario Classificazione proiettiva delle quadriche...
-
Upload
beniamino-serra -
Category
Documents
-
view
219 -
download
2
Transcript of Linee e superfici : le forme e le forze 6. sommario Classificazione proiettiva delle quadriche...
Linee e superfi
ci : le forme e le forze
6
sommario
Classificazione proiettiva delle quadriche
Proprietà meccaniche delle curve e delle superficie
Rassegna morfologica per generazione meccanica delle curve
Categorizzazione delle curve Esercizio sulle superfici di Lamé
QUADRICHE
3. Trasformazioni omografiche della 3. Trasformazioni omografiche della sferasfera
PUNTO ELLITTICO
ellissonide
paraboloidi
4. Trasformazione omografica della 4. Trasformazione omografica della superficie conica rotondasuperficie conica rotonda
PUNTO PARABOLICO
P.L. Nervi: Aviorimesse a Orvieto (1935)
F. Dischinger: Copertura del mercato di Lipsia (1929
Mole antonelliana
a Torino (1863-80)
5. iperboloidi5. iperboloidi
PUNTO IPERBOLICO
DIREZIONE ASINTOTICA
Paraboloide iperbolico: sezioni parabolociche
Paraboloide iperbolico:sezioni iperboliche
Paraboloide iperbolico come superficie rigata
Iperboloide a una falda
V. Choukhov: Torre radio a Mosca (1922),...........
CURVE e SUPERFICIE 3
Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;
superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile
Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura
Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità
breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche
Curve di Bezier, B-Spline e NURBSUna generalizzazione delle coniche: curve e superficie di
Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula
Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura
Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica
Cubiche ellittiche
(Parabole divergenti)
e cubiche razionali
(duplicatrice)
Coniche(Quadratiche)
LE FORME E LE FORZE:Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve:
Serie morfologiche
parabola
catenaria
Catenaria d’ugual
resistenza
Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)
sinusoide
lintearia
Cicloide di Sturm
kappa
Curva di Schoute
a forma di punta di matita
qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole
Grafico della funzione Inversa del coseno
iperbolico
Curva di Gauss
Cubica di Lamé
Curva di Agnesi
strofoide
Trisettrice di MacLaurin
Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano
costantemente una alla velocità tripla dell’altra
Folium di Cartesio
Cubica circolare razionale
cissoide
Cissoide come curva mediana della retta del
circolo
Cubiche di Chasles
Iperboli cubiche
(P è un polinmio di terzo grado)
Parabole (cubiche)
divergenti
Quartica razionale piriforme
.
Curva a “lacrima”
Lemniscata di Bermouilli
Lemniscata di Gerono
Quartiche bicircolari razionali
Lumaca di Pascal
. .
Cardioide Qui costruita come pericicloide
Quartiche di Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici
Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad
Spiriche di Perseo
Fissati A e B
variando C.
1) Se 0 < B < A
2) Se B < 0 < A
Spiriche e toriche
Ovali di Cassini
Ovali e Lemniscate di Booth
e Ippopede di Proclo
Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti
Quartiche di Plücker
Trascendenti tipiche: le spiraliSpirale
logaritmica
Caso di fibonacci
Cfr. Modulor
Spirale d’Archimede
E la sua inversa:
Spirale iperbolica
Involuta del circolo
Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).
Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).
Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)
Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla
distanza da una curva detta direttrice
curve (di approssimazione) di Bézier
curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).
L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).
Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.
Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1
al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.
Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.
tragitto di B(t) da P0 a P1.
La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo
È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata
Curve di approssimazione (B-spline)
Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).
la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.
Non Uniform Rational B-splinesono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali).
Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero:
se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la
medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la
medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.
I parametri che modellano una NURBS sono dunque: - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la
curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura
(knots); - il grado (ordine) della curva.
Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.
La categorizzazione comune delle curve
Curve di Lamè
Curve e Superfici di Lamè
Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse
Test finale in aula
si disegni in un sistema assonometrico a piacere il superelissoide di Lamé scelto (nella tabella proiettata successivamente) a seconda delle ultime due cifre nel proprio numero di matricola: le sezioni orizzontali siano della forma corrispondente alla penultima cifra del numero di matricola; le sezioni meridiane siano della forma corrispondente all’ultima cifra del numero di matricola.
Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse