Breve storia della geometria proiettiva

Enrico Rogora

19 novembre 2017

1 Le proprieta di collinearita ed incidenza nel-

la matematica greca ed ellenistica

La geometria proiettiva, come disciplina matematica indipendente, nasce efiorisce nel secolo XIX. Molti sono pero i risultati che ne anticipano lo svilup-po. Si tratta di risultati che riguardano le proprieta di collinearita (punti suuna stessa retta) e di incidenza, (rette per uno stesso punto). In questa sezio-ne prenderemo in considerazione due risultati dovuti a Pappo di Alessandriache furono dimostrati inizialmente con i metodi di Euclide, basandosi su unteorema che caratterizza con l’algebra dei rapporti1 la condizione di allinea-mento di tre punti presi alternativamente sui lati di un triangolo (teorema diMenelao nel piano, o regula sex quantitatum). Daremo anche qualche cenno alteorema di Ceva che caratterizza con l’algebra dei rapporti la configurazioneduale di quella a cui si riferisce il Teorema di Menelao.

1.1 Teorema di Menelao nel piano

(Regula sex quantitatum) Al teorema si fa implicitamente riferimento nelleSferiche di Menelao e viene esplicitamente enunciato e dimostrato nell’Almagesto

1I greci distinguevano nettamente i numeri, le grandezze e i rapporti. Nell’algebradei rapporti non si considerava il prodotto tra rapporti ma il loro rapporto combinato,συν ηπται ἑκ, συγκ ειται ἑκ. In particolare, non venivano mai considerate equzioni trarapporti e le naturali regole che oggi utilizziamo per manipolare tali equazioni erano alieneallo spirito della matematica greca. Per esempio, la proporzionalita di quattro grandezzeomogenee A,B,C,D, non veniva indicata con la scrittura A : B = C : D e non eraconsiderata equivalente all’equazione A · C = D ·B ([111]). In questi appunti non faremodistinzione tra numeri, grandezze e rapporti, le confonderemo tutte con i numeri reali eapplicheremo tutte le regole dell’algebra dei numeri nelle dimostrazioni. Sia ben chiaropero che queste dimostrazioni sono diverse da quelle originali essendone al piu rivisitazioniin chiave moderna.

1

di Tolomeo (I.13). Probabilmente era conosciuto ben prima dell’opera diMenelao. Entrambi gli autori che abbiamo ricordato lo considerano come unpreliminare per dimostrare il Teorema di Menelao sulla sfera, su cui si basala trigonometria sferica. Per una dimostrazione elementare del teorema diMenelao nel piano, diversa da quella che riportiamo parzialmente in questenote e che e tratta sostanzialmente dall’Almagesto di Tolomeo, si puo ancheconsultare [64], pp. 66 – 67. Il teorema si puo anche riguardare come casoparticolare di un teorema di Carnot sulle intersezioni di un piano con unpoligono gobbo, che si puo trovare in [218], p. 61.

Enunciato Sia dato un triangolo ABC e tre punti: X, sulla retta BC; Ysulla retta AC; Z sulla retta AB. Allora i tre punti sono allineati se e solose

BX

CX

CY

AY

AZ

BZ= 1 2

Il teorema di Menelao nel piano.

Cenno di dimostrazionePer dimostrare che l’allineamento implichi la condizione, si tracci dal

vertice A la parallela a BC e sia H l’intersezione di tale retta con ZY . Dallasimilitudine dei triangoli AHZ e ZBX segue AZ

BZ= HA

BX. Dalla similitudine

dei triangoli HAY e CYX segue HAAY

= CXCY

. Eliminando HA otteniamo lacondizione.

Per esercizio, si stabilisca il viceversa.�

Il teorema di Menelao nel piano esprime la condizione di allineamentodi tre punti presi sui lati di un triangolo. Dualmente e naturale cercare la

2Utilizzando i rapporti semplici (ABC) = ACBC e possibile scrivere la condizione nella for-

ma (ABZ)(BCX)(CAY ) = 1. Si noti che queste formulazioni equivalenti presuppongonoun approccio moderno all’algebra delle proporzioni.

2

condizione di incidenza di tre rette uscenti dai vertici di un triangolo. Questacondizione e espressa dal Teorema di Ceva, che prende i nome dal matematicoitaliano Giovanni Ceva, anche se era gia noto ai geometri arabi.

Teorema di Ceva Siano x, y e z tre rette uscenti dai vertici A, B e C diun triangolo rispettivamente e siano X, Y e Z le intersezioni delle tre rettex, y e z con i lati opposti del triangolo.3 Allora

BX

XC

CY

AY

AZ

ZB= 1.

Il teorema di Ceva, come quello di Menelao, valgono per segmenti orien-tati , ma l’idea che assegnare un’orientazione ai segmenti sia convenienteper studiarne l’algebra rimane sostanzialmente estranea alla matematica finoall’inizio dell’ottocento quando, geometri proiettivi tedeschi, Mobius in parti-colare, mostrano l’utilita di considerare segmenti orientati. La dimostrazioneoriginale e in [48]. Una dimostrazione elementare si trova in [64], pp. 4 – 5.

1.2 Teorema di Menelao sulla sfera

L’interesse per la geometria della sfera era motivato presso i greci, per le sueapplicazioni all’astronomia e alla navigazione. La geometria della sfera trattagli stessi oggetti della geometria euclidea, dove le rette sono gli archi di cerchimassimi e i cerchi sono le intersezioni della sfera con un piano qualsiasi, nonpassante per il centro. Le proprieta di questi oggetti non sono pero le stessedegli analoghi euclidei e quindi la geometria della sfera e non euclidea. Ilfatto evidente e ben noto agli antichi che per un punto si possono tracciareinfinite “rette” che non intersecano una retta data non passante per il puntonon e stato considerato come supporto all’idea che il postulato delle parallelefosse indipendente dagli altri, perche anche gli altri postulati euclidei devonoessere in parte modificati per poter essere verificati nella geometria sferica.Torneremo sulla geometria della sfera e sui suoi rapporti con le geometrienon euclidee nel capitolo relativo alla storia delle geometrie non euclidee.

Come abbiamo gia ricordato, il teorema di Menelao sulla sfera e il fon-damento della trigonometria sferica. In esso e documentato per la primavolta l’uso del seno di un angolo, invece della corda, ampiamente utilizzatanella la trigonometria greca, cfr [106]. La dimostrazione in [147] e facilmentetraducibile in linguaggio moderno, cfr [106].

3Un segmento che congiunge un vertice di un triangolo a un punto del lato opposto sidice ceviana

3

Enunciato (nella forma riportata nella traduzione latina di Halley dellaSpherica)

Siano dati sulla superficie della sfera due archi di cerchio massimo BC,BA, internamente ai quali tracciamo altri due archi (di cerchio massimo)CA, XZ che si incontrano nel punto Y : dico che

sinBX

sinCX

sinCY

sinAY

sinAZ

sinBZ= 1

Il teorema di Menelao sulla sfera.

Teorema di Pappo sul birapporto Il teorema di Pappo sul birapportoesprime un risultato fondamentale di Geometria proiettiva, l’invarianza delbirapporto per sezioni.

Nella proposizione 129 dei commenti ai porismi di Euclide, cfr. [161], partI, p. 262, Pappo dimostra che quattro rette a, b, c, d passanti per un medesimopunto O segano su una trasversale qualunque del piano non passante per Oquattro punti A,B,C,D tali che il birapporto

(A,B,C,D) =AC

BC:AD

BD=

(ABC)

ABD

non dipende dalla trasversale, ma solo dalle quattro rette a, b, c e d fissate.Cominciamo a dimostrare il teorema nel caso in cui le due trasversali

siano parallele e seghino le rette fisse nei punti A,B,C,D e A′, B′, C ′, D′

rispettivamente.

4

La similitudine del triangolo OAC con il triangolo OA′C ′ implica laproporzione

AC : A′C ′ = OC : OC ′.

La similitudine del triangolo OBC con il triangolo OB′C ′ implica la propor-zione

BC : B′C ′ = OC : OC ′.

Le due proporzioni implicano l’uguaglianza dei rapporti semplici

AC

BC=A′C ′

B′C ′.

Analogamente la similitudini dei triangoli OAD e OA′D′ e la similitudini deitriangoli OBD e OB′D′ implicano l’uguaglianza dei rapporti semplici

AD

BD=A′D′

B′D′.

L’uguaglianza dei due rapporti semplici implica infine l’uguaglianza dei bi-rapporti.

Consideriamo ora il caso in cui le due trasversali abbiano una delle quattrointersezioni con le rette fisse in comune, diciamo A = A′.

Per dimostrare che (A′, B′, C ′, D′) = (A′, B′′, C ′′, D′′), si applica il teore-ma di Menelao al triangolo A′B′B′′, rispetto alle rette OC e OD .

Il teorema di Pappo sul birapporto.

Rispetto alla retta OC, il teorema di Menelao fornisce la relazione

A′C ′

B′C ′· B

′O

B′′O· B′′C ′′

A′C ′′= 1.

Rispetto alla retta OD, il teorema di Menelao fornisce la relazione

A′D′

B′D′· B

′O

B′′O· B′′D′′

A′D′′= 1.

5

Si ha quindi

A′C ′

B′C ′· B

′O

B′′O· B′′C ′′

A′C ′′=A′D′

B′D′· B

′O

B′′O· B′′D′′

A′D′′.

Eliminando il fattore comune B′OB′′O

, abbiamo

A′C ′

B′C ′· B′′C ′′

A′C ′′=A′D′

B′D′· B′′D′′

A′D′′.

L’uguaglianza (A′, B′, C ′, D′) = (A′, B′′, C ′′, D′′) si ottiene quindi con unasemplice manipolazione algebrica.

Il caso generale di due trasversali qualsiasi si riconduce ai due casi par-ticolari appena trattati, tracciando la parallela alla prima trasversale per ilpunto di intersezione della seconda con la retta a.

�

La teoria del birapporto fu sviluppata da Mobius in [148], da Steiner in[226] e da Chasles in [49], che lo chiama rapporto anarmonico (cfr. Lettura1.5.2).

1.3 Teorema di Pappo sull’esagono

Il teorema di Pappo sull’esagono (cfr. [161], propp. 138, 139, 141, 143, pp.270 – 276), e in un certo senso, “il piu piccolo teorema esprimibile con solitermini elementari. I soli oggetti cui si riferisce il teorema sono punti e linee,e la sola relazione necessaria e quella di incidenza. Propriamente formulato,il teorema consiste solo di nove punti e di nove rette, e non esiste un teoremadel genere che riguarda un numero minore di oggetti” ([181], p. 4). Si notiche il teorema di Pappo sul birapporto non e di questo tipo in quanto fariferimento a una funzione dei segmenti che non e esprimibile a partire dallesole proprieta di incidenza tra punti e rette.

Siano A, B e C tre punti allineati su una retta r e siano a, b e c trepunti allineati su una seconda retta s. Siano X =< A, b > ∩ < a,B >,Y =< A, c > ∩ < a,C > e Z =< B, c > ∩ < b,C >. Allora X, Y e Z sonoallineati.

Il teorema e detto dell’esagono con riferimento all’esagono AbCaBc. Eun caso particolare del teorema dell’esagono di Pascal, cfr. p. 44, quando laconica che iscrive l’esagono si spezza in due rette. Utilizzando le coordinateomogenee, la dimostrazione e piuttosto semplice ed e lasciata per esercizio.Per una dimostrazione sintetica, cfr.: [60], p. 38; [64] pp. 67 – 69; [181],cap. 1; [218] pp. 13 – 15. Dal punto di vista affine bisogna considerare i casiparticolari che occorrono quando una o piu delle coppie di rette, che si inter-secano nel caso generale, diventano parallele e cioe si intersecano all’infinito

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in punti impropri (della retta impropria). E questo un primo esempio delpotere di unificazione che si ottiene con l’introduzione dei punti impropri.

Il teorema di Pappo sull’esagono.

Esercizio Dimostrare il teorema di Pappo usando le coordinate omoge-nee.

1.4 Altri contributi

I contributi della geometria antica alla geometria proiettiva non si limitano aquelli discussi in questa sezione. Nell’opera di Pappo si trovano riferimenti adaltre idee e risultati noti ai geometri greci ed ellenisti, quali: le proprieta ditre coppie di punti in involuzione sopra una retta, [218], p. 106; le proprietaarmoniche del quadrangolo completo [218], p. 23; l’idea e le proprieta dellapolarita rispetto ad una conica, [218] p. 195; tracce che fanno pensare allaconoscenza del teorema di Desargues sui triangoli omologici, [218], p.8.

1.5 Letture

1.5.1 Pappo

Il brano che segue, tratto dal libro VII delle Collezioni Matematiche (cfr.[161], prop. 138, pp. 270 – 272), contiene la dimostrazione del Teorema diPappo sull’esagono nel caso in cui le due rette su cui si scelgono i lati dell’e-sagono sono parallele. Nella proposizione successiva, Pappo considera il casoin cui le due rette si intersecano. I due casi sono distinti dal punto di vistaaffine, ma coincidono dal punto di vista proiettivo. La geometria proiettivapermette di unificare le due situazioni e di dare un’unica dimostrazione. Ladimostrazione originale si basa su due lemmi che riportiamo

LEMMA [161], prop. 136, p. 268

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Siano ∆Θ, ΘE due rette condotte dal punto Θ su due altrerette BAE, ∆AH. Il rettangolo contenuto da ΘH, ZE stia alrettangolo contenuto da ΘE, ZH come il rettangolo contenuto da∆Θ, BΓ sta al rettangolo contenuto da ∆Γ, BΘ. Allora i puntiΓ, A, Z sono allineati.

LEMMA [161], prop. 137, p. 270.Sia dato il Triangolo ABΓ, e A∆ parallelo a BΓ e sia tracciata

∆E che interseca BΓ nel punto E. Allora ΓB sta a BE come ilrettangolo contenuto da ∆E, ZH sta al rettangolo contenuto daEZ, H∆.4

4La condizione e equivalente a E∆EZ : H∆

HZ = 1, cioe al fatto che i punti sul segmentoindividuano una divisione armonica.

8

Ora che queste cose sono state dimostrate, sia richiesto didimostrare che, se AB e Γ∆ sono parallele, e alcune linee retteA∆, AZ, BΓ, BZ le intersecano, e E∆ e EΓ sono unite, nerisulta che la retta attraverso H, M e K e retta.

Infatti siccome ∆AZ e un triangolo, e AE e parallelo a ∆Z,e EΓ e stato tracciato attraverso l’intersezione di ∆Z in Γ, peril precedente lemma ne segue che come ∆Z sta a ZΓ, cosı il ret-tangolo contenuto da ΓE, HΘ sta al rettangolo contenuto da ΓH,ΘE. Ancora, siccome ΓBZ e un triangolo, e BE e stata tracciataparallela a Γ∆, e ∆E e stata tracciata intersecando ΓZ∆ in ∆,ne segue che come ΓZ sta a Z∆ cosı sta il rettangolo contenutoda ∆E,ΛKal rettangolo contenuto da ∆K, ΛE. Per inversionepercio, come ∆Z sta a ZΓ cosı il rettangolo contenuto da ∆K,ΛE sta al rettangolo contenuto da ∆E, ΛK. Ma anche come ∆Zsta a ZΓ, cosı stava il rettangolo contenuto da ΓE, HΘ al rettan-golo contenuto da ΓH, ΘE. Percio, come il rettangolo contenutoda ΓE, HΘ sta al rettangolo contenuto da ΓH, ΘE, cosı sta ilrettangolo contenuto da ∆K, ΛE al rettangolo contenuto da ∆E,KΛ. Questo e stato ridotto al lemma precedente l’ultimo. Allora,siccome due rette EΓ, E∆ sono state tracciate su due rette ΓMΛ,∆MΘ, e come il rettangolo contenuto da ΓE, HΘ sta al rettango-lo contenuto da ΓH, ΘE cosı sta il rettangolo contenuto da ∆K,EΛ al rettangolo contenuto da ∆E, ΛK. Percio la linea attra-verso H, M , K e retta per quanto dimostrato precedentemente(Lemma 7.204).

9

Il teorema di Pappo. Il caso in cui i vertici stanno su rette parallele.

1.5.2 Chalses

Il brano e tratto da [49], pp. 33 – 35.

Si osservano, nelle Collezioni matematiche, molti teoremi cheappartengono oggi alla teoria delle trasversali5, tra gli altri quelloche ne e il fondamento: cio fa supporre che questa utile ed elegan-te dottrina sia stata utilizzata dagli Antichi, principalmente neiloro scritti sull’Analisi geometrica6, ai quali si riferiscono questiteoremi.

Tra quelle proposizioni, che appartengono alla teoria delle tra-sversali e delle quali molte sono relative alla proporzione armo-nica7 noi citeremo le seguenti, che sono dimostrate nel settimolibro come lemmi destinati a facilitare la lettura dei porismi diEuclide8.

La proposizione 129 mostra che quando quattro rette esconoda uno stesso punto esse formano, su una trasversale traccia-

5La teoria delle trasversali fu sviluppata da Carnot in [42].Una trasversale e una rettache sega un qualunque insieme di altre linee rette.

6Nella geometria greca si fa distinzione tra il metodo dell’analisi (dal problema alla suasoluzione) e quello della sintesi (dalla soluzione, indietro fino al problema)

7Tre grandezza a, b e c si dicono in proporzione armonica, se (a − b) : (b − c) = a : c.Le lunghezze delle corde vibranti da cui si trae l’accordo do-mi-sol, si trovano appunto inproporzione armonica.

8Secondo le opinioni di Poncelet, di M. Chasles e di Zeuthen nei tre libri di Euclide suiporismi si dovevano trovare molte proposizioni della cosiddetta teoria delle trasversali, o,piu generalmente, della geometria proiettiva.

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ta arbitrariamente nel loro piano, quattro segmenti che hanno traloro un certo rapporto costante, quale che sia la trasversale. Cosı,siano a, b, c, d i punti dove le quattro rette sono segate da una tra-sversale qualunque, e ac, ad, bc, bd i quattro segmenti: il rapportoacad

: bcbd

sara costante, quale che sia la trasversale.Questa proposizione merita che le venga consacrato tutto que-

sto paragrafo, per appuntare su di essa, da questo momento,l’attenzione del nostro lettore.

Le proposizioni 136, 137, 140, 142, 145 sono o dei casi parti-colari, o la reciproca di questa proposizione principale.

Ripetuta sotto tante forme da Pappo pare che sia stata digrande utilita nei porismi di Euclide. Tuttavia e oggi senzaapplicazioni.

Ricercando l’uso che i Moderni ne hanno potuto fare, troviamoche Pascal l’ha inclusa, nel suo Essai pour les coniques ([162]), nelnumero dei teoremi principali di cui ha fatto uso nel suo Traite suqueste curve; che Desargues ne ha fatto, di uno dei casi particolari(che e precisamente la proposizione 137 di Pappo) la base, di unadelle sue Pratiques de la prospective (edizione de Bosse, 1648, pag.336); e che R. Simson l’ha dimostrato come lemma di Pappo ese ne e servito per la dimostrazione di una proposizione del suoTraite des Porismes ([220]).

In questi ultimi tempi, il signor Brianchon l’ha enunciata al-l’inizio del suo Memoire sur les lignes du deuxieme ordre ([33])e il signor Poncelet l’ha citata nel suo Traite des proprietes pro-jectives ([171], p. 12). Ma questi due abili geometri ne hannofatto poco uso, non avendone considerato usualmente che il ca-so particolare in cui le quattro rette formino un fascio armonico.9 Ci sembra dunque che questa proposizione abbia fino ad oraattratto a malapena l’attenzione dei geometri. Tuttavia noi lariteniamo suscettibile di numerose applicazioni, e la consideria-mo come una proposizione che puo diventare una delle piu utili edelle piu feconde della Geometria.

Questa proposizione giochera un ruolo importante nei nostri

9Quattro rette formano un fascio armonico se il loro birapporto e uguale a −1.

11

due principi di dualizzazione10 e di deformazione11 delle figure; ene dovremo anche far uso in questa introduzione.

Per questa ragione, avremo bisogno da adesso di dare un nomeal rapporto dei quattro segmenti che stiamo considerando. Es-sendo questo rapporto detto armonico nel caso particolare in cuie uguale all’unita12, lo chiameremo, nel caso generale, rapporto ofunzione armonica.

Nello stesso modo, quando quattro rette, uscenti dallo stessopunto, saranno segate da una trasversale in quattro punti a, b, c ,d, il rapporto ac

ad: bcbd

sara detto funzione anarmonica dei quattropunti a, b, c, d.

La proposizione di Pappo consiste nel fatto che questa funzio-ne ha sempre lo stesso valore, qualunque sia la trasversale, se lequattro rette uscenti dal punto restano le stesse. Ecco una bel-la proprieta della funzione anarmonica di quattro punti, che ladistingue da tutte le altre funzioni che si possono formare con isegmenti determinati dai quattro punti.

La nozione di funzione anarmonica ci sembra che abbia unanatura tale da apportare una grande semplificazione in molteteorie geometriche.

Essa sara ben piu appropriata del teorema di Tolomeo (Cha-sles si riferisce al teorema di Menelao del piano, cfr. [49], p. 27)a servire da fondamento della teoria delle trasversali, dove forni-sce dimostrazioni intuitive di tutte le proposizioni conosciute suisistemi di rette, e da luogo a molte altre nuove proposizioni.

Sara utile soprattutto nella teoria delle coniche, dove mo-strera, in una infinita di proposizioni isolate, un legame e dei

10La duale di una configurazione di punti e rette e la configurazione che si ottiene so-stituendo ogni retta con un punto e ogni punto con una retta, preservando le relazioni diincidenza. Se nella configurazione data una retta contiene due punti, nella configurazioneduale le due rette (corrispondenti ai punti) devono contenere il punto (corrispondente allaretta); se due rette contengono un punto, nella configurazione duale la retta corrispondenteal punto deve contenere i due punti corrispondenti alla retta. Per esempio, la configura-zione cui si riferisce il teorema di Menelao del piano e duale di quella cui si riferisce ilteorema di Ceva.

11Le deformazioni cui si riferisce Chasles sono quelle cui si riferisce il principio dicontinuita di cui parleremo in (5.5.3)

12La nozione di rapporto armonico e di birapporto, o rapporto anarmonico, non coincido-no esattamente con quelli che definiamo oggi. Noi consideriamo infatti segmenti orientatie il birapporto puo essere negativo. Definiamo in particolare il rapporto armonico comequello che vale −1. Il modulo del nostro birapporto coincide con quello considerato daChasles.

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rapporti che le collegano tutte a un piccolo numero di principigenerali.

2 La riscoperta della prospettiva nel rinasci-

mento

La prospettiva, con il nome di scenografia, era una teoria ben nota e sviluppa-ta in epoca ellenistica e il suo fondamento teorico era l’ottica euclidea13. Nesono prove inequivocabili l’affresco della stanza delle maschere sul Palatino,in cui i principi della prospettiva sono applicati in modo rigoroso, e diversetestimonianze letterarie e scientifiche (cfr. [198], nota 15, p. 75).

13La trattazione scientifica dell’ottica geometrica ellenistica ci e pervenuta in due trat-tati, scritti da Euclide ([95]) e da Eliodoro di Larissa. Secondo la teoria della visioneeuclidea, l’immagine di un oggetto si forma nell’occhio per effetto di raggi luminosi chesi propagano in linea retta dall’occhio all’oggetto (teoria emissionista), invece che dal-l’oggetto all’occhio (teoria estromissiva). Dal punto di vista del modello matematico ledue teorie sono equivalenti. L’insieme dei raggi che congiungono l’occhio ai punti dellasuperficie visibile dell’oggetto forma la piramide o cono visuale.

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L’affresco nella stanza delle maschere in cui viene applicata la prospettiva centrale.

Con il rifiorire delle arti nel Rinascimento, in particolare della pittura edella architettura, si diffonde l’interesse nella geometria e in particolare nellateoria della prospettiva da parte di autori quali Leon Battista Alberti, Pierodella Francesca e Leonardo da Vinci.14 Il primo libro in cui la prospettivaviene trattata in modo matematico e il De prospectiva pingendi (sulla pro-spettiva per dipingere) di Piero della Francesca. L’autore comincia con ilpresentare una serie di teoremi matematici, alcuni tratti dall’ottica di Eucli-de, altri scoperti da lui stesso, che sono di interesse matematico indipendente,ma nel complesso e orientato allo scopo pratico di insegnare i metodi esattidi rappresentazione prospettica ai pittori e risulta quindi piuttosto ripetiti-vo. Come gli altri due testi matematici dell’autore, il Trattato d’abaco e ilLibellus de quinque corporibus regularibus, dedicato ai cinque solidi platonici,lo stile di esposizione e quello della matematica pratica che consiste per lopiu nell’affrontare e risolvere una serie di esempi.

I principi matematici della prospettiva vennero fissati, senza riferimentoalle applicazioni pittoriche, nell’opera di Guidobaldo del Monte, [116], pub-blicata nel 1600. Nel trattato l’autore fa riferimento frequente agli elementidi Euclide e in particolare al libro XI degli elementi, e raggiunge una pro-fondita nella trattazione matematica decisamente superiore rispetto a quel-la raggiunta da tutti gli autori precedenti, tra cui Piero della Francesca eCommandino. La diffusione del libro testimonia che il livello generale delleconoscenze matematiche si era decisamente innalzato nel periodo che separal’opera di Piero della Francesca da quella di Guidobaldo del Monte, tanto danon arrestarsi piu davanti alla lettura e alla comprensione dei libri di Euclidededicati alla geometria euclidea che, anche per la difficolta di ricostruire lefigure corrette, avevano messo in crisi i matematici del secolo precedente.

Il contributo dei trattati teorici sulla prospettiva per la nascita dellageometria proiettiva e stato notevole.

La considerazione delle figure geometriche dal punto di vistadella Prospettiva, tende a porre in rilievo le loro proprieta grafi-che, discernendole dalle proprieta metriche e induce cosı ad unaconcezione piu generale delle figure stesse.

Inoltre nella prospettiva sono implicitamente contenute le dueoperazioni del proiettare e del segare, fondamentali per la Geo-metria proiettiva. La prima operazione trova infatti riscontro nelprocesso della visione, per cui si conducono dal centro dell’occhio

14Per approfondire il tema del rapporto tra matematica e pittura consigliamo la letturadi [46]. Sul ruolo scientifico degli artisti nel rinascimento, cfr. [198], pp. 66 – 80.

14

(centro di proiezione) tutti i raggi luminosi che vanno ai puntidi una figura; e la seconda operazione corrisponde alla formazio-ne della immagine della figura veduta sopra un quadro assegnato(piano di proiezione). Enriques F., [92], p. 392.

Prospettografo a sportello di Durer.

2.1 Omologia

Lo studio delle proprieta delle figure preservate dalla rappresentazione inprospettiva dei pittori porta alla considerazione delle prospettivita. Una pro-spettivita e una trasformazione tra due piani distinti, nello spazio, che siottiene proiettando il primo piano da un punto esterno P (centro di proie-zione), e segando le rette per P con l’altro piano. Una prospettivita ha unaretta di punti fissi, l’intersezione dei due piani.15 Precisamente, se π e π′

sono due piani distinti dello spazio, P e un punto esterno ad essi e < P,D >e la retta che congiunge P con X, la prospettivita σP : π → π′ di centro P el’applicazione

σP (X) =< P,X > ∩π′.15Questa proprieta caratterizza le prospettivita tra le proiettivita, cfr. [45], p. 295.

15

Combinando prospettivita si ottengono trasformazioni piu complicate. Un’omologiadi un piano π in se e la composizione di due prospettivita σP1 : π → π′

σP2 : π′ → π.

Il centro dell’omologia σP2 ◦ σP1 e l’intersezione P del piano π con la rettar congiungente i centri di proiezione P1 e P2 delle prospettivita σP1 e σP2 .L’asse dell’omologia e l’intersezione u del piano π con il piano π′. L’asse euna retta di punti fissi.

Torneremo a considerare le omologie in 3.2.

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2.2 L’omologia di Piero della Francesca

Ben prima dell’opera di Piero della Francesca nelle botteghe dei pittori era-no impiegati metodi empirici per la rappresentazione prospettiva delle figure.Nell’annunciazione di Ambrogio Lorenzetti, le linee di profondita concorronocorrettamente al punto principale, ma la distanza tra le linee trasverse vienedeterminata con un metodo empirico, scorretto dal punto di vista teorico.La realizzazione prospettica di un pavimento piastrellato correttamente di-mensionato e un artificio fondamentale per la resa prospettica di una scena equesto, come vedremo, e il primo problema affrontato e risolto da Piero dellaFrancesca.

Le diverse pratiche delle botteghe d’arte dei grandi maestri vengono per laprima volta raccolte nel trattato di Leon Battista Alberti, che pur essendocultore appassionato di matematica concepisce il suo trattato piu come unmanuale pratico che come un’esposizione teorica dei principi della prospet-tiva. Nella sua opera, Alberti utilizza la metafora di un finestra che si apresul mondo. La tela del pittore viene immaginata come una superficie cheinterseca la piramide dei raggi visivi che ne “imprimono il disegno”. Diversistrumenti furono escogitati per rendere la metafora efficace come metodo em-pirico per la realizzazione di disegni prospettici. Tra questi il prospettografoa sportello, o prospettografo di Durer, di cui abbiamo riportato un’immagine

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tratta da un disegno dello stesso pittore tedesco. Nelle letture potete leggerele dettagliate istruzioni di Durer per il suo utilizzo16.

Un altro prospettografo semplicissimo si realizza semplicemente inserendouna lastra trasparente nella cornice del quadro e “ricalcando” l’immagine sul-la lastra mantenendo fissa la posizione dell’occhio (appoggiando per esempioil mento su un apposito supporto). L’immagine mostra il risultato dell’usodi questo strumento per disegnare l’immagine di una scacchiera.

Riflettendo su questo esempio, Piero della Francesca introdusse il suometodo di rappresentazione prospettica.

Immaginiamo di spingere la scacchiera fino ad appoggiarla alla lastra edi disegnare l’immagine sulla lastra come appena detto. Si immagini poi diruotare la lastra fino ad appoggiarla sul piano della scacchiera, nel semipianoopposto. Il disegno che ne risulta e il seguente

16Se restassero dei dubbi sul suo funzionamento, basta consultare l’animazione disponibi-le on line all’indirizzo web http://www.macchinematematiche.org/index.php?option=

com_content&view=article&id=103&Itemid=187.

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dove, nella parte superiore, sono state aggiunti i prolungamenti delle im-magini dei bordi della scacchiera che incontrano la lastra ortogonalmente.L’immagine di tutte le rette parallele che incontrano ortogonalmente la la-stra e un fascio di rette per il punto A. Abbiamo quindi che l’immagine dellascacchiera quadrata e una scacchiera a forma di trapezio. La base DC diquesto trapezio coincide con la lunghezza del lato della scacchiera, mentre ipunti A ed E, che insieme ai punti D e C determinano il trapezio, sono aloro volta determinati dalla posizione dell’occhio dell’osservatore. La rettaDC si dice linea di terra e il punto A si dice punto di fuga. Immaginandoche l’occhio si poggi su un bastone verticale, il punto A dipende dal puntodove il bastone tocca terra e il punto E dalla sua lunghezza. Alzando ilbastone, il punto E si avvicina al punto C. La relazione tra la posizionedell’occhio e quella dei punti A ed E viene calcolata precisamente da Pierodella Francesca, cfr. [46].

Noi ci limitiamo ad osservare come fissando i vertici del trapezio, che sonole immagine dei quattro angoli della scacchiera, risultano fissate le immaginidi ogni altro punto della scacchiera sul trapezio che ne rappresenta la visioneprospettica. Per fare cio partiamo dalla figura seguente, dove sono disegnati,la linea di terra AB, il perimetro della scacchiera, di vertici A, B, C, D, ilpunto di fuga I ′ e il punto C ′ corrispondente nel disegno al vertice C della

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scacchiera.La trasformazione che stiamo considerando, che chiameremo omologia

di Piero della Francesca ([47], cap. V), gode delle proprieta seguenti (chepossono essere dimostrate se pensiamo alla trasformazione come costruitacomponendo una proiezione, una sezione e un ribaltamento):

• manda rette in rette (e quindi preserva l’incidenza, cioe se due rettesi intersecano in un punto, le loro immagini si intersecano nel puntoimmagine);

• le immagini delle rette parallele alla linea di terra AB restano parallelealla stessa linea;

• l’immagine delle rette perpendicolari alla linea di terra passano per ilpunto di fuga I ′;

• I punti della linea di terra vengono trasformati in loro stessi.

Da queste proprieta e immediato determinare la posizione dell’ultimovertice del trapezio. Esso deve coincidere infatti con l’intersezione delle im-magini dei due lati del quadrato che lo contengono e che sono rispettivamentesulla parallela alla linea di terra per C ′ e sulla congiungente A con il puntodi fuga I ′.

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Risulta anche determinata l’immagine della diagonale AC del quadrato, comela congiungente i due punti immagine AC ′. Per costruire quindi l’immaginedel punto X e sufficiente allora proiettare parallelamente alla linea di terra ilpunto X sul punto E della diagonale e proiettare E ortogonalmente sul puntoF della linea di terra; la retta FI ′ sara allora l’immagine della retta FE.Intersecando FI ′ con l’immagine AC ′ della diagonale otteniamo quindi ilpunto H immagine di E. Il punto X ′ sara quindi l’intersezione della parallelaper H alla linea di terra con l’immagine GI ′ della perpendicolare XG allalinea di terra.

Riportiamo i disegni che illustrano l’opera di Piero della Francesca, do-ve iterando questa costruzione si mostra come disegnare l’immagine di unpoligono.

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Abbiamo chiamato la trasformazione appena descritta omologia. Godeinfatti di una particolarita caratteristica. Se trasformo con essa un triangoloqualsiasi e unisco i vertici del triangolo iniziale con quelli omologhi del suotrasformato, le tre rette convergono in un punto che non e, in generale, ilpunto di fuga.

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La trasformazione di Piero della Francesca si ottiene componendo una pro-spettivita con un ribaltamento, cioe la rotazione di π/2 del piano del quadrosul piano di base. Ogni rotazione di un piano intorno ad un asse contenu-to nel piano stesso e una prospettivita, e precisamente quella che si ottieneproiettando un piano sull’altro dal punto improprio delle rette ortogonali alpiano bisettore dei due piani dati17.

2.3 Letture

2.3.1 Durer

Appoggia il liuto, o qualunque altro oggetto a tua scelta, alla distanza presta-bilita dal quadro, e fai attenzione: deve restare immobile per tutto il tempoche ti servira. Domanda al tuo assistente di mantenere teso il filo passanteper il chiodo (all’altra estremita c’e un contrappeso) e di portarlo a contattocon i punti principali del liuto. Quando egli si ferma su uno di questi punti(tenendo teso il filo) tu sposta gli altri due fili (quelli fissati per uno dei capialla cornice del quadro) tendendoli in modo che si incrocino col suo. (Perfissarli in questa posizione) attacca ora al quadro, con un poco di cera, anchegli altri due capi di questi fili; ordina quindi al tuo assistente di allentare ilsuo filo. Adesso chiudi lo sportello e ricopia sul quadro il punto di incrociodei due fili rimasti.

17Esercizio.

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2.3.2 Piero della Francesca

Dico che la prospectiva sona nel nome suo commo dire cose vedute da lungi,rapresentate socto certi dati termini con proportione, secondo la quantita dele distantie loro, senza de la quale non se po alcuna cosa degradare giusta-mente. Et perche la pictura non e se non dimostrationi de superficie et decorpi degradati o acresciuti nel termine, posti secondo che le cose vere veduteda l’occhio socto diversi angoli s’apresentano nel dicto termine, et pero ched’onni quantita una parte e sempre a l’ochio piu propinqua che l’altra, et lapiu propinqua s’aprsenta sempre soto magiore angolo che la piu remota neitermini assegnati, e non posendo giudicare da se lo intellecto la loro mesu-ra, cioe quanto sia la piu propinqua et quanto sia la piu remota, pero dicoessere necessaria la prospectiva, la quale discerne tucte le quantita proportio-nalmente commo vera scientia, dimostrando il digradare et acrescere de onniquantita per forza de linee. [81] Libro III, prologo.

2.3.3 Guidobaldo dal Monte

Desidererei che fosse ben chiaro che l’oggetto proprio e pe-culiare della prospettiva non e niente affatto diverso dall’oggettodella geometria dalla quale dipende. Anzi i volumi, le superfici, lelinee, i punti, analizzati dal cultore della prospettiva riguardanola natura affine e l’analisi dell’oggetto geometrico. Perche, seb-bene la linea manchi di spessore e il punto di parti, pur tuttaviasosteniamo che ambedue sono visibili; [...] Infatti la prospettiva,come considera in senso matematico il volume e allo stesso modo

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la superficie, cosı anche considera la linea e il punto da un pro-prio punto di vista, il quale esamina tutte le cose non come nudie puri enti geometrici, ma con qualche eccezione, affinche insegniad esporre l’aspetto molteplice delle cose visibili; percio tiene inconsiderazione e presuppone la superficie, la linea e il punto comeenti visibili, non tenendo conto del colore degli oggetti, ma comei vari e diversi angoli si presentano nelle relazioni tra di loro,rispetto agli oggetti, offrendo la diversa conformazione delle cosevisibili. [116]

3 Desargues e Pascal

Tra i primi ad applicare i metodi della prospettiva allo studio della Geometriae in particolare alla teoria delle coniche ci sono Desargues e Pascal18.

Desargues, architetto e ingegnere militare, studio con attenzione l’operamatematica di Apollonio di Perga sulle sezioni coniche [4].19 Fu il primo asfruttare la proprieta comune a tutte le coniche di essere sezioni piane di unmedesimo cono, ovvero proiezioni di un medesimo cerchio20. L’importanza diquesto punto di vista si ricollega al nuovo spirito di generalita che pervade la

18Per approfondimenti, cfr. Freguglia P., La Rivoluzione scientifica: i domini dellaconoscenza. Lo sviluppo della matematica di Apollonio: Desargues, Pascal, in [124].

19Del testo di Apollonio sulle coniche e sopravvissuta una copia in greco dei primi quattrolibri; dal V al VII abbiamo solamente la trascrizione araba ad opera del matematicoThabit ibn Qurra. La prima edizione a stampa dei primi quattro libri e in latino nel 1537ad opera di Giovanni Battista Memmo (Memo). Solo nel 1661 vengono stampati i libridal V al VII a cura di Alfonso Borelli. Una miglior edizione in latino esce a cura di F.Commandino nel 1566, ma comprende solo i primi quattro libri. La conoscenza dell’operadi Apollonio comincia a diffondersi solo agli inizi del seicento. L’applicazione dei metodidella geometria proiettiva allo studio delle coniche, iniziata appunto da Desargues, mostracome la geometria proiettiva non si applica solo all’ambito limitato della pittura ma anchea domini matematici ben piu complessi, dove si rivela uno strumento molto potente, anchese l’apprezzamento generale della sua efficacia da parte dei matematici si ebbe solo all’iniziodel secolo diciannovesimo.

20Piu precisamente, ogni conica si puo trasformare in un cerchio con un’omologia, cfr.p. 15. Infatti, per Desargues, una conica e una qualsiasi sezione di un cono circolare retto.Essa quindi e per definizione prospettiva a un cerchio, uno qualsiasi delle sezioni circolarirette del cono suddetto. Ruotiamo ora il piano della sezione conica sul piano del cerchio,intorno alla retta di intersezione comune. Tale rotazione si puo realizzare come proiezionedel piano della conica sul piano del cerchio dal punto improprio del piano bisettore deidue piani suddetti. Otteniamo quindi la trasformazione del cerchio nella copia isometricadella conica sezione, componendo due prospettivita e quindi con un’omologia (cfr. cap.precedente). L’asse di omologia e l’intersezione dei due piani mentre il centro di omologia el’intersezione del piano del cerchio con la retta passante per il vertice del cono e ortogonaleal piano bisettore di cui sopra.

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matematica del seicento. Non sono piu solo le proprieta delle singole configu-razioni geometriche ad attrarre l’attenzione dei matematici ma le proprietagenerali comuni a classi di configurazioni sempre piu ampie21.

Anche l’introduzione dei punti impropri o punti all’infinito per studiarele proprieta geometriche delle relazioni di incidenza di una figura e dovuta aDesargues anche se il matematico francese non definı queste nozioni in modorigoroso.

E la storia della matematica ci avverte che tutti i concettifondamentali, venuti ad allargare le idee dominanti nei vari campidi essa, sono stati introdotti nella scienza in un modo analogo,trovando solo piu tardi la loro piena ed esatta giustificazione. Cosısi dica, per esempio, relativamente all’introduzione nell’algebradei numeri irrazionali, negativi e complessi, venuti ad allargare ilprimitivo campo dell’aritmetica. F. Enriques, [92] p. 392.

Le ambiguita nelle definizioni di Desargues non impedirono pero che l’in-troduzione dei punti impropri si rivelasse estremamente utile per lo studiodelle coniche e per la dimostrazione, ad opera sua e di Pascal, di nuove eimportanti proprieta. L’opera di Desargues rimase praticamente sconosciutaper quasi due secoli. Tra i pochi che la studiarono prima del XIX secolo,citiamo, oltre a Pascal, il matematico francese de La Hire.

3.1 Desargues sui triangoli omologici

Il primo risultato di Desargues che vogliamo presentare, perche si ricollega al-la teoria della prospettiva dei pittori rinascimentali, riguarda le proprieta deitriangoli omologici . Questo teorema di Desargues si trova enunciato nell’ap-pendice a [25], lavoro in cui l’incisore Abraham Bosse, allievo di Desargues,cerca di divulgare le idee del suo maestro.

21Si pensi ai contributi di Luca Valerio e di Bonaventura Cavalieri nella teoria delle areee dei volumi e a quelli di Cartesio relativi alle costruzioni geometriche.

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Il Barbiere, un’incisione di Abrahm Bosse

Due triangoli di vertici A,B,C e A′, B′, C ′ si dicono:

prospettivi rispetto a un punto se le rette generate dalle coppie di verticicorrispondenti < A,A′ >; < B,B′ >; < C,C ′ >, passano per un puntoO, che si dice centro di omologia;

Centro di omologia di due triangoli prospettivi.

prospettivi rispetto a una retta se le coppie di lati omologhi < A,B >,< A′, B′ >; < A,C >, < A′, C ′ >; < B,C >, < B′, C ′ >, si intersecanoin punti allineati su una retta r, che si dice asse di omologia.

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Asse di omologia di due triangoli prospettivi.

Si noti che le condizioni di prospettivita tra due triangoli dipendono dallacorrispondenza scelta tra i vertici. In altre parole, se A,B,C e A′, B′, C ′ sonoprospettivi rispetto a un punto, non e detto che anche A,B,C e B′, A′, C ′ losiano. L’ordine con cui si scrivono i vertici di due triangoli, o piu in generaledi due poligoni con lo stesso numero di lati, determina implicitamente unacorrispondenza tra i vertici e i lati dei poligoni, che nel seguito ammetteremosenz’altro.

Teorema di Desargues dei triangoli omologici Due triangoli ABC eA′B′C ′, privi di vertici e di lati in comune, sono prospettivi rispetto a unpunto se e solo se sono prospettivi rispetto a una retta.

Non e difficile dare del teorema una dimostrazione analitica, introducendocoordinate omogenee nel piano proiettivo. Per una dimostrazione sintetica,cfr. [67], p. 5; [218], pp. 6-8; [60], p. 19. In queste dimostrazioni sinteti-che si dimostra una delle due condizioni, a partire dall’altra, prima per duetriangoli non complanari e poi per due triangoli complanari, passando perun terzo triangolo non complanare ma prospettivo ad entrambi e utilizzando,per concludere, il risultato che si era dimostrato nel caso dei triangoli noncomplanari.

Questo e un esempio elementare di un teorema che, pur avendo senso nelpiano, indipendentemente dallo spazio, conviene dimostrare passando allospazio. L’idea di passare a spazi di dimensione piu elevata per semplificarele dimostrazioni si rivelera particolarmente feconda con l’introduzione deglispazi di dimensione maggiore di tre, cfr. [193].

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Il teorema dei triangoli omologici di Desargues.

Definizione Due triangoli prospettivi rispetto a un punto o equivalente-mente (grazie al teorema di Desargues) rispetto a una retta si dicono omo-logici . Due triangoli omologici T e T ′ determinano una e una sola omologiaσ tale che σ(T ) = T ′. Il centro e l’asse dell’omologia sono centro e asse deidue triangoli omologici e una coppia di elementi corrispondenti e data da unaqualunque coppia di vertici omologhi. Viceversa, data un’omologia σ e untriangolo T , σ(T ) e sempre omologico a T .

3.1.1 Lo spazio proiettivo

Il teorema dei triangoli omologici di Desargues e un risultato fondamentaledella geometria proiettiva. Per comprendere il senso preciso di questa affer-mazione, e necessaria una piccola digressione. La nozione di spazio proiettivopuo essere assiomatizzata, senza riferimento a proprieta topologiche o di or-dinamento, con un piccolo insieme di assiomi che regolano l’uso di tre soliconcetti primitivi: punto, retta e incidenza.

A partire dai concetti primitivi si possono definire (cfr. [60]) le nozioni:intersecare; piano; quadrangolo completo; proiettivita. Gli assiomi per unospazio proiettivo (per definire la nozione di piano proiettivo basta sostituireil quinto assioma con la richiesta che NON esistono punti fuori da un pianoABC) sono allora:

1. Esistono un punto e una retta che non sono incidenti;

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2. Ogni retta e incidente con almeno tre punti distinti;

3. Ogni coppia di punti distinti e incidente con una sola retta;

4. Se A, B, C e D sono quattro punti distinti, tali che AB interseca CD,allora AC interseca BD;

5. Se ABC e un piano, allora c’e almeno un punto che non e nel pianoABC;

6. Ogni coppia di piani distinti ha almeno due punti in comune;

7. I tre punti diagonali di un quadrangolo completo non sono mai colli-neari;

8. Se una proiettivita lascia invariante oguno di tre punti distinti su unaretta, lascia invariante ogni punto della retta.

Per ogni corpo K, lo spazio P (Kn) dei sottospazi unodimensionali di Kn,con rette date dalle soluzioni di un sistema di n − 2 equazioni lineari omo-genee di rango massimo a coefficienti in K e con relazione di incidenza datadall’essere soluzione del sisteme di equazioni, e un modello degli assiomi dispazio proiettivo. Spazi proiettivi siffatti si dicono coordinatizzabili . Esisto-no esempi di spazi proiettivi non coordinatizzabili, come ad esempio il pianodi Fano, per cui si rimanda a [60], p. 91.

Possiamo ora spiegare perche il teorema di Desargues e fondamentale. Sipuo dimostrare che esso e vero per ogni spazio proiettivo coordinatizzabile,per ogni spazio proiettivo di dimensione diversa da due e per ogni pianoproiettivo in cui vale il teorema di Pappo, quindi e quasi conseguenza degliassiomi. Esistono pero piani proiettivi non-desarguesiani, tra cui il piano diMoulton, cfr. [153], per i quali non vale il teorema di Desargues.

Anche il teorema di Pappo sull’esagono, cfr. p. 6, e fondamentale. Nelcaso di piani proiettivi coordinatizzabili, il teorema di Pappo e equivalentealla commutativita del corpo K.

Abbiamo enunciato e discusso i teoremi di Desargues sui triangoli omolo-gici e il teorema di Pappo sull’esagono nel contesto dei piani proiettivi, doveogni coppia di rette si interseca. E possibile considerare tali teoremi anche inun contesto affine, nella maniera in cui erano stati enunciati originariamente,ma e necessario considerarne diversi casi, quando una o piu delle coppie dirette sono parallele. L’introduzione dei punti impropri da parte di Desarguese suggerita proprio dalla possibilita di trattare uniformemente i diversi casi,a patto di considerare nuovi punti all’infinito definiti da coppie di rette pa-rallele. Questi nuovi punti, per quanto riguarda le proprieta di incidenza dirette e punti, divengono indistinguibili dai punti ordinari.

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3.2 L’omologia nel piano e nello spazio

Due triangoli omologici sono trasformati l’uno nell’altro da una trasforma-zione geometrica particolare, l’omologia piana, che abbiamo gia incontratoin 2.1. Desargues definisce l’omologia senza riferimento all’immersione delpiano nello spazio, il che risulta particolarmente conveniente per studiarne leproprieta e suggerisce come estenderla allo spazio. Un’omologia in un pianoπ si determina assegnando un punto fisso P , una retta di punti fissi u e l’im-magine A′ di un punto qualsiasi A ∈ π. L’immagine di un qualunque altropunto B si costruisce allora nel modo seguente.22

Detto B′′ =< A,B > ∩u, l’immagine B′ di B e

B′ =< B′′, A′ > ∩ < P,B >,

ovveroB′ =<< A,B > ∩u,A′ > ∩ < P,B > .

Costruzione dell’omologia di centro P e asse u che trasforma A in A’

L’omologia piana era gia stata considerata da Piero della Francesca nellamaniera descritta in 2.1. Desargues studia come si trasformano le conichecon l’omologia e dimostra che ogni conica si puo trasformare in un cerchio.

22Una costruzione proiettiva e una successione di costruzioni elementari che ora definia-mo e per le quali introduciamo una notazione comoda per indicarle: dati due punti A eB, costruire la retta < A,B > che li congiunge; date due rette u, v, costruire il punto diintersezione u ∩ v che appartiene ad entrambe.

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Trasformazione di una conica per omologia

L’estensione allo spazio della nozione di Trasformazione omologica e do-vuta a Poncelet e si definisce in maniera completamente analoga a quantofatto per il piano, cioe ponendo

σ(B) =<< A,B > ∩u,A′ > ∩ < P,B >

dove, naturalmente, questa volta u e un piano.

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L’omologia dello spazio

Esercizio Mostrare che, nella definizione di omologia spaziale, le rette <P,B > e < (< B,A >) ∩ u), B′ > sono complanari.

Anche l’omologia spaziale puo avere applicazioni pratiche, per esempionella costruzione dei bassorilievi, cfr. [73].

Una proiettivita tra piani si definisce come composizione di prospetti-vita. Una proiettivita di un piano in se si definisce come composizione diomologie. Il gruppo delle proiettivita di un piano e il gruppo generato dalleomologie. Analogamente le proiettivita dello spazio si possono definire comele trasformazioni che si ottengono componendo le omologie dello spazio.

3.2.1 Quadrangoli e quaterne armoniche

Fin dai tempi della matematica greca emerse l’interesse degli insiemi di puntiche si ottengono intersecando un quadrangolo con una trasversale.

Un quadrangolo e l’insieme costituto da: 4 punti nessuna terna dei qualie allineata, detti i vertici del quadrangolo; 6 rette che congiungono le coppiedi vertici, dette i lati del quadrangolo; 3 punti che si ottengono intersecandole diagonali , cioe le coppie di lati non adiacenti, detti i punti diagonali .

I lati di un quadrangolo tagliano, su ogni retta che non passa per i vertici,6 punti, che possono ridursi a 5 o a 4 se la retta passa per uno o due punti

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diagonali. Un insieme tagliato da un quadrangolo su una retta che noncontiene i suoi vertici si dice insieme quadrangolare.

I punti ABDCEF formano un insieme quadrangolare sulla retta u. Tale insieme siindica (AD)(BE)(CF ), dove le coppie di punti sono tagliate da coppie di lati opposti.

Presi 5 punti distinti su una retta e univocamente determinato il sestopunto che, insieme ai precedenti, costituisce un insieme quadrangolare. Isei punti cosı costruiti sono in involuzione e sono stati considerati in ??.L’unicita del punto segue dal seguente teorema

Teorema dei quadrangoli omologici : Siano KLMN , K ′L′M ′N ′ senzaelementi comuni riferiti tra loro in modo che 5 coppie di lati omologhi KL,K ′L′; KM , K ′M ′; KN , K ′N ′; LM , L′M ′; LN , L′N ′; determinino 5 puntiappartenenti a una retta r non passante per alcuno degli 8 vertici. Alloraanche la sesta coppia di lati omologhi MN , M ′N ′ si intersechera in un puntodella retta r e le congiungenti i punti omologhi passeranno per un punto O.Cfr. [92], p. 54 e [60] p. 21.

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Teorema dei quadrangoli omologici.

Esercizio Descrivi la costruzione del sesto quadrangolare, dopo 5 puntiassegnati su una retta.

Definiamo armonica ogni quaterna segata dai lati di un quadrangolocompleto su una trasversale che passa per due punti diagonali.

I punti ABDC formano una quaterna armonica, che si indica (AB)(CD) e coincide con(AA)(BB)(CD). Il quadrangolo MNKL ha i due punti A e B, intersezioni delle coppie

di lati opposti, sulla retta u.

Esercizio Il coniugato armonico del punto all’infinito della retta < A,B >e il punto medio del segmento AB, ovvero (AB)(∞ (A+B)/2).

Questa definizione offre un modo per costruire, con la riga, il coniugatoarmonico di un punto C rispetto ad una cppia A, B di punti assegnati. Il

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teorema dei quadrangoli omologici mostra che il coniugato armonico di Crispetto ad A, B non dipende dalla scelta dal quadrangolo.

3.3 Desargues sulle involuzioni

Un importante risultato di Desargues, fondamentale per la teoria delle co-niche e per i successivi sviluppi della geometria proiettiva, e il teorema diDesargues sulle involuzioni .

Per motivare questo risultato, ricordiamo innanzitutto che per cinquepunti tali che quattro non sono mai allineati passa una e una solo conica(eventualmente degenere). Ci chiediamo come sia possibile esprimere la con-dizione perche 6 punti siano su una conica. Dati 6 punti L, M , N , P , C,D l’idea di Desargues e quella di guardare ai punti segati sulla congiungenteCD dal quadrilatero passante per gli altri punti.

Condizione perche 6 punti stiano su una conica

La condizione perche D appartenga alla conica passante per L, M , N , P ,C e che

AB · AB′

AC · AD=A′B · A′B′

A′C · A′D

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Fissata una retta per C, la precedente e un’equazione in D che ha una euna sola soluzione C ′ in corrispondenza del punto della conica passante peri primi cinque che appartiene alla retta fissata.

La dimostrazione della condizione di appartenenza di 6 punti ad unaconica viene fatta da Desargues utilizzando le tecniche che si trovano neilavori di Pappo e di Menelao.

Questo fatto suggerisce la definizione seguente.

Definizione Tre coppie di punti (A,A′), (B,B′), (C,C ′) presi su una rettasi dicono essere in involuzione se e solo se e verificata la condizione seguente:

AB · AB′

AC · AC ′=A′B · A′B′

A′C · A′C ′.

Si noti che, se A = A′ e B = B′ allora la condizione che (C,C ′) sia ininvoluzione con (A,A) e (B,B) equivale al fatto che la quaterna A,B,C,C ′

sia una quaterna armonica.Fissate due coppie di punti (A,A′) e (B,B′) su una retta r, per ogni

C ∈ r e determinato uno e un solo punto C ′ tale che la tre coppie sianoin involuzione. L’insieme di tutte le coppie in involuzione con le due date si

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dice essere un’involuzione sulla retta r. Le condizioni appena viste fornisconoun’equazione algebrica per determinare tali coppie.

Quanto abbiamo appena osservato si puo riassumere nel seguente risul-tato:

Teorema di Desargues sulle involuzioni Data una conica e un qua-drangolo inscritto in essa, una retta secante la conica, che non passi per unvertice del quadrangolo, la incontra in due punti, i quali sono coniugati nel-l’involuzione a cui appartengono le intersezioni delle tre coppie di lati oppostidel quadrangolo. Per una dimostrazione, cfr. [60], p. 87.

Il teorema di Desargues dell’involuzione.

Il teorema appena enunciato giustifica la seguente costruzione geometricaper una involuzione. Se fissiamo un quadrangolo di vertici L,M,N, P cheseghi le coppie (A,A′) e (B,B′) sulla retta, le coppie di punti (C,C ′) segatesu r dal fascio di coniche, passanti per i quattro punti L,M,N, P , sono tuttee sole le coppie dell’ involuzione sulla retta corrispondente alle due coppiefissate. 23

23Si noti che alcune delle coniche del fascio possono non intersecare la retta in puntireali. Ampliando il piano reale con le coppie di numeri complessi possiamo analiticamenteconsiderare anche le intersezioni complesse di una conica con una retta. I geometri sinteticidell’ottocento, tra cui Poncelet, Steiner e Von Staudt, hanno cercato di trattare gli enticomplessi in maniera puramente sintetica, cfr. i riferimenti alla fine di questo paragrafo,riuscendo a dare un senso geometrico anche ai punti di intersezione immaginari di unaretta con una conica.

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Tra le coniche passanti per i punti L,M,N, P di cui sopra c’e anche laconica degenere costituita dalla coppia di rette LP e MN che sega la rettain una delle coppie dell’involuzione. Viceversa si puo osservare che qualun-que coppia dell’involuzione puo essere segata, modificando il quadrangoloL,M,N, P e lasciando fisse le intersezioni A,A′, B,B′, dalla conica degenereformata dalle diagonali restanti. In altre parole, si puo dimostrare che trecoppie di punti su una retta del piano sono in involuzione se e solo se esisteun quadrangolo completo24 tale che le tre coppie di lati opposti segano laretta nelle tre coppie assegnate.

Punti in involuzione.

Quindi, assegnate due coppie (A,A′), (B,B′) di punti su una retta, adogni punto C della retta e associato uno e un solo punto C ′ che corrispondea C nell’involuzione determinata dalle due coppie e che si puo costruire nelmodo seguente.

24Siano dati 4 punti del piano, tali che le rette che li congiungono a coppie siano tuttedistente. I 4 punti sono i vertici del quadrangolo completo e le 6 rette sono i lati. Due latisono detti opposti se la loro intersezione non e un vertice. Le intersezioni dei lati oppostisi dicono punti diagonali.

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Costruzione dell’immagine di un punto C nell’involuzione determinata dalle coppie(A,A′), (B,B′).

Per giustificare la costruzione bisogna dimostrare l’indipendenza del pun-to C ′ dalla scelta del quadrangolo che sega la retta nei punti A, A′, B, B′,C. Questo segue dal teorema di Desargues dei triangoli omologici, cfr. [60]p. 21.

Il teorema di Desargues delle involuzioni permette di definire in manierageometrica una funzione σ : r → r. Per ogni punto x ∈ r definiamo σ(x) =x′, dove x′ e l’intersezione, diversa da x, della conica per i cinque puntiK,L,M,N,X con la trasversale r. Ovviamente σ2 = Id. Inoltre, σ e unaproiettivita, nel senso che preciseremo piu avanti, cfr. p. 33.

La teoria delle involuzioni di Desargues, come abbiamo visto, e stret-tamente collegata a quella delle coniche. Chasles e Von Staudt ne diederouna formulazione indipendente. Per essi un’involuzione su una retta r esemplicemente una proiettivita σ : r → r tale che σ2 = 1.

Le involuzioni di una retta proiettiva reale si dividono in due classi. Leinvoluzioni iperboliche che ammettono due punti fissi, ovvero due punti P eQ tali che σ(P ) = P e σ(Q) = Q e le involuzioni ellittiche che non ammetto-no punti fissi. Geometricamente le prime corrispondono a quaterne di puntiper i quali passano due coniche tangenti ad r. La distinzione naturalmenteviene meno sulla retta proiettiva complessa, dove ogni involuzione ammettedue punti fissi. Le involuzioni ellittiche sono estremamente importanti dalpunto di vista storico perche su di esse si fonda la definizione sintetica dipunto complesso di Von Staudt, esposta in [225], e quella piu semplice maaltrettanto utile per la geometria sintetica, di coppia di punti complessi co-niugati considerata da Corrado Segre. Si rimanda a [208] per una discussioneapprofondita.

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3.4 Desargues e la polarita

Su una retta r possiamo definire il coniugato armonico di un punto C rispettoa due punti A, B con la seguente costruzione che, per quanto detto a p. 37,produce C ′ tale che la quaterna C,A,B,C ′ e armonica, cfr. p. 37 .

Costruzione del coniugato armonico di C rispetto ad A e B.

Per il teorema di Desargues sui triangoli omologici, la costruzione delconiugato armonico dipende solo da C e dalla coppia A,B, non dipendedalle altre scelte fatte ed e invariante per omologia. A partire dalla nozionedi coniugato armonico, Desargues elabora la teoria della polare di un puntorispetto ad un cerchio, per poi estenderla a tutte le coniche tramite omologia.Se P e un punto esterno a un cerchio, che chiameremo polo, allora ogni rettaper P che sia secante il cerchio lo sega in due punti A e B. Sia E il coniugatoarmonico di P rispetto ad A e B. Al variare della secante questi coniugatiarmonici definiscono una retta, che si chiama la polare di P rispetto allacirconferenza. Lo stesso accade se P e un punto interno del cerchio. Se Pe un punto esterno, congiungendo P con i punti di intersezione della polarecon la circonferenza si ottengono le due tangenti che si possono condurre daP alla circonferenza.

Per costruire la polare di un punto P rispetto a un cerchio basta con-durre da P due secanti alla circonferenza e unire i punti di intersezione dellediagonali non contenenti P del quadrilatero di vertici le intersezioni.

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Apollonio aveva gia studiato le proprieta armoniche delle coniche ma leaveva stabilite caso per caso e non in maniera uniforme come Desargues, chele stabilisce per il cerchio prima e le estende poi a tutte le coniche osservandoche sono invarianti per omologia.

3.5 Desargues e le coniche

Terminiamo queste considerazioni sul contributo di Desargues alla geometriaproiettiva sottolineando come Desargues assuma un nuovo punto di vistarelativamente al modo in cui conviene concepire una conica: egli definisceuna conica semplicemente come una qualunque trasformazione prospettiva(o omologica) di un cerchio. Il vantaggio di questa nuova concezione sta nelfatto che in questa maniera e possibile dimostrare ogni teorema che riguardae usa le sole proprieta di incidenza per il cerchio e essere certi che il risul-tato vale per ogni conica. Questo e il principio che utilizza anche Pascalper dimostrare il suo famoso teorema sull’esagono inscritto ad una conica eche Poncelet impieghera sistematicamente estendendolo allo spazio. Questoprincipio, detto principio della proiezione o principio dell’omografia, e unadelle nuove idee che si svilupperanno fino ad imporsi decisamente nel secolodiciannovesimo e verra sviluppato in tutta la sua portata nel programma diErlangen di Klein.

Lo spirito di generalita che caratterizza le ricerche di Desargues trovain quegli stessi anni la sua manifestazione piu elevata in Cartesio. Osserva

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Enriques, a proposito del contributo di Cartesio alla geometria25, che:

Prescindendo dall’uso delle figure e ravvicinando sotto unostesso tipo di equazione, enti geometrici di forma differente, siveniva ad introdurre nella Geometria quello stesso carattere diastrazione e di universalita che e proprio dei procedimenti anali-tici26.

In conseguenza del lavoro di Cartesio si verifica una perdita di interessenell’approccio sintetico alla geometria, e il cammino iniziato da Desargues eda Pascal verso una teoria proiettiva delle coniche non fu percorso da altriper circa 150 anni, con le eccezioni significative di De la Hire, e di Lambert,nel cui trattato di prospettiva del 1759 [136] si discutono le applicazioni delmetodo delle proiezioni alla gnomonica e ad altre tecniche.

Benche il contributo originale del pensiero di Desargues sia ormai uni-versalmente apprezzato, i contemporanei del grande architetto e matematicofrancese non seppero apprezzare l’importanza e la novita delle idee esposteda Desargues nel suo Brouillon project d’une atteinte aux evenemens des ren-contres d’un cone avec un plan 27 [82] e certamente una parte importante diquesto disinteresse si deve alla scelta dell’autore di introdurre una nomencla-tura completamente nuova, in contrasto con quella tradizionale (cfr. Lettu-re), e il rifiuto di usare le notazioni algebriche che si erano ormai affermatecon l’opera di Cartesio.

Il solo che sembra aver compreso immediatamente tutta la ricchezza el’importanza del nuovo punto di vista fu Blaise Pascal, il primo e l’unicovero discepolo diretto, nel dominio della geometria, di Desargues.

3.6 Pascal

Pascal diede importanti contributi alla geometria proiettiva in eta moltoprecoce, cfr. [231]. Purtroppo poco resta della sua opera in questo campo,solo il breve saggio [162], composto nel 1640 quando aveva 16 anni, perlungo tempo dimenticato e ristampato solo nel 1779 e il primo capitolo di[163], ritrovato nel 1891 tra le carte di Leibniz, che aveva potuto visionare il

25L’algebra dei segmenti di Cartesio e un’algebra geometrica che non ha bisogno deinumeri. Un’algebra geometrica per gli spazi proiettivi e sviluppata in [120] e [121].

26F. Enriques, [92], p. 392.27Il Brogliaccio di un progetto per cogliere cio che accade intersecando un cono con un

piano fu stampato a spese del suo stesso autore in sole 50 copie, distribuite nella cerchiadei suoi amici e corrispondenti. Se ne persero presto le tracce e solo nel 1854 Chaslesriscoprı la copia manoscritta che ne aveva fatto La Hire. Nel 1950 fu ritrovato anche unodei 50 esemplari originali presso la Biblioteca Nazionale di Francia.

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manoscritto quasi completo del Traite nel 1676. L’interesse del giovane Pascalper la geometria proiettiva fu stimolato da Desargues, uno degli animatori,insieme al padre di Pascal, del circolo di matematici e scienziati che si riunivaperiodicamente su iniziativa di padre Mersenne cui facevano parte, tra glialtri, anche Cartesio e Roberval.

Pascal fa proprie tutte le idee fondamentali del Broullon project di De-sargues: gli elementi all’infinito, l’idea che tutte le coniche si possono definirecome sezioni di coni a base circolare, la riduzione di ogni conica a un cer-chio per mezzo di un’omologia, le involuzioni su una retta e il collegamentocon i quadrangoli e i triangoli omologici, ecc. Non discuteremo i contributidi Pascal alla geometria proiettiva, anche perche furono presto dimenticaticome quelli di Desargues e la geometria proiettiva fu relegata ai margini del-la matematica per l’impetuoso diffondersi dei metodi algebrici e del calcolodifferenziale, ma presenteremo soltanto il suo risultato piu famoso.

Teorema dell’esagono di Pascal Le coppie di lati opposti di un esagonoinscritto in una conica si intersecano in tre punti allineati.

Il teorema dell’esagono di Pascal.

Nell’opuscolo di Pascal sulle coniche [162] le dimostrazioni sono appenaaccennate e del teorema sull’esagono inscritto, formulato peraltro in ma-niera diversa ma equivalente, si puo solo dire che la dimostrazione venivafatta prima per il cerchio, ricorrendo ad alcune proposizioni della teoria delletrasversali, e poi trasportata al caso generale per proiezione.

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Esistono diverse dimostrazioni del teorema di Pascal. Per quelle di MacLaurin, Carnot Gergonne e Dandelin si rimanda a [218], pp. 246-253. Per ledimostrazioni di Steiner e Plucker si veda p.95 e p. 104. Per una dimostra-zione moderna, cfr. [60], p. 85.

Si noti che la retta che congiunge i punti di intersezione dei lati oppostivaria al variare dell’ordinamento del punto rispetto al quale si definiscono ilati opposti. Le permutazioni di 6 punti sono 720 ma ad ogni permutazioneciclica di un ordinamento dei vertici corrisponde la stessa retta di Pascal.Anche il ribaltamento dell’ordine dei vertici

A1, A2, A3, A4, A5, A6 7→ A6, A5, A4, A3, A2, A1

non cambia le corrispondenti rette di Pascal. Quindi, assegnati 6 vertici diuna conica ci sono 60 rette di Pascal distinte.

Per ogni esagono inscritto in una conica si puo dimostrare che esistonoesattamente tre esagoni, sugli stessi vertici, ad esso disgiunti, cioe tali chenessun lato di questi sia anche un lato di quello. Le rette di Pascal degliesagoni disgiunti da un esagono fissato, si incontrano in un punto, dettopunto di Kirkman. Variando l’ordine dei vertici dell’esagono varia il punto,e ci sono 60 punti di Kirkman distinti. La configurazione delle sessanta rettedi Pascal e dei 60 punti di Kirkman, che si distribuiscono in maniera che cisono tre punti per ogni retta e per ogni punto passano tre rette, determinanoun piano proiettivo finito, cioe una struttura di incidenza che verifica gliassiomi di [60] per gli spazi proiettivi, di cui abbiamo fatto menzione a p.29. In questo piano proiettivo, ogni retta contiene tre punti. Per una brevepanoramica della ricca combinatoria associata all’Hexagrammum mysticumdi Pascal, si rimanda a [160]. Lo studio di configurazioni di questo genere eun tratto tipico di un importante filone di ricerca della geometria proiettivadell’Ottocento, in cui seppero distinguersi Steiner, Cayley e anche alcunigeometri italiani, come Cremona e Veronese.

3.7 Letture

3.7.1 Desargues - Broullon project

Abbozzo provvisorio di un saggio sulle sezioni piane di un cono

Ognuno si formera la propria opinione sia su quello che de-duciamo sia sulla maniera in cui lo deduciamo, e vedremo che lanostra ragione sta tentando di afferrare , da una parte, le quantitainfinite e dall’altra, insieme a queste, quantita cosı piccole che leloro estremita opposte coincidono; e vedremo che queste quantita

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sono oltre la nostra comprensione, non solo perche sono grandi opiccole oltre ogni immaginazione, ma anche perche il modo usualedi ragionare ci conduce a dedurre dalle loro dimensioni proprietache non possono avere.

In questo lavoro ogni linea retta e, se necessario, prolun-gata infinitamente in entrambe le direzioni. Indichiamo questaestensione infinita in entrambe le direzioni per mezzo di una filadi punti, allineati con la retta, che la allungano in entrambe ledirezioni.

Per esprimere che un certo numero di rette sono parallelel’una all’altra o sono tutte dirette verso il medesimo punto noidiremo che che queste rette appartengono alla stessa prescrizione(ordonnance), che indichera che sia in un caso che nell’altro ecome se convergessero nello stesso posto.

Il posto al quale un certo numero di rette si puo assumere checonverga, sia in un caso che nell’altro, verra detto il bersaglio(but) della prescrizione di rette.

Per esprimere che stiamo considerando il caso in cui le ret-te sono parallele tra loro diciamo che le rette appartengono allastessa prescrizione, il cui bersaglio e a una distanza infinita lungoognuna di esse in entrambe le direzioni.

Per esprimere che stiamo considerando il caso in cui tuttele rette sono dirette verso lo stesso punto diciamo che le retteappartengono alla stessa prescrizione, il cui bersaglio e a unadistanza finita lungo ognuna di esse.

In questa maniera due rette nello stesso piano appartengonoalla medesima prescrizione, il cui bersaglio e a distanza finita oinfinita.

3.7.2 Cartesio, Lettera a Desargues, 30 Aprile 1639

Signore,la franchezza che ho potuto notare nel vostro temperamento,

e la riconoscenza che ho per voi, mi convincono di scrivere quiliberamente cio che posso congetturare del Traite des sections co-niques, di cui il reverendo padre Mersenne mi ha inviato il Projet.Voi potete avere due obiettivi, che sono ottimi e lodevolissimi, mache non richiedono entrambi lo stesso modo di procedere. L’unoe scrivere per i dotti, e insegnar loro alcune nuove proprieta diqueste sezioni, che non conoscono; l’altro e scrivere per i curiosiche non sono dotti e fare si che questa materia intesa fino a oggi

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da pochissimi, e che tutta via e utilissima per la prospettiva, lapittura, l’architettura ecc, diventi comune e facile per tutti coloroche vorranno studiarla nel vostro libro. Se vi proponete il pri-mo, non mi sembra necessario utilizzare termini nuovi: i dottiinfatti, avendo gia consuetudine con quelli di Apollonio, non licambieranno facilmente con altri, per quanto migliori, e cosı ivostri termini non serviranno che a rendere le vostre dimostra-zioni piu difficili, e a distoglierli dal leggerle. Se vi proponete ilsecondo, e sicuro che i vostri termini, che sono francesi, e nellacui scoperta si nota sia ingegno che grazia, saranno accolti, dapersone non prevenute, molto meglio di quelli degli antichi; e permolti potranno servire persino di stimolo, per indurli a leggere ivostri scritti come leggono quelli che trattano di armi, di caccia,di architettura, senza voler diventare ne cacciatori, ne architet-ti, solo per saperne parlare in termini appropriati. Se pero avetequesta intenzione bisogna che vi decidiate a scrivere un grossolibro, spiegandovi tutto cosı ampiamente, chiaramente e distinta-mente , che questi signori, che studiano solo sbadigliando, e chenon possono affaticare l’immaginazione per capire una proposi-zione di geometria, ne voltare le pagine per guardare le letteredi una figura, non trovino niente nel vostro discorso, che sembriloro piu difficile da comprendere della descrizione di un palazzoincantato in un romanzo. E a questo scopo mi sembra che, perrendere le vostre dimostrazioni piu facili, non sarebbe inopportu-no usare i termini e il calcolo dell’aritmetica, cosı come ho fattonella mia Geometria: dato che ci sono molte piu persone chesanno cos’e una moltiplicazione, di quante sappiano cosa sia unacomposizione di rapporti, ecc.

Quanto al modo in cui considerate le linee parallele come se siunissero a un bersaglio a distanza infinita, per poterle includerenello stesso genere di quelle che tendono verso un punto, e unmodo ottimo, sempre che ve ne serviate, come certamente fate,per far capire cio che e oscuro in una di queste specie, per mezzodell’altra ove e piu chiaro, e non al contrario.

3.7.3 Pascal, Essay pour les coniques, [162]

Lemma I Se nel piano M , S, Q dal punto M si conduconodue rette MK, MV , e dal punto S si conducono due rette SK,SV ; e se K e il punto d’intersezione delle rette MK, SK; V ilpunto d’intersezione delle rette MV , SV ; A il punto d’interse-

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zione delle rette MA, SA; e µ il punto d’intersezione delle retteMV , SK; e se attraverso due dei quattro punti A, K, µ, V , chenon possono essere punti sulla stessa retta che passa per i puntiM , S, e anche attraverso i punti K, V , passi la circonferenza diun cerchio che taglia le rette MV , MP , SV , SK nei punti O, P ,Q, N : allora io affermo che le rette MS, NO, PQ, sono dellastessa “prescrizione” (ordonnance).28

4 Monge e Carnot

Dopo il lavoro de La Hire in cui viene approfondito lo studio proiettivo delleconiche utilizzando, anche se all’inizio indipendentemente, lo stesso approc-cio di Desargues, i metodi proiettivi caddero nell’oblio quasi completo. Ciosi spiega in buona parte con il successo strepitoso del calcolo differenziale diNewton e di Leibniz, che monopolizzarono a lungo l’interesse dei matematicie con la grande popolarita della geometria analitica di Cartesio e di Fermat.Nonostante gli scopi di Cartesio e Fermat da una parte e di Desargues dal-l’altra fossero gli stessi, e cioe quelli di trovare un metodo nuovo per studiarela geometria da un punto di vista generale e unitario, la proposta di Desar-gues si basava sull’idea di considerare nuovi oggetti geometrici ideali (puntiall’infinito) e nuove trasformazioni (prospettivita e omologie), mentre quelladi Cartesio si fondava sull’algebra e si affermo immediatamente per il suocarattere piu metodico. L’unita delle coniche, che per Desargues provenivadal fatto che sono tutte trasformabili in un cerchio tramite un’omologia, simanifestava invece, per Cartesio e Fermat, nel fatto che ogni conica fosse illuogo degli zeri di un’equazione di secondo grado. E nell’equazione che sicominciarono a cercare e si riscoprirono tutte le nozioni geometriche intro-dotte e studiate da Apollonio ed e dall’equazione che si palrtı per scoprirnedi nuove.

4.1 Monge

L’applicazione del calcolo differenziale e dell’algebra alla geometria, che pren-de il nome di geometria analitica a partire dal trattato di Lecroix sul calcolodifferenziale del 1797, ingloba la geometria nel quadro analitico della mate-matica del diciottesimo secolo, che si propone di “dedurre tutte le proprietadella geometria dal piu piccolo numero di principi, attraverso metodi pura-mente analitici, come Lagrange ha fatto nella sua meccanica a riguardo dei

28Si intende che passano tutte per lo stesso punto, proprio o improprio. Si noti l’usodello stesso termine, ordonnance, che usa Desargues nel brano riportato.

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principi dell’equilibrio e del movimento” (cfr. [137], introduzione). La gene-ralita dei risultati che si ottengono con il metodo analitico non e accessibileai metodi sintetici classici. Lo scopo dei grandi geometri francesi dell’iniziodel secolo diciannovesimo (Monge, Carnot, Poncelet e Chasles) e quello disviluppare metodi geometrici sintetici che permettano di acquisire la stessageneralita dei metodi analitici, ma siano piu evidenti, cosı che la geometrianon sia piu un’accozzaglia di verita particolari29 ma diventi un corpo di teo-rie ben organizzato. Monge comincia con l’organizzare in un quadro teoricounitario le operazioni grafiche utilizzate nella sua epoca in vari contesti, chespaziano dall’ingegneria meccanica, civile e militare, alla gnomonica, al ta-glio delle pietre, alla progettazioni di macchine, per offrire soluzioni grafichepiu rapide di quelle ottenibili con i procedimenti analitici. Egli espone il suometodo delle proiezioni ortogonali nelle lezioni di geometria descrittiva, im-partite all’Ecole Normale de l’an III, [150]. Quest’opera segna l’inizio dellaripresa dei metodi sintetici nella geometria e fin dalle prime pagine l’autoreaffronta il tema del confronto tra i due metodi che diventera un “tormentone”negli anni successivi.

Non e senza ragione che noi paragoniamo qui la geometriadescrittiva all’algebra; queste due scienze hanno intimi rapporti.Non esiste costruzione di geometria descrittiva che non possa es-sere tradotta analiticamente; e quando i problemi non richiedanopiu di tre incognite, ogni operazione analitica si puo riguardarecome il copione di una scena geometrica.

Sarebbe desiderabile che le due scienze venissero coltivate in-sieme. La geometria descrittiva porterebbe alle operazioni analiti-che, anche le piu complicate, l’evidenza che e la sua caratteristica,e, a sua volta, l’analisi porterebbe alla geometria la generalita chegli e propria. Monge, [150], p.16.

Il metodo delle doppie proiezioni ortogonali di Monge permette di rappre-sentare una figura dello spazio sul piano attraverso due proiezioni ortogonalisu due piani perpendicolari π1 e π2, il secondo dei quali viene poi ruotato insenso antiorario per sovrapporlo al primo. L’immagine di un punto A saraquindi una coppia di punti A1, A2, allineati lungo una retta ortogonale allalinea di terra L.T. = π1 ∩ π2. La distanza di A1 dalla linea di terra si diceaggetto e quella di A2 si dice quota.

29“foule de verites partichulieres”, secondo l’espressione di Poncelet.

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Illustrazione del metodo della doppia proiezione ortogonale.

Ogni oggetto dello spazio puo essere rappresentato esattamente sul pianocon il metodo della doppia proiezione. Vediamo come si rappresenta unaretta.

Rappresentazione di una retta con il metodo della doppia proiezione ortogonale.

Monge e anche considerato il padre della geometria differenziale, di cuida la prima esposizione organica in [152] e di cui parleremo nel capitolo [186],dedicato alla storia della geometria differenziale.

Monge fu insegnante molto bravo e molto attento ai problemi dell’inse-gnamento. Fu uno dei fondatori dell’Ecole Polytechnique, un’istituzione cheebbe grande importanza per lo sviluppo della matematica francese, fortemen-te voluta dal governo rivoluzionario francese repubblicano, cfr. [133]. Mongetenne per molti anni due corsi all’Ecole Polytechnique basati su contenuti eprogrammi fortemente innovativi: un corso di geometria descrittiva e un cor-so di geometria differenziale, formando un’intera generazione di matematici

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francesi, tra cui Poncelet, cui dedicheremo il paragrafo successivo, Briancon,cui si deve la scoperta del teorema duale del teorema dell’esagono di Pascale Gergonne, fondatore nel 1810 della prima rivista interamente dedicata allamatematica, gli Annales de Gergonne, che fu teatro, tra l’altro, di un’asprapolemica sulla priorita della scoperta del concetto di dualita, cfr. p. 55, nota5.

Pur essendo a Poncelet che si attribuisce tradizionalmente il merito diaver posto le fondamenta della Geometria proiettiva, e innegabile che moltedelle idee sono gia presenti, almeno in forma embrionale, nell’opera di Monge(cfr. [49]).

Nella Geometria di Monge e della sua scuola non c’e ancorala Geometria proiettiva. Ivi si fa uso sistematico del metodo dellaproiezione soltanto nel caso particolare delle proiezioni ortogona-li. Ma i concetti analitici, profondamente assimilati e lumino-samente trasformati, hanno ormai portato ad un piu alto gradodi generalita la concezione degli enti geometrici coll’introduzionedegli elementi immaginari e con quella dell’introduzione del prin-cipio di continuita, di cui Poncelet doveva fare piu tardi un usocosı fecondo. Enriques, [92], p. 395.

Il lavoro di Monge sulla geometria descrittiva fu particolarmente impor-tante per lo sviluppo successivo della geometria proiettiva perche per la primavolta l’oggetto sistematico di studio non erano le proprieta di una figura geo-metrica o di una classe di figure geometriche ma quelle di unatrasformazionegeometrica. Chasles paragona l’influenza di Monge sulla geometria addirit-tura a quella di Cartesio.

Monge pote fare dell’Algebra colla Geometria come Cartesioaveva fatto della Geometria coll’Algebra . Chasles, [49].

Monge ebbe un ruolo molto importante anche nella rivoluzione del si-stema educativo francese che ebbe luogo alla fine del secolo diciottesemo inseguito alla Rivoluzione del 1789. Fervente sostenitore della Rivoluzione, se-guı Napoleone, cui era legato da profonda stima e ricambiata amicizia, nellecampagne d’Egitto e d’Italia. In occasione di quest’ultima fu nominato com-missario per scegliere le opere d’arte “donate” dagli italiani come contributoalle spese delle campagne napoleoniche.

4.2 Lazare Carnot

Contemporaneo di Monge e Lazare Carnot, un altro dei precursori della Geo-metria proiettiva ottocentesca con le idee presentate nella sua opera princi-

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pale [42]. A Carnot si deve lo sviluppo della teoria delle trasversali ,30 di cuiabbiamo gia visto numerosi esempi, tra cui il teorema di Menelao (oggettodei suoi primi lavori), il teorema di Pappo sul birapporto e il teorema diDesargues.

Tra i contributi di Carnot segnaliamo che fu il primo ad usare, seppurcon cautela, i numeri negativi per trattare in maniera uniforme le relazionicaratteristiche relative alle posizioni di un insieme di punti su una retta. Peresempio, dati tre punti A, B, C, la relazione AB + BC = AC vale senzaeccezioni, qualunque sia la posizione relativa dei tre punti, pur di assumereche le quantita in gioco non siano lunghezze ma lunghezze orientate rispettoa un verso fissato ad arbitrio sulla retta.

L’importanza di queste ricerche va messa in relazione con il tema, giamesso in luce trattando di Monge, della ricerca nella geometria della stessageneralita dell’algebra, che impegno strenuamente i geometri francesi attivinella prima meta del secolo diciannovesimo. Poncelet e Chasles gli esponen-ti piu illustri di questo fermento, riconobbero ai lavori di Carnot un ruoloispiratore altrettanto importante di quello riconosciuto ai lavori di Monge.

Un’altra caratteristica dell’opera di Carnot e il costante tentativo di ge-neralizzare teoremi di geometria piana allo spazio. Carnot trova ad esempiouna formula per il volume del tetraedro in funzione dei suoi sei spigoli, chegeneralizza la formula per il calcolo dell’area di un triangolo a partire dallelunghezze dei suoi lati, e dimostra l’analogo tridimensionale della famosa leg-ge dei coseni della trigonometria che porta oggi il suo nome: per un tetraedrole cui facce hanno area a, b, c e d rispettivamente, vale la relazione

a2 = b2 + c2 + d2 − 2cd cosB − 2bd cosC − 2bc cosD

dove, le facce (di area) b, c e d sono incidenti, B e l’angolo diedro compresotra le facce c e d, C e l’angolo compreso tra le facce b e d, D e l’angolocompreso tra le facce b e c.

Carnot e noto anche per la suo proposta per i fondamenti del calcolodifferenziale ([40]), che pero non ebbe seguito. Come Monge fu un ferven-te sostenitore della Repubblica francese prima e di Napoleone poi e ricoprınumerosi incarichi politici e militari di grande rilievo.

4.3 Letture

4.3.1 Monge

La geometria descrittiva ha due oggetti: il primo e quello distabilire i metodi per rappresentare sulla carta da disegno che ha

30Cfr. [49], p. 215.

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solo due dimensioni, - cioe, lunghezza e larghezza, - tutti i solididella natura che hanno tre dimensioni, - lunghezza, larghezza eprofondita, - purche, pero, questi solidi siano passabili di defini-zione rigorosa. Il secondo oggetto e di fornire i mezzi di ricono-scere in accordo una descrizione esatta delle forme dei solidi e didedurre di qui tutte le verita che seguono dalle loro forme e dalleloro rispettive posizioni.

4.3.2 Carnot - [42], p. ii

Leibniz voleva che si facesse entrare nell’espressione delle con-dizioni di un problema geometrico, la diversita della posizionedelle parti corrispondenti delle figure confrontate, cosı che sepa-randole con un carattere ben distintivo, le si possa isolare piufacilmente nel calcolo. Ora, queste diversita di posizione si espri-me sovente attraverso semplici cambiamenti di segno; ed e pre-cisamente la teoria di queste mutazioni che costituisce l’oggettoessenziale delle ricerche che ho in mente, e a cui do il nome diGeometria di posizione.

4.3.3 Carnot - [41], pp. 143 – 4

[In matematica] si ammettono degli oggetti che non esistono;li si rappresentano con dei gereoglifici cosı come cio che esistedavvero. Si mescolano gli oggetti reali con quelli della ragione; poicon trasformazioni metodiche si giunge ad eliminare o a cacciarequesti ultimi dal calcolo: cosı cio che vi era inintelligibile nelleformule scompare; rimane cio che una sintesi sottile avrebbe senzadubbio permesso di scoprire. Ma questo risultato, lo si ottienesovente per una via piu breve e piu facile e quasi meccanicamente,quando enormi sforzi avrebbero fallito nel tantativo di pervenirviin altro modo. Tale e il vantaggio dell’analisi, e di conseguenzaquello dei moderni sugli antichi.

4.3.4 Castelnuovo. Lezioni di Geometria Descrittiva (1893-94)

La Geometria descrittiva, avendo attratto l’attenzione dei geo-metri sulle relazioni tra le figure delle spazio e le loro rappresen-tazioni piane diede impulso allo sviluppo di quelle teorie che sistaccarono poi dalla Descrittiva e formarono la Geometria Pro-iettiva; la quale oggi da i mezzi per risolvere nel modo piu semplicealcuni problemi di Descrittiva.

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Scopo della Descrittiva e di rappresentare con una figura pia-na una figura dello spazio, in modo che dalla immagine si possadedurre la forma, la grandezza e la posizione della figura obbiet-tiva. Ogni metodo che raggiunga tale scopo si dice metodo dirappresentazione.

I metodi di rappresentazione sono fondati sulla operazione diproiezione da un centro (centro di vista) sopra un piano (quadro).La semplice proiezione da la prospettiva di un oggetto, e offre un’i-dea della forma dell’oggetto, ma non e sufficiente per ricostruirloin posizione e grandezza. I vari metodi di rappresentazione devo-no completare il principio della proiezione con altri precetti attia definire esattamente i punti, le rette e i piani dell’oggetto; edifferiscono in questi precetti.

5 Poncelet

Jean Victor Poncelet, allievo di Monge, e considerato il fondatore della mo-derna geometria proiettiva. Nel suo Traite [171] Poncelet espone i principifondamentale su cui fonda lo studio delle proprieta invarianti delle figure ri-spetto alle operazioni di proiezione e sezione, cioe le proprieta proiettive dellefigura. Nel trattato di Poncelet le idee della scuola di Monge sono fuse in ungrande disegno che porta al rifiorire della geometria sintetica, che per circamezzo secolo avra grande successo.

la dottrina delle proprieta proiettive, quella della prospettivain rilievo31, il principio o legge di continuita infine la teoria dellepolari reciproche e la teoria delle trasversali estesa a linee e super-fici curve, non formano semplicemente delle classi, piu o menoestese, di problemi e di teoremi, ma costituiscono propriamente,per la geometria pura, dei principi, dei metodi di indagine e diinvenzione, dei mezzi di estensione e di esposizione del genere diquelli che hanno il nome di principio di esaustione, di metododegli infinitesimi, ecc. Poncelet, [174], pp. 217-18.

Molte delle sue idee furono sviluppate durante la prigionia a Saratov, do-ve fu condotto dai russi in seguito alla disfatta dell’armata napoleonica inRussia32. Durante la prigionia egli si dedico come passatempo alla ricostru-zione delle conoscenze matematiche che aveva appreso durante i suoi studi

31Si tratta dell’omologia tridimensionale, cfr. paragrafo 2.1.32Per una biografia di Poncelet e gli intrecci con la sua attivita scientifica, si rimanda

alla voce Poncelet in [223].

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all’Ecole Polithecnique, dove era stato allievo, tra gli altri, di Monge, Carnote Lacroix. Si rese conto di riuscire facilmente a ricostruire quanto aveva ap-preso di analisi mentre gli era molto piu difficile, per la mancanza di principigenerali ricostruire le sue nozioni di geometria. Dedico quindi la sua atten-zione a stabilire alcuni principi generali per la geometria, basandosi sui qualicrea la geometria proiettiva. Tra questi spiccano il principio di proiezione,principio di continuita e il principio di dualita

L’opera di Poncelet e dominata dal Principio di proiezione, che abbiamogia visto in opera con Desargues. Si tratta dell’idea di ricondurre medianteproiezioni e sezioni lo studio proiettivo delle figure ai casi piu semplici.

Facendo uso del principio di continuita (cfr. Letture) giunse ad una teoriageometrica degli Elementi ideali (cfr. paragrafo 5.1) grazie a cui stabilı, tral’altro, che due cerchi hanno in comune due punti immaginari impropri (ipunti ciclici).33

In conseguenza del suo principio di dualita, scoperto indipendentemen-te da Gergonne,34 mise in luce come punti e rette giochino nella geometriaproiettiva del piano un ruolo perfettamente scambiabile e quindi che esisteuno spazio delle rette completamente analogo allo spazio dei punti. Questaosservazione aprı alla strada ad una concezione di spazio i cui costituenti ele-mentari possono essere oggetti geometrici qualunque purche omogenei. Que-sta nuova concezione di spazio permise, nei decenni successivi, di ampliareenormemente il dominio della geometria.

33Il principio di continuita non fu mai formulato da Poncelet in maniera chiara. Succes-sivamente vennero fatti diversi tentativi per fondare in maniera rigorosa questo principiobasandosi sulle proprieta algebriche dei sistemi di equazioni polinomiali, cfr. la letturadi Enriques e Chisini. La formulazione algebrica non e pero conforme al modo di pensa-re puramente sintetico di Poncelet. Una possibile ipotesi sulla natura del significato chelui attribuiva al principio di continuita si puo formulare con riferimento alle costruzionigeometriche dinamiche, cioe a costruzioni geometriche (con riga e compasso o con curvegeometriche piu complicate nel senso di Cartesio) che, a partire da certi elementi iniziali(punti, rette, ecc.) permettono di costruire una certa configurazione geometrica. Il princi-pio di continuita riguarda il permanere delle proprieta geometriche quando si variano glielementi iniziali della costruzione ma si preservano le costruzioni, come accade nei softwaredi geometria dinamica. Quando si deforma una costruzione per trascinamento di uno deglielementi iniziali.

34Poncelet e Gergonne ebbero una violenta disputa per rivendicare la priorita della sco-perta del principio di dualita, di cui resta traccia negli Annales de Gergonne pubblicatitra il 1826 e il 1829, cfr. [175, 104, 105, 176, 177, 178]. Sembra che questa disputa sia unadelle ragioni per cui Poncelet decise di spostare i suoi interessi dalla geometria proiettivaalla meccanica, cfr. la biografia di Poncelet in [223]. Poncelet e stato il primo a osservarel’importanza della dualita determinata da una conica, mentre si deve a Gergonne il rico-noscimento esplicito del fatto fondamentale che la dualita e una relazione fondamentaledella geometria proiettiva, indipendente dalla scelta di una conica.

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I principi di Poncelet, anche se criticabili dal punto di vista logico, ,soprattutto per quanto riguarda il principio di continuita, permettevano dirisolvere problemi difficili, come il problema di Apollonio di determinare lecirconferenze tangenti a tre circonferenze date.

Il problema di Apollonio chiede trovare i cerchi tangenti a tre cerchi dati. A secondo delle

posizioni dei tre cerchi dati, si hanno al piu 8 cerchi tangenti, detti Cerchi di Apollonio.

A Poncelet si deve anche l’introduzione e lo studio dell’omologia solida,che svolge nello spazio un ruolo analogo a quello delle dell’omologia pianama che, a differenza di quella, non puo interpretarsi come composizione diproiezioni e sezioni a meno di passare, ma i tempi non erano ancora maturi,allo spazio proiettivo quadridimensionale.

Sempre a Poncelet si devono molte applicazioni della teoria della polaritae il riconoscimento della sua fondamentale importanza, lo studio e le appli-cazioni delle configurazioni armoniche, l’introduzione della nozione di centrodelle medie armoniche, e la nozione di birapporto35, della cui importanzanon si rese pero conto (cfr. la lettura di Chasles nella prima sezione).

Poncelet si avventuro anche nello studio generale delle curve algebrichedi ordine maggiore di due, affrontando, tra gli altri, il problema di determi-nare il numero delle tangenti comuni a due curve algebriche di gradi m ek rispettivamente, che attiro l’attenzione dei geometri negli anni successivi.Per affrontare questo problema, Poncelet dimostro la formula

d∗ = d(d− 1)− 2δ − 3κ.

che lega il grado d di una curva dotata di soli punti doppi nodali o cuspidalisemplici, la sua classe d∗ (ovvero il numero di tangenti che posso condurreda un punto generico alla curva), il numero δ dei nodi e il numero κ dellecuspidi. Questa formula fu scoperta anche da Plucker, a cui e usualmenteattribuita.

35Cfr. [223], ad vocem.

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A Poncelet si devono anche i primi studi sui poligoni di Poncelet , cioe ipoligoni che sono contemporaneamente iscritti a una conica data e circoscrittiad una seconda conica, anch’essa assegnata. Per i legami con la teoria dellefunzioni ellittiche, questo problema ebbe un interesse rilevante nel corso deldiciannovesimo secolo, cfr. [139], pp. 26-30.

Per i suoi importanti contributi alla meccanica si rimanda alla bibliografiacitata in [223].

5.1 Elementi ideali

Poncelet considerava in maniera sistematica i punti impropri , gia introdottida Keplero e Desargues, e i punti immaginari . Egli, come gia Desargues,dall’osservazione che rette parallele ad una medesima direzione possono esseretrasformate per proiezione e sezione in rette passanti per il medesimo puntoe condotto ad interpretare una direzione comune come un punto all’infinito,equivalente ai punti ordinari, per il quale passano tutte le rette parallele aquella direzione.

Concepı inoltre la totalita dei punti all’infinito di un piano come elementidi un retta all’infinito, che puo dunque proiettarsi sopra un altro piano neipunti di una retta e la totalita dei punti all’infinito dello spazio come elementidi un piano all’infinito

Per quanto riguarda la maniera in cui Ponecelet introdusse gli elementiimmaginari vale la pena leggere le parole stesse dell’autore, riportate nellalettura relativa agli elementi immaginari.

Sinteticamente, illustriamo l’idea di secante immaginaria e di di unaconica.

Sia C una conica e sia MN una secante. Ad essa e associati il diametroconiugato AB, definito come il luogo dei punti medi delle secanti parallele aMN , ovvero come la polare del punto improprio della retta MN . Sia O ilpunto medio della corda MN e sia O′ il coniugato armonico di O rispetto adAB. O′ e il polo della retta MN .

Se facciamo variare la corda MN in un fascio di rete parallele si puodimostrare che la quantita

p =(MN)2

OB ·OAresta costante.

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Due coniche supplementari. Tra le rette coniugate al diametro AB, una secante dell’unae secante immaginaria dell’altra.

Si consideri ora una retta r esterna alla conica ma parallela a MN . Di-remo che tale retta e una secante ideale della conica. Sia O′ il punto di in-tersezione della retta AB con la secante ideale. Siano M ′ ed N ′ le soluzioni,sulla secante ideale) dell’equazione

(2 ·O′X)2 = p(O′B ·O′A).

Al variare di O′ i punti X descrivono un luogo che e una conica, la conicasupplementare di C rispetto alla direzione AB. La corda M ′N ′ e la cordaideale segata su C dalla secante ideale r.

5.2 Centro delle medie armoniche

Per studiare dal punto di vista proiettivo le curve algebriche di ordine mag-giore di due e necessario definire le polari di curve qualsiasi. La polare di unpunto rispetto a una conica si puo definire prendendo il coniugato armonicodel punto rispetto alle intersezioni delle secanti delle rette per il punto stesso.Per definire la polare di un punto rispetto a una curva algebrica qualsiasi enecessario definire il centro delle medie armoniche.

La teoria delle quaterne armoniche si puo sviluppare senza riferimento adalcuna nozione metrica e per questo sara posta da Von Staudt a fondamentodella geometria proiettiva, cfr. sezione 8. La sua origine e molto antica,cfr. lettura a p. 77 ed e collegata alla teoria delle proporzioni che e unodei capitoli piu antichi della matematica greca che, accanto alla proporzionearitmetica e geometrica considera anche quella armonica.

Quattro numeri (o segmenti) a, b, c and d sono in:

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proporzione aritmetica se (a− b) : (c− d) = a : a, ovvero

a− b = c− d;

proporzione geometrica se a : b = c : d, ovvero

ad = bc;

proporzione armonica se (b− a) : (d− c) = ab : cd, ovvero

1

a− 1

b=

1

c− 1

d.

Esercizio Dati tre segmenti, costruire con riga e compasso il quarto pro-porzionale nelle proporzioni aritmetica, geometrica e armonica.

Dalle proporzioni si possono costruire le corrispondenti medie. Le mediaaritmetica, geometrica e armonica di due numeri o di due segmenti a e c eil numero o il segmento b tale che a, b, b and c stanno nella corrispondenteproporzione.

• b e la media aritmetica di a e c se e solo se

(a− b) : (b− c) = a : a

• b e la media geometrica di a e c se e solo se

(a− b) : (b− c) = a : b

• b e la media armonica di a e c se e solo se

(a− b) : (b− c) = a : c

I Pitagorici avevano sviluppato una teoria delle medie che, oltre a quellediscusse qui, ne considerava altre sette, cfr [31].

Sia assegnato un segmento AB e sia P un punto qualsiasi sul suo prolun-gamento e sia Q il coniugato armonico di P rispetto ad A e B. Allora

PA

PB=QA

QB=PQ− PAPB − PQ

e quindi PQ, come osservo per la prima volta Mac-Laurin, e la media ar-monica dei segmenti PA e PB. Se P va all’infinito il punto Q va nel puntodi mezzo del segmento AB. In questo senso la divisione armonica si collega

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alla divisione in parti uguali. La divisione armonica, a differenza di quella inparti uguali, si preserva per proiettivita.

Attraverso la coniugato armonico e possibile definire la nozione di polaresenza eccezione, cfr. sezione 5.3.

La condizione che Q sia il coniugato armonico di P rispetto a due puntoA1, A2 si puo esprimere chiedendo che l’ascissa d di Q rispetto all’origine Pverifichi l’equazione (

1

x− 1

a1

)+

(1

x− 1

a2

)= 0

dove a1, a2 sono le ascisse di A1, A2 rispettivamente.

Esercizio Verificare l’asserto.Partendo da questa formula Poncelet generalizzo la costruzione del co-

niugato armonico, definendo la nozione di centro delle medie armoniche diun insieme finito A1, . . . , Am di punti allineati con un polo O. Si tratta delpunto che verifica l’equazione

m∑i=1

(1

x− 1

ai

)= 0.

dove, come prima, x e ai sono le coordinate del centro delle medie armonichee dei punti Ai rispettivamente.

De Jonquieres in [128], definı l’insieme dei centri armonici di grado r diun insieme finito A1, . . . , Am di punti allineati rispetto ad un polo O e lapolare r-esima di un punto rispetto a una curva. I centri armonici di grador sono i punti che verificano l’equazione∑(

1

x− 1

a

)r

= 0.

dove(1x− 1

a

)r

indica un prodotto di r fattori ottenuti scegliendo r elemen-ti distinti da A1, . . . , An e le corrispondenti coordinate rispetto ad O, e lasomma e estesa a tutte le possibili scelte.

5.3 Polarita - teoria sintetica

La considerazione delle polari di un punto rispetto a una conica e moltoantica, anche se l’introduzione dei termini polo e polare e piu recente e sideve a Servois in [216] e a Gergonne in [103], rispettivamente. I teoremifondamentali della polarita rispetto a una conica si trovano gia in in Apollonio

60

e in Pappo, cfr. [49], pp. 19-20, ma distinguendo i diversi tipi di sezioneconica. Sviluppi significativi si hanno con il lavoro di Desargues, De la Hire(cfr. [78]) e Poncelet (cfr [171]).

La definizione sintetica di polare di un punto rispetto a una conica sibasa sulla costruzione del quarto armonico, vista nel paragrafo precedente.Precisamente, sia P un punto fissato nel piano e sia Γ una conica. Sia tuna retta qualsiasi condotta da P , che intersechi la conica Γ in due punti,A e B. Sia P il coniugato armonico di P rispetto a A e B. Al variare dellatrasversale t condotta da P si puo dimostrare che il punto M si muove suuna retta, [segue p.e. da [60], p. 75]. Questa retta e la polare di P rispettoalla conica. Si noti che solo per le rette passanti per P che sono secanti laconica e possibile costruire il punto M , ma basta che la conica abbia piu diun punto reale per determinare completamente, con questa costruzione, laretta polare.

La polare di P rispetto a una conica. Il punto M , che descrive un segmento della retta

polare, e il coniugato armonico di P rispetto alle due corrispondenti intersezioni con la

conica

Dualmente si definisce il polo di una retta rispetto a una conica. La polaritarispetto a una conica associa ad ogni punto una retta e a ogni retta un puntoin maniera da preservare le relazioni di incidenza tra punti e rette.

Esercizio Si definisca un elemento come una coppia formata da un puntoe da una retta incidenti. Un elemento si puo identificare con una terna dinumeri (x, y, p) dove (x, y) sono le coordinate del punto e p e il coefficienteangilare della retta (passante per il punto). Qual e l’immagine dell’elemento(x, y, p) rispetto alla polarita associata alla parabola di equazione y = x2?Qual e il legame con la trasformata di Legendre?

61

In maniera analoga si definisce nello spazio la Polarita rispetto a unaquadrica e si ottiene una corrispondenza fra punti e piani, fra piani e punti,che preserva l’incidenza.

La definizione sintetica di polare venne presto superata da una definizioneanalitica che e quella in uso anche oggi. La discuteremo nel capitolo sullecurve algebriche.

E anche possibile sviluppare una teoria della polarita che prescinda dallanozione di conica, e usare la polarita per definire le coniche, come mostraVon Staudt in [224]. Cfr. anche [60].

Le polarita rientrano, come casi particolari, fra le cosiddettereciprocita36 e sono precisamente reciprocita involutorie. Que-sta ultima proprieta caratterizza completamente le polarita piane,mentre nello spazio le reciprocita involutorie sono di due tipi: lepolarita e le correlazioni focali o sistemi nulli. Citazione dallavoce Polarita in [122].

La costruzione proiettiva della polare di una conica si generalizza a curvedi grado qualunque con la nozione dei centri armonici, che abbiamo discussoa p. 60. Per curve di grado d, si hanno d − 1 curve polari. Per costruire lapolare r-sima di P rispetto a una curva C, si interseca una retta per P conC e si considerano i centri armonici di grado d − r delle d intersezioni dellaretta con la curva data rispetto al polo P (cfr p. 60). Il luogo di tali centri,

36Omografie tra i punti del piano e le rette del piano.

62

al variare della retta per P , definisce la polare r-esima del punto rispetto allacurva, che ha grado d− r.37

La nozione di polare r−esima di un punto rispetto a una curva di gradoqualsiasi fu magistralmente utilizzata da Cremona nella sua teoria geometricadelle curve del piano ([66]) e delle superfici dello spazio ([71]).

5.4 Principio di dualita

La prima dualita che fu esplicitamente osservata e la dualita sferica, osser-vata da Viete e Snellius. Il caso piu elementare di dualita sferica e quellorelativo ai criteri di eguaglianza dei triangoli sferici, che, a differenza del casoeuclideo, si presentano a coppie: da una parte sia ha l’eguaglianza di duetriangoli aventi eguali due lati e l’angolo compreso ovvero i tre lati, dall’altrasi ha l’uguaglianza di due triangoli aventi eguali due angoli e il lato compreso,ovvero i tre angoli. La dualita sferica, che associa ad ogni proposizione re-lativa ad un poligono sferico la proposizione duale che si ottiene scambiandotra loro lati e angoli, si puo dimostrare con la considerazione della cosiddettapolarita sferica, che associa ad un punto P della sfera, la circonferenza mas-sima tagliata sulla sfera dal piano per il centro, ortogonale al vettore OP eorientata con la regola della mano destra.

37Analiticamente, la polare prima di un punto P = (α0, α1, α2) rispetto alla curvaalgebrica di equazione omogenea F (x0, x1, x2)) = 0 e la curva

α0∂F

∂x0+ α1

∂F

∂x1+ α2

∂F

∂x2.

L’intersezione di F con la polare prima di P rispetto alla curva e l’insieme dei puntiche, congiunti a P determinano le tangenti alla curva condotte da P . Se f(x, y) = 0 el’equazione affine della curva F (f(x, y) = F (1, x, y)), allora l’equazione affine della polaree

∂f

∂x(x− β) +

∂f

∂y(y − γ)− d · f

dove β = α1/α0, γ = α2/α0 e d e il grado di F .

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Polarita sferica

Poncelet osserva che, fissata una conica nel piano (risp. quadrica nellospazio) e possibile associare ad ogni punto P del piano (risp. dello spazio)la retta polare di P rispetto alla conica (risp. il piano polare di P rispettoalla quadrica). Applicando sistematicamente la trasformazione polare aglielementi di una figura e possibile costruire una seconda figura in maniera chepunti e rette della prima vengono trasformate in rette e punti della seconda.Poncelet chiamava la seconda figura polare reciproca della prima e osservarache la polare reciproca della seconda restituisce la prima. Il nome dualitaper la trasformazione polare reciproca, si deve a Gergonne, che mise in lucel’indipendenza di tale nozione dal riferimento ad una conica.

5.5 Letture

5.5.1 Poncelet: dalla Memoire sur les centres de moyennes har-moniques

Discorso preliminare38

Nel trattato che ho pubblicato39 l’anno scorso sulle proprietaproiettive delle figure, mi sono occupato non tanto di fare unaraccolta di teoremi e di problemi di Geometria, quanto di sta-bilire principi generali e fecondi, per mezzo dei quali si possonoaffrontare gli uni e gli altri, per cosı dire, senza esitazione, e allamaniera in cui si procede nell’applicazione dell’algebra alla geo-metria, cioe nell’analisi delle coordinate: io credo di aver messo,

38[174], pp. 213 – 21739Questa memoria, redatta nel corso dell’anno 1823, e stata presentata da Mr Arago

verso la fine di Novembre, dello stesso anno, all’epoca del suo soggiorno a Metz. Si puoleggere, alla pagina 349 del tomo XVI degli Annales de Mathematiques, pubblicati da M.Gergonne, il rapporto che ne e stato fatto all’accademia reale delle scienze da M. Cauchy.

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infatti, ogni lettore geometra nella situazione di poter scoprire dase stesso, e dimostrare, se necessario, quella massa di proposizioniche appartengono alle figure composte, in generale, di punti, dirette, di sezioni coniche, di piani e di superficie di secondo ordinequalunque, proposizioni che, a causa della loro elegante sempli-cita e della loro utilita nelle arti, gli antichi cosı come i moderni,hanno coltivato con una sorta di predilezione, e che per la mag-gior parte e fino a questi ultimi tempi, essendo stati trattati conmetodi cosı particolari e cosı diversi gli uni dagli altri e soven-te cosı difficoltosi, e stato quasi impossibile coglierne l’unita eindovinarne l’origine comune.

Che mi sia permesso qui di fissare un istante l’attenzione del-l’Accademia su qualcuno di questi principi generali, che non sonoancora abbastanza apprezzati, e che a me paiono tanto nuovi etanto importanti per la Geometria; questa esposizione succintagettera qualche luce sull’oggetto delle ricerche che mi occupanoin questo momento e mi sara da guida nella maniera piu naturalee filosofica.

Tra questi principi io mettero in prima linea, per l’estensionedelle conseguenze che ne derivano, quelli che si ricollegano alladottrina delle proiezioni, per mezzo della quale si trasformanodelle figure molto generali in altre del tutto particolari e vicever-sa40; in modo tale che se le proprieta dell’una sono conosciute, sene conclude immediatamente le proprieta dell’altra, per lo menoquelle di queste proprieta la cui natura e sufficientemente generaleda conservarsi nelle diverse proiezioni centrali della figura, e che,per questa ragione, io ho chiamato proiettive nell’opera citata.

Il carattere di questa sorta di proprieta non e difficile da stabi-lire in quanto concerne le relazioni puramente descrittive o grafi-che; si riconosce sempre al semplice enunciato, e ho fornito altrovele leggi sulle modifiche cui sono soggette, nei casi particolari incui certi oggetti si allontanano all’infinito, o assumono posizioniparticolari, come quella del parallelismo o dell’asintotismo.

Quanto alle relazioni puramente metriche o concernenti i rap-porti di misura delle linee, i loro caratteri di proiettabilita41, secosı mi posso esprimere, non possono essere presentati in una ma-niera interamente generale, a causa della complessita delle espres-sioni, e ho dovuto limitarmi a stabilirle per una classe particolare

40Si tratta del gia citato principio di proiezione.41Cfr. [218], pp. 47 e seguenti.

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di relazioni metriche, e tuttavia ancora molto estese, perche com-prende tutto cio che si conosce attualmente sulle proprieta pro-iettive delle figure, e ne indicano un’infinita di altre che non losono ancora. Credo anche che non esiste alcuna relazione metricaproiettiva che non possa essere ricondotta a questa classe par-ticolare attraverso trasformazioni opportune del calcolo42. Maquesta stessa restrizione e un grande vantaggio, perche indipen-dentemente dal carattere di semplicita che impone alle relazionimetriche, le rende ancora atte a restare applicabili, non solo alleproiezioni o prospettive ordinarie della figura, ma anche alle pro-iezioni sferiche fatte dal centro della sfera e per le quali le semplicidistanze sono sostituite dai seni degli archi dei grandi cerchi cor-rispondenti43, e a questa specie di proiezione molto piu generalicui ho fatto riferimento, fatte di espressioni convenienti, prospet-tive in un piano o piane, e prospettive nello spazio o in rilievo;genere di proiezioni sulle quali non si e ancora detto nulla, scrittonulla, e che meritano tuttavia tutta l’attenzione dei geometri, eparticolarmente quella degli scultori, che mancano ancora di pre-cetti rigorosi e generali per il tracciamento di quelle opere che siconviene chiamare basso rilievi.

In effetti, credo di aver stabilito questi precetti nel supple-mento messo in fondo alla mia opera, e, nella stessa manierache io avevo mostrato, nella prima parte, come, per la proiezionecentrale ordinaria, si possono riportare le figure composte di se-zioni coniche e di linee concorrenti, in altre molto piu elementaricomposte unicamente di cerchi e di rette parallele, io ho anchedimostrato, in quel supplemento, [[attraverso l’estensione delletrasformazioni omologiche]] alle superfici del secondo ordine ingenerale, e con l’aiuto del rilievo prospettico, le proposizioni checoncernono piu semplicemente le sfere e i sistemi di sfere; e io cre-do di aver mostrato delle applicazioni molto belle per far coglierelo spirito generale del metodo, e farne apprezzare tutta l’utilita el’importanza.

Un altro principio di ampia applicazione, al quale puo darsiche non si sia prestata sufficiente attenzione nella Geometria ra-zionale, e il principio di continuita44, in virtu del quale si da alle

42Si veda la nota II al termine di questa Memoria.43Il fascio di rette per un punto puo essere preso come modello della retta proiettiva. Il

birapporto (a, b, c, d) di quattro elementi si definisce come sin acsin bc : sin ad

sin bd , dove sin ac indicail seno dell’angolo tra la retta a e la retta b.

44Per il quale si rimanda alla lettura di Enriques Chisini.

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differenti proposizioni della geometria, l’estensione e la generalitache a loro mancano solitamente, secondo la visione limitata a cuigiunge spesso chi considera le figure e i risultati dei ragionamentiche si applicano.

Ammettere e utilizzare la legge di continuita mi era indispen-sabile per dare ai principi della dottrina delle proiezioni e allediverse conseguenze che ne derivano, la certezza e l’estensionenecessaria, oltre al fatto che offrono i mezzi di interpretare e diintrodurre esplicitamente in Geometria, la considerazione dell’in-finito e degli immaginari che giocano un ruolo cosı importante enecessario nell’analisi algebrica, e, si puo dire, in tutte le appli-cazioni del calcolo. La conseguenza dell’accettazione della conti-nuita e stata la teoria delle secanti, delle corde ideali e, di qualsiasioggetto che , senza smettere di esistere in maniera effettiva nelletrasformazioni di una medesima figura ha pero cessato di dipen-dere in una maniera puramente geometrica, dagli altri oggettiai quali si rapportava, e che lo definivano o ne permettevano lacostruzione a partire dalla figura primitiva.

Infine, segnalero un ultimo principio, che non ho dovuto nevoluto45 esporre in tutta la generalita che gli e propria nel Traitedes proprietes projectives, e che costituisce cio che ho chiamatola Teoria delle polari reciproche, per analogia con quello che igeometri avevano gia chiamato il polo e la polare delle rette edelle superfici del secondo ordine,

A prima vista, si potrebbe credere che il principio di cui sitratta e meno generale e meno vasto dei precedenti, per il fattoche esso non costituisce che una teoria particolare relativa alle ret-te e alle superfici del secondo ordine, ma pensando cio si verrebbetratti in inganno, perche da questa teoria segue che ad ogni enun-ciato di una proposizione sufficientemente generale dell’estensio-ne, o per esprimermi con maggior precisione, di una relazioneproiettiva e di situazione, si e sempre in condizioni di assegnarneimmediatamente un’altra del tutto diversa, ugualmente generalee che sara sovente molto difficile da stabilire con metodi diretti,salvo il caso in cui la proprieta nuova sia la stessa, cosa di cui sihanno esempi.

45Si riferisce alle polemiche con Gergonne sulla priorita della scoperta.

67

5.5.2 Poncelet, sugli elementi immaginari: [171], punti 48-53.

[... Sia] mn una retta tracciata nel piano di una sezione conicaqualunque C. [...] Sia O il punto medio o centro della corda MNche interseca la curva. Esso si trova all’intersezione di questaretta con il diametro AB coniugato alla sua direzione46. Il puntodi intersezione O′ delle due tangenti alle estremita della corda e,con riferimento a questo stesso diametro, il coniugato armonicodel punto O47, ovvero

O′A

O′B=OA

OB.48

Ne segue che la costruzione dei punti O e O′ si puo fare indi-pendentemente dai punti M ed N , e si possono definire quindiin tutti i casi possibili, anche quando la retta mn e esterna allacurva. [....]

46Il diametro coniugato di una conica rispetto ad un fascio di rette parallele e la rettache congiunge i punti medi delle corde staccate dalle rette del fascio che intersecano laconica, con la conica stessa.

47Se la conica e un’iperbole, il diametro e sempre secante. E sempre possibile peroricondursi al caso di un’ellisse, o addirittura di un cerchio, per proiezione e sezione.

48Ricordiamo che la condizione di armonicita e invariante per proiezioni e sezioni, grazieal teorema di Pappo.

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Secante e secante ideale di una conica.

Supponiamo infatti che la retta mn si trasporti in m′n′ esternaalla curva; sia O′ il punto dove incontra, in quella nuova posizio-ne, la direzione indefinita del diametro AB che contiene il puntodi mezzo delle corde parallele a m′n′; supponiamo che, dal puntoO′ si conducano le tangenti O′M e O′N alla curva, come saraevidentemente possibile nella situazione attuale, esse verranno adeterminare due punti di contatto M ed N e una corda corri-spondente, la cui direzione, necessariamente coniugata a quelladel diametro AB, sara parallela a m′n′ e intersechera questo dia-metro nel punto O richiesto; poiche si avra evidentemente [...] trai punti O, O′, la relazione armonica che avevamo notato prima.

[...]Comunque, i punti O e O′, considerati come appartenenti alla

retta mn, esistono indipendentemente dalla realta o meno delleintersezioni M ed N tra la retta e la curva

[...]Supponendo che non si vogliano creare dei termini nuovi per

riferirsi alla retta mn e a cio che gli appartiene, e che si vogliacontinuare a pensarla come una secante alla curva anche quan-

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do cessi di intersecarla, noi diremo, alfine di conservare l’ana-logia tra le idee e il linguaggio, che i suoi punti di intersezio-ne con la curva, e di conseguenza la corda corrispondente, sonoimmaginari, che essa e secante ideale di questa curva;

[...]In generale si potra designare con l’aggettivo immaginario l’in-

tero oggetto che, da assoluto e reale che era, in una data figura,sara divenuto interamente impossibile o non costruibile nella fi-gura correlativa, quella che ci immaginiamo che provenga dallaprima attraverso il movimento progressivo e continuo di qualchesua parte, senza violare le leggi primitive del sistema49. L’epitetoideale servira a designare il modo particolare di esistenza di un og-getto che, rimanendo al contrario reale nella trasformazione dellafigura primitiva, cessera tuttavia di dipendere, in maniera assolu-ta e reale da altri oggetti che lo definiscono graficamente, perchequesti oggetti saranno divenuti immaginari, in maniera tale cheaccanto ai nomi che si hanno gia in geometria per esprimere idiversi modi di esistenza che si vogliono confrontare, come gli in-finitamente piccoli e gli infinitamente grandi, bisogna anche averequello per esprimere la non esistenza, al fine di dare giustezza eprecisione al linguaggio del ragionamento geometrico.

5.5.3 Enriques – Chisini: Il principio di continuita

Ora la concezione che gli enti geometrici si presentino natu-ralmente in sistemi continui si e concretata in un principio piupreciso per quel che riguarda le figure della geometria elementaree poi della geometria proiettiva e algebrica.

Diciamo anzitutto del suo aspetto elementare. La geometriad’Euclide non pone alcun legame fra figure diverse che si lascianodedurre l’una dall’altra con una variazione continua dei dati. Peresempio: l’angolo inscritto in un arco di cerchio e costante (Eu-clide, III, 27), ed e uguale all’angolo della corda con la tangentein uno degli estremi (III, 32). La seconda proprieta si deducedalla prima come caso particolare (caso limite), ma per Euclidecostituisce un caso affatto nuovo.

49Si tratta di un’applicazione del Principio di continuita di cui parleremo nel paragrafo5.5.3.

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L’atteggiamento di Euclide a tale riguardo non deriva soltantoda scrupoli di rigore, bensı anche dalla circostanza che, per ef-fetto d’una variazione continua dei dati, le proprieta delle figuresubiscono talvolta una modificazione apparentemente discontinua.Per es., dato nel piano un punto P in relazione a due rette paral-lele a e b, se P e interno alla striscia ab sara costante la sommadelle sue distanze da a e b, se diventa esterno risulta costante ladifferenza.

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In modo analogo cambiano le proprieta metriche delle coniche,quando si passa dall’ellisse alla parabola e all’iperbole, sebbene ilpassaggio si possa fare in modo continuo.

Pero un’intuizione geometrica piu sviluppata riesce a scoprire,anche in questi casi, qualche cosa che rimane costante nell’appa-rente cambiamento, spiegando altresı come le somme si scambinocon le differenze in virtu della polidromia della funzione√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

che esprime la distanza nello spazio di due punti di coordinate x,y, z e x’, y’, z’.

Uno dei primi che abbiano riflettuto su questo aspetto dellacontinuita geometrica e Keplero, nei Paralipomena ad Vitellio-nem (1572). Qui si trovano osservazioni sul passaggio dall’unaall’altra specie di coniche e sul fuoco ”cieco” (cioe all’infinito) del-la parabola; e si parla d’un’analogia fra le varie coniche, che puoservire di guida alla scoperta delle loro proprieta o meglio all’e-stensione delle proprieta dall’uno all’altro caso: ”plurimum nam-que amo analogias, fidelissimos meos magistros, omnium naturaearcanorum conscios”.

Questo principio di analogia o di continuita (intorno a cuimedito, fra gli altri, il Boscovich) ha ricevuto il massimo sviluppoagl’inizi del sec. XIX, con la fondazione della geometria proiettivada Monge a Poncelet.

Monge ha espresso la felice intuizione che certe proprieta del-le figure, dimostrate nell’ipotesi dell’esistenza di alcuni elemen-ti (per es., dei punti intersezioni di date linee e superficie), siestendono al caso in cui questi vengano a mancare, diventandoimmaginari. Cosı egli dimostrava la proprieta fondamentale dellapolare d’una retta rispetto ad una quadrica, riferendosi al caso incui per la retta data passino due piani tangenti alla quadrica.

Del metodo cosı introdotto vuol fornire una giustificazione L.Carnot, De la correlation des figures de Geometrie e Geometriede position (Parigi 1801,1804). Poncelet riprende queste specula-zioni e afferma piu nettamente la visione unificata che si ottieneper ciascuna famiglia o sistema di figure variabili con continuita,affrancandosi dalle diseguaglianze fra i loro elementi. In una let-tera a Terquem del 23 novembre 1818 egli scrive di avere rico-nosciuto un assioma primitivo, comune all’algebra e alla geome-tria, nel ”principe de permanence ou de continuite indefinie des

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lois mathematiques des grandeurs variables par succession insen-sible”. E di questo principio svolge poi diverse applicazioni impor-tanti; soprattutto se ne vale per giustificare la veduta che i puntiall’infinito nel piano formano una retta e nello spazio un piano,mettendola cosı alla base dell’edificio della geometria proiettiva.

Poncelet non si e preoccupato di dimostrare il suo principio:”une de ces veritees premieres qu’il est impossible de ramener ades idees plus simples parce qu’elles ont leur source et leur certi-tude immediates dans notre maniere de voir autant que dans lesfaits, dans la nature des choses”. Percio egli incorreva nella cri-tica di Cauchy, che, riferendo sopra una memoria di Poncelet al-l’Accademia delle scienze di Parigi (il 5 giugno 1820), formulavadelle riserve sull’applicazione illimitata di quel principio.

Ma le applicazioni fattene da Poncelet erano tutte esatte, percheegli le limitava implicitamente agli enti algebrici, per cui riescesempre valido. E proprio da codeste applicazioni si puo desumer-ne il vero significato.

Il progresso della geometria proiettiva e algebrica ha giustifi-cato, e liberato da ogni veduta di continuita, molte teorie che nedipendevano nel concetto di Poncelet: per es., la teoria geometricadegli immaginari, fondata rigorosamente da Staudt.

Nondimeno quella veduta porge un criterio unificativo di dot-trine diverse, e in pari tempo ne svela il vero significato, chia-rendone la genesi. Il principio di continuita di Poncelet restaprincipio vivo di costruzione e di scoperta, nella nostra geometriaalgebrica. E d’altronde il suo valore puo essere definito con un’a-nalisi rigorosa. La quale riconosce in esso un metodo generale didimostrazione che si puo dividere in tre principi, logicamente con-catenati e successivamente dimostrabili. Anzitutto un principio dipassaggio al limite. Si puo enunciare come segue: se Y1, Y2,...,Yn sono elementi d’una figura variabile, dipendenti analiticamenteda piu parametri x1, x2, ..., xn, ogni relazione analitica

f(x1, x2, . . . , xn, Y1, Y2, . . . , Yn) = 0,

che venga verificata nell’intorno di un gruppo di valori x1, x2,...,xn dei parametri x, risulta verificata anche al limite quando lediverse x tendono alle omonime x.

Oltre all’esempio elementarissimo dell’angolo inscritto in unarco di cerchio (Euclide, III, 27,32) cui si e accennato innanzi, sipossono citare come applicazioni di questo principio i casi parti-colari del teorema di Pascal sull’esagono inscritto in una conica,

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dove all’esagono si sostituisce il pentagono derivante dall’avvici-nare indefinitamente due vertici, ecc. (v. coniche). Quest’ap-plicazione si trova gia indicata nel trattato di Simson (libro V,prop. 48).

In secondo luogo si ha un principio di estensione delle pro-prieta geometriche. Esso si puo enunciare come segue: ognirelazione analitica:

f(x1, x2, . . . , xn; y1, y2, . . . , yn) = 0,

relativa agli elementi d’una figura variabile, la quale sia verificatanell’intorno di un gruppo di valori x1, x2, ..., xn dei parametri x,risulta verificata anche per qualsiasi altro gruppo di valori deiparametri x stessi.

Questo principio permette di assumere come valide in tuttii casi quelle relazioni che siano state dimostrate in base a figu-re in un certo senso particolari, dove si presentino come realicerti elementi (o coppie di elementi) che possano anche riuscireimmaginari.

Nel campo della geometria elementare si puo dare il seguenteesempio.

Si considerino due cerchi C1 e C2 tagliantisi in due punti A eB. La retta AB = a e il luogo dei punti P per cui sono uguali

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le tangenti PT1 e PT2 condotte ai due cerchi. Cio usualmente siriconosce osservando che e ad un tempo50

PT 21 = PA · PB ; PT 2

2 = PA · PB.

Si conduca ora un qualsiasi cerchio C a tagliare C1 in A1 eB1 e C2 in A2 e B2. Le due rette A1B1 e A2B2 concorrono inun punto O della retta a. La qual cosa segue osservando che letangenti condotte da O a C1 e C e a C2 e C sono eguali, quindiin particolare eguali quelle condotte a C1 e C2.

Cosı nel caso della figura, possiamo enunciare che presi duecerchi C1 e C2, ogni altro cerchio del piano taglia questi due indue coppie di punti A1, B1 e A2, B2, tali che le rette A1B1 eA2B2 s’incontrano sempre in punti di una retta a (qualunque siail terzo cerchio secante). In realta questa deduzione e fondatasull’esistenza dei due punti reali A e B, comuni ai due cerchiC1 e C2. Ora il principio di continuita permette di affermareche l’enunciato si avvera comunque si prendano i cerchi C1 e C2,anche non secantisi, come nel caso della fig. [seguente].

In terzo luogo si ha il principio di induzione dal caso limite alcaso generale. Il fatto che le proprieta analitiche delle figure va-riabili per continuita si conservano attraverso a un passaggio al

50Controlla le equazioni che seguono.

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limite, puo essere utilizzato in senso inverso a quello dato dal pri-mo principio, cioe desumendo le proprieta d’una figura variabileda quelle d’un suo caso limite. In particolare rientra in questoprincipio la cosiddetta conservazione del numero, ampliamenteapplicata alle questioni di Geometria numerativa.

Si cerchi, ad es., il numero delle intersezioni di due curve al-gebriche di ordini m e n rappresentate (in coordinate cartesiane)rispettivamente dalle due equazioni:

f(x, y) = 0 ; φ(x, y) = 0

(dei gradi rispettivi m e n). Questo numero e dato dal gradodella risultante R(x) = 0, ottenuta eliminando la y fra le dueequazioni precedenti ( v. algebra, n. 46). Poiche al variare percontinuita delle due curve f e φ non varia il grado di R (purche sievitino particolari posizioni rispetto agli assi di riferimento), cosıil problema posto si potra risolvere considerando due particolaricurve f e φ, degli ordini m e n. Si assuma precisamente la fdegenere in m rette e la φ degenere in n rette; si trovano cosı mnpunti di intersezione, onde si deduce che in generale le due curvef e φ hanno mn punti in comune.

Quando si voglia applicare questo tipo di procedimento a casipiu generali, occorre tener presenti due ordini di complicazioni:il risultante R, il cui grado da il numero richiesto, puo acquistaredelle radici infinite o multiple, oppure puo diventare identicamen-te nullo. Convenienti avvedimenti tecnici, che qui non e possibileindicare, permettono di applicare il principio della conservazionedel numero nel modo piu largo.

Un altro metodo assai notevole, e di portata generale, cherientra in questo terzo principio, e il cosiddetto metodo di piccolavariazione. Esso si applica principalmente allo studio della formadelle curve piane, algebriche e reali, e consiste nel far variare percontinuita una curva per modo che essa acquisti dei punti doppıo anche si spezzi: dall’esame del caso limite si deducono poi leproprieta di forma della curva, fuori del limite.

Ma non si deve ritenere che queste osservazioni esauriscanoil valore della veduta di continuita come criterio di ricerca. Ilcriterio che abbiamo visto dominare lo sviluppo storico dell’anali-si infinitesimale, e poi (con l’introduzione dei punti all’infinito edegli immaginari) informare nel secolo scorso la Geometria pro-iettiva e algebrica, restera - anche per l’avvenire - come principiocostruttivo della scienza.

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Enriques F., e Chisini O., voce Continuita, in [122].

5.5.4 Luigi Cremona: sulla storia del rapporto armonico

La proporzione armonica (harmonica medietas) e le sue proprieta erano noteanche agli antichi51. IAMBLICO, filosofo pitagorico del quarto secolo (dopoCristo) racconta che essa era in uso presso i Babilonesi, e che PITAGORAl’importo in Grecia52. Suo primo nome era υπoναντια; ecco la ragione ditale denominazione. Siano a, b, c tre grandezze in ordine decrescente; se esseformano una proporzione continua aritmetica si ha b

a< b

c; se la proporzione

e armonica si ha l’opposto, cioe ba> b

c; nella proporzione geometrica si ha

ba

= bc.ARCHITA (quinto secolo a. C.) diede a questa proporzione il nome di ar-

monica a cagione del suo uso nella musica; IAMBLICO la chiama proporzionemusicale. Il primo scrittore presso cui se ne trovi la teoria e NICOMACO(tempi di TIBERIO) nativo di GERASA (Arabia)53.

LAHIRE54 chiama armonicali quattro rette uscenti da uno stesso puntoe tali che una trasversale qualunque sia da esse divisa armonicamente. Alsistema di tali quattro rette BRIANCHON55 diede il nome di fascio armonico.La denominazione di media armonica e di MACLAURIN56 e quella di centrodelle medie armoniche e di PONCELET57.

5.5.5 Comessatti - Sul principio di dualita

a differenza della dualita sferica, [la dualita di Poncelet] [...]non consente alcun confronto fra gli elementi metrici (misure disegmenti e di angoli) delle due figure, mentre invece, e in ciosta l’essenziale, conserva i rapporti posizionali, cioe le relazionid’appartenenza tra punti e rette, e quindi associa a punti allineatid’una delle due figure, rette concorrenti in un punto dell’altra, eviceversa. Cosı ad ogni proprieta d’una figura piana, la quale

51PAPPI ALEXANDRINI, Mathematicae Collectiones a Federico Commandino inlatinum conversae et commentariis illustratae. Bononiae 1660.

52IAMBLICI CHALCIDENSIS ex Coelesyria in NICOMACHI GERASENI Arithmeti-cam introductio, etc. Daventrae 1668. Vedi anche TERQUEM: Bulletin de Bibliographie,etc. 1855.

53NICOMACHI GERASENI, Arithmeticae, libri duo. Parisiis 1538.54Traite des sections coniques, 1685.55Memoire sur les lignes du second ordre. Paris 1817.56De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus, 1750.57Memoire sur les centres des moyennes harmoniques, 1828 (tomo 3.◦ del giornale di

CRELLE).

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si esprima mediante relazioni d’appartenenza tra punti e rette(una tal proprieta dicesi grafica o posizionale) se ne puo associareun’altra, relativa ad una nuova figura, la quale (figura e proprieta)si deduce dalla prima scambiando tra di loro le parole ”punto” e”retta”; e in cio appunto consiste la legge di dualita nel piano.Per quanto applicabile soltanto alle proprieta grafiche, nondimenoha una portata assai vasta; e il Poncelet stesso ne segnalo alcuneimportanti applicazioni alle curve piane.

[...]La concezione, per dir cosı, ristretta del Poncelet, secondo cui

le leggi di dualita restavano vincolate alla trasformazione per pola-ri reciproche, fu oltrepassata dal Gergonne, il quale ne riconobbeil vero carattere di principi generali e ne indico il fondamentologico, affermando la possibilita di costruire nello spazio due geo-metrie, per dir cosı, parallele, una avente per elemento il punto,l’altra il piano, egualmente coerenti e logicamente equivalenti. Ta-le veduta si precisa rigorosamente cosı: le proprieta grafiche dellefigure spaziali discendono tutte da un gruppo di proposizioni fon-damentali, che, in una sistemazione deduttiva della geometria diposizione vengono assunte in veste di postulati (postulati di ap-partenenza, dell’ordine, della continuita) i quali restano comples-sivamente inalterati, e soltanto si permutano tra di loro, quandonei loro enunciati si scambino mutuamente le parole “punto” e“piano” lasciando inalterata la parola “retta”. Ne consegue chequalsiasi ragionamento impostato su quei postulati si mantienevalido anche se (adattando opportunamente il linguaggio) lo silegge con le parole cosı scambiate, onde lo stesso si puo dire an-che di ogni conclusione, e in definitiva di ogni proprieta graficadello spazio58. Piu raffinatamente si puo osservare che i concet-ti espressi dalle parole “punto”, “retta”, “piano” sono suscettibilidi due determinazioni concrete, soddisfacenti ai postulati predetti,la prima delle quali si ha attribuendo a quelle parole il significatoordinario, la seconda invece intendendo che esse denotino gli enticomunemente designati coi nomi di “piani” “rette” “punti”, ondei due aspetti duali della geometria di posizione, appariscono comedue interpretazioni concrete di una geometria astratta, nella qua-le si badi soltanto alla coerenza logica del sistema deduttivo, pre-scindendo dal significato concreto dei concetti fondamentali e soloammettendo che i postulati pongano tra essi relazioni logicamente

58Cfr. p.e. i primi capitoli di [92].

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compatibili.S’e parlato soltanto della legge di dualita nello spazio, perche e

stato chiarito da Pasch e da Enriques che quella relativa al pianone e conseguenza.

L’interpretazione analitica delle leggi di dualita fu data da J.Plucker (1831), il quale mostro che i due aspetti duali della geo-metria di posizione (nello spazio, e analogamente nel piano e nellastella) sono suscettibili di due trattazioni analitiche parallele, lequali si deducono una dall’altra scambiando le coordinate puntuali(cartesiane, o, piu in generale, proiettive) con le coordinate pla-nari da lui introdotte, dette appunto pluckeriane. Tutto dipendein sostanza da cio che la condizione d’appartenenza d’un puntodi coordinate omogenee x1, x2, x3, x4 ad un piano di coordinate(pluckeriane, associate) omogenee u1, u2, u3, u4 si esprime con larelazione u1x1 +u2x2 +u3x3 +u4x4,= 0 che e simmetrica rispettoalle due serie di variabili xi, ui [...] su che puo anche impostarsiuna dimostrazione analitica della legge in discorso. CommessattiA., voce Dualita in [122].

6 Mobius

La geometria proiettiva nacque in Francia con Poncelet ma e oltre il Reno,in Germania, che si cerco di ripristinare la generalita dell’algebra che nellatrattazione dei punti all’infinito era rimasta indietro rispetto alla trattazio-ne sintetica. La trattazione analitica di un problema proiettivo necessitavasempre della considerazione di piu casi, secondoche certe rette della confi-gurazione sono incidenti o parallele. Per ovviare a questo inconveniente eranecessario introdurre un sistema di coordinate che sia in grado di trattarele diverse situazioni in modo omogeneo. Uno degli inventori delle coordinateomogenee, insieme e indipendentemente da Feuerbach, Bobillier e Plucker59,fu Mobius.

August Ferdinand Mobius rimase orfano di padre in tenera eta e mostrosubito una notevolissima propensione per gli studi matematici. Nel 1809comincio a studiare legge all’Universita di Lipsia, abbandonando presto glistudi giuridici in favore di quelli di astronomici, matematici e fisici. Fuinfluenzato inizialmente dall’astronomo e matematico Mollweide. Nel 1813si trasferı a Gottingen per studiare astronomia con Gauss e poi ad Halleper studiare matematica con Pfaff, il maestro di Gauss. Nel 1816, dopoaver discusso la tesi di dottorato in astronomia e quella di abilitazione in

59Cfr. [31], pp. 614-615

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matematica, divenne professore straordinario di astronomia a Lipsia. Lasua carriera universitaria stento a decollare per la modesta qualita delle suelezioni. Per attrarre studenti doveva permettere la frequenza gratuita ai suoicorsi. Solo nel 1844, grazie alla solida reputazione scientifica che aveva ormaiacquisito, l’universita di Lipsia lo nomino professore ordinario di astronomia.Oltre a numerosi lavori matematici, Mobius scrisse anche importanti lavoridi astronomia. I suoi lavori matematici furono quasi tutti pubblicati sullarivista di Crelle, la piu antica rivista matematica ancora esistente.

L’opera di Mobius e di poco posteriore a quella di Poncelet. Nella suaopera piu famosa, il Calcolo baricentrico [148], segue un approccio analitico-algebrico alla Geometria che porta nuovi importanti contributi anche allaGeometria proiettiva. A Moebius si deve il concetto generale di corrisponden-za biunivoca, uno studio dettagliato delle omografie (cfr. Lettura - EnriquesFano), (l’analogo proiettivo dei movimenti rigidi della geometria euclidea) el’introduzione delle correlazioni , (cfr. Lettura - Correlazioni).

Mobius in [148] stabilisce un metodo per determinare il baricentro diun qualsiasi sistema di punti e, usando le coordinate baricentriche riescea definire analiticamente i punti impropri, introducendo per questa via unsistema di coordinate omogenee.

In [149]introduce il gruppo delle trasformazioni lineari fratte, cioe delletrasformazioni della forma

z′ =az + b

cz + dad− bc 6= 0

La forma omogenea di queste trasformazioni si ottiene introducendo le coor-dinate omogenee z1, z2 e z′1, z

′2, legate alle precedenti dalle formule z = z1/z2

e z′ = z′1/z′2 e ponendo{

z′1 = az1 + bz2z′2 = caz1 + dz2

a, b, c, d ∈ K

Questa e la forma analitica affine delle omografie della retta proiettivasul campo K dei coefficienti: reale, se i coefficienti sono reali; complessa, se icoefficienti sono complessi.

Il gruppo delle trasformazioni lineari fratte a coefficienti complessi si diceanche gruppo di Mobius e appare in molti altri contesti.60

60Il gruppo delle trasformazioni lineari fratte della retta proiettiva su un campo K, eisomorfo al gruppo quoziente PSl(2,K) di Sl(2,K) modulo il suo centro, costituito dallamatrice identita e dalla sua opposta e si puo equivalentemente definire come il gruppodelle trasformazioni che preserva il birapporto. Il sottogruppo di PSl(2,C) che che fissail sottoinsieme H dei numeri complessi che hanno parte immaginaria positiva e isomorfo

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Mobius studio metodicamente diversi sottogruppi Verwandtschaften delgruppo delle trasformazioni lineari fratte, che chiama , e le loro mutue inclu-sioni. Nel gruppo di trasformazioni di Mobius della retta proiettiva complessariconobbe e studio i sottogruppi delle congruenze e delle similarita del pia-no reale61 Il gruppo di Mobius non contiene le inversioni circolari, che sonoanticonformi. Contiene invece la trasformazione 1/z che e combinazione diun’inversione circolare con una riflessione rispetto all’asse reale.

La piu generale trasformazione di Mobius si ottiene componendo unatraslazione f1(z) = z + d/c, con la trasformazione f2(z) = 1/z con unarotoomotetia f3(z) = bc−ad

c2z con una traslazione f4(z) = z + a/c. Infatti

f4 ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1(z) =az + b

cz + d.

Nel piano proiettivo e nello spazio proiettivo, accanto alle omografie, chesi possono definire come le trasformazioni continue che mandano rette inrette, Mobius introdusse anche la nozione di correlazione tra un piano (risp.spazio) proiettivo e il suo duale, come una trasformazione che manda puntiin rette (risp. piani) e rette (risp. piani) in punti, e introdusse e studiodettagliatamente i sistemi nulli, esempi di correlazioni che non sono definitida una polarita.

L’importanza che Mobius assegna alle trasformazioni e alla loro classifi-cazione lo pongono tra i precursori del programma di Erlangen di Klein, cfr.[133].

Egli e il primo a considerare in completa generalita il principio dei segniin geometria62 e a definire in maniera uniforme e senza eccezioni, il rappor-to semplice di tre punti allineati e il birapporto di quattro punti allineati,indipendentemente studiato anche da Chasles63.

Mobius e noto anche per il suo esempio di superficie ad una sola faccia, ilnastro di Mobius, ottenuto congiungendo le due estremita di un nastro dopouna torsione, che era gia stato considerato da Listing.

al gruppo PSl(2,R), che coincide anche con il gruppo delle isometrie iperboliche di Hche preservano l’orientrazione ovvero con il gruppo delle trasformazioni conformi del discounitario. Il gruppo di Mobius PSl(2,C) e isomorfo al gruppo delle isometrie iperbolichedello spazio iperbolico tridimensionale che preservano l’orientazione, cfr. [179].

61Per esempio, la rotazione di angolo θ rispetto all’origine si scrive z′ = eiθz, mentre latraslazione per un vettore (a, b) si scrive z′ = z + α con α = a+ ib.

62Cfr. [70] e [49], p. xx (parte 1)63Chasles e Steiner introducono anche il birapporto di quattro punti su una conica,

osservando che le quattro rette che proiettano i quattro punti da un punto della conicahanno birapporto indipendente dal punto di proiezione (cfr. [?]) e questa osservazione sipuo utilizzare per definire la conica per 5 punti (esercizio con GeoGebra).

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Il nastro di Mobius

Il piano proiettivo reale, ottenibile topologicamente da una semisfera quo-zientando i punti antipodali del suo equatore, e una superficie che contienenastri di Mobius.

Il piano proiettivo reale contiene nastri di Mobius

Il piano proiettivo reale quindi, a differenza di quello complesso, non eorientabile. Infatti, muovendosi lungo uno qualsiasi dei suoi nastri di Mobius,e possibile ripassare per lo stesso punto rovesciandosi.

La formica della figura ripassa per lo stesso punto del nastro di Mobius rovesciandosi

Si noti invece che la retta proiettiva complessa, omeomorfa alla sfera,e orientabile. Si osservi quindi che sia il piano proiettivo reale che la ret-ta proiettiva complessa sono compattificazioni dello stesso spazio topologico

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R2 ∼= C, ma si tratta di compattificazioni diverse, la prima non e orientabilementre la seconda lo e.

6.1 Coordinate omogenee

Richiamiamo i fatti fondamentali relative alle coordinate omogenee del pianoproiettivo, nella forma introdotta da Plucker.

Le coordinate omogenee (x0, x1, x2) di un punto del piano proiettivo sonolegate alle coordinate affini X, Y del medesimo punto dalla equazioni X = x1

x0;

Y = x2

x0. Si viene a perdere la biunivocita tra coordinate e punti del piano, in

quanto le coordinate (ρx0, ρx1, ρx2) e le coordinate (x0, x1, x2) appartengonoallo stesso punto ma, grazie ad esse, possiamo definire i punti all’infinitocome quelli di coordinate proiettive (0, x1, x2), le cui coordinate affini X, Ynon sono definite. Le rette del piano proiettivo sono il luogo dei punti lecui coordinate omogenee verificano un’ equazione lineare omogenea a0x0 +a1x1 + a2x2 = 0, e la retta all’infinito e semplicemente la retta di equazionex0 = 0. Le omografie del piano proiettivo sono le trasformazioni

ρxi =2∑

j=0

aijxj det(aij) 6= 0 ρ 6= 0 i = 0, 1, 2.

Per scrivere le equazioni di una correlazione e opportuno introdurre le coordi-nate duali u0, u1, u2 definite da Plucker a partire dalla relazione di incidenza

u0x0 + u1x1 + u2x2 = 0

tra punti e rette. Fissati i valori delle u l’equazione u0x0 + u1x1 + u2x2 = 0 everificata dalle coordinate dei punti di una retta che ha coordinate omogeneeu0, u1, u2. Viceversa, fissati i valori delle x, l’equazione u0x0+u1x1+u2x2 = 0e verificata dalle coordinate duali delle rette che passano per il punto che hacoordinate omogenee x0, x1, x2. Le equazioni di una correlazione sono, incoordinate omogenee di retta e di punto,

ρui =2∑

j=0

aijxj det(aij) 6= 0 ρ 6= 0 i = 0, 1, 2.

6.2 Birapporto

La distanza e un invariante numerico per rotazioni e traslazioni. Un inva-riante numerico per trasformazioni proiettive e il birapporto di quattro punti

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allineati. Il birapporto era gia stato considerato in forma geometrica dai gre-ci. In Pappo, come abbiamo gia osservato a p. 4, si trova la dimostrazionedell’invarianza del birapporto per prospettivita.

Per definire il rapporto semplice e il birapporto e utile passare all’algebradei segmenti orientati. Il rapporto semplice di tre punti allineati A, B, C,nell’ordine dato, e il rapporto dei segmenti orientati AC e BC, che denotia-mo (ABC). Il rapporto semplice dipende dall’ordine dei tre punti ma nondipende dall’ordine scelto sulla retta. Il rapporto semplice e invariante pertrasformazioni affini.

Il birapporto64 di quattro punti allineati A, B, C e D nel dato ordine,denotato con il simbolo (ABCD) e il rapporto (ABCD) = (ABC)/(ABD)di due rapporti semplici.

Il birapporto e invariante per trasformazioni proiettive. Il risultato efondamentale per la geometria proiettiva, in particolare permette la caratte-rizzazione delle relazioni metriche invarianti per trasformazioni proiettive.

Le omografie della retta si possono definire come le trasformazioni inver-tibili che preservano il birapporto.65

Il birapporto ha un’espressione semplice in termini di coordinate omoge-nee.

(ABCD) =

∣∣∣∣ a0 a1c0 c1

∣∣∣∣∣∣∣∣ b0 b1c0 c1

∣∣∣∣ :

∣∣∣∣ a0 a1d0 d1

∣∣∣∣∣∣∣∣ b0 b1d0 d1

∣∣∣∣dove A = [a1, a2], B = [b1, b2], ecc.

Abbiamo gia osservato che il birapporto dipende dall’ordine della quater-na A, B, C and D. Non tutte le permutazioni pero danno valori differenti.In generale, solo sei diversi valori distinti del birapporto si possono ottenerepermutando gli elementi di una quaterna di punti allineati, cfr. [92], p. xx.

(A,B,C,D) = (B,A,D,C) = (C,D,A,B) = (D,C,B,A) = k(A,B,D,C) = (C,D,B,A) = (B,A,C,D) = (D,C,A,B) = 1

k

(A,C,B,D) = (D,B,C,A) = (C,A,D,B) = (B,D,A,C) = 1− k(A,D,B,C) = (C,B,D,A) = (D,A,C,B) = (B,C,A,D) = k−1

k

(A,D,C,B) = (B,C,D,A) = (D,A,B,C) = (C,B,A,D) = kk−1

(A,C,D,B) = (B,D,C,A) = (C,A,B,D) = (D,B,A,C) = 11−k

64Mobius usa il termine ratio bisectionalis, cfr. [148] p. 244; Steiner usa il termineDoppelverhaltnifs, [226], p. 7; Chasles usa il termine fonction anharmonique, [49], p. 34.

65Vedremo nella sezione successiva come le omografie tra piani o tra spazi proiettivi didimensione maggiore di uno sia piu facile da definire. Basta richiedere che le rette venganotrasformate in rette e che venga preservata l’incidenza.

84

E facile esprimere la condizione di armonicita con il birapporto: quattropunti allineati costituiscono una quaterna armonica se e solo se il loro birap-porto vale −1. Permutando l’ordine degli elementi di una quaterna armonicasi ottengono solo tre valori distinti del birapporto. Precisamente: −1, 2 e 1

2.

6.3 Letture

6.3.1 Enriques Fano, Proiettivita tra forme di prima specie

Due punteggiate, o fasci di rette o di piani, si dicono proiettivi[...] quando sono ottenuti l’uno dall’altro con un numero finitodi proiezioni e sezioni. La proiettivita conserva tutti i birapporti,e in particolare i gruppi armonici. Viceversa, per una corrispon-denza biunivoca comunque data fra le dette figure, la proprieta diconservare i gruppi armonici e gia sufficiente per affermare cheessa e una proiettivita. Per es., tra due punteggiate r, r’ riferitecome sezioni di uno stesso fascio di rette si ha una proiettivita,per la quale il punto rr′ = U corrisponde a se stesso, cioe e unito[...]. Viceversa, due punteggiate r, r’ di uno stesso piano, proiet-tive e non sovrapposte, per le quali il punto rr′ sia unito, sonosezioni di uno stesso fascio di rette. Esse si dicono allora prospet-tive. Dualmente per i fasci di rette di uno stesso piano proiezionidi una medesima punteggiata.

Teorema fondamentale. - Tra due punteggiate esiste una euna sola corrispondenza proiettiva, la quale a tre punti distinti,comunque assegnati sulla prima, fa corrispondere ordinatamentetre punti pure distinti e arbitrari sulla seconda. Analogamenteper 2 qualunque forme di 1a specie. Nasce quindi il problema del-la costruzione di una proiettivita; cioe, quando una proiettivitae individuata mediante 3 coppie di elementi omologhi, realizzarecon costruzioni l’effettivo passaggio dall’una all’altra figura perproiezioni e sezioni, in guisa che si corrispondano le coppie dielementi dati; costruendo inoltre per ogni ulteriore elemento diuna delle due l’elemento omologo dell’altra. Ad es., per due pun-teggiate non sovrapposte r, r’ in uno stesso piano si dimostrache, indicate con AA’, BB’ due qualunque loro coppie di puntiomologhi, le intersezioni delle coppie di rette AB’, A’B (rette as-sociate) appartengono tutte a una medesima retta, chiamata assedi proiettivita (o di collineazione) delle due punteggiate. Se siconoscono pertanto tre coppie di punti omologhi AA’, BB’, CC’[...], due qualunque fra le tre coppie di rette associate AB’, A’B;

85

BC’, B’C; AC’, A’C determinano con le loro intersezioni puntidell’asse di collineazione u, e percio quest’asse: proiettando alloraun ulteriore punto D di r dal punto A’, e prendendo l’intersezionedi DA’ con u, quest’ultimo punto verra proiettato da A sulla r’nel punto D’, omologo di D. Dualmente per fasci di rette in unpiano.

Due punteggiate, o fasci di rette o di piani, proiettivi possonoessere sovrapposti (cioe una stessa forma pensata due volte). Intal caso, se la proiettivita non e identica (cioe se due elementiomologhi generici sono distinti) vi sono al piu due elementi uniti.Secondo che ve ne sono due, uno, o nessuno, la proiettivita si diraiperbolica, parabolica, o ellittica. In ogni proiettivita iperbolica laquaderna formata dai due elementi uniti e da una coppia qualsiasidi elementi omologhi distinti ha birapporto costante (caratteristicao invariante assoluto della proiettivita).

Adottando sulle due forme coordinate proiettive o loro casiparticolari, per es. ascisse se si tratta di due punteggiate, le coor-dinate x, x’ di due elementi omologhi soddisfano a un’equazionedi 1◦ grado rispetto a ciascuna di queste due variabili (o bilinea-re), a coefficienti costanti, del tipo αxx′ + βx+ γx′ + δ = 0 (conαδ − βγ 6= 0).

[...]Citazione da Enriques F., Fano G., voce Geometria in [122].

Costruzione di una proiettivita tra due rette assegnate le immagini di tre punti

86

6.4 Letture

6.4.1 Enriques - Fano, Omografie

Si dicono omografici due piani riferiti fra loro in modo chea ogni punto o retta dell’uno corrisponda un punto o una rettadell’altro, e a un punto e una retta che si appartengono un puntoe una retta che anche si appartengono. Ne sono esempi due pianiriferiti per proiezioni e sezioni, o anche un piano che si pensicomunque spostato nello spazio come figura rigida, intendendoomologhi l’antica e la nuova posizione di ogni singolo punto oretta. Si puo individuare un’omografia tra due piani dando di 4punti dell’uno, di cui 3 qualunque non allineati, i corrispondentinell’altro, anch’essi a 3 a 3 non allineati; oppure, dualmente,dando 4 coppie di rette omologhe, tali che, in ciascuno dei duepiani, 3 qualunque delle 4 rette non appartengano a un fascio.

Si dicono prospettivi due piani non sovrapposti riferiti comesezioni di una medesima stella: in questo caso la retta inter-sezione dei due piani e per l’omografia luogo di punti uniti, eviceversa.

Un’omografia tra piani sovrapposti o ha soltanto un numerofinito, non superiore a tre, sia di punti uniti sia di rette unite (ese ne ha tre, sono i vertici e i lati di un triangolo); oppure haun’intera retta luogo di punti uniti, e un fascio di rette unite. Inquest’ultimo caso l’omografia si dice omologia piana; la retta udi punti uniti e il suo asse, il centro U del fascio di rette unitee il centro della omologia [...]. Per es., due piani sovrapposti,proiezioni di un terzo piano da due centri distinti, sono omo-logici. In ogni omologia piana due punti corrispondenti distintisono allineati col centro di omologia; due rette corrispondenti di-stinte s’incontrano sull’asse. La quaderna formata da due punticorrispondenti distinti, dal centro, e dall’intersezione della lorocongiungente con l’asse ha birapporto costante (caratteristica oinvariante assoluto dell’omologia). In un piano esiste una e unasola omologia avente un dato centro e un dato asse, e nella qualeinoltre si corrispondono o due punti assegnati distinti, allinea-ti col centro, oppure due rette assegnate e distinte, incontrantisisull’asse.

Assunte in due piani omografici coordinate proiettive omoge-nee di punto x1, x2, x3; x′1, x

′2, x

′3, e di retta u1, u2, u3; u

′1, u

′1,

u′3, le coordinate di punto e di retta nell’un piano sono funzionilineari omogenee, a coefficienti costanti e di determinante non

87

nullo, delle coordinate omonime nell’altro piano. Si hanno cosıquattro sostituzioni lineari omogenee del tipo seguente:

ρx′1 = a11x1 + a12x2 + a13x3,ρx′2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,ρx′3 = a31x1 + a32x2 + a33x3;

σx1 = A11x′1 +A21x

′2 +A31x

′3,

σx2 = A12x′1 +A22x

′2 +A32x

′3,

σx3 = A13x′1 +A23x

′2 +A33x

′3; τu′1 = A11u1 +A12u2 +A13u3,

τu′2 = A21u1 +A22u2 +A23u3,τu′3 = A31u1 +A32u2 +A33u3;

ωu1 = a11u′1 + a21u

′2 + a31u

′3,

ωu2 = a12u′1 + a22u

′2 + a32u

′3,

ωu3 = a13u′1 + a23u

′2 + a33u

′3;

dove gli Aik sono i complementi algebrici degli aik entro A =(aik) 6= 0 e ρ, σ, τ , ω sono fattori di proporzionalita. Uno qua-lunque di questi quattro sistemi di equazioni determina completa-mente gli altri.

In due piani propri omografici od omologici si chiama ret-ta limite la retta di ciascuno di essi che ha per corrispondentenell’altro la retta impropria. Nell’omologia le rette limiti sonoparallele all’asse.

Enriques F., Fano G., in [122] Ad Vocem voce Geometria.

6.4.2 Reciprocita e polarita

Si dicono reciproci o correlativi due piani riferiti fra loro inmodo che a ogni punto dell’uno corrisponda una retta dell’altro,a una retta del primo un punto del secondo, e ad un punto e unaretta del primo che si appartengono, una retta e un punto puressi appartenentisi. [..]

Una reciprocita tra piani sovrapposti si chiama polarita pianaquando due elementi omologhi (punto e retta) si corrispondonosempre in doppio modo (ossia al punto, come elemento sia delprimo sia del secondo piano, corrisponde sempre nell’altro la stes-sa retta); la retta si dice allora polare di quel punto, e il puntopolo della retta. Una reciprocita fra piani sovrapposti e una po-larita, ogni qualvolta esiste un triangolo tale che ai suoi vertici,come punti di uno stesso dei due piani, corrispondano nell’altropiano i lati di questo triangolo rispettivamente opposti (triango-lo autopolare, o autoconiugato). In ogni polarita vi sono infinititriangoli autopolari. Esiste una e una sola polarita avente un da-to triangolo autopolare, e che a un punto dato non appartenentea nessun lato di questo triangolo fa corrispondere una retta data,non passante per nessun vertice.

88

In una polarita piana possono esservi punti autoconiugati erette autoconiugate, cioe punti appartenenti alla propria polare, eviceversa; o anche non esservene. Se vi e un punto autoconiuga-to, ve ne sono infiniti, e cosı pure infinite rette autoconiugate; esono i punti e le tangenti di una conica. La polarita si dice alloranon uniforme. Se non vi sono elementi autoconiugati, la polaritasi dice uniforme, perche priva di elementi comunque ecceziona-li. La ricerca analitica dei punti autoconiugati conduce allora aun’equazione di secondo grado priva di soluzioni reali [...]); si di-ce percio che questa polarita definisce una conica immaginaria.Cfr. [122], Ad Vocem Reciprocita.

In modo analogo si definiscono le reciprocita fra spazi, come corrispondenzebiunivoche fra i punti dell’uno e i piani dell’altro, tali che ai punti di ognipiano contenuto nel primo spazio, corrispondano i piani di una stella passantiper un punto, nel secondo spazio. Esistono due tipi di reciprocita involutoriedi uno spazio in se: le polarita ordinarie, che definiscono ciascuna, come luogodei punti autoconiugati (e inviluppo dei piani autoconiugati) una quadrica,reale o immaginaria, e i sistemi nulli , in cui ogni punto e autoconiugato.Analiticamente, i due casi si differenziano con riferimento alla matrice chedescrive la correlazione. Le polarita ordinarie sono caratterizzate da matricisimmetriche; i sistemi nulli, da matrici antisimmetriche.

7 Steiner

Jakob Steiner seguı un percorso educativo molto singolare. Imparo a scriveresolo a quattordici anni e decise, contro il parere del padre, di entrare nell’i-stituto Pestalozzi all’eta di diciotto66, dove venne incoraggiato a imparare lamatematica secondo il punto di vista originale del suo fondatore, molto geo-metrico e intuitivo. In [226] presenta una sorta di manifesto del suo pensieromatematico.

Il presente lavoro e un tentativo di scoprire l’organismo at-traverso il quale i piu diversi fenomeni spaziali si collegano l’unoall’altro. Esiste un numero limitato di semplicissime relazionifondamentali che insieme costituiscono lo schema per mezzo delquale i restanti teoremi possono essere sviluppati logicamente esenza difficolta. Attraverso l’opportuna scelta di poche relazioni

66Pestalozzi fu un pedagogista svizzero, noto come riformatore radicale del sistemascolastico. Un ruolo fondamentale, nel suo sistema educativo, era assegnato all’intuizione.

89

fondamentali si diventa padroni dell’intero campo. L’ordine so-stituisce il chaos e diventa possibile vedere come tutte le parti siintegrano in maniera naturale nell’ordine piu perfetto e formanogruppi ben definiti. In questa maniera si ottengono, simultanea-mente, gli elementi da cui la natura procede quando, con la piugrande economia possibile e nel modo piu semplice, assegna allefigure infinite proprieta. Qui la cosa principale non e ne il me-todo sintetico, ne il metodo analitico, ma la scoperta della mutuadipendenza delle figure e del modo in cui le loro proprieta passanodalle piu semplici a quelle piu complesse. Questa connessione etransizione e la vera sorgente di tutte le restanti proposizioni indi-viduali della Geometria. Le proprieta delle figure della cui stessaesistenza bisognava convincersi attraverso ingegnose dimostrazio-ni e che, quando furono scoperte, apparvero come meravigliose, sirivelano oggi come necessarie conseguenze delle proprieta comunidi questi nuovi elementi fondamentali.

Il programma steineriano di costruire la geometria proiettiva procedendodal semplice al complicato, venne di fatto realizzato partendo dalle figure piuelementari, le cosiddette forme geometriche fondamentali (cfr. par. 7.1), edalle trasformazioni piu semplici, quelle proiettive, per generare figure sem-pre piu complicate, p. es. coniche, quadriche, cubiche gobbe, ecc. Nellesue mani le proiettivita assunsero un nuovo ruolo e vennero utilizzate pergenerare proiettivamente le figure geometriche (cfr. par. 7.2), e le proprietaproiettive delle figure generate proiettivamente vennero studiate nella manie-ra piu semplice a partire dalla generazione proiettiva stessa. Vedremo comeesempio la dimostrazione di Steiner del Teorema di Pascal, cfr. 95. Si scoprıin breve pero che la generalita delle figure ottenute con il metodo di Steinerera in realta piuttosto limitata, cfr [133], p. 117.

A Steiner si devono molti risultati, dimostrati con metodi puramentesintetici, e un numero sterminato di enunciati, perlopiu corretti, ma non di-mostrati. Dimostro in [227] che tutte le costruzioni della geometria euclideasi possono effetture con il solo uso della riga, purche sia gia tracciato unsolo cerchio; introdusse nuovi strumenti per la risoluzione del problema iso-perimetrico nel piano; studio approfonditamente innumerevoli configurazionidi punti e rette, come quella che si ottiene considerando le rette di Pascaldell’Hexagrammum mysticum; dimostro, con metodi puramente sintetici, cheuna superficie generale di terzo ordine in P3 contiene soltanto ventisette rette;enuncio in [228] molti teoremi sulle curve e sulle superfici algebriche piane,che vennero completamente dimostrati solo parecchi anni dopo da Cremonain [66, 71].

90

Steiner non apprezzava ne l’algebra ne l’analisi e credeva che il calcolo fre-nasse il pensiero mentre la geometria lo stimolasse. Dopo un lungo periodo diinsegnamento nelle scuole superiori, caratterizzato da rapporti difficili con isuperiori, ottenne finalmente un posto di professore straordinario all’Univer-sita di Berlino nel 1834. E particolarmente significativa la sua amicizia conJacobi e con Crelle, che pubblico, nella sua rivista, piu di sessanta dei suoilavori. L’affievolirsi della vena creativa, che lo porto anche ad appropriasi dirisultati altrui senza riconoscerne la paternita (cfr. [133] p. 116), l’inasprirsidel suo carattere polemico e la cattiva salute amareggiarono gli ultimi annidella sua vita.

7.1 Forme geometriche fondamentali

Gli elementi fondamentali della geometria proiettiva sono: punti, rette epiani67, cfr. [92], p. 5. Una figura geometrica e un insieme di elementifondamentali. Se gli elementi di una figura geometrica sono omogenei, lafigura si chiama forma geometrica.

Alcune forme geometriche particolarmente semplici dette forme geome-triche fondamentali sono considerate gia nei lavori di Desargues sistematica-mente da Steiner, che li chiama Grundgebilde. Sono:

1. La retta punteggiata, cioe la figura costituita da tutti i punti di unaretta, detta sostegno.

2. Il fascio di piani , cioe la figura di tutti i piani contenenti una retta,detta asse del fascio.

3. Il fascio di raggi , cioe la figura di tutte le rette per un punto, dettocentro e contenuto in un piano, detto piano del fascio.

4. Il piano punteggiato, cioe la figura di tutti i punti di un piano, dettosostegno del fascio.

5. Il piano rigato, cioe la figura di tutte le rette di un piano, detto sostegno.

6. La stella di raggi , cioe la figura di tutte le rette per un punto, dettocentro della stella.

7. La stella di piani , cioe la figura di tutti i piani per un punto, dettocentro della stella.

67Seguendo l’approccio assiomatico, cfr. [60], p. 6 , il piano puo essere definito daiconcetti primitivi di punto e retta.

91

8. Lo spazio punteggiato, cioe la figura di tutti i punti dello spazio.

9. Lo spazio di piani , cioe la figura di tutti i piani dello spazio.

Steiner divise le forme geometriche fondamentali in tre tipi o Stufen. Quelledel primo tipo sono le forme 1-3, quelle del secondo tipo sono le 4-7, quelledel terzo tipo sono le 8-9. Forme dello stesso tipo sono isomorfe come spaziproiettivi astratti. L’isomorfismo si puo sempre realizzare geometricamente.Per esempio, da un fascio si passa ad una punteggiata per sezione e da unapunteggiata ad un fascio per proiezione. Componendo queste operazionielementari si definiscono le proiettivita tra forme di prima specie.

L’idea di costruire una forma di primo tipo aggregando elementi diversi,punti, rette o piani, e l’idea che generatori elementari diversi possono dareluogo a forme geometriche isomorfe, contiene un germe importante per losviluppo della geometria algebrica e della teoria geometrica delle equazionidifferenziali, dove si costruiscono spazi i cui elementi sono a loro volta oggettigeometrici complessi, come spazi di ipersuperfici oppure spazi di getti.

7.2 Generazione proiettiva

Illustriamo il metodo di Steiner della generazione proiettiva di una figura conl’esempio della generazione proiettiva di una conica, scoperta indipendente-mente anche da Chasles.68 Esistono due generazioni proiettive delle coniche,una duale dell’altra. Per la prima costruzione, si parte da due rette distinter ed s e da una proiettivita σ : t→ s. La famiglia delle rette che congiungo-no i punti corrispondenti nella proiettivita {< P, σ(P ) >}P∈r inviluppa unaconica.

Dualmente, si parte da due fasci di rette per due punti distinti P e P ′ eda una proiettivita τ tra i due fasci. I punti {r ∩ τ(r)}r⊃P , descrivono unaconica.

L’idea di definire nuove figure a partire da figure piu semplici, utilizzandooperazioni proiettive, che generalizza le generazioni proiettiva delle conicheappena discusse, fu impiegata sistematicamente da Steiner.

Queste varieta sono esempi di varieta determinantali , cfr. [133] p. 117,cioe varieta definite annullando un certo numero di minori di una matrice diforme, cfr. [180, 196, 84, 117].

68L’idea nasce dalla semplice osservazione che scegliendo tre punti A, B e C non allineati,la circonferenza per i tre punti si puo definire come il luogo dei punti che vedono il segmentoAB sotto lo stesso angolo di C, o il suo supplementare. Scegliendo tre punti qualsiasi C,D ed F della circonferenza, gli altri punti punti sono all’intersezione delle rette omologherispetto alla particolare proiettivita tra i fasci per A e B, determinati dalle tre coppie dirette omologhe < A,C >,< B,C >; < A,D >,< B,D >; < A,E >,< B,E >.

92

L’interpretazione determinantale della seconda generazione proiettiva del-le coniche che abbiamo discusso, per esempio, e la seguente. Siano φ+tψ andφ+ tψ due fasci di rette, riferite proiettivamente. Cioe siano φ = 0 e ψ = 0 leequazioni di due rette per P , φ′ = 0 e ψ′ = 0 le equazioni di due rette per P ′

e sia τ la proiettivita tra i due fasci definita ponendo τ(φ+ λψ) = φ′ + λψ′.I punti di intersezione di due rette omologhe, cioe corrispondenti allo

stesso valore di t, verificano l’uguaglianza φ(P )+tψ(P ) = 0 e φ(P )+tψ(P ) =0, quindi t = −φ(P )/ψ(P ) = −φ(P )/ψ(P ). Le coordinate di P risolvonopercio l’equazione φψ − φψ = 0. Basta quindi osservare che il membro asinistra e il determinante della matrice(

φ ψ

φ ψ

).

Dalla generazione proiettiva si possono dare facilmente dimostrazioni sinte-tiche di molti teoremi sulle coniche. Fra questi, quella del teorema di Pascale di Brianchon, sugli esagoni iscritti e circoscritti alla conica.

7.3 Costruzione di una proiettivita tra due fasci

Il teorema fondamentale, cfr. p. 85, afferma che una proiettivita tra dueforme di prima specie e assegnata univocamente specificando tre elementinella prima forma e i corrispondenti tre elementi nella seconda. Abbiamovisto a p. 85 come costruire con la riga la proiettivita tra due punteggiate chemanda tre punti A,B,C, scelti arbitrariamente sulla prima retta, in tre puntiA′, B′, C ′ scelti arbitrariamente sulla seconda. Dualizzando la costruzione,possiamo costruire la proiettivita tra due fasci di rette, che manda tre rettequalsiasi a, b, c del fascio per il punto P , in tre rette a′, b′, c′ qualsiasi delfascio per il punto P ′.

Le rette dello stesso colore si corrispondono

93

Precisamente, consideriamo le tre coppie di punti a · b′, a′ · b; a · c′, a′ · c,b · c′; b′ · c. Nella figura, la prima coppia e costituita dall’intersezione dellaretta rossa per P con quella blu per P’ e dalla retta blu per P con quella rossaper P’, ecc. Quindi ogni coppia corrisponde a una coppia di colori distintiche posso estrarre dai tre colori utilizzati (rosso verde e blu per le rette a,b, c e a′, b′, c′ rispettivamente). Le tre rette che congiungono gli elementi diogni coppia, si intersecano, per il duale del teorema di Pappo dell’esagono,in un punto Q che diremo punto di collineazione

Per ogni coppia di colori, p.e. rosso blu, otteniamo due punti (retta rossa per P

intersecata retta blu per P’; retta blu per P intersecata retta rossa per P’). Congiungendo

ognuna delle tre coppie di punti otteniamo tre rette che concorrono un punto Q.

Sia ora r una qualunque retta per P . Intersechiamola con una qualunquedelle tre rette che abbiamo scelto per P ′, diciamo la retta verde c′, e sia Mil punto di intersezione. Congiungiamo M a Q e intersechiamo questa rettacon c, la retta verde, corrispondente a c′, del fascio per P . Sia N il punto diintersezione. La retta immagine di r nella proiettivita determinata dalle trecoppie colorate, sara allora r′ =< P ′, N >.

94

Costruzione dell’immagine r′ di r con la proiettivita determinata dalle coppie (a, a′),

(b, b′), (c.c′).

7.4 Teorema di Pascal – “Dimostrazione di Steiner”

L’intersezione X tra r ed r′ al variare della retta r nel fascio di rette perP descrive, come ha dimostrato Steiner, un conica.69 Tale conica passa perP , P ′ e per l’intersezione di tutte le coppie di rette omologhe. Nel disegno,passa quindi per le intersezioni delle coppie dello stesso colore.

Costruzione dell’immagine r′ di r con la proiettivita determinata dalle coppie (a, a′),

(b, b′), (c, c′).

Viceversa, data una conica e due suoi punti, diciamo A ed E, La sceltadi tre punti B, C e D determina una proiettivita tra il fascio delle rette perA e il fascio delle rette per E che manda < A,C > in < E,C >, < A,B >in < E,B >, e < A,D > in < E,D >.

Indichiamo che queste rette sono legate da una proiettivita utilizzando lanotazione

A(CBD)∧E(CBD). (1)

Dato un qualsiasi altro punto F del piano, il punto F appartiene allaconica, se e solo se le rette < A,F > e < E,F > sono omologhe in questaproiettivita, ovvero scriveremo, se e solo se

A(CBDF )∧E(CBDF ). (2)

Consideriamo quindi sei punti A,B,C,D,E, F dei quali supporremo (la-sciando da parte i casi di degenerazione) che mai tre siano allineati. Da

69Questo segue immediatamente dalla descrizione determinantale.

95

due di questi A, E, proiettiamo gli altri quattro; la condizione necessaria esufficiente affinche i sei punti appartengano ad una conica, e quindi espressa(2).

Segando il primo fascio con la retta CD, il secondo colla CB, la condizionesi traduce in

CHDM∧CBKN. (3)

dove un punto X della retta CD corrisponde al punto Y della retta CB see solo se la rette EY corrisponde alla retta EX nella proiettivita tra i fasci.Questa condizione si puo esprimere dicendo che N = ω(M) dove ω e l’unicaproiettivita che manda C in C, H in B e D in K.

Questa proiettivita e anzi una prospettivita, perche C e punto unito 70;quindi la condizione (3) esprime che le congiungenti punti omologhi HB,DK, MN passano per uno stesso punto P , il centro di proiezione; In altreparole, il punto P , intersezione delle due prime rette, si trova allineato con ipunti M ed N . Ora i punti

P = AB ·DE, N = BC · EF, M = CD · FA

sono le intersezioni delle coppie di lati opposti (1◦ e 4◦, 2◦ e 5◦, 3◦ e 6◦) dell’e-sagono semplice ABCDEF . Si conclude che la condizione primitiva equivalea quella espressa dal verificarsi del teorema di Pascal. (Dimostrazione trattada [45], pp. 370-371).

70Infatti, consideriamo la prospettivita che si ottiene segando le due rette con il fasciodi rette per il punto < H,B > · < D,K >. Essa ha lo stesso effetto di quella data suipunti C, H e D quindi, per il teorema fondamentale delle proiettivita, le due coincidono(cfr. [45] p. 109).

96

8 Von Staudt: I fondamenti della Geometria

Proiettiva

Nella meta del secolo XIX vi furono aspre polemiche tra i sostenitori deimetodi sintetici e di quelli analitici nella geometria proiettiva, che si scam-biavano l’accusa di non riuscire a separare correttamente i concetti proiettivida quelli metrici. Da una parte il concetto fondamentale che veniva utilizzatonella presentazione sintetica della geometria proiettiva, ovvero il birapportodi quattro punti su una retta, veniva introdotto utilizzando le lunghezze degliintervalli. Dall’altra parte l’introduzione delle coordinate proiettive venivaanch’essa basata sulle distanze dai lati del triangolo di riferimento o su altrielementi metrici. Sorse quindi il problema di fondare la geometria proietti-va senza far uso di concetti metrici. Questo problema attrasse l’attenzionedi von Staudt, anche lui come Mobius studente di Gauss, che dedico moltianni e due libri, [226, 227] al tentativo di creare una geometria proiettivaindipendente da qualsiasi concetto metrico.71

Per fondare la geometria proiettiva senza far riferimento a concetti me-trici, Von Staudt partı dall’osservazione che se una corrispondenza tra formedi prima specie preserva gli insiemi armonici , allora preserva i birapporti.72

Poiche gli insiemi armonici sono definibili con costruzioni esclusivamente gra-fiche (cfr. 5.2), la definizione di Von Staudt di proiettivita tra forme di primaspecie, cioe di una trasformazione che preserva gli insiemi armonici, non fauso di concetti metrici e non fa uso, come quella di Ponceet, dell’immersionedella retta nel piano proiettivo.

Con Von Staudt le relazioni grafiche, che costituiscono la par-te sostanziale della geometria proiettiva, vengono ordinate in uncorpo di dottrina completamente distinto da quello delle proprietametriche. Tale purezza di metodo rende possibile l’esame criticodei postulati della nuova scienza ( Klein, Luroth e Zeuthen,Darboux, Pasch, De Paolis ecc.) e ne fa riconoscere il grandecarattere di generalita, per cui essa abbraccia entro di se anche laGeometria (non euclidea) che prescinde dal postulato di Euclidesulle parallele ( Cayley, Klein). Enriques F., [92], p. 401.

8.1 I fondamenti della geometria proiettiva

La geometria proiettiva muove dai concetti fondamentali dipunto, retta, piano, come elementi costitutivi delle figure, e da

71Per un riferimento biografico a Von Staudt, cfr [223].72Cfr. [?], pp. xxx-yyy.

97

alcune relazioni molto semplici fra essi (postulati). Questi ele-menti si suppongono indifferentemente propri e impropri (salvofare su di essi opportune ipotesi, quando delle proprieta dimostra-te si vogliano fare applicazioni metriche; [...] ). Essa si vale delleleggi di dualita nel piano e nello spazio; e puo costruirsi comesistema logico-deduttivo, fondato sui seguenti postulati: 1. Po-stulati di appartenenza: due punti distinti individuano una retta,alla quale essi appartengono; un punto e una retta che non siappartengono individuano un piano, al quale essi appartengono;e i loro duali nello spazio; 2. Postulati dell’ordine e suo carat-tere proiettivo, i quali esprimono proprieta dell’ordine naturalesecondo cui l’intuizione ci presenta disposti i punti di una retta(nonche le rette e i piani di un fascio), come pure il fatto che que-st’ordine si conserva per proiezioni e sezioni; 3. Postulato dellacontinuita, generalmente nella forma di R. Dedekind. EnriquesF., [92].73

Il principio di dualita, prima dedotto da una trasformazione delle figure perreciprocita, segue, nella trattazione assiomatica della geometria proiettiva,dal fatto che gli elementi fondamentali entrano simmetricamente nelle pro-posizioni grafiche elementari che costituiscono i postulati della Geometriaproiettiva, cfr. [92], p. 401.

8.2 Coordinate proiettive e definizione proiettiva dibirapporto

La procedura usuale per introdurre su una retta un sistema di coordinate,cioe per associare ad ogni punto un numero e viceversa, utilizza il compassoe quindi concetti metrici. Von Staudt mostra come sia possibile introdurre lecoordinate con costruzioni univocamente proiettive, cioe usando la sola riga.Utilizzando le coordinate proiettive Von Staudt introduce il birapporto, dalui indicato con il termine tedesco Wurf , di una quaterna di punti allineati,mostrando quindi l’indipendenza della geometria proiettiva da quella metrica.

Per introdurre le coordinate proiettive e possibile seguire la via discussada Klein in [133], p. 124.

La corrispondenza tra numeri razionali e punti della retta puo esserestabilita, in ambito euclideo, utilizzando il parallelismo. Tracciamo una rettaa e fissiamo su di essa due punti, A0 e A1. Tracciamo una retta b parallelaad a e fissiamo su di essa un punto B0. Tracciamo da A1 la parallela alla

73I postulati d’ordine circolare furono introdotti da Vailati, cfr, [63].

98

retta < A0, B0 >, che intersechera b in B1. La parallela da B1 alla retta< B0, A1 > seghera a in A2. Iterando la costruzione determineremo il puntoAi che corrisponde all’intero i.

Figura 1: Costruzione del punto immagine di n

Per costruire i punti A kn

corrispondenti a kn, congiungiamo i punti Bn e

A1 come nella figura 2, tracciamo le parallele alla retta < Bn, A1 > per ipunti Bk e le intersechiamo con la retta < B0, A1 >. Come nella figura 1,tracciando per queste intersezioni le parallele a < A0, B0 > e intersecandolecon la retta a si ottengono i punti A 1

n, A 2

n, . . . , An−1

n.

In questa maniera si puo costruire il punto corrispondente a qualsiasivalore razionale sulla retta. Questa costruzione non e pero proiettiva. Lacostruzione della parallela ad una retta data presuppone infatti l’uso delcompasso e quindi si basa su nozioni metriche. E possibile pero reinterpretarela costruzione in maniera puramente proiettiva, sostituendo la richiesta diparallelismo con quella di passaggio per un punto fissato di una retta fissata,che si puo pensare come la retta all’infinito della costruzione precedente.In altre parole, si applica una trasformazione proiettiva che manda la rettaall’infinito in una retta i al finito e si sostituisce la costruzione di una parallelaalla retta data con quella di una retta per il punto di intersezione di i con laretta data.

Piu precisamente, come indicato in [133], p. 124, cominciamo con duerette, a ed i, dove la seconda corrisponde alla retta all’infinito della costru-zione affine. Il punto di intersezione I1 = i∩a corrisponde alla direzione della

99

Figura 2: Costruzione dei punti immagine di kn

retta a. Su a scegliamo due punti A0 e A1, come nella costruzione affine. Allaretta b parallela ad a sostituiamo ora una retta b passante per I1. Per ogniretta r le rette parallele ad r vengono sostituite dalle rette passanti per r∩ i.

La direzione della retta A1B0 della precedente costruzione affine, corri-sponde ora al punto I3 =< A1, B0 > ∩i, per il quale devono passare tutte lerette che prima erano parallele a < A1, B0 >.

Anche con questa costruzione proiettiva possiamo rappresentare sulla ret-ta a tutti i numeri razionali. Per rappresentare i numeri irrazionali, VonStaudt osserva che definendo un numero reale con le sezioni di Dedekind dirazionali, esso e univocamente determinato dai razionali e quindi, attraversoun argomento non perfettamente rigoroso, stabilisce un corrispondenza trapunti e numeri reali in modo che il numero associato ad un punto si possainterpretare a tutti gli effetti come il birapporto con i tre punti fissati A0, A1

e I1. Von Staudt dimostra anche che la costruzione dipende solo da A0, A1

e I1 e che e indipendente dalle altre scelte.Si noti che questa costruzione si puo fare in una qualsiasi geometria che

soddisfi gli assiomi di incidenza. Non bastano tali assiomi pero a garantireche la corrispondenza sia iniettiva, ne che sia suriettiva, ne che permettadi definire un ordine sulla retta che sia in accordo con l’ordine dei numerirazionali, ne che sia continua. E necessario per questo, come osserva Klein,aggiungere agli assiomi di incidenza opportuni assiomi di ordine e continuita.Diversi matematici, tra cui Darboux, De Paolis ed Enriques, completarono

100

Figura 3: Costruzione di Staudt

la costruzione puramente proiettiva delle coordinate, superando le obiezionimosse da Klein.

To be able to consider von Staudt’s approach as a rigorousfoundation of projective geometry, one need only add explicitelythe topological axioms which are tacitly used by von Staudt [..]how can one formulate the topology of projective space withoutthe support of a metric? Von Staudt was still far from raisingthis question, which a quarter of a century later would becomeurgent [...] Felix Klein noticed the gap in Von Staudt’s approach;he was aware of the need to formulate the topology of projectivespace independently of Euclidean space [...] The italians were thefirst to find truly satisfactory solutions for the problem of a purelyprojective foundation of projective geometry, which von Staudthad tried to solve.

Freudenthal H., [100]

Nell’approccio completamente sintetico e non metrico alla geometria pro-iettiva di Von Staudt, si possono definire tutti i concetti proiettivi. Per esem-pio, le coniche,si possono definire a partire dalle correlazioni, (cfr.6.4.2), come

101

il luogo dei punti autoconiugati di una polarita, cioe il luogo dei punti cheappartengono alla propria polare. La definizione si estende alle quadriche74.

Un altro contributo fondamentale di Von Staudt riguarda la teoria geo-metrica degli elementi immaginari. Per Von Staudt un punto complesso euna retta orientata con una involuzione ellittica. La teoria e complicata evenne completamente superata dall’introduzione delle coordinate proiettivecomplesse. Esiste anche una semplice teoria sintetica delle coppie di pun-ti complessi coniugati che, per quasi tutte le applicazioni alla geometria, esufficiente. Questa teoria e dovuta a Corrado Segre, cfr. [208].

Per associare ad ogni numero razionale α un punto P (α) di una rettaproiettiva e anche possibile utilizzare la costruzione del coniugato armonico.Indichiamo con q(A,B,C) il coniugato armonico di C rispetto alla coppia(A,B) e procediamo nel modo seguente. Scegliamo tre punti O, U e I sullaretta, cui associamo rispettivamente 0, 1 e ∞ e quindi O = P (0), U = P (1)e I = P (∞). Per n,m interi positivi definiamo:

• P (n) = q(P (n− 1), P (∞), P (n− 2));

• P (−n) = q(P (1− n), P (∞), P (2− n));

• P ( 1n) = q(P (1), P (−1), P (n));

• P (mn

) = q(P (m−1n

), P (∞), P (m−2n

));

• P (−mn

) = q(P (1−mn

), P (∞), P (2−mn

));

A questo punto, come in precedenza, e possibile usare il postulato di conti-nuita di Dedekind per associare ad ogni numero reale un punto della rettaproiettiva e viceversa.

Esercizio Qual e il legame tra i due approcci?

9 Plucker

Plucker studio a Bonn e a Parigi, venendo in contatto con la matematicafrancese e in particolare con Chasles. Fu professore alle universita di Bonn,Berlino, Halle e poi ancora a Bonn, dove tenne le cattedre di Matematicae Fisica. Lascio l’universita di Berlino per contrasti insanabili con JakobSteiner sull’uso dei metodi analitici in geometria, che Steiner contrastava e

74Per una dimostrazione del teorema di Pascal a partire da questo approccio alle coniche,cfr. [?], p. xx.

102

Plucker invece propugnava. Questo contrasti indirizzo l’interesse prevalentedei suoi studi verso la fisica e ritorno alla geometria solo dopo la morte diSteiner.

Plucker rielaboro l’intero edificio della geometria analitica,ispirandosi a una visione della sostanziale equivalenza tra pro-cedimenti costruttivi e deduzioni algebriche, che in qualche modosi ricollega alla tradizione del Monge e che lo condusse ad ade-guare i metodi della geometria analitica alle esigenze dell’alloranascente geometria proiettiva. Si debbono al P. l’uso sistematicodelle coordinate omogenee, la cosı detta ”notazione abbreviata”e soprattutto l’introduzione delle coordinate di retta e di piano.Cosı egli pose i principı della moderna geometria della retta; enon solo chiarı il significato profondo della legge di dualita, maassurse alla veduta della liberta di scelta dell’elemento generatoredello spazio, aprendo l’adito al concetto, altrettanto geniale quan-to fecondo, delle geometrie astratte. Spettano infine al P. taluneformule - fondamentali per la teoria proiettiva delle curve alge-briche piane - che legano l’ordine e la classe d’una tale curva allesue singolarita elementari. Giorgio DIAZ DE SANTILLANA -Bruno PONTECORVO, Enciclopedia Italiana, ad vocem Plucker.

L’approccio analitico alla geometria proiettiva, iniziato da Mobius, ven-ne ulteriormente sviluppato da Plucker. Egli baso il suo approccio sull’u-so delle coordinate omogenee, che introdusse in [166], indipendentemente econtemporaneamente a Mobius, Feuerbach e Bobillier.

Utilizzando l’approccio analitico fu in grado di giustificare in maniera con-vincente il principio generale di dualita. Nel piano, per esempio, introdusseaccanto alle coordinate omogenee di punto x0, x1, x2 le coordinate omogeneedi retta u0, u1, u2, legate alle precedenti dall’equazione di incidenza

u0x0 + u1x1 + u2x2 = 0. (4)

che esprime analiticamente la condizione di incidenza tra punto e retta. Fis-sati i valori delle coordinate ui, l’equazione di incidenza ha come soluzionile coordinate dei punti della retta di coordinate ui. Viceversa, fissati i valoridelle coordinate xi, l’equazione di incidenza ha come soluzioni le coordinatedelle rette del fascio per il punto di coordinate xi. La dualita, secondo l’ap-proccio analitico di Plucker, e semplicemente conseguenza della simmetriacon cui le coordinate di punto e quelle di retta entrano nella relazione diincidenza (4).

103

L’approccio di Plucker, pur essendo caratterizzato da un uso degli stru-menti analitici piu sistematico rispetto agli altri geometri proiettivi a luicontemporanei, e comunque molto geometrico e si puo dire che mostri unacompleta fusione delle formule con le costruzioni geometriche, cfr. [133],p. xx. Nei lavori di Plucker, le equazioni sono sempre tradotte in terminigeometrici e le operazioni analitiche sono sempre riferite al loro contenutogeometrico. I calcoli vengono evitati finche possibile e l’intuizione geometri-ca e costantemente utilizzata per motivarli e semplificarli. Questo punto divista eclettico era in stridente contrasto con le vedute integraliste di Steiner,che polemizzo fortemente con Plucker. Steiner minaccio di smettere di invia-re i suoi lavori alla rivista del suo amico e sostenitore Crelle, se questi avessecontinuato a pubblicare i lavori di Plucker. La polemica convinse Plucker adabbandonare la matematica per occuparsi di fisica, dove produsse risultati digrande rilievo nel campo sperimentale, [133], p. xx. Torno ad occuparsi digeometria verso la fine della carriera, in tempo per spalancare le porte ad unnuovo e promettente campo di ricerche, la geometria delle rette dello spazio,trattata in [170]. Si tratta di un lavoro di importanza fondamentale, in quan-to aggiunge una nuova prospettiva alla geometria: uno spazio geometrico nonsolo puo essere generato da elementi diversi dai punti, come Poncelet, Steinere Mobius avevano gia capito e ampiamente utilizzato, ma puo anche avereuna dimensione maggiore di tre e una struttura globale diversa da quella diuno spazio proiettivo.

Plucker diede anche importanti contributi alla teoria delle curve algebri-che, dimostrando, tra l’altro, le formule di Plucker per le curve algebrichepiane dotate di singolarita non troppo elevate, che vincolano gli invariantiproiettivi della curva e della sua duale, e di cui tratteremo nel capitolo [185]dedicato alla teoria delle curve algebriche piane. Una di queste formule eragia nota a Poncelet, come abbiamo ricordato a p. 56.

Plucker fu il maestro di Felix Klein, che curo l’edizione postuma del secon-do volume dell’opera sulla geometria delle rette, da cui trasse ispirazione perla sua visione della geometria. Un’altro grandissimo geometra che sviluppole idee di Plucker fu Sophus Lie, la cui teoria geometrica delle equazioni dif-ferenziali si basa sull’idea pluckeriana di considerare geometricamente nuovispazi di enti omogenei, che per Lie saranno i getti .

Torneremo a parlare del lavoro di Plucker nella sezione sulle curve alge-briche piane, cfr. [185] e in quella sulla geometria superiore, cfr. [193].

9.1 Dimostrazione di Plucker del teorema di Pascal

Presentiamo una dimostrazione del teorema di Pascal sull’esagono circoscrit-to ad una conica, dovuta a Plucker (cfr. [133]), per illustrare in un semplice

104

esempio le caratteristiche della sua matematica, che fonde intuizione geome-trica e strumenti analitici, e perche si tratta di un caso particolare di unteorema fondamentale per la teoria delle curve algebriche piane, il teoremadi Cayley - Bacharach (cfr [89])

Siano p, p′, q, q′ e r, r′ le coppie di rette opposte in un esagono completoinscritto in una conica. Allora pqr − µp′q′r′ e un fascio di curve del terzoordine per i nove punti di intersezione delle due cubiche p+q+r e p′+q′+r′.Siccome 6 dei nove punti sono su una conica per ipotesi, possiamo scegliere ilparametro µ imponendo il passaggio per un settimo punto della conica. Peril teorema di Bezout , questa cubica contiene la conica come componente equindi si spezza in una conica e in una retta, che contiene gli altri tre punti75

10 La diffusione della geometria proiettiva in

Europa

Nella prima meta del diciannovesimo secolo, la geometria proiettiva ebbe ungran numero di cultori. Dei geometri tedeschi, abbiamo gia detto.

In Francia, dopo la generazione di Poncelet, Gergonne e Brianchon, ricor-diamo i contributi di Chasles e de Jonquieres; in Inghilterra quelli di Cayley,Sylvester e Salmon; in Italia quelli di Cremon.

10.1 Chasles

Nella sua opera piu famosa ([49]) Chasles presenta un’analisi storica accuratadello sviluppo della geometria dai greci ai suoi tempi, corredata di numero-si approfondimenti e complementi originali. Quasi tutto quello che pubblicosuccessivamente trasse origine da questo suo primo lavoro. Purtroppo in essonon venivano considerati i contributi dei matematici tedeschi perche l’autore

75Per l’attribuzione di questa dimostrazione a Plucker, cfr. [93], note Libro II, p.238,dove viene riportato il riferimento a [166], Bd1, p. 267.

105

non ne conosceva la lingua. Si trovo cosı a introdurre concetti e tecnichesviluppati contemporaneamente anche da altri, come per esempio la nozionedi birapporto, che anche Mobius aveva introdotto indipendentemente. I suoilibri [50, 51] ebbero grande influenza per lo sviluppo della geometria pro-iettiva. Furono, insieme ai libri di Steiner, i riferimenti principali di LuigiCremona, l’ultimo dei grandi geometri proiettivi. In essi Chasles introdusseoltre ai concetti di birapporto, anche quello di omografia, di fascio di curvee di involuzione e li applico allo studio delle proprieta delle coniche.

Tra i suoi contributi piu importanti per il successivo sviluppo della geo-metria numerativa ci sono i lavori sul calcolo del numero di coniche tangenti acinque coniche assegnate. Il problema fu risolto in maniera errata da Steinerche diede come risposta 7776. Per ottenere la risposta esatta, che e 3264,Chasles sviluppo i metodi della geometria enumerativa, che solo nella secondameta del secolo scorso ricevettero fondamenti adeguati76, cfr. [76] e [129].

Negli ultimi anni della sua vita Chasles fu amareggiato da una frode aisuoi danni che ne mino la reputazione. Gli furono venduti manoscritti falsi diNewton e Pascal in base ai quali risultava che Pascal aveva preceduto Newtonnella formulazione della legge universale della gravitazione. Chasles presentoall’Accademia di Francia i manoscritti come autentici, sollevando una grandecontroversia che porto all’accusa di frode nei confronti di chi aveva venduto imanoscritti a Chasles. Nel processo che seguı, Chasles dovette ammettere diaver ingenuamente creduto non solo all’autenticita dei manoscritti di Newtone di Pascal, ma anche di altri attribuiti a Galileo e a Cleopatra, e scritti infrancese!

10.2 de Jonquieres

Un’altra figura prestigiosa per la geometria proiettiva francese fu quella dide Joinquieres. Allievo di Chasles, dimostro subito grandi capacita nell’ af-frontare e risolvere i problemi che gli venivano posti dal maestro. Scelse lacarriera militare nella marina francese, dove arrivo a ricoprire la carica diAmmiraglio, e continuo ad occuparsi di geometria nei ritagli di tempo. Purnon avendo la creativita di Poncelet e di Steiner diede contributi originali amolte questioni di geometria. Scoprı i primi esempi di trasformazioni birazio-nali diversi dalle trasformazioni quadratiche, che vennero poste all’attenzionedei geometri in tutta la loro generalita da Cremona sulle trasformazioni bira-zionali, cfr. [67, 68]. Pur riscoprendole indipendentemente da de Jonquieres,

76Il quindicesimo problema di Hilbert richiedava appunto fondamenti rigorosi per lageometria enumerativa.

106

Cremona diede ampio credito ai risultati del matematico francese appenavenne a conoscenza dei suoi risultati.

De Jonquieres ebbe una dura polemica con Chasles sulla priorita dellascoperta del principio di corrispondenza, che e fondamentale nell’approcciodi Chasles ai problemi di geometria enumerativa. In un dettagliato articolopubblicato da Corrado Segre [209], si restituiscono a de Jonquieres i meritidella scoperta. L’interessante corrispondenza tra de Jonquieres e Cremona eraccolta in [195].

10.3 Cayley, Sylvester e Salmon

Alla meta del diciannovesimo secolo i matematici britannici svilupparonoper primi un nuovo approccio algebrico alla geometria proiettiva. Si trattadella teoria degli invarianti . Nacque nel 1848 con un articolo di G. Boole, peressere poi sviluppata da Cayley, Sylvester e Salmon, che ne diedero numeroseapplicazioni alla geometria.

Una curva algebrica piana o una superficie dello spazio, sono descritteda un polinomio omogeneo in tre o in quattro variabili rispettivamente, matale descrizione dipende dalla scelta di un sistema di riferimento proiettivo.Cambiando il riferimento, l’equazione che descrive la curva o la superficiecambia per una sostituzione lineare delle variabili. L’idea della teoria degliinvarianti e che gli oggetti analitici che si possono costruire con i coefficientidi un polinomio omogeneo e che hanno significato geometrico, cioe rappre-sentano proprieta proiettive delle corrispondenti figure ottenute uguagliandoa zero i polinomi, devono essere invarianti o covarianti per sostituzioni li-neari. Di qui il programma di determinare i covarianti dei polinomi omogeneidi dato grado in un numero fissato di variabili e di fornirne l’interpretazionegeometrica. Tra i covarianti di una polinomio omogeneo ci sono ad esempiole polari , la Jacobiana, la Steineriana e l’Hessiana, che sono fondamentaliper lo studio delle proprieta geometriche della varieta algebrica associata alpolinomio, cfr. [68]. Daremo maggiori dettagli di questa teoria nel capitolosulla storia della teoria degli invarianti, cfr. [187].

10.4 Luigi Cremona

La matematica in Italia conobbe un progressivo declino dai tempi di Evange-lista Torricelli e di Bonaventura Cavalieri fino al risorgimento. Tale declinoebbe un’accelerazione durante la restaurazione. Con la generazione dei ma-tematici risorgimentali, come Francesco Brioschi ed Enrico Betti, comincioad invertirsi la rotta, cfr [191]. Luigi Cremona, studente di Brioschi a Pavia,dovette studiare la geometria proiettiva da autodidatta, secondo il quadro

107

degli studi geometrici in Italia, sinteticamente tracciato da Gaetano Scorzanel 1932.

Mentre in Francia e in Germania le teorie proiettive eran og-getto di ricerche numerose e coi trattati del Poncelet, del Mobius,dello Steiner e dello Staudt, nel venticinquennio intercorso tra il1822 e il 1847, raggiungevano un assetto presso che definitivo,in Italia ben poco di esse era penetrato; quando il Cremona, conle note apposte, sugli esemplari a stampa, alla prolusione con laquale nel 1860 inauguro il suo corso di geometria superiore nel-l’Universita di Bologna, volle pur dare un qualche cenno di quantoin Italia si veniva facendo per diffondere e far progredire le nuoveteorie geometriche, egli non pote citare che i saggi del Bellavitis ealcuni corsi di lezioni tenuti dal Gabba nell’Universita di Pavia.

Ne miglior conoscenza si ebbe fra di noi delle belle ricerchealgebrico-geometriche del Plucker, del Salmon, del Cayley e delSylvester, con le quali mediante l’introduzione di sistemi di coor-dinate piu adatti di quello cartesiano alle nuove esigenze, la geo-metria analitica veniva ad essere svecchiata e sveltita, ed a sta-bilire fra le nuove teorie algebriche e la geometria proiettiva le-gami altrettanto stretti quanto quelli gia fissati, fin dai tempi delDescartes fra l’algebra ordinaria e la geometria classica de greci.

Bisogno che si arrivasse al 1860 perche con la creazione dicattedre apposite, affidate a Bologna, al Cremona, ed a Napoli, alBattaglini, l’importanza della geometria moderna fosse ufficial-mente riconosciuta. G. Scorza, [203], pp. 122-123.

Il simbolo del rinnovamento delle matematiche in Italia durante il Ri-sorgimento fu Luigi Cremona.77 I suoi interessi scientifici si riferirono quasiesclusivamente alla geometria proiettiva. Gli fu conferito per due volte il pre-mio Steiner per i suoi lavori sulle curve e sulle superfici e in particolare per lesue indagini sulle superfici del terzo ordine. Secondo l’opinione espressa daNoether nel suo necrologio [159] di Cremona “questi lavori hanno nutrito unagenerazione di matematici tedeschi”. Il nome di Cremona e indissolubilmen-te legato alla scoperta delle trasformazioni razionali del piano proiettivo inse, chiamate oggi trasformazioni di Cremona. Per la loro importanza per losviluppo della geometrica algebrica si veda il brano di Castelnuovo riportatotra le letture.

77Per una succinta nota biografica si puo far riferimento a [223].

108

10.5 Letture

10.5.1 Guido Castelnuovo - Commemorazione di Luigi Cremona

Se io dovessi con poche parole, necessariamente imprecise, ca-ratterizzare la posizione scientifica del Cremona, direi che nellageometria algebrica, ramo da lui prediletto, egli chiude un’epocaper aprirne una nuova.

Egli chiude l’epoca d’oro della geometria proiettiva, discipli-na che, elevata al grado di scienza dal Poncelet sul principio delsecolo scorso, fu stimata degna di stare a fianco della geometriaelementare tramandata dai Greci, grazie al rigore dei metodi eall’elegante semplicita dei risultati. La proiettiva, dopo aver fattole sue prove nello studio di figure elementari quali le coniche, af-fronto verso la meta del secolo passato le ricerche sopra enti piuelevati, come le curve e le superficie algebriche. Queste ricercheavevano veramente avuto inizio prima che il Cremona si affac-ciasse alla scienza; ma i metodi erano ancora imperfetti, moltiteoremi erano stati enunciati senza dimostrazione, e mancavanoi legami fra i vari risultati. Riprendendo le questioni dell’origineil Cremona rivelo subito la potenza del suo ingegno. Egli per-feziono anzitutto i procedimenti di indagine fondendo nel modopiu abile l’intuizione geometrica con alcuni risultati tolti dall’al-gebra. E questi procedimenti seppe adoperare con tale sagacia dapermettere alla nuova algebra geometrica di scoprire, spesso sen-za sforzo, proprieta riposte che l’algebra classica, appesantita dalbagaglio delle formole, solo con fatica riuscı a ritrovare. Egli potecosı ricostruire in modo organico la teoria generale delle curve esuperficie algebriche, ed esporla in due monografie78 che possonoriguardarsi come una trattazione completa del soggetto, tenendoconto dell’epoca in cui apparvero. In varie memorie staccate ap-profondı poi lo studio delle curve sghembe dei primi ordini, dellasuperficie cubica e di alcune particolari superficie del quarto e delquinto ordine. Questi lavori sono ammirabili, non solo per l’acu-me con cui la ricerca e condotta, ma pure per la eleganza dellaforma, per il sentimento artistico che la ispira. Il gusto del bellodoveva essere una dote della famiglia Cremona; essa appare in-fatti tanto negli scritti del grande matematico, quanto nei quadridel fratello minore Tranquillo che, morto quarantenne, ha pur la-

78[66, 71]

109

sciato un nome cospicuo come uno dei piu originali ed espressivipittori italiani del secolo scorso.

Nel campo della geometria proiettiva algebrica Luigi Cremonalavoro con tale intensita e profondita da togliere ai successori lasperanza di facili raccolti. Non gia che siano esauriti i problemi,ma quelli che restano sembrano esigere per la loro risoluzione unosforzo spesso superiore all’interesse dell’argomento. E percio chepossiamo vedere in Luigi Cremona il maggiore e forse l’ultimo deigrandi cultori della geometria algebrica proiettiva.

Egli ebbe pero, come gia accennai, il merito e la fortuna diaprire un nuovo indirizzo di ricerche. Trova questo il suo inizioin due memorie del 1863 – 6479 ove sono studiate quelle trasfor-mazioni alle quali il suo nome e rimasto legato, trasformazionifra due piani che mutano punti in punti e rette in curve algebri-che. Alle dette memorie altre si riattaccano ove la teoria delletrasformazioni cremoniane viene estesa allo spazio ed applicataad ottenere la rappresentazione piana della superficie cubica e dialtre particolari superficie. Introdurre nella geometria un nuovogruppo di trasformazioni, non costruite artificialmente, ma im-poste dalla natura stessa dei problemi, vuol dire, in primo luogo,offrire il mezzo di trasportare proprieta note di enti semplici adenti piu complessi ottenuti dai primi mediante le dette trasfor-mazioni; ma vuol dire, in secondo luogo, dar origine allo studiodi quelle proprieta geometriche che non vengono alterate dalletrasformazioni stesse. Di queste due parti del programma chela scoperta del Cremona permetteva di formulare, egli svolse laprima; essa comprende, come dissi, i procedimenti impiegati dalui per rappresentare birazionalmente sopra un piano particola-ri superficie, i quali procedimenti segnano l’inizio di un capitoloche prese piu tardi un ampio sviluppo. La seconda parte del pro-gramma, ravvivata anche con idee provenienti da altre scuole, haispirato le principali ricerche che nel campo della geometria al-gebrica furono condotte nell’ultimo cinquantennio. Ed anche inqueste ricerche i metodi che il Cremona aveva adoperato o in-trodotto nella geometria algebrica proiettiva, dimostrarono la lorofecondita. Castelnuovo G., [44]

79cremona2,cremona8

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130

Indice analitico

Aggetto, 49Alberti, Leon Battista

(1404-1472), 14, 17Algebra

dei segmenti orientati, 3dei rapporti, 1

Algebra dei segmenti orientati, 84Apollonio di Perga (262 a.C. – 190

a.C.), 25, 42, 48, 56, 60Armonico

coniugato, 60, 102insieme, 58, 97

Armonico coniugato, 68costruzione, 35

Assedi collineazione, 85di un fascio, 91

Bacharach, Isaak (1854 – 1942),105

Baricentro, 80Battaglini, Giuseppe (1826 –

1894), 108Bellavitis, Giusto (1803 – 1880),

108Betti Enrico (1823 – 1892), 107Birapporto, 4, 6, 12, 56, 80, 81,

83, 84, 97, 98, 106di 4 punti su una conica, 81e ordinamento, 84invarianza, 4, 97secondo Von Staudt, 98

Bobillier, Etienne (1798 – 1840),79, 103

Boole, George (1815 – 1864), 107Borelli, Giovanni Alfonso (1608 –

1679), 25Bosse, Abraham (1604 – 1676), 26

Briancon, Charles Julien(1783-1864), 11, 51, 93,105

Brioschi Francesco ( 1824 – 1897),107

Calcolodifferenziale, 48

Calcolo baricentrico, 80Carnot, Lazare (1753 – 1823), 2,

10, 45, 49, 51, 52, 55Cavalieri, Bonaventura (1598 –

1647), 26, 107Cayley, Arthur (1821 – 1895), 45,

97, 105, 107, 108Centro

armonico, 62armonico di grado r, 60delle medie armoniche, 60di proiezione, 15di una stella, 91

Centro delle medie armoniche, 58Cerchi

di Apollonio, 56Ceva, Giovanni (1647 – 1734), 1, 3Ceviana, 3chasles, 43Chasles, Michel (1793 – 1880), 6,

10, 40, 49, 51, 52, 81, 84,92, 102, 105–107

Chisini, Oscar (1889 – 1967), 55Commandino, Federico (1509 –

1575), 14, 25Condizione di incidenza, 103Condizioni

che determinano unaproiettivita tra piani, 87

che determinano unaproiettivita tra rette, 85

131

Congruenze, 81Conica, 42

definita da una polarita, 89definizione di Von Staudt, 62immaginaria, 89secondo Steiner, 92secondo Von Staudt, 101

Conica supplementare, 58Coniche

generazione proiettiva, 92Coniugato

armonico, 41Coniugato armonico, 41Cono

visuale, 13Coordinate

baricentriche, 80omogenee, 79, 80, 103pluckeriane, 79proiettive, 97, 102

Coppiein involuzione, 37

Corda ideale, 58Corda immaginaria, 57Correlazione, 80, 81, 88

focale, 62correlazione, 83Corrispondenza biunivoca, 80Costruzione

del sesto quadrangolare, 35della proiettivita date tre

coppie di punti, 85Costruzione geometrica dinamica,

55Costruzione proiettiva

elementare, 31Covarianti, 107Crelle, August Leopold (1780 –

1855), 80, 91, 104Cremona Luigi (1830 – 1903), 45,

90, 105–109

Criteri di uguaglianza dei triangolisferici, 63

Curvaalgebrica, 56classe, 56cuspidi, 56nodi, 56

Durer, Albrecht (1471 – 1528), 15,17, 18

Dandelin, Germinal Pierre (1794 –1847), 45

Darboux, Jean Gaston (1842 –1917), 97, 100

de Jonquieres, Ernest J. P. (1820– 1901), 60, 105–107

de la Hire, Philippe (1640 – 1718),26, 43, 48, 61

De Paolis, Riccardo (1854 – 1892),97, 100

Dedekind, Richard (1831 – 1916),98, 100, 102

Desarguesteorema, 30

Desargues, Gerard (1593 – 1662),11, 25, 26, 30, 31, 36, 37,40–44, 48, 55, 57, 61, 91

Descartes, Rene (1596 – 1650), 25,26, 42–44, 48, 51, 55, 108

Diametro coniugato, 57, 68Divisione armonica, 8Dualita, 64, 103

applicazioni, 78legge di, 78proprieta, 77secondo Gergonne, 78secondo Plucker, 79secondo Poncelet, 78sferica, 63, 77

Elementi

132

immaginari, 102Elemento, 61

di spazio, 78immaginario, 51, 57

Eliodoro di Larissa (ca 300 – ca400), 13

Enriques, Federigo (1871 – 1946),43, 55, 79, 100

EuclideElementi, 14Ottica, 14Porismi, 11

euclide, 14Euclide di Alessandria (IV sec. ac

– III sec. a.c.), 1, 10, 11,13, 14

Fano, Gino (1871 – 1952), 30Fasci

Proiettivi, 85Fascio

armonico, 11di coniche, 38di curve, 106di piani, 91di raggi, 91di rette, 66

Fermat, Pierre de (1601 – 1665),48

Feuerbach, Karl Wilhelm (1800 –1834), 79, 103

Figuraduale, 78geometrica, 91

Fondamenti della geometriaproiettiva, 97

Formadel primo tipo, 92del secondo tipo, 92del terzo tipo, 92geometrica, 91

fondamentale, 91geometrica fondamentale, 90,

91Forme

prospettive, 85Formula

area triangolo, 52di Plucker - Poncelet, 104di Poncelet - Plucker, 56volume tetraedro, 52

Formuledi Plucker, 104

Formule di Plucker, 56Funzioni

ellittiche, 57

Gabba, Alberto (18xx – 18xx),108

Galilei, Galileo (1564 – 1642), 106Gauss, Carl Friedrich (1777 –

1855), 79, 97Generazione proiettiva, 90, 92Geometria

della sfera, 3delle rette, 104descrittiva, 50, 51di posizione, 78differenziale, 50enumerativa, 106, 107numerativa, 106proiettiva, 51

postulati, 78superiore, 104

Gergonne, Joseph Diaz (1771 –1859), 45, 51, 55, 60, 64,67, 78, 105

Getti, 92, 104Grandezze

con segno, 84Gruppo

delle proiettivita, 33

133

delle trasformazioni linearifratte, 80

di Mobius, 80, 81Guidobaldo del Monte

Perspectivae libri sex, 14Guidobaldo del Monte (1545 –

1607), 14

Hessiana, 107Hexagrammum mysticum, 45, 90Hilbert, David (1862 – 1943), 106

Inavriante assoluto, 86Insieme

quadrangolare, 34Invariante, 83Invarianti, 107Invarianza

del birapporto, 84del rapporto semplice, 84

Invarianza del birapporto, 84Inversione circolare, 81Involuzione, 7, 38, 106

ellittica, 40, 102iperbolica, 40

Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804 –1851), 91

Jacobiana, 107Johann Heinrich Lambert (1728 –

1777), 43

Kepler, Johannes (1571 – 1630),57

Kirkman, Thomas Penyngton(1806 – 1895), 45

Klein, Felix Christian (1849 –1925), 42, 81, 97, 98, 100,101, 104

Luroth, Jacob (1844 – 1910), 97Lacroix, Sylvestre–Franoise (1765

– 1843), 48, 55

Lagrange, Joseph Louis (1736 –1813), 48

Leibniz, Gottrfied Wilhelm ( 1646– 1716)), 48

Leonardo da Vinci (1452 – 1519),14

lie, 104Lie, Sophus (1842 – 1899), 104Linea

di terra, 19Linea di terra, 49Listing, Johann Benedict (1808 –

1882), 81Lorenzetti, Ambrogio (1290 –

1348), 17

Mobius, August Ferdinand (1790– 1860), 3, 6, 79–82, 84,97, 103, 104, 106, 108

Maclaurin, Colin (1698 – 1746),45, 59

Matricedi un sistema nullo, 89di una polarita, 89

Mediaaritmetica, 59armonica, 59geometrica, 59

Menelao di Alessandria (ca. 70 –ca. 140), 1, 37

Mersenne, Marin (1588 – 1648), 44Metodo delle doppie proiezioni

ortogonali, 49Metodo di rappresentazione, 54Mollweide, Harl (1774 – 1825), 79Monge, Gaspard (1746 – 1818),

49–52, 54, 55Moulton, Forest Ray (1872 –

1952), 30Movimento rigido, 80

134

Napoleone, Bonaparte (1769 –1821), 51, 52

Nastro di Mobius, 81, 82Newton, Isaac (1642 – 1727), 48,

106Noether, Max (1844 – 1921), 108

Omografia, 80, 87della retta, 80forma analitica, 83

omografia, 106Omografie, 81

della retta, 84Omologia, 15, 16, 22, 25, 29, 31,

33, 48asse, 16, 27, 87Centro, 87centro, 16centro di, 27costruzione, 31di Piero della Francesca, 20invariante assoluto, 87nello spazio, 32piana, 87solida, 56

OpereApollonio, Coniche, 25Euclide, Porismi, 4Menelao, Sferiche, 1Tolomeo, Almegesto, 1

Ottica, 13teoria emissionista, 13Teoria estromissiva, 13

Pappoteorema, 30

Pappo di Alessandria (ca. 290 –ca. 350), 1, 4, 6, 7, 11, 12,30, 37, 61, 84

Pascal, Blaise (1623-1662), 11, 25,26, 42–45, 93, 104, 106

Pasch, Moritz (1843 – 1930), 79,97

Pestalozzi, Johann Heinrich ( 1746– 1827), 89

Pfaff, Johann Friedrich (1765 –1825), 79

Pianicorrelativi, 88omografici, 87prospettivi, 87reciproci, 88

Pianodi Fano, 30proiettivo finito, 45punteggiato, 91rigato, 91all’infinito, 57di Moulton, 30non desarguesiano, 30

Piano proiettivo complesso, 82Piano proiettivo reale, 82Piero della Francesca

De prospectiva pingendi, 14Piero della Francesca

(1416/1417-1492), 14,17–19, 23, 31

Piramidevisuale, 13

Plucker, Julius (1801 – 1868), 45,56, 79, 83, 102–104, 108

Polare, 41, 56, 57, 60, 61, 88, 107r-esima, 60, 62retta, 64

Polarita, 7, 41, 61, 88, 102ordinaria, 89rispetto a una quadrica, 62sferica, 63uniforme, 89

Polo, 41, 57, 60, 61, 88Poncelet

poligono di, 57

135

Poncelet, Jean Victor (1788 -1867), 10, 11, 32, 38, 42,49, 51, 52, 54, 56, 57, 60,64, 77–80, 97, 104–106,108, 109

Postulatidi appartenenza, 98di ordinamento, 98

Postulatodi continuita, 98

Principiodei segni, 81dell’omografia, 42di continuita, 51, 55, 56, 66,

70di corrispondenza, 107di dualita, 55, 67, 98, 103di proiezione, 42, 55, 65

Problemadelle coniche tangenti a cinque

coniche, 106di Apollonio, 56isoperimetrico, 90

Programma di Erlangen, 42, 81Proiettivita, 33, 90, 92

e birapporto., 84ellittica, 86iperbolica, 86parabolica, 86preserva il birapporto, 85preserva insiemi armonici, 85secondo Mobius, 81tra forme di prima specie, 85

Proiezione, 15, 92e sezione, 14ortogonali, 49

Proporzionearitmetica, 58, 59armonica, 10, 58, 59geometrica, 58, 59

Proporzioni

teoria delle, 58Proposizione duale, 63Proprieta

di collinearita, 1di incidenza, 1grafica, 78proiettiva, 54

Prospettiva, 13, 14Prospettivita, 15, 28, 33, 48Prospettografo, 15Punti

autoconiugati, 89ciclici, 55immaginari, 57impropri, 57uniti di una proiettivita, 86,

87Punto

complesso, 40di collineazione, 94di Kirkman, 45all’infinito, 26, 57, 83autociniugato, 89di fuga, 19fisso

di una proiettivita, 40improprio, 7, 26, 48, 80impropro, 30

Quadrangoli omologici, 36Quadrangolo, 33

completo, 7, 39diagonale, 33lato, 33punti diagonali, 33vertice, 33

Quadrica definita da una polarita,89

Quarto proporzionale, 59Quaterna

armonica, 35, 41, 85

136

Quaterna armonica, 37Quota, 49

Rapportosemplice, 5anarmonico, vedi Birapporto6armonico, 12semplice, 81, 84

Reciprocita, 62, 88involutorie

v. Polarita, 62polare, 88

Relazionedi incidenza, 61, 83

Rettadi Pascal, 45punteggiata, 91all’infinito, 57di Pascal, 90equazione omogenea, 83limite, 88unita

di una proiettivita, 87retta proiettiva, 80Rette

autoconiugate, 89Roberval, Gilles Personne de

(1602–1675), 44

Salmon, George (1819 – 1904),105, 107, 108

Scorza, Gaetano (1876 – 1939),108

Secante ideale, 58, 70Secante immaginaria, 57Segre, Corrado (1863 – 1924), 40,

102, 107Servois, Francois-Joseph (1767 –

1847), 60Sezione, 15, 92Similarita, 81

Sistemanullo, 62

Sistema nullo, 81, 89Snellius, Willenrord (1580 –

1626), 63Sostegno

di un fascio, 91di una punteggiata, 91

Sostituzioni lineari, 107Spazi

correlativi, 89Spazio

di piani, 92duale, 81proiettivo

coordinatizzabile, 30punteggiato, 92

Stanza delle maschere, 13steiner, 90Steiner, Jacob (1796-1863), 6, 38,

45, 81, 84, 89–92, 95,102–104, 106, 108

Steineriana, 107Stella

di piani, 91di raggi, 91

Superficiecubica, 90

Sylvester, James Joseph (1814 –1897), 105, 107, 108

Teoremadei quadrangoli omologici, 34di Bezout, 105di Briancon, 51di Cayley - Bacharach, 105di Ceva, 1, 3di Desargues, 40

involuzioni, 36, 38sui triangoli, 7triangoli omologici, 28, 29

137

di Desargues sull’omologia, 52di Menelao, 1, 5, 12, 52di Pappo

birapporto, 4, 6dell’esagono, 7esagono, 6, 30, 68

di Pappo sul birapporto, 52di Pascal, 6, 42, 44, 45, 51, 90,

93Dimostrazione di Plucker,

104fondamentale delle

proiettivita, 85, 96Teorema di Briancon, 93Teorema di Pappo duale, 94Teoria

degli invarianti, 107delle trasversali, 52

Thabit ibn Qurra (826 – 901)), 25Tolomeo, Claudio, (ca 100 – ca

175), 2, 12Torricelli, Evangelista (1608 –

1647), 107Trasformazioni

birazionali, 106, 108polare reciproche, 64polari reciproche, 78quadratiche, 106

Trasformazioni lineari fratte, 80Trasversale, 10, 33Triangoli

omologici, 26, 29, 31prospettivi, 27, 29

Triangoloautopolare, 88

Valerio, Luca (1553 – 1618), 26Varieta determinantali, 92Veronese Giuseppe (1854 – 1917),

45Viete, Francoise (1540 – 1603), 63Von Staudt, Karl (1798-1867), 38,

40, 58, 62, 97, 100–102,108

Wurf, 98

Zeuthen, Hieronymus Georg (1839– 1920), 10, 97

138