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Lezioni di storia della logica: Gargnano, 26-31 agosto 2013

Massimo Mugnai

Scuola Normale Superiore, Pisa

e-mail: [email protected]

Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 1 / 109

SEGUIRE DA . . .


Fare storia di una disciplina ‘scientifica’ - scelte di metodo.

rapporto presente-passato

questione dei ‘precorrimenti’

unita della disciplina.

Natura della logica.

Logica e matematica.

‘Prima’ del 1845 e dopo.


W. e M. Kneale, The Development of Logic, Oxford, 1962;

J. M. Bochenski, La logica formale, Torino, Einaudi, voll. I-II, 1972;

J. Lukasiewicz, Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of theModern Formal Logic, Oxford, 1951/57;

P. Geach, Logic Matters, Oxford, 1972;

M. Dummett, Frege. The Philosophy of Language, London, 1973;

V. Sanchez Valencia, The Algebra of Logic, in D. M. Gabbay-JohnWoods, Handbook of the History of Logic, vol. 3, 2004, pp. 389-544;

Johan van Benthem, Natural Logic: A View from the 1980s, (March

2008: sul web)


Logica


An. Pr. 24a 18-20

“Un sillogismo e un discorso in cui, poste certe cose,qualcosa di differente dalle cose poste risulta di necessita,perche quelle cose sono cosı. Con ‘perche quelle cose sonocosı’, intendo che risultano per loro mezzo, e con ‘risultanoper loro mezzo’, intendo che non e necessario qualche altrotermine dall’esterno, per il seguire di necessita.”


Nell’antichita, mentre la logica aristotelica poneva al centro dei propriinteressi il rapporto tra termini (fondamentalmente nomi generalicome uomo, cane, ecc., oggi diremmo: ‘classi’ o ‘insiemi’), la scuolamegarico-stoica era interessata soprattutto ai nessi tra enunciati oproposizioni. In conseguenza di cio, i megarico-stoici definiscono leregole che governano gli usi logici di espressioni come (icorrispondenti in greco delle espressioni italiane) ‘e’, ‘o’, ‘se ..., allora...’, ecc. Un tipico esempio di argomento (non sillogistico nel sensoaristotelico) studiato dagli stoici e:

‘Se e giorno, c’e luce; e giorno; dunque c’e luce’,

che corrisponde allo schema (per α e β enunciati qualsiasi):

‘Se α, allora β; α; dunque β’.


Filone di Megara, IV secolo a. C.

Filone diceva che la connessione [il condizionale] e vera quando

non si da il caso che cominci col vero e finisca col falso.

Secondo Filone ci sono percio tre modi per ottenere una

connessione vera e uno solo per ottenerne una falsa. E vera,

infatti, se comincia col vero e finisce col vero, come per

esempio: ‘Se e giorno, c’e luce’; se comincia col falso e finisce

col falso, come, per esempio: ‘se la terra vola, la terra ha le ali’;

analogamente per quella che comincia col falso e finisce col vero

come, per esempio, ‘se la terra vola, la terra esiste’. E falsa

soltanto quando, cominciando col vero, finisce col falso, come

nel caso di ‘se e giorno, allora e notte’.1

1I. M. Bochenski, La logica formale dai presocratici a Leibniz, edizione italianaa cura di A. Conte, Torino, Einaudi, 1972, vol. I, p. 159.


Condizioni di verita del condizionale

filoniano

α β α →β1 1 11 0 00 1 10 0 1


Diodoro Crono, III secolo a. C.

Alla posizione di Filone si contrapponevano quelle di Diodoro Crono edi Crisippo. Anche se in ambito storiografico non e stata raggiuntasufficiente chiarezza su questo punto, sembra che Diodoro legasse laverita del condizionale al tempo: probabilmente riteneva vero uncondizionale della forma ‘Se α, allora β’ se, per ogni istantetemporale t, non si da il caso che α sia vero a t e β falso a t.


Crisippo, II secolo a. C.

Secondo Crisippo, invece, un condizionale e falso se sussiste unrapporto di repulsione o incompatibilita tra antecedente econseguente [fonte: Sesto, II secolo d. C.]:

“Una connessione e vera se l’opposto del conseguente e

incompatibile con l’antecedente, come, per esempio, in ‘se e

giorno, c’e luce’. Questa connessione e vera perche ‘non c’e

luce’, opposto del conseguente, e incompatibile con ‘e giorno’.

Una connessione e falsa se l’opposto del conseguente non e

incompatibile con l’antecedente, come nel caso di ‘se e giorno,

Dione passeggia’; infatti, ‘Dione non passeggia’ non e

incompatibile con ‘e giorno’.”2

2Ivi, p. 161.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 11 / 109

Sesto Empirico, Hypotyp. Pirr., 2, 110-12

Filone dice che un condizionale valido e quello che non comincia

col vero e finisce col falso, come l’asserzione ‘se e giorno, io sto

conversando’, quando e giorno e io sto conversando. Diodoro,

invece, dice che e quello che non potrebbe ne puo cominciare

col vero e finire col falso. Secondo quest’ultimo, il condizionale

in questione e falso, poiche quando e giorno e ho smesso di

parlare, comincia col vero e finisce col falso. [. . . ]


Sesto Empirico, Hypotyp. Pirr., 2, 110-12

Coloro che introducono la connessione dicono che un

condizionale e valido quando il contraddittorio del conseguente

e incompatibile con l’antecedente. Secondo costoro, i

condizionali menzionati finora non sono validi; e valido invece:

‘se e giorno, e giorno’. Coloro, invece, che fanno riferimento

all’implicazione dicono che un condizionale vero e quello il cui

conseguente e contenuto in potenza nell’antecedente. Secondo

loro, l’asserzione ‘se e giorno, e giorno’, insieme a tutti quei

condizionali che sono ripetitivi, e manifestamente falsa, poiche e

impossibile che una cosa sia contenuta in se stessa.


Severino Boezio, V-VI secolo d. C.

De syllogismis hypotheticisUn sillogismo ipotetico e un sillogismo nel quale compaiono uno o piuenunciati in forma condizionale, del tipo: ‘se α, allora β’. Nel DHSBoezio distingue gli enunciati categorici, che chiama anchepredicativi, da quelli condizionali, che chiama anche ipotetici:

In primo luogo bisogna dunque dire che la proposizione

predicativa ha la sua sostanza non nella condizionalita, ma nella

sola predicazione, mentre nella proposizione condizionale la

ragione della conseguenza si desume dalla condizione. Ancora:

la proposizione predicativa e semplice, la proposizione

condizionale non puo sussistere se non e composta di due

proposizioni predicative; come quando diciamo: ‘se e giorno, fa

chiaro’ sono due proposizioni predicative, cioe semplici.3

3Boethius, De hypotheticis syllogismis, I, 1, 3 (ediz. a cura di L. Obertello,Brescia, Paideia editrice, 1969, p. 209).


DHS: proposizioni categoriche e

condizionali

Nei due tipi di proposizioni (categoriche e condizionali), inoltre, “lamodalita della predicazione non e la stessa”. Mentre nel caso dellaproposizione categorica un termine in funzione di predicato vienepredicato, appunto, dell’altro, che ha funzione di soggetto, nellaproposizione condizionale “non si predica affatto l’uno dell’altro, masi dice soltanto che l’uno e se anche l’altro e, come quando diciamo:‘se ha partorito, ha giaciuto con un uomo’.”


La forma standard di condizionale impiegata da Boezio e del tipo ‘see uomo e animale’, intendendo implicitamente che ‘uomo’ e ‘animale’si riferiscano a un unico soggetto, per cui la maggior parte deicondizionali considerati e riconducibile alla forma generale ‘se x e P,allora x e Q’ (con x che varia su individui). In tal modo, pero,l’analisi logica, come nel caso della tradizione della sillogisticacategorica, s’impernia fondamentalmente sulla proposizione atomicadi tipo ‘soggetto-predicato’ (‘S e P ’), la quale risultera vera, o falsa,a seconda che la proprieta corrispondente al predicato si applichi omeno alla sostanza individuale corrispondente al soggetto.


Porfirio, secolo III d. C., Isagoge,

‘Accidente’

“Accidente e cio che e presente o assente, senza distruzionedel soggetto. Si divide in due: separabile e inseparabile. Peresempio, il dormire e un accidente separabile, mentre l’essernero e inseparabile per il corvo e per l’Etiope. Si puoimmaginare, tuttavia, sia un corvo bianco sia un Etiope cheha perso il colore della pelle, senza distruzione delsoggetto.”


Sulla scorta di Aristotele, la negazione viene intesa come separazione!

“a non e B” = la proprieta designata da ‘B’ viene separata dalsoggetto designato da ‘a’.


Boezio, l’origine del concetto di

‘conseguenza’ IDI, 2, V

“Se e giorno, c’e luce: in tal caso, due proposizioni, cioe ‘egiorno’, ‘c’e luce’ vengono unite [copulantur] dallacongiunzione ‘se’. Questo discorso, pero, non significa unapluralita [. . . ] significa una certa conseguenza[consequentia] [. . . ] Non dice, infatti che sono entrambe,ma che se una e, l’altra segue, il che compone, in certosenso, entrambe in un unico atto di comprensione.”


Boezio DHS, I, ix, 5-6

“Alle proposizioni ipotetiche si oppongono soltanto quelleche distruggono la loro sostanza. Ora, la sostanza delleproposizioni ipotetiche sta in questo, che la necessita dellaloro conseguenza [consequentiae necessitas] abbia lacapacita di restar salda. Se dunque qualcuno faraopposizione nella maniera giusta a una proposizionecondizionale, distruggera la loro conseguenza, come quandodiciamo: “se e a, e b”, non fara opposizione se dimostrera oche non e a, o che non e b, ma se, posto a, mostra che nonne consegue immediatamente che sia b, ma che puo esserea, anche se il termine b non sia.”


Boezio, DHS I, iii, 5-6 (ed. cit., pp.

219-20)

[. . . ] le proposizioni condizionali possono essere in due modi:

uno secondo l’accidente e l’altro tale che abbiano una certa

conseguenza di natura. Secondo l’accidente, in questo modo,

come quando diciamo ‘se il fuoco e caldo, il cielo e rotondo’.

Non e infatti perche il fuoco e caldo che il cielo e rotondo, ma

questa proposizione indica che, nel momento in cui il fuoco e

caldo, in quello stesso tempo il cielo anche e rotondo. Vi sono

poi altre proposizioni che hanno in se una conseguenza di

natura; e anche di queste vi sono due tipi. Uno quando la

conseguenza e necessaria, senza pero che si verifichi per la

posizione dei termini; l’altro quando la conseguenza si verifica

mediante le posizione dei termini.


Un esempio del primo tipo lo si ha quando diciamo: ‘se e uomo,

e animale’: infatti, non e animale per il motivo che e uomo,

mentre accade che il principio lo si ricavi dal genere e la causa

dell’essenza si puo ricavare di piu dal genere, cosicche e uomo

proprio in quanto e animale. Il genere, infatti, e causa della

specie. Comunque, chi dice: ‘se e uomo, e animale’ fa una

conseguenza corretta e necessaria, sebbene non sia tale per la

disposizione dei termini. Vi sono anche altre proposizioni

ipotetiche, nelle quali si ritrova una conseguenza necessaria, che

e causata proprio dalla posizione di termini, in questo modo: ‘se

la Terra si interpone, ne segue un’eclisse di Luna’. In tal caso,

infatti, la conseguenza e certa e l’eclisse di Luna si verifica

proprio perche si ha l’interposizione della Terra.”


Distinzione dei condizionali secondo

Boezio

CONDIZIONALI

secondo l’accidente

per conseguenza di natura;I necessari NON in base alla posizione dei termini: ‘se e uomo e

animale’I necessari per la posizione dei termini: ‘se la Terra si interpone,

ne segue un’eclisse di Luna’.


Distinzione dei condizionali secondo

Boezio

Nel DHS e implicita una distinzione fra

cio che e strettamente connesso, ma concettualmente separabile(fuoco e forma del cielo; forma e materia);

cio che e concettualmente inseparabile (uomo e animale).

Caso della distinzione tra materia e forma: tutte le ‘cose’ naturalisono composte di materia e forma e nessuna cosa puo sussistere, sele due vengono separate. Tuttavia, sulla base di un esperimentomentale, e possibile separarle.NB. Conclusioni basate su una condizione impossibile.


Pietro Abelardo, secolo XII

Nel secolo XII, Abelardo, rifacendosi a questa distinzione, distingue asua volta, riguardo al condizionale,

inseparabilita dovuta a una semplice situazione di natura;

inseparabilita concettuale;

e considera la seconda piu forte della prima.4

4C. Martin, Logic, in J. E. Brower and K. Guilfoy (ed.), The CambridgeCompanion to Abelard, Cambridge, Cambridge University Press, 2004, pp.158-98 (pp. 168 e segg. in particolare).


Petrus Abaelardus, Dialectica, 271;

necessita e inseparabilita

[condizionale stretto]

“[. . . ] la verita della consecuzione consiste in cio, che quel chesi dice nell’antecedente non puo essere senza cio che e propostonel conseguente; ovvero, quando si propone la conseguenza:

se e uomo e animale,

con questa conseguenza si concede necessariamente che non puo

essere che un uomo esista a meno che non sia anche animale.”


Petrus Abaelardus, Dialectica, 271;

condizione di ‘rilevanza’

Si hanno inoltre due necessita della consecuzione: una piuampia, quando cioe, quel che dice l’antecedente non puo esseresenza cio che dice il conseguente; l’altra, invece piu stretta,quando cioe non solo l’antecedente non puo esser vero senza ilconseguente, bensı quando anche lo richiede di per se; e siffattanecessita risiede nel significato stesso della consecuzione epossiede una verita mai soggetta a mutamento, come quando sidice:

se e uomo e animale.

In tal caso uomo e propriamente l’antecedente di animale,

richiedendo di per se animale. Dal momento, infatti, che

l’animale e contenuto nella sostanza dell’uomo, avviene che

sempre, insieme a uomo, si attribuisca animale.”


3 tipi di condizionale

Per determinare le condizioni di verita di un condizionalefiloniano e sufficiente tener conto dei soli valori di verita diantecedente e conseguente;

Per stabilire se un condizionale e vero o falso in baseall’inseparabilita naturale occorre qualcosa di piu: bisognaaccertare se e impossibile o no che l’antecedente sia vero senzache lo sia il conseguente;

Perche sia vero un condizionale basato sull’inseparabilitaconcettuale, occorre che il senso del conseguente ‘sia contenuto’in quello dell’antecedente.5

5Cfr. C. Martin, Logic, in The Cambridge Companion to Abelard, cit. pp.166-86.


Necessita e ‘contenimento’

Tutti i condizionali basati sulla mera inseparabilita sono‘massimamente probabili’(es.: ‘se c’e un padre, c’e un figlio/a’);

I condizionali basati sul contenimento sono veri in senso assoluto(es. ‘se a e un uomo, a e un animale’).


Concetto ‘ampio’ di contenimento:

Abelardo, D, 253-55

“L’inferenza, dunque, consiste nella necessita dellaconsecuzione, vale a dire in cio, che dal senso dell’enunciatoantecedente si ricava [exigitur] il conseguente, come si dicenella proposizione ipotetica [. . . ] Un’inferenza e perfettaquando, dalla struttura [complexio] dell’antecedente emanifesta la verita del conseguente, e [quando] lacostruzione [constructio] dell’antecedente ha unadisposizione tale, che contenga in se anche la costruzionedel conseguente, come nel sillogismo o in quelle ipoteticheche hanno forma di sillogismo.”


Abelardo, D, 253-55

“In verita, se qualcuno propone:

‘se ogni animale e un essere animato e ogni essere animatoe animato, ogni animale e animato’,

questa e un’inferenza perfetta in base alla struttura. Il checertamente e evidente, poiche tale inferenza e perfetta diper se, non in base alla natura dei termini, poiche qualsiasitermini vengano sostituiti, siano essi coerenti o remoti, innessun modo si riesce a distruggere l’inferenza.Se, infatti, dici: ’

‘se ogni animale e una pietra e ogni pietra e legno, ogniuomo e legno’

questa e un’inferenza necessaria e indubitabile, sebbenenessuna proposizione in essa sia vera.”


Condizionali e positio impossibilis,

Dialectica, III, 284

Secondo Abelardo, se ci si limita ad accettare i condizionali basatisull’inseparabilita, si e costretti ad accettare come necessari anchetutti i condizionali che si basano su un antecedente impossibile:

“[. . . ] in base a questa accezione di necessario, diventanecessaria anche la conseguenza: ‘se Socrate e una pietra,[Socrate] e un asino’, dal momento che il primo non puoessere senza il secondo. Cio che, infatti, non puo essere inassoluto, non puo essere anche senza quello [. . . ]”


In altre parole:

Se poniamo:

(i) α⇒ β =df . ¬3(α ∧ ¬β)

e ‘α’ e impossibile, di certo non si da mai il caso che ‘α’ sia vero e‘β’ falso;per cui:

α⇒ β

e sempre vero, sotto tale condizione.


argomento e condizionale

Abelardo distinguel’argomento:

α ` β

dal condizionale:

α⇒ β;

e ritiene che mentre l’argomento, se e impossibile che l’antecedentesia vero e il conseguente falso, sia corretto, non lo sianecessariamente il condizionale corrispondente.


STG, 308

“Ogni argomento e detto necessario se e aggiunto alla conclusione inmodo tale che, vuoi ex natura rerum, vuoi in base alla proprieta deitermini, vuoi per costruzione, sia impossibile che accada cio chel’argomento dice, senza che accada cio che propone la conclusione.In verita, pero, antecedono necessariamente quelle [proposizioni] chenel proprio senso includono il senso del conseguente. Per cui, sebbenetutti gli antecedenti necessari possano essere argomenti necessari,non si verifica il converso. Infatti, sebbene dal fatto che Socrate euomo si argomenti necessariamente che non e una pietra, tuttavia ilsuo esser uomo non antecede necessariamente il suo non esser pietra,poiche l’affermazione della negazione non contiene quello stesso nellaforza del suo enunciato”


Ovvero:

1 ‘Socrate e un uomo ` Socrate non e una pietra’ e vero;

2 ‘Socrate e un uomo ⇒ Socrate non e una pietra’ e falso.


principio aristotelico: An. Pr. II, 4,

57b 3-4

“E impossibile che la medesima cosa derivi per necessita daqualcos’altro, quando questo e e non e.”

Un medesimo enunciato non puo seguire da un altro enunciato e dallanegazione di questo.Interpretazione medievale prevalente:

(a1) ¬[(α→ β) ∧ (¬α→ β)]

(a2) ¬(¬α→ α)


Se non si accetta (A1) (oppure (A2)) si va incontro a inconvenienti[versione di Abelardo, D, 395]:

1 Se (Socrate e uomo e Socrate e una pietra), allora Socrate euomo (Semplif.)

2 Se Socrate e uomo, allora Socrate non e una pietra (enunciatovero)

3 Se (Socrate e uomo e Socrate e una pietra), allora Socrate none una pietra (1,2xTrans)

4 Se (Socrate e uomo e Socrate e una pietra), allora Socrate e unapietra (Semplif.)

5 Se Socrate non e una pietra, allora non (Socrate e uomo eSocrate e una pietra) (4xContrapp.)

6 Se (Socrate e uomo e Socrate e una pietra), allora non (Socratee uomo e Socrate e una pietra) (3,5xTrans)


in modo ‘piu formale’:

1 (α ∧ β)→ α (Sempl)

2 α→ ¬β (Hp)

3 (α ∧ β)→ ¬β (1,2xTrans)

4 (α ∧ β)→ β (Sempl)

5 ¬β → ¬(α ∧ β) (4xContrapp)

6 (α ∧ β)→ ¬(α ∧ β) (3,5xTrans)


Soluzione di Abelardo

L’inferenza e possibile, perche il concetto di ‘non esser pietra’ NON e

parte del contenuto concettuale di ‘essere uomo’. Se si rispetta la

relazione di ‘contenimento’, tali inferenze sono evitate.

“Condition C [. . . ] expresses the intuition with which

relevantists have sought to challenge the adequacy of strict

implication as an account of the relation we assert when we use

a conditional sentence. Abaelard, certainly one of the greatest

of logicians, is clearly with them on this point. We should note

that the condition is not simply the linguistico ne of analyticity.

The sense of the antecedent contains that of the consequent

only because the original impositor of a name upon some

natural kind has in mind to capture just that kind with the

term. Exactly what the nature is is a fact about the world and

not about language.” [C. Martin, 1999, 133]


Alberico di Parigi, 1130

“Pertanto si puo dimostrare che una proposizione inferiscela sua contraddittoria, cosı: se Socrate e uomo e non eanimale, Socrate non e animale, e se Socrate non eanimale, Socrate non e uomo; se Socrate non e uomo,Socrate non e uomo e non e animale, poiche se e uomo enon e animale, non e uomo e non e animale.”


1 Se Socrate e un uomo e Socrate non e un animale, Socrate none un animale;

2 Se Socrate non e un animale, Socrate non e uomo;

3 Se Socrate non e un uomo, e falso che Socrate sia un uomo eSocrate non sia un animale;

4 Dunque, se Socrate e un uomo e Socrate non e un animale, efalso che Socrate sia un uomo e Socrate non sia un animale


in modo ‘piu formale’:

1 α→ β (Condizionale vero)

2 α ∧ ¬β → ¬β (Semplificazione)

3 ¬β → ¬α (1xContrapp.)

4 α ∧ ¬β → ¬α (2, 3xTrans)

5 α ∧ ¬β → α (Semplif.)

6 ¬α→ ¬(α ∧ ¬β) (5xContrapp.)

7 (α ∧ ¬β)→ ¬(α ∧ ¬β) (4,5xTrans)


La forza di questo argomento consiste nel fatto che si basasostanzialmente su principi che Abelardo accetta:

semplificazione;

contrapposizione

transitivita.

E non mette in discussione o vıola il nesso di contenimento.


posizioni sul condizionale nei secoli

XII e XIII

Seguaci di Alberico di Tours (albricini o montani): non e correttocongiungere un concetto con la negazione di una sua parte(uomo e non animale) / transitivita come rapporto causale.

Seguaci di Gilberto di Poitiers: connessione causale traantecedente e conseg. Semplificazione.

Seguaci di Roberto di Melun: niente segue al falso. Nelcondizionale si presuppone l’antecedente vero.

Seguaci di Adamo di Balsham (Parvipontano): valgono lecondizioni per il condizionale stretto (senza contenimento) eaccettano che dall’impossibile segua qualsiasi cosa e che ilnecessario e implicato da qualsiasi cosa.


Osservazione in

C. Martin, Theories of Inference and Entailment in the Middle Ages,Princeton, PhD Thesis, 1999, pp. 144-45.


Alexander Neckham, De naturis rerum,

London, 1863, 288-89

“Non e forse vero che se Sortes e uomo e Sortes non euomo, Sortes e uomo? Ma se Sortes e uomo, Sortes euomo o Sortes e una pietra; dunque, se Sortes e uomo eSortes non e uomo, Sortes e uomo o Sortes e una pietra;ma se Sortes e uomo e Sortes non e uomo, Sortes non euomo; dunque, se Sortes e uomo e Sortes non e uomo,Sortes e una pietra. Sulla base di una deduzione analoga siprovera che se Sortes e uomo e Sortes non e uomo, Sortes euna capra e cosı via, per ogni cosa singola, per esempio unarosa, un giglio ecc. Vedi, dunque, in che modo da questoimpossibile: che Socrate e uomo e Socrate non e uomo,segue qualsiasi cosa.”


Alexander Neckham, De naturis rerum,

London, 1863, 288-89

1 se Sortes e uomo e Sortes non e uomo, allora Sortes e uomo;

2 se Sortes e uomo, allora Sortes e uomo o Sortes e una pietra;

3 se Sortes e uomo e Sortes non e uomo, allora Sortes e uomo oSortes e una pietra;

4 se Sortes e uomo e Sortes non e uomo, allora Sortes non e uomo;

5 se Sortes e uomo e Sortes non e uomo, allora Sortes e una pietra


C. I. Lewis and H. C. Langford,

Symbolic Logic, NY, 1932, 248-51

1 α ∧ ¬α→ α (Sempl)

2 α→ α ∨ β (Add)

3 α ∧ ¬α→ α ∨ β (1,2xTrans)

4 α ∧ ¬α→ ¬α (Sempl)

5 α ∧ ¬α→ α ∨ β ∧ ¬α (Cong)

6 α ∨ β ∧ ¬α→ β (Sill. disg.)

7 α ∧ ¬α→ β (5,6xTrans)


Petrus Hispanus, Summulae logicales cum

Versorii . . . Expositione, Venetiis, 1572, p.

33

“Per la verita del condizionale si richiede che l’antecedente non

possa esser vero senza il conseguente, come nel caso di ‘se e

uomo, e animale’, per cui ogni proposizione condizionale vera e

necessaria e ogni condizionale falsa e impossibile. Per la falsita

basta che l’antecedente possa essere senza il conseguente [. . . ]”


Johannes Buridanus, Summulae de

propositionibus, p. 75.

“Di nuovo bisogna notare che, sebbene sia vera la proposizione

‘se un uomo corre, un animale corre’, tuttavia ‘un uomo corre’

puo ben esser vera senza [che venga asserita] ‘un animale corre’,

poiche non sarebbe men vera se l’altra non fosse [asserita]. Per

questo motivo bisogna specificare che l’antecedente non puo

esser vero senza che lo sia il conseguente, posto che entrambi

esistano simultaneamente, oppure, ancora meglio: che le cose

non possono essere come significato dall’antecedente, senza che

siano come significato dal conseguente [...]”


Petrus Hispanus, Summulae logicales, cit.,

p. 33

“La ragione di cio risiede nel fatto che una proposizione

condizionale vera implica una conseguenza necessaria; ma in

ogni conseguenza valida, se l’antecedente e vero, anche il

conseguente sara vero, poiche il conseguente e incluso in atto

nella comprensione [in intellectu] dell’antecedente ed e per

questo motivo che dal vero non segue se non il vero.”


Alberto di Sassonia

(1316-1390),Perutilis logica, III, 5, p. 19v

“[. . . ] per la verita di una proposizione condizionale si richiede

che, qualora venga formata, sia impossibile che cio che viene

significato dall’antecedente sia, senza che sia cio che significa il

conseguente. Mentre alla falsita si richiede l’opposto di cio che

si richiede alla sua verita, vale a dire che le cose possano stare

come significa l’antecedente e che, tuttavia, non stiano come

significa il conseguente. Per la necessita, invece, di una

condizionale, si richiede cio che si richiede per la sua verita; e

per la sua impossibilita basta quel che si richiede per la sua

falsita, dato che ogni condizionale vera e necessaria e ogni

condizionale falsa e impossibile.”


Paolo Veneto (1386-1428), Logica Magna,

Part II, Fascicule 4, ed. G. E. Hughes,

The British Academy, Oxford

University Press, p. 12.

“Per la verita di una proposizione condizionale, che significa in

virtu della composizione delle sue parti categoriche principali, e

necessario e sufficiente che il contraddittorio del conseguente del

condizionale possa ripugnare all’antecedente di quel medesimo

condizionale, supposto che significhino quel che di fatto

significano. Ossia, detto altrimenti: e necessario e sufficiente

che l’antecedente del condizionale abbia una natura tale che lo

fa ripugnare al contraddittorio del conseguente del

condizionale.”


Condizionale e Conseguenza

Se α, allora β

α, dunque β

α→ β

α ` β


Liber consequentiarum, XIV sec.1988, 109

“Una descrizione della conseguenza e dunque che laconseguenza e un antecedente e un conseguente, insieme alsegno [nota] della conseguenza. Per cui, il tutto: ’un uomocorre, dunque un animale corre’ e la conseguenza; mentre’uomo corre’ e l’antecedente e ’animale corre’ il conseguentee ’dunque’ il segno che esprime la conseguenza.”


Wilhelm von Osma, De consequentiis,

1991, 1

“La conseguenza e un particolare aggregato fatto da unantecedente e da un conseguente col segno [nota] dellaconseguenza. L’antecedente e quello che precede il segnodella conseguenza. E sono segni della conseguenza:‘dunque’, ‘percio’, e ‘cosı’, ‘se’ e ‘poiche’.[. . . ] Perconoscere, inoltre, quali conseguenze sono buone e formali,si danno delle regole generali, delle quali la prima e questa:

. . . E buona e formale qualsiasi conseguenza nella quale ilconseguente e inteso formalmente nell’antecedente.Cosı, questa e buona e formale: un uomo corre,dunque un animale corre.”



1991, 36

. . . ‘Un’altra regola e questa: se si ha una conseguenza ede impossibile che l’antecedente sia vero, senza che losia il conseguente, tale conseguenza e buona. Esempio:tu corri; dunque ti muovi”



1991, 34

“Segue sui condizionali: [. . . ] La prima regola e: unaconseguenza e buona, quando il conseguente e intesoformalmente dall’antecedente. Esempio: Se corri, allora timuovi”


Conseguenza e condizionale:Liber

consequentiarum, sec. xiv,

“Ciascuna conseguenza equivale a una condizionalecomposta dall’antecedente e dal conseguente di quellaconseguenza, col segno della condizione prepostoall’antecedente; e per converso ciascuna condizionaleequivale a sua volta a una conseguenza compostadall’antecedente e dal conseguente di quella condizionalecol segno della conseguenza preposto al conseguente.”


principio di condizionalizzazione (B.

Mates, 1953, 74)

(1) Se α, allora β

(1a) α→ β

(2) α, dunque β

(2a) α ` β

(3) α→ β ⇐⇒ α ` β


Ralph Strode (†1387) Consequentiae

“E detta conseguenza l’inferenza [illatio] del conseguentedall’antecedente. [. . . ] E detta buona conseguenza quelladella quale non puo essere come e significatoadeguatamente dall’antecedente, senza che sia come esignificato adeguatamente dal conseguente. Un esempio ela conseguenza ‘sei un uomo, dunque sei un animale’, aproposito della quale non puo essere come e significatodall’antecedente, vale a dire che tu sei uomo, senza che siacome e significato dal conseguente, vale a dire che seianimale.”


Ralph Strode (†1387) Consequentiae

“La conseguenza e detta buona in due modi differenti:alcune sono buone per la forma, altre per la materia. Buonaper la forma e detta quella conseguenza della quale, se sicomprende come e adeguatamente significatodall’antecedente, si comprende anche come eadeguatamente significato dal conseguente. Per esempio:se qualcuno comprende che tu sei uomo, comprenderaanche che tu sei animale.“


De consequentia, Tractatus logicus,

Wittemberg 1623, pp. 1-2

“La parola conseguenza deriva, com’e evidente, daconseguire, come pure da seguire e sequela, in quanto daluogo a un passaggio [sequela] da una cosa a un’altra e taledenominazione e compiuta rispetto al terminus ad quem,cioe riguardo al conseguente che segue all’antecedente.[. . . ] La parola conseguenza viene usata: 1) in sensogenerale, per qualsiasi discorso mediante il quale si concludeuna cosa da un’altra. 2) In senso speciale, per indicare ilpassaggio valido del conseguente dall’antecedente. 3) Inmodo ancor piu speciale, per indicare una conseguenzasillogistica [. . . ]5) La si usa in senso speciale anche aproposito della proposizione condizionale, nella quale, se ilconseguente non segue dall’antecedente, si dice che in essanon c’e alcuna conseguenza.”


Esempio: Saccheri, 1697

“La proposizione ipotetica e quella che enuncia qualcosasotto una qualche condizione, come se il sole splende, ilgiorno e esistente, dove vedi che non viene enunciato inmaniera assoluta che il giorno e esistente, ma sotto lacondizione che il sole splenda. Se domandi quali siano itermini della suddetta proposizione, si rispondera che ilpredicato e esistente, il soggetto e giorno, la parte restantedella proposizione, se il sole splende, e la condizione, mentrel’altra parte il giorno e esistente viene denominatacondizionato. A sua volta, la qualita della proposizioneipotetica deve essere desunta dalla copula del soggettoprincipale, ossia dal condizionato, non dalla condizione.”


Dato un enunciato del tipo:(1) ‘Se α, allora β’Saccheri cerca di ricondurre (1) alla forma generale:(2) ‘A e B ’.Il paradigma della struttura della proposizione e quello offerto dalleproposizioni categoriche classiche.


Saccheri: LD

“La proposizione non categorica e quella che, oltrel’affermazione o la negazione del predicato rispetto alsoggetto, presenta qualche aggiunta; di tali proposizioni sene possono trovare un gran numero ma soltanto duerisultano meritevoli di considerazione: l’ipotetica ocondizionale e la causale”.


Saccheri: Nozione di conseguenza

“La conseguenza e la derivazione, o inferenza di una veritadall’altra, come Pietro e uomo; dunque Pietro e animale,dove dalla verita Pietro e uomo, che viene denominataantecedente, si inferisce l’altra verita, Pietro e animale,denominata conseguente; vi e poi la particella ‘dunque’ checostituisce l’indicazione o segno di inferenza.”


Leibniz e il ‘contenimento’ [C, 16-17]

“Un’affermazione e vera se il suo predicato e nel soggetto: cosı, inogni proposizione vera affermativa, necessaria o contingente,universale o singolare, il concetto del predicato e contenuto inqualche maniera nel concetto del soggetto, in modo tale che,chiunque comprendesse i due concetti come li comprende Dio, eo ipsopercepirebbe che il predicato e nel soggetto.”


Oltre Leibniz

Nel periodo che va dalla seconda meta dell’Ottocento al primodecennio del Novecento, la maggior parte degli autori checondividono la prospettiva inaugurata da Boole e Frege, pur optandoa favore del condizionale filoniano, non hanno una chiara percezionedelle differenti interpretazioni del condizionale messe a fuoco daglistoici e dai medievali. Sotto questo riguardo, e un’eccezione laconsapevolezza storica mostrata da Charles Sanders Peirce(1839-1914).


Reasoning and the Logic of Things, Harvard,

1992, 125 - 26

“Filone sosteneva che la proposizione ‘se lampeggia, allora

tuonera’ e vera se non lampeggia o se tuonera, mentre e falsa se

lampeggia e non tuona. Diodoro non era d’accordo: o gli storici

dell’antichita non hanno compreso Diodoro o lui stesso si

spiegava male. In realta, nessuno e stato in grado di formulare

chiaramente la sua concezione, nonostante siano stati in molti a

provarci. La maggior parte dei logici migliori sono stati seguaci

di Filone, mentre i piu scadenti hanno seguito Diodoro. Per quel

che mi concerne, io sono un seguace di Filone, anche se penso

che non sia mai stata resa giustizia a Diodoro.”


Peirce CP, 3.441

“Cicero and other ancient writers mention a great dispute betweentwo logicians, Diodorus and Philo, in regard to the significance ofconditional propositions.This dispute has continued to our own day.The Diodoran view seems to be the one which is natural to the mindsof those, at least, who speak the European languages. How it may bewith other languages has not been reported. The difficulty with thisview is that nobody seems to have succeeded in making any clearstatement of it that is not open to doubt as to its justice, and that isnot pretty complicated. The Philonian view has been preferred by thegreatest logicians. Its advantage is that it is perfectly intelligible andsimple. Its disadvantage is that it produces results which seemoffensive to common sense.”


Peirce, Reasoning

[. . . ] [E] completamente irrilevante quel che accade nellinguaggio ordinario. L’idea medesima di logica formalecomporta che siano costruite certe forme canoniche diespressione, i cui significati vengono governati da regoleinesorabili [. . . ] Tali forme canoniche devono esser definitesenza alcun riguardo all’uso [. . . ]


Hugh McColl (1837-1909)

Nel 1880, Hugh McColl presenta su “Mind” un calcolo logico, nelquale definisce un condizionale non-filoniano; siffatto condizionale evero quando e impossibile che l’antecedente sia vero e il conseguentefalso:

Il simbolo: che puo esser letto ‘implica’, asserisce che

l’asserzione che segue deve essere vera, qualora l’asserzione

precedente sia vera [. . . ] Espressioni della forma

a : b,mn : b, a + b : c + d , ecc. (contenenti il simbolo :) sono

chiamate implicazioni o asserzioni condizionali. L’asserzione alla

sinistra del segno : e chiamata antecedente, e l’asserzione alla

destra del segno : e chiamata conseguente [. . . ]6

6H. McColl, Symbolical Reasoning, I, in “Mind”, V, 1880, p. 50.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 74 / 109

Symbolic Logic, London, 1906, 12-13:

Quando diciamo ‘Se nel termometro centigrado il mercurio va

sotto lo zero, l’acqua gelera’,[. . . ] asseriamo una legge generale

che e vera entro i limiti di condizioni che vengono date per

condivise tacitamente. [. . . ] E inteso che ci riferiamo a una

legge generale anziche a un caso particolare. Lo stesso vale per

la parola implica. Poniamo che MZ denoti ‘Il mercurio andra

sotto lo zero’ e poniamo che W F denoti ‘l’acqua gelera’. La

precedente asserzione condizionale sara espressa da MZ : W F ,

che asserisce che la proposizione MZ implica la proposizione

W F . Questa convenzione, tuttavia, ci costringe ad accettare

certe formule che paiono paradossali, come, per esempio, η : x

e x : ε, le quali valgono nei casi in cui x sia vero o falso. La

prima asserisce che se un’impossibilita e vera, qualsiasi

asserzione x e vera, ovvero che un’impossibilita implica qualsiasi

asserzione. La seconda asserisce che l’asserzione x (sia essa vera

o falsa) implica qualunque certezza ε, ovvero (in altre parole)

che se x e vera, ε e vera.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 75 / 109

Clarence Irving Lewis (1883-1964)

In un articolo, comparso su “Mind” nel 1912, Lewis contesta la centralita del

condizionale filoniano, o ‘materiale’, e propone di elaborare un calcolo logico che

si fonda sull’implicazione stretta, vale a dire sul condizionale che e vero quando e

impossibile che l’antecedente sia vero e il conseguente falso. Per rappresentare

l’implicazione stretta, Lewis usa il simbolo ‘≺’, per cui, dati due enunciati ‘p’ e

‘q’, l’enunciato ‘p implica strettamente q’ viene espresso come ‘p ≺ q’. Nel

successivo A Survey of Symbolic Logic (1918), Lewis ribadisce che il condizionale

‘materiale’ “e ovviamente una relazione tra i valori di verita delle proposizioni non

tra un presunto contenuto o tra il significato logico delle proposizioni”, per cui “

‘p implica materialmente q’ significa ‘e falso che p e vera e q falsa’.”7

7C. I. Lewis, A Survey of Symbolic Logic, Berkeley, University of CaliforniaPress, 1918, p. 326.


Osservazione

Lewis deve comunque molto a Mac Coll, come ampiamentedocumentato in:

M. Astroh, S. Read (ed.), Hugh MacColl and the Tradition of Logic:proceedings of the conference held at Ernst-Moritz-Arndt University,

Greifswald, March 29 - April 1, 1998, in “Nordic Journal ofPhilosophical Logic”, 3, 1999.


Nello stesso saggio, Lewis costruisce un sistema logico basatosull’implicazione stretta e osserva che “Tutti i postulati e teoremidell’implicazione materiale possono essere derivati dai postulati edalle definizioni dell’implicazione stretta: il sistema dell’implicazionestretta contiene il sistema dell’implicazione materiale.” Egli usa ilsimbolo ‘−’ prefisso a un formula per asserire che e falsa e impiega ilsimbolo ‘∼’ per asserire che una formula e impossibile; per cui ‘−p’significa ‘p e falsa’, mentre ‘∼ p’ significa che p e impossibile. Lewisintroduce quindi la relazione binaria di consistenza[consistency] traenunciati, che rappresenta mediante il simbolo ‘◦’, per cui la formula‘p ◦ q’ significa che gli enunciati p e q sono consistenti, ossia che epossibile che p e q siano entrambi veri.


“Se, in realta, il possibile e l’attuale, cio che e consistente e cio

che esiste in quanto fattualmente vero, sono identici, si deve

almeno ammettere che il nostro concetto del possibile differisce

dal nostro concetto dell’attuale, che con ‘consistente’

intendiamo qualcosa di differente da ‘cio che esiste in quanto

fattualmente vero’. Qualsiasi insieme di proposizioni

mutuamente consistenti si puo dire che definisca una ‘situazione

possibile’ o un ‘caso possibile’ o uno ‘stato di cose possibile’. E

una proposizione puo esser vera di piu d’una situazione possibile

- puo appartenere a piu d’uno di tali insiemi. E chiunque

comprenda ‘situazione possibile’, con cio stesso comprende

‘proposizione consistente’, e viceversa. E chiunque comprenda

‘situazione impossibile’, comprende anche ‘proposizioni

inconsistenti’. In questi termini, noi possiamo tradurre p ≺ q

con ‘Qualunque situazione nella quale p e vera e q falsa e

impossibile.”


Nella stessa opera, Lewis richiama l’attenzione su un certo numero diproposizioni che sono teoremi nel calcolo logico basato sulcondizionale materiale, tra le quali menziona le seguenti:

Una proposizione falsa implica qualsiasi proposizione;

Una proposizione vera e implicata da qualsiasi proposizione;

Se p e q sono entrambe vere, allora p implica q e q implica p.


“La classe dei casi nei quali una proposizione e vera e 0oppure 1. Questo determina la proprieta caratteristicadell’algebra a due valori. Se a cio aggiungiamol’interpretazione di a ⊂ b, “Tutti i casi in cui A e vera sonocasi in cui B e vera”, ossia, in modo meno preciso “Se A,allora B”, abbiamo la fonte delle peculiari proposizionidell’Implicazione Materiale. Infatti, 0 ⊂ b, a ⊂ 1, 0 ⊂ 0,0 ⊂ 1 e 1 ⊂ 1 seguono dalle leggi che cosı vengono estesedalle classi alle proposizioni. Una proposizione falsa [= 0]implica b. E a implica una qualsiasi proposizione vera [=1].Date due proposizioni vere qualsiasi [= 1], l’una implical’altra. Di due proposizioni false [= 0], l’una implica l’altra.E una qualunque proposizione falsa ne implica una veraqualsiasi.”


continuazione

“Una proposizione falsa implica materialmente unaqualunque proposizione” significa, esattamente “Se non cisono casi in cui A e vera (se a = 0) allora tutti i casi in cuiA e vera sono anche casi in cui B e vera”. Non significa “Bpuo essere inferita da qualsiasi proposizione falsa”. “Unaproposizione e materialmente implicata da una qualsiasiproposizione” significa soltanto “Se B e vera [= 1], allora icasi in cui A e vera sono contenuti tra i casi (vale a dire:tutti i casi) nei quali B e vera”. Non significa “Qualunqueproposizione vera puo essere inferita da A”. L’inferenzadipende dal significato, dalla rilevanza logica,dall’intensione. a ⊂ b e una relazione meramente traestensioni”.


Lewis giudica ‘sorprendenti’ questi teoremi

“Se applichiamo questi teoremi a proposizioni non espresse in

forma simbolica, otteniamo risultati sorprendenti. ‘La Luna e

fatta di formaggio verde’ implica ‘2 + 2 = 4’ [...]”8

8Ivi, p. 326.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 83 / 109

Nel successivo Symbolic Logic (1932), scritto in collaborazione conCooper H. Langford, Lewis costruisce una serie di calcoli modali,alcuni dei quali rimarranno in seguito ‘canonici’. Nel capitolo VI diquest’opera, Lewis assume come primitivo l’operatore di possibilita esviluppa due sistemi assiomatici che chiama, rispettivamente, ‘S1’ e‘S2’; in appendice al volume accenna ad altri sistemi: S3, S4, S5. Inomi di questi sistemi rimarranno inalterati fino ad oggi nellaletteratura sulla logica modale. I calcoli di Lewis vengono concepitidal loro autore in alternativa ai calcoli dei sistemi formali non modalicome quello dei Principia Mathematica di Russell e Whitehead(1910-13).


Kurt Godel (1906-1978): Eine

Interpretation des intuitionistischen

Aussagenkalkuls [Un’interpretazione del calcolo

enunciativo intuizionistico], 1933

Godel mostra come i sistemi di logica modale scoperti da Lewispossano essere generati estendendo con opportuni assiomi modali unabase del calcolo enunciativo classico (come quella presente neiPrincipia di Russell e Whitehead) [+ una regola modale, da affiancareal modus ponens].Il condizionale stretto ‘α ≺ β’ viene espresso nei terminidell’operatore di necessita ‘2’ e del condizionale materiale (‘→’):

α ≺ β = 2(α→ β)


McCall, Connexive Implication, 1975, 435

Using “A o B” to signify that A is compatible with B , we haveChrysippus’s definition:

1 A→ B =df A o B .

Combining 1 with the plausible thesis that if A implies B , A iscompatible with B :

2 A→ B → (A o B),

we obtain, using classical negation theses:

3 A→ B → (A→ B),

This latter expression, named Boethius’s Thesis, may be regarded

along with Aristotle’s Thesis (A→ A) as one of the characteristicmarks of a system of connexive logic.


Ivi, 435-36

“Three points are quickly made. (i) Aristotle’s andBoethius’s theses are non-classical in the sense of notforming part of two valued logic. (ii) They cannot beconsistently added to any system of logic in which formulasimply or are implied by their own negations. (iii) Systems ofthe latter type include all the well-known alternatives toclassical logic, such as intuitionistic logic, the Lewissystems, Lukasiewicz’s many-valued logics, [. . . ] etc.”

NB. “[. . . ] connexive logic must refrain from asserting A ∧ B → A orA→ A ∨ B”


Logica della rilevanza

Paradossi del condizionale materiale:

α→ (β → α)

¬α(α→ β)

(α→ β) ∨ (β → γ)

Paradossi del condizionale stretto:

(α ∧ ¬α)⇒ β

α⇒ (β → β)

α⇒ (β ∨ ¬β)


E. Mares, Relevance Logic, 2012

Esempio di argomento valido in logica classica:

La Luna e fatta di formaggio verde2 + 2 = 4

I logici fautori della rilevanza cercano di “costruire logiche cherigettano questi argomenti, che commettono ‘fallacie di rilevanza’.”


Wilhelm Ackermann, Begrundung einer

strengen Implikation, ‘JSL’, 1956

Alan Ross Anderson, N. D. Belnap Jr. Entailment. The Logic ofRelevance and Necessity, Princeton, 1975, vol. I; 1992, vol. 2.

J. M. Dunn, G. Restall, Relevance Logic and Entailment inHandbook of Philosophical Logic Dordrecht, 2002, 1-128.


Alfred Tarski, 1936, 414-15

...consider any class K of sentences and a sentence X which followsfrom this class. From an intuitive standpoint, it can never happenthat both the class K consists of only true sentences and thesentence X is false. Moreover, since we are concerned here with theconcept of logical, i.e., formal consequence, and thus with a relationwhich is to be uniquely determined by the form of the sentencesbetween which it holds, this relation cannot be influenced in any wayby empirical knowledge, and in particular by knowledge of the objectsto which the sentence X or the sentences of class K refer. Theconsequence relation cannot be affected by replacing designations ofthe objects referred to in these sentences by the designations of anyother objects.


“The sentence X follows logically from the sentences of theclass K if and only if every model of the class K is also amodel of the sentence X .”


Alcuni principi fondamentali

Principio di bivalenza

Principio del terzo escluso (Tertium non datur)

Principio di non-contraddizione



Dato un qualsiasi enunciato (dotato di significato) α, ad αpossono essere attribuiti soltanto 2 valori di verita: vero, falso

Se ‘Tα’ = ‘α e vero’ e ‘Fα’ = ‘α e falso’

Tα ∨ Fα

Il principio di bivalenza ha carattere metateorico, come mostral’impiego dei due predicati T e F !


Terzo escluso

Per α enunciato dotato di significato:

` (α ∨ ¬α)

Il principio del terzo escluso fa parte del sistema formale di volta involta scelto.


Non contraddizione

Per α enunciato dotato di significato:

` ¬(α ∧ ¬α)

Il principio di non contraddizione fa parte del sistema formale di voltain volta scelto.



Il principio di bivalenza, a quanto ne sappiamo, ha sollevato dubbi findall’antichita. Luogo classico:

Capitolo IX del De interpretatione di Aristotele

Inoltre:

era rifiutato dagli epicurei

era difeso dagli stoici

ARISTOTELE:

Chiaramente, dunque, non e necessario che di ogniaffermazione e negazione ad essa opposta l’una debbaessere vera e l’altra falsa. Poiche cio che vale per cose chesono non vale per cose che non sono e che pero e possibileche siano.9

9De Int., 19a 39-42Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 97 / 109

Bivalenza

Ockham-Controversia sui futuri contingenti: asserto tipico che econtingente e verte sul futuro: “Pietro tradira”.

Ma, per cio che concerne queste proposizioni, la loro veritanon e determinata, poiche, secondo Aristotele non si puodare una ragione del perche una parte e vera piuttosto chel’altra. Di conseguenza, entrambe le parti saranno vere onessuna delle due. Ma non e possibile che entrambe le partisiano vere, dunque nessuna delle due e vera. Percio nessunadelle due e conosciuta. [. . . ] Bisogna ritenere, al di la diogni dubbio che Dio conosce con certezza tutti i futuricontingenti - vale a dire, che egli conosce con certezzaquale parte della contraddizione e vera e quale falsa [. . . ] Edifficile, tuttavia, vedere come Dio conosca cio concertezza, poiche una parte della contraddizione non e piudeterminta rispetto alla verita, piu di quanto lo sia l’altra.10

10Predestination, God’s Foreknowledge [. . . ], p. 48.Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 98 / 109

Bivalenza

George Boole [1854]

Thus it is a consequence of the fact that the fundamentalequation of thought is of the second degree, that weperform the operation of analysis and classification, bydivision into pairs of opposites, or, as it is technically said,by dichotomy. Now if the equation in question had been ofthe third degree, still admitting of interpretation as such,the mental division must have been threefold in character,and we must have proceeded by a species of trichotomy,the real nature of which it is impossible for us, with ourexisting faculties, adequately to conceive, but the laws ofwhich we might still investigate as an object of intellectualspeculation.11

11An Investigation of the Laws of Thought, pp. 50-51Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 99 / 109

Bivalenza

Charles S. Peirce [1839-1914] Lettera a W. James, 1909

I do not say that the Principle of Excluded Middle isdownright false; but I do say that in every field of thoughtwhatsoever there is an intermediate ground betweenpositive assertion and positive negation which is just asReal as they. Mathematicians always recognize this [. . . ]The recognition does not involve any denial of existinglogic, but it involves a great addition to it.12

12Citato in (Rescher 1969, p. 5)Massimo Mugnai (SNS Pisa) Gargnano, Storia della logica agosto 2013 100 / 109

Nikolai A. Vasil’ev (1880-1940)

Logiche immaginarie non-aristoteliche

Logica e ontologia

Ipotesi di un mondo in cui certi oggetti hanno il predicato P ,altri non-P e altri ancora sia P sia non-P


Logica trivalente: primo esempio -

Kleene3s

α ¬αT FN NF T

α ∧ β T N FT T N FN N N FF F F F

α ∨ β T N FT T T TN T N NF T N F

α→ β T N FT T N FN T N NF T T T


Logica trivalente: secondo esempio -

Lukasiewicz3

α ¬αT FN NF T

α ∧ β T N FT T N FN N N FF F F F

α ∨ β T N FT T T TN T N NF T N F

α→ β T N FT T N FN T T NF T T T


Logica trivalente: terzo esempio -

Bochvar3

α ¬αT FN NF T

α ∧ β T N FT T N FN N N NF F N F

α ∨ β T N FT T N TN N N NF T N F

α→ β T N FT T N FN N N NF T N T


Proprieta rilevanti dei (3) sistemi a 3

valori

La ‘bivalenza’ non vale

Il terzo escluso non vale

Proprieta dei connettivi logici:

In tutti e 3 i sistemi sono normali

Nella maggior parte dei casi sono uniformi


Connettivo normale: quando, mediante attribuzione di valoriclassici alle formule che combina, viene attribuito alla formulaprincipale il medesimo valore che avrebbe in ambito classico

Connettivo uniforme: quando, nel caso classico, l’attribuzione diun valore a una formula componente determina da solo il valoredi verita della formula composta e lo stesso si verifica nel casonon-classico.

Esempio:

α ∧ β T N FT T N FN N N NF F N F


Tautologie e contraddizioni

Tautologia: formula che assume sempre il valore T per qualsiasiattribuzione di valori di verita alle lettere enunciative che lacompongono

Contraddizione: formula che assume sempre il valore F perqualsiasi attribuzione di valori di verita alle lettere enunciativeche la compongono

Un insieme Γ di formule implica la formula α nella logicatrivalente se, qualora le formule in Γ siano vere, lo e anche α

L’argomento Γ |= α e valido, quando l’insieme delle premesseche appartengono a Γ implica α


Se Γ |= α in Kleene3s , L3 e Bochvar3i , allora Γ |= α in logicaclassica

ma non viceversa!

Se α e tautologia in L3, allora lo e anche in logica classica (es.α→ α)

ma non viceversa (es. α ∨ ¬α)! [idem per le contraddizioni]

in Kleene3s e Bochvar3i non ci sono tautologie ne contraddizioni


Quasi-tautologie e

quasi-contraddizioni

α e una quasi-tautologia se non e mai falsa

α e una quasi-contraddizione se non e mai vera

in Kleene3s e Bochvar3i ogni tautologia classica diventa unaquasi-tautologia

in L3 le quasi tautologie non coincidono con le tautologieclassiche [es: ¬(α→ ¬α) ∨ ¬(¬α→ α) - e una taut classica,ma non quasi taut]


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