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Geometria euclidea, affine e proiettiva

Anno accademico 2008/09

2. La nascita della geometria proiettiva

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Il modello della piramide visiva(figura da E.Danti, 1536-1586)

Riconduce il processo della rappresentazione sul quadro ad una sequenza di costruzioni geometriche:

• congiungere l’occhio con i punti dell’oggetto guardato• tagliare i raggi visivi con il piano del quadro

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Le operazioni di proiezione e sezione

• Proiettare da un punto O (centro di proiezione) una figura F significa costruire le rette che congiungono O con tutti i punti di F.

• Segare o sezionare con un piano una figura P composta di rette significa determinare i punti comuni al piano e a tali rette, ottenendo la sezione o traccia di P su .

• Le due operazioni di proiezione da un punto O e di sezione con un piano , eseguite in successione, costituiscono la proiezione dal centro O sul piano .

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I punti impropri• Si aggiunge ad ogni retta un Si aggiunge ad ogni retta un

nuovo punto, nuovo punto, “improprio” o “improprio” o all’infinitoall’infinito

• Il punto improprio è comune alla Il punto improprio è comune alla retta e a tutte le sue paralleIe retta e a tutte le sue paralleIe (rette di un (rette di un fascio improprio, fascio improprio, o o concon la stessa direzione la stessa direzione))

• Gli altri punti dello spazio si Gli altri punti dello spazio si chiamano anche “propri”.chiamano anche “propri”.

• Proiettare da O (proprio) il punto Proiettare da O (proprio) il punto improprio di una rettaimproprio di una retta r r significa significa condurre per O la retta parallela condurre per O la retta parallela ad ad rr

• Il punto improprio di un fascio di Il punto improprio di un fascio di rette rette incidenti il quadroincidenti il quadro è è proiettato in un punto, detto proiettato in un punto, detto di di fugafuga

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Nel piano ampliato con i punti impropri

• due rette distinte qualsiasi si intersecano in un punto, che può essere proprio o improprio.

Definiamo retta impropria l’insieme dei punti impropri del piano

• Due punti distinti definiscono una retta– Se sono propri….– Se uno è proprio e l’altro improprio…– Se sono entrambi impropri….

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Piani paralleli e rette improprie

• Piani paralleli sono tagliati da un piano non parallelo ad essi in rette parallele

• Contengono gli stessi punti impropri, quindi la loro intersezione è la loro retta impropria, o “giacitura”

• L’insieme delle rette improprie dello spazio è il piano improprio

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Nello spazio ampliato con punti e rette improprie

Si estendono agli elementi impropri le proprietà valide per quelli propri:

• due punti all’infinito individuano una retta all’infinito che li contiene entrambi – Traduzione: date due rette di direzioni distinte, esiste

un fascio improprio di piani che sono paralleli ad entrambe

• Due rette all’infinito hanno in comune uno ed un solo punto all’infinito– Ovvero: ogni piano parallelo ad un piano interseca

ogni piano parallelo ad un altro piano in una retta, di direzione costante

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Proiezione di ( oppure da) elementi impropri

Dato un punto proprio O

• proiettare da O una retta impropria

significa condurre da O il piano parallelo ai piani con giacitura

Dato un punto improprio R

• proiettare da R una retta propria s

significa costruire il piano per s parallelo alle rette di direzione R .

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La proiezione da O (proprio)

Siano , ’ piani, non per O, ampliati con i punti impropri. La proiezione da O

p: ’è una bigezione

• Dimostrazione per Dimostrazione per esercizio esercizio

• La proiezione manda rette in rette

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Proposizioni vere per elementi propri e impropri, senza distinzioni

1. Due punti individuano una retta a cui appartengono (retta congiungente)

2. Tre punti che non appartengono ad una stessa retta, individuano un piano a cui essi appartengono (piano congiungente)

I. Due piani individuano una retta, che appartiene ad entrambi (loro intersezione)

II. Tre piani, che non passino per una stessa retta, individuano un punto (loro intersezione)

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Proposizioni vere per elementi propri, impropri, senza distinzioni

3. Un punto ed una retta, che non si non si appartengono,appartengono, determinano un piano, a cui appartengono entrambi (loro congiungente)

III. Un piano e una retta, che non si non si appartengonoappartengono, determinano un punto, che appartiene ad entrambi (loro intersezione)

La frase “elementi che si appartengono” esprime in modo simmetrico la relazione di appartenenza tra elementi di nome diverso.

Ad esempio, “un punto e una retta si appartengono” significa: il punto sta sulla retta, la retta passa per il punto

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La geometria proiettiva sintetica

Poncelet (1822) Moebius (1827), Steiner (1832), Staudt (1847)

• Le proposizioni precedenti vengono prese a fondamento della teoria

• Teoria assiomatica: – nozioni primitivenozioni primitive: punti, rette, piani, relazione

di appartenenza– assiomi “grafici”assiomi “grafici” : esattamente le proposizioni

1,2,3,I,II,III precedenti

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Gli assiomi grafici

consentono di definire univocamente le operazioni di proiezione e sezione.

• Proiettare da un punto O una figura F è possibile, per l’assioma 1;

• segare o sezionare con un piano una figura P composta di rette è possibile per l’assioma III

Sono proprietà proiettive quelle che sono conservate dalle operazioni di proiezione e sezione.

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Dagli assiomi si deducono i teoremi e le definizioni della teoria. Esempi:

• Se due punti appartengono ad un piano, la retta individuata dai due punti appartiene al piano

• Due rette contenenti un stesso punto appartengono anche ad un piano

• Se due piani passano per un punto, la retta individuata dai due piani passa per il punto

• Due rette appartenenti ad uno stesso piano passano anche per uno stesso punto

Si dicono incidenti due rette che passano per un punto e giacciono in un piano.

Due rette non incidenti si dicono sghembe.

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La legge di dualità

1. Ogni assioma grafico si cambia in un altro assioma grafico se si scambiano le parole punto e piano, mantenendo le relazioni di appartenenza.

• Ne segue la legge di dualitàlegge di dualità:: ogni teorema dedotto dai soli assiomi di appartenenza ogni teorema dedotto dai soli assiomi di appartenenza

rimane vero se nell’enunciato si scambiano le rimane vero se nell’enunciato si scambiano le parole punto e piano, con la condizione che un parole punto e piano, con la condizione che un punto e un piano che si appartengono vengono punto e un piano che si appartengono vengono sostituiti da un piano e da un punto che si sostituiti da un piano e da un punto che si appartengono.appartengono.

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Esempio di proposizioni duali

• Date due rette sghembe, per un punto fuori di esse passa una retta incidente ad entrambe.

Infatti, questa retta è l’intersezione dei due piani (assioma I), determinati dal punto e da ciascuna delle rette (assioma 3).

• Date due rette sghembe, in un piano non passante per nessuna di esse vi è una retta incidente ad entrambe.

Infatti, questa retta passa per i due punti (assioma 1), che sono determinarti dal piano e da ciascuna delle rette (assioma III).

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Esempio di configurazioni dualiTre punti, non appartenenti

ad una retta, determinano un triangolo: figura composta dei tre punti (vertici), delle tre rette determinate da essi due a due (lati), e del piano determinato dai tre punti.

Tre piani, non passanti per una stessa retta, determinano un triedro: figura composta dei tre piani (facce), delle tre rette determinate da essi due a due (spigoli) e del punto determinato dai tre piani.

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Geometria proiettiva classica o “sintetica”

• È la teoria geometrica fondata sugli assiomi che determinano le relazioni tra gli oggetti primitivi

• Nei dati iniziali non figurano numeri.• E’ possibile introdurre le coordinate,

costruendo un campo a partire dagli elementi primitivi della teoria; la costruzione non è semplice, anche se molto significativa.

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Geometria proiettiva algebrica

o analitica: presuppone la conoscenza dell’algebra lineare

• punti, rette, piani sono definiti da coordinate o da equazioni omogenee

Coordinate omogeneeCoordinate omogenee

Lo spazio proiettivo è definito come il Lo spazio proiettivo è definito come il quoziente di uno spazio vettorialequoziente di uno spazio vettoriale

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Geometria proiettiva algebrica

• Studiata nel testo di riferimento (Beltrametti, Carletti, Gallarati, Monti Bragadin)

• Solo un paragrafo del testo è dedicato alla geometria proiettiva sintetica.

• A prima vista, la geometria proiettiva moderna sembra lontana dai problemi concreti delle origini

• La conoscenza delle origini storiche di alcuni concetti può aiutarne la comprensione

• Esempio: il birapporto, invariante proiettivo, che si incontra all’inizio dello studio della geometria proiettiva algebrica. Ce ne occuperemo nella prossima lezione.