CONCETTI FONDAMENTALI

GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE

GEOMETRIA

Può essere Può essere

INTUITIVA RAZIONALE

Quella sviluppata dagli antichi Egizi

Quella sviluppata dagli antichi Greci (organizzata da

Euclide)

INTUITIVA

Si basa su

OSSERVAZIONI

PROVE

TENTATIVI

ESPERIENZE

RAZIONALE

Parte da

ENTI e CONCETTIPRIMITIVI

ASSIOMI o POSTULATI

Non definibili, ma descritti mediante

Concetti e enti primitivi

Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari

Assiomi o postulati

Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo.

ENTI e CONCETTI PRIMITIVI

ASSIOMI o POSTULATI

ENTI GEOMETRICI NON PRIMITIVI

PROPRIETA’ dei NUOVI ENTI GEOMETRICI

(=TEOREMI)

Da cui si deducono

Mediante definizioni

Mediante dimostrazioni

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie)

ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori)

Enti geometrici primitivi

Gli enti primitivi della geometria sono:

PUNTI

RETTE

PIANI

SPAZIO

Concetti primitivi

Tra i concetti primitivi della geometria vi sono ad esempio quelli di

MOVIMENTO RIGIDO: una figura può muoversi nel piano e nello spazio senza deformarsi;

APPARTENENZA: un ente geometrico fa parte di un altro

Gli assiomi scelti devono soddisfare le seguenti condizioni:

COMPATIBILITA’:

non devono contraddirsi l’uno con l’altro

INDIPENDENZA:

dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro

Assiomi o Postulati

- Una retta contiene infiniti punti

Assiomi fondamentali

- Un piano contiene infiniti punti e infinite rette

- Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani

Assiomi di appartenenza

- Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due punti distinti appartengono a una sola retta)

- Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (= tre punti non allineati appartengono a un solo piano)

- La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano

Assioma di ordinamento-La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che:

A B

- Se A precede B e B precede C, allora A precede C.

A B C

- Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A.

Postulato di partizione del piano

Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che:

rA B

•Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte

•Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto

rC

D

Enti geometrici non primitivi: definizioni

SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto.

Il punto è detto: ORIGINE delle semirette

Due semirette si dicono OPPOSTE se:• hanno solo l’origine in comune• appartengono alla stessa retta

SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti

I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento

A B

In una retta ci sono infiniti punti (lo dice l’assioma). E in un segmento?

Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto

Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta

SEGMENTI PARTICOLARI

SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano

Due semipiani si dicono OPPOSTI se:• hanno solo l’origine in comune• appartengono allo stesso piano

Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune

Rette SGHEMBE: rette non complanari che non hanno nessun punto in comune

Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune

Postulato di Euclide

Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data

Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio

Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta

ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune

Angolo convessoAngolo concavo

Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati

Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati

Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dell’altro ( 180° = π); non è né concavo né convesso

ANGOLI PARTICOLARI 1

Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto (90° = π/2); è convesso

equivale ad un semipiano

Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo.

ANGOLI PARTICOLARI 2

Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°); è convesso.

equivale ad un piano

equivale ad una semiretta

Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto

Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno sul prolungamento dell’altro (o che appartengono alla stessa retta)

Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

SOMMA DI SEGMENTI

Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro

a b

a + b

a

bDati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore.

a < b

CONFRONTO DI SEGMENTI

SOMMA DI ANGOLI CONVESSI

Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro

Angolo ottuso

Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto ed è convesso (quindi è sempre minore di un angolo….

…piatto)

Angolo acuto

Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto (quindi è sempre….

…convesso)

Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI

Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI

Poligonale o spezzata aperta (non intrecciata)

Insieme di più segmenti consecutivi

vertici

estremi

lato

Poligonale o spezzata chiusa (non intrecciata)

Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento che ne congiunge gli estremi

POLIGONO

Parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata

Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono

Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti

Angoli interni e esterni

Angoli esterni

Angoli interni

L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun vertice di un poligono sono supplementari

Figure convesse

Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura

A

B

Figure concave

Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura

A

B

CONGRUENZA

Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto

F1 F2

21 FF

Proprietà della congruenza

RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè F1F1

SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2, allora anche F2 è congruente a F1,

cioè se F1 F2, allora F2 F1

TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2 è congruente a F3 allora anche F1 è congruente a F3,

cioè se F1 F2 e F2 F3, allora F1 F3

Bisettrice di un angolo

Semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti

Punto medio di un segmento

A BM

AMMB

Punto che divide il segmento in due segmenti congruenti

Asse di un segmento

A B

90°

M

AMMB

Retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

Distanza di un punto da una retta

Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH

P

90°

H