BOOK IN PROGRESS MATEMATICA GEOMETRIA · PDF file1 UNITÀ 1 LA GEOMETRIA DEL PIANO 1.1...

BOOK IN PROGRESS

MATEMATICA

GEOMETRIAPRIMO ANNOTOMO NR. 1

ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto Arsizio (VA) ITC “Calabretta” Soveraro (CZ) ISISS “Scarambine” Lecce (LE) ITIS “Buzzi” Prato (PO) ITIS “Ferraris” Napoli (NA)

ITC “Pacioli”Crema (CR) ITIS “FerniI” Francavilla Fontana (BR) LICEO SCIENTIFICO”Guaraci”Soverato (CZ) ITI “Malignani” Udine (UD)

LICEO “Brocchi” Bassano del Grappa (VI) ITIS “Volterra-Elia” Ancona (AN) ITI “Cassata” Gubbio (PG) ITIS “Fermi” Isernia (IS)

In memoria del Preside Francesco Rossi che ha sempre creduto in questo progetto

e l’ha sempre sostenuto.

SOMMARIO DEL TOMO 1

UNITÀ 1: LA GEOMETRIA DEL PIANO

1.1 Generalità pag. 1

1.2 Figure congruenti pag. 11

1.3 Operazioni con i segmenti pag. 13

1.4 Operazioni con gli angoli pag. 17

1.5 Angoli particolari pag. 20

UNITÀ 2: I TRIANGOLI

2.1 I poligoni pag. 25

2.2 I triangoli pag. 28

2.3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati pag. 29

2.4 La congruenza dei triangoli pag. 30

2.5 Le disuguaglianze nei triangoli pag. 40

2.6 Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli pag. 42

… E ORA I PROBLEMI pag. 48

ESERCIZI UNITÀ 1 – 2: La geometria del piano – I triangoli.

Conoscenza e comprensione pag. 59

Esercizi. La geometria del piano pag. 69

Ampiezza di un angolo pag. 82

Operazioni tra angoli pag. 83

Problemi sui segmenti pag. 92

Problemi sugli angoli pag. 93

I triangoli pag. 95

Problemi sulla congruenza pag. 98

Problemi sulla disuguaglianza nei triangoli pag. 103

CORRO ALLE OLIMPIADI! pag. 104

UNITÀ 3: PERPENDICOLARITÀ E PARALLELISMO

3.1 Rette perpendicolari pag. 106

3.2 Le proiezioni ortogonali pag. 110

3.3 Mediane, altezze e bisettrici di un triangolo pag. 113

3.4 Le rette parallele pag. 116

3.5 Il criterio di parallelismo e le proprietà delle rette parallele pag. 119

3.6 Proprietà dei triangoli pag. 125

3.7 Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono pag. 127

3.8 La congruenza nei triangoli rettangoli pag. 129

3.9 I luoghi geometrici pag. 131

I PROBLEMI pag. 135

ESERCIZI UNITÀ 3: Perpendicolarità e parallelismo

Conoscenza e comprensione pag. 142

Applicazioni pag. 150

Costruzione, con riga e squadra, della perpendicolare ad una retta data pag. 151

Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo pag. 155

Costruzione, con riga e squadra, della parallela ad una retta data pag. 159

Angoli di un triangolo pag. 163

Criteri di congruenza dei triangoli (rettangoli e non) pag. 166

PROBLEMI pag. 168

OCCHIO ALLE OLIMPIADI! pag. 186

PRESENTAZIONE

Un gruppo di docenti di matematica, facenti parte di istituzioni scolastiche aderenti alla rete

nazionale denominata “Book in Progress”, in seguito, già, alla circolare n. 16 del 10 febbraio 2009

sulle adozione dei libri di testo, ha inteso proporre un testo da loro scritto, “Dispense di

Matematica”, quale strumento funzionale al conseguimento degli obiettivi didattici e formativi della

disciplina.

Il testo, accanto ai contenuti propri della disciplina, riporta attività e propone azioni (esercizi di

diversa tipologia: di completamento, del tipo vero/falso, a scelta multipla, di PROVA TU ), frutto

dell’esperienza didattica degli autori e ciò dovrebbe “accompagnare” i percorsi di apprendimento

dei singoli studenti, contribuendo ad assicurare sistematicità e coerenza all’operato quotidiano.

Con questo lavoro, che potrà arricchirsi dei completamenti di volta in volta eventualmente necessari

e proposti dai docenti “in rete”, si è inteso offrire uno strumento che guardasse costantemente agli

alunni, che li avviasse al gusto del costruire insieme, del verificare, del dimostrare, attraverso una

metodologia attiva, o più precisamente interattiva, in una classe vista sempre più come laboratorio.

Il linguaggio?

Lo sforzo è stato quello di “parlare” di matematica, cercando di non parlare difficile.

Per la geometria, in particolare, si è voluto un po’ “dilatare” il tempo di permanenza nella geometria

intuitiva o, più spesso, cercare l’integrazione del metodo intuitivo e di quello razionale.

Gli alunni vengono sollecitati, inizialmente, in esercizi di disegno, in costruzioni di figure precise e

nel riconoscimento di alcune loro proprietà mediante misure, scomposizioni in parti,

sovrapposizioni, ricorso alla carta millimetrata “avvertiti”, però, che il disegno ha lo scopo di

aiutarci a visualizzare concetti e situazioni e mai sostituire la dimostrazione razionale di

un’affermazione.

Le “Dispense di matematica” vogliono essere il compagno di banco e … di vita dell’alunno, almeno

nell’intenzione e nell’ambizione dei proponenti, convinti che l’importanza del “modo” di fare

scuola, dei tempi necessari per il “farlo”, degli “spazi”, degli “strumenti” e degli “ambienti” siano le

variabili responsabili più importanti degli eventuali successi/insuccessi scolastici.

1

UNITÀ 1

LA GEOMETRIA DEL PIANO

1.1 Generalità

Nello studio della geometria euclidea (da Euclide, matematico greco del III secolo a.C.) assume un

ruolo fondamentale il disegno delle varie figure. A tale scopo, useremo sempre squadra e compasso

e costruiremo le nostre figure con la massima attenzione e precisione.

Cominciamo il nostro lavoro ponendo l’attenzione su quelli che sono gli “oggetti”, gli enti, che si

studiano in geometria.

Per descriverli utilizzeremo delle definizioni. Una definizione è una frase nella quale viene

associato un nome a un ente e vengono elencate le sue caratteristiche.

Esempio:

Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.

Per dare una definizione è necessario conoscere il significato di alcuni termini. Nell’esempio

precedente, per stabilire che cos’è un parallelogramma si deve sapere cosa significano le parole

“quadrilatero”, “lati”, “opposti”, “paralleli”. Se i termini usati non sono conosciuti, si devono dare

altre definizioni utilizzando altri enti che a loro volta dovranno essere definiti e così via. Per

interrompere questo procedimento «a ritroso» che non può, ovviamente, continuare all’infinito è

necessario che di alcuni concetti, detti concetti o enti primitivi, non venga data alcuna definizione.

Essi costituiranno la base sulla quale costruire, poi, l’edificio di tutte le altre definizioni.

In geometria consideriamo come enti primitivi:

- il punto;

- la retta;

- il piano.

L’idea di punto ci è suggerita dal segno lasciato dalla punta della matita o dal forellino praticato

con un sottile spillo su un foglio di carta, da un granellino di sabbia, da una stella

lontanissima, etc.

Il punto è la più semplice figura geometrica e l’immagine che di essa danno i riferimenti appena

indicati è piuttosto imperfetta. In realtà il punto è un ente geometrico privo di dimensioni; esso

indica solo una posizione (Euclide, nei suoi “Elementi”, definisce il punto come ciò che non ha

parti).

Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi una lettera maiuscola

dell’alfabeto; diremo perciò: punto A; punto B; punto C; etc. . A . B

. C . .

2

Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica; lo spazio è l’insieme di tutti i punti

e contiene quindi tutte le figure.

Una figura che appartiene ad un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.

Come modello intuitivo di retta possiamo pensare al bordo di una riga da disegno, idealmente

illimitata da entrambe le parti. La retta geometrica si deve, infatti, pensare illimitata e senza

spessore: è costituita da infiniti punti ed ha un’unica dimensione (si estende solo in lunghezza,

illimitatamente).

Per distinguere una retta dall’altra, si pone accanto a ciascuna di esse una lettera minuscola

dell’alfabeto; diremo perciò: retta r ; retta s ; retta t ; etc.

Come modello intuitivo di piano possiamo pensare ad un sottile foglio di carta o alla superficie

dell’acqua stagnante di un lago. Si tratta, naturalmente, di immagini molto approssimative perché il

piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare indefinitamente esteso in lunghezza e

larghezza: ha, cioè, due dimensioni.

I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco; diremo perciò: piano α ; piano β ;

piano γ ; etc.

Nella geometria razionale si vogliono ricavare, mediante deduzioni1, delle proprietà da altre

proprietà. Come per gli enti primitivi, bisogna, quindi, accettare che alcune proprietà vengano

assunte come primitive, ossia non siano dedotte ma accettate come vere (postulati o assiomi). Le

proprietà (o proposizioni) che si possono desumere dagli assiomi si dicono teoremi; un teorema è

quindi una proposizione di cui bisogna controllare la verità mediante un ragionamento

(dimostrazione). Una dimostrazione è, pertanto, una sequenza di deduzioni che, partendo da

affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere ad una nuova affermazione (tesi).

In seguito scriveremo spesso l’enunciato dei teoremi mediante la struttura linguistica “se ….. ,

allora ……”.

1procedimenti logici consistenti nel derivare, da una o più premesse date, una conclusione come conseguenza logicamente necessaria.

α

β

γ

s

r

t

3

La frase che segue il “se” è l’ipotesi, ossia ciò che supponiamo vero; quella dopo “allora” è la tesi,

ossia l’affermazione da dimostrare.

Dimostrazione diretta

Una dimostrazione è diretta quando, partendo dall’ipotesi ed utilizzando eventualmente postulati

e/o proprietà dimostrate in precedenza, si perviene, attraverso una sequenza di deduzioni logiche,

alla tesi.

Dimostrazione indiretta o per assurdo

Una dimostrazione è indiretta o per assurdo quando, partendo dalla negazione della tesi ed

utilizzando eventualmente postulati e/o proprietà dimostrate in precedenza, si perviene, attraverso

una sequenza di deduzioni logiche, a qualche proprietà che è in contrasto con l’ipotesi data o con

postulati o con teoremi già dimostrati (contraddizione). Bisogna, quindi, concludere che l’aver

supposto falsa la tesi è sbagliato e che, di conseguenza, la tesi è vera (principio di non

contraddizione: una proposizione non può contemporaneamente essere vera e falsa).

Se in un teorema vengono scambiate l’ipotesi e la tesi, si ottiene la proposizione inversa che prende

il nome di teorema inverso.

Un teorema che è immediata conseguenza di un altro teorema viene chiamato corollario .

Riportiamo ora di seguito alcuni postulati che caratterizzano i punti, le rette e i piani.

� Dati due qualunque punti distinti A e B, esiste una ed una sola retta che li contiene

entrambi (fig. 1):

Questo postulato ci assicura che due punti sono sempre allineati, cioè appartengono ad una stessa

retta.

La retta individuata dai due punti A e B (fig. 1) viene detta anche retta congiungente i punti A e B,

o retta passante per A e B o, ancora, retta AB.

Il precedente postulato si suole anche enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una

sola retta.

Dal precedente postulato discende il seguente corollario:

Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune.

Infatti, se avessero due punti in comune, esse coinciderebbero.

(fig. 1) A B . .

4

� Per un punto passano infinite rette.

Detto P un punto del piano, l’insieme delle infinite rette passanti per P è chiamato fascio di rette

proprio o, anche, fascio di rette di centro P (fig. 2):

� Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro (fig. 3):

I punti di una retta si possono, quindi, pensare ordinati in due versi, uno opposto all’altro, in

corrispondenza dei due versi secondo cui la retta può essere percorsa.

Fissato su r uno dei due versi di percorrenza (retta orientata) e considerati due punti A e B su r, è

possibile dire se A precede B o se A segue B nel verso assegnato.

In fig. 4 si ha che A precede B (o B segue A):

� Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette (fig. 5):

� Se una retta r ha due punti in comune con un piano α, allora appartiene ad α (fig. 6):

(fig. 2)

(fig. 6)

(fig. 5)

(fig. 3)

(fig. 4) A B . .

r

. α

. . . .

.

α .

.

r

P

5

� Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta individuano uno ed un

solo piano (fig. 7):

o Due rette si dicono complanari se appartengono a uno stesso piano, sghembe se

appartengono a piani diversi.

o Due rette r ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune uno ed un solo punto P

che prende il nome di punto di incidenza (o di incontro, o di intersezione) delle rette r ed s

(fig. 8):

o Due rette r ed s del piano si dicono parallele se coincidono (fig. 9a) oppure se non hanno

alcun punto in comune (fig. 9b):

Per indicare che due rette r ed s sono parallele scriviamo r // s, dove il simbolo // è detto

“simbolo di parallelismo”.

[Osserviamo che abbiamo assunto come parallele anche due rette coincidenti in quanto esse

hanno in comune infiniti punti e non uno solo, così come richiesto per le rette incidenti].

Parleremo ampiamente del parallelismo in altra unità.

r s

α

r s

r ∩ s = { }P

(fig. 7)

(fig. 9a)

s

α

r

(fig. 9b)

α

r

s

r s = Ø

(fig. 8)

P .

≡ ∩

α .

. .

A B

C

6

Seguono le definizioni di nuovi enti, a partire dagli enti elementari:

o Semiretta – Data una retta r e un suo punto A, si dice semiretta, di origine A, ciascuna delle

due parti in cui r rimane divisa da A, compreso lo stesso punto A (fig. 10):

o Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi

del segmento.

Il segmento di estremi A e B si indica con AB o con BA, cioè scrivendo una di seguito all’altra le

lettere che indicano i suoi estremi (fig. 11):

Se i due estremi coincidono, il segmento è nullo ed è costituito da un solo punto (non ci

sono, quindi, punti interni).

o Segmenti consecutivi – Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in

comune (fig. 12):

o Segmenti adiacenti – Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed

appartengono alla stessa retta (fig. 13):

(fig. 10)

(fig. 11)

(fig. 12)

(fig. 13)

A

C B .

.

.

A ≡B .

semiretta A .

r semiretta

B r segmento AB . . A

A B C . . .

AB e BC segmenti consecutivi

AB e BC segmenti adiacenti

7

PROVA TU

In relazione alla fig. 14, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false.

AB e BC sono adiacenti

AB e DE sono consecutivi

BC e CD sono consecutivi

CD e AB sono adiacenti

CD e DE sono adiacenti

o Spezzata (o poligonale) – Si dice spezzata o poligonale una figura geometrica formata da

più segmenti, a due a due consecutivi e non adiacenti.

Una spezzata può essere (fig. 15):

• non intrecciata (o semplice), se i segmenti della spezzata non hanno punti interni in comune;

• intrecciata, se almeno due segmenti hanno punti interni in comune;

• aperta, se l’ultimo estremo non coincide con il primo;

• chiusa, se l’ultimo estremo coincide con il primo.

(I segmenti AB, BC, ..… sono i lati della spezzata; i punti A, B, C, ..... sono i vertici della spezzata).

spezzata non intrecciata aperta

spezzata intrecciata aperta

spezzata non intrecciata chiusa

(fig. 15)

B D

A C E

.

. . .

.

.

N

P

M

O

Q

. .

.

.

F

L

I

H

G

.

.

.

. .

.

. . .

D

E B

A C

.

(fig. 14) V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

M

O

N

Q

P

.

. .

.

.

spezzata intrecciata chiusa

8

o Semipiano – Data una retta r di un piano α, si dice semipiano ciascuna delle due parti in cui

r divide α (fig. 16):

o Figura convessa – Una figura F si dice convessa se, considerati due suoi qualsiasi punti, il

segmento che li unisce è completamente contenuto in F (fig. 17):

o Figura concava – Una figura G si dice concava se esistono almeno due punti per i quali il

segmento che li unisce non è completamente contenuto in G (fig. 18):

o Angolo – L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette

aventi l’origine in comune (fig. 19):

r

s

O

α r

semipiano

semipiano

fig. 16: la retta r è l’origine di ciascuno dei due semipiani.

F

(fig. 17)

fig. 18: il segmento PQ non è completamente

contenuto in G.

fig. 19: Le semirette r ed s sono dette “lati” dell’angolo;

l’origine comune O è detto “vertice” dell’angolo.

Q G

P

9

o Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati (fig. 20):

o Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati (fig. 21):

Quando nel seguito parleremo di angolo senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre angolo

convesso.

Per indicare l’angolo convesso della fig. 22 useremo una delle seguenti notazioni: rs , sr, rOs, sOr,

AOB, BOA, α, e, se non ci sono ambiguità di interpretazione, O.

Se si vuole fare riferimento ad un angolo concavo lo si deve esprimere in maniera esplicita; così, nel

caso della fig. 21, diremo “angolo rs concavo” (taluni indicano tale angolo con la scrittura rs).

Gli aggettivi convesso e concavo sono in accordo con le definizioni date di figura convessa e di

figura concava.

o Si dice corda di un angolo convesso un qualsiasi segmento i cui estremi appartengono ai lati

dell’angolo (fig. 23):

(fig. 21)

(fig. 22)

(fig. 20)

B s

r O A

.

α .

(fig. 23)

r

s

O

O r

s

AB corda

A

B s

r O .

.

10

o Angoli consecutivi – Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in

comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune (fig. 24):

o Angoli adiacenti – Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno

i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta (fig. 25):

o Angoli opposti al vertice – Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono

i prolungamenti dei lati dell’altro (fig. 26):

PROVA TU

Vero o falso?

a) Due angoli consecutivi sono anche adiacenti

b) Due angoli adiacenti sono anche consecutivi

c) Due angoli consecutivi possono essere entrambi acuti

d) Due angoli adiacenti possono essere entrambi acuti

(fig. 24)

AOB e BOC angoli consecutivi

(fig. 25)

(fig. 26)

AOB e A'OB' angoli opposti al vertice;

AOB' e A'OB angoli opposti al vertice.

O

A

B

CV

A

B

C O

AOB e BOC angoli adiacenti

V

V

F

F

V

V

F

F

O

A B'

A' B

11

1.2 Figure congruenti2

Il termine “congruente” si usa in geometria per dire che due figure possono essere sovrapposte in

modo che tutti i loro punti coincidano.

Ad esempio due segmenti si dicono congruenti se è possibile sovrapporli in modo che i loro estremi

(e, quindi, tutti i punti che sono tra loro) coincidano. Si usa lo stesso termine quando è possibile

sovrapporre altre figure geometriche come angoli, triangoli, quadrilateri, etc.

La nozione di “sovrapponibilità” è legata a quella di “movimento rigido”, ossia di movimento di

una figura senza che vi sia deformazione della stessa.

Osserviamo i due segmenti della figura seguente:

I due segmenti hanno la stessa lunghezza, cioè stessa distanza tra gli estremi dei segmenti, quindi si

è soliti dire che i due segmenti sono uguali. Noi, ora, diremo che “il segmento AB è congruente al

segmento CD”, e scriveremo: AB ≅ CD (si legge “AB è congruente a CD”).

Perché “congruente” e non “uguale”? Perché questa complicazione terminologica?

Basta osservare che i due segmenti in figura non rappresentano lo stesso oggetto geometrico, non

sono la stessa figura; non possono, quindi, essere definiti “uguali” perché costituiti da punti diversi

del piano. Una figura, pertanto, può essere uguale soltanto a se stessa mentre due figure che si

corrispondono punto per punto (corrispondenza biunivoca) si dicono congruenti.

Si ha, quindi, la seguente definizione:

Due figure F1 e F2 si dicono congruenti, e si scrive F1 ≅ F2 , quando esiste un movimento rigido che

le sovrappone punto a punto.

La relazione di congruenza tra figure gode delle seguenti proprietà:

1. riflessiva: F1 ≅ F1 (ogni figura è congruente a se stessa);

2. simmetrica: F1 ≅ F2 F2 ≅ F1 (se la figura F1 è congruente alla figura F2 , allora la figura F2 è congruente alla figura F1); 3. transitiva: F1 ≅ F2 ∧ F2 ≅ F3 F1≅ F3 (se la figura F1 è congruente alla figura F2 e la

figura F2 è congruente alla figura F3 , allora la figura F1 è congruente alla figura F3).

La relazione di congruenza è, quindi, una relazione di equivalenza.

2qui e nel seguito l’argomento viene presentato in maniera intuitiva, “legandolo” all’idea di movimento.

. A D

25 cm 25 cm .

. .

(fig. 27)

B C

12

� Assioma del trasporto di un segmento

Dati un segmento AB e una semiretta r di origine O, esiste ed è unico un punto P appartenente ad r

tale che OP≅ AB (fig. 28):

Si può quindi pensare di disegnare infiniti segmenti congruenti ad un segmento dato.

La relazione di congruenza tra segmenti, essendo una relazione di equivalenza (PROVA TU),

permette di dividere l’insieme di tutti i segmenti in classi di equivalenza, ognuna delle quali si

chiama lunghezza: ad ogni classe appartengono tutti i segmenti tra loro congruenti e che hanno,

quindi, la stessa lunghezza.

Confronto tra segmenti

Confrontare due segmenti vuol dire stabilire se sono congruenti o, se non lo sono, vedere quale dei

due è il maggiore (o il minore).

Siano dati quindi due segmenti qualsiasi AB e CD (fig. 29):

L’assioma del trasporto ci permette il loro confronto. Consideriamo, infatti, due segmenti OP≅ AB

e OQ≅ CD, con l’estremo O in comune ed appartenenti alla stessa semiretta r di origine O.

Possono verificarsi i seguenti tre casi:

• P “cade” prima dell’estremo Q, allora diciamo che OP è minore di OQ, e quindi AB è

minore di CD, e scriviamo AB < CD (fig. 30a);

• P “coincide” con Q, allora i due segmenti OP e OQ, e quindi AB e CD, sono congruenti, e

scriviamo AB≅ CD (fig. 30b);

• P “cade” dopo l’estremo Q, allora diciamo che OP è maggiore di OQ, e quindi AB è

maggiore di CD, e scriviamo AB > CD (fig. 30c).

A

. B

(fig. 28)

.

.

A

B

C . . D

(fig. 29)

.

P O r . .

13

Il confronto può avvenire sovrapponendo, con un movimento rigido, direttamente AB e CD,

facendo coincidere l’estremo A con l’estremo C e verificando dove “cade” l’estremo B (seguiremo

tale procedimento nel confronto tra angoli).

1.3 Operazioni con i segmenti

Somma di due segmenti. La somma di due segmenti adiacenti AB e BC è il segmento AC che ha

per estremi i loro estremi non comuni (fig. 31):

Scriviamo AB + BC = AC, usando l’usuale simbolo di addizione.

Nel caso di due segmenti AB e CD non adiacenti, la loro somma è data dal segmento AD ottenuto

trasportando, con un movimento rigido, i segmenti AB e CD in modo che siano adiacenti, con

l’estremo B coincidente con C (fig. 32):

La somma di tre o più segmenti AB, CD, EF, ….. si ottiene addizionando alla somma dei primi due

segmenti il terzo e così via fino all’ultimo segmento.

Nel definire le operazioni con i segmenti, così come in seguito quelle con gli angoli, invece del

simbolo ≅ , abbiamo utilizzato il simbolo = , che sta per “ è il segmento …”, “ è l’angolo …”,

volendo porre l’attenzione sull’operazione in oggetto e sul risultato della stessa.

L’addizione tra i segmenti è un’operazione che gode delle proprietà commutativa e associativa.

Vale la seguente proprietà:

Segmenti somme di segmenti congruenti sono congruenti .

In simboli: se AB≅ CD e EF≅ GH allora AB + EF≅ CD + GH.

PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un segmento.

(fig. 32)

OP < OQ AB < CD (fig. 30a) OP ≅ OQ AB ≅ CD (fig. 30b)

OP > OQ AB > CD (fig. 30c)

⇔

⇔

⇔

A B C . . . (fig. 31)

. P . Q O r

. P

Q O r .

.

. P Q O r . .

B C

D A

.

.

. .

.

A B ≡C D . .

Abbiamo preferito, qui e in seguito, nonostante l’operazione di “trasporto”, mantenere lo stesso nome per i segmenti.

14

Differenza di due segmenti. La differenza di due segmenti AB e CD, con AB ≥ CD, è il segmento

DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD in modo che l’estremo A coincida con l’estremo C e gli

estremi D e B siano sulla stessa semiretta di origine A (fig. 33):

Scriviamo AB – CD = DB, usando l’usuale simbolo di sottrazione (DB è, quindi, quel segmento

che sommato a CD dà per somma AB).

Se AB≅ CD, allora il segmento DB è il segmento nullo.


Segmenti differenze di segmenti congruenti sono congruenti.

In simboli: se AB≅ CD , EF≅ GH ∧ AB ≥ EF allora AB – EF ≅ CD – GH.

PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un segmento.

Multiplo e sottomultiplo di un segmento. Il multiplo di un segmento AB, secondo il numero

naturale n, è il segmento CD che si ottiene facendo la somma di n segmenti congruenti ad AB; cioè:

CD = AB + AB + ….. + AB = n⋅AB.

In particolare:

- se 1=n , il multiplo di AB secondo il numero 1 è il segmento AB stesso;

- se 0=n , il multiplo di AB secondo il numero 0 è il segmento nullo.

Se 0≠n , si dice che il segmento AB è sottomultiplo di CD secondo il numero n e si scrive:

CD1

ABn

= (si legge “AB è uguale a un n-esimo di CD” o “AB è uguale all’n-esima parte di CD”).

In fig. 34 è n = 3, per cui AB'' è multiplo di AB secondo il numero 3 e si scrive: AB'' = 3⋅AB.

Sempre dalla fig. 34 si ha che il segmento AB è il sottomultiplo di AB'' secondo il numero 3 e si

scrive: AB = 31

AB''.

(fig. 33)

. .

.

.

. . .

(fig. 34)

. .

. . . .

n volte

A C≡ D B

A

B C

D

A

A

B

B ≡ A' B' ≡ A'' B''

15

La scrittura CD = n

mAB, con m, n ∈N e n ≠ 0, indica che CD è il multiplo, secondo il numero m,

del sottomultiplo di AB, secondo il numero n; cioè: CD = n

mAB =

⋅ AB1n

m .

In altre parole, il segmento CD è m volte l’n-esima parte di AB.

Così la scrittura CD = 35

AB indica che CD è 5 volte la terza parte di AB, cioè il segmento AB è

diviso in 3 parti congruenti e CD è 5 di quelle parti (fig. 35):

Da quanto detto sul multiplo e sottomultiplo di un segmento segue, in particolare, che un qualsiasi

segmento può essere diviso in due parti congruenti.

Si ha quindi la seguente definizione:

Punto medio di un segmento. Dato un segmento AB, si dice punto medio di AB il punto M,

interno ad AB, equidistante dagli estremi A e B, cioè tale che AM≅ MB (fig. 36):

Si può dimostrare che il punto medio di un segmento è unico (PROVA TU).

� Assioma del trasporto di un angolo

Dati un angolo ab e una semiretta r di origine O, esiste, in ognuno dei due semipiani nei quali la

retta di r divide il piano, una ed una sola semiretta di origine O che forma con la semiretta data un

angolo congruente ad ab (fig. 37):

Si può quindi pensare di disegnare infiniti angoli congruenti ad un angolo dato.

La relazione di congruenza tra angoli, essendo una relazione di equivalenza (PROVA TU),

permette di dividere l’insieme di tutti gli angoli in classi di equivalenza, ognuna delle quali si

chiama ampiezza: ad ogni classe appartengono tutti gli angoli tra loro congruenti e che hanno,

quindi, la stessa ampiezza.

a

b

(fig. 36)

(fig. 37)

rs ≅ ab

rs' ≅ ab

(fig. 35)

A B M . . .

D C * * * * *

A B * * *

O

s'

s

r

16

Confronto tra angoli

Confrontare due angoli vuol dire stabilire se sono congruenti o, se non lo sono, stabilire quale dei

due è il maggiore (o il minore).

Siano dati quindi due angoli qualsiasi ab e cd (fig. 38):

Operando un movimento rigido, sovrapponiamo i due angoli facendo coincidere i vertici ed uno dei

lati, per esempio il lato a con il lato c, in modo che i due angoli si trovino dalla stessa parte rispetto

al lato comune.

Possono verificarsi i seguenti tre casi:

• il lato b è interno all’angolo cd, allora diciamo che ab è minore di cd e scriviamo

ab < cd (fig. 39a);

• il lato b coincide con il lato d e allora diciamo che ab è congruente a cd e

scriviamo ab≅ cd (fig. 39b);

• il lato b è esterno all’angolo cd, allora diciamo che ab è maggiore di cd e scriviamo

ab > cd (fig. 39c).

(fig. 38)

ab≅ cd (fig. 39b)

ab > cd (fig. 39c)

ab < cd (fig. 39a)

a≡c

b≡d

O≡O'

b

a≡c O≡O'

d

d

a≡c O≡O'

b

c

d

O' a

b

O

17

1.4 Operazioni con gli angoli

Somma di due angoli. La somma di due angoli consecutivi aOb e bOc è l’angolo aOc che ha per

vertice il vertice dei due angoli e per lati i due lati non comuni (fig. 40):

Scriviamo aOb + bOc = aOc , usando l’usuale simbolo di addizione.

Nel caso di due angoli aOb e cO'd non consecutivi, la loro somma è data dall’angolo aOd ottenuto

disponendo, con un movimento rigido, i due angoli in modo che risultino consecutivi (fig. 41):

La somma di tre o più angoli aOb , cO'd , eO''f , … si ottiene addizionando alla somma dei primi

due angoli il terzo e così via fino all’ultimo angolo.

L’addizione tra angoli è un’operazione che gode delle proprietà commutativa e associativa.


Angoli somme di angoli congruenti sono congruenti.

In simboli: se α≅ β ∧ γ≅ δ allora α + γ ≅ β + δ.

PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un angolo.

(fig. 40)

c

a

b

O

α a

b

O

a O≡O'

d

α

b c≡

β α + β

(fig. 41)

O'

d

c

β

18

Differenza di due angoli. La differenza di due angoli aOb e cO'd , con aOb ≥ cO'd , è l’angolo

dOb che si ottiene sovrapponendo, con un movimento rigido, cO'd ad aOb , come nel caso del

loro confronto (fig. 42):

Se aOb ≅ cO'd , allora dOb è l’angolo nullo.


Angoli differenze di angoli congruenti sono congruenti

In simboli: se α≅ β , γ≅ δ ∧ α ≥ γ allora α – γ ≅ β – δ.

PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un angolo.

Multiplo e sottomultiplo di un angolo. Il multiplo di un angolo ab, secondo il numero naturale n, è

l’angolo cd che si ottiene facendo la somma di n angoli congruenti ad ab; cioè:

cd = ab + ab + ….. + ab = n ab

In particolare:

- se 1=n , il multiplo di ab secondo il numero 1 è l’angolo ab stesso;

- se 0=n , il multiplo di ab secondo il numero 0 è l’angolo nullo.

Se 0≠n , si dice che l’angolo ab è sottomultiplo di cd secondo il numero n e si scrive:

ab n

1= cd (si legge “ l’angolo ab è uguale a un n-esimo dell’angolo cd ” o “l’angolo ab è uguale

all’n-esima parte dell’angolo cd ”).

.

β α

b

d α - β

O'≡ O c a≡

(fig. 42)

aOb – cO'd = dOb

aOb > cO'd

O' c

d

β

b

a O α

n volte

19

In fig. 43 è n = 3 e quindi l’angolo cd è multiplo dell’angolo ab secondo il numero 3 e si scrive:

cd = 3 ab.

Sempre dalla fig. 43 si ha che l’angolo ab è il sottomultiplo secondo il numero 3 dell’angolo cd e si

scrive: ab = 31

cd.

La scrittura cd = n

m ab , con m, n ∈N e n ≠ 0, indica che l’angolo cd è il multiplo, secondo il

numero m, del sottomultiplo dell’angolo ab, secondo il numero n; cioè:

cd = n

m ab = m ⋅

ab

n

1.

In altre parole, l’angolo cd è m volte l’n-esima parte dell’angolo ab.

Così la scrittura cd = 35

ab indica che l’angolo cd è 5 volte la terza parte dell’angolo ab, cioè

l’angolo ab è diviso in 3 parti congruenti e l’angolo cd è 5 di quelle parti (fig. 44):

Da quanto detto sul multiplo e sottomultiplo di un angolo, segue, in particolare, che un qualsiasi

angolo può essere diviso in due parti congruenti.

(fig. 43)

(fig. 44)

.

a

b

O

α

. . . a

b

O

. . .

d

. .

c O

d

α α

α a c≡ O≡O'

b≡a'

b'≡a''

20

Si ha quindi la seguente definizione:

Bisettrice di un angolo. Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice

dell’angolo e lo divide in due angoli congruenti (fig. 45):

In simboli:

rOb≅ bOs

Si può dimostrare che la bisettrice di un angolo è unica (PROVA TU).

1.5 Angoli particolari

o Angolo piatto – Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte. [Si può

pensare ottenuto facendo ruotare la semiretta OA, intorno ad O, di mezzo giro, così da

assumere la posizione OB (fig. 46)]. L’angolo piatto si suole indicare con la lettera greca π

(scoprirai il perché nel corso dei tuoi studi).

o Angolo giro – Un angolo concavo i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo giro.

[Si può pensare ottenuto facendo ruotare la semiretta OA, intorno ad O, di un giro completo,

descrivendo così tutto il piano (fig. 47)].

(fig. 46)

(fig. 47)

(fig. 45)

Angolo piatto 180°

Angolo giro 360°

bisettrice

r O≡

s

b

O . .

B π

π

A .

O A B .

21

o Angolo nullo – Un angolo convesso i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo

nullo. [Si può pensare ottenuto quando la semiretta OA rimane nella posizione iniziale, cioè

se ha una rotazione nulla (fig. 48)].

o Angolo retto – Un angolo si dice retto se è la metà di un angolo piatto (fig. 49):

o Angolo acuto – Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto (fig. 50):

o Angolo ottuso – Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto (fig. 51):

(fig. 49): OC è la bisettrice dell’angolo piatto AOB.

(fig. 50)

AOB angolo acuto

(fig. 51)

AOB angolo ottuso

Angolo nullo 0°

Angolo retto 90°

O A B .

Angolo acuto < 90°

Angolo ottuso > 90°

(fig. 48)

angolo retto angolo retto

C

B A O

B

O≡

A

A

B

O

22

o Angoli complementari – Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un

angolo retto (fig. 52):

(Ovviamente i due angoli non devono essere necessariamente consecutivi).

o Angoli supplementari – Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un

angolo piatto (fig. 53):

(Ovviamente i due angoli non devono essere necessariamente adiacenti).

o Angoli esplementari – Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un

angolo giro (fig. 54):

(Ovviamente i due angoli non devono avere necessariamente gli stessi lati).

PROVA TU

Esiste sempre il complementare di un angolo? Perché?

(fig. 52)

(fig. 53)

(fig. 54) O

B

A

A

B

O C

AOB e BOC angoli complementari

AOC angolo retto

O

C

A

B

AOB e BOC angoli supplementari

AOC angolo piatto

23

PROVA TU

Completa le seguenti affermazioni:

o il supplementare di un angolo di 85° è ampio …….…;

o il complementare di un angolo di 89° è ampio ........…;

o il complementare di un angolo di 2° è ampio ……..…;

o il supplementare di un angolo di 112° è ampio ...……;

o l’esplementare di un angolo di 60° è ampio …………;

o il supplementare di un angolo di 120° è ampio .......…;

o l’esplementare di un angolo di 107° è ampio …….… .

Vediamo alcuni teoremi sugli angoli.

TEOREMA

� Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti .

Dimostrazione

Dall’ipotesi discende che:

α supplementare di β ⇒ α + β ≅ π ⇒ α ≅ π – β ;

α1 supplementare di β1 ⇒ α1 + β1 ≅ π ⇒ α1 ≅ π – β1 .

Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti tra loro e, per ipotesi, β≅ β1 si ha:

π – β ≅ π – β1 perché differenze di angoli congruenti,

e quindi: α ≅ α1.

(Il teorema può essere visto come un corollario della proprietà di pag. 18 relativa ad angoli

differenze di angoli congruenti).

L’enunciato del teorema può, ovviamente, essere formulato come segue:

Angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

α supplementare di β

α1 supplementare di β1

β≅ β1

Hp.:

α ≅ α1 Th.:

α β

C.V.D.

α1 β1

24

PROVA TU

In modo del tutto analogo si dimostrano i seguenti teoremi:

• Angoli complementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

• Angoli esplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

TEOREMA

� Due angoli opposti al vertice sono congruenti.

Dimostrazione

Basta osservare che gli angoli MOQ e PON sono entrambi supplementari dell’angolo QON (poiché,

per ipotesi MOQ e PON sono angoli opposti al vertice) per cui, in base al teorema precedente, si ha:

MOQ ≅ PON

(Il teorema può essere visto direttamente come un corollario del teorema precedente).

PROVA TU

In relazione alla figura 55, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:

a) α e γ sono supplementari

b) γ e δ sono complementari

c) α e γ sono congruenti

d) β e γ sono supplementari

e) α e γ sono opposti al vertice

f) γ e β sono congruenti

g) β e δ sono complementari

(fig. 55)

MOQ ≅ PON Th.:

MOQ opposto al vertice di PON Hp.: Q N

P M

O

α

β

γ

δ

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

C.V.D.

25

UNITÀ 2

I TRIANGOLI

2.1 I poligoni

Si chiama poligono la figura formata da una poligonale (chiusa non intrecciata) e dalla parte finita

di piano da essa delimitata.

In un poligono chiamiamo:

• vertici del poligono i vertici della poligonale;

• lati del poligono i lati della poligonale;

• contorno del poligono la poligonale stessa;

• punti interni i punti del poligono non situati sul contorno;

• punti esterni tutti gli altri punti del piano, esclusi quelli del contorno;

• perimetro del poligono il segmento somma dei lati del poligono.

Per indicare un poligono fissiamo un primo vertice e scriviamo ordinatamente, una accanto all’altra,

le lettere dei successivi vertici procedendo in senso antiorario.

In fig. 1 è rappresentato il poligono ABCDEF.

Faremo sempre la distinzione tra poligono convesso e poligono concavo, in accordo con le

definizioni date di figura convessa e di figura concava (pag. 8, unità 1).

La fig. 2 ti dovrebbe permettere, comunque, di ricavare le definizioni di poligono convesso e di

poligono concavo (PROVA TU):

Quando nel seguito parleremo di poligono senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre

poligono convesso.

P1 P2

A B

(fig. 2) Poligono convesso Poligono concavo

A

F

E

D

C

B (fig. 1)

26

In un poligono convesso chiamiamo:

o angolo interno o angolo del poligono ognuno degli angoli che ha vertice in un vertice del

poligono e per lati le semirette che contengono i lati uscenti da quel vertice (fig. 3a);

o angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno (fig. 3b).

Osserva che ad ogni angolo interno si possono associare due angoli esterni, congruenti tra di loro

perché opposti al vertice (fig. 4):

Inoltre (fig. 5) definiamo:

• corda ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del contorno del poligono che non

appartengono allo stesso lato;

• diagonale ogni corda che unisce due vertici non consecutivi.

.

Angolo interno

Angolo esterno

Angolo esterno

(fig. 3a) (fig. 3b)

Angoli interni

D

E

diagonale

G

F

corda

C

A B

(fig. 4)

(fig. 5)

Angolo esterno

Angolo esterno

Angolo esterno

Angolo esterno

Angolo esterno

27

I poligoni hanno nomi diversi a seconda del numero di lati (o dei vertici o degli angoli) di cui sono

costituiti e che non possono essere meno di tre.

Nella seguente tabella sono riportati i nomi di alcuni poligoni:

Numero dei lati Nome del poligono

3 triangolo

4 quadrilatero

5 pentagono

6 esagono

7 ettagono

8 ottagono

9 ennagono

10 decagono

11 endecagono

12 dodecagono

In generale, se i lati sono n si parlerà di poligono di n lati. Un poligono si dice:

• equilatero se ha tutti i lati congruenti tra loro;

• equiangolo se ha tutti gli angoli interni congruenti tra loro;

• regolare se è equiangolo ed equilatero.

PROVA TU

o Quante diagonali ha un triangolo?

□ 2 □ 1 □ nessuna □ 3

o Quante diagonali puoi tracciare dal vertice di un poligono di 5 lati?

□ 3 □ 5 □ 4 □ 2

o Dimostra che il numero delle diagonali di un poligono convesso di n lati è pari a ( )2

3−⋅ nn .

o Disegna un ettagono e individua gli angoli interni, gli angoli esterni e le diagonali.

o Disegna un poligono con nove diagonali.

28

2.2 I triangoli

o Un triangolo è un poligono con tre lati (fig. 6):

Riferendoci al triangolo ABC della fig. 6, distinguiamo:

- tre vertici: i punti A, B, C;

- tre lati: i segmenti AB, BC, CA;

- tre angoli: gli angoli convessi CAB, ABC, BCA.

I lati e gli angoli vengono detti elementi del triangolo.

L’unione dei tre lati, cioè l’insieme dei loro punti, costituisce il contorno del triangolo; il segmento

somma dei tre segmenti è il perimetro del triangolo.

Si dicono interni i punti del triangolo che non appartengono al suo contorno, esterni i punti che non

appartengono al triangolo.

In un triangolo, ogni lato si dice opposto all’angolo il cui vertice non appartiene al lato stesso e

adiacente agli altri due angoli; analogamente, ogni angolo si dice opposto al lato che non contiene

il suo vertice e adiacente agli altri due lati.

Relativamente alla fig. 6 si ha, ad esempio, che:

- il lato AB è opposto all’angolo ACB ed è adiacente agli angoli BAC e ABC;

- l’angolo BAC è opposto al lato BC ed è adiacente ai lati AB e AC.

PROVA TU

Riferendoti sempre alla fig. 6, completa le frasi seguenti:

a) il lato BC è opposto all’angolo ……… ed è adiacente agli angoli ……… e ……… ;

b) l’angolo ABC è opposto al lato ……... ed è adiacente ai lati …………… e ……… ;

c) il lato AC è opposto all’angolo ……… ed è adiacente agli angoli ……… e ……… ;

d) l’angolo ACB è opposto al lato ……... ed è adiacente ai lati …………… e ……… .

(fig. 6) A B

C

29

2.3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Un triangolo si dice:

• equilatero se ha tutti i tre lati congruenti (fig. 7a);

• isoscele se ha due lati congruenti (fig. 7b);

• scaleno se non ha alcuna coppia di lati congruenti (fig. 7c).

“Soffermiamoci” un po’ sul triangolo isoscele.

Consideriamo il triangolo isoscele ABC in cui AC≅ BC (fig. 8):

(fig. 7b)

(fig. 7a)

(fig. 7c)

(fig. 8)

D E

F

A B

C

A B

C o i due lati congruenti, AC e BC, vengono detti lati

obliqui;

o il terzo lato, AB, si chiama base;

o l’angolo ACB, opposto alla base, è detto angolo

al vertice;

o gli angoli BAC e ABC, adiacenti alla base, si

dicono angoli alla base.

G H

I

30

PROVA TU

Riferendoti alla fig. 9, completa le seguenti frasi:

o Il triangolo PQR è isoscele sulla base …….. ;

o L’angolo al vertice è l’angolo …….. ;

o I lati obliqui sono …………… ;

o Gli angoli adiacenti alla base sono gli angoli ……… e ……… .

♦ COSTRUIAMO un triangolo isoscele, date la base b e l’altezza h ad essa relativa:

Consideriamo il segmento AB di lunghezza b:

e determiniamo il suo punto medio M:

Tracciamo la retta a perpendicolare ad AB in M:

(fig. 9)

P

Q

R

A B

b

h

A B M * * .

CONTINUA ….. A B M * * .

a

31

2.4 La congruenza dei triangoli

Abbiamo già detto che due figure sono congruenti se è possibile sovrapporle in modo tale che

combacino perfettamente.

Consideriamo, in particolare, due triangoli congruenti ABC e A'B'C' (fig. 10):

È possibile, qui, stabilire una corrispondenza tra i vertici dei due triangoli:

A ↔ A' , B↔ B' , C↔ C'

così che angoli e lati corrispondenti siano congruenti, cioè:

A ≅ A' , B≅ B' , C≅ C'

AB ≅ A'B' , BC≅ B'C' , AC≅ A'C' .

Nel caso dei triangoli, per stabilire che sono congruenti, non è necessario verificare che tutti e sei i

rispettivi elementi - lati e angoli - sono ordinatamente congruenti; è sufficiente stabilire solo la

congruenza di alcuni elementi.

Esistono, infatti, tre criteri, noti come criteri di congruenza dei triangoli, che permettono di

stabilire la congruenza di due triangoli sapendo che sono congruenti solo tre particolari coppie di

elementi.

Primo criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente

congruenti.

Dimostrazione

Poiché, per ipotesi, A≅ A', possiamo, con un movimento rigido, trasportare l’angolo A e farlo

coincidere con l’angolo A' in maniera che il vertice A coincida con il vertice A', il lato AB si

sovrapponga al lato A'B' e il lato AC al lato A'C'.

/

*

A' B'

C'

//

.

/

*

A B

C

//

.

(fig. 10)

Hp.:

AB ≅ A'B'

AC ≅ A'C'

A ≅ A'

Th.: ABC≅ A'B'C' /

*

A B

C

/

*

A' B'

C'

32

Essendo:

AB ≅ A'B' per ipotesi,

AC≅ A'C' per ipotesi,

il movimento rigido fa anche coincidere B con B' e C con C', cioè fa coincidere tutti e tre i vertici.

I due triangoli risultano pertanto sovrapponibili e, quindi, sono congruenti.

C.V.D. In realtà, volendo essere rigorosi, dovremmo assumere come postulato il primo criterio di

congruenza dei triangoli e, partendo da questo, dimostrare gli altri due criteri.

Come già accennato nell’unità 1, parlando di figure congruenti (pag. 11), abbiamo “scelto” un

punto di vista intuitivo e facciamo riferimento al movimento rigido, legato alla nostra esperienza,

come spostamento di oggetti senza che questi subiscano alcuna deformazione.

Secondo criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente

congruenti.

Dimostrazione

Poiché:

AB ≅ A'B' per ipotesi,

con un movimento rigido portiamo il lato AB a sovrapporsi al lato A'B' in modo che A≡A', B≡B',

l’angolo BAC vada sopra l’angolo B'A'C' e l’angolo ABC vada sopra l’angolo A'B'C'.

In questo modo:

- la semiretta AC si sovrappone alla semiretta A'C' ;

- la semiretta BC si sovrappone alla semiretta B'C' ,

e quindi il punto C, comune alle semirette AC e BC, coincide con il punto C', comune alle semirette

A'C' e B'C'.

Pertanto vengono a coincidere i tre vertici e quindi i due triangoli sono congruenti.

C.V.D.

/ A B

C

/ A' B'

C'

Hp.:

AB ≅ A'B'

A ≅ A'

B ≅ B'

Th.: ABC≅ A'B'C'

33

Vediamo alcune proprietà del triangolo isoscele, conseguenze dei primi criteri di congruenza dei

triangoli.

TEOREMA

Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.

Dimostrazione

Tracciamo la bisettrice dell’angolo di vertice C ed indichiamo con D il suo punto di intersezione

con la base AB (“segnare ACD e BCD con il simbolo ”).

Consideriamo, quindi, i triangoli ACD e BCD; essi hanno:

AC ≅ BC per ipotesi;

CD in comune ( o CD≅ CD per la proprietà riflessiva della congruenza);

ACD≅ BCD per costruzione.

I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono

congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, gli elementi

corrispondenti congruenti, in particolare:

CAD≅ CBD , il che è lo stesso dire:

BAC ≅ ABC (“segnare BAC e ABC con il simbolo ”).

A B

C

Hp.: AC≅ BC

Th.: BAC≅ ABC

.

C.V.D.

C

A

.

B D

.

34

[Al termine del teorema la figura si presenta come segue:

]

TEOREMA INVERSO

Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.

Dimostrazione

Tracciamo le bisettrici AD e BE rispettivamente degli angoli BAC e ABC:

e osserviamo che:

BAD≅ CAD ≅ ABE ≅ CBE perché metà di angoli congruenti (“segnare BAD , CAD ,

ABE e CBE con il simbolo ”).

B A D

C

. .

B A

C

Th.: AC≅ BC

Hp.: BAC≅ ABC

C

B A

E D

.

35

Si ha quindi:

Consideriamo i triangoli ABD e ABE che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo a parte:

Essi hanno:

AB in comune (o AB≅ AB per la proprietà riflessiva della congruenza);

ABD ≅ BAE per ipotesi;

BAD ≅ ABE per precedente osservazione (metà di angoli congruenti).

I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono

congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi

corrispondenti congruenti, cioè:

AD ≅ BE (“segnare AD e BE con il simbolo ”);

ADB ≅ AEB (“segnare ADB e AEB con il simbolo ”);

BD ≅ AE (“segnare BD e AE con il simbolo ~ ”).

Si ha quindi:

C

B A

E D

.

o o

~ * . * .

~

.

C

B A

E D

. . . .

B A

D

. .

E

B A

*

o

36

Consideriamo ora i triangoli CAD e CBE che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo a parte:

Essi hanno:

AD≅ BE per precedente dimostrazione;

CAD≅ CBE per precedente osservazione (metà di angoli congruenti);

ADC ≅ BEC perché supplementari rispettivamente degli angoli congruenti ADB

e AEB (“segnare ADC e BEC con il simbolo ”).


congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi


AC≅ BC (“segnare AC e BC con il simbolo ”).


]

I due ultimi teoremi si possono “unificare” nella seguente proposizione:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli

congruenti.

Corollario :

Un triangolo equiangolo è anche equilatero (PROVA TU).

C.V.D.

C

B A

E D

.

o

* .

o

~

. *

~ .

.

C

A

D

* .

C

E

B

*

37

Terzo criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.

Dimostrazione

Nel semipiano avente per origine la retta AB e non contenente C, conduciamo la semiretta AR che

forma con AB l’angolo BAR congruente a B'A'C' (“segnare BAR e B'A'C' con il simbolo ”).

Sulla semiretta AR prendiamo il punto C'' tale che AC''≅ A'C' (“segnare AC'' con il simbolo ”) e

congiungiamo C'' con B.

Consideriamo i triangoli ABC'' e A'B'C'; essi hanno:

AB ≅ A'B' per ipotesi;

AC''≅ A'C' per costruzione;

BAC''≅ B'A'C' per costruzione.

Hp.:

AB ≅ A'B'

AC ≅ A'C'

BC≅ B'C'

Th.: ABC ≅ A'B'C'

/

*

A B

C

//

/

*

A' B'

C'

//

.

*

/

*

A' B'

C'

//

. . /

*

A B

C

//

R

/

*

A' B'

C'

//

.

C''

. /

*

A B

C

//

R

*

38

I due triangoli, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono

congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi


BC''≅ B'C' (“segnare BC'' con il simbolo // ”).

La nostra figura è ora la seguente:

Congiungiamo C con C'' (in figura i segmenti CC'' e AB si incontrano in un punto interno al

segmento AB):

e osserviamo che:

AC ≅ AC'' per la proprietà transitiva della congruenza (AC≅ A'C' ∧ A'C'≅ AC'') [i lati

AC e AC'' sono già segnati con lo stesso simbolo ],

per cui il triangolo ACC'' è isoscele sulla base CC'' e quindi:

ACC''≅ AC''C perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare ACC'' e AC''C

con il simbolo ”).

Analogamente:

BC≅ BC'' ,

per cui il triangolo BCC'' è isoscele sulla base CC'' e quindi:

BCC''≅ BC''C (“segnare BCC'' e BC''C con il simbolo ”).

*

. /

*

A B

C

//

R C''

* //

.

C''

/

*

A B

C

//

R

* //

39

Si ha, quindi, la seguente figura:

Consideriamo ora i triangoli ABC e ABC''; essi hanno:

AC ≅ AC'' per precedente osservazione;

BC≅ BC'' per precedente osservazione;

ACB ≅ AC''B perché somma di angoli congruenti (ACC''≅ AC''C ∧ BCC''≅ BC''C).


congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli.

Pertanto:

ABC ≅ ABC'' ∧ ABC''≅ A'B'C'.

e quindi:

ABC ≅ A'B'C' per la proprietà transitiva della congruenza.

C.V.D. PROVA TU

Un’analoga dimostrazione può essere condotta nei seguenti casi:

• i segmenti CC'' e AB si incontrano in B (o in A);

• il segmento CC'' interseca il prolungamento di AB.

PROVA TU

Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti, rispettivamente:

a) tre angoli;

b) due lati e un angolo;

c) tre lati;

d) un angolo e un lato;

e) nessuna delle risposte precedenti è corretta.

C''

// *

/

*

A B

C

//

R

.

40

2.5 Le disuguaglianze nei triangoli

TEOREMA (PRIMO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO)

In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti

ad esso.

Dimostrazione

Tracciamo la mediana AM del lato BC (“segnare BM e CM con il simbolo ”) e sul suo

prolungamento fissiamo il punto E in modo che AM≅ ME (“segnare AM ed ME con il simbolo ”).

Congiungiamo B con E:

Consideriamo i triangoli ACM e BEM; essi hanno:

CM≅ BM per costruzione;

AM≅ ME per costruzione;

AMC≅ BME perché angoli opposti al vertice (“segnare AMC e BME con il simbolo ”).




ACM≅ MBE (“segnare MBE con il simbolo ”).

La nostra figura è ora la seguente:

CBD > ACB

CBD > BAC

Hp.: CBD angolo esterno

Th.:

*

D B A

C .

B A

C

D

. *

*

E

M .

o

.

D

o o

B A

C .

*

*

E

M .

.

41

Osserviamo che l’angolo CBE è una parte dell’angolo CBD, per cui:

CBD > CBE

cioè:

CBD > ACB.

Analogamente, tracciando la mediana CN ……... si dimostra che: CBD > BAC (PROVA TU).

COROLLARIO

In ogni triangolo, la somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto.

PROVA TU a completare la dimostrazione del corollario, con riferimento alla figura seguente:

Hp.: ABC triangolo

Th.: ABC + ACB < π

Dimostrazione

Osserviamo che:

ACB < ……. per il teorema dell’angolo esterno;

e, aggiungendo ad ambo i membri l’angolo ABC, si ha:

ABC + ……. < ABC + …….

cioè:

…………….. < π .

Conseguenze (PROVA TU):

1) Ogni triangolo può avere al massimo un angolo retto; gli altri due angoli sono acuti.

2) Ogni triangolo può avere al massimo un angolo ottuso; gli altri due angoli sono acuti.

3) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.

C.V.D.

D B A

C

C.V.D.

42

2.6 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati

Quanto detto permette la classificazione dei triangoli rispetto agli angoli.

Un triangolo si dice:

• acutangolo se ha tutti i tre angoli acuti (fig.11a);

• rettangolo se ha un angolo retto (fig.11b);

• ottusangolo se ha un angolo ottuso (fig.11c).

°<°<°<

90

90

90

γβα

°<°<°=

90

90

90

γβα

°<°<°>

90

90

90

γβα

In un triangolo rettangolo, i due lati che formano l’angolo retto vengono detti cateti, il lato opposto

all’angolo retto viene detto ipotenusa.

(fig. 11b)

(fig. 11a)

(fig. 11c)

α β

γ

γ

α β

γ

α β

cateto

cateto ipotenusa

43

PROVA TU

Fra le seguenti affermazioni una è falsa. Quale?

Un triangolo può avere:

a) tutti e tre gli angoli acuti;

b) più di un angolo esterno ottuso;

c) un angolo acuto e due ottusi;

d) due angoli acuti e uno retto;

e) due angoli acuti e uno ottuso;

f) un angolo ottuso.

TEOREMA

In ogni triangolo, con due lati non congruenti, a lato maggiore si oppone angolo maggiore.

Dimostrazione

Poiché per ipotesi AC > BC, si ha che esiste un punto D, interno ad AC, tale che:

CD≅ BC ( “segnare CD e BC con il simbolo ”).

Congiungiamo D con B , così da avere la seguente figura:

Hp.: AC > BC

Th.: ABC > BAC

*

B A

C

B A

C

* *

D

44

Osserviamo che il triangolo BCD è isoscele sulla base BD e perciò:

CDB≅ CBD angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare CDB e CBD con il

simbolo ”).

La figura è ora la seguente :

Poiché BD è interno all’angolo ABC, si ha che:

ABC > CBD

e quindi, essendo CDB≅ CBD , risulta:

ABC > CDB.

Ma:

CDB > BAD in quanto l’angolo CDB è esterno al triangolo ABD (teorema pag. 40),

per cui :

ABC > BAD per la proprietà transitiva della relazione “ > ” ,

il che è lo stesso dire :

ABC > BAC.


]

.

C.V.D.

C

B A

* *

. . D

(Figura riportata … per completezza)

B A

C

* *

. . D

45

TEOREMA INVERSO

In ogni triangolo, con due angoli non congruenti, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che non sia AC > AB.

Se:

• AC < AB, si avrebbe, per il teorema precedente:

ABC < ACB,

contro l’ipotesi.

• AC ≅ AB, il triangolo ABC sarebbe isoscele sulla base BC e quindi:

ABC ≅ ACB,

contro l’ipotesi.

Pertanto, non potendo essere AC < AB né AC≅ AB, si conclude che:

AC > AB.

C.V.D.

PROVA TU

Considera un triangolo ABC isoscele sulla base AB. Prendi un punto D sul lato AC e dimostra che

BD > AD.

Hp.: ABC > ACB

Th.: AC > AB

B A

C

46

La relazione fra i lati di un triangolo è definita dal seguente teorema:

TEOREMA

In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due lati e maggiore della loro

differenza.

Dimostrazione

Ovviamente basta dimostrare il teorema per il lato maggiore (nel nostro caso AB). PERCHE’?

Prolunghiamo il lato AC, dalla parte di C, di un segmento CD≅ CB (“segnare CD e CB con il

simbolo ”) e congiungiamo D con B .

Si ottiene la seguente figura:

Osserviamo che il triangolo BCD è isoscele sulla base BD, per cui:

CBD≅ CDB perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare CBD e CDB con il

simbolo ”).

Si ha:

AB < AC + BC

AB > AC - BC

Hp.: ABC triangolo

Th.:

*

.

B A

C

B A

*

C

D

*

A B

*

C

D

*

.

.

47

Poiché BC è interno all'angolo ABD, risulta:

ABD > CBD,

e quindi anche

ABD > CDB (poiché CBD≅ CDB).

Pertanto nel triangolo ABD si ha:

AB < AD perché ad angolo maggiore è opposto lato maggiore,

e quindi :

AB < AC + CD,

cioè, essendo CD≅ BC,

AB < AC + BC.

Come già detto, la disuguaglianza vale ovviamente anche per gli altri lati, cioè:

• BC < AB + AC

• AC < AB + BC

Inoltre:

AC < AB + BC ⇒ (sottraendo ad ambo i membri BC) ⇒ AC – BC < AB + BC – BC ⇒

⇒ AC – BC < AB ; cioè: AB > AC – BC .

C.V.D.

Questo teorema evidenzia che tre segmenti qualsiasi non possono essere sempre lati di un

triangolo; occorre che ciascuno di essi sia, appunto, minore della somma degli altri due e maggiore

della loro differenza.

PROVA TU

� Prendi tre bastoncini di lunghezza 8 cm , 9 cm e 15 cm e costruisci un triangolo.

� Prendi tre bastoncini di lunghezza 7 cm , 13 cm e 5 cm e costruisci un triangolo.

Quali conclusioni puoi trarre?

48

1. LEGGI ATTENTAMENTE IL TESTO DEL PROBLEMA.

2. DISEGNA, UTILIZZANDO SQUADRA E COMPASSO,

UNA FIGURA ABBASTANZA GRANDE, SECONDO LE

INDICAZIONI DEL TESTO. “SEGNA”, CON UNO

STESSO SIMBOLO, GLI ELEMENTI CHE SAI

ESSERE CONGRUENTI.

3. SCRIVI L’IPOTESI E LA TESI.

4. UTILIZZA L’IPOTESI PER PERVENIRE ALLA TESI

(tranne nelle dimostrazioni per assurdo).

MA PRIMA …………. QUATTRO

CONSIGLI FONDAMENTALI

1. 2.

3.

4.

49

ANCORA ………. CONSIGLI :

o Per dimostrare che sono congruenti alcuni lati o angoli, devi considerare, in genere, triangoli

che “contengano” quei lati o quegli angoli, deducendo la loro congruenza in base ad uno dei

criteri di congruenza dei triangoli. Nel caso dovesse mancare “qualcosa”, sarà necessario

considerare altri triangoli, o altre proprietà, che ti permettano di dedurre quel “qualcosa”,

indispensabile, e propedeutico, alla dimostrazione.

o Quando ti viene detto di considerare un triangolo, senza nessuna altra ipotesi sui suoi lati o

angoli, devi disegnare un triangolo qualsiasi, cioè un triangolo non particolare [né

isoscele, né equilatero, né con angoli particolari (30°, 45°, 60°, 90°, …)].

Dato un triangolo ABC, prendere …

o Così, quando si dice di prendere un punto P su un dato segmento AB, non devi mai fissare P

“nel” punto medio,… o “vicino” al punto medio, ma in punto, interno al segmento,

“ lontano” dal punto medio.

o Dato un angolo AOB, considera una semiretta OC interna all’angolo AOB. PROVA TU a

disegnare una figura corretta e una figura particolare (da non fare!).

Tutto questo per evitare che figure particolari possano indurti a conclusioni affrettate e/o a

considerazioni che non abbiano rispondenza alcuna con i dati del problema in oggetto.

NO B A P * * . . .

. A B SI' . .

P

A B

C

SI' NO

A B

C

A B

C

NO

50

1° Problema risolto

Dato il triangolo ABC, si prolunghino i lati AB e AC, oltre A, rispettivamente di due segmenti AD

ed AE con AD≅ AB e AE≅ AC. Dimostrare che BC≅ DE.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ABC e ADE; essi hanno:

AB ≅ AD per ipotesi;

AC ≅ AE per ipotesi;

BAC ≅ DAE perché angoli opposti al vertice (“segnare BAC e DAE con il simbolo ”).




BC≅ DE (“segnare BC e DE con il simbolo // ”).

C.V.D.

[Al termine del problema la figura si presenta come segue:

]

Th.: BC≅ DE

Hp.: AD ≅ AB

AE ≅ AC

A D B

E

C

*

*

/ /

.

D

C

A B

*

E

*

/ / . .

//

//

51


Dato il triangolo isoscele ABC, sia D un punto della base AB. Si considerino su AC il segmento

AE ≅ BD e su BC il segmento BF≅ AD. Si dimostri che il triangolo DEF è isoscele.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ADE e BDF; essi hanno:

AE ≅ BD per ipotesi;

AD ≅ BF per ipotesi;

DAE≅ DBF perché angoli alla base di un triangolo isoscele.




DE≅ DF (“segnare DE e DF con il simbolo ”),

per cui il triangolo DEF risulta isoscele sulla base EF.

C.V.D.


]

Th.: DEF isoscele

Hp.:

AC ≅ BC

AE ≅ BD

BF≅ AD

E

C

A D B o

o F

* *

E

C

A D B o

o F

*

52


Sui prolungamenti della base BC di un triangolo isoscele ABC si riportino i segmenti congruenti

BD e CE. Dimostrare che il triangolo ADE è isoscele.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ABD e ACE; essi hanno:

AB ≅ AC per ipotesi;

BD ≅ CE per ipotesi;

ABD≅ ACE in quanto supplementari di angoli congruenti [ABC ≅ ACB perché angoli alla

base di un triangolo isoscele (“segnare ABD e ACE con il simbolo ”)].

I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra di essi compreso ordinatamente congruenti, sono



AD ≅ AE (“segnare AD e AE con il simbolo ”),

per cui il triangolo ADE è isoscele sulla base DE.

C.V.D.


]

Th.: ADE isoscele

Hp.: AB ≅ AC

BD ≅ CE

.

D B C E

A

// //

*

. . D B C E

A

// //

* *

53


Dato un triangolo ABC, si prolunghino i lati AB e AC rispettivamente dei segmenti AD≅ AC ed

AE ≅ AB. Detto F il punto di intersezione delle rette DE e CB, dimostrare che:

• il triangolo BEF è isoscele;

• la semiretta FA è bisettrice dell’angolo BFE.

Dimostrazione

Osserviamo che:

AE ≅ AB per ipotesi,

e quindi il triangolo ABE è isoscele sulla base BE.

Si ha, pertanto, che:

AEB ≅ ABE perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare AEB e ABE con il

simbolo ” ).

.

AD ≅ AC

AE ≅ AB

DE∩ CB = {F}

Hp.:

BEF isoscele

EFA≅ BFA Th.:

E

/

C

D B

F

A

E

/

C

D B

F

A .

.

54

Consideriamo ora i triangoli ADE e ABC; essi hanno:

AD ≅ AC per ipotesi;

AE ≅ AB per ipotesi;

DAE ≅ BAC perché angoli opposti al vertice (“segnare DAE e BAC con il simbolo ” ).


congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, quindi, tutti gli elementi


AED ≅ ABC (“segnare AED e ABC con il simbolo ” ).

Si ha, pertanto, che:

FEB≅ FBE perché somme di angoli congruenti,

e quindi il triangolo BEF risulta isoscele sulla base BE, per cui:

FE≅ FB (“segnare FE e FB con il simbolo // ” ).

Congiungiamo A con F (solo ora!):

E

/

C

D B

F

A .

.

E

/

C

D B

F

A .

.

//

//

55

Consideriamo i triangoli FAE e FAB; essi hanno:

FE≅ FB per quanto precedentemente osservato;

AE ≅ AB per ipotesi;

AF in comune (o AF≅ AF per la proprietà riflessiva della congruenza).

I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di

congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in

particolare:

EFA≅ BFA (“segnare EFA e BFA con il simbolo ”).

C.V.D.

[Si poteva dimostrare la congruenza dei triangoli FAE e FAB con il 1° criterio di congruenza

(AE≅ AB; FE≅ FB; AEF≅ ABF)].


]

OSSERVAZIONE (volutamente … ritardata)

Nella risoluzione dei problemi, avrai notato che, una volta dimostrata la congruenza di due

triangoli, ci siamo spesso limitati a dedurre la congruenza solo di alcuni elementi corrispondenti (o

perché era quanto direttamente richiesto dal problema o perché, “lungimiranti”, avevamo compreso

quali relazioni ci servivano nel proseguo del nostro lavoro). Altre volte, “meno lungimiranti”, ma in

ogni caso non per miopia matematica, abbiamo preferito, nel dubbio, elencare tutti gli elementi

corrispondenti congruenti, anche se qualche relazione non è stata poi utilizzata nel proseguo della

dimostrazione.

o

E

o o

/

C

D B

F

A .

.

//

//

56

PROVA TU a completare il seguente problema:

Sulla bisettrice di un angolo XAY si prenda un punto M e per esso si conducano due rette r, s non

parallele ai lati dell’angolo e tali che AM sia bisettrice di due degli angoli rs. Siano B e C le

intersezioni di r con i lati dell’angolo XAY, e D, E le intersezioni di s rispettivamente con gli stessi

lati. Dimostrare che BD≅ EC.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ABM e ……. ; essi hanno:

AM …………….. (o AM≅ ….. per la proprietà riflessiva della congruenza);

BAM ≅ EAM …………… ;

AMB ≅ AME …………… .

I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad essi adiacenti ordinatamente congruenti, sono

congruenti per il …. criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi


….. ≅ AE (“segnare ....... e ....... con il simbolo / ”).

Osserviamo inoltre che:

BMD ≅ …… perché angoli opposti al vertice (“segnare BMD e …… con il simbolo ”),

per cui:

…… ≅ AMC perché somme di angoli congruenti (AMB≅ …… e …… ≅ CME).

Consideriamo ora i triangoli AMC e …… ; essi hanno:

AM …………... (o ….. ≅ AM per la proprietà …………… della congruenza);

…… ≅ CAM per ipotesi;

AMD ≅ …… per quanto precedentemente osservato.

Th.: BD≅ EC

XAM ≅ …..

….. ≅ AME Hp.:

r s

. A

C

B D X

E M

Y

.

57

I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad essi adiacenti ordinatamente congruenti, sono

congruenti per il ….. criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi


AD ≅ ….. (“segnare AD e ..... con il simbolo ~ ”).

Si ha allora che:

BD ≅ EC per …………………… di segmenti congruenti.

C.V.D.


] r s

. .

A

C

B D X

E M

Y

~

~

58

ESERCIZI UNITÀ 1 – 2: La geometria del piano – I triangoli.

BASTA CON LE ESPRESSIONI

CHILOMETRICHE!!!

VOGLIO FARE GEOMETRIA!

E ALLORA ADOTTIAMO

IL “BOOK IN PROGRESS”!

59

Conoscenza e comprensione

1) Cosa si intende con l’espressione “concetti o enti primitivi”?

2) Quali sono i concetti primitivi della geometria euclidea?

3) Che cos’è un assioma o postulato?

4) Che cos’è un teorema? E un corollario?

5) Quali sono le parti di un teorema?

6) Cosa vuol dire “dimostrare” un teorema?

7) Qual è la differenza fra una dimostrazione diretta ed una indiretta?

8) Scrivi almeno tre postulati della geometria euclidea.

9) Che cos’è un fascio di rette proprio?

10) Cosa vuol dire “orientare” una retta?

11) Che cos’è una semiretta? Ed un segmento?

12) Quando due segmenti si dicono consecutivi? E quando adiacenti?

13) Riferendoti alla seguente figura:

quale delle seguenti proposizioni è vera?

a) BC e CD sono segmenti consecutivi, DE e EF sono segmenti adiacenti.

b) AB e BC sono segmenti consecutivi, CD e DE sono segmenti adiacenti.

c) AB e BC sono segmenti consecutivi, CD e EF sono segmenti adiacenti.

d) BC e CD sono segmenti adiacenti, AB e BC sono segmenti adiacenti.

e) AB e BC sono segmenti consecutivi, BC e CD sono segmenti adiacenti.

D . . A

B

C E

F .

.

. .

60

14) Che cos’è una spezzata?

15) Spiega la differenza fra una spezzata chiusa ed una spezzata aperta.

16) Quando una spezzata si dice intrecciata?

17) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

a) Due segmenti sono consecutivi se la loro intersezione è almeno un punto.

b) Due segmenti consecutivi sono sempre adiacenti.

c) Se l’intersezione di due segmenti è estremo sia di un segmento che dell’altro, allora i

due segmenti sono consecutivi.

d) L’intersezione di due segmenti è sempre un segmento nullo.

e) Se l’intersezione di due segmenti è l’estremo di un segmento, allora i due segmenti

sono consecutivi.

18) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:

a) due rette si dicono complanari se appartengono a piani diversi. V F

b) per un punto del piano passano due sole rette. V F

c) per un punto del piano passano almeno tre rette. V F

d) per un punto del piano passano infinite rette. V F

e) su una retta vi sono almeno 10 punti. V F

f) due segmenti adiacenti non sono consecutivi. V F

g) due segmenti consecutivi non sono mai adiacenti. V F

h) se due rette r ed s sono tali che r ∩ s = Ø, allora le due rette sono coincidenti. V F

i) un piano è individuato da tre punti distinti e allineati. V F

l) un piano è individuato da due rette incidenti. V F

m) un piano è individuato da una retta e da un punto su di essa. V F

n) un piano è individuato da una retta e da un punto non appartenente ad essa. V F

o) due rette possono avere almeno due punti in comune. V F

p) per tre punti distinti del piano può passare una sola retta. V F

61

19) Completa le seguenti affermazioni, aiutandoti con le opportune figure:

a) se P è un punto non appartenente ad una retta r, le rette passanti per P ed incidenti r

sono …………………… ;

b) un punto O di una retta r individua su r due ……………………… ;

c) per un punto A passano ……………..… rette, il cui insieme si dice ………….… di

….…..….... di …………….. A ;

d) due punti A e B di una retta r individuano su r due ..…………..…….….. e un

………...………….. ;

e) due segmenti AB e BC si dicono …………..……..…….. se hanno in comune solo

l’estremo ….. ;

f) due segmenti AB e BC si dicono adiacenti se ……………………………….…………

e ……………………………………………………………. ;

g) su una retta vi sono …………………… punti;

h) una retta di un piano lo divide in ……………………………… .

20) Stabilisci se sono vere o false le seguente affermazioni:

a) Una semiretta è la metà di una retta. V F

b) Due rette possono avere più di due punti in comune. V F

c) Due rette che hanno almeno due punti in comune sono parallele. V F

d) Per tre punti passano sempre almeno due rette. V F

e) Due rette sono sghembe se appartengono allo stesso piano. V F

f) Un segmento è un insieme infinito di punti. V F

g) Se l’intersezione di due segmenti è un segmento non nullo, allora V F

i due segmenti appartengono alla stessa retta.

h) L’unione di due semirette aventi la stessa origine è una retta. V F

i) Se l’intersezione di due semirette è un segmento nullo, allora le V F

semirette appartengono alla stessa retta.

l) L’intersezione di due rette complanari è sempre diversa dall’insieme vuoto. V F

62

21) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

a) Due segmenti appartenenti a semirette opposte sono adiacenti.

b) Due segmenti che hanno un punto in comune sono adiacenti.

d) Due segmenti sono adiacenti se la loro intersezione è un segmento non nullo.

e) Se due segmenti appartengono alla stessa retta e hanno un solo punto in comune, allora

sono adiacenti.

f) Due segmenti appartenenti alla stessa semiretta sono adiacenti.

22) Siano R, S, T tre punti di una retta orientata r ; se S precede R e T segue S, quale delle seguenti

affermazioni è sicuramente vera?

a) T precede R.

b) R segue T.

c) T segue R.

d) R coincide con T.

e) Nessuna delle precedenti proposizioni è vera.

23) Osserva la seguente figura:

e completa le scritture date, inserendo al posto dei puntini, il termine “precede” o “segue”.

A ………………... C C ………………... E

B ………………... E E ………………... A

D ………………... A A ………………... B

A ………………... D B ………………... D

24) Facendo riferimento alla figura dell’esercizio precedente, stabilisci se se seguenti affermazioni

sono vere o false:

a) B è interno al segmento BE V F

b) D è esterno al segmento AB V F

c) C è interno al segmento AD V F

d) A è esterno al segmento AB V F

E B . . . .

r A C D .

63

25) Con riferimento alla seguente figura, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) F segue D V F

b) A precede D V F

c) R precede F V F

d) A segue R V F

e) R segue D V F

f) A precede F V F

g) D segue F V F

26) Cosa vuol dire che una figura è convessa? E che è concava?

27) Che cos’è un angolo? Quando due angoli si dicono consecutivi? E quando si dicono adiacenti?

28) Data la seguente figura:

Completa le seguenti scritture, sostituendo al posto dei puntini i termini corretti:

▪ O ………………… degli angoli α e β;

▪ …………………………... a e b : ………… degli ………………………… ;

▪ α angolo …………………. ;

▪ β …………………………. .

a

b

O

β

α

r

A D F R . . . .

64

29) Osserva la seguente figura e completa:

30) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

a) Un angolo acuto è una figura convessa.

b) L’intersezione di due figure convesse è sempre una figura convessa.

c) L’intersezione di due figure concave è sempre una figura concava.

d) Una semiretta è una figura convessa.

e) Un angolo piatto è una figura convessa.

31) Dato un angolo, esiste sempre il suo complementare? E il suo supplementare? E il suo

esplementare? Motiva le risposte.

32) Completa:

a) Due angoli si dicono consecutivi se hanno il ……………….. e un ………… in comune.

b) Due angoli si dicono adiacenti se sono ………………… e i lati ……………………….

…… appartengono alla ………… retta.

c) Due angoli sono opposti al vertice se i ……….... di uno sono i ………………………..

dei ………. dell’altro.

d) Due angoli sono ………….…………... quando la loro somma è un angolo retto.

e) Due angoli sono supplementari quando la ……….. ….…………… è un angolo

………….. .

f) Due angoli sono …………….…………… quando la loro ………….. è un angolo giro.

a) L’angolo α si indica con …..… oppure con B......;

b) L’angolo β si indica con …….. oppure ……, ma

……… si indica con D;

c) DCB indica l’angolo …….;

d) BDA ….. indica l’angolo α;

e) BCD …. indica l’angolo β, ma indica l’angolo ……. .

D

A

B C

α

β

γ

65


a) due angoli adiacenti sono anche consecutivi. V F

b) due angoli consecutivi sono anche adiacenti. V F

c) un angolo i cui lati sono coincidenti e che contiene tutti punti del piano V F

è l’angolo nullo.

d) un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati. V F

e) la somma di due angoli acuti è un angolo ottuso. V F

f) la somma di due angoli acuti può essere un angolo ottuso. V F

g) il doppio di un angolo acuto può essere ancora un angolo acuto. V F

h) il complementare di un angolo acuto è un angolo ottuso. V F

i) il supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso. V F

l) due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi. V F

34) Osserva la figura:

Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

a) α ≅ δ

b) γ è complementare di α

c) β è supplementare di ϕ

d) δ > β

e) ϕ è complementare di γ

r

γ

α

ϕ

β

δ

66

35) Osserva la figura:

Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

a) β è complementare di δ

b) β > γ

c) α ≅ δ

d) ϕ è il supplementare di δ + γ

e) γ è il complementare di δ

36) Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Il supplementare di un angolo acuto è ancora un angolo acuto.

b) Due angoli opposti al vertice sono supplementari.

c) L’esplementare di un angolo retto è l’angolo piatto.

d) Il supplementare di un angolo ottuso è sempre un angolo ottuso.

e) Due angoli opposti al vertice sono congruenti.

37) Che cos’è un poligono?

38) Che cosa si intende per diagonale di un poligono?

39) Quando un poligono si dice regolare?

40) Classifica i triangoli rispetto ai lati.

ω r

γ

β

α

δ ϕ

67

41) Riferendoti alla seguente figura, completa le scritture seguenti distinguendo i vari elementi:

a) i punti A, B, C sono i ……………….. del triangolo;

b) i segmenti …… , …… , …… sono i tre lati del triangolo;

c) gli angoli convessi …… , ….… , ….… sono gli ……………………………….…

42) Quando due figure si dicono congruenti?

43) Perché la relazione di congruenza fra figure è una relazione d’equivalenza?


a) Per ogni lato di un triangolo vi è un solo angolo adiacente. V F

b) Ogni triangolo equilatero è isoscele. V F

c) Se un triangolo non è isoscele, allora è scaleno. V F

d) Ogni triangolo ha tre vertici. V F

e) Un triangolo isoscele non può essere ottusangolo. V F

f) Un triangolo acutangolo è sempre scaleno. V F

g) Ogni segmento che ha per estremi due punti interni di un triangolo è V F

sempre interno al triangolo. (Cosa significa?)

h) Un triangolo rettangolo può anche essere ottusangolo. V F

i) Un angolo di un triangolo e l’angolo esterno adiacente ad esso sono V F

supplementari.

l) Un triangolo isoscele può avere un solo angolo acuto. V F

m) Un triangolo rettangolo non può essere isoscele. V F

A B

C

68

45) Quali sono i criteri di congruenza dei triangoli? Scrivi il loro enunciato.

46) Se α, β e γ sono angoli di un triangolo e δ è l’angolo esterno adiacente a β, una sola delle

seguenti affermazioni è vera. Quale?

a) δ < β

b) γ ≅ δ

c) δ < α

d) δ > β

e) δ > γ

47) Le seguenti terne di numeri rappresentano le misure di tre segmenti; con quali di esse si può

formare un triangolo?

a) 15; 9; 6

b) 7; 7; 5

c) 25; 15; 8

d) 32; 20; 52

e) 7; 5; 13

f) 46; 23; 24

g) 38; 40; 70

48) Del triangolo FGK si sa che: FG < FK, KFG < KGF e KG > FG. Una sola delle seguenti

affermazioni è vera. Quale?

a) FG < FK < KG

b) KFG < FGK < FKG

c) FG < KG < FK

d) KFG < FKG < KGF

e) FK < FG < KG

69

Esercizi

La geometria del piano

1) Completa, utilizzando i simboli opportuni (∈, ∉, ⊂ , ⊄ , ∩ ,≅ , // , … ), le relazioni tra gli enti

geometrici rappresentati in ciascuna delle seguenti figure:

r …. s = {P}

A …. r

B …. r AB …… r = {B}

r ….. s ; r … … = Ø

AM ….. MB

A ….. α

r ….. β

s r

P .

r

s

r

B .

A .

A .

B .

M . * *

A .

α

r

β

70

2) Disegna, nel piano, le seguenti figure geometriche:

a) due semirette tali che la loro intersezione sia un segmento;

b) due rette r ed s incidenti in un punto P;

c) le rette che passano per due punti distinti A e B;

d) le rette che passano per un punto D;

e) una retta orientata s e su di essa tre punti O, P, Q, tali che Q precede O e Q segue P;

f) due semirette aventi la stessa origine A;

g) due segmenti consecutivi;

h) due segmenti adiacenti;

i) una spezzata non intrecciata chiusa di 6 lati;

j) una spezzata intrecciata aperta di 5 vertici;

k) quattro punti, a tre a tre non allineati, e tutte le possibili rette da essi individuate;

l) quattro punti di cui tre allineati e tutte le possibili rette da essi individuate.

3) Completa, osservando la seguente figura:

r ∩ … = { }A s ∩ t = ….

E … t … ∩ t = {B}

D …. t ED ∩ …. = {D}

ED ∩ r = …. BC ∩ …. = {C}

r ∩ BC = .... D ...... s

AC ∩ .... = {C} C ..... t

t B

E

D

A s

r .

. .

C

.

.

71

4) Confronta i segmenti della seguente figura e ridisegnali sul tuo quaderno in ordine crescente

(dal più piccolo al più grande) e, successivamente, in ordine decrescente (dal più grande al più

piccolo).

5) Confronta, utilizzando il compasso o per sovrapposizione con carta trasparente, i segmenti della

figura seguente. Sostituisci, poi, al posto dei puntini il simbolo corretto (≅ , < , >).

AB ….. CD AB ….. EF

GH ….. AB CD ….. EF

CD ….. GH EF ….. GH

EF + CD ….. ….. + CD GH − EF ….. CD

6) Riferendoti ai segmenti dell’esercizio precedente, costruisci le seguenti figure:

AB + CD AB – CD

AB + EF AB – EF

AB + GH AB – GH

CD + EF EF – CD

CD + GH EF – GH

EF + GH GH – CD

. . A B

.

. C

D . . E F

.

.

G

H

.

.

A

B . . G H

. . E F

.

. C

D

.

.

I

L

72

7) Riconosci quali delle seguenti figure sono convesse e quali concave:

8) Considera due segmenti AB e CD, con AB > CD. Costruisci, utilizzando squadra e compasso,

le seguenti figure:

a) il segmento somma;

b) il segmento differenza;

c) il segmento multiplo di AB secondo il numero 2;

d) il segmento multiplo di CD secondo il numero 3;

e) il segmento congruente al doppio di AB;

f) il segmento congruente ai 3

2 di AB;

g) il segmento congruente ai 2

3 di CD.

73

9) Dati due segmenti AB e CD, tali che 5AB ≅ 3CD, quale sottomultiplo comune puoi

individuare?

10) Osserva la figura e completa come nell’esempio:

GB ≅ 2

1PQ; HR ≅ ….DI;

…. ≅ PQ; DI ≅ …. PQ;

…. ≅ 6

5 PQ; SN ≅ …. HR;

BG ≅ …. DI; FM ≅ 6

7 ….;

SN ≅ ….GB; AE ≅ 7 ….;

…. ≅ 5

2 AE; …. ≅

7

3 ….

11) Data la figura seguente:

determina su r, riproducendo ogni volta la figura data:

−−−− il punto C tale che AC ≅ AB;

−−−− il punto D tale che AD ≅ 2AB;

−−−− il punto E tale che AE ≅ 2

1 AB;

−−−− il punto F tale che AF ≅ 25

AB;

−−−− il punto G tale che AG ≅ 3

2 AB.

. A

r

B .

74

12) Disegna un triangolo ABC avente i lati di 5 cm, 3 cm e 2,7 cm. Costruisci, poi, un segmento

avente lunghezza pari al perimetro del triangolo.

13) Una spezzata di quattro lati ha il primo lato congruente al doppio del secondo, il terzo lato

congruente al secondo e il quarto lato congruente al doppio del primo. Sapendo che la somma

dei lati della spezzata misura 208 cm, quanto misura ogni lato?

[52 cm; 26 cm; 26 cm; 104 cm]

Esercizio guidato

14) In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, i lati AB e AC superano ciascuno di 6 cm la base.

Sapendo che il perimetro del triangolo è 36 cm, calcola le misure dei lati.

COMPLETA :

[( ) per la misura della lunghezza dei segmenti utilizziamo il segno di uguaglianza].

È opportuno il seguente ausilio grafico:

base

lato

lato

Si ha quindi:

3 BC = 36 – (…. + ….) = …. – 12 = ….

BC = …. : 3 = .... cm

AB ≅ AC = …. + 6 = .… cm

B

A

C

* *

AB ≅ AC

AB ≅ AC ≅ BC + 6 cm

AB + BC + AC = 36 cm ( ) *

Hp.:

Th.: AB = ? ; BC = ? ; AC = ?

*

.

6 cm

6 cm

75

15) Una spezzata aperta di quattro lati è lunga 84 cm. Il primo lato misura 36 cm, il secondo è la

quarta parte del primo e il terzo è congruente alla differenza dei primi due. Calcola la misura

del quarto lato.

[12 cm]

16) In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, ciascuno dei lati supera di 12 cm la base. Sapendo

che il perimetro del triangolo è 72 cm, calcola la misura dei lati.

[16 cm; 28 cm; 28 cm]

17) In un triangolo ABC, retto in A, la somma delle lunghezza dei due cateti è 84 cm e uno è i 4

3

dell’altro. Sapendo che l’ipotenusa è i 4

5 del cateto maggiore, calcola il perimetro del triangolo.

[144 cm]

18) Un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, ha il perimetro di 55 cm. Sapendo che ciascuno dei

lati è i 5

3 della base, calcola la misura dei lati.

[25 cm; 15 cm; 15 cm]

19) Utilizzando squadra e compasso, determina il punto medio di ciascuno dei seguenti segmenti:

20) Utilizzando squadra e compasso, disegna le seguenti figure:

a) un angolo concavo e un angolo convesso.

b) due angoli consecutivi.

c) due angoli adiacenti.

d) due angoli opposti al vertice.

e) un angolo convesso AOB e la sua bisettrice OC.

f) due angoli complementari.

g) due angoli supplementari.

h) due angoli esplementari.

F

G

L M

S

T

.

. . .

.

.

76

21) Rappresenta le seguenti figure:

a. due angoli consecutivi complementari.

b. due angoli consecutivi supplementari (come si chiamano?).

c. due angoli consecutivi esplementari.

d. un angolo acuto AOB e il suo multiplo secondo il numero 3.

e. l’angolo acuto AOB del punto d) e il suo sottomultiplo secondo il numero 3.

f. un angolo triplo di un angolo retto.

22) Utilizzando squadra e compasso, costruisci un angolo congruente ad ognuno dei seguenti

angoli:

γ

α

ω

δ

β

77

23) Confronta, utilizzando squadra e compasso, o per sovrapposizione con carta trasparente, gli

angoli della figura seguente.

Sostituisci, quindi, al posto dei puntini il simbolo corretto (≅ , < , >).

α … β β … γ δ … ϕ

α … γ δ … β γ … ω

δ … α β … ω ω … ϕ

α … ω β … ϕ ω … δ

ϕ … α γ … ϕ γ … δ

24) Riferendoti agli angoli dell’esercizio precedente, costruisci i seguenti angoli:

α + β ; α + γ ; γ + ϕ ; δ + α

α – ω ; ϕ – β ; δ – γ ; δ – ϕ

γ

α

δ

ϕ

β ω

78

25) Utilizzando squadra e compasso, costruisci la bisettrice dei seguenti angoli:

Fissato l’angolo di ciascuno degli esercizi seguenti, disegna l’angolo indicato:

26)

27)

A O

B

R

Q P

F

D E

M

I L

H I .

G

α

disegna 2α

β

disegna 2

1 β

79

28)

29)

30)

31)

γ

disegna 3

1 γ

δ

disegna 3

2 δ

ω

disegna 4ω

ϕ

disegna 2

5 ϕ

80

32) Nella seguente figura, le semirette b1 e b2 sono le bisettrici, rispettivamente, dei due angoli

consecutivi AOB e BOC:

Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:

AOb1 ≅ BOb1 V F

BOb2 ≅ AOB V F

COb2 ≅ BOb1 V F

AOb2 ≅ AOb2 + BOb2 V F

b1Ob2 ≅ AOb1 + COb2 V F

BOC supplementare di AOB V F

33) Dato l’angolo della figura seguente:

completa le seguenti relazioni:

AOB ≅ … AOE

AOB ≅ … AOC

BOD ≅ … AOE

BOD ≅ … AOD

B

b2

C

A O

b1

C

O A

D

E

B

DOE≅ … BOE

AOD ≅ … COD

BOE ≅ … AOE

COD ≅ … AOC

81

34) Individua, tra gli angoli delle figure seguenti, l’angolo nullo, l’angolo acuto, l’angolo retto,

l’angolo ottuso, l’angolo piatto, l’angolo giro.

r

s

O O A

B .

O A B .

r O .

r O

s

r

s

O

82

35) Completa, se possibile, la seguente tabella:

angolo complementare supplementare esplementare

32° … … …

… … 110° …

… 18° … …

… … … 252°

… 47° … …

59° … … …

… … … 281°

… … 82° …

Ampiezza di un angolo

Ricorderai che, per quanto riguarda la misura degli angoli (ampiezza), è stata fissata come unità di

misura il grado, cioè la novantesima parte dell’angolo retto, con i suoi sottomultipli:

▪ il primo che è la sessantesima parte del grado

=⇒

= '00

' 60160

11 ;

▪ il secondo che è la sessantesima parte del primo, cioè la tremilaseicentesima parte del grado

La scrittura 27° 52' 13'' sta ad indicare che l’ampiezza di un angolo è di 27 gradi , 52 primi e 13

secondi (tale scrittura è in forma normale perché i “primi” e i “secondi” sono inferiori a 60).

La scrittura α = 537' sta ad indicare che l’ampiezza dell’angolo α non è espressa in forma normale,

perché i “primi” sono superiori a 60.

PROVA TU ad esprimere l’ampiezza dell’angolo α in forma normale (dovresti, in ogni caso,

riuscirci dopo aver studiato le pagine successive).

=⇒=⇒

=

= ''0'''0'

'' 360016013600

1

60

11 .

83

Operazioni tra angoli

Esempi

36) α = 32° 20' 50''

β = 12° 15' 7''

α + β = ?

Quindi:

α + β = 44° 35' 57'' (misura espressa in forma normale perché i primi e i secondi sono

inferiori a 60).

37) α = 45° 37' 28''

β = 13° 15' 46''

α + β = ?

Quindi:

α + β = 58° 52' 74'' = (poiché 74'' = 60'' + 14'' = 1' + 14'') = 58° 53' 14'' (misura espressa in

forma normale).

38) α = 52° 13' 28''

β = 12° 8' 13''

α – β = ?

Quindi:

α – β = 40° 5' 15''

32° 20' 50'' +

12° 15' 7'' =

44° 35' 57''

45° 37' 28'' +

13° 15' 46'' =

58° 52' 74''

52° 13' 28'' –

12° 8' 13'' =

40° 5' 15''

(misura non espressa in forma normale

perché i secondi sono superiori a 60).

84

39) α = 33° 16' 28''

β = 10° 18' 13''

α – β = ?

Quindi:

α – β = …° …' …''

40) α = 12° 7' 15''

3α = ?

Quindi:

3α = 36° 21' 45''

41) α = 18° 27' 36''

2α = ?

Quindi:

2α = …° …' 12''

42) α = 35° 20' 32''

4α = ?

Quindi:

4α = …° …' …''

12° 7' 15''

3 =

36° 21' 45''

*

COMPLETA

18° 27' 36''

2 =

36° 54' 72''

*

…° …' 12''

35° 20' 32''

4 =

140° 80' 128''

*

COMPLETA 140° 82' 8'' …° …' …''

33° 16' 28'' – 32° 76' 28'' –

10° 18' 13'' = 10° 18' 13'' =

…° …' …''

COMPLETA

85

43) α = 72° 20' 18''

2

1α = ?

Quindi:

2

1α = 36° 10' 9''

44) α = 73° 20' 18''

2

1α = ?

Quindi:

2

1α = 36° 40' 9''

45) α = 73° 21' 18''

2

1α = ?

Quindi:

2

1α = 36° 40' 39''

46) α = 74° 22' 18''

3

1α = ?

Quindi:

3

1α = 24° 47' 26''

72° 20' 18'' 2

36° 10' 9''

73° 20' 18'' 2

1° = 36° 40' 9''

60' 80'

60' 81' 1' =

73° 21' 18'' 2

1° = 36° 40' 39''

60'' 78''

74° 22' 18'' 3

2° = 24° 47' 26''

120' 142' 1' = 60''

78''

86

Esercizio svolto

Due angoli α e β hanno ampiezza rispettivamente di 25° 39' 12'' e 28° 22' 30''. Determina

l’ampiezza dell’angolo γ supplementare della loro somma.

Si ha che:

α = 25° 39' 12''

β = 28° 22' 30''

α + β = 25° 39' 12'' + 28° 22' 30''

Quindi:

α + β = 54° 1' 42''

Pertanto:

γ = 180° – (α + β) = 180° – 54° 1' 42''

Si ha:

47) Due angoli α e β hanno ampiezza rispettivamente di 25° 22' 18'' e 36° 34' 40''. Determina

l’ampiezza dell’angolo γ complementare della loro somma.

[28° 3' 2'']

48) Due angoli α e β hanno ampiezza rispettivamente 53° 45' 35'' e 37° 29' 56''. Determina

l’ampiezza dell’angolo γ supplementare della loro somma e dell’angolo ϕ complementare della

loro differenza.

[88° 44' 29'' ; 73° 44' 21'']

49) L’angolo α ha ampiezza 48° 35' 23'' e l’angolo β è il triplo di α. Qual è l’ampiezza di β? Qual è

l’ampiezza dell’angolo δ esplementare dell’angolo somma fra α e β?

[145° 46' 9'' ; 165° 38' 28'' ]

25° 39' 12'' +

28° 22' 30'' =

53° 61' 42'' 54° 1' 42'' (ricorda che 60' = 1°)

180° – 179° 60' – 179° 59' 60'' –

54° 1' 42'' = 54° 1' 42'' = 54° 1' 42'' =

125° 58' 18''

In definitiva:

γ = 125° 58' 18''

⇒ ⇒

87

50) L’angolo ϕ, che ha ampiezza 245° 37' 56'', è la somma di due angoli α e β tali che α è il triplo

di β. Qual è l’ampiezza di ciascuno degli angoli α e β? Qual è l’ampiezza dell’angolo δ

supplementare dell’angolo differenza fra α e β?

[184° 13' 27'' ; 61° 24' 29'' ; 57° 11' 2'']

51) Due angoli sono, rispettivamente, la metà e la terza parte di un angolo retto. Quanto misura il

complementare della loro somma, e quanto il complementare della loro differenza? E il

supplementare della loro somma?

[15°; 75°; 105°]

52) Due angoli α e β sono complementari. Sapendo che α supera β di 32°, quali sono le ampiezze

dei due angoli?

[61° ; 29°]

53) Un angolo γ è quadruplo del suo complementare. Qual è la sua ampiezza?

[72°]

54) Un angolo è il triplo del suo supplementare. Qual è la sua ampiezza?

[135°]

55) Due angoli α e β sono, rispettivamente, 6

1 e i

3

2 di un angolo retto. Allora:

.

a) α + β è maggiore di un angolo piatto. V F b) Il complementare di α + β è congruente ad α. V F

c) Il complementare di β − α è la metà dell’angolo retto. V F

d) Il supplementare di α + β è maggiore di α + β. V F

e) Il complementare di β − α è la quarta parte dell’angolo piatto. V F

f) La somma dei complementari di α e β è un angolo ottuso. V F

g) Il complementare della somma di α e β è congruente alla V F

somma dei complementari di α e β.

h) La differenza fra il supplementare di α e il supplementare V F

di β è congruente al complementare della differenza tra β e α.

88

i) L’esplementare della somma fra il supplementare di α e il V F

supplementare di β è un angolo ottuso.

l) La differenza fra il complementare di α e il complementare di β V F

è congruente al complementare di β − α.

m) L’esplementare della somma fra il complementare di α e il V F

complementare di β è maggiore di un angolo piatto.

Disegna le figure corrispondenti alle seguenti descrizioni:

56) Due segmenti AB e CD si intersecano nel loro punto medio S; unisci A con C e B con D.

57) Due segmenti AB e CD si intersecano in un punto M; unisci il punto B con il punto medio N di

MD e prolunga BN di un segmento NF congruente a BN. Traccia il segmento FD e, poi, il

segmento AG, passante per il punto medio T di CM, tale che AT sia congruente a TG. Unisci C

con G.

58) Disegna due angoli acuti ABC e CDE tali che il vertice D appartenga al semipiano di origine la

retta AB non contenente C e il punto E appartenga al semipiano di origine BC non contenente

A. Unisci A con E.

59) Gli angoli ABC e DBE sono opposti al vertice; la semiretta s di origine B è interna a ABD,

mentre la semiretta t di origine B è interna a CBE; traccia il segmento FG con F appartenente a

s e G appartenente a t.

60) Due segmenti AB e AC sono consecutivi e formano un angolo acuto, inoltre AB è i 2

3di AC. Il

segmento BE, che è i 3

2 di AB, è adiacente ad esso. Congiungi il punto C con il punto B e con

il punto E.

61) FKH è un angolo piatto, FK ≅ KH, MKH < 90°, T appartiene al semipiano di origine FH

contenente M. TKF > 90° e TK esterno a MKH.

62) Due semirette s e m, aventi la stessa origine B, formano un angolo retto. D appartiene alla

semiretta s e F alla semiretta m, inoltre BF è il triplo di BD; traccia il segmento DF.

89

63) Dal vertice A di un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ed esternamente ad esso, conduci

due semirette che formino con i lati del triangolo due angoli congruenti.

Le due semirette incontrano il prolungamento della base BC, dalla parte di B, nel punto E e

dalla parte di C nel punto F.

64) ……. al telefono

Marta: “Lucia, mi puoi dire quali sono i compiti di matematica per domani?”

Lucia: “Il prof ha disegnato una figura alla lavagna e ha detto di completare alcune relazioni”.

Marta: “Mandamela per e-mail”.

Lucia: “Non posso, ho problemi con internet; è da ieri sera che non riesco a connettermi”.

Marta: “Spiegala per telefono; io provo a disegnarla”.

Lucia: “Va bene; ci provo! Il prof ha disegnato due segmenti consecutivi AB e BC in modo che

BC sia il doppio di AB e che formino tra loro un angolo retto; poi dal punto medio H di BC

ha disegnato un segmento HE congruente ad AB e che forma con BC un angolo retto; infine ha

disegnato un segmento che unisce C con il punto medio S di HE e un segmento che unisce A

con E”.

Marta: “Grazie! E le relazioni da completare?”

Lucia: “Ah, dimenticavo. Devi inserire i simboli di congruenza, maggiore o minore, appartiene,

non appartiene”.

Scrivi:

AB …. BH; ES…. AB; H …. CB; HCS …. 90°; AE ∩ CB = {…..}; SHC…. 90°;

HEA …. 90°; HC …. HE; AE …. BH.

Quale figura avrà disegnato Marta? Come avrà completato le relazioni? Prova a farlo tu!

65) …… il giorno dopo

Lucia: “Marta, mi fai vedere la tua figura? Controlliamo le relazioni?”

Marta: “Subito! Guarda.

Lucia: “Ma sono diverse! Eppure pensavo di essere stata molto precisa. E poi, nella mia figura

AE e CB non si incontrano, invece nella tua figura sì. Anche per l’angolo HEA abbiamo scritto

due cose diverse: per me è retto, invece per te è un angolo acuto.”

Cosa avrebbe dovuto dire Lucia affinché Marta, disegnando la figura, completasse le relazioni

nello stesso modo?

90

Osserva le seguenti figure e descrivile in modo che possano essere riprodotte dai tuoi compagni di

classe:

66)

COMPLETA :

• È dato un ……………………. AB;

• su AB prendi due ………………. M ed N tali che AM ≅ ….. ≅ …… ;

• traccia la bisettrice dell’angolo AMN e prendi su di essa un punto …. tale che …… ≅

…...≅ ….. ≅ …..;

• unisci …… con A, ….. e ….. .

67)

r

* *

//

A

Q

M B //

P

. α

2α

* * A

C

N * .

M B

*

. . .

.

91

68)

69)

O * *

A

C

* . B

*

r

o

r

b2

b1

s

D

B

O

.

.

A

C * *

o

92

Problemi

Problemi sui segmenti

Esercizio svolto

Dati due segmenti adiacenti e congruenti AB e BC, siano M e N i rispettivi punti medi.

Dimostra che:

a) MN ≅ AB

b) AC ≅ 2MN

Dimostrazione

Osserviamo che:

AM ≅ MB ≅ BN ≅ NC perché metà di segmenti congruenti (in figura abbiamo segnato i

quattro segmenti con lo stesso simbolo ).

Pertanto:

MN ≅ MB + BN ≅ (poiché BN ≅ AM) MB + AM ≅ AB

AC ≅ AM + MN + NC ≅ (poichè AM ≅ MB e NC ≅ BN) MB + MN + BN ≅

(MB + BN) + MN ≅ MN + MN ≅ 2MN.

C.V.D. 70) Dati due segmenti adiacenti AB e BC, siano M e N i rispettivi punti medi.

Dimostra che:

MN ≅

71) Dati su una retta orientata r tre punti A, B, C, tali che A precede B e B precede C, siano M e N i

punti medi, rispettivamente, di AB e AC.

Dimostra che:

NB ≅ (se AB > BC)

AB + BC 2

ABC ≅ π

AB ≅ BC

AM ≅ MB

BN ≅ NC

Hp.:

Th.: MN ≅ AB

AC ≅ 2MN

M B N C A

AB – BC 2

93

72) Considera i seguenti AB, BC, CD, adiacenti e congruenti tra loro. Detto M il punto medio di

BC, dimostra che:

AM ≅ MD.

73) Dati due segmenti AB e CD, con AB < CD, considera la loro somma s e la loro differenza d.

Dimostra che:

a) CD ≅

b) AB ≅

74) Ad un segmento BC sono adiacenti, uno da una parte e uno dall’altra, due segmenti congruenti

AB e CD.

Dimostra che il punto medio di BC è anche punto medio di AD.

75) Dati su una retta due segmenti AB e BC tali che BC sia il quadruplo di AB, siano M e N

rispettivamente i punti medi di AB e BC.

Dimostra che:

MN ≅8

5 BC.

Problemi sugli angoli

76) Nella seguente figura:

si ha che: AOD ≅ BOC.

Dimostra che: AOC ≅ BOD.

77) Dati due angoli consecutivi AOB e BOC, sia OM la bisettrice dell’angolo AOB e ON la

bisettrice dell’angolo BOC. Dimostra che:

MON ≅ 2

1 (AOB + BOC).

s + d 2

s – d 2

. . A B

C D

O

94

78) Nella seguente figura:

OM è bisettrice dell’angolo BOC e AOB ≅ DOC.

Dimostra che OM è bisettrice dell’angolo AOD.

79) Dimostra che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo retto.

80) Dimostra che se le bisettrici di due angoli consecutivi formano un angolo retto, tali angoli sono

adiacenti.

81) Dato un angolo AOB, sia OC la sua bisettrice e OD una semiretta interna all’angolo AOC.

Dimostra che:

DOC ≅

82) Dato un angolo AOB, sia OC la sua bisettrice e OD una semiretta esterna all’angolo.

Dimostra che:

COD ≅

83) Dati due angoli consecutivi AOB e BOC (con AOB > BOC), siano OD e OE le rispettive

bisettrici.

Dimostra che:

AOD – COE ≅

84) Dati due angoli consecutivi AOB e BOC, tali che AOB ≅ 3

4 BOC, siano OD e OE le rispettive

bisettrici. Dimostra che:

DOE ≅6

7 BOC.

AOB – BOC 2

O

A D

C B

M

DOB – AOD 2

AOD + BOD 2

95

I triangoli

Utilizzando squadra e compasso, disegna le seguenti figure:

85) un triangolo ABC, isoscele sulla base AB.

86) un triangolo ABC, retto in C.

87) un triangolo acutangolo ABC.

88) un triangolo ABC, ottusangolo in B.

89) un triangolo equilatero ABC. Verifica, con un goniometro, che i tre angoli sono congruenti.

90) un triangolo scaleno acutangolo.

91) un triangolo scaleno ottusangolo.

92) Nel piano π, indica con:

•••• P l’insieme dei poligoni;

•••• T l’insieme dei triangoli;

•••• I l’insieme dei triangoli isosceli;

•••• E l’insieme dei triangoli equilateri.

Rappresenta graficamente la relazione tra gli insiemi P , T , I , E .

Costruisci un triangolo isoscele che abbia come base il segmento indicato.

93)

94)

.

. C

D

. . A B

96

95)

Costruisci un triangolo equilatero che abbia come base il segmento indicato.

96)

97)

98)

F

.

.

E

.

. A

B

D

.

.

C

.

.

E

F

97

Enuncia il problema espresso dalla figura, dall’ ipotesi e dalla tesi indicata.

99)

100)

(PROVA TU, poi, a dimostrarlo dopo aver studiato “le disuguaglianze nei triangoli”).

101)

*

AB ≅ AC

AM ≅ MB

AN ≅ NC

BO ≅ OC

Hp.:

Th.: MO ≅ NO * *

o o

~ ~

A

M N

B C O

o o

~ ~

C

A B

D E

AC ≅ BC

AD ≅ BE Hp.:

Th.: CDE isoscele

A, B, C allineati

AB ≅ 2BC

ABD ≅ CBD Hp.:

Th.: AC > CD *

C A

D

B * . .

98

Problemi sulla congruenza

102) Dato il triangolo ABC, sia CM la mediana relativa al lato AB. Prolunga CM di un segmento

MD tale che MD ≅ CM.

Dimostra che:

ACB ≅ ADB.

103) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo A e su di essa prendi due punti D ed

E, tali che AD ≅ AB e AE ≅ AC.

Dimostra che:

BE ≅ CD.

104) Disegna due segmenti AB e BC, congruenti e consecutivi. Dopo aver indicato con M il punto

medio di AB e con N il punto medio di BC, unisci C con M e A con N.

Dimostra che i triangoli ABN e CBM sono congruenti.

105) Disegna un triangolo ABC; prolunga il lato BC, oltre C, di un segmento CD ≅ BC e il lato

AC, sempre oltre C, di un segmento CE ≅ AC; congiungi E con D.

Dimostra che gli angoli BAC e CED sono congruenti.

106) Siano r e s due rette incidenti e sia O il loro punto intersezione. Prendi due punti Q e P sulla

retta r tali che OQ ≅ OP e due punti F e G sulla retta s tali che OF ≅ OG.

Indica con M il punto medio di FP e prolunga il segmento OM, dalla parte di O, fino ad

incontrare il segmento QG nel punto N. Perché è possibile affermare che N è punto medio di

QG ?

107) Disegna un angolo di vertice P e la sua bisettrice. Considera sui lati dell’angolo due punti A e

B tali che PA ≅ PB e prendi un punto qualsiasi Q sulla bisettrice.

Dimostra che i triangoli PAQ e PBQ sono congruenti.

Considera, poi, sulla bisettrice un punto C, esterno al segmento PQ.

Dimostra che i triangoli AQC e BQC sono congruenti.

108) Dato il triangolo ABC, prolunga il lato AB di un segmento BD ≅ AB e il lato BC di un

segmento BE ≅ BC. Detti M ed N, rispettivamente, i punti medi di AC e DE, dimostra che i

punti M, B e N sono allineati.

(suggerimento: tre punti sono allineati se formano un angolo piatto)

99

109) Dagli estremi di un segmento AB, conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette a e

b che formino con AB angoli congruenti.

Dal punto medio M di AB conduci, poi, una qualsiasi retta r che incontri le semirette a e b in

C e D rispettivamente.

Dimostra che i triangoli ACM e BDM sono congruenti.

110) Dei seguenti triangoli:

si sa che:

Dimostra che i triangoli ABC e EDF sono congruenti.

(suggerimento: applica prima il 1° criterio di congruenza ai triangoli ………)

111) I triangoli ABC e A'B'C' delle seguenti figure sono congruenti:

Si sa inoltre che:

BM ≅ MC ; B'M' ≅ M'C'

BAD ≅ DAC ; B'A'D' ≅ D'A'C'

Dimostra che i triangoli ADM e A'D'M' sono congruenti.

B C

A

G

. .

AB ≅ DE

AG ≅ DH

BAG = GAC ∧ EDH ≅ HDF

BAC ≅ EDF

B C

A

D M B' C'

A'

D' M'

o

E F

D

H

o

100

112) Disegna un triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Prolunga il lato AB di un segmento BD e

il lato AC di un segmento CE ≅ BD. Congiungi C con D e B con E.

Dimostra che:

BE ≅ CD.

113) Disegna un triangolo equilatero ABC; considera un punto P sul lato AB, un punto Q su BC e

un punto R su CA in modo che AP ≅ BQ ≅ CR.

Dimostra che il triangolo PQR è equilatero.

114) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AC; indica con F il punto intersezione delle bisettrici

AT e CS degli angoli congruenti. Dimostra che i segmenti FS e FT sono congruenti e che il

triangolo BST è isoscele.

115) Prolunga i lati AB e AC di un triangolo isoscele ABC, di due segmenti congruenti BM e CN.

Dimostra che:

a) BN ≅ CM;

b) BO ≅ CO, essendo BN ∩ CM = {O} ;

c) BAO ≅ CAO.

116) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, siano BN e CM le mediane relative ai lati

congruenti. Prolunga BN di un segmento ND e CM di un segmento ME tale che ND ≅ ME.

Dimostra che:

a) BE ≅ CD;

b) AD ≅ AE.

(suggerimento: dimostra prima la congruenza dei triangoli BMC e BNC)

117) Dato il triangolo isoscele ABC, prolunga la base BC di due segmenti congruenti BD e CE.

Considera internamente alla base BC due punti P e Q tali che BP ≅ QC.

Dimostra che i triangoli APD e AQE sono congruenti.

118) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, dimostra che:

a) le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti;

b) le bisettrici relative ai lati congruenti sono congruenti.

101

119) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga i lati CA e CB secondo le semirette

AX e BY. Traccia le bisettrici degli angoli XAB e YBA e sia P il loro punto d’intersezione.

Dimostra che:

AP ≅ BP;

Detti {Q} = AC ∩ BP e {R} = BC ∩ AP, dimostra che il triangolo PQR è isoscele.

120) Sui lati OX e OY di un angolo XOY, considera, rispettivamente, due punti A e B tale che

OA ≅ OB. Dai punti A e B traccia due semirette che formino angoli congruenti con i segmenti

considerati e indica con P il loro punto d’intersezione. Dimostra che:

a) AP ≅ PB;

b) OP è bisettrice dell’angolo AOB.

(suggerimento: unisci A con B¸ il triangolo AOB è ……..…. sulla base …… , quindi …… )

121) Sia XOY e YOZ due angoli acuti consecutivi congruenti. Sui lati OX, OY, OZ prendi

rispettivamente i punti A, B e C tale che OA ≅ OB ≅ OC.

Sulle bisettrici degli angoli XOY e YOZ considera, rispettivamente, i punti R e S tali che sia

OR ≅ OS.

Dimostra che i triangoli ARB e BSC sono isosceli e tra loro congruenti.

122) Dimostra che, se la bisettrice dell’angolo in A di un triangolo ABC forma con il lato opposto

BC angoli congruenti, il triangolo ABC è un triangolo isoscele.

123) Dal vertice A di un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, conduci, esternamente al triangolo,

due semirette che formano angoli congruenti con i lati del triangolo. Detti D ed E i punti in cui

tali semirette incontrano il prolungamento della base BC, dimostra che il triangolo ADE è

isoscele.

124) Le bisettrici degli angoli congruenti di un triangolo isoscele ABC di vertice A incontrano i lati

AB e AC, rispettivamente, nei punti D ed E.

Dimostra che BD ≅ CE.

125) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prendi su AB un punto D e su AC un punto E

tale che AD ≅ AE. Congiungi il punto medio M di BC con i punti D ed E.

Dimostra che:

a) AMD ≅ AME;

b) il triangolo DME è isoscele.

102

126) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, dimostra che unendo i punti medi dei tre lati si

ottiene un triangolo isoscele.

127) Dimostra che sono congruenti due triangoli isosceli aventi ordinatamente congruenti due lati e

gli angoli al vertice.

128) Dimostra che sono congruenti due triangoli isosceli aventi ordinatamente congruenti le basi e

una coppia di angoli adiacenti.

129) Dato il triangolo ABC, costruisci sui suoi lati, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri

ABD, BCE e ACF. Dimostra che:

AE ≅ BF ≅ CD.

130) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera sui lati AC e BC, rispettivamente, i

punti D ed E tali che CD ≅ CE. Dimostra che:

a) i triangoli ABD e ABE sono congruenti;

b) se AE ∩ BD = {F} , i triangoli ABF e DEF sono isosceli.

131) Siano PQ e PR i lati congruenti del triangolo isoscele PQR. Prendi un punto S su PQ ed un

punto T su PR tali che QS sia congruente a RT; è corretto affermare che RS è congruente a

QT? Giustifica la tua risposta.

Indicato con E il punto intersezione di RS e QT, dimostra che i triangoli QER e SET sono

isosceli.

132) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo in A ed indica con D il suo punto

d’incontro con il lato BC. Dal punto D traccia la semiretta che incontra AB in E tale che

ADE ≅ ADC. Dimostra che i segmenti CD e DE sono congruenti.

133) Dimostra che sono congruenti due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i

due angoli esterni aventi come vertici gli estremi dei lati congruenti.

134) Siano ABC e ABD due triangoli isosceli sulla base AB, con i vertici C e D situati in semipiani

opposti di origine AB. Dimostra che i triangoli ACD e BCD sono congruenti.

135) Dimostra che sono congruenti due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e la

mediana relativa ad uno di essi.

103

Problemi

Problemi sulla disuguaglianza nei triangoli

136) Puoi costruire un triangolo i cui lati misurano 12 cm, 8 cm e 24 cm?

In caso di risposta negativa, modifica la lunghezza di uno dei lati al fine di rendere possibile la

costruzione.

137) Nel triangolo ABC, con AB > BC, prolunga il lato BC, dalla parte di B, di un segmento

BD ≅ BC.

Dimostra che:

DAC < ACD + ADC

138) Dato l’angolo acuto rOs, conduci la sua bisettrice b. Prendi sul lato r un punto A e sul lato s

un punto B tale che OA≅ OB; indica con D il punto di incontro di b con il segmento AB.

Dimostra che:

a) ADO > AOD;

b) OA > AD e OB > DB.

139) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, considera un punto P sul lato AC.

Dimostra che BP > PC.

140) Sia PQR un triangolo con RPQ acuto. Prolunga il lato PQ, dalla parte di P, e sul

prolungamento prendi un punto S.

Dimostra che RS > RP.

141) Dato un triangolo ABC, prendi tre punti qualsiasi D, E ed F, rispettivamente, su AB, BC e

CA.

Dimostra che:

DE + EF + FD < AB + BC + CA

104

142) Un angolo AOB viene trisecato dalle semirette OP, OQ; anche l’angolo BOC (supplementare

di AOB) viene trisecato dalle semirette OR e OS. Quanto vale l’angolo QOR?

(a) 45°; (b) 60°; (c) 90°; (d) Dipende dall’angolo AOB; (e) La costruzione non si può fare.

[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede, 2002]

[B]

143) Vi sono cinque sagome di cartoncino identiche, che sono bianche da un lato e nere dall’altro.

Poste su un tavolo esse si trovano nelle posizioni in figura; quattro mostrano la faccia nera e

una quella bianca. Qual è la sagoma bianca?

[Olimpiadi Matematica, Gara provinciale 1997]

[D]

CORRO ALLE

OLIMPIADI!

P

Q

A C

B

O

R

S

105

144) La città del mistero dista 500 km da Topolinia e 1200 km da Paperopoli. Qual è il minimo

valore possibile per la distanza tra Topolinia e Paperopoli?

(A) 500 km; (B) 700 km; (C) 1200 km; (D)

1300 km; (E) 1700 km .

[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede, 1998]

[B]

145) Se ordiniamo le cifre seguenti secondo la somma delle lunghezze dei segmenti di cui sono

composte, quale cifra occupa la posizione centrale?

(A) Il 3; (B) Il 2; (C) Il 4; (D) Ce n’è più di una; (E) Nessuna

delle precedenti .

[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1998]

[A]

146) Quanti triangoli equilateri sono presenti nella figura a fianco?

(A) 16; (B) 20; (C) 25; (D) 26; (E) 27 .


[E]

106

UNITÀ 3

PERPENDICOLARITA’ E PARALLELISMO

3.1 Rette perpendicolari

Nell’unità 1 abbiamo visto che due rette r ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune

uno ed un solo punto P.

In particolare, due rette incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro angoli

congruenti, cioè retti (fig. 1):

Per indicare che la retta r è perpendicolare alla retta s si scrive r ⊥ s (si legge “ r perpendicolare

ad s ”).

In realtà, per stabilire che r ⊥ s è sufficiente sapere che uno dei quattro angoli è retto. PERCHE’?

• Due rette incidenti che non sono perpendicolari si dicono oblique.

TEOREMA DELL’ESISTENZA E DELL’UNICITÀ DELLA PERPENDICOLARE

Per un punto P del piano passa una ed una sola retta perpendicolare ad una data retta r.

Dimostrazione

1° caso: P∈r (fig. 2)

r perpendicolare ad s (fig. 1)

Hp.: P punto del piano

r retta qualsiasi

Th.: � esiste una retta s⊥ r , passante per P

� la retta s è unica

r

s

. P

(fig. 2) P r .

107

È sufficiente prendere su r due punti A e B disposti da parti opposte rispetto a P:

e osservare che l’angolo piatto APB ha un’unica bisettrice (pagg. 20 e 21, unità 1). Pertanto la retta

s su cui giace tale bisettrice è la retta cercata:

2° caso: P∉r (fig. 3)

Consideriamo, in tal caso, un punto Q∈r :

• se la congiungente PQ forma con la retta r due angoli congruenti (e quindi retti) [ne basta

uno, ricordi?], la retta s su cui giace PQ è la perpendicolare cercata:

• se la congiungente PQ forma con la retta r due angoli non congruenti:

r

. P

(fig. 3)

. .

s

r P A B .

A B P r . . .

s

Q

P

r .

.

r Q

. P

.

108

si considera nel semipiano di origine r, non contenente P, la semiretta s di origine Q tale che:

sQr ≅ PQr (“segnare sQr con il simbolo ”):

Prendiamo, poi, su s un punto R tale che QR≅ QP (“segnare QR e QP con il simbolo / ”) e

congiungiamo P con R, indicando con H il punto d’incontro di PR con la retta r :

Consideriamo i triangoli QPH e QRH; essi hanno:

QH in comune (o QH≅ QH per la proprietà riflessiva della congruenza);

QP≅ QR per costruzione;

PQH≅ RQH per costruzione.




QHP≅ QHR che, essendo adiacenti, risultano entrambi retti (“segnare QHP e QHR con il simbolo ”) e quindi:

la retta che contiene PR è perpendicolare ad r.

E’ così dimostrata l’esistenza di una retta s⊥ r, passante per P.

s

r Q

. P

.

R s

r Q

. P

. H

.

/

/

.

109

[Al termine della 1^ parte del teorema la figura si presenta come segue:

Rimane da dimostrare l’unicità di tale perpendicolare.

Sappiamo che PH⊥ r e consideriamo una qualsiasi retta per P che incontra r in un punto A diverso

da H (fig. 4):

Dimostriamo che PA non è perpendicolare ad r. A tale scopo consideriamo l’angolo PAB, esterno

al triangolo PAH (fig. 5):

e osserviamo che PAB > AHP (per il teorema dell’angolo esterno) per cui, essendo AHP retto,

PAB è ottuso e quindi la retta PA non è perpendicolare ad r.

[L’unicità della perpendicolarità poteva essere dimostrata osservando che, se anche PA fosse

perpendicolare ad r, il triangolo PAH avrebbe due angoli retti, il che è assurdo (pag. 41, unità 1)].

C.V.D.

]

P

R s

r Q .

H .

/

/

.

.

(fig. 4) H r .

P

A .

.

H r .

P

A .

B .

.

(fig. 5)

110

In conclusione dati una retta r ed un punto P, esiste ed è unica la perpendicolare per P ad r :

3.2 Le proiezioni ortogonali

Data una retta r, si chiama piede della perpendicolare, o proiezione ortogonale, di P su r, il punto

in cui la perpendicolare per P ad r interseca la retta data.

- In fig. 6.1, il piede della perpendicolare condotta da P ad r è il punto P stesso;

- in fig. 6.2, il piede della perpendicolare condotta da P ad r è il punto H.

Il segmento di perpendicolare PH (fig. 6.2) rappresenta la distanza del punto P dalla retta r (nel

caso della fig. 6.1 tale distanza è nulla).

PROVA TU

Riferendoti alla seguente figura:

dimostra che il segmento PH è minore di ogni segmento obliquo condotto da P alla retta r.

OSSERVAZIONE:

Quanto sopra ti permette di dedurre che il segmento di perpendicolare PH è il segmento di minima

lunghezza che congiunge P con r.

r

P∈r (fig. 6.1)

P .

(fig. 6.1)

r H .

P .

(fig. 6.2)

.

H r

P P∉r (fig. 6.2)

.

111

CURIOSITA’

PROVA TU

Indica la distanza punto – retta nelle seguenti figure:

“Punto dritto” verso il piede della perpendicolare condotta “da me” all’argine del fiume.

FIUME RUME’

Ho sete!

Ho tanta sete! “Aggiusta” la perpendicolare!

r

P

s

.

O .

t Q .

112

• Dati un segmento PQ ed una retta r, siano P' e Q' le proiezioni ortogonali rispettivamente di

P e Q su r.

Il segmento P'Q' si dice proiezione ortogonale di PQ su r.

Si hanno i casi illustrati nelle seguenti figure:

COMPLETA :

Relativamente alla fig. 7e, il segmento PQ appartiene ad una retta ……..............................… ad r.

In tal caso la proiezione ortogonale di PQ su r si riduce ad …...…………..… (segmento ……....…).

PROVA TU

TEOREMA

Due segmenti obliqui, condotti da un punto ad una retta e aventi su questa proiezioni

congruenti, sono congruenti.

(fig. 7e) r .

P'≡Q'

Q

P .

.

P' r

(fig. 7a)

. Q' .

P

Q

.

.

r P≡P' .

Q' .

(fig. 7b)

Q .

.

(fig. 7c)

P' Q' .

P Q

r

. .

. P'

(fig. 7d)

P

Q' r .

Q .

.

113

La relazione di perpendicolarità ci permette di dare nuove definizioni:

• Si chiama asse di un segmento AB la perpendicolare ad AB passante per il suo punto medio

M (fig. 8):

Parleremo compiutamente dell’asse di un segmento al termine della presente unità.

3.3 Mediane, altezze e bisettrici di un triangolo

• Dato un triangolo ABC si dice:

- mediana relativa al lato AB il segmento CM che unisce il vertice C con il punto

medio M del lato opposto AB (fig. 9):

- altezza relativa al lato AB il segmento di perpendicolare CH condotto dal vertice C

alla retta AB (fig. 10):

B

C

A M * * . (fig. 9)

.

(fig. 8)

asse di AB

A B * * M . .

(fig. 10)

C

B A H .

CM: mediana relativa al lato AB

CH: altezza relativa al lato AB

114

- bisettrice relativa al vertice C, o all’angolo interno di vertice C, il segmento della

bisettrice dell’angolo C compreso fra il vertice C e il punto D di intersezione con il

lato opposto AB (fig. 11):

OSSERVAZIONE:

In ogni triangolo vi sono quindi:

• tre mediane (ciascuna relativa ad un lato);

• tre altezze (ciascuna relativa ad un lato);

• tre bisettrici (ciascuna relativa ad un angolo interno).

PROVA TU

Traccia le mediane relative a ciascun lato di un triangolo ABC, nei tre diversi casi di un

triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.

Traccia le altezze relative a ciascun lato di un triangolo PQR, nei tre diversi casi di un


Traccia le bisettrici degli angoli interni di un triangolo STU, nei tre diversi casi di un


COMPLETA le seguenti affermazioni mettendo al posto dei puntini la parola “sono” o “non sono”:

• Le mediane …………….. sempre interne al triangolo;

• Le altezze ……………. sempre interne al triangolo;

• Le bisettrici ……………. sempre interne al triangolo.

A questo punto dimostriamo un’altra proprietà del triangolo isoscele, premettendo la seguente

OSSERVAZIONE:

Quando in un teorema (o in un problema) viene “dato” un triangolo isoscele, nell’ipotesi

indicheremo la congruenza dei due lati (obliqui), in figura segneremo tali lati con uno stesso

simbolo e analogamente faremo per gli angoli alla base (pagg. 33 e 34, unità 1).

(fig. 11) B

C

A D .

CD: bisettrice relativa al vertice C

115

TEOREMA

In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice, è anche altezza e mediana relativa

alla base.

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli ACD e BCD; essi hanno:

AC ≅ BC per ipotesi;

CAD ≅ CBD perché angoli alla base di un triangolo isoscele;

ACD ≅ BCD per ipotesi.




ADC ≅ BDC ⇒ poiché ADB piatto, si ha che ADC e BDC retti (“segnare ADC e BDC con

il simbolo ”), quindi CD⊥ AB ⇒ CD è altezza relativa ad AB;

AD ≅ BD ⇒ CD mediana relativa ad AB (“segnare AD e BD con il simbolo * ”).


AC ≅ BC

ACD ≅ BCD Hp.:

Th.: CD⊥ AB

AD ≅ DB

C

B A D

. .

]

C.V.D.

C

B A D

. .

* *

116

PROVA TU

Dimostra il teorema precedente utilizzando il 1° criterio di congruenza dei triangoli.

Possiamo quindi concludere che in un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice,

l’altezza e la mediana relative alla base coincidono.

3.4 Le rette parallele

Abbiamo già parlato (pag. 5, unità 1) delle rette parallele. Ricordiamo che:

r // s ⇔ r ≡s ∨ r ∩ s = Ø .

Non sempre, però, è possibile “vedere” rette che si incontrano o meno, dal momento che non

possiamo “seguirle”, essendo infinite.

Vale, però, il seguente teorema che ci assicura l’esistenza di rette che non si incontrano, cioè di

rette che sono parallele.

TEOREMA

Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora non hanno alcun

punto in comune (fig. 12):

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che s∩ t ≠ Ø, cioè che le rette s e t non siano parallele e che, quindi, si

incontrino in un punto P (fig. 13).

s≠ t

s⊥ r

t ⊥ r

Hp.:

Th.: s∩ t = Ø

(fig. 12)

A

t

s

r

.

B .

r

A

B t

s .

.

(fig. 13)

P .

117

Avremmo, pertanto, due rette, s e t, passanti per P e perpendicolari ad r ma ciò è assurdo per

l’unicità della perpendicolare condotta da un punto ad una retta (pag. 106). L’assurdo deriva per

aver negato la tesi; pertanto le rette s e t non hanno alcun punto in comune e, quindi, sono parallele.

(Si poteva anche osservare che, negando la tesi, il triangolo ABP avrebbe gli angoli PAB e PBA

entrambi retti, il che è assurdo).

C.V.D.

OSSERVAZIONE

La relazione di parallelismo tra le rette del piano è una relazione di equivalenza (PROVA TU).

Tale relazione ripartisce, quindi, l’insieme delle rette del piano, in classi di equivalenza, ciascuna

formata da rette tra loro parallele.

Ciascuna classe, che è un elemento dell’insieme quoziente, si chiama direzione.

L’insieme delle rette che hanno la stessa direzione si dice fascio di rette parallele o anche fascio di

rette improprio (fig. 14).

COMPLETA :

Poiché in un piano vi sono ……………… rette, si ha che in esso vi sono ……………… direzioni.

POSTULATO DELLE PARALLELE (o V POSTULATO DI EUCLIDE )

Dati nel piano una retta r ed un punto P, esiste ed è unica la retta s, parallela ad r, passante per P

(fig. 15).

Se P ∈ r , si ha che s ≡ r (fig. 16):

(fig. 15)

(fig. 16) . s

P r

P s

r

.

(fig. 14)

118

APPROFONDIMENTI

La formulazione data del postulato delle parallele va attribuita a Proclo, filosofo greco (V secolo

d.C.), commentatore del I libro degli Elementi di Euclide.

L’enunciato originale di Euclide era il seguente:

“Se una retta, venendo a cadere su due rette, forma angoli interni e dalla stessa parte la cui somma è

minore di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in

cui sono gli angoli minori di due retti” (fig. 17).

Molte erano le perplessità in merito a tale postulato in quanto si aveva difficoltà ad accettarlo come

verità evidente, cioè conseguenza della esperienza fisica diretta: vi era la necessità, infatti, di

immaginare spesso il punto d’intersezione molto … molto lontano e, oltretutto, le rette potrebbero

anche avvicinarsi sempre di più, senza però incontrarsi.

Lo stesso Euclide considerava il V postulato “meno naturale” degli altri quattro, di seguito riportati:

I. si può condurre una linea retta da un qualsiasi altro punto;

II. una retta terminata si può prolungare continuamente in linea retta;

III. si può descrivere un cerchio con ogni centro ed ogni raggio;

IV. tutti gli angoli retti sono uguali tra loro,

e cercò di non utilizzarlo nelle varie dimostrazioni.

Dopo Euclide, molti matematici hanno cercato di “rinunciarvi” ma inutilmente, vista la necessità di

ricorrervi per la dimostrazione di tanti teoremi (come vedremo in seguito).

Si è cercato, allora, di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, così da non assumerlo più come

postulato.

Furono costruiti, così, nuovi insiemi di postulati formati dai primi quattro e da un quinto postulato,

negazione del V postulato di Euclide. Il fatto che tali nuovi sistemi non portassero a contraddizioni

e, anzi, si dimostrassero coerenti, fece concludere che il V postulato non poteva essere dedotto dagli

altri quattro (studi condotti, in particolare, da Gauss, Boljai, Lobacewskii, all’inizio dell’Ottocento).

Si pervenne, così, alla costruzione delle “geometrie non euclidee” e precisamente:

- alla geometria ellittica, ammettendo che per un punto non si possono condurre rette parallele

a una retta data (modello di Riemann);

(fig. 17)

α + β < π

t

α β

r'

r

P .

119

- alla geometria iperbolica, ammettendo che per un punto si possono condurre più parallele

distinte a una retta data (modello di Klein).

3.5 Il criterio di parallelismo e le proprietà delle rette parallele

Abbiamo già detto della difficoltà di stabilire se due rette r ed s sono parallele tra loro.

Il teorema del paragrafo 3.4 assicura l’esistenza di rette distinte parallele tra loro quando si riesce ad

individuare una perpendicolare comune a due rette date, cosa però non sempre possibile.

Si cerca, quindi, di risolvere il problema “ricercando” una condizione generale per affermare che

due rette sono parallele.

A tale scopo consideriamo due rette distinte r ed s e una retta t, detta trasversale, che le incontra

entrambe formando otto angoli (fig. 18):

• Le coppie di angoli ( 3 ; 5 ) e ( 4 ; 6 ) si dicono angoli alterni interni [gli angoli di ogni

coppia si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale t e all’interno della regione di

piano delimitata dalle due rette r ed s].

• Le coppie di angoli ( 1 ; 7 ) e ( 2 ; 8 ) si dicono angoli alterni esterni [gli angoli di ogni

coppia si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale t e all’esterno della regione di

piano delimitata dalle due rette r ed s].

• Le coppie di angoli ( 1 ; 5 ) , ( 2 ; 6 ) , ( 3 ; 7 ) e ( 4 ; 8 ) si dicono angoli corrispondenti

[gli angoli di ogni coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono uno

interno e uno esterno alla regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].

• Le coppie di angoli ( 3 ; 6 ) e ( 4 ; 5 ) si dicono angoli coniugati interni [gli angoli di ogni

coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono entrambi interni alla

regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].

(fig. 18)

s

r

t

1 2

3 4

5 6

7 8

120

• Le coppie di angoli ( 1 ; 8 ) e ( 2 ; 7 ) si dicono angoli coniugati esterni [gli angoli di ogni

coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono entrambi esterni alla

regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].

TEOREMA

Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora le

due rette sono parallele (fig. 19).

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi, cioè supponiamo che le rette r ed s non siano parallele

ma si incontrino in un punto P (fig. 20):

Osserviamo che l’angolo α risulta esterno al triangolo ABP per cui:

α > α' per il teorema dell’angolo esterno (pag. 40, unità 2),

il che è un assurdo perché contraddice l’ipotesi.

L’assurdo deriva dall’aver supposto che le rette r ed s non sono parallele e pertanto, per non cadere

in un assurdo, dobbiamo ammettere che r // s.

C.V.D.

(fig. 19)

Hp.: α ≅ α'

Th.: r // s

A

r

s α

t

.

B . α'

(fig. 20)

P

A .

r

s α .

t

B . α'

121

PROVA TU

Si può generalizzare il teorema precedente dimostrando il seguente:

Criterio generale di parallelismo

Se due rette tagliate da una trasversale formano:

• angoli alterni (interni o esterni) congruenti;

oppure

• angoli corrispondenti congruenti;

oppure

• angoli coniugati (interni o esterni) supplementari;

allora le due rette sono parallele.

Risulta, infatti, agevole ricondurre le varie situazioni al caso già dimostrato degli angoli alterni

interni congruenti.

Per esempio, se due rette r ed s, tagliate da una trasversale t, formano angoli alterni esterni

congruenti (fig. 21):

basta osservare, fig. 22, che sono congruenti gli angoli alterni interni α' e β' , essendo:

α' ≅ α angoli opposti al vertice

β' ≅ β angoli opposti al vertice

e si è così ricondotti al teorema precedente.

(fig. 21)

(fig. 22)

α'

β

t

r

s

α

β'

β

t

r

s

α

122

PROVA TU

Dimostra il criterio di parallelismo nei casi in cui due rette tagliate da una trasversale formano:

o angoli corrispondenti congruenti;

o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

[Questi teoremi possono essere visti come corollari del teorema di pag. 120].

Quanto detto permette di concludere che se due rette r ed s, tagliate da una trasversale t,

formano due angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o due angoli corrispondenti

congruenti, o due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora:

• tutte le coppie di angoli alterni (interni o esterni) sono congruenti;

• tutte le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti;

• tutte le coppie di angoli coniugati (interni o esterni) sono supplementari.

COMPLETA : nel caso di due rette parallele, tagliate da una trasversale, si ha che gli angoli

coniugati (interni o esterni) sono congruenti se …………………………………………………….. .

TEOREMA INVERSO

Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa angoli alterni

interni congruenti (fig. 23).

Dimostrazione

Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi. Supponiamo, cioè, che gli angoli α e α' non siano

congruenti e che sia, per esempio, α' > α. In tal caso è possibile condurre per B una retta CD,

distinta da s, tale che: DBA≅ α (fig. 24):

(fig. 23)

α

t

r

s α'

A

B

Hp.: r // s

Th.: α ≅ α'

(fig. 24)

α

t

r

s α'

A

B

D

C

α

123

Allora le rette r e CD, tagliate dalla trasversale t, formano due angoli alterni interni congruenti per

cui, per il criterio generale di parallelismo, esse risultano parallele. Ciò è un assurdo perché per il

punto B passerebbero due rette distinte s e CD, parallele entrambe alla retta r e ciò contraddice il V

postulato di Euclide.

Se α > α', si ripete lo stesso ragionamento pervenendo sempre ad un assurdo (PROVA TU).

Pertanto, per non cadere in un assurdo, dobbiamo concludere che la tesi è vera, cioè che α ≅ α' .

C.V.D.

Si può generalizzare il teorema precedente dimostrando il seguente:

TEOREMA (INVERSO DEL TEOREMA DEL CRITERIO GENERALE DI PARALLELISMO)

Se due rette sono parallele e distinte, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa:

• angoli alterni (interni o esterni) congruenti;

• angoli corrispondenti congruenti;

• angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

PROVA TU

Dimostra il teorema precedente nei casi in cui due rette parallele, tagliate da una trasversale,

formano:

o angoli alterni esterni congruenti;

o angoli corrispondenti congruenti;

o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

Questi teoremi possono essere visti, così come fatto per il criterio generale di parallelismo, come

corollari del teorema di pag. 122 .

Il criterio generale di parallelismo ed il suo inverso possono essere espressi nel seguente unico

teorema:

TEOREMA FONDAMENTALE DELLE RETTE PARALLELE

Due rette distinte del piano sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano:

• due angoli alterni (interni o esterni) congruenti;

oppure

• due angoli corrispondenti congruenti;

oppure

• due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

124

Il teorema fondamentale delle rette parallele può, anche, essere formulato nel seguente modo:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette siano parallele è che, tagliate da una

trasversale, formino due angoli alterni (interni o esterni) congruenti oppure due angoli

corrispondenti congruenti oppure due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.

PROVA TU

Dimostra i seguenti COROLLARI:

� Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare all’una è perpendicolare anche

all’altra .

� Due rette perpendicolari ad una terza retta sono parallele.

COMPLETA la seguente dimostrazione:

• Rette perpendicolari a due rette incidenti sono incidenti:

Dimostrazione

Congiungiamo A con C e segnamo gli angoli BAC e DCA con due simboli diversi:

Osserviamo che gli angoli BAC e DCA sono angoli ..………….. perché minori, rispettivamente,

degli angoli …….. e …….. che sono retti per ipotesi.

Pertanto, le due rette AB e CD tagliate dalla ……..………….. formano …………………………...

………………. non ………………… e quindi le rette AB e CD …………………………………. .

C

r

D

A

B

P . .

.

s r ∩ s ={ }P

AB ⊥ ….

…. ⊥ s

Hp.:

Th.: ……………..

C

r

D

A

B

P . .

.

s

C.V.D.

125

3.6 Proprietà dei triangoli

TEOREMA (SECONDO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO)

In ogni triangolo, ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso

non adiacenti.

Dimostrazione

Conduciamo dal vertice B la parallele BE al lato AC:

e osserviamo che:

DBE≅ BAC perché angoli corrispondenti formati dalle parallele BE e AC tagliate dalla

trasversale AD (“segnare DBE e BAC con il simbolo ”);

CBE≅ ACB perché angoli alterni interni formati dalle parallele BE e AC tagliate dalla

trasversale BC (“segnare CBE e ACB con il simbolo ”);

Si ha quindi:

per cui:

CBD≅ DBE + CBE≅ BAC + ACB

CBD angolo esterno del triangolo ABC

Hp.:

Th.: CBD≅ BAC + ACB

.

C.V.D.

E

A B

C

D . .

E

A B

C

D

A B

C

D

126

Questo teorema permette di “completare” il 1° teorema sull’angolo esterno di un triangolo (pag. 40,

unità 1) nel senso che ogni angolo esterno non solo è maggiore di ciascuno dei due angoli interni

non adiacenti, ma è congruente alla somma di tale angoli.

Dovresti, ora, essere in grado di stabilire quanto vale la somma degli angoli interni di ogni

triangolo.

Osserva, infatti, la seguente figura e COMPLETA :

Per il teorema precedente puoi concludere che:

α + β + γ ≅ …

Si ha, quindi, il seguente:

TEOREMA SULLA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO

La somma degli angoli interni di ogni triangolo è congruente ad un angolo piatto.

PROVA TU

Dimostra i seguenti COROLLARI:

� Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.

� In ogni triangolo equilatero, ciascuno degli angoli è la terza parte di un angolo piatto.

� Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruenti anche

il terzo angolo.

L’ultimo corollario permette di “generalizzare” il secondo criterio di congruenza dei triangoli,

formulando, così, il seguente:

SECONDO CRITERIO GENERALIZZATO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli ordinatamente congruenti.

β

A B

C

α

γ

D

E

… …

127

3.7 Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono

Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono di n lati?

Per rispondere a questa domanda, fai riferimento al pentagono della figura seguente:

e COMPLETA .

Unisci i vertici del pentagono con il punto P (un qualsiasi punto interno del pentagono):

Il poligono resta diviso in ............ triangoli, cioè in tanti triangoli ………… sono i lati del poligono.

Segna gli angoli interni di tutti i triangoli. Poiché la somma degli angoli interni di ogni triangolo è

congruente a …. , la somma degli angoli interni di tutti i triangoli, in cui resta diviso il pentagono, è

congruente a …. …. .

Quindi la somma degli angoli interni del poligono è congruente alla differenza fra la …………

degli angoli interni di tutti i triangoli e la ………… degli angoli di vertice …. che vale ……

Indicando con Si la somma degli angoli interni del pentagono, si ha:

Si = 5 … – 2 … e, applicando la proprietà distributiva, Si = ( … – 2)π = ….. .

In generale, per un poligono di n lati, si ha:

Si = ( … - 2) π [= nπ – 2π ] .

Vale, quindi, il seguente:

TEOREMA

La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente ad (n – 2) angoli

piatti (cioè a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno un angolo giro).

A B

C

D

E

A B

C

D

E P .

.

. .

128

E ancora ….. osserva la seguente figura, dove la lettera “e” indica l’angolo esterno; COMPLETA :

Ogni angolo esterno è ...……………….. ad un angolo interno che ha lo stesso vertice, quindi la

somma di un angolo esterno e dell’angolo interno con lo stesso vertice vale ….. .

Indicando con:

Si = somma degli angoli interni del pentagono;

Se = somma degli angoli esterni del pentagono,

si ha:

Si + Se = …. …. ,

e poiché, per il pentagono risulta che:

Si = 3 π⋅ ,

puoi concludere che:

Se = ….. .

RIPETI lo stesso ragionamento per:

� un poligono di 4 lati; .

� un poligono di 6 lati;

� un poligono di 7 lati;

� un poligono di 8 lati.

Ora “GENERALIZZA ” il ragionamento per un poligono di n lati, così da dimostrare che: Se = 2 π⋅ , qualunque sia il numero dei lati del poligono.

Vale, dunque, il seguente:

TEOREMA

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso di n lati è congruente ad un angolo

giro, qualunque sia il numero dei lati del poligono.

e A B

C

D

E e

e

e

e

.

129

3.8 La congruenza nei triangoli rettangoli

TEOREMA (O CRITERIO) DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

Due triangoli rettangoli sono congruenti se, oltre all’angolo retto, hanno due altri elementi

ordinatamente congruenti, che non siano i due angoli acuti.

Ai fini di una puntuale dimostrazione del teorema diamo, dello stesso, la seguente formulazione:

Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:

• i due cateti (PROVA TU);

oppure

• un cateto e un angolo acuto (PROVA TU);

oppure

• l’ipotenusa ed un angolo acuto (PROVA TU);

oppure

• l’ipotenusa ed un cateto (PROVA TU).

Relativamente al quarto caso, COMPLETA la seguente dimostrazione:

Dimostrazione

Prolunghiamo il cateto BC di un segmento BD≅ B'C' (“segnare BD e B'C' con il simbolo ”) e

congiungiamo A con D:

*

C

A B °

C'

A' B' ~ °

D

*

C

A B °

C'

A' B' ~

*

°

ABC ≅2π

A'B'C'≅2π

AC ≅ A'C'

AB ≅ A'B'

Hp.:

Th.: ABC≅ A'B'C'

130

Consideriamo i triangoli ABD e A'B'C'; essi hanno:

AB ≅ … ………………………………

… ≅ B'C' ………………………………

ABD ≅ … perché entrambi …………..... (“segnare ABD con il simbolo …. ”).

I due triangoli, avendo ………………………………………………………………………………. ,

sono congruenti per …………………………………………………………. .

Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:

AD ≅ … (“segnare AD con il simbolo … ”).

Si ha, quindi:

AD ≅ AC per la proprietà ………………………………………………… ,

e quindi il triangolo ACD risulta ….……………… sulla base ….... e AB è …………………..

relativa alla base, per cui è anche ……………….. .

Pertanto:

BC≅ … ,

ed essendo:

BD≅ B'C' per ……………………... ,

si ha:

BC≅ … per la proprietà transitiva della congruenza.

I due triangoli ABC e A'B'C', avendo …………………………………………………………………

………………………….……… risultano quindi congruenti per ……………………………………

……………..……………………. .

C.V.D.

131

3.9 I luoghi geometrici

Si dice luogo geometrico, o semplicemente luogo, la figura costituita da tutti e soli i punti (del

piano) che godono di una determinata proprietà.

Quindi, una figura F è un luogo, definito da una proprietà P, se:

1. ogni punto di F gode della proprietà P;

2. ogni punto, che gode della proprietà P, appartiene ad F.

Vediamo due esempi di “luoghi”:

la bisettrice di un angolo;

l’asse di un segmento.

TEOREMA

La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell’angolo.

“Riteniamo opportuno” esplicitare per esteso l’ipotesi e la tesi del teorema.

Hp.: Sia b la bisettrice dell’angolo rOs .

Th.: - Ogni punto P della bisettrice è equidistante dai lati dell’angolo;

- se un punto Q del piano è equidistante dai lati dell’angolo, allora Q appartiene alla bisettrice.

Si ha, quindi:

Dimostrazione

Consideriamo i triangoli OPH e OPK; essi hanno:

OHP≅ OKP perché retti;

OP in comune (o OP≅ OP per la proprietà riflessiva della congruenza);

POH ≅ POK per ipotesi.

I due triangoli, oltre all’angolo retto, hanno due altri elementi ordinatamente congruenti (che non

sono i due angoli acuti) e quindi sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli

rettangoli.

K

P

r

.

H O

s

b

.

P generico punto della bisettrice dell’angolo rOs

PH distanza di P da r

PK distanza di P da s

132


PH≅ PK

e quindi, vista la generalità del punto P sulla bisettrice b, si ha che ogni punto della bisettrice è

equidistante dai lati dell’angolo.

Dimostriamo, ora, la seconda parte del teorema.

Sia Q un punto del piano equidistante dai lati dell’angolo (QH'≅ QK'):

Congiungiamo O con Q:

e consideriamo i triangoli OQH' e OQK'; essi hanno:

OH'Q≅ OK'Q perché retti (QH' distanza di Q da r ; QK' distanza di Q da s);

OQ in comune (o OQ≅ OQ per la proprietà riflessiva della congruenza);

QH'≅ QK' per ipotesi.

I due triangoli, oltre all’angolo retto, hanno due altri elementi ordinatamente congruenti (che non

sono i due angoli acuti) e quindi sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli

rettangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:

QOH'≅ QOK' ,

per cui OQ è bisettrice dell’angolo rOs e quindi Q∈b.

C.V.D.

r

s

H' O

K'

Q .

r

s

H' O

K'

Q .

133

TEOREMA

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento

stesso.

Anche per questo teorema, “decidiamo” di esplicitare per esteso l’ipotesi e la tesi.

Hp.: Sia AB un segmento ed r il suo asse, cioè la perpendicolare al segmento condotta dal suo

punto medio M (pag. 113).

Th.: - Ogni punto P di r è equidistante dagli estremi A e B, cioè si ha PA≅ PB;

- se Q è un punto del piano equidistante dagli estremi del segmento, cioè tale che QA≅ QB,

allora Q appartiene ad r.

Si ha, quindi:

COMPLETA la dimostrazione:

Consideriamo i triangoli APM e ……… ; essi hanno:

AMP ≅ ….. perché …………. (per ipotesi r è ……………. del segmento ……. );

…… ≅ BM per …………….. ;

PM ……… (o PM≅ ……. per la proprietà ………………… della …………….…... ).

I due triangoli avendo, oltre all’angolo ….. , due elementi congruenti (che non sono i due angoli

………. ), sono congruenti per il ……………………………………………………………………. .


…. ≅ …. .

Vista la generalità del punto P sull’asse del segmento AB, possiamo concludere che ogni punto

………..… è equidistante dagli …………….... del segmento.

[Si può dedurre subito che PA≅ PB in quanto le loro proiezioni AM e BM sono congruenti

(teorema pag. 112)].

M .

A B

P

*

.

. . *

r

.

134

Dimostriamo, ora, la seconda parte del teorema.

Sia Q un punto del piano equidistante dagli estremi del segmento AB, cioè tale che QA≅ QB.

Osserviamo che il triangolo …..… è ……………..… sulla base ….. e quindi la …………….. QM,

relativa alla ………… AB, risulta anche ………………… relativa alla base stessa .

Si ha, pertanto, che QM è …………………..…… ad AB, per cui Q ……………………… all’asse

di ….... .

C.V.D.

A B

Q

M . * * . .

.

135

I PROBLEMI

Ipotesi (…“parallelismo”) : Tesi:

r // s (o AB // CD, …) -----------------

Nel corso della dimostrazione dovrai sicuramente utilizzare qualcuna delle seguenti

proprietà che derivano dall’ipotesi:

• la congruenza di angoli alterni (interni o esterni) formati dalle rette parallele r ed s

(o dai segmenti paralleli AB e CD), con un’opportuna trasversale;

• la congruenza di angoli corrispondenti formati dalle rette parallele r ed s (o dai

segmenti paralleli AB e CD), con un’opportuna trasversale;

• la supplementarietà di angoli coniugati (interni o esterni) formati dalle rette

parallele r ed s (o dai segmenti paralleli AB e CD), con un’opportuna trasversale.

Ipotesi: Tesi (…“parallelismo”) :

r, s, … (AB, CD, …) r // s (o AB // CD, …)

Perverrai alla tesi se dimostrerai una delle seguenti relazioni:

• la congruenza di angoli alterni (interni o esterni) formati dalle rette r ed s (o dai

segmenti AB e CD), con un’opportuna trasversale;

• la congruenza di angoli corrispondenti formati dalle rette r ed s (o dai segmenti

AB e CD), con un’opportuna trasversale;

• la supplementarietà di angoli coniugati (interni o esterni) formati dalle rette r ed s

(o dai segmenti AB e CD), con un’opportuna trasversale.

… SOLO IL TEMPO PER QUALCHE ALTRO CONSIGLIO

NELLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI.

136


Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, sia r la retta passante per A parallela a BC. Dimostra

che la bisettrice dell’angolo in B interseca r in un punto P tale che AP ≅ AC.

Dimostrazione

Osserviamo che:

APB ≅ CBP perché angoli alterni interni rispetto alle parallele AP e BC tagliate dalla

trasversale BP (“segnare APB con il simbolo ”);

e poiché:

CBP ≅ ABP per ipotesi,

si ha, per la proprietà transitiva della congruenza, che:

APB ≅ ABP.

Il triangolo ABP risulta quindi isoscele sulla base BP, per cui si ha:

AP ≅ AB (“segnare AP con il simbolo ”);

ed essendo:

AB ≅ AC per ipotesi,


AP ≅ AC.


]

Hp.

AB ≅ AC

r // BC

ABP ≅ CBP

Th.: AP ≅ AC

.

C.V.D.

B C

A P

.

r

.

. P r A

. B C

.

137


Dato un triangolo ABC, sia AD la bisettrice dell’angolo A. Conduci dal punto D la parallela al lato

AB che incontri AC in E. Tracciata da E la parallela ad AD, sia F il suo punto d’incontro con il lato

BC.

Dimostra che:

a) il triangolo EAD è isoscele;

b) EF è bisettrice dell’angolo CED.

Dimostrazione

Osserviamo che:

ADE ≅ BAD perché angoli alterni interni rispetto alle parallele DE e AB tagliate dalla

trasversale AD (“segnare ADE con il simbolo ”);

e poiché

BAD ≅ EAD per ipotesi,

segue che:

ADE ≅ EAD per la proprietà transitiva della congruenza,

per cui il triangolo EAD risulta isoscele sulla base AD.

Inoltre:

CEF≅ CAD perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele EF e AD tagliate dalla

trasversale AC (“segnare CEF con il simbolo ”);

DEF≅ ADE perché angoli interni rispetto alle parallele EF e AD tagliate dalla trasversale

DE (“segnare DEF con il simbolo ”);

Th. EAD isoscele

CEF ≅ DEF

Hp.

BAD ≅ CAD

DE // AB

EF // AD

. A B

C

D E

F

.

.

.

.

138

e poiché:

CAD ≅ ADE per quanto precedentemente dimostrato,

si ha che:

CEF≅ DEF per la proprietà transitiva della congruenza (la tua figura si presenta, infatti,

con i due angoli contrassegnati con lo stesso simbolo ).

C.V.D.


]

N.B.: Quando abbiamo dimostrato che il triangolo EAD risultava isoscele sulla base AD, non

abbiamo volutamente scritto “segnare AE e DE con il simbolo ”, in quanto avevamo compreso

che tale indicazione non era utile per la seconda parte della tesi, né volevamo “sporcare” la nostra

figura, aggiungendo simboli che potevano oltretutto essere motivo di “disturbo” nel proseguo del

problema.

.

.

.

A B

C

D E

F

.

.

…

.

139


Dato un triangolo isoscele ABC, di base AB, traccia la bisettrice dell’angolo A e dal punto D di

intersezione di questa con il lato BC manda la parallela al lato AC che incontri AB in E.

Dimostra che: AE≅ DE≅ DB.

Dimostrazione

PRIMA DI INIZIARE LA DIMOSTRAZIONE RIFLETTIAMO SULL’IPOTESI (E QUINDI

SULLA FIGURA!!!, VISTO CHE VI ABBIAMO RIPORTATO TUTTI I DATI) E SU QUANTO

DOBBIAMO DIMOSTRARE.

LA TESI, CIOÈ LA CONGRUENZA DEI LATI RICHIESTI, DOVRÀ DERIVARE

RAGIONANDO SULL’IPOTESI DE // AC (NELLA FIGURA “NON CI SEMBRA” VI SIANO

INFATTI TRIANGOLI CONGRUENTI).

Osserviamo che:

ADE ≅ CAD perché angoli alterni interni formati dalle parallele DE e AC tagliate dalla

trasversale AD (“segnare ADE con il simbolo ”),

e poiché:

CAD ≅ DAE per ipotesi,


ADE ≅ DAE

per cui il triangolo ADE è isoscele sulla base AD e quindi:

Th.: AE≅ DE≅ DB

Hp.

AC ≅ BC

BAD ≅ CAD

DE // AC

.

B A

D

C

. .

E

140

AE ≅ DE. (1) (“segnare AE e DE con il simbolo ”).

Inoltre:

BED≅ BAC perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele DE e AC tagliate dalla

trasversale AB (“segnare BDE con il simbolo ”),

e poiché:

BAC ≅ ABC perché angoli alla base di un triangolo isoscele,

si ha:

BED≅ ABC per la proprietà transitiva della congruenza,

per cui il triangolo BED è isoscele sulla base BE e quindi:

DE≅ DB. (2) (“segnare DB con il simbolo ”).

Da (1) e (2) segue, per la proprietà transitiva della congruenza che:

AE ≅ DE≅ DB.

C.V.D.


]

*

*

B A

D

C

. .

E *

*

. *

141

4° Problema

Dato un triangolo ABC, conduci le bisettrici degli angoli B e C e, dal loro punto O di intersezione,

traccia la parallela al lato BC. Detti M ed N i punti di incontro rispettivamente con i lati AB e AC,

dimostra che: MN ≅ BM + CN.

Dimostrazione

PROVA TU

…………….

…………….

…………….

…………….

…………….

[Al termine del problema la figura si deve presentare come segue:

]

Th.: MN ≅ BM + CN

A

B C

N O M

. .

Hp.

ABO ≅ CBO

ACO≅ BCO

MN // BC

. * .

. /

A

B C

N O M *

142

ESERCIZI UNITÀ 3

Perpendicolarità e parallelismo

Conoscenza e comprensione

1) Quando due rette si dicono incidenti?

2) Quando due rette si dicono perpendicolari?

3) Quando due rette si dicono oblique?

4) Cosa si intende per distanza di un punto P da una retta r ?

5) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) dati un punto P e una retta r, esiste sempre una retta che passa per P e che è V F

perpendicolare ad r.

b) per un punto P possono esistere due perpendicolari ad una retta r. V F

c) la proiezione ortogonale di un segmento su una retta può essere maggiore V F

del segmento stesso.

d) la proiezione ortogonale di un segmento su una retta è sempre minore del V F

segmento stesso.

e) la proiezione ortogonale di un segmento su una retta è sempre minore o V F

congruente al segmento stesso.

f) due segmenti obliqui, condotti da un stesso punto ad una retta e aventi su V F

questa proiezioni ortogonali non congruenti, possono essere congruenti.

g) la relazione di perpendicolarità fra rette è una relazione di equivalenza. V F

h) la proiezione di un punto P su una retta è il punto Q di r che ha la minore V F

distanza da P.

i) dati un punto P e una retta r, il segmento di perpendicolare PH è maggiore V F

di ogni segmento obliquo condotto da P alla retta r.

143

6) Riferendoti alla seguente figura, completa le seguenti affermazioni:

▪ il punto H è la ………………………………………………… di … su r ;

▪ il punto H è il …………… della ………………………………… condotta da P su …;

▪ il segmento PH si dice ………………………. di P da …;

▪ il segmento PH si dice il segmento di …………………………… condotto da … ad …;

▪ la retta s è la perpendicolare alla retta ….. , passante per … ;

▪ le rette r ed s dividono il piano in ……..…. angoli ……….… ;

▪ la retta r è la perpendicolare alla retta ….. , passante per … .

7) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

L’asse di un segmento AB è:

a) la retta che passa per un qualsiasi punto del segmento AB ed è perpendicolare al

segmento stesso;

b) la retta che passa per il punto A ed è perpendicolare al segmento AB;

c) la retta che passa per il punto B ed è perpendicolare al segmento AB;

d) la retta che passa per il punto medio del segmento AB ed è perpendicolare al segmento

stesso;

e) una retta passante per il punto medio del segmento AB;

f) un segmento con un estremo nel punto medio di AB, perpendicolare e congruente ad AB

stesso.

H .

P

r

s

.

144

8) Dato un triangolo ABC, definisci:

� la mediana relativa al lato AC;

� l’altezza relativa al lato AB;

� la bisettrice relativa al vertice B;

� l’asse del segmento BC.

9) Osserva la figura e completa le proposizioni relative al triangolo ABC:

▪ AD è la …………………… relativa all’angolo ……. ;

▪ M è il …………………….. del lato ……. ;

▪ ……. è …………………… relativo al lato AB;

▪ H è il ……………………... della ………………… condotta da A alla retta ……. ;

▪ AH è ……………………... relativa al lato ……. ;

▪ CM è la …………………... relativa al ………… .

10) Quando due rette si dicono parallele?

11) Quando un fascio di rette si dice improprio?

12) Cosa si intende per direzione di una retta?

13) Cosa dice il V postulato di Euclide?

14) Cosa si intende per geometria non euclidea?

15) Perché sono nate le geometrie non euclidee?

M

H

A B

C

. .

a

* *

D

145

16) Enuncia il criterio generale di parallelismo.

17) Enuncia il teorema inverso del criterio generale di parallelismo.

18) Enuncia il teorema fondamentale delle rette parallele.

19) Cosa afferma il secondo criterio generalizzato di congruenza dei triangoli?


a) se due rette parallele hanno almeno un punto in comune, allora coincidono. V F

b) due rette parallele formano con una terza retta incidente angoli alterni V F

interni supplementari.

c) se una retta r è perpendicolare ad una retta s ed s è perpendicolare ad V F

una retta t, allora le rette r e t sono parallele.

d) due rette coincidenti sono parallele. V F

e) se due rette distinte r e t sono perpendicolari ad una stessa retta s, V F

allora le rette r e t sono incidenti.

f) la relazione di parallelismo è una relazione di equivalenza. V F

g) esiste una ed una sola parallela ad una retta data. V F

h) esiste una ed una sola parallela ad una retta data, passante per un dato V F

punto.

i) due rette parallele non hanno mai alcun punto in comune. V F

j) date tre rette r, s, t, se r non è parallela ad s ed s non è parallela a t, allora V F

anche r non è parallela a t (cosiddetto “criterio di non parallelismo”).

k) esistono infinite rette parallele ad una retta data. V F

l) due rette parallele sono rette equidistanti. V F

146

21) Indica il nome degli angoli indicati in ognuna delle seguenti figure:

a)

b)

c)

d)

t

r s

r

s

t

r

s

t

r

s

t

147

22) Nella figura a lato, le rette r ed s sono parallele.

Completa:

1 – 7

2 – 8

3 – 5

4 – 6

1 – 5

2 – 6

3 – 7

4 – 8

Verifica, poi, con il goniometro o per sovrapposizione con carta trasparente, che:

▪ gli angoli alterni (interni o esterni) sono congruenti;

▪ gli angoli corrispondenti sono congruenti;

▪ gli angoli coniugati (interni o esterni) sono supplementari.

r

s

t

1 2

3 4

5 6

7 8

e)

r

s

t

1 – 8

2 – 7

3 – 6

4 – 5

angoli ………………. angoli ……………….

angoli ………………. angoli ……………….

angoli ……………….

148

23) Completa le seguenti affermazioni:

▪ in un triangolo, ciascun angolo ………………… è congruente alla somma degli …………...

………………… ad esso non …………………… .

▪ la somma degli angoli interni di ogni triangolo è ………………… ad un angolo …………. .

▪ gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono ……..………………… .

▪ in un triangolo rettangolo isoscele, ciascun angolo acuto è ………………….….. di un

angolo retto.

▪ ciascun angolo di ogni triangolo equilatero è congruente alla ………. parte di un angolo

piatto.

▪ la somma degli angoli interni di un pentagono è congruente a …….. angoli piatti.

▪ la somma degli angoli interni di un ottagono è congruente a …….. angoli piatti.

▪ la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è congruente a ………….. angoli

piatti.

▪ la somma degli angoli esterni di un esagono è congruente a ………………… piatti.

▪ la somma degli angoli esterni di un decagono è congruente a ………………… piatti.

▪ la somma degli angoli esterni di un poligono di n lati è congruente a ……… angoli piatti.

24) Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale?

a) Un angolo esterno di un triangolo può essere congruente ad un angolo interno ad esso

adiacente.

b) La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente alla somma dei suoi angoli

esterni.

c) Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo interno, ad esso non

adiacente.

d) Un triangolo può essere contemporaneamente isoscele e rettangolo.

e) In un triangolo, due angoli esterni sono sempre ottusi.

f) Ogni angolo esterno di un triangolo equilatero è congruente al doppio dell’angolo interno

adiacente.

g) La somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente ad un angolo giro.

149


a) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno almeno un lato congruente. V F

b) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti V F

l’ipotenusa e l’angolo retto.

c) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti V F

un cateto e l’ipotenusa.

d) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti V F

un cateto e l’angolo ad esso opposto.

e) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti V F

i due cateti.

f) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti V F

un cateto e l’angolo retto.

[ovviamente, parlando di triangoli rettangoli, gli angoli retti sono sempre congruenti]

26) Completa le seguenti affermazioni:

▪ un luogo geometrico è la figura costituita da ………………………….. i punti del piano che

godono di una determinata proprietà.

▪ la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti ……………………….….….. dai ………….

dell’angolo.

▪ l’asse di un segmento è il luogo dei punti …………………….….. dagli ………….………

del ………………..…… .

▪ il luogo geometrico dei punti P del piano che sono allineati con due punti distinti A e B è

………………………………………………………… .

▪ il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti aventi un estremo su una retta r e l’altro su

una retta s, parallela ad r, è ………………………………………………………………….. .

▪ il luogo geometrico dei punti aventi una fissata distanza h da una data retta r sono due

………… parallele ad … , ciascuna a distanza … da … .

150

Applicazioni

1) Segui e COMPLETA la costruzione di una retta s perpendicolare alla retta r data in figura.

Sia data una retta r:

Prendi un punto qualsiasi P sulla retta r:

Facendo centro con il compasso in P, con apertura a piacere, determina su r due punti A e B:

Si ha che: PA≅ …..

Punta, ora, il compasso in A e, con apertura maggiore di AP, traccia un arco.

Analogamente, dal punto ….. , con la stessa apertura, traccia un secondo arco che incontrerà il

primo in un punto Q. [Perché l’apertura del compasso deve essere maggiore di AP (o di BP)?]

Conduci la retta s passante per i punti P e Q:

Si ha che le rette r ed s sono …….…………….…… (VERIFICA le tue conclusioni,

utilizzando il goniometro).

r

r . P

P A r . . .

B

r . P

. A

. B

. Q

r .

P . A

. B

. Q

151

2) Riproduci sul quaderno le rette della seguente figura e traccia, per ognuna, secondo l’esercizio

precedente, la perpendicolare in un loro punto a tua scelta:

Costruzione, con riga e squadra, della perpendicolare ad una retta data

Osserva la costruzione della perpendicolare alla retta r assegnata, passante per un suo punto P, con

l’utilizzo di riga e squadra:

r s

r P .

P

r .

r . P

152

PROVA TU Puoi facilmente procedere con la stessa costruzione nel caso della perpendicolare alla retta data,

passante per un punto Q qualsiasi del piano.

3) Per ogni retta della figura, traccia una qualsiasi retta perpendicolare ad essa.

4) Per ogni retta della figura, traccia la retta passante per il punto indicato e perpendicolare alla

retta data.

t

u

s

r

r

. P

v . O

Q .

. N

u

s

153

5) Rappresenta la distanza dalla retta r di ciascuno dei punti indicati nella seguente figura:

6) Disegna la proiezione ortogonale P'Q' del segmento PQ sulla retta r, nei casi indicati dalle figure

seguenti:

r . P . A

. Q

. B

r

.

P

Q

.

r

. . P Q

r .

. P

Q

r

.

. P

Q

P

r

.

. Q

.

r

. P

Q

154

7) Traccia le proiezioni ortogonali dei punti A, B, C e dei segmenti DE e FG sulla retta r.

Disegna le seguenti figure geometriche:

8) Una retta r , due punti distinti A e B che appartengono ad r e la retta s perpendicolare ad r,

passante per il punto medio del segmento AB (“chi è” quest’ultima retta?).

9) Due rette r ed s , incidenti in O, un punto A su r , un punto B su s e le proiezioni ortogonali di A

e B, rispettivamente, su s e su r.

10) Una retta r , due punti A e B nei due semipiani opposti di origine r e le proiezioni ortogonali di

A e B su r .

11) Una retta s , un punto P non appartenente ad s , la distanza PH di P da s , un punto Q di s ,

distinto da H, la proiezione ortogonale di H sulla retta PQ.

12) Una retta t , due punti P e Q su t , le perpendicolari a t condotte da P e da Q, una retta passante

per il punto medio M del segmento PQ che incontri la perpendicolare in P nel punto A e la

perpendicolare in Q nel punto B.

13) Un triangolo ABC, un punto P interno al triangolo, le proiezioni H, K e T del punto P,

rispettivamente, sui lati AB, BC e AC.

14) Un triangolo ABC, ottusangolo in A, la proiezione ortogonale AH del lato AB sulla retta del

lato AC, la distanza del punto H dal lato AB.

E

D F

r

. A

. B

. C

.

.

.

G

.

155

Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo

Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le altezze relative a ciascun lato. Verifica che

le tre altezze, o i loro prolungamenti, si incontrano in uno stesso punto (ortocentro del triangolo).

15)

16)

17)

COMPLETA :

L’ ortocentro è ……………… al triangolo, se il triangolo è ……………..……. ; coincide con il

vertice dell’angolo ……… , se il triangolo è rettangolo; è …………… al triangolo, se il triangolo è

………………..……. .

A B

C

G H

I

D E

F

156

Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le mediane relative a ciascun lato. Verifica

che le tre mediane si incontrano in uno stesso punto (baricentro del triangolo).

18)

19)

20)

COMPLETA :

Il baricentro è sempre …………….… al triangolo.

“Verifica” con la squadretta che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, delle quali

quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.

A B

C

G H

I

D E

F

157

Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le bisettrici relative a ciascun lato. Verifica

che le tre bisettrici si incontrano in uno stesso punto (incentro del triangolo).

21)

22)

23)

COMPLETA :

L’ incentro è sempre …………… al triangolo.

“Verifica” con il compasso che l’incentro è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo

(“ tocca” , cioè, i tre lati del triangolo).

A B

C

G H

I

D E

F

158

Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia gli assi relativi a ciascun lato. Verifica che i

tre assi, o i loro prolungamenti, si incontrano in uno stesso punto (circocentro del triangolo).

24)

25)

26)

COMPLETA :

Il circocentro non è sempre …………… al triangolo.

“Verifica” con il compasso che il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo

(“passa” , cioè, per i tre vertici del triangolo).

A B

C

G H

I

D E

F

159

Costruzione, con riga e squadra, della parallela ad una retta data

Osserva la costruzione di una retta s parallela alla retta r data:

Quindi:

s

r

r

r

s // r

s

r

160

27) Costruisci, con riga e squadra, una parallela a ciascuna retta data:

a)

b)

c)

t

s

r

d)

u

161

28) Per ogni retta della figura, traccia la parallela passante per il punto indicato.

a)

b)

s

B .

t

C .

c)

d)

u

D .

A .

r

162

29) In riferimento alla seguente figura, sapendo che r // s, COMPLETA le relazioni indicate.

6 = 74° ; 4 = …. 4 – 6

5 = …. ; 3 = …. 3 – 5

1 = …. ; 7 = …. 1 – 7

2 = …. ; 8 = …. 2 – 8

1 = …. ; 5 = …. 1 – 5

2 = …. ; 6 = …. 2 – 6

3 = …. ; 7 = …. 3 – 7

4 = …. ; 8 = …. 4 – 8

3 + 6 = …. 3 – 6

4 + 5 = …. 4 – 5

1 + 8 = …. 1 – 8

2 + 7 = …. 2 – 7

30) Due rette parallele a e b sono tagliate da una trasversale t che forma con la retta a un angolo di

53°. Calcola le ampiezze di tutti gli angoli formati da a e da b con la trasversale t.

31) Due rette parallele p e q sono tagliate da una trasversale t che forma con la retta q un angolo di

27° 42'. Calcola le ampiezze di tutti gli angoli formati da p e da q con la trasversale t.






r

s

t

1 2

3 4

5 6

7 8

74°

163

Angoli di un triangolo

Calcola l’ampiezza degli angoli indicati con il simbolo x.

32)

33)

34)

35)

x = …..

x = …..

x = …..

x = …..

32°

C

A B

x

33°

A B

C

75°

x

40°

28°

P Q

R

x

x 30°

107°

L M

N

164

36)

37)

38)

39)

x = …..

O P

Q

x

36°

R S

T

62°

* *

x

x = …..

U V

Z

* *

x

31°

A' B'

C'

* *

x

*

x = …..

x = …..

165

40)

41)

42)

43)

H' I'

L'

* *

48°

x x = …..

x = …..

M' N'

P'

O'

* *

x

134°

x = …..

x = …..

125°

E' G' D'

F'

x

x

R' T' Q'

S'

*

*

166

Criteri di congruenza dei triangoli (rettangoli e non)

In base ai dati riportati nelle varie figure (lati e/o angoli congruenti “segnati” con uno stesso

simbolo), indica se i triangoli sono congruenti e, in caso affermativo, scrivi in base a quale criterio

di congruenza lo sono.

44)

45)

46)

A B

C

*

o

H G

I

* o *

o

N

L M

S R

T

* O

*

Q

P

*

E

F

D

o SI NO

Criterio ………………….

SI NO


SI NO


167

47)

48)

49)

U V

Z

//

A'

C'

B' D'

F'

E'

o

I'

G' H'

N'

o

L' M'

J K

W

//

SI NO


SI NO


SI NO


168

PROBLEMI

1) Siano AB e BC due segmenti consecutivi e congruenti. Dimostra che le proiezioni dei due

segmenti sulla retta AC sono congruenti.

2) Dato un triangolo qualsiasi, considera l’angolo interno e l’angolo esterno relativo ad uno stesso

vertice. Dimostra che le loro bisettrici sono perpendicolari.

3) Dati due segmenti AB e BC, consecutivi e congruenti, conduci la bisettrice dell’angolo ABC.

Dimostra che tale bisettrice è l’asse del segmento AC.

4) Siano AB e BC due segmenti consecutivi congruenti. Conduci dagli estremi A e C (vedi figura)

due semirette r ed s che formano angoli congruenti, rispettivamente, con AB e BC. Detto P il

punto d’incontro di tali semirette, dimostra che AP≅ CP.

s

A B .

C

P

r

*

*

.

.

. Th.: AP≅ CP

AB ≅ BC

A∈r ; C∈s

r ∩ s = {P}

BAP≅ BCP

Hp.:

169

[Osserva che, unendo B con P, ottieni la seguente figura:

e che ai triangoli ABP e BCP non è applicabile alcun criterio di congruenza, né è possibile fare

alcuna utile considerazione].

Segui ...... l’altra strada:

Unisci A con C:

COMPLETA :

Osserva che il triangolo ABC è ………………… sulla base …… perché …… ≅ …… per ipotesi.

Segue quindi che:

BAC ≅ …… perché angoli alla base del triangolo …………………. ABC (segna BAC e

……. con il simbolo ).

.

s

A B .

C

P

r

*

*

.

.

.

s

A B .

C

P

r

*

*

.

.

.

170

Pertanto:

PAC≅ …… perché differenze di angoli congruenti (……≅ PCB e BAC≅ ……),

per cui il triangolo ACP è isoscele sulla base …… e, quindi, risulta: …… ≅ …… .

[BP è l’asse del segmento …….. PROVA TU] C.V.D.

5) Dal punto medio M del lato BC di un triangolo ABC, conduci la perpendicolare al lato stesso e

sia P la sua intersezione con la retta AC.

Dimostra che il triangolo PBC è isoscele.

6) Nel triangolo scaleno ABC, con AB > BC, prolunga il lato AB di un segmento BP tale che

BP ≅ BC. Traccia la bisettrice dell’angolo CBP e indica con Q il punto di intersezione con la

retta AC.

Dimostra che:

a) BQ è perpendicolare a CP;

b) il triangolo CPQ è isoscele.

7) Disegna un angolo convesso XOY. Da un punto P qualsiasi della sua bisettrice manda la

perpendicolare alla bisettrice stessa che incontra in A e B i lati dell’angolo.

Dimostra che il triangolo AOB è isoscele.

8) Sia dato un triangolo ABC, con AB > BC. Traccia la bisettrice dell’angolo B ed indica con D il

suo punto di intersezione con AC. Detto E il punto di AB tale che BDE≅ BDC, dimostra che

BD è l’asse del segmento CE.

(completare la figura)

s

A B .

C

P

r

*

*

.

.

. .

171

9) Considera due rette parallele tagliate da una trasversale.

Dimostra che:

a) le bisettrici di angoli corrispondenti sono parallele;

b) le bisettrici di angoli alterni interni sono parallele;

c) le bisettrici di angoli alterni esterni sono parallele.

10) Siano r ed s due rette parallele, tagliate da una trasversale t. Dimostra che le bisettrici di due

angoli coniugati interni, formati da r ed s con la trasversale t, sono fra loro perpendicolari.

Cosa puoi dire nel caso delle bisettrici di due angoli coniugati esterni?

Alla luce della considerazione che farai, come si può generalizzare l’enunciato del presente

problema?

11) Disegna un angolo acuto AOB e da un punto P del lato OA traccia la perpendicolare PH al lato

OB. Dal punto P traccia poi la bisettrice dell’angolo OPH che incontra in Q il lato OB. Conduci,

infine, dal punto Q la perpendicolare al lato OB che incontra in R il lato OA.

Dimostra che:

▪ PR≅ QR

12) Sia BP la bisettrice dell’angolo B del triangolo ABC, retto in A. Conduci da P la perpendicolare

all’ipotenusa BC che incontra l’ipotenusa e la retta del lato AB, rispettivamente, in D ed E.

Dimostra che:

a) PE≅ PC;

b) il triangolo BEC è isoscele;

c) il triangolo ABD è isoscele;

d) AD // EC.

13) Dato un triangolo PQR, retto in R, conduci da P la perpendicolare a PR e da Q la perpendicolare

a QR. Detto S il punto d’incontro di tali perpendicolari, dimostra che il triangolo PQS è

congruente al triangolo PQR.

14) Considera un triangolo isoscele ABC e traccia una retta parallela alla base BC che incontra i lati

congruenti AB e AC, rispettivamente, in D ed E.

Dimostra che:

▪ BE≅ CD

172

15) Considera un triangolo isoscele ABC e traccia una retta parallela alla base BC che incontra i

prolungamenti dei lati congruenti AB e AC, dalla parte di A, rispettivamente nei punti D ed E.

Dimostra che:

▪ BE≅ CD

16) Disegna un angolo convesso XOY e sia OZ la sua bisettrice. Considera su tale bisettrice due

punti R ed S tali che OR > OS.

Dai punti R ed S conduci:

o le perpendicolari al lato OX che lo incontrano, rispettivamente, in A e B;

o le perpendicolari al lato OY che lo incontrano, rispettivamente, in C e D.

Dimostra che:

a) OA ≅ OC e OB≅ OD;

b) AC // BD.

17) Dato il triangolo ABC, conduci per il vertice C la retta r parallela ad AB. Considera nel

semipiano di origine BC, non contenente A, un punto P∈r tale che PC≅ AB.

Dimostra che i triangoli ABC e PBC sono congruenti e che AC // BP.

18) Dato il triangolo ABC, retto in A, sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Conduci dal

vertice B la perpendicolare al cateto AB ed indica con D il suo punto d’intersezione con la retta

AH. Dimostra che i triangoli ACH e BDH hanno gli angoli congruenti.

[Dopo la dimostrazione, “segna” tutti gli angoli dei vari triangoli. Cosa deduci?]

19) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo A ed indica con D il suo punto

d’incontro con il lato BC.

Dal punto D conduci:

o la parallela ad AB, indicando con E il suo punto d’incontro con AC;

o la parallela ad AC, indicando con F il suo punto d’incontro con AB.

Dimostra che:

▪ AE ≅ ED≅ DF≅ FA

20) Dato un triangolo ABC, conduci dal vertice A la parallela al lato BC e dal vertice C la parallela

al lato AB. Detto D il punto di incontro di tali parallele, dimostra che i triangoli ABC e ACD

sono congruenti.

173

21) Dato il segmento AB, indica con M il suo punto medio. Conduci per M una retta r, distinta dalla

retta AB, e prendi su di essa due punti P e Q tali che MP≅ MQ.

Dimostra che:

▪ AQ // BP;

▪ AP // BQ.

22) Associa ciascuna delle seguenti figure:

ai tre casi di seguito elencati:

a) due angoli con i lati paralleli e concordi (stesso verso);

b) due angoli con i lati paralleli e discordi (verso contrario);

c) due angoli con i lati paralleli, di cui due concordi e due discordi.

Dimostra che:

▪ nel caso a) gli angoli sono congruenti;

▪ nel caso b) gli angoli sono congruenti;

▪ nel caso c) gli angoli sono supplementari.

α

β

fig. 1

γ

δ

fig. 2

φ

ω

fig. 3

174

23) Dimostra che sono congruenti due triangoli rettangoli che hanno ordinatamente congruenti un

angolo acuto e la bisettrice relativa.

24) Dato un triangolo ABC, traccia dal vertice C la parallela al lato AB e prendi su di essa due punti

distinti D ed E tali che CD≅ CE≅ BC.

Dimostra che le semirette BD e BE sono le bisettrici dell’angolo interno e dell’angolo esterno di

vertice B.

25) Dato il triangolo rettangolo ABC della seguente figura:

dimostra che, conducendo le bisettrici dei due angoli acuti, l’ampiezza del minore degli angoli

formati da tali bisettrici è indipendente dalle ampiezze di α e di β [tale ampiezza vale, infatti,

45°].

26) Relativamente alla seguente figura:

Dimostra che:

δ + φ ≅ 2 (β + γ) 2 …. ≅ ……………

cioè “la somma dei due angoli esterni di vertice A ………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………… .

C

α β

A B

δ ≅ φ

COMPLETA

δ

φ

β

A B

C

α

γ

175

27) Riferendoti al triangolo dell’esercizio precedente dimostra che:

� la somma dei due angoli esterni di vertice B ………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………..… ;

� la somma dei due angoli esterni di vertice C ………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………..… .

28) PROVA TU a generalizzare i risultati dei due esercizi precedenti, completando il seguente

enunciato:

“la somma dei due angoli esterni di ciascun vertice ………………………………………………

………………………………………………………………………………………………........”

29) Dimostra che in un triangolo isoscele la somma dei due angoli esterni, aventi come vertice un

estremo della base, è congruente alla somma degli angoli alla base e del doppio dell’angolo al

vertice.

30) Dato un triangolo isoscele MNP, da un punto Q della base MN conduci la parallela al lato PN

che incontra PM in R. Dimostra che il triangolo MQR è isoscele.

31) Dato un triangolo ABC, conduci dal vertice B la parallela alla bisettrice dell’angolo in A e sia D

il punto d’intersezione di tale parallela con il prolungamento del lato AC.

Dimostra che AB≅ AD.

32) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci la bisettrice dell’angolo retto e sia D il suo punto

d’intersezione con BC. Dal punto B manda la perpendicolare ad AD ed indica con E il suo

punto d’intersezione con AC (o con il suo prolungamento). Dimostra che il triangolo ABE è

isoscele.

33) Siano A e B i punti in cui una retta t interseca, rispettivamente, due rette a e b tra loro parallele.

Detto M il punto medio del segmento AB, conduci per M una retta, distinta da t, che interseca a

in P e b in Q. Dimostra che PM≅ MQ.

34) Sia AD la bisettrice dell’angolo A di un triangolo ABC. Traccia da un qualsiasi punto P del lato

AC la parallela ad AD che incontra in Q la retta del lato AB.

Dimostra che APQ è un triangolo isoscele.

COMPLETA

COMPLETA

176

35) Prolunga i lati AB e AC di un triangolo ABC oltre B e C. Traccia le bisettrici degli angoli

esterni così ottenuti e indica con F il loro punto d’intersezione. Manda da F la parallela al lato

BC e siano D ed E i punti di intersezione, rispettivamente, con le rette dei lati AB e AC.

Dimostra che DE≅ BD + CE.

36) La bisettrice AD di un triangolo ABC è tale che AD≅ DC. Manda da D la parallela ad AC e da

B la parallela ad AD e indica con E il punto di intersezione di tali parallele.

Dimostra che il triangolo BDE è isoscele.

37) Dato un triangolo isoscele ABC, di base BC, traccia l’altezza AH e dai punti B e C manda le

parallele a tale altezza. Indica con D ed E gli ulteriori punti in cui tali rette intersecano,

rispettivamente, i prolungamenti dei lati AC e AB.

Dimostra che i triangoli ABD e ACE sono isosceli e congruenti tra loro.

38) Dato un segmento AB, traccia dai suoi estremi due rette parallele r ed s. Considera su tali

parallele, nei semipiani opposti individuati dalla retta AB, due punti C e D tali che AC≅ BD.

Unisci C con D e indica con E il punto di intersezione tra AB e CD.

Dimostra che E è il punto medio sia di AB che di CD.

39) Dato un triangolo ABC, conduci da ogni vertice la parallela al lato opposto. Dimostra che i tre

triangoli che si vengono a formare sono congruenti al triangolo dato.

40) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga BC di un segmento CD≅ AC.

Congiungi D con A e considera sul prolungamento del segmento DA, dalla parte di A, un punto

qualsiasi E. Dimostra che:

▪ BAE ≅ 3 BDA

41) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga AB di un segmento BD≅ BC.

Congiungi D con C e dimostra che:

▪ DCA ≅ 3 ADC

42) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci la bisettrice dell’angolo in A e indica con D il suo

punto d’incontro con la perpendicolare ad AB condotta da B.

Dimostra che il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele.

.

.

177

43) Date due rette parallele r ed s, sia t una trasversale che tagli r in A ed s in B.

Considera su r un segmento AC e su s, nello stesso semipiano individuato dalla trasversale t, il

segmento BD≅ AC. Dimostra che le rette AB e CD sono parallele.

[suggerimento: unisci B con C e considera i triangoli ………..]

44) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci la bisettrice dell’angolo B e indica con P il punto in

cui tale bisettrice interseca il lato AC.

Conduci da P la perpendicolare all’ipotenusa BC e sia D la loro intersezione.

Dimostra che PD≅ AP.

45) Dato un triangolo equilatero ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di B, di un segmento BD

congruente ad AB. Dimostra che il triangolo ACD è retto in C.

46) Dimostra che:

▪ in ogni triangolo rettangolo, la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà

dell’ipotenusa;

[suggerimento: prolunga la mediana di un segmento congruente ad essa e unisci

……………….]

Viceversa

▪ se in un triangolo, la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla sua metà,

allora il triangolo è rettangolo.

[suggerimento: detto α l’angolo al vertice di uno dei due triangoli isosceli, si ha

………….]

47) Dato un triangolo acutangolo ABC, dimostra che la somma dei complementari degli angoli

interni del triangolo acutangolo è congruente ad un angolo retto.

48) Dato un triangolo isoscele ABC, retto in A, conduci dal vertice A, esternamente al triangolo,

una retta r. Siano:

o AH l’altezza relativa all’ipotenusa;

o BK la distanza di B dalla retta r;

o CT la distanza di C dalla retta r.

Dimostra che:

▪ KT ≅ CT + BK.

178

49) Dato un triangolo acutangolo ABC, siano AH e CK le altezze relative, rispettivamente, ai

lati BC e AB. Detto P il punto di incontro di tali altezze, conduci da P la perpendicolare PQ al

lato AC e, sul suo prolungamento, prendi il segmento QR≅ PQ.

Dimostra che:

a) i triangoli ACP e ACR sono congruenti;

b) gli angoli ABC e ARC sono supplementari.

50) L’angolo ottuso formato dalle bisettrici di due angoli interni di un triangolo qualunque è

congruente alla somma di un angolo retto con la metà del terzo angolo.

51) Dato il triangolo ABC, retto in B, conduci la bisettrice AD dell’angolo A . Dal punto C manda

la parallela ad AD e sia E il suo punto di incontro con il prolungamento dell’altezza BH, relativa

al lato AC. Dimostra che il triangolo BCE è isoscele sulla base CE.

52) Disegna un angolo convesso XOY e conduci la sua bisettrice b Dopo aver preso un punto P su

b, traccia l’asse del segmento OP ed indica con C e D i suoi punti di intersezione,

rispettivamente, con OX e OY.

Dimostra che:

a) OD≅ DP;

b) DP // OC ∧ OD // PC.

53) Dato un angolo convesso XOY, considera sul lato OX un punto A e sul lato OY un punto B in

modo che OA≅ OB. Conduci da A e B le perpendicolari, rispettivamente, ad OX e ad OY.

Detto P il punto di incontro di tali perpendicolari, dimostra che P appartiene alla bisettrice

dell’angolo XOY.

54) Dato il segmento AB, indica con M il suo punto medio. Traccia una retta qualsiasi r passante

per M, distinta dalla retta AB, ed indica con A' e B', rispettivamente, le proiezioni ortogonali di

A e B su r. Dimostra che:

▪ AA' ≅ BB'.

55) Dato un triangolo ABC, considera un punto D sul lato BC e conduci gli assi a e b,

rispettivamente, dei segmenti BD e DC. Indica con E ed F i punti d’intersezione di a e b,

rispettivamente, con le rette dei lati AB e AC. Dimostra che EDF≅ BAC.

179

56) In un triangolo ABC, conduci l’altezza CH e la mediana CM. Prolunga l’altezza di un segmento

HD ≅ CH e la mediana di un segmento ME≅ CM. Dopo aver congiunto A con D e B con E,

dimostra che:

a) AC // BE;

b) AC ≅ AD ≅ BE.

57) Dato un triangolo isoscele DEF, di base EF, dal vertice D manda la parallela alla base.

Dimostra che tale retta è bisettrice dell’angolo esterno di vertice D.

58) Sia dato il triangolo ABC della figura seguente:

Conduci le bisettrici degli angoli β e γ. Dal punto A traccia le parallele a tali bisettrici ed indica

con D ed E i loro punti di intersezione con la retta BC.

Dimostra che:

a) DE≅ AB + BC + CA;

b) DAE ≅ α + β/2 + γ/2 ; D ≅ β/2 ; E ≅ γ/2 .

59) Dato un triangolo ABC, retto in A, prendi il punto D su BC tale che BD≅ AD. Dimostra che D

è equidistante dai tre vertici del triangolo dato.

60) Di un triangolo rettangolo PQR sappiamo che l’ipotenusa QR è doppia del cateto PQ. È corretto

affermare che PQR è il doppio di PRQ?

(Motiva la tua risposta)

61) Di un triangolo PQR, retto in P, sappiamo che PQR è il doppio di PRQ. È corretto affermare che

l’ipotenusa QR è doppia del cateto PQ? (Motiva la tua risposta)

A B

C

γ

α β

180

62) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci le proiezioni del cateto AB sull’ipotenusa e sulla

retta della mediana relativa all’ipotenusa.

Dimostra che tali proiezioni sono congruenti.

63) Dato un triangolo acutangolo ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di A, del segmento

AD ≅ AC e, dalla parte di B, del segmento BE≅ BC.

Dimostra che:

a) ADC ≅2

1 BAC ; BEC ≅

2

1 ABC ;

b) DCE > 2

π .

64) Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, l’asse di AC interseca la retta BC in D. Prolunga il

segmento DA di un segmento AE≅ BD.

Dimostra che:

a) il triangolo ACD è isoscele;

b) il triangolo CDE è isoscele.

65) Considera due rette parallele r ed s. Da un punto A di r traccia una semiretta che incontri s nel

punto B. Conduci le bisettrici degli angoli BAr e siano C e D i loro punti di intersezione con la

retta s.

Dimostra che:

a) il triangolo ACD è rettangolo;

b) i triangoli ABC e ABD sono isosceli.

66) Dato un quadrilatero convesso ABCD, conduci le sue diagonali AC e BD. Detto O il loro punto

di intersezione, dimostra che:

a) OAB + OBA ≅ OCD + ODC;

b) OBC + OCB ≅ OAD + ODA.

67) Dato un triangolo ABC, retto in C, sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa AB. Dimostra che i

triangoli ACH e BCH hanno gli angoli congruenti a quelli del triangolo ABC.

181

68) In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci l’altezza CH e da un suo punto D manda

le parallele ai lati AC e BC. Detti E ed F i punti di incontro di tali parallele, rispettivamente, con

i lati AC e BC, dimostra che:

a) i triangoli CDE e CDF sono congruenti;

b) i triangoli ADE e BDF sono congruenti.

69) Dal punto medio M della base BC di un triangolo isoscele ABC, conduci le perpendicolari MH

e MK ai lati congruenti AB e AC.

Dimostra che:

a) MH ≅ MK;

b) i triangoli AMH e AMK sono congruenti.

70) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera un punto D sul lato AC e da tale

punto conduci la parallela alla bisettrice dell’angolo ABC. Indica con P e Q i punti di incontro

di tale parallela, rispettivamente, con le rette dei lati AB e BC.

Dimostra che BP≅ BQ.

71) Date due rette parallele r ed s, sia t una perpendicolare alle due rette che intersechi r in A ed s in

B. Dal punto medio M del segmento AB conduci una retta u, distinta da t, che intersechi r ed s,

rispettivamente, in C e D.

Conduci, poi, l’asse del segmento CD ed indica con E ed F, rispettivamente, i suoi punti di

intersezione con le rette r ed s.

Dimostra che:

▪ ED // CF.

[suggerimento: dimostra prima che CM≅ MD]

72) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera su di essa due punti D ed E. Conduci:

o dal punto D la parallela al lato AC e sia F il punto d’intersezione con il lato BC;

o dal punto E la parallela al lato BC e sia G il punto d’intersezione con il lato AC.

Detto I il punto d’intersezione di DF con EG, dimostra che:

a) i triangoli AEG, DBF e DEI sono isosceli;

b) gli angoli dei triangoli AEG, DBF e DEI sono congruenti agli angoli del triangolo

ABC.

182

73) Dato un triangolo ABC, retto in A, prolunga l’ipotenusa BC di un segmento BD≅ BA. Conduci,

poi, dal vertice C, nel semipiano avente come origine la retta BC e contenente A, la

perpendicolare a BC e prendi su di essa il segmento CE≅ CA.

a) Esprimi, in funzione dell’angolo ABC, le misure degli angoli BAD, ACE e CAE.

[BAD ≅2

1 ABC; ACE≅ ABC; CAE≅

2

π –

2

1ABC]

b) Dimostra che i punti D, A ed E sono allineati.

74) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci l’asse del lato BC che intersechi in D il

prolungamento del lato AB. Unisci D con C e prolunga DC del segmento CE≅ AD. Unisci,

infine, B con E e dimostra che:

a) il triangolo BDE è isoscele;

b) ACB + DBE ≅ 2 BAC.

[suggerimento: ragiona sugli angoli. Poni BAC = α ………………..]

75) Dato un triangolo MNP, isoscele sulla base MN, conduci le altezza MH ed NK relative ai lati

congruenti. Dimostra che la retta HK è parallela alla base MN.

[suggerimento: dai punti H e K conduci le perpendicolari alla base …. ]

76) Siano a e b due rette parallele e sia t una retta che incontri a in A e b in B. Dimostra che il punto

medio del segmento AB è equidistante dalle rette a e b.

77) Perché l’incentro di un triangolo è equidistante dai lati dell’angolo?

78) Perché il circocentro di un triangolo è equidistante dai vertici del triangolo?

79) Sia T un punto della base PQ di un triangolo isoscele PQS. Conduci da T la perpendicolare t a

PQ ed indica con:

o K il punto di intersezione di t con la retta del lato PS;

o F il punto di intersezione di t con la retta del lato QS.

Dimostra che il triangolo FKS è isoscele.

[suggerimento: traccia l’altezza SH relativa a PQ (SH // PQ) oppure …. ]

.

183

80) Sia s la bisettrice di un angolo aOb. Da un punto P del prolungamento della semiretta a, dalla

parte di O, conduci la parallela ad s che incontra la semiretta b in un punto Q.

Dimostra che OP≅ OQ.

81) Sia rOs un angolo acuto e T un suo punto interno. Conduci da T le perpendicolari TH e TK

rispettivamente ai lati r ed s.

Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

a) OT è bisettrice di HOK;

b) HOK è complementare di HTK;

c) HOK è supplementare di HTK;

d) TH ≅ TK;

e) OTH≅ OTK.

(Motiva la tua risposta)

82) Osserva la seguente figura dove r ed s sono due rette parallele:

In base ai dati riportati, dimostra che:

γ ≅ α + β

[suggerimento: traccia la retta t passante per A e ……… ]

83) Siano BH e CK le altezze relative ai lati congruenti AC e AB del triangolo isoscele ABC.

Prolunga BH di un segmento HD≅ BH e CK di un segmento KE≅ CK. Detto M il punto medio

di BC, dimostra che:

a) DM ≅ EM;

b) ED // BC.

Q

A

P r

s

γ

α

β

184

84) Sia RST un triangolo isoscele di base RS. Conduci:

o da R la parallela al lato ST;

o da S la parallela al lato RT,

ed indica con U il punto di intersezione di tali parallele.

Dimostra che:

▪ TU è asse del segmento RS.

85) Dato il triangolo equilatero PQR, conduci:

o da Q la perpendicolare a PQ;

o da R la perpendicolare a PR,

ed indica con S il punto di incontro di tali perpendicolari.

Dimostra che:

▪ PS è asse di RQ.

86) Sia O il punto d’intersezione di due rette perpendicolari r ed s. Prendi su r due punti A e B tali

che OA≅ OB. Traccia da A e da B due rette t ed u, tra loro parallele, che incontrano s

rispettivamente in C e D.

Dimostra che AC≅ BD.

87) Sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa AB di un triangolo rettangolo ABC. Conduci:

o la bisettrice CD dell’angolo ACH;

o la bisettrice CE dell’angolo BCH.

Dimostra che:

a) AC ≅ AE;

b) BC≅ BD.

CONTINUA ….. . O r

s

. . A B

t

u

C

D

.

.

185

88) Dato un triangolo ABC, indica con r la retta passante per i punti medi di due suoi lati. Dimostra

che r è equidistante dai tre vertici del triangolo.

[suggerimento: guarda la figura ….. ]

89) Dato un triangolo ABC, conduci gli assi dei lati AB e AC ed indica con D ed E, rispettivamente,

i loro punti d’incontro con la parallela a BC, condotta dal vertice A.

Dimostra che:

a) AB è la bisettrice dell’angolo CBD;

b) AC è la bisettrice dell’angolo BCE.

90) Dato un triangolo ABC, siano r ed s le bisettrici, rispettivamente, degli angoli esterni di vertice

A e C. Detta b la bisettrice dell’angolo ABC, dimostra che le tre bisettrici si incontrano in uno

stesso punto P.

91) Sia OA la bisettrice dell’angolo XOY. Determina il luogo dei punti del piano equidistanti da OX

e da OA.

r

H A B

C

N .

. M * *

//

//

K

T

186

OCCHIO ALLE OLIMPIADI!

92) Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC e BCA e si intersecano in P.

Sapendo che APC = 140°, quanto misura l’angolo in B?

A. 90°

B. 100°

C. 110°

D. 120°

E. 130°


[D]

93) Nella figura qui a fianco, quanto misura l’angolo α?

A. 70

B. 75°

C. 80°

D. 90°

E. Non può essere determinato con i soli dati forniti.


[C]

α

50°

10°

60°

20° .

UN’OCCHIATA ALLE

OLIMPIADI …. ANZI,

NEL MIO CASO, DUE

OCCHIATE!

187

94) Nel pentagono regolare disegnato a fianco, il triangolo ABC è equilatero.

Quanto vale l’angolo convesso FCD ?

A. 120°

B. 144°

C. 150°

D. 168°

E. 170°


[D]

95) Quanto vale l’angolo x in figura ?

A. 180° – α + γ

B. 180° – β + γ

C. α + δ

D. β + δ

E. 180° – δ – γ


[A]

A B

C D F

E

γ

β α x δ

188

96) Si sa che nella figura seguente CAE = 60° , AEB = 20° , ACD = 25° . I punti E, D e B sono

allineati. Qual è la misura di BDC ?

A. 75° B. 85° C. 90° D. 105° E. Le informazioni sono insufficienti.


[A]

97) In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettrice dell’angolo

formato dai due lati si incontrano in uno stesso punto. Possiamo affermare che:

▪ non esiste un triangolo con questa proprietà;

▪ il triangolo è equilatero;

▪ il triangolo ha un angolo di 30°;

▪ il triangolo è rettangolo;

▪ il triangolo ha un angolo di 45°.


[B]

98) Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC e BCA e si intersecano in P.

Sapendo che APC = 140°, quanto misura la misura dell’angolo in B?

A) 90°

B) 100°

C) 110°

D) 120°

E) 130°


[B]

A B C

D

E

A

B C N

P M

189

99) ABCD è un quadrato ed EBC è un triangolo equilatero. Qual è l’ampiezza in gradi dell’angolo

AED?

A) 120°

B) 135°

C) 150°

D) 160°

E) Nessuno dei precedenti.


[C]

100) Quanti angoli maggiori di 90° può avere un quadrilatero (non intrecciato)?

A) Ne ha sempre almeno uno

B) Ne ha al più uno

C) Ne ha al più due

D) Ne ha al più tre

E) Può averne quattro.


[D]

A B

C D

E

IL PRESENTE VOLUME E' STATO REALIZZATO DA

Prof. TIRALONGO SALVATORE

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