OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008/2009. OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 2009 22 ELEMENTI DI GONIOMETRIA...

OLIMPIADI

DI

FISICA

a.s. 2008/2009

OLIMPIADI DI FISICA a.s. 2008- 20092 2

ELEMENTI DI GONIOMETRIA

• PQ=sen OQcos• RS=tgsen /cos

O

P

Q

R

S


ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA

CB = AC sen AB = AC cos CB = AB tg AB = BC tg

A B

C


CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI(geometria euclidea)• 1° Due triangoli sono congruenti se e solo se

hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo compreso.

• 2° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno rispettivamente congruenti un lato e due angoli.

• 3° Due triangoli sono congruenti se e solo se hanno congruenti i lati corrispondenti


RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)Un triangolo rettangolo è

completamente risolto se sono noti:

1. I due cateti2. Un cateto e l’ipotenusa3. Un cateto e un angolo acuto4. L’ipotenusa e un angolo acuto


RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)• 1°; noti i due cateti

• r2=x2+y2

• y/x = tg = arctg y/x= tg-1 y/x• x/y = tg = arctg x/y= tg-1 x/y

A B

C

x

y

r


RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)• 2°; noti un cateto e l’ipotenusa

x2= r2 - y2 ; y2= r2 - x2

x = r cos x = r sen cos = sen = x/r = sen-1 x/r = cos-1 x/r

A B

C

x

y

r


RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)• 3°; noti un cateto e l’angolo acuto

x = r cos r = x/ cos y/x = tg ; y= x tg

A B

C

x

y

r


RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI(conseguenze di Euclide)

4°; noti l’ipotenusa e l’angolo acuto

x = r cos y = r sen

A B

C

x

y

r


EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO

• Con l’avvento della fisica galileana viene abbanonata l’idea della ricerca dell’essenza della forza puntando l’attenzione sugli effetti delle forze sui corpi materiali. L’introduzione del concetto di forza ha come conseguenze:

• possibili deformazioni dei corpi vincolati

• moto non rettilineo e non uniforme



• Spesso l’azione di una forza provoca delle deformazioni trascurabili rispetto allo spostamento, tale effetto porta ad introdurre il concetto di corpo rigido esteso (cioè un corpo le cui dimensioni spaziali variano in maniera trascurabile in seguito all’azione della forza). Tale concetto è puramente astratto ma utile per trattare l’equilibrio statico dei corpi.



• Inoltre, è necessario introdurre anche i concetti di corpo libero e corpo vincolato.

• Per corpo libero si intende un corpo che non ha alcuna limitazione direzionale legata al moto, mentre per corpo vincolato si intende un corpo a mobilità ridotta.


AZIONE DI FORZE SU UN CORPO RIGIDO

• Nel caso in cui su un corpo rigido agiscono più forze esso si muoverà lungo la risultante

F1

F2 FR



• Nel caso in cui la risultante FR fosse nulla il centro di massa del corpo rimane in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme

Fi =0



• La condizione Fi =0 non è sufficiente a garantire l’equilibrio del corpo rigido.

• Infatti applicando una coppia di forze (antiparallele, stesso modulo) il moto di rotazione del corpo subirà una variazione.

F1

F2


EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza

• La rotazione del corpo è dovuto al Momento M. Il modulo del momento rispetto ad un punto è dato dal prodotto del modulo della forza F per il braccio b.

F

O

B

b


EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO: Momento di una forza

• Nel caso di un corpo esteso sottoposto all’azione di una forza F che forma con il corpo un angolo con la sua direzione, si ha:

M = F sen b

F

b


EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO:

• Condizione necessaria e sufficiente affinché un corpo in quiete permanga in equilibrio statico sia rispetto alla traslazione sia rispetto alla rotazione, è:

1. Fi =0

2. Mi =0i = 1,2,3,4,5 …….

Equazioni cardinali della statica


PROBLEMA 1

• Un cubetto di massa m è poggiato sul piano orizzontale, sia inoltre il coefficiente di attrito statico con la superficie di contatto con il piano. Una sbarra di massa M=2m e di lunghezza l è incernierata ad una estremità A e forma un angolo con la perpendicolare al piano orizzontale, come mostrato in figura.

• Il contatto in B tra la sbarra e il cubetto, privo di attrito, si trova ad una distanza da A pari a 4/5 l. Trovare il coefficiente di attrito statico in funzione dell’angolo , che permetta al sistema di mantenersi in quiete.


Figura

AB =4/5 l

A

B

P

F


Applicazione equazioni cardinali

l /2 Mg sen = F 4/5 lF cos = (mg + F sen )

M=2m

F= 5/8 Mg sen mg sen F cos = (mg + F sen )F= mg sen

5/4 mg sen cos = (mg + mg sen2 )

2°


…………..

5/4 mg sen cos = (mg + mg sen2 )

5/4 sen cos = (1 + 5/4 sen2 )

=5 sen cos / ( 4 + 5 sen2 )


Considerazioni……..

La relazione trovata per il coefficiente di attrito statico

= 5 sen cos / ( 4 + 5 sen2 )evidenzia:• dipendenza solo dal rapporto tra le masse

dell’asta e del blocchetto;• dipendenza dal rapporto della lunghezza l

dell’asta e del tratto AB e non dalla lunghezza l;• indipendenza dalla forma del blocchetto

(parallelepipedo);• indipendenza da g.


2° caso

Riscrivendo le precedenti equ. cardinali l /2 Mg sen = F 4/5 lF cos = (mg + F sen )

• Per un generico rapporto tra le masse M/m= H

• Per un generico rapporto tra AB ed l AB/l=KSi ha:


2° caso

l /2 Mg sen = F K lF cos = (mg + F sen ) AB/l=K

M/m=H

F= (Mg sen 2KF cos = (mg + F sen )

F= H mg sen 2KH/2K) mg sen cos = (mg + H/2K)mg sen2 )


2° caso

H/2K) mg sen cos = (mg + H/2K)mg sen2

(H/2K) sen cos = (+ H/2K)sen2

H sen cos / ( 2K + H sen2 )


3°

• Lasciando inalterate tutte le precedenti condizioni, ma variando le dimensioni del blocchetto ci si troverebbe nella situazione della figura successiva …….


3°caso figuraAB/l= 4/51 > cos1 < cos

Il coefficiente di spinta diminuisceA

B

1

1


2°problema

• Tre cubetti di masse m1,m2,m3 sono disposti su un piano inclinato come in figura. Siano 1, 2, 3 i coefficienti di attrito statico tra le superfici del piano inclinato e quelle dei tre blocchi rispettivamente, con 1 > 2 > 3.

Trovare il valore dell’angolo limite per cui l’intero sistema si mantiene in condizioni statiche, in funzione dei coefficienti d’attrito e delle masse. Trovare, inoltre, l’espressione delle forze che si esercitano tra le pareti a contatto dei corpi.


2° problema …… figura

1 > 2 > 3

1

23

F1

F2


2° problema

Il sistema rimane statico finché il corpo 1 resta in quiete.

Forza risultante sul cubetto 1 lungo il piano inclinato:

• m1 g sen +F1 – 1 m1 g cos = 0

Poiché 1 > 2 > 3 i corpi 2 e 3 superano le condizioni limite prima del corpo 1.

F1 modulo della forza risultante su 1, lungo il piano, dovuta alla spinta di 2 e 3:

• F1 = (m2+m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos


2° problema

Da cui:

• m1 g sen +(m2 + m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos – 1 m1 g cos = 0

• (m1+m2+ m3)sen – (1m1 + 2m2 + 3m3) cos =0

• (m1+m2+ m3)sen = (1m1 + 2m2 + 3m3) cos

Da cui si ottiene:

• tg = (1m1 + 2m2 + 3m3) / (m1+m2+ m3)

(media pesata sulle masse)


2° problema

F2 modulo della forza risultante tra i corpi 2,3:

F2 = m3 g sen – 3 m3 g cos

Le condizioni di equilibrio per i tre corpi sono: ?????


2° problema

m1 g sen + F1 – 1 m1 g cos

m2 g sen +F2 –F1 – 2 m2 g cos

m3 g sen -F2– 3 m3 g cos

1

23


Considerazioni

Affinché il sistema sia in equilibrio statico nel caso: a)1>2 >3

si deve avere• (m2+m3) g sen – F1 – (2 m2 + 3 m3 )g cos ≤

da cui• F1 ≥ (m2+m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos Sostituendo in (*)• m1gsen+(m2+m3)gsen –(2m2+ 3m3)gcos–

1m1gcos≤ • m1sen+(m2+m3)sen –(2m2+ 3m3)cos– 1m1cos≤ • (m1+m2+m3)sen –(1m1 + 2m2+ 3m3)cos≤

• tg ≤ (1m1 + 2m2 + 3m3) / (m1+m2+ m3)


Problema 2

Dalla condizione di equilibrio (*)

• m1 g sen + F1 – 1 m1 g cos si ha

• F1 =(1 cos –sen m1 g inoltre

• F1 =(m2+m3) g sen – (2 m2 + 3 m3 )g cos

Dalla (**) si ha:F1 (sen – 2 cos m2 g+F2sostituendo

(m2+m3)sen–(2 m2+3m3)cos(sen–2cosm2+F2

Dalla (***) si ha:F2 = m3 g sen – 3 m3 g cos


Considerazioni:

b) Nel caso in cui 1 >3>2 si possono presentare due sottocasi:

• b1) i corpi 2 e 3 superano l’angolo limite prima del corpo 1 e si rientra così nel caso a)

• b2) l’insieme dei corpi 1 e 2 supera l’angolo limite prima del corpo 3.


Considerazioni:

m2g sen – 2 m2 g cos m1gsen –1m1gcos

m1 +m2sen = (1m1 + 2 m2 ) cos

tg = (1m1 + 2m2 ) / (m1+m2)

Media pesata sulle masse m1 ,m2


Considerazioni

• C) Nel caso in cui 2 >3>1 il corpo 1 non risente delle azioni dei corpi 1 e 2 per cui:

tg = 1


Considerazioni

• d) Nel caso in cui 2 >1>3 si possono presentare due sottocasi:

• d1) l’insieme dei corpi 2 e 3 supera l’angolo limite prima del corpo 1 e si rientra nel caso a)

• d2) il corpo 1 supera l’angolo limite prima dell’insieme dei corpi 2 e 3 e si rientra nel caso c).


Considerazioni

e) Nel caso in cui 3 > 2 > 1 si rientra nel caso c)

tg = 1

f) Nel caso in cui 3 > 1 > 2

l’insieme dei corpi 1 e 2 supera la condizione limite prima del corpo 3 e si rientra nel caso b).


Problema 3


m1

m3

m2

x yd

α β

m1

m3

m2

x yd

α β

m1

m3

m2

x yd

α β

m1

m3

m2

x yd

α β

m1

m3

m2

x yd

α β

m1

m3

m2

x yd

α β

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