COSTRUZIONI AEROSPAZIALI

Teoria della Piastra e Metodi Approssimati

2

Teoria classica della Piastra

Ipotesi 1.Il materiale è omogeneo, isotropo e a comportamento elastico lineare. 2.La struttura è piana ed a sezione costante. 3.Le forze esterne q(x,y), per unità di superficie, agiscono in direzione z. 4.Lo spostamento w è tale che w/h < 1: wMax< h/5, ovvero wMax< L/50. Una tale ipotesi consente di considerare le coordinate del corpo deformato coincidenti

con quelle del corpo indeformato. 5.Che le rotazioni della superficie media risulti piccola: ovvero θ<<1. 6.Che sforzi e deformazioni dovute ai carichi assiali siano di un ordine di

grandezza trascurabile rispetto a quelli indotti dalla flessione.

h

y z

x

Ly

Lx

q(x,y)

3

u x z z u x

v x z

w x z z w x

mm

m

M

nn

n

N

( , ) ( )

( , )

( , ) ( )

=

=

=

=

=

∑

∑

0

0

0

u x z u x zu xv x zw x z w x zw x

( , ) ( ) ( )( , )( , ) ( ) ( )

= +== +

0 1

0 1

0

Trave

w u0

z,w

x,u

θx

u x z u x z xv x zw x z w x

( , ) ( ) ( )( , )( , ) ( )

= +==

0

0

0θ

Piastra u x y z z u x y

v x y z z v x y

w x y z z w x y

mm

m

M

mm

m

M

nn

n

N

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

=

=

=

=

=

=

∑

∑

∑

0

0

0

0 x

0 y

0

u(x, y, z) u (x, y) z (x, y)v(x, y, z) v (x, y) z (x, y)

w(x, y, z) w (x, y)

= + θ

= + θ =

0 1

0 1

0 1

u(x, y, z) u (x, y) zu (x, y)v(x, y, z) v (x, y) zv (x, y)w(x, y, z) w (x, y) zw (x, y)

= + = + = +

w u0

z,w

x,u

θx

4

sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano piane,M=N=1:

+=

θ+=θ+=

)y,x(zw)y,x(w)z,y,x(w

)y,x(z)y,x(v)z,y,x(v)y,x(z)y,x(u)z,y,x(u

10

y0

x0

sezioni inizialmente piane ed ortogonali al piano medio rimangano ortogonali alla linea media, γxz=γyz=0:

∂∂

−=θ⇒=∂∂

+θ=∂∂

+∂∂

=γ

∂∂

−=θ⇒=∂∂

+θ=∂∂

+∂∂

=γ

yw

0y

wyw

zv

xw

0x

wxw

zu

0y

0yyz

0x

0xxz

=∂

∂−=

∂∂

−=

)y,x(w)z,y,x(wy

)y,x(wz)y,x(v)z,y,x(v

x)y,x(w

z)y,x(u)z,y,x(u

0

00

00

w −∂∂wx

u0

z,w

x,u

5

Relazioni cinematiche 2

0 0xx 2

20 0

yy 2

20 0 0

xy zz xz yz

u (x, y) w (x, y)(x, y, z) zx x

v (x, y) w (x, y)(x, y, z) zy y

u (x, y) v (x, y) w (x, y)(x, y, z) 2z ; 0y x x y

∂ ∂ε = −∂ ∂

∂ ∂ε = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ = + − ε = γ = γ = ∂ ∂ ∂ ∂

Legami costitutivi

xx xx0 xx1 yy yy0 yy1 xy xy0 xy1z ; z ; zσ = σ − σ σ = σ − σ τ = τ − τ

[ ]

[ ]

σν

ε νεν

∂∂

ν∂∂

∂∂

ν∂∂

σν

ε νεν

∂∂

ν∂∂

∂∂

ν∂∂

τ γ∂∂

∂

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

E E ux

vy

zwx

wy

E E vy

ux

zwy

wx

G Guy

=−

+ =−

+

− +

=−

+ =−

+

− +

= = +

1 1

1 1

2 20 0

20

2

20

2

2 20 0

20

2

20

2

0 vx

zw

x y0

202

∂∂∂ ∂

−

6

Forze Integrando le σ,τ sullo spessore h, si hanno le forze per unità di lunghezza:

N dz z dz hx xxh

h

xx xx1h

h

xx= = − =− −∫ ∫σ σ σ σ

/

/

/

/

( )2

2

02

2

0

N dz h N dz hy yyh

h

yy xy xyh

h

xy= = = =− −∫ ∫σ σ τ τ

/

/

/

/

;2

2

02

2

0

∂∂

+∂∂

=

∂∂

ν+∂∂

ν−=

∂∂

ν+∂∂

ν−=

xv

yu

GhN

xu

yv

1EhN

yv

xu

1EhN

00xy

002y

002x

T dz T dzx xzh

h

y yzh

h

= =− −∫ ∫τ τ

/

/

/

/

;2

2

2

2

N/m

7

Momenti Integrando le zσ, zτ in h, si hanno i momenti per unità di lunghezza:

h / 2 h / 2 3

x xx xx0 xx1 xx1h / 2 h / 2

hM z dz z( z )dz12− −

= σ = σ − σ = − σ∫ ∫

M z dz M z dz My yy xy xy yxh

h

h

h

= = =−−∫∫ σ τ;

/

/

/

/

2

2

2

2

M Dwx

wy

M Dwy

wx

M Dw

x y

x

y

xy

= − +

= − +

= − −

∂∂

ν∂∂

∂∂

ν∂∂

ν∂∂ ∂

20

2

20

2

20

2

20

2

201( )

DEh

=−

3

212 1( )νN Nm

8

Elemento rappresentativo della piastra

a)−piastra tirata

prof. Renato Barboni 9

Equazioni di equilibrio: piastra tirata

10

Equazioni piastra tirata

11

a)−Metodo degli spostamenti

12

Condizioni al contorno: libera

13

Condizioni al contorno: libera

14

Condizioni al contorno: vincolo elastico

15

Condizioni al contorno: vincolo elastico

16

Metodo delle Forze

17

Elemento rappresentativo della piastra

b)−piastra inflessa

18

La piastra inflessa 1.Equilibrio M intorno ad y ∂∂

∂

∂∂∂

Mx

dxdyM

ydydx T

Tx

dx dydx qdxdydxx yx

xx+ − +

− =

20

∂∂

∂

∂Mx

My

Tx yxx+ =

2.Equilibrio M intorno ad x ∂

∂

∂

∂

My

Mx

Ty xyy+ =

3.Equilibrio M intorno a z N Nxy yx=

4.Equilibrio F lungo z

T dy TTx

dx dy T dy TTy

dy dx qdxdyx xx

y yy

− +

+ − +

+ =

∂∂

∂

∂0

∂∂

∂

∂Tx

Ty

qx y+ = −

19

Metodo degli spostamenti

yxxx

MM(1) Tx y

∂∂+ =

∂ ∂y xy

y

M M(2) T

y x∂ ∂

+ =∂ ∂

yxTT(4) q

x y∂∂

+ = −∂ ∂

Sono 3 equazioni in 5 incognite: Mx, My, Mxy, Tx, Ty

2 22xy y yx x

2 2

M M TM T(1) (2) 2x y x x y y x y

∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂+ ⇒ + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2 2

x y xy2 2 2 2

w w w w wM D ; M D ; M (1 )Dx y y x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − + ν = − + ν = − −ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

4D w q∇ =4 2 4

4 2 24 2 2 42

x x y y∂ ∂ ∂

∇ = ∇ ∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂

2 22xy yx

2 2

M MM 2 qx x y y

∂ ∂∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂Utilizzando la (4)

Esprimendo i momenti in termini delle curvature:

Si ha: con

20

Tipiche Condizioni al contorno

1.Incastro: w=θ=0

2.Appoggio (con cerniera): w=M=0

3a.Libera: condizioni omogenee

z x 0

x 0

ww(0) 0x =

∂ = = ∂

2 2

2 2x 0

w ww(0) D 0x y =

∂ ∂= − + ν = ∂ ∂

x x xyM (T M ) 0= = = ⇒

xM (V) 0⇒ = =

21

( )3 3

xyx x 3 2x 0

x 0x 0

M w wV T D (2 ) 0y x x y=

==

∂ ∂ ∂= + = − + −ν = ∂ ∂ ∂ ∂

xy xyx2 xy xyx xx

1M MR

dy dMR

dy dyRQdy yy

My

∂= = − = − =

∂

∂ ∂+

Quindi Mxy (M. per unità di lung.) equivale ad una forza di taglio Qx (per un. di lung.)

Pertanto Tx=0 e Mxy=0 possono quindi essere compattate in una sola condizione:

22

23

3b.Libera: condizioni NON omogenee

24

Espressione generale delle c.c.

25

Espressione generale delle c.c.

26

27

−La piastra appoggiata

D w q∇ =4

2 2

2 2x 0

2 2

2 2x a

2 2

2 2y 0

2 2

2 2y b

w ww(0, y) D 0x y

w ww(a, y) D 0x y

w ww(x,0) D 0y x

w ww(x,b) D 0y x

=

=

=

=

∂ ∂= − + ν = ∂ ∂

∂ ∂ = − + ν = ∂ ∂

∂ ∂ = − + ν = ∂ ∂ ∂ ∂

= − + ν = ∂ ∂

y z

x

b

a

q(x,y)

M N

mnm 1 n 1

m x n yw(x, y) w sen sena b= =

π π=∑∑

Si assume:

28

4 4 4 M N

mn4 2 2 4m 1 n 1

w w w m x n yD 2 q ; w(x, y) w sen senx x y y a b= =

∂ ∂ ∂ π π+ + = = ∂ ∂ ∂ ∂

∑∑

−La piastra appoggiata

22 2M N

mn mnpq pqm 1 n 1

p 1,2,...Nm nD w q ;q 1,2,...Ma b= =

=π π + α = = ∑∑

[ ]{ } { }A W Q=

2M N2 2

mnm 1 n 1

m n m x n yD w ( ) ( ) sen( )sen( ) q(x, y)a b a b= =

π π π π + = ∑∑

2 a b a bM N2 2

mn m n p q p qm 1 n 1 0 0 0 0

m nD w ( ) ( ) s s s s dxdy q(x, y)s s dxdya b= =

π π + = ∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫

Metodo di Galerkin

29

Piastra appoggiata, q=q0=costante

a b a b0 0

pq p q p q0 0 0 0

p q0 02

4q 4qq s s dxdy s dx s dyab ab

4q a b 16q(1 ( 1) (1 ( 1) ; p,q 1,3,5,...ab p q pq

= = =

= − − − − = = π π π

∫ ∫ ∫ ∫

a mm0

0 0

m

b

0

m x a asen dx sen d [ cos ]a m m

a a 2a[1 cos m ] [1 ( 1) ] ; m 1,3,5,...m m m

n y 2bsen dy ; n 1,3,5,...b n

πππ

= ξ ξ = − ξ∫ ∫π π

= − π = − − = =π π π

π= =∫

π

0mn 26

2 2

16q 1w ; m,n 1,3,5,...D m nmn ( ) ( )

a b

= =π +

30

Piastra appoggiata, q=q0=costante

4 M N0

26m 1,3,5 n 1,3.5 2 2

m x n ysen( )sen( )16a q a bw(x, y)D amn m ( n)

b= =

π π

=π +

∑ ∑

31

−La piastra appoggiata: q=q0=costante 2 2 M N

2 2 2x mn2 2

m 1 n 1

2 2 M N2 2 2

y mn2 2m 1 n 1

2 N2

xy mnn 1

w w m n m x n yM D D ( ) ( ) w sen( )sen( )a b a bx y

w w m n m x n yM D D ( ) ( ) w sen( )sen( )b a a by x

w mnM (1 )D D(1 ) wx y ab

= =

= =

=

∂ ∂ π π = − + ν = π + ν ∂ ∂ ∂ ∂ π π = − + ν = π + ν ∂ ∂

∂= − − ν = −π −ν

∂ ∂

∑ ∑

∑ ∑

∑M

m 1

m x n ycos( )cos( )a b=

π π

∑

32

Piastra appoggiata, q=q0x/a

a m2 2 m

00 0

2 2 m

2 2m m 1

2a bm 1 m 10 0 0

pq p q pq 20 0

m x a axsen dx ( ) sen d ( ) [sen cos ]a m m

a a( ) [0 m cos m ] ( ) [0 m ( 1) ]m m

a a( 1) ( 1) ; m 1,3,5,...m m

4q 4q 8qx 1 a 2bq s s dxdy q ( 1) ( 1)ab a ab a p q pq

(p ,q 1,3,

ππ

+

+ +

π= ξ ξ ξ = ξ − ξ ξ∫ ∫

π π

= − π π = − π −π π

= − − = − =π π

= ⇒ = − = −∫ ∫π π π

= 5,...)

33

Piastra appoggiata, q=q0x/a

4 M Nm 10

26m 1,2,3 n 1,3.5 2 2

m x n ysen( )sen( )8a q a bw(x, y) ( 1)D amn m ( n)

b

+

= =

π π

= −π +

∑ ∑

m 10

mn 262 2

m 1,2,3,..8q ( 1)w ;n 1,3,5,...D m nmn ( ) ( )

a b

+ =−= =π +

34

Piastra appoggiata, q=q0x/a

4 M Nm 10

26m 1,2,3 n 1,3.5 2 2

m x n ysen( )sen( )8a q a bw(x, y) ( 1)D amn m ( n)

b

+

= =

π π

= −π +

∑ ∑

m 10

mn 262 2

m 1,2,3,..8q ( 1)w ;n 1,3,5,...D m nmn ( ) ( )

a b

+ =−= =π +

35

Piastra appoggiata, q=q0x/a