Goniometria

11 Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

GoniometriaGoniometria

Funzioni goniometriche

grafici

Formule fondamentali

equazioni

disequazioni


Funzioni goniometricheFunzioni goniometriche

P(cos , sin)

sin2 + cos2

tansin / cos

tan


Dalla definizione al grafico della Dalla definizione al grafico della funzionefunzione

2


Funzioni goniometricheFunzioni goniometriche

f(x)=cos x

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-10 -5 0 5 10

x

y

f(x)=tan x

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3,5 -1,5 0,5 2,5

x

y

f(x)=sin x

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-7 -5 -3 -1 1 3 5 7

x

y


FUNZIONI GONIOMETRICHEFUNZIONI GONIOMETRICHE

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-3,2 -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,8

Domf: R

Imf [-1, 1]

Funzione non iniettiva (perché periodica)

Funzione non suriettiva (imf ≠ R)

Funzione non biiettiva

Funzione periodica T = 2

Monotona ad intervalli

Funzione non invertibile (non monotona)

Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [-, ]

Funzione inversa così definita si chiama

f(x) = arcsenx



-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-3,2 -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8 2,8

Domf: R

Imf [-1, 1]


Funzione non suriettiva (imf ≠ R)


Funzione periodica T = 2



Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico [0, ]


f(x) = arcos x

f(x) = cos x



Domf: R -{(2k+1k є Z

Imf R


Funzione suriettiva (imf ≡ R)


Funzione periodica T =



Si rende invertibile fissando un intervallo di monotonia. L’intervallo canonico ]


f(x) = arctan x

f(x) = tan x

-12

-7

-2

3

8

-1,8 -0,8 0,2 1,2


Senx e arcsenxSenx e arcsenx

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-1,6 -1,1 -0,6 -0,1 0,4 0,9 1,4

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

f[- (x) = sin x

Dom f: [-Imf: [- 1, 1]funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione disparifunzione invertibile

f (x) = arcsin x

Dom f: [- 1, 1]

Imf: [-funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione disparifunzione invertibile


Cosx e arcosxCosx e arcosx

-1,3

-0,8

-0,3

0,2

0,7

1,2

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

f[0 (x) = cos x

Dom f: [0Imf: [- 1, 1]funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione monotona decrescente

funzione invertibile

f (x) = arcos x

Dom f: [- 1, 1]

Imf: [0funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione decrescentefunzione invertibile


Tanx e arctan xTanx e arctan x

-1,7

-1,2

-0,7

-0,2

0,3

0,8

1,3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

f (x) = tan x

Dom f: (-Imf: Rfunzione iniettiva funzione suriettivafunzione monotona crescentefunzione dispari

funzione invertibile

f (x) = arctan x

Dom f: R

Imf: funzione iniettiva funzione non suriettivafunzione monotona crescente

Funzione disparifunzione invertibile

-12

-7

-2

3

8

-1,8 -0,8 0,2 1,2


Andiamo oltre nel nostro programma e facciamo un salto nel Andiamo oltre nel nostro programma e facciamo un salto nel programma di analisiprogramma di analisi

Le funzioni esponenziale, logartimica, goniometriche hanno una legge Le funzioni esponenziale, logartimica, goniometriche hanno una legge

matematica che non è di tipo polinomiale. Sarebbe difficile calcolare la matematica che non è di tipo polinomiale. Sarebbe difficile calcolare la

f(x), nota la x, anche con una calcolatrice, che in fondo è solo una f(x), nota la x, anche con una calcolatrice, che in fondo è solo una

addizionatrice, addizionatrice, se per ognuna di queste funzioni non ci fossero dei se per ognuna di queste funzioni non ci fossero dei

polinomi che le approssimano bene.. Queste approssimanzioni si polinomi che le approssimano bene.. Queste approssimanzioni si

chiamano di Taylor, se l’approssimazione viene fatta a partire da un chiamano di Taylor, se l’approssimazione viene fatta a partire da un

punto noto, qualsiasi, o di Mac Laurin se il punto scelto è x = 0.punto noto, qualsiasi, o di Mac Laurin se il punto scelto è x = 0.

Vediamo il loro significato su casi particolari. Vediamo il loro significato su casi particolari.


L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione senoL’approssimazione di Mac Laurin per la funzione seno

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

---- La curva disegnata in blue è f(x)=sinx

---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x

---- la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3!

---- La curva disegnata in blue è f(x)=sinx

---- la curva disegnata in rosso è f(x) = x- x3/3!

---- la curva disegnata in verde è f(x) = x - x3/3!+x5/5!


L’approssimazione di Mac Laurin per la funzione cosenoL’approssimazione di Mac Laurin per la funzione coseno

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

---- La curva disegnata in blue è f(x)=cosx

---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2!

---- la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x2/2!+x4/4!

---- La curva disegnata in blue è f(x)=cosx

---- la curva disegnata in rosso è f(x) = 1-x2/2!

---- la curva disegnata in verde è f(x) = 1-x2/2!+x4/4!-x6/6!


Equazioni goniometricheEquazioni goniometrichesin x = ksin x = k l’eq. è possibile se e solo se |k| l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1

sin x = ½ sin x = ½ x = x = V x = 5/6 V x = 5/6

s in x = - ½ s in x = - ½ x =- x =- V x = 7/6 V x = 7/6

cos x = kcos x = k l’eq. è possibile se e solo se |k| l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ k ≤ 1 cos x = ½ cos x = ½ x = x = V x = - V x = - coscosxx½ ½ x = 2/3 x = 2/3 V x = - 2/3 V x = - 2/3

Sin x


Equazioni goniometricheEquazioni goniometrichesin x = hsin x = h l’eq. è possibile se e solo se |k| l’eq. è possibile se e solo se |k| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1

1.1. sin x = ½ sin x = ½ x = x = V x = 5/6 V x = 5/6 2.2. s in x = - ½ s in x = - ½ x =- x =- V x = 7/6 V x = 7/6 3.3. sin xsin xx =x =4.4. sin xsin xx =x =5.5. sin xsin xxx

cos x = hcos x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè - ≤1 e cioè - 1 ≤ h ≤ 11 ≤ h ≤ 16.6. cos x = ½ cos x = ½ x = x = V x = -V x = -

7.7. coscosxx½ ½ x = 2/3 x = 2/3 V x = - 2/3 V x = - 2/3

8.8. cos xcos xxx

9.9. cos xcos xxx

10.10. cos xcos xxx

1 2 6 7


Equazioni goniometricheEquazioni goniometriche

sin x = hsin x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1

1.1. sin x = √3/2 sin x = √3/2 x = x = V x = 2/3 V x = 2/3

2.2. sin x = - √3/2 sin x = - √3/2 x =- x =- V x = 4/3 V x = 4/3

cos x = hcos x = h l’eq. è possibile se e solo se |h| l’eq. è possibile se e solo se |h| ≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1≤1 e cioè -1 ≤ h ≤ 1

3.3. cos x = √3/2 cos x = √3/2 x = x = V x = - V x = -

4.4. coscosxx√3/2 √3/2 x = 5/6 x = 5/6 V x = - 5/6 V x = - 5/6

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Equazioni goniometricheEquazioni goniometriche

tan x = htan x = h l’eq. è possibile qualsiasi h l’eq. è possibile qualsiasi h єє R R

1.1. tan x = √3/3 tan x = √3/3 x = x = 2.2. tan x = - √3/3 tan x = - √3/3 x =- x =- V x = 4/3 V x = 4/3 3.3. tan x = √3 tan x = √3 x = x = 4.4. tan xtan x√3/3 √3/3 x = 5/6 x = 5/6 5.5. tan xtan x x x 6.6. tan xtan xxx7.7. tan xtan xxx

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