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Comportamento meccanico dei materiali Caratteristiche di sollecitazione
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Cinematica ed equilibrio del corpo rigido
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Caratteristiche di sollecitazione
Definizione delle caratteristicheEsempio 1: trave rettilineaEsempio 2: struttura di travi nel pianoEsempio 3: carico distribuito
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Caratteristiche di sollecitazione
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Caratteristiche su barre e travi (1/5)
I corpi che finora abbiamo considerato erano di forma qualsiasi; di essi rappresentavamo i segmenti che univano punti notevoli quali collegamenti tra corpi, punti di applicazione del carico esterno, punti di vincolo.Quando, invece, i corpi sono di forma “allungata”, cioè si estendono assialmente per lunghezze grandi rispetto alle dimensioni trasversali (10, 20, 30 volte..), il segmento può rappresentare la linea d’asse del corpo.
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Non è detto che il solido allungato debba avere dimensione trasversale costante.
A B
lunghezza
Dimensione trasversale della sezione
A B
Caratteristiche su barre e travi (2/5)
Ci limitiamo qui a corpi allungati ad asse rettilineo.
6
Solidi allungati rettilinei di questo tipo vengono chiamati, a seconda di forma e applicazione:
AssiAlberiBarreTravi
L’asse a cui si fa riferimento è, per ragioni che sono spiegate nelle lezioni sulle travi, la linea che contiene i baricentri di tutte le sezioni rette.
Caratteristiche su barre e travi (3/5)
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B
Inoltre, e anche questo sarà chiaro in seguito, il calcolo di sollecitazione / resistenza / deformazione viene eseguito a partire dalla conoscenza di forze e momenti applicati in corrispondenza del baricentro della sezione retta, …
… o sulle sezioni di estremità …
A
yz
Caratteristiche su barre e travi (4/5)
TN
M
8
… o all’interno; forze e momenti interni al solido per essere messi in evidenza (e calcolati) richiedono che si esegua un taglio secondo una sezione retta:
A
yz
TN
M
yz
BA
Caratteristiche su barre e travi (5/5)
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Sulla superficie “uscente” rispetto all’asse longitudinale z questi sono i versi positivi di:
N: sforzo assiale o normaleT: taglioM: momento flettente
AzN
M
yT
Superficie entrante e uscente (1/2)
10
T
NM
… e sulla superficie entrante sono invertiti; quando i versi sono quelli indicati, i valori N, T, M, sono positivi.
B
yz
Superficie entrante e uscente (2/2)
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⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=+++−
qdzdT
0dzdzdTTdzqT
L’equilibrio verticale e alla rotazione di un tratto di lunghezza infinitesima dz:
Relazioni differenziali
q= carico per unità di lunghezza
z
dz
q dz
dzdzdTT +
dzdzdMM +
TM
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=++
++−−
TdzdM
0dzdzdMM...
...2dzdzqdzTM
12
Usualmente si disegna, per comodità, solo l’asse:
BAy
z
A NM
T
By
zT
NM
I valori delle “caratteristiche” della sollecitazione si determinano mediante le equazioni di equilibrio
Rappresentazione
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Lo schema di calcolo è sempre lo stesso:Calcolo delle reazioni vincolariCalcolo delle caratteristiche di sollecitazioneTracciamento dei diagrammi di carico normale N, taglio T, momento flettente M (nel piano)
Lo studio di tre semplici strutture piane ci permetterà ora di capire le modalità di applicazione più convenienti dei principi generali enunciati. In casi tridimensionali la caratteristiche sono 6; è usuale che si debba introdurre anche il solo momento torcente.
Procedimento di calcolo
Caratteristiche di sollecitazione
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Esempio 1:
BAC
ab
FBFC
Esempio 1: reazioni vincolari
C
VA= babFC +
⋅
Sappiamo già che le reazioni vincolari sono:
baaFC +
⋅VB=
HA=FB
16
babFC +
⋅
FB
Nel tratto AC:
C
A
B
baaFC +
⋅
TN
Mz
T
NM
FB
z
P
P
Esempio 1: caratteristiche (1/9)
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ab
a bab+a bb
È evidente che l’equazione contenente meno termini, e quindi più breve da scrivere e calcolare, èquella relativa al corpo (A,P).Perciò:
→=⋅+
+
−=→=+
+
=→=−
0zb
bFM
FT0b
FT
FN0FN
⋅+
−= zFM CC
CC
BB
Momento rispetto a P
Notate che il momento rispetto ad A: zTM ⋅=
Esempio 1: caratteristiche (2/9)
18
I valori di N, T, M sono altrettante funzioni da diagrammare al variare dell’ascissa z lungo l’asse.
Diagramma di N nel tratto AC:
BA C
FB
z
a
di sopra: N positividi sotto: N negativiFB A N=FB
P
Esempio 1: caratteristiche (3/9)
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Diagramma di N:I segmenti ricordano che il valore di N, ad ogni ascissa Z, è dato in scala dalla lunghezza dei segmenti.In questo caso: N= FB=costante.
BA C
FB
z
a
A
P
FB N=FB
Esempio 1: caratteristiche (4/9)
20
Diagramma di T: i segmenti rappresentano in scala i valori di T.
zba
bFT C +⋅−=
di sopra: positividi sotto: negativi
BA C
Esempio 1: caratteristiche (5/9)
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Diagramma di M: il momento varia linearmente
baabFM C +
⋅−=
a
BA C
⋅+
−= zba
bFM C
z
Esempio 1: caratteristiche (6/9)
22
Diagramma di M: notate che la pendenza del diagramma di momento è il taglio,
za
TdzdM
zTM
=
⋅=
pendenza negativa → taglio negativo
A C ⋅+
−= zba
bFM C
⋅+
−= zba
bFM C
babFT C +
⋅−={
Esempio 1: caratteristiche (7/9)
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Nel tratto CB:A N
M
P
BFB
C
TN
M
z
a
a+b-z
T
baaFC +
⋅
( )zbaba
aFM
0ba
aFT
0FN
C
C
B
−+⋅+
⋅+
=+
⋅+−
=+−
Esempio 1: caratteristiche (8/9)
24
( ) ( )zbaba
aFMzbaba
aFM
baaFT0
baaFT
FN0FN
CC
CC
BB
−+⋅+
⋅−=→−+⋅+
⋅+
+⋅=→=
+⋅+−
=→=+−
Segue:
Esempio 1: caratteristiche (9/9)
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I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si completano come segue:
Sollecitazione normale N
BA C
FB
Esempio 1: diagrammi (1/3)
26
Sollecitazione di taglio T:
babFC +
⋅−
baaFC +
⋅+
Nota bene: in C, dov’è applicata FC , il “salto” di T vale:
CCC Fba
bFba
aF =+
⋅++
⋅
BA C
!
Esempio 1: diagrammi (2/3)
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baabFM Cmax +
−=
babFT
dzdM
C +−==
pendenza pendenza
baaFT
dzdM
C +==
BA C
Sollecitazione di momento flettente M:
Esempio 1: diagrammi (3/3)
Caratteristiche di sollecitazione
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45°
Esempio 2:
A
BFD
b/2
ba
DC
Esempio 2: reazioni vincolari (1/2)
30
VB
b/2 b/2
VAHA
( )
( )ba2ba
FV
ba2bFV
0H
DB
DA
A
+
+⋅=
+⋅=
=
45°
BFD
a
D
A
C
Esempio 2: reazioni vincolari (2/2)
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Tratto AC: caratteristiche di sollecitazione
z
( )ba2bFD +⋅
⋅
T NM
Equilibrio secondo l’asse:
( ) 0N22
ba2bFD =+⋅+⋅
⋅
Equilibrio ortogonale all’asse:
( ) 0T22
ba2bFD =+⋅+⋅
⋅45°
( ) 22
ba2bFN D ⋅+⋅
⋅−=→
P
( ) 22
ba2bFT D ⋅+⋅
⋅−=→
a
Esempio 2: caratteristiche (1/6)
32
Momento attorno al “polo” P:
( ) 022z
ba2bFM D =⋅+⋅
⋅+
z
( )ba2bFD +⋅
⋅
T NM
45°
P
( ) 22z
ba2bFM D ⋅+⋅
⋅−=→
a
Tratto AC: caratteristiche di sollecitazione
Esempio 2: caratteristiche (2/6)
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( )
( ) ( )'zaba2
bFM
ba2bFT
0N
D
D
+⋅+⋅
⋅−=
+⋅⋅−=
=
Tratto CD: caratteristiche di sollecitazione
z’
NM
T
z
( )ba2bFD +⋅
⋅
45° a
C
Esempio 2: caratteristiche (3/6)
34
b/2
( )ba2ba
FV DB +
+⋅=
B
D
Tratto DB: caratteristiche di sollecitazione
A
N
M
T
Esempio 2: caratteristiche (4/6)
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Nel tratto DB possiamo evitare di scrivere esplicitamente equazioni poiché sappiamo che
Lo sforzo normale N resta nullo nel passare attraverso D, perché in D non c’è un carico esterno assiale e anche perché, comunque, l’appoggio in B non può generare carichi assiali.
( )ba2ba
FV DB +
+⋅=
Esempio 2: caratteristiche (5/6)
b/2DA
NM
B
A
NM
T
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Nel passare attraverso D, il taglio subisce una variazione pari a FD .
Il momento varia linearmente dal valore in D al valore zero in B.
ba2/baFVT DB +
+⋅==
In B il taglio vale:
Esempio 2: caratteristiche (6/6)
( )ba2ba
FV DB +
+⋅=
A
NM
B
A
NM
T
b/2D
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A
C BD
0N =
( ) 22
ba2bFN D ⋅+⋅
⋅−=
0N =
Esempio 2: diagrammi (1/7)
( )ba2bFD +⋅
⋅
Sollecitazione normale N (1)
38
A
C BD
0N =
( ) 22
ba2bFN D ⋅+⋅
⋅−=
0N =
Esempio 2: diagrammi (2/7)
( )ba2bFD +⋅
⋅
Sollecitazione normale N (2)
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Sollecitazione normale N (3)
A
C BD
0N =
( ) 22
ba2bFN D ⋅+⋅
⋅−=
0N =
Esempio 2: diagrammi (3/7)
( )ba2bFD +⋅
⋅
40
Sollecitazione di taglio T:
( ) 22
ba2bFT D ⋅+⋅
⋅−=
( )ba2bFT D +⋅
⋅−=
FD
( )D
a b /2T F
a b+
= ⋅+
A
C BD
( )ba2bFD +⋅
⋅
Esempio 2: diagrammi (4/7)
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A
C( )ba2b
FM aD +
−=
Sollecitazione di momento flettente M:
Esempio 2: diagrammi (5/7)
42
A
C( )ba2b
FM aD +
−=
Il momento in C non cambia di valore …
( )ba2baFM D +
−=
Esempio 2: diagrammi (6/7)
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A
C BD
…e il diagramma completo del momento M:
( )ba2baFM D +
−=
( )ba22bab
FM D +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
Esempio 2: diagrammi (7/7)
Caratteristiche di sollecitazione
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Esempio 3:
A B
a
q
Trave con carico q uniformemente distribuito
Esempio 3: reazioni vincolari (1/2)
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Reazioni vincolari: per simmetria, uguali
A B
a
q
VA VB
2aqVV BA −==
Esempio 3: reazioni vincolari (2/2)
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Caratteristiche di sollecitazione:
A
q
z
NM
T
2aqVA =
Esempio 3: caratteristiche
22
2q
−=
−=
=
zqzzaqM
zqaT
0N
48
Diagrammi di taglio T e momento M:
a
AB
2aq−
taglio T
A Bmomento M
8aq
2+
Esempio 3: diagrammi