Un’uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata per qualsiasi valore attribuito alla lettera o alle lettere che vi figurano si chiama identità.

Consideriamo la frase:

“un numero più se stesso è uguale al suo doppio”

e traduciamola in termini matematici indicando “un numero” con la lettera x: x + x = 2x

Proviamo a verificarne la validità, sostituendo alla lettera x dei numeri a piacere:

• per x = 4, 4 + 4 = 2 x 4, 8 = 8

• per x = 10, 10 + 10 = 2 x 10, 20 = 20

• per 3

4

3

4 ,

3

22

3

2

3

2 ,

3

2x

Continuando con altri valori di x, constateremo che l’uguaglianza x + x = 2x è sempre valida. Un’uguaglianza di questo tipo si chiama identità.

Un ‘uguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti alla lettera o alle lettere che vi figurano si chiama equazione.

• per x = 3, 3 x 3 + 2 = 3 + 6, 9 + 2 = 9

• per x = -5, 3 x (-5) + 2 = -5 + 6, -15 + 2 = 1

• per x = 2, 3 x 2 + 2 = 2 + 6, 6 + 2 = 8 8 = 8

L’uguaglianza 3x + 2 = x + 6 è vera solo per x = 2.

Un’uguaglianza di questo tipo si chiama equazione.

Consideriamo adesso la frase: “il triplo di un numero è uguale al numero stesso più 10” e traduciamola in termini matematici indicando ancora “un numero” con la lettera x: 3x + 2 = x + 6

911

113

Le lettere (o la lettera) che compaiono nell’espressione sono le (o la) incognite dell’equazione:

3x + 2 = x + 6

incognita

Le due espressioni letterali che formano l’uguaglianza si dicono rispettivamente 1° membro e 2° membro dell’equazione:

3x + 2 = x + 6

Tutti i termini che non contengono le incognite si dicono termini noti:

3x + 2 = x + 6

termini noti

In base al numero di lettere diverse che vi compaiono, un’equazione si dice a una, a due, a tre, … incognite:

+4x +5 = 2x -7 equazione a una incognita

-7x + 9y = 27 equazione a due incognite

Il grado più elevato dei vari monomi che costituiscono l’equazione si chiama grado dell’equazione; un’equazione può quindi essere di 1°, 2°, 3° … grado.

4x + 5 = 2x -7 equazione di 1° grado

3x² + 7 = 4x -9 equazione di 2° grado

I particolari valori delle incognite che rendono vera l’equazione si dicono soluzioni o radici dell’equazione.

Risolvere un’equazione significa calcolare tutte le sue soluzioni o radici.

Un’equazione si dice intera se l’incognita non figura al denominatore, di dice frazionaria o fratta in caso contrario.

723

5

8

7

2

3

3

2

8753

x

x

xx

xx

Consideriamo due equazioni:

6x + 4 = 28 e 10x = 6x + 16

Entrambe ammettono come unica soluzione x = 4

Esse si dicono equazioni equivalenti; diciamo che:

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Per risolvere qualsiasi equazione è opportuno trasformarla in una equivalente ma di forma più semplice. Osserviamo come fare esaminando i due principi di equivalenza delle equazioni.

Addizionando o sottraendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione 2x + 2 = 12, la cui soluzione è x = 5 e addizioniamo a entrambi i membri un numero qualsiasi, per esempio il numero 3, otteniamo:

2x + 2 + 3 = 12 + 3 ovvero 2x + 5 = 15

La cui soluzione è ancora x = 5.

Abbiamo quindi ottenuto un’equazione equivalente a quella data.

Possiamo enunciare il 1° principio di equivalenza che dice:

In ogni equazione un termine qualsiasi può essere spostato da un membro all’altro purché lo si cambi di segno (legge del trasporto).

Consideriamo l’equazione 5x + 7 = 27 e sottraiamo a entrambi i membri il numero 7; otteniamo:

5x + 7 – 7 = 27 – 7 ovvero 5x = 27 – 7

Osserviamo che l’ applicazione del 1° principio di equivalenza si riduce a spostare il termine noto dal primo membro al secondo membro dove lo ritroviamo cambiato di segno.

Applicazione del 1° principio di equivalenza

Possiamo quindi affermare che:

Se in entrambi i membri di un’equazione figurano due termini uguali, essi possono essere eliminati.

Consideriamo l’equazione 3x – 5 = 2x + 10 – 5 e applichiamo quanto detto prima spostando il termine – 5 dal primo al secondo membro cambiandolo di segno, otteniamo:

3x = 2x + 10 – 5 + 5 ovvero 3x = 2x + 10

Se confrontiamo le due equazioni equivalenti ci accorgiamo che abbiamo eliminato il termine – 5 che era presente in entrambi i membri.

Applicazione del 1° principio di equivalenza

Possiamo affermare che:

Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero) si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione – 3x + 2 = - 22, la cui soluzione è x = 8, e moltiplichiamo entrambi i membri per uno stesso numero, per esempio 2; otteniamo:

2 ∙ (-3x + 2) = 2 ∙ (-22) ovvero -6x +4 = - 44

La cui soluzione, come potete verificare, è ancora x = 8.

Abbiamo quindi ottenuto un’equazione equivalente a quella data.

Possiamo affermare che:

Cambiando il segno di ciascun termine di un’equazione se ne ottiene una equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione 5x – 4 = 2 e applichiamo il 2° principio di equivalenza moltiplicando per - 1 ; otteniamo:

-1∙ (5x – 4) = - 1 ∙ 2 ovvero -2x + 4 = -2

Confrontando le due equazioni equivalenti, noteremo che si passa dalla prima alla seconda cambiando di segno tutti i termini dell’equazione.

Possiamo allora affermare che:

Applicazione del 2° principio di equivalenza

Un’equazione a coefficienti frazionari si può ridurre a un’equazione a coefficienti interi a essa equivalente moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.

Consideriamo l’equazione:

e applichiamo il 2° principio di equivalenza moltiplicando i due membri dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori, cioè per m.c.m.(4; 3; 2) = 12

otteniamo:

ovvero 9x -8 = 12x – 30

che è un’equazione equivalente a quella data con coefficienti interi.

2

5

3

2

4

3 xx

2

512

3

2

4

312 x

x

1

64

1

3

2

52112

13

221

4

321

x

x

Applicazione del 2° principio di equivalenza

Per risolvere un’equazione ridotta in forma normale basta dividere il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.

Osserviamo le seguenti equazioni:

5x = 15 -3x = 10 2x = - 14

Esse presentano la stessa caratteristica: i due membri sono rispettivamente formati da un unico termine in x il primo e da un unico termine noto il secondo. Un’equazione di questo tipo si dice ridotta in forma normale e la si indica con la scrittura:

ax = b con a e b numeri reali.

La soluzione dell’equazione è

a

bx

Possiamo affermare che:

Per risolvere un’equazione che non sia ridotta nella sua forma normale, occorre innanzi tutto ridurla in tale forma e poi applicare la regola appena vista. Per ridurre una qualsiasi equazione in forma normale, e quindi risolverla, si

applicano i principi di equivalenza studiati. Esempio:

-8 +3x +14 = 7x -10

applichiamo la legge del trasporto, scriviamo al primo membro tutti i termini contenenti l’incognita e al secondo membro tutti i termini noti:

3x -7x = 8 -14 -10

eseguiamo le addizioni algebriche che figurano ai due membri: -4x = -16

Abbiamo trasformato la nostra equazione in forma normale, per cui:

4 4

16

xx

Per risolvere una qualsiasi equazione di 1° grado a un’incognita seguiamo lo schema:

1) si eliminano le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole del calcolo letterale;

2) se l’equazione ha coefficienti e/o termini noti frazionari, si moltiplicano tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori;

3) si trasportano tutti i termini in x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro tenendo presente la legge del trasporto;

4) si eseguono le addizioni algebriche ottenute nei due membri in modo tale da ottenere l’equazione in forma normale: si determina la soluzione:

a

bx

bax

: ' ;

0,

dicesiequazionelunicaèedesistea

bxsoluzioneLa

baconbax

: ' ;0 : 0

0 0

èequazionelxunicaèedesistea

xsoluzioneLa

beaconbax

00 '

0 0

xdiventaequazioneL

beaconbax

Poiché sappiamo che non esiste alcun numero che moltiplicato per zero ci dà un risultato diverso da zero, diremo che l’equazione non ha soluzione. Essa si dice:

00 '

0 ,

xdiventaequazioneL

baconbax

Sappiamo che qualsiasi numero ,moltiplicato per zero dà zero, diremo che l’equazione ammette come soluzione un qualsiasi numero, ha cioè infinite soluzioni. Essa di dice: