Calcolo letterale

Monomio Un’espressione algebrica dove non figurano operazioni (e quindi non figurano segni) di addizione (+) o sottrazione(-); figurano solo moltiplicazioni e potenze. Es.: -5 a2b3 è un monomio In un monomio distinguiamo parte numerica (o coefficiente) e parte letterale. Es: 3x4y + 2ab3c non è un monomio Dato un monomio, il primo fattore (numero) si chiama coefficiente, ogni singola lettera si chiama variabile, l’insieme di tutte le variabili (esponenti compresi) forma la parte letterale.

Grado di un monomio Dato un monomio, l’ esponente al quale è elevata ogni variabile prende il nome di grado parziale del monomio rispetto a quella variabile. Esempio. M = 5x3yz4 Il grado del monomio M rispetto alla variabile x è 3 rispetto alla variabile y è 1 rispetto alla variabile z è 4 Il grado del monomio M è la somma di tutti i suoi gradi parziali. Nell’esempio è: 3+1+4 = 8. Esempio. Il grado del monomio M = -7 x2y3z è 2+3+1 = 6. Il grado del monomio M = 52 x è 1 (avendo una sola variabile con esponente 1). Il grado del monomio M = 3 a2 è 2

Osservazione. Ogni numero può essere considerato un monomio di grado zero. Es. M = 3 è un monomio di grado zero. Infatti, 3 lo si può scrivere anche come 3x0. Monomi simili Due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale (compresi gli esponenti delle variabili). In pratica, i monomi simili differiscono solo per il coefficiente Esempio Monomi Simili o non simili? 2xy2; -3xy2 si 35ab3c; 35ab4 no ½ x5y3z; 3x5y3z2 no -5xy; 7xy si ab9c2; -5ab9c2 si 4x; x si

Operazioni con i monomi Addizione La somma tra monomi si può effettuare solo se i monomi sono simili. In tal caso basta sommare i coefficienti e riscrivere la stessa parte letterale. Esempio Se M1 = a3b M2 = 5 a2b3 M1 + M2 = non si può effettuare Esempio Se M1 = -5 a2b c3 M2 = 3 a2b c3 M1 + M2 = -2 a2b c3 Sottrazione Come per l’addizione, la sottrazione tra due monomi non si può effettuare sempre, ma solo se i due monomi sono simili. In tal caso, basta sottrarre gli esponenti e riscrivere la parte letteraria uguale. Esempio. Se M1 = -5 a2 b c3 M2 = 3 a2 b c3

M1 – M2 = (-5-3) a2b c3 = -8 a2b c3 Moltiplicazione Il prodotto tra due monomi si può effettuare sempre, anche se i monomi non sono simili. Basta moltiplicare tra loro i coefficienti e moltiplicare le variabili comuni con la regola delle potenze (prodotto di potenze con stessa base). Le variabili non comuni si riportano uguali. Esempio M1 = 5 a2b3 M2 = -3 a5b6c2 Il loro prodotto sarà M1.M2 = -15 a7b9c2 Divisione Come per la moltiplicazione, la divisione tra due monomi si può effettuare sempre. Basta dividere tra loro i coefficienti e poi dividere le variabili comuni con la regola delle potenze (rapporto di potenze con stessa base). Le variabili non comuni si riportano uguali. Esempio M1 = 5 x4y2a3

M2 = 3 x2y5 M1: M2 = = x2y-3 a3 = = x2/y3 a3 Polinomio È la somma algebrica di più due o più monomi. Esempio. 5 a3bc5 non è un polinomio (ma un monomio). 2 a3bc5 – 5 ax4y3c è un polinomio. I polinomi, in base al numero di monomi che li compongono, si classificano in: • binomi: somma di due monomi • trinomi: somma di tre monomi • quadrinomi: somma di quattro monomi Esempio. -5 a3b2c + 2x è un binomio Esempio. 3xy3 + 2xy2 + 1 è un trinomio. Esempio. -2 x2y3 + 5x + 3ab2 – 1 è un quadrinomio

Grado di un polinomio Dato un polinomio P, il suo grado g(P) è il più grande tra i gradi dei monomi che lo compongono. Esempio P = 3xy2 +25 a3bc2 – ax I gradi dei suoi monomi sono rispettivamente: 3, 6, 2 Quindi g(P) = 6. Polinomio omogeneo. Quando i suoi monomi hanno tutti lo stesso grado. Polinomio ordinato. Quando i suoi monomi figurano in ordine decrescente di grado Polinomio completo. Quando i suoi monomi figurano con tutti i possibili gradi (dal massimo fino al grado zero) Polinomio in una variabile. Quando compare una sola variabile (ad esempio x)

Esempi Polinomio omogeneo: P = 2 xy2 + 5 x2y – ½ abc + 7x3 (tutti i monomi che lo compongono hanno grado 3) Polinomio ordinato: P = 2 x4 – 2 xy2 + 5x + 1 (però non è completa perché manca il monomio di grado 2) Polinomio completo: P = 4x2 + 3y -7xy2 +2 (però non è ordinato) Polinomio ordinato e completo: P = - 7xy2+ 4x2 + 3y +2 Polinomio in una variabile: P = 3x3 – 5x2 + 2x + 1 (è anche ordinato e completo)

Operazioni sui polinomi Addizione La somma tra polinomi si effettua sommando tra loro i monomi simili e riscrivendo i monomi che non sono simili. Esempio. P1 = -3°2 -5°2b3 -5ab3 -5b3 P2 = 7a2b3 -5ab3 +15a2 + 3b3 P1 + P2 = (-3a2 -5a2b3 -5ab3 -5b3 ) + (7a2b3 -5ab3 +15a2 + 3b3) = = -3a2 -5a2b3 -5ab3 -5b3 + 7a2b3 -5ab3 +15a2 + 3b3 =12a2 +2a2b3 -10ab3 -2b3 Differenza La differenza tra due polinomi si effettua togliendo le parentesi, cambiando di segno tutti i monomi del secondo polinomio e quindi sommando. Esempio. P1 = -3°2 -5°2b3 -5ab3 -5b3 P2 = 7a2b3 -5ab3 +15a2 + 3b3

P1 – P2 = P1 = (-3a2 -5a2b3 -5ab3 -5b3) – (7a2b3 -5ab3 +15a2 + 3b3) = -3a2 -5a2b3 -5ab3 -5b3 -7a2b3 +5ab3 -15a2 – 3b3 = -18°2 -12 a2b3 -8b3 Moltiplicazione La moltiplicazione tra due polinomi si effettua moltiplicando ogni monomio del primo polinomio con ogni monomio del secondo polinomio. Dunque, se il primo polinomio è formato da m monomi e il secondo polinomio da n monomi, dobbiamo eseguire m.n prodotti. Dopo aver svolto i prodotti, dobbiamo sommare gli eventuali monomi simili. Esempio. P1 = 2xy – 1 P2 = -5y + 2x -3xy2 P1. P2 = (2xy – 1). (-5y + 2x -3xy2) = -10xy2 + 4x2y – 6x2y3 + +5y – 2x +3xy2 = -7xy2 + 4x2y – 6x2y3 + 5y – 2x (abbiamo sommato i due monomi simili aventi come parte letteraria xy2 ).

Prodotti notevoli Ci sono casi particolari in cui il prodotto tra due polinomi si svolge in modo immediato senza effettuare troppi passaggi. Questi casi particolari sono detti “prodotti notevoli”. Nel seguito, per ogni prodotto notevole daremo prima la formula generale e poi eseguiremo la dimostrazione. Quadrato di binomio (a+b)2 = a2 +2ab + b2 Quadrato del primo termine + doppio prodotto del primo per il secondo termine + quadrato del secondo termine. dim (a+b)2 = (a+b).(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (perché ab = ba) Quadrato di trinomio (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc dim (a+b+c)2 = (a+b+c).(a+b+c) = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2 sommando i monomi simili si ottiene:

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Cubo di binomio (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 dim (a + b)3 = (a + b)2. (a+b) = (a2 + 2ab + b2).(a+b) = a3+ a2b + 2 a2b + 2ab2 + ab2 + b3 sommando i monomi simili si ottiene: a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 Somma per differenza ( o differenza di quadrati) (a + b). (a – b) = a2 – b2 dim (a + b). (a – b) = a2 – ab + ab – b2 elidendo i due monomi opposti , si ottiene: a2 – b2 Differenza di cubi a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) dim

se svolgiamo il prodotto dei due polinomi al secondo membro otteniamo: a3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 – b3, elidendo a due a due i monomi opposti, si ottiene: a3 – b3 Somma di cubi a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) dim (a + b) (a2 - ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 elidendo a due a due i monomi simili, si ottiene: a3 + b3

Equazioni lineari in un’incognita Un’equazione lineare ad un’incognita è una scrittura del tipo: a x = b Se un’equazione è scritta così si dice in forma “canonica” (o standard) Vediamo come si chiamano le varie parti di un’equazione. • La x si chiama “incognita”, ed è il valore che dobbiamo calcolare • a e b sono dei numeri fissati all’ inizio e si chiamano “coefficienti dell’ equazione” • tutto ciò che compare a sinistra dell’ uguale si chiama “primo membro dell’ equazione” • tutto ciò che compare a destra dell’equazione si chiama secondo membro. Un’ equazione può essere scritta anche in una forma diversa da quella di sopra. In tal caso viene detta in forma “non canonica”.

Cosa significa risolvere un’equazione? Data l’equazione in forma canonica ax = b risolvere questa equazione (dati a e b) significa determinare il valore (o i valori) di x che moltiplicati per a danno come risultato b, cioè per cui sia verificata l’ uguaglianza: a . x = b Esempio. Sia data l’equazione in forma canonica: 2x = 8 Risolverla significa determinare quel numero 8 (o quei numeri, se fossero tanti), che moltiplicati per 2 danno 8. E’ chiaro che c’è un solo numero che soddisfa questa richiesta, il numero 4. Dunque diremo che la soluzione dell’ equazione data è x = 4. Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Ad esempio:

2x = 8 e 3x = 12 sono equazioni equivalenti, perché entrambe ammettono come soluzione il valore x = 4. Ci sono dei casi, però, in cui non è così immediato trovare la soluzione di un’equazione. Ad esempio: 3 x = 5. Ci sono casi in cui è ancora meno evidente la soluzione, ad esempio se l’ equazione è scritta in forma non canonica. Come questa: 3x – 2 = 1 + 7x + 3 Come si fa, in questi, a trovare la soluzione? Ecco, dunque, che ci vengono in soccorso due principi importanti principi, chiamati “principi di equivalenza delle equazioni”.

Principi di equivalenza delle equazioni 1) Il PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA afferma che AGGIUNGENDO ad entrambi i membri di una equazione, uno STESSO NUMERO o una STESSA ESPRESSIONE CONTENENTE L'INCOGNITA, otteniamo una equazione EQUIVALENTE a quella data. 2) Il SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA afferma che MOLTIPLICANDO o DIVIDENDO entrambi i membri di una equazione per uno STESSO NUMERO diverso da zero o per una STESSA ESPRESSIONE che non possa annullarsi, si ottiene una equazione EQUIVALENTE a quella data.

Applicazioni dei principi di equivalenza Se dobbiamo risolvere un’ equazione in forma non canonica, conviene trasformarla in una equazione equivalente in forma canonica. Per questo ci viene in aiuto il primo principio, che dà luogo alla cosiddetta “regola del trasporto”. Regola del trasporto Data l’ equazione 2x + 3 = 5 - x + 4 in forma non canonica. Facciamo in modo di avere tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini noti al secondo membro. Basta applicare il primo principio di equivalenza. Infatti, sommando a entrambi i membri -3, si ottiene: 4x + 3 + (-3)= 5 - x + 4 + (-3), cioè 4x = 5 + x + 4 + (-3), cioè 4x = 5 + x + 4 - 3 Notiamo che dal punto di vista pratico, è come se avessimo “trasportato” il 3 dal primo al secondo membro cambiandogli il segno. L’ equazione, dunque, è diventata: 4x = 6 - x. Sommiamo, ora, x a entrambi i membri. Si ha: 4x + x = 6 – x + x, ovvero: 4x +x = 6.

Dal punto di vista pratico, abbiamo “trasportato” il termine -x dal secondo membro al primo membro cambiandolo di segno. L’ equazione, dunque, è diventata: 5x = 6. Cioè in forma non canonica. Isolamento della variabile Vediamo, quindi, come si risolve un’equazione in forma canonica: ax = b, con a diverso da 0 Applicando il secondo principio, possiamo moltiplicare entrambi i membri dell’ equazione per 1/a. Si ottiene, così, l’ equazione equivalente: . ax = . b Semplificando al primo membro, si ha: x = Ricapitolando Per risolvere un’equazione in forma non canonica, prima si “trasportano” tutti i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo membro, cambiando di segno(grazie al primo principio). Poi si sommano i termini simili, sia al primo che al secondo membro. Così si ottiene un’equazione equivalente in forma canonica. A questo punto, troviamo la soluzione x mediante l’isolamento della variabile (grazie al secondo principio).

Il problema lineare in un’incognita I PROBLEMI di PRIMO GRADO ad una INCOGNITA sono problemi di natura algebrica, geometrica o pratica risolvibili mediante un’equazione lineare ad un’incognita. In questi problemi è fondamentale procedere per tappe: 1) Distinguere i dati dalle grandezze di cui determinare il valore 2) Indicare una delle grandezze incognite con x 3) Esprimere tutte le altre grandezze incognite in funzione di x 4) Impostando un’equazione che metta insieme tutti i dati. La soluzione dell’ equazione mi darà proprio la soluzione del problema. Ecco perché tale equazione viene detta “equazione risolvente”. A questo proposito non esistono regole fisse da seguire, perché l'equazione da impostare di volta in volta varia a seconda delle condizioni poste dal problema. Vediamo qualche esempio per comprendere meglio come si risolvono questi problemi.

Esempio 1 Un numero è triplo di un altro e la loro somma è 64. Quali sono i due numeri? Vediamo come impostare la nostra equazione risolvente. Chiamiamo con x uno dei due numeri. L’ altro numero sarà, dunque, il triplo del primo, cioè 3x. Imponiamo poi che la loro somma sia 64: x + 3x = 64 equazione risolvente. Risolvendo, si ha: 4x = 64, cioè x = 64/4 = 16. L’ altro numero sarà 16.3 = 48 Quindi i due numeri sono 16 e 48. Esempio 2 Sofia entra in una cioccolateria e acquista kg 9 di caramelle e kg 12 di cioccolatini spendendo complessivamente 57 euro. Sapendo che il costo dei cioccolatini è quadruplo del costo delle caramelle, Sofia si chiede qual è il prezzo di un kg di caramelle e di un kg di cioccolatini. Avendo studiato le equazioni, prova ad impostarla con i dati a disposizione e, in effetti, riesce a soddisfare la sua curiosità.

Vediamo come impostare la nostra equazione. Noi sappiamo che il costo dei cioccolatini è quadruplo rispetto al costo delle caramelle. Allora chiamiamo con x il costo di un kg di caramelle e con 4x il costo di un kg di cioccolatini. Il nostro negoziante ha comprato 9 kg di caramelle, spendendo per esse un costo di 9x. Inoltre egli ha comprato 12 kg di cioccolatini, spendendo per essi un costo di 12•4x, quindi 48x. Inoltre sappiamo che il costo complessivo è di 57 euro. Quindi 9x + 48x = 57. Ora risolviamo la nostra equazione: 57x = +57 x = 57/57 = 1 Il costo di un kg di caramelle è 1 euro. I cioccolatini costano il quadruplo, quindi costano 4 euro.