ARITMETICA - trevisini.it · za degli elementi specifici della materia; ... 4 Calcolo letterale e...

M. Cerini – R. Fiamenghi – D. Giallongo

ARITMETICA Numeri e Lettere - Vol. A–B

GEOMETRIAForme e Misure - Vol. A–B–C

ALGEBRANumeri e Lettere

GUIDA DIDATTICA

TREVISINI EDITORE

Edizione: 1 2 3 4 2005 2006 2007 2008

Proprietà letteraria riservata

Con i tipi della Casa Editrice Luigi Trevisini - MilanoSito Internet: http://www.trevisini.itPosta Elettronica: [email protected]

Trevisini Editore opera conSistema Qualità, certificatoCISQCERT, conforme allanorma UNI EN ISO 9001.

UNI EN ISO 9001

IIIINNNNDDDDIIIICCCCEEEE

1. Introduzione .................................................................................................................................... 32. Caratteristiche del corso .......................................................................................................... 43. Piano del corso .......................................................................................................................... 134. Obiettivi Specifici di Apprendimento indicati nei Piani di Studio

Personalizzati .............................................................................................................................. 165. Proposte per la programmazione e indicatori di apprendimento .......... 196. Proposte per il Portfolio delle competenze individuali .................................... 29

6.1 Schede per la certificazione delle competenze individuali acquisite dagli alunninel triennio della scuola secondaria di 1° grado - per gli alunni ............................ 29

6.2 Schede per la certificazione delle competenze individuali acquisite dagli alunninel triennio della scuola secondaria di 1° grado - per gli insegnanti .................... 55

6.3 Elenco dei documenti inseriti nel Portfolio .................................................................... 586.4 Scheda di presentazione ...................................................................................................... 596.5 Scheda riassuntiva da inserire nel Portfolio .................................................................. 606.6 Esempio di compilazione. Scheda riassuntiva da inserire nel Portfolio ................ 62

7. Prove di ingresso, verifiche e prova finale di uscita ............................................ 648. Risultati delle prove di ingresso, delle verifiche e della prova

finale di uscita ........................................................................................................................ 1639. Risultati dei giochi e delle verifiche finali del corso.......................................... 184

9.1 Risultati dei giochi ...................................................................................................................... 1849.2 Risultati delle verifiche finali .................................................................................................... 189

1111.... IIIINNNNTTTTRRRROOOODDDDUUUUZZZZIIIIOOOONNNNEEEE

Questo nuovo corso di MATEMATICA è nato per una duplice finalità: rispondere ai bisognidegli alunni e a quelli degli insegnanti.

Agli alunni abbiamo reso meno difficoltoso lo studio della matematica con aiuti di diversotipo: le prime verifiche, gli esercizi guida, gli esempi, le attività di recupero, le verifiche fina-li e i giochi.

Agli insegnanti abbiamo fornito delle risposte concrete ai bisogni sorti in seguito ai cam-biamenti che stanno caratterizzando la scuola in questi ultimi anni.La possibilità di sperimentare nuove forme di organizzazione didattica e del tempo scolasti-co richiede, infatti, strumenti didattici aggiornati, flessibili e duttili, senza per questo rinun-ciare alla completezza, al rigore e alla significatività dei contenuti.Con gli strumenti messi a disposizione dal corso è possibile organizzare piani di lavororispondenti ai bisogni della classe e di ogni singolo alunno (Piani di Studio Personalizzati -P.S.P.), oltre che sperimentare nuove opportunità di insegnamento e di apprendimento (vediparagrafo 5).Questa guida contiene inoltre una sezione contenente proposte per il Portfolio delle com-petenze individuali (paragrafo 6), in particolare:• schede per la certificazione delle competenze acquisite, alcune per gli alunni e altre

per gli insegnanti;• schede da allegare ai materiali da inserire nel portfolio;• scheda riassuntiva a certificazione del percorso formativo svolto nell’ambito matema-

tico durante il triennio.

Al fine della valutazione abbiamo suddiviso le competenze disciplinari in SAPERE (CONO-SCENZE) e SAPER FARE (ABILITÁ).C’è rispondenza tra SAPERE e SAPER FARE e i quattro criteri più frequentemente usati per lavalutazione nelle scienze matematiche, come riassunto nella tabella seguente.

Criteri

• Conoscenza degli elementi specifici della materia.

• Comprensione del linguaggio specifico.

• Osservazione di fatti, individuazione e applicazione di relazioni, pro-prietà e procedimenti.

• Identificazione e comprensione di problemi, formulazione di ipotesie di soluzioni e loro verifica.

• Uso del linguaggio specifico delle scienze matematiche.

Come si desume dalla tabella, le competenze relative al SAPERE sono riferite alla conoscen-za degli elementi specifici della materia; mentre quelle relative al SAPER FARE comprendo-no: l’osservazione di fatti, l’individuazione e l’applicazione di relazioni, proprietà e procedi-menti; l’identificazione e la comprensione di problemi, la formulazione di ipotesi e di solu-zioni e la loro verifica.Il criterio relativo al linguaggio è trasversale rispetto le competenze del sapere e del saperfare; in particolare, nel SAPERE rientra la comprensione del linguaggio, mentre nel SAPERFARE l’uso del linguaggio specifico delle scienze matematiche.

3

SAPERE(CONOSCENZE)

SAPER FARE(ABILITÁ)

2222.... CCCCAAAARRRRAAAATTTTTTTTEEEERRRRIIIISSSSTTTTIIIICCCCHHHHEEEE DDDDEEEELLLL CCCCOOOORRRRSSSSOOOO

Il corso è articolato in SEI VOLUMI:– 2 di aritmetica (A – B),– 3 di geometria (A – B – C),– 1 di algebra.

Arricchisce il corso un volume di INFORMATICA con alfabetizzazione (Word, Excel, Cabri) eapplicazioni riferite agli argomenti del corso.

Ogni volume del corso è suddiviso in , i cui contenuti sono strutturati in:

� BASE

Le unità base comprendono anche la ”Ripresa complessiva dell’aritmetica e della geometriadella scuola Primaria e gli ampliamenti”.

� APPROFONDIMENTO utilizzabile per i Piani diStudio Personalizzati (P.S.P.)

� RECUPERO utilizzabile per i Piani di StudioPersonalizzati (P.S.P.)

ATTIVITA’ DI RECUPERO

9. Criteri di congruenza dei triangoli

RIPRESA COMPLESSIVA DELLA GEOMETRIA DELLA SCUOLA PRIMARIA E AMPLIAMENTI:

1. Punto, linea, superficie

4

EEEESSSSEEEERRRRCCCCIIIIZZZZIIII pagg. 135 - 138

APPROFONDIMENTAPPROFONDIMENTO O ENTENTOO

EEEESSSSEEEERRRRCCCCIIIIZZZZIIII pagg. 225 - 226

UUNNIITTÀÀUNITÀ

5

� Laboratorio di informatica utilizzabile per i Pianidi Studio Personalizzati (P.S.P.)

� Giochi, Problemi, Schede storiche e Curiosità.

Ogni UNITÀ è suddivisa in:

�TEORIA

ed

�ESERCIZI

entrambi con relativirimandi per ogni paragrafo.

GIOCHI, PROBLEMI, SCHEDE STORICHE E CURIOSITÀ

1. Le quattro operazioni

Laboratorio diinformatica

6

Nella TEORIA di ogni Unità:

c’è una �PAGINA INIZIALE

che riporta i

�PREREQUISITI

e gli �OBIETTIVI

relativi al SAPERE (Conoscenze)e al SAPER FARE (Abilità)

Come già detto prima, è facileindividuare la rispondenza traqueste competenze e i quattrocriteri di valutazione utilizzatiper le scienze matematiche.

All’interno delle paginedi teoria,I �TERMINI

sono in grassetto;

sono presenti

�FIGURE e DISEGNI

esplicativi dell’argomen-to trattato;

RIPRESA COMPLESSIVA DELLA GEOMETRIA DELLA SCUOLA PRIMARIA E AMPLIAMENTI:

7

le CONOSCENZEFONDAMENTALI

(regole, proprietà, definizioni,procedimenti, ecc.) sono scrittein rosso e contornate in blu;

le SCRITTURE

�GENERALIZZATE

sono contornate da un riquadronero.

Alla fine di ogni para-grafo c’è una

�PRIMA VERIFICA

per il controllo diquanto appreso dellaspiegazione teorica. Iquesiti di queste primeverifiche sono di tipo:Vero/Falso con motiva-zione e/o correzione,esercizi di completa-mento, tabelle perl’applicazione di proce-dimenti e formule,problemi guidati, ecc..

�

8

A volte a fineUnità è presente unaPAGINA DI RIEPILOGO

su termini, simboli, regole, ecc.utilizzati nell’Unità.

Gli �ESERCIZI di ogni Unità sono:

– relativi ad ogni paragrafo della teoria,– graduati per difficoltà:

quelli un po’ più difficili sonocontrassegnati da una stellina.

Sono ritenuti esercizi difficili o per ladifficoltà di esecuzione o perchérichiedono un procedimento artico-lato in più passaggi o, ancora, per-ché è necessaria una costruzionegeometrica di non facile esecuzione,ecc.

Inoltre, nelle pagine di ESERCIZIsono presenti:

�ESEMPI, con esercizi svolti,

riconoscibili per il fondo giallo conscritta verde;

�

9

�ESERCIZI GUIDA,

con ulteriori spiegazioni per lo svolgimento corretto, o per intro-durre altre spiegazioni o curiosità o informazioni; anch’essi sufondo giallo con scritta verde;

10

Chiudono le Unità di ESERCIZI:– esercizi di riepilogo,– attività di recupero,– verifiche finali.

Gli �ESERCIZI DI RIEPILOGO sono riferiti agli argomenti fondamentali dell’Unità, soprattut-to quelli che richiedono numerose applicazioni ripetitive.

11

Le �ATTIVITÀ DI RECUPERO (utilizzabili per i P.S.P.)

contengono esercizi guidati relativi alla conoscenza, all’applicazionedi regole, proprietà e/o procedimenti e alla risoluzione di problemisu argomenti ritenuti essenziali per la continuazione del programma; que-ste attività possono essere utilizzate per creare percorsi di insegnamentoindividualizzato e/o di rinforzo;

12

Le VERIFICHE FINALI

sono esercizi relativi al:– SAPERE (Conoscenze):Conoscenza degli elementispecifici della materia;Comprensione del linguaggiomatematico. – SAPER FARE (Abilità):Osservazione dei fatti, indivi-duazione e applicazione direlazioni, proprietà e procedi-menti;Identificazione e comprensio-ne di problemi, formulazionedi ipotesi e di soluzioni e loroverifica;Uso del linguaggio matematico.

Comprendono quesiti a rispo-sta chiusa con scelta multiplao di tipo Vero/Falso; proposi-

zioni da correggere o da completare; esercizi e tabelle per l’applicazione di procedimenti,proprietà e/o formule; problemi con testi da completare e/o da risolvere, ecc.Gli esercizi sono relativi agli argomenti affrontati nell’Unità cui si riferiscono.Le verifiche finali possono essere utilizzate sia in preparazione alla verifica sia come verificadi fine Unità, alcune sono utilizzate ai fini dell’autovalutazione.

Alla fine di ogni VOLUME (tranne in quello di Geometria A) ci sono delle schede con

�GIOCHI, PROBLEMI, SCHEDE STORICHE E CURIOSITÀ

• per sviluppare l’intui-zione e il pensiero pro-duttivo e creativo deglialunni;• per approfondire leradici, gli aspetti storicidella matematica e sti-molare la ricerca di essiin Internet.

�

13

3333.... PPPPIIIIAAAANNNNOOOO DDDDEEEELLLL CCCCOOOORRRRSSSSOOOO* Le scritte Cabri ed Excel che compaiono nelle attività proposte indicano che gli argomenti sono trat-

tati con l’uso dei software indicati.

AARRIITTMMEETTIICCAA -- NNuummeerrii ee LLeetttteerree -- VVoolluummee AA

n° Unità Tipi di attività proposte

1 Ripresa complessiva dell’aritmetica della scuola Primaria: gli insiemi

Base

2 Ripresa complessiva dell’aritmetica della scuola Primaria: numeri naturali e sistemi di numerazione

Base e Approfondimento

3 Ripresa complessiva dell’aritmetica della scuola Primaria: le quattro operazioni

Base

4 Proprietà delle quattro operazioni ed espressioni BaseRecuperoExcel

5 Metodi per risolvere i problemi Base e ApprofondimentoExcel

6 L’elevamento a potenza BaseRecuperoExcel

7 Divisori e multipli di un numero naturale Base e ApprofondimentoRecuperoExcel

8 Prime conoscenze sui numeri relativi Approfondimento

9 Le frazioni BaseExcelCabri

10 Operazioni con le frazioni BaseRecupero

11 Rappresentazioni grafiche ApprofondimentoExcel

12 Dati e previsioni BaseExcel

Giochi, Problemi, Schede storiche e Curiosità

AARRIITTMMEETTIICCAA -- NNuummeerrii ee LLeetttteerree -- VVoolluummee BB


13 Problemi con le frazioni (metodi risolutivi) BaseRecupero

14 L’insieme Q(a) dei numeri razionali BaseExcel

15 Estrazione di radice e insieme R(a) Base e ApprofondimentoRecuperoExcel

16 Rapporti e proporzioni Base e ApprofondimentoRecupero

17 Proporzionalità diretta e inversa Base e ApprofondimentoRecuperoExcel

18 Dati e previsioni


14

AALLGGEEBBRRAA -- NNuummeerrii ee LLeetttteerree


1 Gli insiemi e le operazioni tra essi Base

2 Insieme dei numeri relativi Base

3 Operazioni con i numeri relativi BaseRecupero

4 Calcolo letterale e monomi BaseRecuperoExcel

5 I polinomi Base e ApprofondimentoRecupero

6 Identità ed equazioni BaseRecuperoExcel

7 Problemi risolvibili con equazioni di 1° grado Basead una incognita

8 Relazioni e funzioni Approfondimento

9 Elementi di geometria analitica BaseRecuperoCabri

10 Piano cartesiano e funzioni matematiche Base e ApprofondimentoCabri

11 Dati e previsioni Base e ApprofondimentoExcelCabri

12 La logica proposizionale Approfondimento

Esercizi di collegamento tra la matematica e le scienze


Prove d’esame

GGEEOOMMEETTRRIIAA -- FFoorrmmee ee MMiissuurree -- VVoolluummee AA


1 Le nozioni fondamentali della geometria. Base e ApprofondimentoI segmenti Recupero

Cabri

2 La misura Base e Approfondimento

3 Gli angoli BaseRecuperoCabri

4 Rette nel piano BaseCabri

5 Poligoni Base

6 Piano cartesiano BaseCabri

7 Triangoli Base e ApprofondimentoRecuperoCabri

8 Quadrilateri BaseCabri

9 Triangoli e quadrilateri nel piano cartesiano BaseCabri

10 Geometria col computer:Cabri géomètre

15

GGEEOOMMEETTRRIIAA -- FFoorrmmee ee MMiissuurree -- VVoolluummee BB


11 Equiestensione e area dei poligoni BaseRecuperoCabri

12 Un problema di equiestensione nei triangoli Base e Approfondimentorettangoli: il teorema di Pitagora Recupero

Cabri

13 Alcune trasformazioni geometriche: le isometrie Base e ApprofondimentoCabri

14 La similitudine – I teoremi di Euclide BaseRecuperoCabri

15 Proprietà della similitudine Base e ApprofondimentoCabri


GGEEOOMMEETTRRIIAA -- FFoorrmmee ee MMiissuurree -- VVoolluummee CC


16 Circonferenza, cerchio e le loro parti BaseRecuperoCabri

17 Poligoni iscritti e circoscritti e area di un poligono Baseregolare Recupero

Cabri

18 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio BaseRecuperoCabri

19 Rette e piani nello spazio Base

20 Solidi equivalenti – Volume di un solido – Peso specifico BaseRecupero

21 I poliedri Base e ApprofondimentoRecuperoCabri

22 Solidi di rotazione Base e ApprofondimentoRecuperoCabri


16

4444.... OOOOBBBBIIIIEEEETTTTTTTTIIIIVVVVIIII SSSSPPPPEEEECCCCIIIIFFFFIIIICCCCIIII DDDDIIII AAAAPPPPPPPPRRRREEEENNNNDDDDIIIIMMMMEEEENNNNTTTTOOOOIIIINNNNDDDDIIIICCCCAAAATTTTIIII NNNNEEEEIIII PPPPIIIIAAAANNNNIIII DDDDIIII SSSSTTTTUUUUDDDDIIIIOOOO PPPPEEEERRRRSSSSOOOONNNNAAAALLLLIIIIZZZZZZZZAAAATTTTIIII NNNNEEEELLLLLLLLAAAA SSSSCCCCUUUUOOOOLLLLAAAA SSSSEEEECCCCOOOONNNNDDDDAAAARRRRIIIIAAAA DDDDIIII PPPPRRRRIIIIMMMMOOOO GGGGRRRRAAAADDDDOOOO

Classi prima e seconda (primo biennio)

CONOSCENZE Il numero - Ripresa complessiva dei numeri interi e dell’arit-

metica della Scuola Primaria:• operazioni con i numeri naturali;• i multipli e i divisori di un numero;• i numeri primi;• minimo comune multiplo, massimo comun

divisore; • potenze di numeri naturali; • numeri interi relativi.

- Approfondimento e ampliamento del concetto dinumero: -• la frazione come rapporto e come quoziente;• i numeri razionali; • rapporti, percentuali e proporzioni; • scrittura decimale dei numeri razionali; • operazioni tra numeri razionali; • confronto tra numeri razionali; • la radice quadrata come operazione inversa

dell’elevamento al quadrato.

Geometria - Ripresa complessiva della Geometria piana e

solida della Scuola Primaria.• Figure piane; proprietà caratteristiche di

triangoli e quadrilateri, poligoni regolari.• Somma degli angoli di un triangolo e di un

poligono. • Equiscomponibilità di semplici figure poligo-

nali. • Teorema di Pitagora.

- Nozione intuitiva di trasformazione geometrica:traslazione, rotazione e simmetria

- Rapporto tra grandezze.

- Omotetie, similitudini.

- Introduzione al concetto di sistema diriferimento: le coordinate cartesiane, il piano car-tesiano.

Misura - Le grandezze geometriche.- Il sistema internazionale di misura.

ABILITÀ DISCIPLINARI

- Risolvere problemi e calcolare semplici espressioni tra nume-ri interi mediante l’uso delle quattro operazioni.

- Elevare a potenza numeri naturali.- Ricercare multipli e divisori di un numero; individuare multi-

pli e divisori comuni a due o più numeri.- Scomporre in fattori primi un numero naturale.- Leggere e scrivere numeri naturali e decimali in base dieci

usando la notazione polinomiale e quella scientifica.

- Riconoscere frazioni equivalenti.- Confrontare numeri razionali e rappresentarli sulla retta nume-

rica.- Eseguire operazioni con i numeri razionali in forma decimale.- Eseguire semplici calcoli con numeri razionali usando metodi

e strumenti diversi.

- Conoscere proprietà di figure piane e solide e classificare lefigure sulla base di diversi criteri.

- Riconoscere figure uguali e descrivere le isometrie necessarieper portarle a coincidere.

- Costruire figure isometriche con proprietà assegnate.- Utilizzare le trasformazioni per osservare, classificare ed

argomentare proprietà delle figure.- Risolvere problemi usando proprietà geometriche delle figure

ricorrendo a modelli materiali e a semplici deduzioni e adopportuni strumenti di rappresentazione (riga, squadra, com-passo e, eventualmente, software di geometria).

- Riconoscere grandezze proporzionali in vari contesti; ripro-durre in scala.

- Calcolare aree e perimetri di figure piane.- Riconoscere figure simili in vari contesti.- Costruire figure simili dato il rapporto di similitudine.

- Rappresentare sul piano cartesiano punti, segmenti, figure.

- Esprimere le misure in unità di misura nel sistema internazio-nale, utilizzando le potenze del 10 e le cifre significative.

- Effettuare e stimare misure in modo diretto e indiretto.- Valutare la significatività delle cifre del risultato di una

data misura.

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Dati e previsioni - Fasi di un’indagine statistica.- Tabelle e grafici statistici. - Valori medi e campo di variazione. - Concetto di popolazione e di campione.

- Probabilità di un evento: valutazione di probabi-lità in casi semplici.

Aspetti storici connessi alla matematica - Aspetti storici connessi alla matematica, ad

esempio: sistemi di numerazione nella storia, ilmetodo di Eratostene per la misura del raggiodella Terra, i diversi valori di pi-greco nella geo-metria antica.

- Identificare un problema affrontabile con un’indagine statisti-ca, individuare la popolazione e le unità statistiche. ad essorelative, formulare un questionario, raccogliere dati, organiz-zare gli stessi in tabelle di frequenze.

- Rappresentare graficamente e analizzare gli indici adeguatialle caratteristiche: la moda, se qualitativamente sconnessi; lamediana, se ordinabili; la media aritmetica e il campo di varia-zione, se quantitativi..

- Realizzare esempi di campione casuale e rappresentativo.- Realizzare previsioni di probabilità in casi semplici

Introduzione al pensiero razionale (da coordinare in maniera particolare con tutte le altre discipline nelle attivitàeducative e didattiche unitarie promosse)

- Passare dal linguaggio comune al linguaggio specifico, com-prendendo e usando un lessico adeguato al contesto.

- Comprendere il ruolo della definizione.- Individuare regolarità in contesti e fenomeni osservati.- Produrre congetture relative all’interpretazione e spiegazione

di osservazioni effettuate in diversi contesti.- Analizzare criticamente le proprie congetture, comprendendo

la necessità di verificarle in casi particolari e di argomentarlein modo adeguato.

- Esprimere verbalmente in modo corretto i ragionamenti e leargomentazioni.

- Riconoscere gli errori e la necessità di superarli positivamente. - Riconoscere situazioni problematiche, individuando i dati da

cui partire e l’obiettivo da conseguire.- Schematizzare anche in modi diversi la situazione di un pro-

blema, allo scopo di elaborare in modo adeguato una possibi-le procedura risolutiva.

- Esporre chiaramente un procedimento risolutivo, evidenzian-do le azioni da compiere e il loro collegamento.

- Confrontare criticamente eventuali diversi procedimenti disoluzione.

Classe terza Il numero- Gli insiemi numerici e le proprietà delle opera-

zioni.- Allineamenti decimali, periodici e non, esempi di

numeri irrazionali.- Ordine di grandezza, approssimazione, errore,

uso consapevole degli strumenti di calcolo.- Scrittura formale delle proprietà delle operazioni e

uso delle lettere come generalizzazione dei nume-ri in casi semplici.

- Elementi fondamentali di calcolo algebrico.- Semplici equazioni di primo grado.

- Riconoscere i vari insiemi numerici con le loro proprietà for-mali e operare in essi.

- Effettuare semplici sequenze di calcoli approssimati.

- Rappresentare con lettere le principali proprietà delle opera-zioni.

- Esplorare situazioni modellizzabili con semplici equazioni;risolvere equazioni in casi semplici.

OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO INDICATI NEI PIANI DI STUDIO PERSONALIZZATI

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Le relazioni- Alcune relazioni significative (essere uguale a,

essere multiplo di, essere maggiore di, essereparallelo o perpendicolare a, …)

- Funzioni: tabulazioni e grafici. -Funzioni del tipoy=ax, y=a/x, y=ax2 e loro rappresentazione grafi-ca.

- Semplici modelli di fatti sperimentali e di leggimatematiche.

Geometria - Lunghezza della circonferenza e area del cerchio.- Significato di π e cenni storici ad esso relativi.- Ripresa dei solidi, calcolo dei volumi dei princi-

pali solidi e calcolo delle aree delle loro superfi-ci ( cubo, parallelepipedo, piramide, cono, cilin-dro, sfera).

Dati e previsioni - Raccolte di dati relativi a grandezze continue:

costruzione degli intervalli di ampiezza uguale odiversa.

- Istogramma di frequenze.- Frequenze relative, percentuali, cumulate.- Fonti ufficiali dei dati: loro utilizzo.- Comprendere in modo adeguato le varie conce-

zioni di probabilità: classica, frequentista e sog-gettiva.

- Intuizione della nozione di insieme e introduzio-ne delle operazioni elementari tra essi.

- Dal linguaggio naturale al linguaggio formale: leproposizioni e l’introduzione dei connettivi logi-ci non, et, vel.

- In contesti vari, individuare, descrivere e costruire relazionisignificative: riconoscere analogie e differenze.

- Utilizzare le lettere per esprimere in forma generale sempliciproprietà e regolarità (numeriche, geometriche, fisiche, …).

- Riconoscere in fatti e fenomeni relazioni tra grandezze. - Usare coordinate cartesiane, diagrammi, tabelle per rappre-

sentare relazioni e funzioni.

- Calcolare lunghezze di circonferenze e aree di cerchi. - Visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappre-

sentazione bidimensionale e viceversa, rappresentare su unpiano una figura solida.

- Risolvere problemi usando proprietà geometriche delle figurericorrendo a modelli materiali e a semplici deduzioni e adopportuni strumenti di rappresentazione (riga, squadra, com-passo e, eventualmente, software di geometria).

- Calcolare i volumi e le aree delle superfici delle principalifigure solide.

- Costruire istogrammi e leggerli. - Riconoscere grafici errati e correggerli, se possibile. Ricavare

informazioni da raccolte di dati e grafici di varie fonti. - Utilizzare strumenti informatici per organizzare e rappresen-

tare dati. - Calcolare frequenze relative, percentuali e cumulate e darvi

significato. - Utilizzare frequenze relative, percentuali e cumulate per

attuare confronti tra raccolte di dati. - Comprendere quando e come utilizzare le diverse misure di

probabilità (classica, frequentista, soggettiva).

- Utilizzare diversi procedimenti logici: induzione e generaliz-zazione, deduzione, funzione di esempi e controesempi.

- Giustificare in modo adeguato enunciazioni, distinguendo traaffermazioni indotte dall’osservazione, intuite ed ipotizzate,argomentate e dimostrate.

- Documentare i procedimenti scelti e applicati nella risoluzio-ne dei problemi.

- Valutare criticamente le diverse strategie risolutive di un pro-blema.

Introduzione al pensiero razionale (da coordinare in maniera particolare con tutte le altre discipline nelle attività edu-cative e didattiche unitarie promosse)

OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO INDICATI NEI PIANI DI STUDIO PERSONALIZZATI

19

5555.... PPPPRRRROOOOPPPPOOOOSSSSTTTTEEEE PPPPEEEERRRR LLLLAAAA PPPPRRRROOOOGGGGRRRRAAAAMMMMMMMMAAAAZZZZIIIIOOOONNNNEEEEDDDDEEEEIIII PPPPIIIIAAAANNNNIIII DDDDIIII SSSSTTTTUUUUDDDDIIIIOOOO PPPPEEEERRRRSSSSOOOONNNNAAAALLLLIIIIZZZZZZZZAAAATTTTIIII

In questo paragrafo vi sono dei suggerimenti per il lavoro di programmazione. I materialipresentati sono da intendersi come proposte, consigli, spunti di lavoro, che ogni docentepotrà utilizzare per elaborare i P.S.P..Il corso è stato pensato per strutturare dei percorsi diversificati che permettano di realizzareun apprendimento individualizzato e graduale, centrato sull’allievo più che sulla disciplina efinalizzato allo sviluppo progressivo di competenze.

Vengono proposti due percorsi di base, attività di recupero e percorsi di arricchimento.• PERCORSO BASE – UNO – finalizzato all'acquisizione dei contenuti e delle abilità essen-ziali della matematica (livello basso),• PERCORSO BASE – DUE – finalizzato all'acquisizione di contenuti e di abilità che permet-tano agli alunni di conseguire una preparazione più completa (livello medio),• ATTIVITÀ DI RECUPERO – finalizzate al conseguimento delle competenze di base nel-l’ambito matematico,• PERCORSI DI ARRICCHIMENTO – finalizzati all’approfondimento dei contenuti dellamatematica.

Il docente potrà predisporre la sua programmazione utilizzando almeno uno dei percorsi dibase, le attività di recupero e uno o più moduli di arricchimento in relazione alla situazionedella classe, agli interessi manifestati dagli alunni, alle proprie competenze, alle attrezzatu-re disponibili a scuola, ecc.

* Per lo svolgimento di questo percorso base non dovranno essere considerate le attività proposte nei paragrafidi approfondimento.

PERCORSO BASE – UNO – (livello basso)*NUMERI E LETTERE (aritmetica)

Gli insiemi U. 1

Le quattro operazioni U. 3

Proprietà delle quattro operazioni ed espressioni U. 4

Elevamento a potenza U. 6

Divisori e multipli U. 7

Le frazioni U. 9

Operazioni con le frazioni U.10

Dati e previsioni U.12

Problemi con le frazioni U.13

L’insieme Q(a) dei numeri razionali U.14

Estrazione di radice U.15

Rapporti e proporzioni U.16


Insiemi dei numeri relativi U. 2

Operazioni con i numeri relativi U. 3

Calcolo letterale e monomi U. 4

Identità ed equazioni U. 6

FORME E MISURE (geometria)

Le nozioni fondamentali della geometria.I segmenti U. 1

Gli angoli U. 3

Rette nel piano U. 4

Poligoni U. 5

Piano cartesiano U. 6

Triangoli U. 7

Quadrilateri U. 8

Triangoli e quadrilateri nel pianocartesiano U. 9

Equiestensione e aree dei poligoni U.11

Teorema di Pitagora U.12

La similitudine U.14

Circonferenza, cerchio e loro parti U.16

Poligoni inscritti e circoscritti.Area di un poligono regolare U.17

Lunghezza della circonferenza e area delcerchio U.18

Rette e piani nello spazio U.19

Solidi equivalenti. Volume di un solido.Peso specifico U.20

I poliedri U.21

Solidi di rotazione U.22

VOLUME

A

VOLUME

A

VOL.

B

VOLUME

C

VOLUMEB

ALGEBRA

20

* Per lo svolgimento di questo percorso base non dovranno essere considerate le attività proposte nei paragrafidi approfondimento.

PERCORSO BASE – DUE – (livello medio)*NUMERI E LETTERE (aritmetica)

Gli insiemi U. 1

Le quattro operazioni U. 3

Proprietà delle quattro operazioni ed espressioni U. 4

Elevamento a potenza U. 6

Divisori e multipli U. 7

Prime conoscenze sui numeri relativi U. 8

Le frazioni U. 9

Operazioni con le frazioni U.10

Rappresentazioni grafiche U.11


Problemi con le frazioni U.13

L’insieme Q(a) dei numeri razionali U.14

Estrazione di radice U.15

Rapporti e proporzioni U.16

Proporzionalità diretta e inversa e loro applicazioni U.17


Insiemi dei numeri relativi U. 2

Operazioni con i numeri relativi U. 3

Calcolo letterale e monomi U. 4

Identità ed equazioni U. 6

Problemi risolvibili con equazioni di primogrado ad una incognita U. 7

Elementi di geometria analitica U. 9


FORME E MISURE (geometria)

Le nozioni fondamentali della geometria.I segmenti U. 1

Gli angoli U. 3

Rette nel piano U. 4

Poligoni U. 5

Piano cartesiano U. 6

Triangoli U. 7

Quadrilateri U. 8

Triangoli e quadrilateri nel pianocartesiano U. 9

Equiestensione e area dei poligoni U.11

Teorema di Pitagora U.12

Le isometrie U.13

La similitudine U.14

Le proprietà della similitudine U.15

Circonferenza, cerchio e loro parti U.16

Poligoni inscritti e circoscritti.Area di un poligono regolare U.17

Lunghezza della circonferenza e areadel cerchio U.18

Rette e piani nello spazio U.19

Solidi equivalenti. Volume di un solido.Peso specifico U.20

I poliedri U.21

Solidi di rotazione U.22

VOLUME

A

VOLUME

A

VOLUME

B

VOLUME

C

VOLUMEB

ALGEBRA

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PERCORSI DI ARRICCHIMENTO

Situazioni problematicherisolvibili con gli insiemi

Prime conoscenze suinumeri relativi

Prodotti notevoli

Logica proposizionale

Calcolo della probabilitàmatematica

Logaritmo di un numero

Relazioni e funzioniOsservazioni sulle regoleper trasformare i numeriperiodici in frazioni

Arricchimento negliambiti aritmetico

ed algebrico

Laboratorio di informatica:Cabri géomètre

Arricchimento nell’ambitogeometrico

Composizione di isometrie

Omotetia

Composizione di una omotetia e di una isometria

Tronco di piramide

Superficie e volume del tronco di piramide

Poliedri regolari

Superfici e volumi dei poliedri regolari

Tronco di cono

Sfera

Arricchimento nell’ambitodella geometria analitica

Geometria col computer:Cabri géomètre (teoria)

Rappresentazione di funzioni matematiche con Excel

Piano cartesiano e funzioni matematiche con CabriPiano cartesiano e funzioni matematiche

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Arricchimento nell’ambitoinformatico

Geometria col computer: Cabri géomètre (teoria)

Laboratorio di informatica con Excel

Laboratorio di informatica con Cabri géomètre

Diagrammi di flusso La logica proposizionale

Arricchimento nell’ambitostatistico

Rappresentazioni grafiche con Excel

Calcolo della media aritmetica con Excel

Elaborazioni statistiche con Excel

Calcolo della probabilità con Excel

Scarto dalla media

Eventi indipendenti ed eventi dipendenti

Probabilità di un evento compostoda due eventi indipendenti

Probabilità di un evento compostoda due eventi dipendenti

Probabilità soggettiva

Gioco equo e speranza matematica

Arricchimento per il collegamentocon le altre scienze

Diagrammi di flusso

Rappresentazioni grafiche

La misura

La misura del tempo

Grandezze omogenee, gran-dezze non omogenee e lororapporti

Riproduzioni in scala

Rappresentazioni grafiche con Excel

Percentuali con Excel

Rappresentazione grafica di dati espressi in percen-tuale

Esercizi di collegamento tra la matematica e le scienze

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È possibile scaricare giochi e problemi da Internet, segnaliamo alcuni siti:• www.uni-bocconi.it (e poi cliccare su giochi matematici).• www.quadernoaquadretti.it (cliccare poi su giochi matematici per la scuola elementare).

Questo è il sito del Dipartimento di Matematica dell’Università statale di Milano.

Arricchimento nell’ambitodella storia della matematica

SCHEDE STORICHESistemi antichi di numerazione(Romani, antichi Egizi, Sumeri)

Unità di misura dei Romani

Unità di lunghezza usate in Italia primadell’adozione del metro

Unità di misura anglossassoni

Arricchimento nell’ambitologico-creativo

GIOCHI E PROBLEMI QUADRATI MAGICI

Crucinumero CURIOSITÀ

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INDICATORI DI APPRENDIMENTO RIFERITI ALLE UNITA’ DEI TESTI DIARITMETICA (NUMERI E LETTERE), GEOMETRIA (FORME E MISURE) ED

ALGEBRA (NUMERI E LETTERE).

ARITMETICA : VOLUMI A e BINDICATORI DI APPRENDIMENTO

UNITA’ SAPERE (CONOSCENZE) SAPER FARE (ABILITA’)1. - Il significato dei termini e dei simboli dell’insiemistica

- Le relazioni di appartenenza e di inclusione- Rappresentare gli insiemi in modi diversi- Operare con gli insiemi- Risolvere problemi utilizzando le relazioni tra insiemi

2. - Il significato dei termini e dei simboli che esprimono relazioni tra numeri naturali- Le regole del sistema di numerazione decimale- Il valore delle cifre nei numeri interi e decimali

- Individuare i numeri naturali che rendono vero un enunciato aperto- Eseguire trasformazioni da un ordine ad un altro- Rappresentare numeri interi e numeri decimali limitati sulla semiretta

3. - I termini specifici delle quattro operazioni- I procedimenti per eseguire le quattro operazioni con numeri interi e numeri decimali limitati

- Eseguire le quattro operazioni con numeri interi e numeri decimali limitati- Risolvere problemi con le quattro operazioni

4. - Le proprietà delle quattro operazioni ed esprimerle in forma generalizzata- Le regole per risolvere espressioni con le quattro operazioni e con le parentesi

- Applicare le proprietà delle quattro operazioni- Risolvere espressioni con le quattro operazioni e con le parentesi

5. - Il significato di termini e simboli usati nei diagrammi di flusso

- Rappresentare con un diagramma di flusso il procedimento risolutivo di un problema- Rappresentare graficamente i dati di un problema- Tradurre il testo di un problema dal linguaggio grafico a quello verbale- Risolvere i problemi riunendo le operazioni in un’espressione- Valutare l’attendibilità dei risultati

6. - Gli elementi di una potenza- Le proprietà delle potenze esprimendole in forma generalizzata

- Calcolare il valore di una potenza- Applicare le proprietà delle potenze- Risolvere espressioni con le potenze- Scrivere i numeri sotto forma di notazione scientifica e viceversa- Individuare l’ordine di grandezza di un numero

7. - Il significato di termini e simboli relativi a multipli, divisori, M.C.D. e m.c.m.- I criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9, 11, 25, 10, 100 ..- Il criterio generale di divisibilità- Le regole per calcolare il M.C.D. e il m.c.m.

- Individuare tutti i divisori di un numero- Scomporre un numero in fattori primi- Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. di due o più numeri- Risolvere problemi in cui si deve calcolare il M.C.D. e il m.c.m.

8. - Il significato di alcuni termini e simboli relativi all’insieme Z

- Rappresentare graficamente i numeri relativi sulla retta- Confrontare i numeri relativi e disporli in ordine crescente e decrescente- Effettuare semplici addizioni con numeri interi relativi- Risolvere semplici problemi con numeri interi relativi

9. - Il significato di termini e simboli relativi all’insieme Q (a )

- La classificazione delle frazioni- Rappresentare le frazioni sulla semiretta- Utilizzare le frazioni come operatori- Individuare e determinare frazioni equivalenti- Ridurre frazioni al minimo comune denominatore- Confrontare e ordinare le frazioni in modo crescente e decrescente

10. - Le regole per effettuare le operazioni con le frazioni- Le proprietà delle operazioni in Q (a )

- Effettuare operazioni con le frazioni- Risolvere espressioni con le frazioni

11. - Gli elementi che costituiscono i vari tipi di grafici- I procedimenti per disegnare i vari tipi di grafici

- Disegnare grafici- Interpretare grafici

12. - I termini, le proprietà e i procedimenti relativi alla statistica

- Identificare un problema affrontabile con un’indagine statistica- Individuare la popolazione e le unità statistiche ad essa relative- Formulare un questionario- Raccogliere i dati e organizzare gli stessi in tabelle di frequenza- Rappresentare graficamente i dati di una indagine statistica- Interpretare grafici che rappresentano i dati di una indagine statistica

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13. - Rappresentare graficamente i dati dei problemi- Tradurre una rappresentazione grafica nel testo di un problema- Risolvere problemi con le frazioni ( diretti e inversi )- Risolvere problemi in cui si conosce la somma o la differenza di due grandezze e la frazione di una rispetto all’altra

14. - Le caratteristiche delle frazioni ordinarie e delle frazioni decimali- Le regole per trasformare i numeri decimali nelle frazioni corrispondenti- La regola per approssimare un numero decimale

- Trasformare una frazione in numero decimale e viceversa- Approssimare un numero decimale per difetto e per eccesso

15. - Il significato di termini e simboli relativi ai numeri reali assoluti R(a)

- Le proprietà dell’estrazione di radice- Le relazioni tra numeri reali assoluti R(a)

- Usare le tavole numeriche per l’estrazione di radice quadrata- Applicare l’algoritmo per l’estrazione di radice quadrata- Applicare le proprietà delle radici

16. - I termini di una proporzione- Le regole per calcolare il termine incognito di una proporzione- Le proprietà delle proporzioni

- Confrontare tra loro rapporti- Calcolare il termine incognito di una proporzione- Applicare le proprietà delle proporzioni- Risolvere problemi utilizzando le proporzioni

17. - Il significato di variabile dipendente ed indipendente- Le leggi di proporzionalità diretta e inversa- I procedimenti per risolvere i problemi del tre semplice e del tre composto- Le formule per il calcolo del tasso percentuale e della parte percentuale- Le formule dirette e inverse relative al calcolo dell’interesse

- Stabilire coppie di valori che soddisfano funzioni di proporzionalità- Rappresentare graficamente funzioni di proporzionalità- Effettuare ripartizioni semplici, dirette e inverse- Calcolare il tasso percentuale e la parte percentuale- Calcolare il capitale, l’interesse, il tasso d’interesse e il tempo- Risolvere problemi utilizzando le proporzioni

18. - Il significato dei termini, le proprietà e i procedimenti relativi al calcolo dei valori medi statistici e all’indagine per campione- La regola per il calcolo della probabilità matematica di un evento casuale

- Applicare procedimenti per il calcolo dei valori medi statistici- Individuare il valore medio più adatto a rappresentare una distribuzione di dati- Riconoscere le situazioni in cui conviene effettuare un’indagine per campione- Riconoscere eventi certi, eventi impossibili ed eventi probabili- Calcolare la probabilità matematica di un evento casuale

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GEOMETRIA: VOLUMI A , B e CINDICATORI DI APPRENDIMENTO

UNITA’ SAPERE ( CONOSCENZE ) SAPER FARE ( ABILITA’ )1. - Il significato di termini e simboli che riguardano gli enti

geometrici fondamentali- Il significato di congruenza diretta e inversa

- Misurare ed operare con i segmenti- Individuare relazioni tra segmenti- Utilizzare correttamente i simboli per indicare rette, semirette e segmenti- Disegnare rette, semirette e segmenti secondo le istruzioni date- Risolvere problemi relativi ai segmenti

2. - Il significato di misura- I simboli delle unità di misura- Le relazioni che intercorrono tra le unità di misura

- Effettuare conversioni da una unità di misura ad un’altra- Risolvere problemi in cui ci sono unità di misura

3. - Il significato di termini e simboli relativi agli angoli- Le proprietà degli angoli- Le relazioni che intercorrono tra gli angoli

- Misurare gli angoli ed operare con essi- Utilizzare simboli per indicare gli angoli- Disegnare angoli secondo le istruzioni date- Risolvere problemi relativi agli angoli

4. - Il significato di parallelismo e perpendicolarità- Le condizioni di parallelismo

- Individuare relazioni tra gli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale- Individuare relazioni tra rette- Disegnare rette parallele e perpendicolari

5. - Il significato di termini e simboli relativi ai poligoni- Le relazioni tra gli elementi di un poligono- Le analogie e le differenze tra i poligoni- La classificazione dei poligoni

- Disegnare poligoni secondo le istruzioni date- Calcolare le ampiezze di angoli interni ed esterni- Risolvere problemi relativi ai lati a agli angoli dei poligoni

6. - Il significato dei termini e dei simboli relativi al piano cartesiano

- Individuare punti sul piano cartesiano conoscendo le coordinate e viceversa- Individuare relazioni tra punti e rette sul piano cartesiano- Rappresentare segmenti, spezzate e poligoni sul piano cartesiano

7. - Gli elementi che appartengono ad un triangolo- Le proprietà dei triangoli- Le classificazioni dei triangoli secondo criteri diversi- I criteri di congruenza dei triangoli

- Disegnare triangoli secondo le istruzioni date- Rappresentare con i diagrammi di Venn l’insieme dei triangoli e i suoi sottoinsiemi- Individuare triangoli congruenti- Risolvere problemi relativi ai triangoli

8. - Gli elementi costitutivi di un quadrilatero- Le proprietà dei quadrilateri- La classificazione dei quadrilateri

- Disegnare quadrilateri secondo le istruzioni date- Rappresentare con i diagrammi di Venn l’insieme dei quadrilateri e i suoi sottoinsiemi- Individuare relazioni nei quadrilateri- Risolvere problemi relativi ai quadrilateri

9. - Disegnare triangoli e quadrilateri nel piano cartesiano- Individuare le coordinate dei vertici di triangoli e quadrilateri- Effettuare semplici trasformazioni nel piano cartesiano- Disegnare triangoli e quadrilateri congruenti nel piano cartesiano

10. - I comandi di Cabri géomètre - Utilizzare i comandi di Cabri géomètre per disegnare enti geometrici- Creare e gestire semplici costruzioni geometriche e disegni- Essere in grado di studiare e dimostrare semplici proprietà di figure geometriche- Risolvere problemi con l’aiuto di semplici costruzioni

11. - Le proprietà delle figure equiestese- Le formule per calcolare le aree dei poligoni e le relative formule inverse- Le unità di misura di superficie

- Applicare formule dirette e inverse- Individuare figure equiestese- Disegnare figure equiestese- Risolvere problemi in cui si devono applicare le formule per il calcolo delle aree di figure piane e le relative formule inverse

12. - L’enunciato del teorema di Pitagora ed esprimerlo in forma simbolica- Le applicazioni del teorema di Pitagora ai poligoni ed esprimerle in forma simbolica

- Individuare terne pitagoriche- Classificare i triangoli conoscendo le misure dei lati- Applicare il teorema di Pitagora a diversi poligoni- Risolvere problemi in cui si deve applicare il teorema di Pitagora

13. - Gli elementi che caratterizzano le isometrie- Le proprietà varianti ed invarianti delle isometrie

- Disegnare figure isometriche secondo le istruzioni date- Individuare gli elementi che caratterizzano una isometria- Individuare assi di simmetria in figure geometriche

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14. - Le relazioni che intercorrono tra gli elementi di figure simili- I criteri di similitudine dei triangoli- Varianti ed invarianti della similitudine- Gli enunciati dei teoremi di Euclide ed esprimerli con delle proporzioni

- Individuare figure simili e determinare il loro rapporto di similitudine- Risolvere problemi utilizzando le relazioni tra gli elementi di figure simili- Interpretare geometricamente le relazioni dei teoremi di Euclide- Risolvere problemi applicando i teoremi di Euclide

15. - Le relazioni e le proprietà relative a figure simili- L’enunciato del teorema di Talete ed esprimerlo con una catena di rapporti uguali- Gli elementi che caratterizzano una omotetia- Varianti ed invarianti di una omotetia

- Riconoscere figure direttamente ed inversamente omotetiche- Calcolare il rapporto di omotetia- Disegnare figure simili utilizzando metodi diversi- Risolvere problemi relativi a figure simili

16. - Il significato di termini e simboli relativi a circonferenza, cerchio e loro parti- Le relazioni e le proprietà relative alla circonferenza, al cerchio e alle loro parti

- Disegnare circonferenze, cerchi e le loro parti secondo le istruzioni date- Utilizzare le proprietà di circonferenza, cerchio e delle loro parti per risolvere problemi

17. - I criteri di inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni- Le relazioni relative ai poligoni inscritti e circoscritti

- Disegnare poligoni inscritti e circoscritti secondo le istruzioni date- Calcolare l’area di poligoni circoscritti e di poligoni regolari- Risolvere problemi relativi a poligoni inscritti e circoscritti e poligoni regolari

18. - Le formule dirette e inverse relative a circonferenza, cerchio e loro parti- Le relazioni che intercorrono tra gli elementi della circonferenza e del cerchio

- Applicare formule dirette e inverse relative a cerchio, circonferenza e loro parti- Esprimere relazioni impostando proporzioni- Risolvere problemi relativi a circonferenza, cerchio e loro parti

19. - Le relazioni tra rette e piani nello spazio- Gli elementi costitutivi di un diedro e le relazioni tra diedri

- Disegnare diedri, rette e piani nello spazio- Risolvere problemi relativi a rette e piani nello spazio

20. - I metodi per stabilire l’equivalenza di due solidi- La differenza tra peso e massa- Le unità di misura di massa ( peso )- La formula per calcolare il peso di un solido e le relative formule inverse

- Determinare il volume di un solido e le relative formule inverse- Utilizzare le unità di misura di massa ( peso )- Risolvere problemi utilizzando la relazione tra massa ( peso ), volume e peso specifico- Disegnare solidi equivalenti

21. - Gli elementi costitutivi nei vari poliedri- Le proprietà dei vari poliedri- La classificazione dei poliedri- Le formule per calcolare le aree delle superfici e i volumi dei vari poliedri e le relative formule inverse

- Individuare relazioni nei vari poliedri- Disegnare i poliedri e i loro sviluppi piani- Applicare formule dirette e inverse relative ai poliedri- Risolvere problemi relativi ai poliedri

22. - Gli elementi costitutivi dei vari solidi di rotazione- Le proprietà dei solidi di rotazione- Le formule per calcolare le aree delle superfici e i volumi dei vari solidi di rotazione e le relative formule inverse

- Individuare relazioni nei solidi di rotazione- Applicare formule dirette e inverse relative ai vari solidi di rotazione- Risolvere problemi relativi ai vari solidi di rotazione

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ALGEBRAINDICATORI DI APPRENDIMENTO

UNITA’ SAPERE (CONOSCENZE) SAPER FARE (ABILITA’)1. - Il significato dei termini e dei simboli dell’insiemistica

- Le relazioni di appartenenza e di inclusione- Le proprietà dell’unione e dell’intersezione

- Rappresentare gli insiemi in modi diversi- Operare con gli insiemi- Risolvere problemi utilizzando le relazioni tra insiemi

2. - Il significato di termini e simboli nell’insieme R - Rappresentare graficamente i numeri relativi- Confrontare i numeri relativi

3. - Le regole per risolvere le operazioni in R- Le proprietà delle operazioni in R

- Applicare le proprietà delle operazioni in R- Individuare le proprietà delle operazioni in R- Applicare procedimenti per risolvere calcoli ed espressioni con i numeri relativi- Risolvere problemi con i numeri relativi

4. - Il significato di termini e simboli relativi ai monomi- Le proprietà dei monomi- Le regole per effettuare operazioni con i monomi

- Applicare regole e procedimenti per operare con i monomi- Esprimere situazioni utilizzando i monomi

5. - Il significato di termini e simboli relativi ai polinomi- Le proprietà dei polinomi- Le regole per effettuare operazioni con i polinomi

- Applicare regole e procedimenti per operare con i polinomi- Esprimere situazioni utilizzando i polinomi

6. - Il significato di termini e simboli usati nelle equazioni- I principi di equivalenza delle equazioni e le regole conseguenti- Il procedimento per risolvere equazioni intere di primo grado ad una incognita

- Riconoscere identità ed equazioni- Applicare il procedimento per risolvere equazioni intere di primo grado ad una incognita- Individuare equazioni determinate, indeterminate e impossibili- Verificare la radice di una equazione

7. - Esprimere situazioni problematiche sotto forma di equazioni- Risolvere problemi con equazioni- Verificare i procedimenti utilizzati

8. - Le proprietà delle relazioni esprimendole in forma generalizzata- Le proprietà che una relazione possiede in un determinato insieme- La differenza tra corrispondenze univoche e biunivoche

- Individuare relazioni di equivalenza e relazioni d’ordine- Rappresentare relazioni tra gli elementi di un insieme- Data una funzione, ricavare una tabella, costruire il relativo grafico e viceversa

9. - Le relazioni tra punti, segmenti e figure sul piano cartesiano- Le formule per calcolare la distanza tra due punti- Le formule per calcolare le coordinate del punto medio di un segmento

- Applicare procedimenti per calcolare la lunghezza di un segmento sul piano cartesiano- Determinare le coordinate del punto medio di un segmento- Costruire, riconoscere e descrivere poligoni in un riferimento cartesiano- Risolvere problemi sui poligoni utilizzando il riferimento cartesiano

10. - Il significato di termini e simboli relativi a funzioni matematiche- Le condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra rette- Il tipo di grafico che corrisponde ad una funzione matematica

- Rappresentare e interpretare grafici di funzioni matematiche- Scrivere equazioni di rette parallele e perpendicolari ad una retta data- Individuare la posizione di una retta nel piano cartesiano in base al suo coefficiente angolare- Individuare le coordinate del punto di intersezione utilizzando il metodo grafico e/ o algebrico- Risolvere semplici problemi utilizzando rappresentazioni grafiche sul piano cartesiano

11. - I termini, le proprietà e i procedimenti relativi al calcolo dei valori medi statistici di dati raggruppati in classi- Il significato di frequenze relative, percentuali e cumulate- Il significato delle varie concezioni di Probabilità: classica,frequentista e soggettiva- La relazione tra probabilità e frequenza relativa di un evento casuale- Le regole per calcolare i vari tipi di probabilità

- Costruire e leggere istogrammi- Calcolare frequenze relative, percentuali e cumulate e darne significato- Utilizzare strumenti informatici per organizzare e rappresentare dati- Calcolare la probabilità di un evento totale formato da eventi parziali compatibili e incompatibili- Calcolare la probabilità di un evento composto da due eventi indipendenti e da due eventi dipendenti

12. - Definizioni, termini e principi della logica proposizionale - Trasferire dal linguaggio verbale a quello grafico e / o simbolico- Individuare relazioni tra proposizioni e insiemi- Determinare il valore di verità di una proposizione composta

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6666.... PPPPRRRROOOOPPPPOOOOSSSSTTTTEEEE PPPPEEEERRRR IIIILLLL PPPPOOOORRRRTTTTFFFFOOOOLLLLIIIIOOOODDDDEEEELLLLLLLLEEEE CCCCOOOOMMMMPPPPEEEETTTTEEEENNNNZZZZEEEE IIIINNNNDDDDIIIIVVVVIIIIDDDDUUUUAAAALLLLIIII

In questo paragrafo sono proposte alcune schede da utilizzare per la preparazione del port-folio, in particolare:1. schede per la certificazione delle competenze individuali acquisite dagli alunni nel

triennio di scuola secondaria di 1° grado che compileranno gli alunni come autovaluta-zione,

2. schede per la certificazione delle competenze acquisite dagli alunni nel triennio discuola secondaria di 1° che compileranno gli insegnanti.

Prima dell’utilizzo di queste schede è opportuno depennare le competenze non considerateo aggiungerne altre, se non presenti nelle schede proposte, utilizzando gli spazi vuoti.

6666....1111 SSSScccchhhheeeeddddeeee ppppeeeerrrr llllaaaa cccceeeerrrrttttiiiiffffiiiiccccaaaazzzziiiioooonnnneeee ddddeeeellll lllleeeeccccoooommmmppppeeeetttteeeennnnzzzzeeee iiiinnnnddddiiiivvvviiiidddduuuuaaaalllliiii aaaaccccqqqquuuuiiiissssiiiitttteeee ddddaaaagggglllliiii aaaalllluuuunnnnnnnniiiinnnneeeellll ttttrrrriiiieeeennnnnnnniiiioooo ddddeeeellllllllaaaa ssssccccuuuuoooollllaaaa sssseeeeccccoooonnnnddddaaaarrrriiiiaaaa ddddiiii 1111°°°° ggggrrrraaaaddddoooo ----ppppeeeerrrr gggglllliiii aaaalllluuuunnnnnnnniiii ....

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Cognome ........................................................... data ...........................................................

Nome ................................................................. classe .........................................................

LE COMPETENZE CHE HO ACQUISITO IN MATEMATICAALLA FINE DELLA SCUOLA PRIMARIA

Segna con una crocetta il livello di acquisizione della competenza1. La competenza NON È stata acquisita2. La competenza è stata acquisita IN PARTE3. La competenza è stata acquisita IN MODO ACCETTABILE4. La competenza È stata acquisitaSe incontri difficoltà a stabilire il livello, chiedi aiuto all’insegnante. 1 2 3 4

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Conosco il significato dei termini e dei simbolidell’aritmetica studiata nella scuola primaria(addendi, somma, prodotto ………. =, <, > ……)Conosco le proprietà dell’addizione, dellasottrazione, della moltiplicazione e della divisione

Conosco il sistema metrico decimale e le unità dimisura di capacità e di peso

Conosco gli elementi geometrici principali(retta, semiretta, segmento, angolo…)Conosco le proprietà delle figure geometrichestudiate nella scuola primaria: poligoni in generale,triangoli e quadrilateri.

sap

ere

Eseguo le addizioni e le sottrazioni con i numeriinteri

Eseguo le moltiplicazioni e le divisioni con i numeriinteri

Eseguo le addizioni e le sottrazioni con i numeridecimali

Eseguo le moltiplicazioni e le divisioni con i numeridecimali

Eseguo trasformazioni da una unità di misura adun'altra (equivalenze)Eseguo mentalmente i calcoli

Eseguo calcoli approssimati

Risolvo problemi aritmetici

Sape

r fa

re

Risolvo problemi geometrici

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1 2 3 4

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LE MIE DIFFICOLTÀ IN MATEMATICA

• Nel calcolo aritmetico sono dovute soprattutto ai seguenti motivi:

1) a volte non ordino correttamente in colonna □

2) non ho capito bene il meccanismo dei riporti □

3) non ho memorizzato bene le tabelline dirette □

4) non ho memorizzato bene le tabelline inverse □

5) non mi è chiaro il procedimento per eseguire la …………………………. □

6) mi distraggo facilmente □

7) mi esercito poco □

8) nell’esecuzione degli esercizi uso la calcolatrice □

9) mi perdo per strada nell’applicazione di un procedimento □

10) altro: …………………………………………………………… □

Spiego le procedure che applico

Disegno le figure geometriche

Uso i simboli matematici ( =, <, >,≤, ≥ … )

Individuo la parte che corrisponde ad una frazione ela frazione che corrisponde ad una parte.

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• Nella risoluzione di problemi sono dovute soprattutto ai seguenti motivi:

non sempre conosco il significato dei termini □

non sono molto abile a leggere □

1) non capisco il testo dei problemi perché leggendo non riesco a seguire il filo del discorso □

mi distraggo facilmente durante la lettura □

…… …………………………………………. □

2) non capisco le domande del problema □

3) non riesco ad individuare tutti i dati del problema □

4) non riesco ad individuare le operazioni che devo fare □

5) non eseguo i calcoli correttamente □

6) altro: …………………………………………………………………………………………. □

• Nell’esposizione dei contenuti sono dovute soprattutto ai seguenti motivi:

1) dedico poco tempo allo studio e quindi non memorizzo in modo adeguato le conoscenze □

2) non sempre trovo le parole giuste per esprimermi □

3) non riesco ad organizzare in modo ordinato gli argomenti da esporre □

4) non riesco a strutturare bene le frasi □

5) non conosco i termini e i simboli specifici □

6) altro: …………………………………………………………………………………… □

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RIASSUMENDO, LE MIE PRINCIPALI DIFFICOLTÀ SONO DOVUTE A:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

LE STRATEGIE PER MIGLIORARE L’APPRENDIMENTO

Per affrontare con successo il primo anno di scuola secondaria di primo grado e migliorare le miecompetenze nell’ambito matematico dovrò mettere in atto le seguenti strategie:

• Nel calcolo aritmetico:

addizioni □

- rivedere la procedura per eseguire le sottrazioni □ con i numeri interi □

moltiplicazioni □ con i numeri decimali □

divisioni □

- memorizzare meglio le tabelline □

- esercitarmi nel calcolo mentale □

- eseguire qualche esercizio in più rispetto a quelli assegnati dall’insegnante □

- fare esercizi con un compagno/a □

- cercare di essere più concentrato durante l’esecuzione dei calcoli □

- altro: ………………………………………………………………………… □

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• Nella risoluzione dei problemi:

- cercare sul vocabolario il significato dei termini che non conosco □ - migliorare la lettura strumentale □- leggere più volte e con attenzione il testo del problema □

- utilizzare aiuti grafici per comprendere meglio la situazione problematica descritta dal testo □- schematizzare la procedura prima di procedere alla risoluzione del problema □

- migliorare le mie abilità esercitandomi con problemi più semplici per poi passare gradatamente a quelli più difficili □- leggere gli esempi e gli esercizi guidati proposti dal libro di testo □- altro: ………………………………………………………………………… □

• Nell’apprendimento e nell’esposizione dei contenuti:

- chiedere ulteriori spiegazioni agli insegnanti □

- preparare schemi, disegni e immagini per sintetizzare i concetti

e / o i contenuti fondamentali □

- preparare una traccia da seguire nell’esposizione □

- ripetere ad alta voce i concetti e / o i contenuti studiati □

- ripetere a un compagno i concetti e / o i contenuti studiati □

- ripetere a un adulto i concetti e / o i contenuti studiati □

- trascrivere con le mie parole le regole, le proprietà e i procedimenti □

- inserire degli esempi nell’esposizione □

- altro: …………………………………………………………………………… □

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LE COMPETENZE CHE HO ACQUISITO IN MATEMATICAALLA FINE DEL PRIMO ANNO DELLA SCUOLA SECONDARIA DI 1° GRADO


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Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi a: quattro operazioni ed elevamento apotenza con i numeri naturali, multipli e divisori,M.C.D., m.c.m., frazioni.Conosco le proprietà relative a: quattro operazionied elevamento a potenza con i numeri naturali.Conosco il procedimento per risolvere le espressionicon i numeri naturaliConosco i criteri di divisibilità

Conosco il procedimento per scomporre un numeronaturale in fattori primi.Conosco le regole per il calcolo del M.C.D. e delm.c.m.

Conosco la proprietà fondamentale delle frazioni e ilprocedimento per ridurre le frazioni al minimocomun denominatore.Conosco il significato dei termini e i procedimentirelativi alla statisticaConosco il significato dei termini e dei simbolirelativi a: rette, segmenti, angoli, poligoni ingenerale, triangoli e quadrilateri.Conosco le proprietà e le relazioni relative a: rette,segmenti, angoli, poligoni in generale, triangoli equadrilateri.Conosco le unità di misura relative a: lunghezza deisegmenti, ampiezza degli angoli.Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi al piano cartesiano.

sape

reCognome ........................................................... data ...........................................................

Nome ................................................................. classe .........................................................

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1 2 3 4□ □ □ □

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Applico le proprietà delle quattro operazioni edell’elevamento a potenza.

Risolvo le espressioni con i numeri naturali

Risolvo i problemi con le quattro operazioni el’elevamento a potenzaScompongo un numero in fattori primi.

Calcolo il M.C.D. e il m.c.m.

Risolvo problemi in cui si deve calcolare il M.C.D. eil m.c.m.

Utilizzo le frazioni come operatori

Confronto e ordino le frazioni in modo crescente edecrescente.Riduco le frazioni al minimo comune denominatore.

So formulare un questionario, raccolgo i dati e liorganizzo in tabelle di frequenza.

Determino la frequenza assoluta, la frequenzarelativa e quella percentuale dei dati.

Costruisco ed interpreto grafici

Utilizzo correttamente i simboli per indicare rette,segmenti ed angoli.Misuro segmenti ed angoli e li disegno secondo leistruzioni date.

Disegno poligoni secondo le istruzioni date.

Effettuo conversioni da una unità di misura adun’altraEffettuo operazioni con misure di angoli

Individuo relazioni tra gli angoli formati da due retteparallele tagliate da una trasversale.

Risolvo problemi relativi a:- Segmenti

- Angoli

- poligoniRappresento punti, segmenti, spezzate e poligoni sulpiano cartesiano.

Sape

r fa

re

□ □ □ □

37



1) non ho ancora memorizzato bene le tabelline dirette e inverse □

2) non mi è chiaro il procedimento e / o le regole per :

- applicare le proprietà delle quattro operazioni e delle potenze □

- risolvere le espressioni con i numeri naturali □

- scomporre un numero in fattori primi □

- calcolare il M.C.D. e il m.c.m. □

- ridurre le frazioni al minimo comune denominatore □




6) mi “perdo” per strada nell’applicazione di un procedimento □

7) altro: …………………………………………………………… □






………………………………………………. □

38





6) non conosco bene le regole, le proprietà e le relazioni che riguardano gli argomenti

di aritmetica e di geometria affrontati durante l’anno scolastico □

7) altro: ……………………………………………………………………………………… □







6) altro: ………………………………………………………………………………………. □


…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………

39


Per affrontare con successo il secondo anno di scuola secondaria di primo grado e migliorare le miecompetenze nell’ambito matematico dovrò mettere in atto le seguenti strategie:

• Nel calcolo aritmetico: - rivedere le procedure e / o le regole relative:

alle proprietà delle quattro operazioni e delle potenze □

alla risoluzione delle espressioni con i numeri naturali □

alla scomposizione di un numero in fattori primi □

al calcolo del M.C.D. e m.c.m. □

alla riduzione delle frazioni al minimo comune denominatore □






- altro: ………………………………………………………………………… □


- cercare sul vocabolario il significato dei termini che non conosco □

- migliorare la lettura strumentale □

- leggere più volte e con attenzione il testo del problema □

- utilizzare aiuti grafici per comprendere meglio la situazione problematica

descritta dal testo □

- schematizzare la procedura prima di procedere alla risoluzione del problema □

- migliorare le mie abilità esercitandomi con problemi più semplici per poi

passare gradatamente a quelli più difficili □

40

- leggere gli esempi e gli esercizi guidati proposti dal libro di testo □

- rivedere le proprietà, le regole e le relazioni che riguardano

gli argomenti studiati durante l’anno scolastico □

- altro: ………………………………………………………………………… □

• Nell’apprendimento e nell’ esposizione dei contenuti:


- preparare schemi, disegni e immagini per sintetizzare i concetti e / o i contenuti fondamentali □







- altro: …………………………………………………………………………… □

41

LE COMPETENZE CHE HO ACQUISITO IN MATEMATICA ALLA FINE DEL SECONDO ANNO DELLA SCUOLA SECONDARIA DI 1° GRADO


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Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi a: frazioni, numeri decimali limitati eillimitati periodici, numeri irrazionali, rapporti eproporzioni, proporzionalità diretta e inversa.Conosco le regole per effettuare le operazioni con lefrazioni.Conosco le regole relative a: trasformazione dinumeri decimali nelle frazioni corrispondenti,approssimazione di numeri decimali.Conosco le proprietà dell’estrazione di radice.

Conosco le regole e le proprietà relative alleproporzioniConosco le leggi che esprimono la proporzionalitàdiretta e inversa.Conosco i procedimenti per risolvere i problemi deltre semplice e del tre composto.Conosco le formule per il calcolo del tassopercentuale e della parte percentuale.Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi alla statistica e le regole per determinare lamoda, la media e la mediana di una raccolta di dati.Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi a: equiestensione ed area dei poligoni, ilteorema di Pitagora, la similitudine e i teoremi diEuclide.Conosco le formule per il calcolo delle aree direttangolo, parallelogramma, triangolo, quadrato,rombo , trapezio e le relative formule inverse.Conosco le relazioni del teorema di Pitagora

Conosco le applicazioni del teorema di Pitagora aivari poligoni.Conosco i criteri di similitudine dei poligoni ingenerale e quelli relativi ai triangoli.

Conosco le relazioni dei Teoremi di Euclide.

sape

reCognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

42

1 2 3 4□ □ □ □

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Effettuo operazioni con le frazioni

Trasformo una frazione in numero decimale eviceversa

Approssimo un numero decimale per difetto e pereccessoRisolvo espressioni con :

- le frazioni

- i numeri decimali limitati e illimitatiperiodici

Risolvo problemi diretti e inversi con le frazioni

Applico le proprietà delle radici

Estraggo la radice quadrata con metodi diversi ( tavole numeriche e algoritmo)

Calcolo l’antecedente e il conseguente di unrapporto e confronto tra loro rapportiCalcolo il termine incognito di una proporzione

Applico le proprietà delle proporzioni

Risolvo problemi utilizzando le proporzioni

Stabilisco coppie di valori che soddisfano funzionidi proporzionalità diretta e inversa

Rappresento graficamente funzioni diproporzionalità diretta e inversaCalcolo il tasso percentuale e la parte percentualeutilizzando le proporzioniEffettuo ripartizioni semplici dirette e inverse.

Calcolo media, moda e mediana di una raccolta didati

Individuo e disegno figure equiestese

Applico le formule per il calcolo delle aree deipoligoni e le relative formule inverse.Applico le relazioni del teorema di Pitagora aitriangoli rettangoli che individuo nei diversipoligoni.

Sape

r fa

re

Classifico i triangoli conoscendo le misure dei lati

43

1 2 3 4□ □ □ □

□ □ □ □

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1) non ho ancora memorizzato bene le tabelline dirette e inverse □

2) non mi è chiaro il procedimento e / o le regole per :

- effettuare operazioni con le frazioni □

- risolvere espressioni con le frazioni □

- trasformare numeri decimali limitati e illimitati periodici in frazioni □

- estrarre la radice quadrata di un numero intero e / o decimale □

- calcolare il termine incognito di una proporzione □

- calcolare la media, la mediana e la moda di una raccolta di dati □



Applico i teoremi di Euclide.

Calcolo il rapporto di similitudine di due figuresimili.

Risolvo problemi in cui:- si devono calcolare le aree di figure piane

- si deve applicare il teorema di Pitagora

- si deve utilizzare il rapporto di similitudine

- si devono applicare i teoremi di Euclide

44



7) altro: …………………………………………………………… □






…… …………………………………………. □






di aritmetica e di geometria affrontati durante l’anno scolastico □

7) altro: ………………………………………………………………………………… □

45







6) altro: ………………………………………………………………………………………. □

RIASSUMENDO, LE MIE PRINCIPALI DIFFICOLTA’ SONO DOVUTE A:

……………………………………………………………………………………………………..…

……………………………………………………………………………………………………..…

……………………………………………………………………………………………………..…

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……………………………………………………………………………………………………..…

……………………………………………………………………………………………………..…

……………………………………………………………………………………………………..…


Per affrontare con successo il terzo anno di scuola secondaria di primo grado e migliorare le miecompetenze nell’ambito matematico dovrò mettere in atto le seguenti strategie:

• Nel calcolo aritmetico: - rivedere le procedure e / o le regole relative:

alle operazioni con le frazioni □

alla trasformazione dei numeri decimali in frazioni □

alla risoluzione delle espressioni □

all’estrazione di radice quadrata di un numero intero e / o decimale □

46

al calcolo del termine incognito di una proporzione □

al calcolo di media, mediana e moda di una raccolta di dati □






- altro: ………………………………………………………………………… □













- altro: ………………………………………………………………………… □

47











- dedicare più tempo allo studio □

- altro: …………………………………………………………………………… □

48

LE COMPETENZE CHE HO ACQUISITO IN MATEMATICA ALLA FINE DEL TERZO ANNO DELLA SCUOLA SECONDARIA DI 1° GRADO


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Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi a: operazioni con gli insiemi, insieme Z,insieme Q, monomi e polinomi, equazioni, pianocartesiano, connettivi logici, relazioni e funzioni.Conosco le proprietà delle operazioni in Z e Q e leesprimo in forma generalizzata.Conosco le regole e i procedimenti per il calcolo coni numeri relativi e per il calcolo letteraleConosco i principi di equivalenza delle equazioni ele regole conseguenti.Conosco il procedimento per risolvere un’equazionedi primo grado ad una incognita.Conosco le relazioni che riguardano i segmenti e lerette nel piano cartesiano.Conosco le tabelle di verità delle proposizionicomposte.Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi alla statistica e le regole per determinare lamoda, la media e la mediana di dati raggruppati inclassi.Conosco il significato di termini e simboli e leregole relative al calcolo della probabilità di unevento casuale.Conosco il significato dei termini e dei simbolirelativi a: circonferenza e cerchio, poligoni inscrittie circoscritti, poliedri e solidi di rotazione studiati.Conosco le proprietà e le relazioni che riguardano ilcerchio, la circonferenza, l’arco di circonferenza, ilsettore circolare, la corona circolare, il segmentocircolare, poligoni inscritti e circoscritti, i poliedri ei solidi di rotazione studiati.Conosco le formule per il calcolo della lunghezza diuna circonferenza, di un arco di circonferenza,dell’area di un cerchio, di un settore circolare, di unacorona circolare, di un segmento circolare, di unpoligono circoscritto e le relative formule inverse.Conosco le formule per il calcolo dell’ area dellasuperficie laterale e totale, del volume dei poliedri edei solidi di rotazione studiati e le relative formuleinverse.

sape

re

Conosco le formule per determinare il pesospecifico, il volume, il peso di un solido e lecorrispondenze tra unità di misura.

Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

49

. 1 2 3 4□ □ □ □

□ □ □ □

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Effettuo operazioni con gli insiemi ed applico il lorolinguaggio .

Effettuo operazioni con i numeri relativi

Rappresento i numeri relativi sulla retta orientata.

Effettuo operazioni con monomi e polinomi.

Risolvo espressioni con :- i numeri relativi

- i monomi e i polinomi

Risolvo equazioni di primo grado ad una incognitacon:

- coefficienti interi

- coefficienti frazionari

Individuo equazioni determinate, indeterminate edimpossibili.

Verifico l’esattezza della radice di una equazione

Risolvo problemi numerici e geometrici utilizzandole equazioni.

Calcolo la lunghezza di una circonferenza , di unarco di circonferenza e l’area di un cerchio, di unsettore circolare, di una corona circolare e di unsegmento circolare.

Risolvo problemi relativi a:- cerchio, circonferenza e loro parti- - poligoni inscritti e circoscritti

Calcolo l’area della superficie laterale e totale e ilvolume dei solidi studiati.Applico la formula del peso specifico e le relativeformule inverse.Rappresento su un piano una figura tridimensionale

Risolvo problemi di geometria solida

Calcolo media, moda e mediana di dati raggruppatiin classi

Sape

rfa

re

50

1 2 3 4□ □ □ □

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□ □ □ □

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□ □ □ □

□ □ □ □

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• Nel calcolo algebrico sono dovute soprattutto ai seguenti motivi: 1) non mi è chiaro il procedimento e / o le regole per :

- effettuare operazioni con i numeri relativi □

- risolvere espressioni con i numeri relativi □

- effettuare operazioni con i monomi e i polinomi □

- risolvere espressioni con i monomi e i polinomi □

- risolvere equazioni □

- verificare l’esattezza del risultato di una equazione □

- calcolare la media e la mediana di dati raggruppati in classi □

Individuo quale indice statistico è opportunoutilizzare.

Leggo le rappresentazioni grafiche ( ortogrammi,istogrammi, diagrammi circolari ecc.).Realizzo rappresentazioni grafiche ( ortogrammi,istogrammi, diagrammi circolari ecc.) percomunicare in modo adeguato gli esiti di unaesperienza.Calcolo la probabilità di semplici eventi casuali

Determino la lunghezza di un segmento e calcolol’area e il perimetro di poligoni nel piano cartesianoRappresento fenomeni o leggi fisiche con grafici difunzioni.Utilizzo i connettivi logici ( , , ) e determino ilvalore di verità di una proposizione composta.

Leggo e utilizzo tabelle e schemi.

¬ ∧ ∨

51





6) altro: …………………………………………………………… □






…… …………………………………………. □






di algebra e di geometria affrontati durante l’anno scolastico □

7) non riesco ad esprimere una situazione problematica con una equazione □

8) altro: ………………………………………………………………………………… □

52







6) altro: ………………………………………………………………………………………. □


………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..…

………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………..…

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………..


Per affrontare con successo il primo anno di scuola secondaria di secondo grado e migliorare le miecompetenze nell’ambito matematico dovrò mettere in atto le seguenti strategie:

• Nel calcolo algebrico: - rivedere le procedure e / o le regole che riguardano:

le operazioni con i numeri relativi □

le operazioni con i monomi e i polinomi □

la risoluzione di una espressione □

53

la risoluzione di una equazione □

il calcolo di media, moda e mediana di dati raggruppati in classi □





- altro: ………………………………………………………………………… □













- altro: ………………………………………………………………………… □

54











- dedicare più tempo allo studio □

- altro: …………………………………………………………………………… □

BILANCIO DELLE COMPETENZE ALLA FINE DEL TRIENNIO PER L’ORIENTAMENTO

In previsione del tuo passaggio alle scuole secondarie di 2° grado sarebbe opportuno effet-tuare un bilancio complessivo delle competenze da te acquisite in campo matematico-scien-tifico nell’arco del triennio di scuola secondaria di 1° grado. Ti suggeriamo la raccolta e larappresentazione dei risultati ottenuti nella scheda per la certificazione delle competenzeindividuali da te acquisite alla fine del terzo anno (pag. 48). Completa la tabella riportandola frequenza assoluta e la percentuale di ogni tipo di punteggio ottenuto nella scheda e rap-presenta i dati con un diagramma a tua scelta.

Livello di acquisizione Frequenza Percentuale

1

2

3

4

Dall’analisi dei risultati pensi di essere pronto per affrontare studi di tipomatematico-scientifico? ....................................................................................................

55

6666....2222 SSSScccchhhheeeeddddeeee ppppeeeerrrr llllaaaa cccceeeerrrrttttiiiiffffiiiiccccaaaazzzziiiioooonnnneeee ddddeeeelllllllleeee ccccoooommmmppppeeeetttteeeennnnzzzzeeeeiiiinnnnddddiiiivvvviiiidddduuuuaaaalllliiii aaaaccccqqqquuuuiiiissssiiiitttteeee ddddaaaagggglllliiii aaaalllluuuunnnnnnnniiii nnnneeeellll ttttrrrriiiieeeennnnnnnniiiiooooddddeeeellllllllaaaa ssssccccuuuuoooollllaaaa sssseeeeccccoooonnnnddddaaaarrrriiiiaaaa ddddiiii 1111°°°° ggggrrrraaaaddddoooo ---- ppppeeeerrrr gggglllliiiiiiiinnnnsssseeeeggggnnnnaaaannnnttttiiii ....

CERTIFICAZIONE DELLE COMPETENZE ACQUISITE IN MATEMATICA ALLA FINE DEL …….. ANNO DI SCUOLA SECONDARIA DI 1° GRADO

Segna con una crocetta il livello di acquisizione della competenza1. La competenza NON È stata acquisita2. La competenza è stata acquisita IN PARTE3. La competenza è stata acquisita IN MODO ACCETTABILE4. La competenza È stata acquisitaSe incontri difficoltà a stabilire il livello, chiedi aiuto all’insegnante.

CONOSCENZE (SAPERE): 1 2 3 4

• conosce il linguaggio degli insiemi � � � �

• conosce il significato di termini e simboli:

- aritmetici � � � � - geometrici � � � � - algebrici � � � �

• conosce le proprietà delle operazioni negli insiemi ……………… � � � �

• conosce le proprietà e le relazioni relative a: - rette, segmenti e angoli � � � � - figure piane � � � � - figure solide � � � � - ………………………. � � � �

• conosce le proprietà e le relazioni relative a : - proporzioni � � � � - proporzionalità diretta

e inversa � � � � - ……………………….. � � � �

• conosce le regole e/o i procedimenti per effettuare operazioni e risolvere espressioni con: - numeri naturali � � � �

- numeri razionali assoluti � � � � - numeri reali relativi � � � � - monomi e polinomi � � � �

• conosce i principi di equivalenza e il procedimento per risolvere le equazioni

di 1° grado ad una incognita con coefficienti interi e frazionari � � � �

• conosce termini, simboli, proprietà, relazioni e procedimenti relativi al piano cartesiano � � � �

• conosce termini, simboli, proprietà, relazioni e procedimenti relativi alla statistica e al piano

cartesiano. � � � �

56

ABILITA’ (SAPER FARE): 1 2 3 4

• effettua operazioni con gli insiemi. � � � �

• effettua operazioni con: - numeri naturali � � � �


• effettua operazioni con misure di angoli � � � �

• calcola:

- la fattorizzazione di un numero � � � � - M.C.D. e m.c.m. di un numero � � � � - la frazione generatrice di un numero decimale � � � � - la radice quadrata di un numero: intero � � � � decimale � � � � - il rapporto di due numeri � � � � - il termine incognito di una proporzione � � � � - la frequenza assoluta, relativa e percentuale di una raccolta di dati � � � � - gli indici medi di una raccolta di dati � � � � - la probabilità di un semplice evento casuale � � � � - …………………………………………. � � � � - …………………………………………. � � � �

• risolve espressioni con: - numeri naturali � � � �


• risolve equazioni di 1° grado ad una incognita con: - coefficienti interi � � � � - coefficienti frazionari � � � �

• applica le formule per il calcolo del perimetro e dell’area delle figure piane e le relative formule inverse � � � �

• applica le formule per il calcolo delle aree e del volume delle figure solide e le relative formule inverse � � � �

• applica: - il teorema di Pitagora � � � � - i teoremi di Euclide � � � � - il teorema di Talete � � � �

• individua i dati da cui partire e gli obiettivi da conseguire in: - problemi numerici � � � � - problemi di geometria piana � � � � - problemi di geometria solida � � � �

57

1 2 3 4• risolve problemi numerici e geometrici:

- con aiuti grafici � � � � - applicando le frazioni � � � � - applicando rapporti e proporzioni � � � � - applicando le equazioni � � � � - ………………………………….. � � � �

• risolve problemi di geometria: - applicando le proprietà e le relazioni di segmenti ed angoli � � � � - applicando le proprietà e le relazioni delle figure piane � � � � - applicando le proprietà e le relazioni delle figure solide � � � �

• disegna correttamente: - segmenti ed angoli � � � �

- figure piane � � � � - figure solide � � � �

• individua gli elementi che caratterizzano le isometrie � � � �

• esegue misurazioni in modo corretto � � � �

• utilizza i connettivi logici in modo corretto � � � �

• utilizza il linguaggio degli insiemi � � � �

• determina il valore di verità di una proposizione composta � � � �

• realizza rappresentazioni grafiche necessarie per una comunicazione dei risultati di una esperienza � � � �

• rappresenta relazioni di proporzionalità diretta e inversa e leggi fisiche con grafici di funzioni � � � �

• legge ed interpreta grafici di vario tipo � � � �

• opera nel piano cartesiano ( lunghezze di segmenti, equazioni di rette ….. ) � � � �

• espone in modo chiaro un procedimento risolutivo evidenziando le azioni da compiere e il loro collegamento � � � �

• esprime in modo generalizzato le proprietà delle operazioni con i: - numeri naturali � � � �


• schematizza informazioni e dati raccolti � � � �

• produce sintesi scritte in forma schematica � � � �

58

6666....3333 EEEElllleeeennnnccccoooo ddddeeeeiiii ddddooooccccuuuummmmeeeennnnttttiiii iiiinnnnsssseeeerrrriiiittttiiii nnnneeeellll PPPPoooorrrrttttffffoooollll iiiioooo

DATA TIPO DI DOCUMENTO E ARGOMENTO ANNOTAZIONI

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

........................... ....................................................................................... ....................................

Cognome ........................................................... anno scolastico ........................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

59

6666....4444 SSSScccchhhheeeeddddaaaa ddddiiii pppprrrreeeesssseeeennnnttttaaaazzzziiiioooonnnneeee(da compilare per ogni documento da inserire nel Portfolio)

Tipo ...............................................................................................................................................(verifica con autovalutazione, scheda di certificazione, ricerca, .......................)

argomento ...................................................................................................................................

svolto ............................................................................................................................................(da solo, con i compagni, con l’insegnante, .......................)

svolto ............................................................................................................................................(a scuola, a casa, .......................................)

✥ Cosa ne pensa l’alunno ........................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

✥ Cosa ne pensa l’insegnante ................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

✥ Cosa ne pensano i familiari ................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

Cognome ........................................................... anno scolastico ........................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

60

6666....5555 SSSScccchhhheeeeddddaaaa rrrriiiiaaaassssssssuuuunnnnttttiiiivvvvaaaa ddddaaaa iiiinnnnsssseeeerrrriiiirrrreeee nnnneeeellll PPPPoooorrrrttttffffoooolllliiiioooo

DISCIPLINA: matematica

NOME................................................. COGNOME................................................

CLASSE 1ª....... A.S. ................................

CLASSE 2ª....... A.S. ................................

CLASSE 3ª....... A.S. ................................

PIANO DI STUDIO PERSONALIZZATO (P.S.P.)

(livello basso)

PERCORSO DI BASE

(livello medio)

ALTRO PERCORSO DI BASE (specificare i contenuti):

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ARRICCHIMENTO NELL’AMBITO:

❑ aritmetico-algebrico ❑ geometrico ❑ della geometria analitica

❑ informatico ❑ statistico ❑ scientifico

❑ della storia della matematica ❑ logico-creativo

ATTIVITÀ DI RECUPERO NELLE UNITÀ DI APPRENDIMENTO:

� ARITMETICA

� GEOMETRIA

� ALGEBRA

2

1

61

PARTECIPAZIONE AD ESPERIENZE SCOLASTICHE EDEXTRASCOLASTICHE E RICONOSCIMENTI OTTENUTI:

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

OBIETTIVI SPECIFICI E VALUTAZIONI

Unità n°....... aritmetica ❑ geometria ❑ algebra ❑Contenuto dell’unità di apprendimento: .........................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

OBIETTIVI SPECIFICI VALUTAZIONI

SAPERE

SAPER FARE

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

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.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

N.S. S B D O

❑ ❑ ❑ ❑ ❑

N.S. S B D O

❑ ❑ ❑ ❑ ❑

62

✗

✗

6666....6666 EEEEsssseeeemmmmppppiiiioooo ddddiiii ccccoooommmmppppiiiillllaaaazzzziiiioooonnnneeee.... SSSScccchhhheeeeddddaaaa rrrriiiiaaaassssssssuuuunnnnttttiiiivvvvaaaa ddddaaaa iiiinnnnsssseeeerrrriiiirrrreeee nnnneeeellll PPPPoooorrrrttttffffoooolllliiiioooo

DISCIPLINA: matematica

NOME................................................. COGNOME................................................

CLASSE 1ª....... A.S. ................................

CLASSE 2ª....... A.S. ................................

CLASSE 3ª....... A.S. ................................

PIANO DI STUDIO PERSONALIZZATO (P.S.P.)

(livello basso)

PERCORSO DI BASE

(livello medio)

ALTRO PERCORSO DI BASE (specificare i contenuti):

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

ARRICCHIMENTO NELL’AMBITO:

❑ aritmetico-algebrico ❑ geometrico ❑ della geometria analitica

❑ informatico ❑ statistico ❑ scientifico

❑ della storia della matematica ❑ logico-creativo

ATTIVITÀ DI RECUPERO NELLE UNITÀ DI APPRENDIMENTO:

� ARITMETICA

� GEOMETRIA

� ALGEBRA

2

1

MARIO

A

A

A

2004/2005

2005/2006

2006/2007

ROSSI

12 11 9 6 4

16 14 12 11 9 1

6 3 1

63

✗

✗

✗

PARTECIPAZIONE AD ESPERIENZE SCOLASTICHE EDEXTRASCOLASTICHE E RICONOSCIMENTI OTTENUTI:

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

OBIETTIVI SPECIFICI E VALUTAZIONI

Unità n°....... aritmetica ❑ geometria ❑ algebra ❑Contenuto dell’unità di apprendimento: .........................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

OBIETTIVI SPECIFICI VALUTAZIONI

SAPERE

SAPER FARE

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

N.S. S B D O

❑ ❑ ❑ ❑ ❑

N.S. S B D O

❑ ❑ ❑ ❑ ❑

Partecipazione ai giochi matematici a squadre (semifinali provinciali) a.s. 2004/2005

7

relazioni tra i lati e tra gli angoli di un

triangolo; classificazioni dei triangoli; elementi e punti notevoli di un triangolo; proprietà

dei vari tipi di triangoli; criteri di congruenza dei triangoli.

Le proprietà dei triangoli;gli elementi che appartengono ad untriangolo;le classificazioni dei triangoli secondo cri-teri diversi;le relazioni nei triangoli.

Risolvere problemi relativi ai triangoli;disegnare triangoli secondo le istruzionidate;rappresentare con i diagrammi di Vennl’insieme dei triangoli e i suoi sottoinsiemi.

64

7777.... PPPPRRRROOOOVVVVEEEE DDDDIIII IIIINNNNGGGGRRRREEEESSSSSSSSOOOO,,,,VVVVEEEERRRRIIIIFFFFIIIICCCCHHHHEEEE EEEE PPPPRRRROOOOVVVVAAAA FFFFIIIINNNNAAAALLLLEEEE DDDDIIII UUUUSSSSCCCCIIIITTTTAAAA

Nelle pagine che seguono sono proposte delle Prove di ingresso, Verifiche e una prova fina-le di uscita, utilizzabili per il Portfolio.

Le PROVE DI INGRESSO riguardano specifici contenuti del programma di Scienze Matematichee forniscono all’insegnante informazioni sul livello di preparazione della classe, al fine di pre-disporre una programmazione puntuale.

Le VERIFICHE proposte riguardano i principali argomenti di aritmetica e geometria trattati nelcorso e presentano esercizi finalizzati alla valutazione delle competenze del Sapere e Saper Fare.

L'insegnante, in relazione all'argomento svolto, e in base a ciò che vuole verificare, potràproporre solo la parte relativa al sapere, o solo quella relativa al saper fare, o svolgere le dueparti in momenti diversi.

La PROVA FINALE di USCITA si può usare sia in preparazione alla prova d’esame sia come cer-tificazione delle competenze acquisite nel triennio di scuola secondaria di primo grado.

Anche nelle verifiche sono evidenziati con una stellina gli esercizi meno “facili”; è quin-di possibile graduare le difficoltà da sottoporre agli alunni, per verificare il raggiungimentodegli obiettivi prefissati in relazione alla programmazione effettuata.

65

PROVE D’INGRESSO – CLASSE PRIMACognome ........................................................... data................................................................

Nome ................................................................. classe..............................................................

SAPERE Conoscenza degli elementi specifici della matematica.Comprensione del linguaggio matematico.

Scrivi il nome che corrisponde a ognuna delle definizioni date, scegliendo tra quelli assegnati:

sottrazione, divisore, addendi, differenza, prodotto, minuendo.

Termini dell’addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risultato di una sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Secondo termine di una divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risultato di una moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Operazione inversa dell’addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Primo termine di una sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Considera il numero 813,46 e contrassegna le risposte esatte:

a) la cifra 8 occupa il posto di: □ centesimi; □ migliaia; □ unità; □ centinaia.

b) la cifra 6 occupa il posto di: □ centesimi; □ migliaia; □ unità; □ centinaia.

c) la cifra 1 occupa il posto di: □ centinaia; □ decine; □ decimi; □ unità.

d) la cifra 4 occupa il posto di: □ centinaia; □ decine; □ decimi; □ unità.

Sottolinea i numeri pari.

273; 965; 486; 7101; 502; 1319; 814; 3510.

Ad ogni descrizione di figura geometrica assegna il nome corrispondente, scegliendolo tra quelli assegnati:

poligono regolare, esagono, triangolo isoscele ottusangolo, quadrato, parallelogramma, triangolo ret-tangolo.

Triangolo avente un angolo di 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Poligono con sei lati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Poligono con due coppie di lati paralleli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Triangolo con un angolo ottuso e due lati congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Figura piana con tutti i lati e gli angoli congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quadrilatero equiangolo e equilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta:

a) moltiplicando per due un numero si ottiene:

□ il doppio del numero; □ la terza parte del numero; □ la metà del numero.

b) moltiplicando per tre un numero si ottiene:

□ il quadruplo del numero; □ la terza parte del numero; □ il triplo del numero.

c) dividendo per tre un numero si ottiene:

□ la terza parte del numero; □ il triplo del numero; □ la metà del numero.

d) dividendo per due il doppio di un numero si ottiene:

□ la metà del numero; □ il numero stesso; □ la quarta parte del numero.

5

4

3

2

1

✪

66

SAPER FARE

Risolvi le seguenti operazioni ed effettua le prove.

a) 17 � 3,672 � 741,9 � 5,08 � …………..… b) 398,75 � 135,4 � ……………

c) 20,01 � 13,1� ………........…… d) 37,29 � 14,5 � ……………

e) 3465 : 9 � …………................… f) 41,472 : 5,4 � ……...……… .

Completa le seguenti equivalenze:

0,5 km � …………… m 5,7 hg � ………… kg 1,51 l � ………… dl

320 mm � …………… dm 84000 g � …………… t 723 ml � …………… l

Risolvi il seguente problema seguendo le indicazioni:

Sul banco di un pasticcere di 39 anni ci sono 7 vassoi di pasticcini al cioccolato e 5 vassoi di pasticcini allacrema. Sapendo che ogni vassoio contiene 18 pasticcini, calcola quanti ce ne sono di ogni tipo e quantiin totale.Scrivi i dati del problema:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcola ora:

il numero di pasticcini al cioccolato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

il numero di pasticcini alla crema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

il numero totale di pasticcini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hai usato tutti i dati forniti dal testo del problema? . . . . . . . . . . .

Quale dato non hai utilizzato? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risolvi i seguenti problemi:

a) Il nonno di Andrea ha compiuto 73 anni nel 2000. In quale anno è nato? Quanti anni aveva il nonnonel 1992, anno in cui è nato Andrea?

b) In un cinematografo ci sono 480 posti suddivisi in 24 file. Durante uno spettacolo pomeridiano resta-no libere tre file. Quanti posti sono occupati? Sapendo che un biglietto di ingresso costa 6,20 euro, quan-to sarà l’incasso?

Effettua i disegni richiesti con precisione e, di fianco ad ogni figura disegnata, scrivi il nome.

a) Disegna un triangolo isoscele, un parallelogramma e un trapezio rettangolo.

b) Disegna un quadrato, un rettangolo, un rombo e di ciascuna figura colorane �14

�.

10

9

8

7

6

✪

✪

Osservazioni di fatti, individuazione ed applicazione di relazioni, proprietà e procedimenti• Identificazione e comprensione di problemi, formulazione di ipotesi e di soluzioni e loroverifica • Uso del linguaggio matematico.

67


Scrivi il termine che corrisponde a ognuna delle definizioni assegnate.

a) Frazione il cui denominatore è maggiore del numeratore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Segmenti che hanno un estremo in comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Numero che ha solo due divisori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Rette incidenti che formano quattro angoli retti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Operazione tra insiemi che ricerca gli elementi comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) Angoli la cui somma corrisponde a un angolo piatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) Frazione che indica una sola parte di un intero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h) Angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i) Il maggiore dei divisori comuni di due o più numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l) Valore numerico che rappresenta la distanza di un punto dell’asse delle y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contrassegna la risposta che corrisponde al risultato delle operazioni indicate:

a) 150 è uguale a:

□ 0; □ 15; □ 1; □ 15�0.

b) 06 è uguale a:

□ 0; □ 6; □ 1; □ 60.

c) 17 è uguale a:

□ 7; □ 1 � 7; □ 1 � 7; □ 1.

d) 8,21 è uguale a:

□ 1; □ 82; □ 8,2; □ 1 : 8,2.

e) 103 è uguale a:

□ 30; □ 310; □ 100; □ 1000.

f) (5 � 9)0 è uguale a:

□ 0; □ 14; □ 014; □ 1.

g) 124 � 12 � 123 è uguale a:

□ 12; □ 127; □ 1212; □ 128.

h) 358 : 354 : 35 è uguale a:

□ 35; □ 354; □ 353; □ 351.

i) 74 � 94 è uguale a:

□ 638; □ 6316; □ 634; □ 164.

l) [(95)2]3 è uguale a:

□ 930; □ 910; □ 9; □ 90.

Completa:

un numero è divisibile per 2 se:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2

1

PROVE D’INGRESSO – CLASSE SECONDACognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

68

un numero è divisibile per 10; 100; 1000 se:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SAPER FARE

Risolvi le seguenti espressioni:

a) [(2 � 53 � 23 � 5) : (10 � 22 � 5) � 3]2 : 22;

b) {1,2 � (0,1 � 0,15 � 5) : [0,25 � (3 � 2 � 0,2)]} � 5;

c) {[(1 � 15 : 3)2 : (34 � 33 : 36)]2 � (102 � 5 � 23)}3 : [(23 � 3)2 � (6 : 2)2].

Determina M.C.D. e m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri:

a) 375; 225; 135; b) 4180; 1064.

Risolvi i seguenti problemi (esegui un disegno preciso):

a) La differenza tra due segmenti misura 18 m e il maggiore è il quadruplo del minore; calcola le lorolunghezze.

b) Due angoli supplementari sono uno i �57

� dell’altro; determina le loro ampiezze.

c) La somma di tre segmenti misura 25,2 cm. Calcola la misura di ciascuno di essi, sapendo che il secondoè il doppio del primo e che il terzo è il triplo del secondo.

d) Facendo riferimento alla seguente illustrazione e sapendo che 6∧

� 48°31’, determina l’ampiezza degliangoli indicati.

2∧

� …………… perché ……………………………………..........…

8∧

� …………… perché ……………………………………..........…

3∧

� …………… perché ……………………………………..........…

5∧

� …………… perché ……………………………………..........…

1∧

� …………… perché ……………………………………..........…

7∧

� …………… perché ……………………………………..........…

Disegna i 4 segmenti rispettando le indicazioni fornite:

A�B� � �14

� � C�D� E�F� � 3 � A�B� G�H� = D�C� � A�B� .

Disegna due angoli che abbiano un vertice in comune e che siano uno il doppio dell’altro, ma che nonsiano consecutivi. Indicali con i simboli specifici.

Esegui le seguenti consegne:

a) Disegna un triangolo acutangolo e individua il baricentro e l’ortocentro.

b) Disegna un triangolo rettangolo e individua l’incentro e il circocentro.

9

8

7

6

5

4

8∧

7∧

6∧

4∧

3∧

2∧

1∧

5∧

✪

✪

✪

✪


69


Scrivi il termine che corrisponde a ognuna delle definizioni assegnate.

a) Cifra o gruppo di cifre decimali che si ripetono all’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Proporzionalità il cui grafico è un ramo di iperbole equilatera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Grandezze per le quali il rapporto tra valori corrispondenti è costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Numero che esprime quante unità rispetto a cento soddisfano una data condizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) Approssimazione che aumenta il valore di un numero decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) Proporzione con il 2° e il 3° termine uguali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

h) Triangoli per i quali non è verificata la relazione del teorema di Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Completa la tabella relativa alle formule dirette e inverse delle figure piane:

figura formula diretta formula/e inversa/e

quadratoA � ………… l � …………

A � ………… d � �…�…�…�…�…�

rettangoloparallelogramma A � ……………… b � ……… h � ……….rombo

trapezio A � ……………… b1 � b2 � ……… h � ……….

rombo A � ……………… d1 � …………… d2 � ………

triangoloA � ……………… b � ……………… h � ……….

A � �…�…�…�…�…�…�…�…�…�…�

Contrassegna le risposte esatte relative alla proporzione a : b � c : d.

a) a e c sono:

□ medi; □ estremi; □ antecedenti; □ conseguenti.

b) b e c sono:


c) a e d sono:


d) la scrittura a � d � b � c esprime la proprietà:

□ del permutare; □ fondamentale; □ dell’invertire; □ del comporre.

e) la scrittura b : a � d : c esprime la proprietà:

□ del permutare; □ fondamentale; □ dell’invertire; □ del comporre.

f) per applicare la proprietà dello scomporre si deve verificare che:

□ a > b e c < d; □ a � b e c > d; □ a < b e c < d; □ a > b e c > d.

3

2

1

PROVE D’INGRESSO – CLASSE TERZACognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

70

g) se a : b � �13�, allora:

□ c : d � 3; □ c : d � 32; □ c : d � �13� □ c : d � 1�3.

h) se a : b � 5, allora:

□ d : c � 5; □ d : c � �15�; □ c : d � 5 □ c : d � �

15� .

i) la formula per calcolare il valore di a è:

□ �b

d� c� ; □ �c��d� �� b�; □ �

b �c

d� ; □ �

bd� c� .

l) la formula per calcolare c è:

□ ; □ �a� �� d� �� b�; □ ; □ .

Considera il triangolo rettangolo dell’illustrazione, inserisci i nomi degli elementi, completa le relazionidel teorema di Pitagora e le formule richieste.

a ......................................................................................

b ......................................................................................

c .......................................................................................

hi ......................................................................................

c � �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..� H�B� � �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�

a � �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..� A�H� � �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�

b � �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..� C�H� � �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�

A(ABC) � .................. oppure A(ABC) � ..................

SAPER FARE

Risolvi le seguenti proporzioni:

a) 12 : x � x : 3; b) x : 4 � �32

� : 5;

c) x : ��112� � �

23��

72

� � �23�� : ��

76

� � �38� �;

d) x : 7 � y : 11 � z : 13 con x � y � z � 3720;

e) x : ��1310� � x� � �1 � �

14

�� : ��12

� � �18

��.

Utilizzando le tavole estrai le seguenti radici quadrate rispettando le approssimazioni richieste:

�5�1�8�4� � ………… �1�1�0�2�5� � ………… �9�,6�1� � …………0,1 0,01 0,01

�6�1�5�,2� � ………… �1�4�,4� � ………… �0�,0�0�9� � …………


a) ��45

� � �94

� � ��170� � �1 � �

172��

157� � �

53

� : 4� � �57� � �

114� ;

b) ��2 � �13

��2

� �3 � �94

��3

� � �5 : �34

� � 6 � �89

��3

� ��32

��2.

7

6

5

4

a � d�

ba � d�

bb � a�

d

A B

C

a b

c

hi

H

✪

✪


71


a) La diagonale e la base di un rettangolo misurano rispettivamente 39 m e 36 m. Calcola perimetro earea del rettangolo.

b) In base all’illustrazione e ai dati forniti determina i valori delle incognite.

A�B� � 27 cm 2p(ABCD) � ?

D�C� � 12 cm A(ABCD) � ?

C�H� � 20 cm

C�H� ⊥ A�B�

c) In un rombo una diagonale è �185� dell’altra e la loro somma è 138 dm. Calcola:

– l’area e il perimetro del rombo;– l’area di un rettangolo isoperimetrico al rombo nel quale il rapporto tra le dimensioni è �

152�;

– che cosa osservi?

Osserva il seguente diagramma di Eulero-Venn e completa:

N rappresenta ………………………………………………………………

Q(a) rappresenta ………………………………………………………………

Osserva le seguenti relazioni e stabilisci se sono vere o false:

a) N � Q(a) □V □F b) Q(a) � N □V □F c) Q(a) � N □V □F

d) N � Q(a) □V □F e) Q(a) � N □V □F f) N � Q(a) □V □F

g) 3,5 � Q(a) □V □F h) �240� � N □V □F i) 7 � Q(a) □V □F

Rappresenta in un riferimento cartesiano le seguenti funzioni e scrivi le relative osservazioni:

y � �13� � x; y � �

2x4�; y �3 � x � 2.

10

9

8

N

Q(a)

D C

A BH

✪

✪

VERIFICA DI ARITMETICA72

Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Insiemi


Contrassegna le risposte esatte (possono essere più di una).

a) Un insieme è vuoto quando:

□ contiene solo lo zero; □ contiene un solo elemento;

□ non contiene elementi; □ è infinito.

b) Il simbolo che indica l’operazione di unione tra insiemi è:

□ � □ � □ � □ �.

c) Il simbolo che indica l’appartenenza di un elemento a un insieme è:

□ � □ � □ � □ �.

d) Per rappresentare un insieme può usare:

□ la rappresentazione per elencazione; □ il diagramma di Eulero-Venn;

□ la rappresentazione cartesiana; □ la rappresentazione per caratteristica.

e) La rappresentazione tabulare di un insieme è:

□ la sua rappresentazione grafica;

□ la rappresentazione di una caratteristica comune a tutti gli elementi;

□ l’elenco di tutti gli elementi che appartengono all’insieme;

□ il diagramma di Venn dell’insieme.

f) L’intersezione tra due insiemi non disgiunti è l’insieme che:

□ contiene sempre un solo elemento di ogni insieme;

□ contiene tutti gli elementi del primo insieme e tutti quelli del secondo;

□ contiene tutti gli elementi comuni ai due insiemi;

□ non contiene alcun elemento.

g) Se due insiemi non hanno elementi comuni si dicono:

□ disgiunti; □ complementari; □ sottoinsiemi; □ non inclusi.

h) L’unione di un insieme A e di un suo sottoinsieme B:

□ contiene solo gli elementi di B;

□ è un insieme vuoto;

□ non contiene elementi;

□ è l’insieme A.

Osserva le seguenti rappresentazioni grafiche e per ognuna di esse contrassegna le risposte esatte (pos-sono essere più di una).

a) □ d � A □ p � A □ l � A □ r � A

b) □ E � D □ D � E □ E � D □ E � DD

E

A r

l d

2

1

73

c) □ A � B � � □ A � B � { } □ A � B □ B � A

d) □ N � L � M □ O � L � M □ N � L � M □ N � M

e) □ G � G� � F □ G � F □ F – G � G� □ F � G � G�

Considera il seguente diagramma di Eulero-Venn e contrassegna le risposte esatte:

□ A � {d } □ B � {e, n, a}

□ C � {i, l, o, u, v} □ C � A � B

□ A � {lettere della parola “diluvio”}

□ C � A □ C � A � B

□ A � B � {d} □ B � A

SAPER FARE

Considera i seguenti diagrammi di Eulero-Venn che rappresentano gli insie-mi A, B e C:

a) scrivi le loro rappresentazioni per elencazione:

A � {............................. ; B � {............................. ; C � {........................... ;

b) scrivi le loro rappresentazioni per caratteristica:

A � .................................................................................................... ;

B � .................................................................................................... ;

C � .................................................................................................... ;

c) completa le seguenti scritture inserendo i simboli adeguati di appartenenza o di inclusione:

1 …… A 3 …… B A …… B B …… A 7 …… A

6 …… A 5 …… A C …… A C …… B 8 …… B

12 …… A 12 …… B A …… C B …… C 9 …… C

4 …… B 4 …… A 4 …… C 6 …… C 0 …… C

Dati gli insiemi A � { lettere della parola rettangolo } e B � { lettere della parola quadrilatero }, rap-presenta con un diagramma di Eulero-Venn e per elencazione gli insiemi:

a) C � A � B b) D � A � B c) E � A � B d) F � B � A

Considera l’insieme A � { mercoledì, venerdì } e scrivi per elencazione il complementare di A rispetto aB considerando come insieme B i giorni della settimana in cui vai a scuola.

………………………………………………………………………………………………………………………………

Rappresenta gli insiemi con un diagramma di Eulero-Venn.

In una scatola di caramelle 21 sono gommose, 34 sono alla frutta e 15 sono gommose alla frutta.Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn e stabilisci quante caramelle sono conte-nute nella scatola.

7

6

5

4

3

F

G G

L MN

O

A B

B

804

2

6

C

A

7

1

3

95

A

i

ld

B

u

voa

n e

C

✪

✪




Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................


Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta.1

a) L’elemento neutrodell’addizione è:

□ 1;

□ 0;

□ inesistente;

□ il 1° addendo.

b) L’elemento neutrodella sottrazione è:

□ 1;

□ 0;

□ inesistente;

□ impossibile.

c) b � 1:

□ è uguale a 1;

□ è uguale a 0;

□ è uguale a b;

□ non ha risultato.

d) L’elemento neutrodella divisione è:

□ 1;

□ 0;

□ inesistente;

□ impossibile.

e) b � 0:

□ è uguale a b;

□ è uguale a 0;

□ non si può eseguire;

□ è uguale a 1.

f) La scrittura a�b�a�(m�n),dove b�m�n, esprime la proprietà:

□ dissociativa;

□ associativa;

□ distributiva;

□ invariantiva.

g) La scritturaa�b�c�(a�b)�cesprime la proprietà:

□ dissociativa;

□ associativa;

□ distributiva;

□ invariantiva.

h) La scritturaa � (b�c) � a � b � cesprime la proprietà:

□ invariantiva;

□ dissociativa;

□ commutativa;

□ la 2a proprietà della sottra-zione.

i) Se il minuendo è 0 e il sottraendoè � da 0:

□ la differenza è 0;

□ il sottraendo è uguale a 1;

□ la sottrazione non è possibilein N;

□ la differenza è 1.

Proprietà delle quattro operazioni ed espressioni

l) Se il dividendo e il diviso-re sono entrambi ugualia 0, il quoziente è:

□ 0;

□ indeterminato;

□ impossibile;

□ 1.

m) 5 : 0 è:

□ uguale a 0;

□ uguale a 5;

□ impossibile;

□ indeterminato.

n) La scrittura a � b � b � aesprime la proprietà:

□ invariantiva;

□ commutativa;

□ associativa;

□ distributiva.

o) La scritturaa � b � c � a � (m�n) � c,dove b � (m�n),esprime la proprietà:

□ dissociativa;

□ invariantiva;

□ associativa;

□ distributiva.

p) La scrittura(a�b) � c � a � c � b � cesprime la proprietà:

□ commutativa;

□ invariantiva;

□ associativa;

□ distributiva.

q) La scrittura (a�b) : c � a : c � b,con a divisibile per c e c � 0 ,esprime:

□ la proprietà distributiva;

□ la 3a proprietà della divisione;

□ la proprietà invariantiva

□ la proprietà dissociativa.

75

✪

Completa la seguente tabella:

nome della proprietà e sua applicazione enunciato della proprietà

8 � 10 � 22 � 22 � 8 � 10 La somma non cambia ....................................................

proprietà ......................................................... ..........................................................................................

17 � 5 � (17 � 3) � (5 � 3) Aggiungendo o ........................... uno stesso numero aloppure

17 � 5 � (17 � 3) � (5 � 3) ........................................... e al .........................................

proprietà ......................................................... .......................................................... non cambia.

9 � 25 � 4 � 9 � 100 Il prodotto non cambia .................................................

proprietà ......................................................... ..........................................................................................

..........................................................................................

(24 � 6) : 3 � 24 : 3 � 6 : 3 Per dividere una ........................... indicata oppure una

oppure ............................... indicata per un numero, diverso da

(15 � 10) : 5 � 15 : 5 � 10 : 5 ........................, si può dividere ciascun ..........................

proprietà .................................................................... oppure .............................................................. per quel

..................................................................................... ..................................... e poi ...............................oppure

..................................................................................... ........................................... i .............................. ottenuti

SAPER FARE

Completa le seguenti scritture mettendo al posto dei puntini il termine o il segno di operazione man-cante:

1346 � …… � 2971 � 5839 …… � 784 � 612 24,25 � …… � 8,92

38,5 � 517,92 � …… � 1392,43 ……… � 15 � 0; 1 � ……… � 10;

0 ……… 5 � 0; 11 ……… 1 � 11; ……… : 0 � impossibile;

……… : ……… � indeterminato; …… : 4 � 0; ……… : ……… � 1; 18 : ……… � 18

Per ciascuna uguaglianza scrivi la o le proprietà che sono state applicate:

a) 84 � 72 � 36 � 98 � 80 � 4 � 70 � 2 � 30 � 6 � 90 � 8 � 70 � 30 � 80 � 90 � 4 � 6 � 2 � 8 �

� (70 � 30) � (80 � 90) � (4 � 6) � (2 � 8) � 100 � 170 � 10 � 10 � 290

………………………………………………..………………………………………………………………………………

b) (387 � 76) � (387 � 26) � (76 � 26) � 361 � 50 � 311

…………………………………………..……………………………………………………………………………………

c) 597 � (35 � 101 � 45 � 59) � 597 � (35 � 45 � 101 � 59) � 597 � (80 � 160) � 597 � 80 � 160 � 357

…………………………………………….,…………………………………………………………………………………

d) (84 � 21) : 7 � 84 : 7 � 21 : 7 � 12 � 3 � 9 ………………………………………………………

e) (45 � 20 � 3) : 5 � 9 � 20 � 3 � 540 ………………………………………………………

f) 62,5 : 12,5 � 625 : 125 � 5 ………………………………………………………

Completa le seguenti uguaglianze mettendo al posto dei puntini i numeri mancanti:

(4 � ………) � 8 � 4 � 8 � 3 � ……… ; (16 � 25 � 4) : …………… � 16 � 5 � ………;

(……… � 28) : 7 � 42 : 7 � ……… : ……… ; (24 � 12) : (6� ………) � 4 � 4.

5

4

3

2


76


a) 8 � (32 : 4 � 5 � 2) : 3 � 63 : 7 � (8 � 3 � 2 � 7);

b) {3 � [28 : 2 � (5 � 3) � 6] � 3 � 5 � (21 � 3 � 7)} : (2 � 8 � 3 � 4 � 2);

c) 11 � 2,5 � {[8,6 � (20,5 � 0,7 � 14,13)] � (9,1 � 0,87)};

d) 5,6 : 0,2 � {0,71 � 0,2 � [0,4 � 0,3 � (4,5 : 0,3 � 0,7 � 0,2)]}.

Leggi il testo del seguente problema e, senza risolverlo, rispondi alle domande:

Adriano, che è molto goloso e pesa 83 kg, acquista 12 paste che pesano 95 g l’una, e 20 cioccolatini chepesano complessivamente 8,6 hg. Quanto pesa ogni cioccolatino? Quanto pesano complessivamente idolci acquistati?

a) Quale dato non ti serve per risolvere il problema?

□ 8,6 hg □ 20 □ 95 g □ 12 □ 83 kg

b) Quale operazione utilizzeresti per calcolare il peso di un cioccolatino?

□ moltiplicazione □ sottrazione □ divisione □ addizione

c) Quale sequenza di operazioni useresti per determinare il peso totale dei dolci?

□ moltiplicazione; equivalenza; addizione;

□ equivalenza; divisione; addizione;

□ equivalenza; moltiplicazione; addizione;

□ moltiplicazione; equivalenza; sottrazione.

d) Il peso di ogni cioccolatino è:

□ maggiore del peso di una pasta;

□ minore del peso di una pasta.


a) Per cambiare i vetri alle finestre di un palazzo si sono spesi 1800 €. Sapendo che il palazzo ha 6 piani,che in ogni piano ci sono 10 finestre e che ogni finestra ha 4 vetri, calcola il costo di ogni vetro.

b) Su un camion si caricano 22 sacchi di frumento del peso di 93 kg ciascuno, 15 sacchi di mais di 112 kgciascuno e 48 sacchi di patate. Sapendo che il camion vuoto pesa 6 530 kg e carico pesa 11 792 kg, cal-cola il peso di ogni sacco di patate.

c) Quale risultato si ottiene addizionando alla differenza tra 26 e 17, la differenza tra 39 e 23 e la sommatra 13 e 22?

In ciascuna delle seguenti tabelle individua gli elementi dell’insieme A e dell’insieme B. Dopo aver indi-viduato gli elementi degli insiemi, completa le tabelle:

9

8

7

6

✪

✪

✪

✪

� 3 2,4

0

9 36

3,6

1 0,6

: 5 16

0

80 8

4

48 2,4

A

B

A

B

VERIFICA DI ARITMETICA 77

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

L’elevamento a potenza


A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verrannoutilizzati):

divisione, esponente di una potenza, risultato di una potenza, moltiplicazione, base di una potenza, ele-vamento alla seconda potenza, fattore di una potenza.

definizioni termini cui si riferiscono le definizioni

Numero che, in una potenza, indica quante volte ripeterelo stesso fattore.

Il fattore da ripetere tante volte quante sono le unitàdell’esponente.

Operazione inversa dell’estrazione di radice quadrata.

Numero che si determina moltiplicando la base per sestessa tante volte quante sono le unità dell’esponente.

Completa la seguente tabella (vedi esempio):

potenza scritta a parole potenza scritta come numero potenza scritta come moltiplicazione

dieci alla terza 103 10 · 10 · 10

75

8,5 · 8,5 · 8,5 · 8,5

quattro virgola novealla prima

210

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Assegna a ogni potenza il suo risultato scegliendo tra quelli scritti sotto (non tutti i risultati verrannoutilizzati):

a) a1 ……… ……… b) a0 ……………… c) 1n ……………… d) 00 ……………… e) 10n ……………

□1 non ha significato, □2 10, □3 a, □4 1, □5 1 seguito da n zeri.

Assegna a ogni operazione tra potenze il risultato esatto scegliendo tra quelli scritti sotto (non tutti irisultati verranno utilizzati):

a) am�an � …… b) am : an � …… c) [(am)n]P � …… d) am�bm � …… e) an : bn � ……

□1 (a : b)n, □2 am�n�p, □3 am�n, □4 (a � b)m, □5 am�n, □6 (a�b)m.

SAPER FARE

Risolvi le seguenti potenze:

34 = ………… 105 = ………… 122 = ………… 302 = …………

150 = ………… 19 = ………… 361 = ………… 73 = …………

0,92 = ………… 2,62 = ………… 0,13 = ………… 4 003 = …………

5

4

3

2

1

✪



78

Completa la seguente tabella effettuando le correzioni che ritieni opportune:

Risolvi le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze, quando è necessario:

a) {(3 � 22)2 � [33 � (25 � 6 � 5) � 23]} : 72;

b) 122 � (63 : 8 � 25)2 � {[(2 � 53 � 23 � 5) : (10 + 22 � 5) + 3]2 : 52 + 1};

c) {[(53 � 54)5 � (403 : 83)2] : 540}3 � 23;

d) [(165 : 85)2 � (105 : 25)2]2 : 1019 + [(1,758 : 1,757) : (0,52 : 0,52 � 5)] � 22;

Completa le seguenti uguaglianze:

144 = ……2 32 = ……5 ……3 = 64 ……4 = 16

�8�1� = ……… �36�4� = ……… �4

8�1� = ……… �33�4�3� = ……

�…�…�…�…�…� = 13 �…�…�…�…�…� = 8 �…�…�…�…�…� = 10 �…�…�…�…�…� = 15


numero notazione esponenziale ordine di grandezza

615 000 000

3,52 · 106

109

7 583 000

2,1 · 1010

Risolvi i seguenti problemi ed esprimi poi il risultato ottenuto sotto forma di potenza:

a) In un’ora vi sono 60 minuti, in un minuto 60 secondi. Quanti secondi vi sono in un’ora?

b) In un magazzino di un supermercato ci sono quattro scaffali, su ogni scaffale ci sono quattro scatolo-ni, ogni scatolone contiene quattro confezioni di quattro kg di pomodori pelati ciascuno. Quanti kg dipelati ci sono in quel magazzino?

Esprimi i risultati del seguente problema con la notazione esponenziale:

La luce viaggia alla velocità di 300 000 km al secondo: quanti km percorre in un minuto? Quanti km per-corre in un’ora? Quanti metri in un secondo?

11

10

9

8

7

6

uguaglianza V F correzione

216 : 210 = 226 ....................................................................................................................................

136 : 135 = 1 ....................................................................................................................................

74 � 77 = 73 ....................................................................................................................................

35 � 55 = (3 � 5)5 ....................................................................................................................................

184 : 24 = 90 ....................................................................................................................................

83 � 85 � 8 = 88 ....................................................................................................................................

[(53)2]4 = 59 ....................................................................................................................................

{[(3,44)2]3}5 = 3,4120 ....................................................................................................................................

914 : 97 = 92 ....................................................................................................................................

233 � 235 = 2315 ....................................................................................................................................

✪

✪

✪

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Divisori e multipli


Scrivi il criterio di divisibilità:

per 2: …………………………………………………………………………………………………………………….

per 3: …………………………………………………………………………………………………………………….

per 5: …………………………………………………………………………………………………………………….

per 11: ………………………………………………………………………………………………………………………

Contrassegna le risposte che ritiene esatte:

Rispondi con vero o falso e, accanto ad ogni affermazione falsa, scrivi la correzione adeguata.

affermazione VF correzione

Il M.C.D. è il maggiore dei multipli comuni. ……………………………………………………

Il m.c.m. di due numeri primi tra loro è il loro prodotto. ……………………………………………………

Il M.C.D. di due numeri primi tra loro è il maggiore di essi. ……………………………………………………

Due numeri sono primi tra loro quando hanno comedivisori comuni 0 e 1. ……………………………………………………

Due numeri primi tra loro sono sempre numeri primi. ……………………………………………………

I multipli di un numero sono illimitati. ……………………………………………………

Un numero si dice primo se non ha divisori. ……………………………………………………

Un numero si dice composto se ha più di due divisori. ……………………………………………………

La fattorizzazione di un numero composto è l’insiemedei suoi multipli. ……………………………………………………

Il m.c.m. di due o più numeri è il minore deimultipli comuni. ……………………………………………………

3

2

1

a) Il M.C.D. di 140 e 210 è 70 perché:

□ 210 è divisibile per 70;

□ 140 è divisibile per 70;

□ 70 è il maggiore divisore comune di 140 e 210;

□ 210 e 140 sono entrambi divisibili per 70.

b) Se il M.C.D. di 100 e 150 è 50 allora:

□ solo 100 è divisibile per 50;

□ 100 e 150 sono divisori di 50;

□ 100 e 150 sono divisibili per 50;

□ solo 150 è divisibile per 50.

c) Il m.c.m. di 8 e 12 è 24 perché:

□ 24 è multiplo di 8;

□ 24 è più grande di 8 e di 12;

□ 24 è il secondo multiplo di 12;

□ 24 è il minore dei multipli comuni di 8 e di 12.

d) Se il m.c.m. di 36, 12 e 20 è 180 allora:

□ 180 è divisibile solo per 36 e per 20;

□ 180 è divisibile per 36, per 12 e anche per 20;

□ 180 e il minore dei multipli comuni dei tre numeri dati;

□ 180 è divisibile solo per 20 e per 12.

✪

80

SAPER FARE

Completa la seguente tabella applicando i criteri di divisibilità:

Metti al posto delle caselle delle cifre opportune in modo che il numero che risulta sia contemporanea-mente divisibile:

per 2 e 3 6 ; per 3 e 5 2 7 ;

per 5 e 11 8 ; per 3 e 4 1 2.

Scomponi in fattori primi i numeri 480 e 3960.

Rappresenta con un diagramma di Venn la situazione evidenziata dalle rappresentazioni tabulari deiseguenti insiemi:

D8 = {1, 2, 4, 8} ; D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ; D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36};

D8 � D20 � D36 = {1, 2, 4} M.C.D. (8, 20, 36) = 4

Osserva il seguente diagramma di Venn e rispondi alle seguenti domande:

a) Che cosa indicano i simboli M6 e M18?

b) Che cosa puoi dire dell’insieme M18 rispetto all’insieme M6?

c) Scrivi le rappresentazioni tabulari di M6, M18 e M6 � M18.

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri col metodo della fattorizzazione:

a) 270; 450; 990. b) 2880; 1584; 2268.

Utilizzando il criterio generale di divisibilità, stabilisci se il numero 1260 è divisibile per 90 ed effettuala divisione.


a) Tre autobus hanno in comune una fermata, il primo ci passa ogni 6 minuti, il secondo ogni 8 e il terzoogni 10 minuti. Se partono insieme, dopo quanto tempo si ritroveranno alla stessa fermata? E quanti per-corsi completi avrà effettuato ogni autobus?

b) Un fiorista deve confezionare dei mazzi di fiori con 330 gigli, 154 tulipani e 66 rose. I mazzi devonoessere tutti uguali tra di loro e ciascuno con il minor numero possibile di fiori dello stesso tipo. Quantimazzi potrà confezionare il fiorista? Quanti fiori di ogni tipo saranno presenti in ogni mazzo?

11

10

9

8

7

6

5

4

numeroè divisibile per:

2 3 4 5 9 25 11

360

2475

5500

7272

62184

✪

✪

✪




→ …………………………………………

Scrivi i nomi delle parti indicate: �45

� → …………………………………………

→ …………………………………………

Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta.

Esprimi sotto forma di frazione la parte colorata di ciascuna delle seguenti figure:3

2

1

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Le frazioni

a) Una frazione si dice impropria se il numeratore è:

maggiore del denominatore;

minore del denominatore;

maggiore o uguale al denominatore.

b) Una frazione si dice propria se il numeratore è:

maggiore del denominatore;


uguale al denominatore.

c) Una frazione si dice apparente se il numeratore è:


uguale a 0;

multiplo del denominatore.

d) Una frazione impropria è:

maggiore di una frazione propria;

minore di una frazione propria;

minore di 1.

e) Si definisce unità frazionaria una frazione che ha:

il numeratore uguale a 1;

il denominatore uguale a 1;

il numeratore uguale al denominatore.

f) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se ilnumeratore e il denominatore sono:

numeri primi;

uguali;

numeri primi tra loro.

g) Moltiplicando o dividendo entrambi i termini di unafrazione per uno stesso numero, diverso da zero, siottiene:

una frazione equivalente a quella data;

una frazione uguale a quella data;

una frazione diversa da quella data.

h) Tra due frazioni che hanno lo stesso denominatoreè maggiore quella che ha:

il numeratore maggiore;

il numeratore minore;

il numeratore uguale a 0.

i) Il simbolo m.c.d. indica:

il massimo comun divisore di due o più numeri;

il massimo comun divisore dei denominatori;

il minimo comune multiplo dei denominatori.

l) �03

� è uguale a:

0;

3;

un numero qualsiasi.

m) �30

� è:

uguale a 0;

una scrittura priva di significato;

uguale a 3.

n) �00

� è:

indeterminato;

uguale a 0;

impossibile.

………… ……………………………… …………

82

Colora una parte dei quadrati in modo che corrisponda:

a) ad una frazione propria b) ad una frazione impropria

Completa il seguente diagramma di Eulero-Venn inserendo i nomi degli insiemi rappresentati:

SAPER FARE

Date le seguenti frazioni:

�34

� , �54

� , �155� , �

178� , �

12

� , �92

� , �366� , �

110� , �

375� , rappresenta per elencazione l’insieme A delle frazioni pro-

prie, l’insieme B delle frazioni improprie, l’insieme C delle frazioni apparenti e l’insieme D delle unità fra-zionarie.

A = {…………………………………………} ; B = {…………………………………………}C = {…………………………………………} ; D = {…………………………………………}Completa gli esercizi scrivendo le frazioni equivalenti a quelle date:

�14

� = �…1…6� = �

…8…� = �

…5…� ; �

32

� = �…15…� = �

…1…8� = �

…6…� ; �

19200

� = �…

9…� = �

…2…0� = �

…45…� .

Calcola:

�35

� di 50: …………………………………… ; �143� di 78: …………………………………… ;

�181� di 40: ……………………………………; �

23

� di �12

� di 36: ………………………………………

Semplifica la frazione �4782� con il metodo delle divisioni successive e con il metodo del M.C.D.

�4782� = ................................................... M.C.D. (48,72) = …………… �

4782

::

……

……

……

� = �……

……

……

�

Dopo aver ridotto le seguenti frazioni al m.c.d., disponile in ordine crescente:

�1156� ; �

98

� ; �13

� ; �28

� ; �1142� ; �

52

� ; �77

�.

Inserisci al posto dei puntini il segno opportuno scelto tra < ; > ; = .

�57

� …… �47

� ; �23

� …… �24

� ; �82

� …… �135� ; �

75

� …… �191�.

Rappresenta sulla prima semiretta i numeri razionali �34

� e �74

� e sulla seconda semiretta �35

� e �85

�:12

11

10

9

8

7

6

5

4

insieme delle frazioni …………………insieme delle frazioni ………………………

Q(a) → insieme ………………………………

insieme delle frazioni ………………………

1 20

0 1 2 3

✪

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Operazioni con le frazioni


Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (possono essere più di una).1

a) Due frazioni sono complementari se:

la loro somma è 1;

la loro differenza è 1;

il loro prodotto è 1.

b) Il prodotto di una frazione per la sua inversa è ugua-le a:

zero;

uno;

una frazione qualsiasi.

c) ��ba

��0

è uguale a:

zero;

uno;

�ba� .

d) ��ba

��1

è uguale a:

uno;

zero;

�ba

� .

e) �27

� + �37

� è uguale a:

�2 +

73

� ;

�27

++

37

� ;

�23

++

77

� .

f) �59

� : �38

� è uguale a:

�59

� � �38

� ;

�95

� � �38

� ;

�59

� � �83

� .

g) ��ba

��n

è uguale a:

�ab

n

� ;

�ba

n� ;

�ban

n� .

h) ��ba

��3

� ��ba

�� ba

��4

è uguale a:

��ba

��7 ;

��ba

��8 ;

��ba

��12

.

i) ��ba

��10

: ��ba

��2

è uguale a:

��ba

��12

;

��ba

��5;

��ba

��8.

l) ��ba

��5

� ��cd

��5

è uguale a:

��ba

� � �cd

��10

;

��ba

� � �cd

��5;

��ba

� � �cd

��5.

m) ��ba

��8

: ��cd

��8

è uguale a :

��ba

� : �cd

��1;

��ba

� : �cd

��8;

��ba

� � �dc

��8.

n) ��ab��

2

�5

�3 è uguale a:

��ba

��30

;

��ba

��;��

ba

��10

.

o) L’espressione viene detta:

frazione a termini frazionari;

frazione doppia;

frazione complessa.

p) è uguale a:

�ba

� : �dc� ;

�ba

� � �cd

� ;

�ba

� : �dc

� .

�ba

�

��dc

�

�ba

�

��dc

�

84


scrittura in simboli enunciato della proprietàdella proprietà

Il ........................... di due potenze di ................................... base è una potenza che

ha per................................ la stessa ................................... e per ..................................

la ................................. degli ............................. .

Il quoziente ......................................................................................................................

è una potenza che ha .....................................................................................................

......................................................................................................................................... .

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per espo-nente il prodotto degli esponenti.

Il ...................................... di due potenze di egual .................................. è una poten-

za che ha per base il .......................................... delle .......................................... e per

......................................................................................................................................... .

Il quoziente di due potenze di ugual esponente è una potenza che ha per base il quo-ziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

SAPER FARE

Esprimi le seguenti proposizioni sotto forma di espressioni:

Il quadrato della somma di due terzi e tre quarti: …………………………………………………………………

Il prodotto del quadrato di tre quinti con il cubo di un mezzo: ……………………………………………………

Il cubo di quattro settimi alla seconda: ………………………………………………………………………………

Esegui le seguenti operazioni:

a) �43

� + �170� � �

185� ; b) �

130� � �

265� � �

72

� � �194� ; c) �

49

� � �2210� : �

32

� ; d) ��2155��

2; e) ��

12

��3

� ��34

��2; f) ��

89

� : �43

��3.

Risolvi applicando le proprietà delle potenze:

��25

��7

: ��25

��5

= ………… �43

� � ��43

��2

= ………… {��23

��2

�3}2

= ………………

��34

��2

� ��19

��2

= ………… ��170��

6: ��

2104��

6= ………… ��

13

��2

� ��13

��3

: ��13

��4

= …………


a) ��34

��2

� �185� � ��

190� � ��

67

� � �34

� � �1201��

2� �

112� � ��

16

��2

�;

b) ��23

��5

: ��23

��3

� 4 � ��34

��5

: ��34

��3

� ��12

��6

: ��12

��2

� � ��12

��3

+ ��16

��2

; c) � �1 + �16

� � �23

�� .

Completa le seguenti uguaglianze sostituendo ai puntini le frazioni opportune:

�45

� + ……… = �75

� ……… � �172� = �

37

� �45

� + ……… � �25

� = �75

� ……… � �34

� = �98

�

……… � �13

� = 3 ……… � �43

� = 1 1 : ……… = 2 �12

� : ……… = �16

� ……… : �34

� = �23

�

7

4 � �72

� + �112�

��32

� + �54

� � �73

�

6

5

4

3

2

��ba

��nx ��

ba

��m

= ��ba

��m+n

��ba

��n: ��

ba

��m

= ............

con nm

..................................

��ba

��nx ��

cd

��n=

..................................

..................................


✪

✪

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Dati e previsioni


Ad ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verrannoutilizzati).(Modalità, variabile statistica, frequenza assoluta, tabella di frequenza, istogramma, frequenza relativa,campo di variazione, unità statistica, popolazione statistica, frequenza percentuale, intervallo di una clas-se, variabile quantitativa discreta, variabile qualitativa, indagine statistica, variabile quantitativa conti-nua, dato statistico, diagramma a colonne).

definizione termine

Si usa per indicare la distribuzione degli elementi di una popolazione rispetto alle variabili statistiche.È uguale alla frequenza relativa moltiplicata per cento.È completa quando vengono considerati tutti gli elementi della popolazione statistica.Ciascun elemento di una indagine statistica.È costituito da rettangoli contigui le cui basi sono gli intervalli e le altezze le frequenze degli intervalli.È un insieme di elementi che hanno almeno una caratteristica comune.Numero di volte con cui si presenta una modalità di una variabile statistica.È uguale alla frequenza assoluta diviso il numero totale di rilevamenti.Una caratteristica che in una popolazione non è costante.È un modo con cui una variabile statistica si può presentare.Si può rilevare solo attraverso una misura.In un insieme di dati è la differenza tra il dato maggiore e quello minore.

Associa ogni elemento con la corrispondente definizione (una definizione è associata a più elementi).

alunni di una scuola

alunno Mario Rossi variabile quantitativa continua

numero componenti della famiglia popolazione statistica

altezza modalità

4 variabile qualitativa

162 cm variabile quantitativa discreta

mezzo utilizzato per recarsi a scuola unità statistica

bicicletta

SAPER FARE

Alla fine dell’anno scolastico 2002/2003 gli alunni di prima di una scuola media hanno effettuato una prova plu-ridisciplinare finalizzata al controllo della qualità del loro apprendimento.I punteggi ottenuti sono stati i seguenti:

30, 26, 34, 45, 10, 35, 37, 46, 31, 38, 29, 43, 21, 29, 30, 14, 35, 25, 38, 4, 25, 39, 26, 19, 24, 22, 35, 27, 23, 9, 23, 19,23, 17, 19, 17, 25, 33, 3, 26, 19, 7, 28, 27, 27, 14, 30, 19, 8, 23, 34, 42, 32, 41, 40, 23, 41, 38, 26, 17, 25, 37, 39, 44,43, 28, 25, 21, 42, 30, 46, 39, 43, 12, 14, 34, 44, 24, 30, 28, 27, 38, 44, 33, 34, 20, 30, 25, 13, 35, 43, 27, 42, 38, 19,13, 34.

Dopo aver determinato il campo di variazione e aver stabilito un adeguato intervallo, raggruppa i punteggi inclassi utilizzando una tabella di frequenza. Per ogni classe calcola la frequenza assoluta, la frequenza relativa ela percentuale. Infine, rappresenta i dati della tabella con un istogramma.

8

f7

e6

d5

c4

b3

a2

1

2

1



Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Problemi con le frazioni

SAPER FARE

Per ogni problema indica se è di tipo diretto o inverso e riconosci la rappresentazione grafica corrispondente.

I �34

� di un segmento misurano 150 cm; quanto è lungo il segmento?

problema di tipo diretto; problema di tipo inverso.

In una classe di 24 alunni �16

� porta gli occhiali. Quanti sono gli alunni che hanno gli occhiali?

problema di tipo diretto; problema di tipo inverso.

Per ogni rappresentazione grafica indica se è relativa a un problema di tipo diretto o inverso, scrivine poi il testoutilizzando dati e incognite.

.............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

Senza effettuare calcoli scegli la risposta esatta per i seguenti problemi:

a) Il segmento A�B� è uguale ai �74

� del segmento C�D�. Quali fra i due segmenti ha misura maggiore?

A�B� > C�D� A�B� < C�D�

b) Alberto ha risparmiato 36,90 € e ne spende i �53

� per acquistare un paio di calzoni. Quanto spende?

più di 36,90 € meno di 36,90 €.

c) Calcola i �35

� dei �27

� di 700 q di carbone:

> 700 q < 700 q

5

56

?

75 m4

37

?

280 km

3

2

1

✪

?150 cm

a

?

150 cm

b

?

a b

24 24

?



..........................................................................................

..........................................................................................

87

d) La somma di due numeri è 468 e il primo è i �58

� del secondo. Qual è il primo numero?

1° numero � 468 : 13 � 5 1° numero � 468 : 8 � 5

1° numero > 2° numero 1° numero < 2° numero

e) La differenza tra due numeri è 12 e il primo è i �97

� del secondo. Qual è il primo numero?

1° numero � 12 : 9 � 7 1° numero � 12 : 2 � 9

1° numero > 2° numero 1° numero < 2° numero

Risolvi i seguenti problemi rappresentando graficamente i dati e le incognite.

a) Di un tragitto lungo 180 km sono stati percorsi i �56

�; quanti km restano da percorrere?

b) In una scuola le 304 alunne femmine sono i �49

� del totale degli alunni. Quanti sono gli alunni maschi diquella scuola?

c) L’ampiezza dell’angolo A∧

di un triangolo misura 24°; determina l’ampiezza degli angoli B∧

e C∧

sapen-

do che il loro rapporto è �57

�. Che tipo di triangolo è ABC ?

d) Di una partita di arance è stato venduto �13

�, poi �14

� delle arance rimaste. Calcola quanti chilogrammi di

arance si avevano all’inizio, sapendo che alla fine sono rimasti 39 kg, dopo aver scartato �115� dell’inte-

ra partita perché le arance erano guaste.

Risolvi i problemi utilizzando i dati indicati nelle rappresentazioni grafiche:

a)

Calcola i soldi posseduti da Giovanni e da Carmelo.

b)

Calcola la lunghezza dell’intero percorso e quanto resta ancora da percorrere.

60 km

13

912

315 €

soldi possedutida Giovanni

soldi possedutida Carmelo

7

6

✪✪

✪✪


Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

I numeri razionali: Q(a)


Indica con crocetta le risposte che ritieni esatte (possono essere più di una):1

a) L’insieme Q(a):

è chiuso rispetto alla divisione;

è chiuso rispetto alla sottrazione;

ha come sottoinsieme N;

è incluso in N.

b) Le frazioni decimali:

hanno per numeratore un multiplo di 10;

danno origine sempre a numeri decimali minori di 1;

danno origine a numeri decimali illimitati perio-dici;

hanno per denominatore una potenza di 10.

c) In un numero periodico il periodo è:

la parte intera, cioè quella che precede la virgola;

formato dalle prime due cifre decimali uguali;

formato da tutte le cifre decimali;

formato dal gruppo di cifre decimali, o dallacifra, che si ripete all’infinito.

d) In un numero decimale periodico l’antiperiodo:

non esiste;

esiste solo se il numero è semplice;

esiste solo se il numero è misto;

è la cifra o il gruppo di cifre decimali che non siripetono.

e) Se la fattorizzazione del denominatore di una fra-zione ridotta ai minimi termini presenta solo il2 e/o il 5, la frazione dà origine a un numero:

decimale illimitato;

decimale limitato;

decimale periodico misto;

decimale periodico semplice.

f) Se la fattorizzazione del denominatore di una fra-zione ridotta ai minimi termini presenta o il 2 o il 5 ealtri fattori, la frazione dà origine a un numero:

intero;

decimale limitato;

decimale periodico misto;

decimale periodico semplice.

g) L’approssimazione a meno di un centesimo di unnumero decimale:

si esprime con la scrittura a meno di 0,01;

si esprime con la scrittura a meno di 100;

si esprime con la scrittura a meno di �1010

� ;

si scrive con due sole cifre decimali.

h) Dato il numero decimale 1,57, la sua approssimazio-ne 1,5 è:

a meno di 0,1 per eccesso;

a meno di 10 per difetto;

a meno di 0,1 per difetto;

a meno di 0,01 per difetto.

i) Dato il numero decimale 32,1�6�, la sua approssima-zione per difetto a meno di 0,001 è:

32,160;

32,161;

32,162;

32,001.

l) Dato il numero decimale 8,453, la sua approssima-zione:

a meno di �110� per difetto è 8,3;

a meno di �110� per difetto è 8,4;

a meno di 0,01 per difetto è 8,45;

a meno di 0,01 per difetto è 8,46.

m) La frazione generatrice del numero decimale 0,51 è:

�5110� ;

�591� ;

�5919� ;

�15010

� .

n) La frazione generatrice del numero decimale 5,0�5� è:

�510050

� ;

�59095

� ;

�510000

� ;

�59090

� .

89

SAPER FARE

Utilizzando la tabella, classifica i seguenti numeri decimali:

Fattorizza i denominatori delle seguenti frazioni e stabilisci a quali numeri decimali danno origine (ricor-dati di ridurre ai minimi termini):

�1105� ………………………………………………………… �

2475� …………………………………………………………

�179� ………………………………………………………… �

2118� …………………………………………………………

�560� ………………………………………………………… �

1715� …………………………………………………………

Scrivi la frazione generatrice di ciascuno dei seguenti numeri decimali:

3,5 …………………… 6,5� …………………… 2,16� ……………………

4,6�7� …………………… 0,138� …………………… 3,0�6�9� ……………………

5

4

3

o) La frazione generatrice del numero decimale 5,05� è:

�59090

� ;

�59095

� ;

�49595

� ;

�49505

� .

p) La frazione generatrice del numero decimale 0,68�7�è:

�1608070

� ;

�698970

� ;

�698910

� ;

�698919

� .

Completa il seguente schema:2

Q(a)

INSIEME DEI NUMERI

…………………………

Numeri decimali

Numeri decimali……………………

……………………

Numeri ………………

Insieme ………………

Numeri decimali………………….

……………………

n° decimale

limitato periodico periodicosemplice misto

parte periodo antiperiodointera

12,17

0,158�

9,7�6�

0 34 12

53 27 —

n° considerato

✪



90



a) 0,3� � �130� � ��

49

� � 0,1�� (2,3�2� � 1,7�1�) : 0,4�5�;

b) �95

� � (0,75 � 0,2�9�6� � 2) � (4 � 0,6� � 3,75)2 ;

c) ��185� : 1,06��3

� .�190� : (1,6�)2 � (0,6)2 : �

194�

��(2,6)2 : 11,26� � ��

35

��2

7

6

n° decimalecorrispondente

approssimazione

a meno di 0,001 a meno di 0,01 a meno di 0,1

✪

frazione

�1352�

�1148�

�1131�

�254�


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Estrazione di radice e i numeri reali assoluti



radicando, numero irrazionale, quadrato perfetto, estrazione di radice, insieme I(a), numero razionale,radicale, insieme R(a), elevamento alla seconda potenza, indice di un radicale, insieme Q(a).

definizioni termini cui si riferisce la definizione

Numero decimale illimitato, ma non periodico.

Numero di cui si deve estrarre la radice.

Operazione inversa all’elevamento a potenza.

Numero scritto a sinistra sopra il segno di radice.

Insieme cui appartengono le frazioni decimali e quelle ordinarie.

Numero che è il quadrato di un numero intero.

Insieme unione dei numeri razionali assoluti e degliirrazionali assoluti.

Numero naturale i cui esponenti della suafattorizzazione sono tutti pari.

Contrassegna la risposta che ritiene esatta (può essere più di una):

a) Il quadrato di 20 è: □ 40; □ 200; □ 4000; □ 400.

b) Il quadrato di 0,3 è: □ 0,6; □ 0,9; □ 0,09; □ 0,06.

c) Il risultato di �0�,4�9�0,1

è: □ 0,07; □ 7; □ 0,7; □ 49.

d) Per determinare �7�,4� si cerca sulle tavole: □ 7,4; □ 74 □ 740; □ 7400.

e) Il risultato di �36�4� è: □ 8; □ 4; □ 23; □ 26.

f) Il risultato di �1�4�4� �� 1�6� è: □ �1�4�4� � �1�6�; □ �1�2� �� 4�; □ 48; □ 12 � 4.

g) Il risultato di �9�4� è: □ 92; □ 9; □ 18; □ 81.

Rappresenta il diagramma di Venn che illustri la situazione seguente:

R(a) = I(a) � Q(a) e N � Q(a)

dove R(a) è l’insieme dei numeri reali assolutiI(a) è l’insieme dei numeri irrazionali assolutiQ(a) è l’insieme dei numeri razionali assolutiN è l’insieme dei numeri naturali.

SAPER FARE

Osserva le seguenti fattorizzazioni e sottolinea quelle di quadrati perfetti:

4900 = 22 � 52 � 72 162 = 2 � 34 68 = 22 � 17 1296 = 24 � 34

343 = 73 1350 = 2 � 33 � 52 1089 = 32 � 112 7056 = 24 � 32 � 72

4

3

2

1

✪



92


Estrai la radice quadrata dei seguenti numeri utilizzando il metodo volta per volta proposto:

a) con la fattorizzazione:

�8�1�0�0� = ……… �1�7�6�4� = ………

b) con l’algoritmo:

�5�7�7�6� = ……… �3�2�7�,6�1� = ………

c) con le tavole, rispettando le approssimazioni richieste0,01 0,1 0,1

�1�0�3� = ……… �5�,9� = ……… �2�,3�5�6� = ………

0,001 0,1 0,01

�0�,4�3�� = ……… �3�4�8�,1� = ……… �9�2�,3�5�2�1� = ………

0,01 0,01 0,001

�5�7�,5�4�8� = ……… �7�2�,�4�6�9�� = ……… �2�7�4� = ………

Risolvi utilizzando le proprietà delle radici:

a) �8�1� �� 1�4�4� �� 4�9� � ……………………………….

b) ��11�29�16

�� ………………………………………..

c) �6�4� �� 2�2�5� :� 1�6� � ………………………………..

d) �2�6�� 5�4�� 1�3�2� � ………………………………....


a) ��18�1��

29��

34��

2�27�� : ��

15�4��

85��

87��:��

19�4��

8

7

6

5

operazione svolta VF correzione

�31�2�5� = 5 ………………………………………………………………………

�41�6� = 4 ………………………………………………………………………

�6�2�5� �� 2�5�6� = �6�2�5� � �2�5�6� =25 � 16 = 400 ………………………………………………………………………

�1�0�0� �� 3�6� = �1�0�0� ��3�6� =10 — 6 = 4 ………………………………………………………………………

�8�1� :� 3�6� = ��

8�3�1�6�

� = �96

� = �32

�………………………………………………………………………

�1�2�4� = 122………………………………………………………………………

�1�0�4�� 3�2� = 102 � 32 ………………………………………………………………………

�1�1�2�+� 7�2�+� 3�6� = 11 + 72 + 33 ………………………………………………………………………

�5�4�:�1�3�8� = �153

2

4�………………………………………………………………………

✪

✪

✪

0,01——————————————————

��12

� � �16

��2

: �16

� � ��16

�� 1�18��

b)�35

� + ——————————————

��32

� + �16

��2

� �130� � ��

23

�� 29��

✪


Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Rapporti e proporzioni



proporzione, catena di rapporti uguali, medio proporzionale, precedente, estremi, conseguente, propor-zione continua, medi, antecedente, proprietà fondamentale, interni, proprietà dell’invertire, esterni, pro-prietà del permutare, terzo proporzionale, proporzione costante.


Uguaglianza tra due rapporti.

Primo termine di un rapporto.

Secondo e terzo termine di una proporzione.

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Secondo termine di un rapporto.

Proporzione con due medi uguali.

Scambiando tra di loro i medi o gli estremi si ottiene unanuova proporzione.

Nome dell’ultimo termine di una proporzione continua.

Primo e quarto termine di una proporzione.

Uguaglianza tra tre o più rapporti.

Barra la risposta che ritieni esatta:2

1

a) Dato il rapporto a : b il suo inverso è:

a · b; b · a;

b � a; b : a.

b) Data la proporzione a : x = x : b, per calcolare ilvalore di x si deve:

moltiplicare a con b;

dividere per due il prodotto a · b;

estrarre la radice quadrata di a · b;

dividere il prodotto a · b per l’antecedente.

c) Data la proporzione a : b � c : d si verifica che:

c � a · d · b; a · d � b · c ;

c � �a

b· d� ; b � �

ca· d� .

d) Date le proporzioni a : b = c : d (1) e d : b = c : a (2)per passare dalla (1) alla (2) si è applicata:

la proprietà fondamentale;

la proprietà del permutare i medi;

la proprietà del permutare gli estremi;

la proprietà del comporre.

e) Date le proporzioni a : b = c : d (1) e b : a = d : c (2)

per passare dalla (1) alla (2) si è applicata:


la proprietà del permutare;

la proprietà del comporre;

la proprietà dell’invertire.

f) Date le proporzionia : b = c : d (1) e (a � b) : b = (c � d) : d (2)per passare dalla (1) alla (2) si è applicata:

la proprietà del permutare;

la proprietà dell’invertire;


la proprietà del comporre.

94

SAPER FARE

Contrassegna le quaterne di numeri che, nell’ordine dato, soddisfano la proprietà fondamentale:

10 ; 9 ; 30 ; 21 �72

� ; �73

� ; �190� ; �

35

� �27

� ; �35

� ; �83

� ; 14 �38

� ; 1 ; �14

� ; �23

�

Risolvi le seguenti proporzioni:

a) x : �29

� � �34� : �

185� b) �

23

� : x � x : �287�

c) �5 + �23

� : �53

�� : �154� = x : �2 + �

13

��2

d) : x = x : �12 + �12

��2��

13

� + �14

��2

��

�5 � �13

��2

4

3

Applicando le proprietà delle proporzioni,risolvi:

a) �3 + �12

�� : ��23

� � �16

�� = ��35

� + x� : x

b) (0,75 � x) : �58

� = x : �54

�

c) x : 3 = y : 4 = z : 6 con x + y + z = 390

d) �xy

� = �23

� con x + y = 1015

5

In base alle informazioni date imposta le relative proporzioni senza risolverle.

a) Calcola il valore di x in una proporzione in cui il medio proporzionale sia 56 eil terzo proporzionale 112.

b) Calcola il valore del terzo proporzionale dopo la seguente coppia di numeri: e �65

� .

c) Calcola il medio proporzionale tra i numeri: 2,7 e 10,8.

Senza effettuare calcoli, leggi il testo del problema e contrassegna le risposte esatte:

Determina il valore dei numeri x e y sapendo che il loro rapporto è �58

� e la loro somma è 195.

a) La proporzione risolutiva di questo problema è:

8 : 5 = x : y 195 : 5 = 8 : x 5 : 8 = x : y 5 : x = 195 : y

b) La proprietà delle proporzioni da applicare per risolvere il problema è:

scomporre permutare invertire comporre

c) Il risultato di questo problema è:

x = y x > y x < y x = 195

Risolvi i seguenti problemi applicando le proporzioni e le loro proprietà:

a) Determina due numeri sapendo che la loro differenza è 165 e il loro rapporto è �172�.

b) Un ciclista in due tappe ha percorso 396 km. Sapendo che il rapporto tra le lunghezze delle due tappe

è �65

�, calcola i km percorsi in ciascuna tappa.

c) I lati di un triangolo scaleno stanno tra loro come i numeri 3, 4, 5; determina la misura della lunghezzadi ciascuno di essi, sapendo che il perimetro è 102 m.

d) In un rettangolo il rapporto tra la base e l’altezza è �171�. Calcola le misure delle due dimensioni, sapen-

do che l’area è 520,52 cm2.

8

7

3�10

6

✪

✪

✪ ✪

✪




Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Proporzionalità diretta e inversa


Indica con una crocetta le risposte esatte (puoi indicare più di una risposta). 1

a) La scrittura y = kx indica che:

i valori di x dipendono da quelli di y ma sonocostanti;

i valori di x e di y non hanno alcun legame;

i valori di y dipendono dai valori assegnati a x;

le grandezze x e y sono direttamente proporzio-nali.

b) La scrittura x · y = k indica che:

il prodotto tra i valori corrispondenti di duegrandezze x e y è costante;

il rapporto tra i valori di due grandezze x e y ècostante;

le due grandezze x e y sono costanti;

le due grandezze x e y sono inversamente pro-porzionali.

c) La scrittura y = �kx

� indica che:

le due grandezze x e y vanno divise;

le due grandezze x e y sono inversamente pro-porzionali;

le due grandezze x e y sono direttamente pro-porzionali;

il rapporto tra i valori di y e i corrispondentivalori di x è costante.

d) La scrittura �yx

� = k indica che:

le due grandezze x e y sono costanti;

le due grandezze x e y sono direttamente pro-porzionali;

le due grandezze x e y sono inversamente pro-

porzionali;

il rapporto tra i valori di y e i corrispondentivalori di x è costante.

Completa la seguente tabella inserendo i termini o le frasi corrette scelte tra quelle assegnate (non tuttii termini verranno utilizzati):

caratteristica: se i valori della prima grandezza aumentano o diminuiscono, anche quelli della secondaaumentano o diminuiscono; se i valori della prima grandezza raddoppiano o dimezzano, anche quelli cor-rispondenti della seconda raddoppiano o dimezzano; se i valori della prima grandezza raddoppiano o tri-plicano, quelli corrispondenti della seconda dimezzano o diventano un terzo;

legge: y � k � k; y � k � x; �yx

� � k; y � k � x; y � k � x; y � �kx

�;

costante: rapporto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima �k � �xy

��; somma

tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k � y � x); prodotto tra i valoridella seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k � y � x);

grafico: linea spezzata; semiretta; ramo di curva; ramo di iperbole equilatera; semiretta uscente dall’origi-ne.

proporzionalità diretta proporzionalità inversa

............................................................................ .......................................................................

caratteristica ............................................................................ .......................................................................

............................................................................ .......................................................................

legge ............................................................................ .......................................................................

costante ............................................................................ .......................................................................

............................................................................ .......................................................................

grafico ............................................................................ .......................................................................

2

96

SAPER FARE

Individua la proporzionalità esistente tra le grandezze x e y delle tabelle assegnate e scrivi la funzioneche le lega.

a) …………………………………………………………...

y = ……………………………………………………….

b) …………………………………………………………...

y = ……………………………………………………….

Applica le funzioni date e completa le tabelle:

a) y = x + 3

b) y = �23

� x � 2

c) y = �3x

�

Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni ed effettua le considerazioni sul tipo di funzione.

y � x � 4; y � 3x; y � �3x0� .

Osserva i seguenti grafici e completa le tabelle:6

5

4

3

x 3 9 15 �15

� �32

�

y 10 30 50 �23

� 5

x �23

� 1 2 4 16

y 24 16 8 4 1

x 0 2 4 7

y

x 3 6 9 12

y

x 1 �32

� 3 �158� 5

y

6

5

4

3

2

1

y

0 1 2 3 4x

•

•

•

•

•

x 0

y

6

5

4

3

2

1

y

10 2 3 4 5x

•

•

•

•

••

x 0

y

a) b)




Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Applicazioni della proporzionalità



percentuale, cambiale, problemi del tre semplice diretto, areogramma circolare, sconto, montante,problemi del tre semplice, settore circolare, problemi di ripartizione semplice inversa, interesse,problemi del tre semplice inverso, capitale, problemi di ripartizione semplice diretta.


Denaro che viene prestato, investito o depositato in banca.

Problemi relativi a due grandezze proporzionali di cuisono noti tre valori e se ne deve calcolare un quarto.

Grafico usato per rappresentare dati espressi in percentuale.

Numero che indica quante unità rispetto a cento soddisfanouna certa condizione.

Problemi relativi a due grandezze inversamente proporzionalidi cui si sono noti tre valori e se ne deve calcolare un quarto.

Importo ottenuto sommando al capitale iniziale l’interesse maturato.

Compenso che spetta a chi presta a un’altra personao deposita in banca una somma di denaro.

Problemi in cui si deve dividere una grandezza in partidirettamente proporzionali a un dato gruppo di numeri.

Indica con una crocetta le risposte esatte:

a) La proporzione per calcolare le percentuali è (con r = tasso; P = parte; N = intero):

P : r = 100 : N 100 : P = r : N P : N = r : 100 r : 100 = N : P

b) La formula per calcolare l’interesse (I) maturato in alcuni mesi (m) su un capitale (C) è:

I = �C · 1

m00 · r� I = �

C1·2r0·0m

� I = �12

C00

··rm

� I = �C

r··12

m00

�

c) La formula per calcolare il tempo (t) necessario perché un capitale (C), impiegato a un tasso percen-tuale (r), produca un interesse (I) è:

t = �r

I··1C00� t = �

C ·I100� t = �

I ·1r00

· C� t = �

IC· 1

·0r0

�

d) La formula per calcolare il tasso percentuale (r) cui viene impiegato un capitale (C) per un tempo (t) eche matura un interesse (I) è:

r = �I � C �

1t0(a0nni)

� r = �C �

I �

t(1a0n0ni)

� r = �I �

10t(0an

�

nCi)

� r = �C�

1t0(0an

�

nIi)

�

SAPER FARE

Esegui i calcoli richiesti:

a) Esprimi in percentuale i seguenti rapporti (se è necessario arrotonda al centesimo):

30 su 50 = ………% 80 su 400 = ………% 19 su 92 = …………% 13 su 260 = ………%

b) Calcola la parte percentuale:

50% di 130 = ………… 0,3% di 200 = ………… 37% di 600 = ………… 0,08% di 1000 = …………

c) Calcola la parte intera:

34 è il 50% di ………… 8 è il 16% di ………… 0,2 è il 5% di ………… 378 è il 20% di …………

3

2

1



98

Completa la seguente tabella (il capitale e l’interesse sono in euro):

Completa la seguente tabella (i prezzi sono in euro):

Risolvi i seguenti problemi utilizzando il procedimento adeguato:

a) Sapendo che 30 cm di filo di rame (Cu) pesano 21 g, quanti m è lungo un rotolo dello stesso filo di rameche pesa 23,87 kg?

b) Un’automobile percorre un certo tragitto in 15 ore tenendo una velocità media di 64 km/h. Quantotempo impiegherà per percorrere la strada di ritorno ad una velocità di 80 km/h?

c) Una persona riceve un’eredità: ne versa in banca il 25% e con il denaro rimanente, cioè 73125 €, acquista un appartamento. Calcola:

— l’ammontare dell’intera eredità;— il montante che ritirerà dalla banca dopo 10 mesi se il tasso di interesse corrisponde al 12%.

d) Calcola le ampiezze degli angoli interni di un pentagono sapendo che sono direttamente proporzio-nali ai numeri 12, 18, 14, 21, 35. Stabilisci se il pentagono è concavo o convesso, motivando la tua rispo-sta.

6

5

4

capitaleC

prezzo sconto prezzocalcolointero % pagato

60 48

30% 7

50 12,8%

692 8%

3 200 2 816

30% 35

calcolointeresseI

tempo

anni mesi giornit m g

tassodi interesse

r

5 000

300

1 300

180

5%

12%

3,5%

— 3 —

— 9 —

1 4 15

2 2 15

100

225

24,75

7,35

Rappresenta con degli areogrammi circolari le seguenti percentuali relative alla composizione di alcunialimenti:

7

alimenti H2O proteine lipidi carboidrati

pane 30% 10% — 60%

salame 50% 15% 34,5% 0,5%

carne di pollo 78% 20% 1,5% 0,5%

✪

✪



Contrassegna con una crocetta le risposte esatte (a volte possono essere più di una)

a) per calcolare la media in una indagine statistica occorre:

individuare il valore che si ripete più volte

dividere a metà il totale valore dei valori ottenuti con l’indagine

dividere la somma dei valori ottenuti per il loro numero

dividere il numero dei valori ottenuti per la loro somma.

b) data la seguente serie di dati: 7,5; 7,5; 8; 8,5; 9; 10; 10,5; 11; 11:

la moda è 8,5

la mediana è 8,5

i valori 7,5 e 11 hanno frequenza assoluta 2

i valori 8 e 10,5 hanno la stessa frequenza della moda.

c) in una distribuzione plurimodale:

ci sono più valori che hanno frequenza massima

non esiste un valore con frequenza

la moda non è significativa

la moda è molto significativa.

d) nella serie di dati: 1; 2; 3; 4; 4; 10; 18, la media è 6, la moda e la mediana sono 4, quindi:

la media è molto significativa perché il valore non è presente come dato

la media non è molto significativa perché i dati sono dispersi verso il basso

la moda è 4 perché è uguale alla mediana

la mediana è 4 perché 4 è il valore che si trova in posizione centrale.

e) se si vuole calcolare l’età media dei malati di morbillo di un città è meglio utilizzare la mediana perché:

l’età dei malati di morbillo è concentrata verso valori alti

il morbillo è una malattia che si manifesta soprattutto nei bambini

la moda non si può determinare in una popolazione di malati

l’età dei malati di morbillo è concentrata verso valori bassi.

f) in una indagine statistica un campione:

deve essere scelto con criteri soggettivi da chi effettua l’indagine

deve essere rappresentativo dell’intera popolazione

può essere usato solo per indagini di mercato

è più rappresentativo se è di grandi dimensioni.

g) un evento si definisce probabile quando:

è certo che avverrà

non si può dire con certezza se accadrà

1

Dati e previsioni

100

è possibile che si verifichi

è impossibile che avvenga.

h) la probabilità che si verifichi un evento si esprime con:

una frazione maggiore di uno

un numero maggiore o uguale a zero e minore o uguale a uno

una percentuale

un numero minore di zero.

i) hai in tasca 5 gettoni perfettamente identici per forma e grandezza, due rossi e tre gialli, la probabilità diestrarre a caso un gettone giallo è:

0,6 �32

� �35

� �23

�.

l) supponi di lanciare due dadi le cui facce sono numerate da 1 a 6 e di sommare i numeri ottenuti; quali eventisi possono verificare?

la somma è uno

la somma è 15

la somma è un numero pari maggiore di 14

la somma è un numero dispari minore di 11.

Completa le frasi:

a) La media aritmetica è il rapporto tra .........................................................................................................................

b) Il dato che si presenta con maggiore frequenza è .................................................................................. .

c) L’inferenza statistica permette di ......................................................................................................... risultati otte-nuti mediante campione.

d) Nel calcolo della probabilità un evento può essere .............................. o ............................................. o ...........

..............................

e) La probabilità matematica di un evento casuale è il rapporto tra. ...........................................................................

............................................................................................................................................................................................

SAPER FARE

Completa la tabella calcolando i valori medi statistici richiesti:

dati media moda mediana

5, 5, 8, 10

4, 5, 8, 9, 9

1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 8

7, 10, 6, 10, 3, 9, 11

4, 3, 12, 6, 8, 1, 7, 3

Completa la tabella scrivendo in ogni riga 5 numeri interi che rispondano alla richiesta.

– la media sia 3

– la mediana sia 5

– la moda sia 4

– la moda e la mediana sia 6

– la media e la mediana siano 9

– la media, la moda e la mediana siano 9

4

3

2



101

Durante un controllo medico in una prima media sono stati raccolti i seguenti dati relativi al peso deglialunni in kg:

Ada 30, Matteo 42, Emanuela 59, Francesca 36, Ugo 42, Giovanni 40, Marina 40, Silvia 42, Fabrizio 36,Alberto 33, Simone 45, Andrea 30, Daniele 56, Alessandra 42, Michele 50, Marco 40, Luca 30, Angelo 42,Lorenzo 45, Sara 30, Giada 36, Roberta 42.

Calcola la media, la moda e la mediana, dopo aver ordinato in modo crescente i dati.

Specifica in quale delle seguenti situazioni è conveniente predisporre una indagine statistica per cam-pione e in quali invece è possibile effettuare un’indagine completa.

– Indagine sulle preferenze musicali dei tuoi compagni di classe ..................................................................– Indagine sui libri letti in un anno dai ragazzi minorenni del luogo in cui vivi ..........................................– Indagine sugli sport praticati dai tuoi insegnanti .........................................................................................– Indagine sulle date di nascita degli alunni di prima della scuola che frequenti ........................................– Indagine sui quotidiani letti nelle famiglie di una città ...............................................................................– Indagine sui luoghi di vacanza preferiti dagli italiani ..................................................................................– Indagine sul numero di figli delle famiglie del sud Europa .........................................................................– Indagine sul tipo di abitazione dei tuoi compagni di classe ........................................................................

Considera la situazione proposta e contrassegna le risposte esatte.

Ci sono due scatole che contengono cioccolatini aventi la stessa forma e la stessa grandezza: la prima con-tiene 7 cioccolatini al latte e 9 al liquore; la seconda 14 cioccolatini al latte e 18 al liquore. Se ti piaccio-no i cioccolatini i cioccolatini al latte da quale scatola ti conviene scegliere.

dalla prima dalla seconda è uguale

Dopo qualche giorno rimangono nella prima scatola 2 cioccolatini al latte e 5 al liquore e nella secondascatola 3 cioccolatini al latte e 7 al liquore.Da quale scatola ti conviene ora scegliere per avere una maggior probabilità di pescare un cioccolatinoal latte?

dalla prima dalla seconda è uguale

In un’urna ci sono trenta monete perfettamente identiche; quindici di esse sono contrassegnate con ilnumero 1, nove con il numero 2 e sei con il numero 3. Estraendo a caso una moneta che probabilità haidi estrarre:

a) una moneta con il numero 1?b) una moneta che non sia contrassegnata con il numero 1?c) una moneta con il numero 2 o con il numero 3?d) una moneta che non sia contrassegnata con il numero 3?

Risolvi il seguente problema.

È possibile che dai resti di un mazzo di carte la probabilità di estrarre una carta nera sia �59

� e quella di

estrarne una rossa sia �79

�? Motiva la risposta.

9

8

7

6

5

VERIFICA DI GEOMETRIA 102

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Le nozioni fondamentali della geometria. I segmenti


Completa la seguente tabella inserendo il nome dell‘elemento corrispondente a ciascuna delle defini-zioni date, scegliendolo tra quelli assegnati:piano, segmento, linea retta, segmento somma, semiretta, punto, linea, punto medio, asse, congruen-za diretta.

definizioni elementi cui si riferiscono le definizioni

Ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da uno dei suoi punti.

Ente geometrico privo di dimensioni che indica una posizione nello spazio.

Retta perpendicolare passante per il punto medio di un segmento.

Insieme infinito di punti che si estende in due dimensioni: larghezza e lunghezza.

Insieme infinito di punti che si estende in una sola dimensione: la lunghezza.

Movimento rigido effettuato sul piano che fa sovrapporre perfettamente due figure.

Parte di una retta compresa tra due punti detti estremi.

Linea più breve che passa per due punti.

Segmento che si ottiene riportando in modo consecutivo due o più segmenti dati su una retta.

Punto che divide in due parti congruenti un segmento.

Contrassegna le risposte esatte.

a) la scrittura P indica:□ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea

b) la scrittura m indica:□ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea

c) la scrittura L�M� indica:□ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea

d) la scrittura OA (dove O è l‘origine) indica:□ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea

e) la scrittura � indica:□ una semiretta □ un punto □ un segmento □ un piano □ una linea

Osserva la seguente figura e completa le richieste.

Individua e scrivi le coppie di:

segmenti consecutivi ............................................................................

................................................................................................................

segmenti adiacenti ...............................................................................

................................................................................................................

segmenti incidenti ................................................................................

................................................................................................................

segmenti sovrapposti ...........................................................................

................................................................................................................

3

2

1

E�F� e E�C�;

A E D

C

FB

G

103

Osserva la seguente illustrazione e correggi le affermazioni che ritieni errate:

A � � ………………………… H � � ……………..…………

F � � ………………………… H � r …………………………

P � r ………………………… r � � …………………………

t � � ………………………… L � � …………………………

SAPER FARE

Considera un segmento A�B� di 3 cm e disegna i seguenti segmenti:

C�D� = �13

� x A�B�; E�F� = 2 x A�B�; G�H� = C�D� + E�F�; I�L� = E�F� – 2 cm.

Disegna un piano �, una retta r e tre punti A, B, C in modo che siano rispettate le seguenti condizioni:

� � r = r ; A � � ; A � r ; B � � ; B � r ; C � � ; C � r .

La somma di due segmenti è 96 m e uno di essi è il triplo dell‘altro. Quanto misura ciascuno dei seg-menti?

Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma misura 48 cm e che la loro diffe-renza è 11 cm.

Un segmento è i �25

� di un altro segmento e la loro somma misura 98 dm. Calcola la lunghezza di ciascu-no di essi.

La somma di quattro segmenti è 60 m; due di questi quattro segmenti misurano 20 m e 16 m e la diffe-renza degli altri due è 4 m. Calcola le misure di questi ultimi segmenti.

Considera i dati di questo problema e, dopo averlo rappresentato graficamente, risolvilo:

A�B� = C�D� + 2 cm A�B� = ?

C�D� = E�F� + 2 cm C�D� = ?

A�B� + C�D� + E�F� = 57 cm E�F� = ?

11

10

9

8

7

6

5

4

AH L

SFB

P

t

r

�

✪

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Gli angoli


Completa la seguente tabella inserendo il nome dell‘elemento corrispondente a ciascuna delle defini-zioni date, scegliendolo tra quelli assegnati:grado, bisettrice, angoli adiacenti, angolo convesso, angoli supplementari, angolo acuto, semipiano,angoli opposti al vertice, angolo ottuso, angoli esplementari.


Ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da una retta giacente sul piano stesso.

Angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Angoli consecutivi aventi i lati non comuni appartenenti alla stessa retta.

Unità di misura dell‘ampiezza degli angoli.

Angoli la cui somma è un angolo piatto.

Angolo la cui ampiezza è maggiore di 90°.

Semiretta che ha origine nel vertice di un angolo e che lo divide in due parti congruenti.

Angolo la cui ampiezza è minore di 90°.

Angoli la cui somma è un angolo giro.

Angoli che hanno in comune il vertice e i cui lati sono semirette opposte.

Osserva la seguente figura e indica le parti richieste utilizzando il linguaggio geometrico:

il vertice dell‘angolo …………

i lati dell‘angolo…………………………

l‘angolo concavo ………………………………………...…………...

l‘angolo convesso ……………………………………………………

Osserva la seguente figura e completa le frasi utilizzando simboli e termini specifici scegliendoli tra quel-li assegnati:ottuso, acuto, piatto, consecutivi, supplementari, adiacenti, sovrapposti, esplementari.

IO^

L è un angolo …………......................

NO^

L è un angolo …………....................

IO^

N è un angolo …………...................………….....................

LO^

M e .................. sono angoli consecutivi

………….............................................. sono angoli adiacenti

MO^

N e MO^

L sono …………....................…………..........................................

IO^

M e LO^

M sono …………........................….……..........................................

NO^

L e …………............... sono angoli supplementari

MO^

N e MON sono ………….....................….……..........................................

3

2

1

O

D

C�

O

M

I

L

N

rr

^

105

O

B

C

A

O

B

D

C

Ar r

Quali delle seguenti misure angolari sono in forma normale? Contrassegnale con una crocetta e spiega il perchè.

a) 3° 77' b) 5° 3' 123'' c) 15° 88' 30'' d) 7° 3' 14''

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

SAPER FARE

Completa la seguente tabella, procedendo come nell‘esempio:

angolo angolo acuto angolo ottusoangolo angolo

complementare supplementare

A^ = 138°

B^ = 42° ✗

C^ = 75° 21'

D^ = 14° 39'

A^ + B^ = ...........

B^ + C^ = ........... ✗

C^ + D^ = ...........

D^ + B^ = ...........

A^ + D^ = ...........

Esegui le seguenti operazioni e scrivi i risultati in forma normale:

a) 29° 49' + 112° 35'' = ......................................................................................................................................

b) 51° 35' – 7° 18' 25'' = .....................................................................................................................................

c) (4° 17' 15'') x 7 = .....................................................................................................................................

d) (45° 7') : 4 = ....................................................................................................................................

Dopo aver osservato le figure e i dati, risolvi i seguenti problemi:

a) AO^B = 45° b) AOB = 210° 40' 33''

CO^D = 55° CO^B = 15°

DO^A = ? COA = ?

CO^B = ?

Determina le ampiezze di due angoli complementari sapendo che uno è la quarta parte dell‘altro.

Due rette si intersecano, formando quattro angoli. Sai che uno è ampio 40° 20'; quanto misurano glialtri tre?

Considera un angolo O^ di 97° 43' 22'' e determina la misura di ciascuno dei due angoli formati dallabisettrice di O^.

La somma di tre angoli misura 278°; sapendo che l‘ampiezza del secondo angolo è il doppio di quel-la del primo e che il terzo supera il secondo di 35° 30', determina le ampiezze dei tre angoli.

11

10

9

8

^

^7

6

5

4

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Rette nel piano


Contrassegna la risposta che ritieni esatta.

a) Due rette sono incidenti quando: b) Due rette sono perpendicolari quando:

formano quattro angoli retti; sono incidenti e formano quattro angoli retti;

non si incontrano mai; non si incontrano mai;

hanno in comune un solo punto. tutti i loro punti corrispondenti sono equidistanti.

c) Le rette r e s sono parallele. d) Le rette m e n sono perpendicolari. Come puoi scriverlo in simboli? Come puoi scriverlo in simboli?

r ∧ s; r // s; m // n; m + n;

r ⊥ s; r � s. m � n; m ⊥ n.

e) Date due rette a e b parallele tra loro, f) Due angoli alterni interni formati da rette vale la relazione: parallele tagliate da una trasversale sono:

a � b = { }; corrispondenti;

a � b = { P }; congruenti;

a � b = { }; adiacenti;

a � b = { P }; supplementari.

g) Due angoli coniugati esterni formati da rette h) La distanza di un punto da una retta è:parallele tagliate da una trasversale sono:

corrispondenti; il piede della perpendicolare;

congruenti; un segmento perpendicolare;

adiacenti; un segmento obliquo;

supplementari. un segmento parallelo.

Osserva il disegno e completa le frasi.

gli angoli:

a // b 1^ e 7^ sono alterni ...........................................................

4^ e 8^ sono ......................................................................

3^ e 7^ sono .......................................................................

4^ e 5^ sono .......................................................................

2^ e 7^ sono .......................................................................

5^ e 3^ sono .......................................................................

Scrivi tutte le coppie di angoli corrispondenti:

...............................................................................................................................................................................

Come sono tra di loro gli angoli corrispondenti di ogni coppia? .....................................................................

Scrivi tutte le coppie di angoli adiacenti:

...............................................................................................................................................................................

Gli angoli adiacenti di ogni coppia sono ...........................................; infatti la loro somma misura ................

2

1

1

b

a

2

4 3

5

8

6

7

107

SAPER FARE

Osserva la figura e stabilisci l’ampiezza degli angoli α^ e β^ (motiva la risposta):

α^ = ………………

β^ = ………………

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

Calcola l’ampiezza di ciascuno degli angoli numerati della figura:

2^ = 35°

1^ = ………… perché ………………………………………………………………………

6^ = ………… perché ………………………………………………………………………

8^ = ………… perché ………………………………………………………………………

4^ = ………… perché ………………………………………………………………………

5^ = ………… perché ………………………………………………………………………

7^ = ………… perché ………………………………………………………………………

3^ = ………… perché ………………………………………………………………………

In base ai dati forniti e alla figura, completa le richieste:

A�I� // G�H� B�D� // E�F� AB^C = 75°

FC^D = ……………… BC^G = ………………

DC^G = ……………… CFÊ = ………………

BC^G + BC^F = ……………… BC^F = ………………

HFÊ = ……………… CBÎ = ………………

Risolvi il seguente problema.Due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli corrispondenti di cui uno è ampio 32° 24′ e l’altro è �

13

� dell’angolo retto. Determina l’ampiezza di ciascuno degli altri angoli e stabilisci se ledue rette sono parallele.

6

5

4

3

12

43

5

8

6

7

α123°

β

75°

BI A

F H

ED

CG

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................


Contrassegna la risposta che ritieni esatta (possono essere più di una).

a) Un piano cartesiano è individuato da due rette:

parallele sovrapposte non perpendicolari perpendicolari

b) Gli assi cartesiani:

si chiamano asse delle ascisse e asse delle ordinate;

si intersecano in un punto che si chiama origine degli assi;

dividono il piano cartesiano in quattro quadranti;

sono quattro.

c) Il verso positivo degli assi cartesiani:

va dall’origine verso sinistra per l’asse delle x;

va dall’origine verso l’alto per l’asse delle y;

va dall’origine verso destra per l’asse delle x;

va dall’origine verso il basso per l’asse delle y.

d) Le coordinate cartesiane di un punto:

sono sempre zero; si chiamano ascissa e ordinata;

indicano la sua distanza dagli assi; sono sempre diverse da zero.

e) Se un punto appartiene all’asse delle x:

ha come ordinata 0; ha come coordinate 0; 2;

ha come ascissa 0; ha come ascissa 10.

Dato il punto P di coordinate (3; 6) stabilisci se le seguenti affermazioni, ad esso relative, sono vere o falso.

a) Il punto A � (6; 3) coincide con P

b) 6 è l’ascissa di P

c) 3 è l’ordinata di A

d) Il punto B � (1; 6) è allineato a P

e) Il punto M � (6; 8) è allineato a A

f) Il punto C � (3; 0) è allineato a P e appartiene all’asse delle x

g) Il punto D � (3; 8) è allineato a P e a M FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

2

1

Piano cartesiano

109

SAPER FARE

Determina le coordinate dei seguenti punti:

A …………………………

B …………………………

C …………………………

D …………………………

a) Scrivi le coordinate di un punto P allineato a A e con la stessa ascissa di D: P � (...........;...........)

a) Scrivi le coordinate di un punto M allineato a B e con la stessa ordinata di D: M � (...........;...........)

Riporta su un riferimento cartesiano i segmenti di cui ti sono date le coordinate; classifica poi le coppiedi segmenti nel modo richiesto.A��B�� : [A � (2; 8); B � (5; 8)] B�C� : [B � (5; 8); C � (12; 8)]D�E� : [D � (2; 1); E � (7; 6)] E�F� : [E � (7; 6); F � (15; 3)]I�L� : [I � (3; 4); L � (3; 11)]R�S� : [R � (4; 12); S � (15; 12)] T�U� : [T � (4; 12); U � (9; 12)]

A�B� e B�C� sono ............................................. perché ...............................................................................................

...............................................................................................................................................................................

D�E� e E�F�� sono ............................................. perché ...............................................................................................

...............................................................................................................................................................................

A�B� e I�L� sono ............................................. perché ...............................................................................................

...............................................................................................................................................................................

R�S� e T�U� sono ............................................. perché ...............................................................................................

...............................................................................................................................................................................

Individua in un piano cartesiano i seguenti punti:

I � (2; 4) L � (5; 1) M � (11; 3) N � (7; 8)

Congiungili in modo da ottenere:

a) una spezzata semplice aperta ...........................

b) una spezzata semplice chiusa ...........................

c) una spezzata intrecciata aperta ........................

Rappresenta su un piano cartesiano i punti:

P � (2,5; 0,5) Q � (6,5; 2,5) R � (3; 3,5) S � (3,5; 5,5) T � (1; 3,5)

• La spezzata chiusa che ottieni congiungendo i punti nell’ordine dato delimita un poligono concavo oconvesso? .....................

• Di quale vertice devi modificare le coordinate per cambiare tipo di poligono? .......................

Verifica la tua ipotesi disegnando il poligono sul piano cartesiano.

6

5

4

3

D

B

A0

C

u


✪

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Triangoli


Completa la seguente tabella scegliendo i nomi tra quelli assegnati (non tutti verranno utilizzati):ortocentro, triangolo scaleno, triangolo rettangolo, triangolo equiangolo, triangolo isoscele ottusango-lo, incentro, triangolo rettangolo scaleno, circocentro, triangolo acutangolo, baricentro, triangolo ottu-sangolo, triangolo equilatero.


Triangolo con un angolo maggiore di 90°.

Triangolo con i lati di misura diversa e con un angolo di 90°.

Triangolo avente due lati congruenti e un angolo maggiore di 90°.

Punto di incontro degli assi dei lati.

Triangolo avente i tre lati e i tre angoli congruenti.

Punto di incontro delle altezze.

Punto di incontro delle bisettrici degli angoli.

Triangolo con i lati di misura diversa.

Punto di incontro delle tre mediane.

Triangolo con un angolo retto.

Osserva la seguente figura ABC e indica gli elementi richiesti utilizzando il linguaggio geometrico:

i tre lati del triangolo: A�B�; .............................

i tre angoli interni: ............................

l‘altezza relativa al lato A�B�: ......................

l‘altezza relativa al lato C�B� : .....................

il lato opposto all‘angolo A^: ....................

l‘angolo opposto al lato A�C�: ....................

gli angoli adiacenti al lato A�B�: ..............................

Scrivi le condizioni di esistenza di un triangolo:

– rispetto ai lati: in un triangolo ogni lato deve essere ...................................................................................

..............................................................................................................................................................................

– rispetto agli angoli: la somma ........................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

Osserva la seguente figura ABC e indica gli elementi richiesti utilizzando il linguaggio geometrico:

l‘angolo retto: .........................

l‘ipotenusa: ........................

il cateto minore: .........................

il cateto maggiore: .........................

l'altezza relativa all‘ipotenusa: .........................

il lato opposto all‘angolo retto: ........................

gli angoli adiacenti al lato A�B�: ........................

4

3

2

1

A B

C

K

H

A B

C

H

111

SAPER FARE

Stabilisci con quali delle seguenti terne è possibile costruire un triangolo:

a = 1,5 cmb = 2,3 cm perché ……………………………………………………………………………c = 4,2 cm

a = 56 cmb = 4,8 dm perché ……………………………………………………………………………c = 37 cm

Completa la seguente tabella relativa alle ampiezze degli angoli interni di alcuni triangoli e classificali(procedi come nell‘esempio):

angolitipo di triangolo

A^ B^ C^

45° 90° ............

........... 132° 35°

78° ........... 44°

............ 108° 36°

59° 31° ............

........... 52° 65°

A^= C^ B^= A^ C^= B^

Esegui le seguenti richieste:

a) disegna un triangolo isoscele ottusangolo, traccia le tre mediane e individua il baricentro;

b) disegna un triangolo scaleno acutangolo, traccia le tre altezze e individua l‘ortocentro.

Risolvi i problemi dopo aver effettuato un disegno rispondente ai dati.

Considera un triangolo rettangolo isoscele avente l‘ipotenusa che misura 45,25 dm e il perimetro di109,25 dm. Calcola l‘ampiezza degli angoli acuti e le lunghezze dei cateti.

Nel triangolo isoscele ABC l‘angolo al vertice è ampio 38°, la base misura 18,24 cm e il perimetro è di74,24 cm. Determina l‘ampiezza degli angoli alla base e le misure dei lati obliqui.

Un triangolo ottusangolo avente l’angolo C^ di 25° è diviso dall’altezza A�H�, uscente dall’angolo ottuso, indue triangoli. Sapendo che l’angolo BA H misura 40°, calcola le ampiezze degli angoli interni dei due trian-goli in cui viene diviso il triangolo ABC e l’ampiezza dell’angolo ottuso del triangolo.

In base all‘illustrazione e ai dati forniti, risolvi il problema:

A = 90° C = ?

B = 23° A�B� = ?

2p(ABC) = 60 m B�C� = ?

A�B� = C�A� + 14 m C�A� = ?

B�C� = A�B� + 2 m

11

10

9

8

7

6

NOSI

NOSI

5

45° isoscele rettangolo

✪

A B

C

✪


112

I seguenti dati sono sufficienti per stabilire che i due triangoli sono congruenti? Giustifica la risposta:

A�C� = A�′�C�′� perché

B^ = B^ ′ …………………………………………………………………………………………...……………………

C^ = C^ ′ …………………………………………………………………………………………...……………………

A�C� = A�′�C�′� perché

C�B� = C�′�B�′� ………………………………………………………………………………………………………………..

A^ = A^ ′ ………………………………………………………………………………………………..………………

A^ = A^ ′ perché

B^ = B^ ′ ……………………………………………………………………………………………………….………

C^ = C^ ′ ……………………………………………………………………………………………….………………

NOSI

A B

Cc)+

A′ B′

C′+

� �

NOSI

A B

Cb)

A′ B′

C′

NOSI

A B

Ca)+

A′ B′

C′+

12✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Quadrilateri


Barra le risposte esatte (possono essere più di una).

a) L‘insieme dei trapezi: b) In un trapezio isoscele:

contiene l‘insieme dei quadrilateri; gli angoli adiacenti ad ogni base sono congruenti;

contiene l‘insieme dei parallelogrammi; i quattro lati sono di uguale lunghezza;

contiene quadrilateri con una coppia di gli angoli adiacenti a ogni lato obliquo sonolati paralleli; supplementari;

contiene figure con i lati non paralleli. la somma degli angoli interni è 180°.

c) In un trapezio rettangolo: d) L‘insieme dei parallelogrammi:

l‘altezza è perpendicolare a un contiene l‘insieme dei trapezi; lato obliquo;

l‘altezza è conguente a un lato;contiene l‘insieme dei quadrilateri;

sono presenti due angoli retti;è costituito da quadrilateri con due coppie di lati paralleli;

sono presenti tre angoli retti. è incluso nell‘insieme dei trapezi.

e) In un parallelogramma: f) In un rettangolo:

le diagonali sono congruenti; le diagonali sono perpendicolari;

gli angoli opposti sono supplementari; le diagonali sono congruenti;

i lati opposti sono paralleli e congruenti ci sono due coppie di angoli retti;

a coppie;

le altezze relative alle basi sono congruenti i lati consecutivi non sono perpendicolari.alle diagonali.

g) In un rombo: h) Il quadrato è un parallelogramma avente:

le diagonali sono perpendicolari una coppia di angoli retti;e congruenti;

le diagonali sono perpendicolari le diagonali perpendicolari e congruenti;e di diversa lunghezza;

le diagonali sono perpendicolari le caratteristiche dei rettangoli e dei rombi;e bisettrici degli angoli interni;

le diagonali formano quattro triangoli la somma degli angoli interni minore dellarettangoli scaleni congruenti. somma degli angoli esterni.

i) La formula per determinare il perimetro l) La formula per determinare la base di un rettangolodi un quadrato o di un rombo è: conoscendo il perimetro e l‘altezza è:

2p = b + h; b = 2p – h;

2p = l x 4; b = 2p : 4;

2p = b x h; b = (2p : 2) – h;

2p = (b + h) x 2. b = 2p : h.

1

114

A B

CD

34°

26°

O

114

Osserva le figure ABCD e indica le relazioni o gli elementi richiesti utilizzando il linguaggio geometrico:

Le basi sono parallele .....................................

i lati obliqui non sono congruenti.....................................

le diagonali sono di diversa lunghezza .....................................

le altezze sono congruenti .....................................

gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari ............

.....................................................................................................................

ABCD è un ..................................................................................................

i lati opposti sono congruenti e paralleli ................................................

le basi sono perpendicolari alle altezze ..................................................

le diagonali sono congruenti .............................................

i quattro angoli interni sono retti ..............................................

ABCD è un ..........................................................

i quattro lati sono congruenti .......................................

le diagonali sono perpendicolari ........................................

le diagonali sono bisettrici degli angoli interni ......................................

.....................................................................................................................

gli angoli opposti sono congruenti ...................................

gli angoli adiacenti al lato B�C� sono supplementari ................................

ABCD è un ........................................

SAPER FARE

Stabilisci se è possibile costruire un quadrilatero ABCD avente i lati delle seguenti lunghezze (espressein cm):

A�B� B�C� C�D� D�A�

10 14 21 52

47 82 107 34

204 183 503 108

53 46 126 27

Osserva le seguenti figure e, in base ai dati forniti, calcola le ampiezze degli angoli richiesti:

a) HC^D � CH^B = 90° A�B� // C�D�

BC^H = ? B�C� // A�D�

C^= ?

A^= ?

b) A�B� // C�D� A^= ? D^= ?

BD^C = ? AC^D = ?

AO^B = ? AO^D = ?

AD^B = ? AC^B = ?

4

NOSI

NOSI

NOSI

NOSI

3

2

A B

CDa)

HK

A

B

C

Dc)

O

A B

CDb)

A B

CD

H42°

✪


A�B� // D�C�

115

Risolvi i seguenti problemi dopo aver effettuato un disegno rispondente al testo:

In un trapezio isoscele la base minore misura 16 dm; sapendo che ciascun lato obliquo è il doppio dellabase minore e che la base maggiore è il doppio di ciascun lato obliquo, calcola il perimetro.

Un parallelogramma ha il semiperimetro di 162 dm e la base è il doppio del lato obliquo; calcola la misu-ra della base e quella del lato di un quadrato isoperimetrico al parallelogramma.

Scrivi il testo del problema seguente:

A�M� = M�C� = C�D� = D�A� = 5 m

M�B� = C�M�

C�B� = 7,07 m

2p(MBC) = ?

2p(ABCD) = ?

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

Un parallelogramma e un trapezio isoscele sono isoperimetrici. Uno dei lati consecutivi del parallelo-

gramma è lungo 12 cm e l’altro è i suoi �34

�. La differenza delle basi del trapezio è di 10 cm e una è i �177�

dell’altra. Calcola le misure dei lati obliqui del trapezio.

Un triangolo isoscele ed un trapezio scaleno isoperimetrici hanno il perimetro di 110 dm. La base del

triangolo è i �34

� di ciascun lato obliquo, un lato obliquo del trapezio misura 26 dm e la somma delle basi

è uguale al lato obliquo del triangolo. Calcola la misura dell’altro lato obliquo del trapezio.

9

8

7

6

5

A B

CD

M45°

45°

✪

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Triangoli e quadrilateri nel piano cartesiano

SAPER FARE

Rappresenta su un piano cartesiano le seguenti terne di punti e classifica, rispetto ai lati e agli angoli, i triangoli che ottieni congiungendo i punti di ogni terna:

a) A � (6; 0) B � (5; 6) C � (2; 2)

b) E � (8; 5) F � (8; 10) G � (3; 10)

c) L � (0; 1) M � (5; 11) N � (0; 8)

Dati i seguenti punti sul piano cartesiano:

A � (2,3) B � (6,3)

— individua le coordinate di un terzo punto C in modo da formare un triangolo rettangolo avente uncateto doppio del cateto A�B�;

— modifica poi le coordinate di C per ottenere un triangolo isoscele avente l’altezza uguale alla base.

— Dato il punto D � (12, 12), individua un triangolo DEF congruente al triangolo isoscele ABC prece-dentemente disegnato.

Disegna su un piano cartesiano i quadrilateri di cui ti sono dare le coordinate dei vertici; dopo averli rico-nosciuti, descrivi le loro caratteristiche rispetto ai lati e agli angoli:

a) L � (9; 0) M � (9; 4) N � (0; 4) O � (0; 0)

b) A � (4; 3) B � (7; 8) C � (4; 13) D � (1; 8)

c) P � (2; 6) Q � (8; 6) R � (8; 12) S � (2; 12)

Riporta le coordinate dei seguenti punti su un piano cartesiano:

A � (4; 9) B � (4; 4) C � (11; 4) D � (11; 16).

Congiungi nell’ordine i punti dati. Che figura ottieni? ....................................................................................

— Modifica la posizione del punto A in modo da ottenere un trapezio avente le basi in posizione oriz-zontale.

— Rispetto alla figura di partenza come dovresti posizionare il punto D per ottenere un quadrilateroequiangolo? Che quadrilatero otterresti?

— Sarebbe possibile spostando un solo punto (rispetto alla figura iniziale) ottenere un quadrilatero equi-latero?

4

3

2

1


✪

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Equiestensione ed area dei poligoni


Contrassegna le risposte esatte (possono essere più di una).

a) La formula A = b x h serve b) La formula A = �(b1 + b

22) x h� serve per calcolare

per calcolare l‘area di: l‘area di:

un triangolo; un triangolo;

un rettangolo; un rettangolo;

un parallelogramma; un rombo;

un trapezio. un trapezio.

c) La formula A = �b

2x h� serve per calcolare d) La formula A = �

c1 x2

c2� serve per calcolarel‘area di: l‘area di:

un triangolo; un rettangolo;

un rettangolo; un trapezio rettangolo;

un parallelogramma; un triangolo rettangolo;

un trapezio. un parallelogramma.

e) La formula di Erone serve per calcolare f) L‘altezza di un parallelogramma si calcola l‘area di un triangolo conoscendo: con la formula:

le misure dei lati; h = �b

Ax 2�;

le misure dei cateti; h = �A

bx 2�;

la misura del perimetro; h = �Ab

�;

le misure di base e altezza. h = A : b.

g) La formula b = �Ah

� serve per calcolare h) La formula d1 = serve per calcolare una la base di: diagonale di:

un trapezio; un quadrato;

un rettangolo; un rombo;

un parallelogramma; un trapezio;

un rombo. un triangolo.

Tra le seguenti formule contrassegna:

a) quelle relative a un quadrato:

d = �A� x� 2� A = l = 2p : 4 A = l2

b) quelle relative a un rombo:

2p = l x 4 A = A = A = b x h

c) quelle relative a un trapezio:

h = h = l = 2p : 4 (b1 + b2) =

d) quelle per calcolare le dimensioni di un rettangolo:

b = h = �Ab

� b = 2p : h b = �Ah

�A x 2�

h

A x 2�

hA x 2�b1 x b2

A x 2�

b

d1 x d2�2

b x h�

2

d1 x d2�2

2

A x 2�

d2

1

118

A B

CD

A B

C

H

A B

CD

Scrivi le formule che utilizzeresti per calcolare:

a) l‘area di un quadrato A = ............................ A = ............................

b) l‘area di un triangolo A = ............................ A = ............................

c) l‘area di un parallelogramma A = ............................

Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (le risposte esatte possono essere più di una).

a) Due figure sono sicuramente equiestese se:

hanno lo stesso perimetro;

hanno la stessa estensione nel piano;

hanno la stessa forma, ma non la stessa superficie;

hanno la stessa superficie, ma non la stessa forma.

b) Due figure sono sicuramente equicomposte se:

hanno la stessa forma;

hanno lo stesso perimetro;

sono costituite da parti ordinatamente congruenti;

sono costituite da parti equivalenti.

c) Due figure congruenti:

hanno la stessa forma, ma non necessariamente la stessa superficie;

sono sicuramente equiestese;

sono sicuramente isoperimetriche;

sono sempre poligoni regolari.

d) Due triangoli aventi la stessa base e la stessa altezza:

sono sicuramente congruenti;

sono sicuramente equivalenti;

sono sicuramente isoperimetrici;

non sono equivalenti.

SAPER FARE

Completa le seguenti tabelle in cui i dati sono espressi in cm:5

4

3

A�B� B�C� 2p (ABCD) A(ABCD)

44 36

32 148

24 288

✪ A�B� A�C� 2p(ABCD) A(ABCD)

205,6

67,24

19,8

A�B� C�H� A(ABCD

18 81

�13

� x C�H� 27

15 337,5


119

A B

CD

H

A

B

C

D

Osserva le illustrazioni, in base ai dati forniti risolvi i problemi e scrivi poi il testo di ciascuno di essi:

a) A�C� = 30 m A�B� � B�C� � C�D� � A�D�

D�B� = 51 m A�B� // C�D� B�C� // A�D�

A(ABCD) = ?

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

b) A�B� // C�D� C�D� = ?

A�B� = 52 cm

D�H� = �1123� x A�B�

A(ABCD) = 2112 cm2

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

Risolvi i seguenti problemi dopo aver effettuato un disegno corrispondente ai dati:

Un quadrato avente il lato di 30,8 dm è isoperimetrico a un rettangolo alto 15,6 dm; calcola il perimetroe le aree delle due figure.

Considera un rombo la cui diagonale minore è �89

� della maggiore e l‘area di 1296 m2. Calcola la misura diciascuna diagonale.

Un parallelogramma e un triangolo rettangolo sono equivalenti. Sapendo che l‘ipotenusa misura 25 cm

e che i due cateti sono rispettivamente i �35

� e i �45

� dell‘ipotenusa, calcola l‘area. Determina, inoltre, la base

del parallelogramma sapendo che la sua altezza è la metà dell‘altezza relativa all‘ipotenusa.

Risolvi il problema utilizzando i dati indicati:

A�D� // B�C� A�B� // C�C�′� A(C′CD) = ?

A�D� = 36 cm A�B� = 30 cm A(ABCD) = ?

B�C� = 8 cm C�D� = 26 cm C�H� = ?

Utilizzando l’unità di misura di 1 cm individua su un piano cartesiano i punti A � (2; 2), B � (13; 2), C � (15; 6), D � (9; 4), E � (4; 6). Congiungi i punti nell’ordine dato e determina l’area del poligono otte-nuto.

11

A

B C

DC′ H

10

9

8

7

6

✪

✪

✪


hd2

b2

h

b

d

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Teorema di Pitagora


Considera le seguenti affermazioni; alcune sono vere, altre sono false; contrassegna la casella con larisposta esatta.

Il teorema di Pitagora vale per tutti i triangoli

Il teorema di Pitagora vale solo per i triangoli rettangoli

La formula per calcolare l‘ipotenusa è : i = �c2�2�–� c�12�

La diagonale di un rettangolo lo divide in due triangoli rettangoli congruenti

Un rombo viene diviso dalle due diagonali in tre triangoli congruenti

Completa l’enunciato del teorema di Pitagora:

In un ……………………………………… il quadrato costruito sull’………………………… è ……………………

alla ……………………………… dei quadrati costruiti sui ………………………

Indica se le seguenti applicazioni del teorema di Pitagora sono vere o false, scrivendo V (vero) o F (falso)in ogni casella.

3

2

FV

FV

FV

FV

FV

1

c1

hi

c2

l1 l2

i

b2

lh

b2 – b1

d1h

b1

d

m

h

l d1

2

d22

lh

b2 – b1

2

d

I

h = �d�2�–�b�2�d2 = b2 + h2

b2 = �d�22� –� h�2�

h = �d�2�–� b�2�

m2 = d2 – h2

d = �h�2�–� m�2�

i = �c1�2�+� c�22�

hi = �c2�2�+� l�22�

l1 = �c1�2�–�h�i2�

b2 – b1 = �l2� +� h�2�h = �d�1

2� –� b�12�

l = �h�2�–�(b�2�–� b�1)�2�

h = �l2� +� ��b�2�–

2�b�1��2��b2

2– b1� = �l2� –� h�2�

l = ��d2�1��2�+� ��

d2�2��2�

�d2

2� = ��d2�1��2�–� l�2�

I = d x �2�d = I x �2�

a) rettangolo

b) trapezio rettangolo

c) trapezio isoscele

d) rombo h) quadrato

g) trapezio isoscele

f) trapezio rettangolo

e) triangolo rettangolo

121

C

B

D

A H

C

B

O

D

A

SAPER FARE

Completa le seguenti terne pitagoriche:

...........; 24; 25 32; ...........; 68 42; 56; ............ 96; ...........; 104

Completa la tabella utilizzando i dati assegnati:5

4

C

A B

C

BH

D

A K

A�C� = 18 cm A�O� =

B�D� = 24 cm B�O� =

A�B� =

A�B� = 25 cm B�O� =

B�D� = 40 cm A�O� =

A�C� =

A�B� = 25 cm B�H� =C�D� = 7 cm

C�H� = 12 cm B�C� =

A�B� = 22 cm B�H� =C�D� = 6 cm

B�C� = 10 cm C�H� =

A�B� = 3 cm B�C� =

B�C� = 10,1808 dm A�B� =

B�C� = 7 x �2� cm A�B� =

figura dati calcolo delle misure richieste

a)

b)

c)

Con a, b e c sono indicate le misure, in cm, dei lati di un triangolo; stabilisci ogni volta se è rettangolo,ottusangolo oppure acutangolo:

a = 48 b = 90 c = 102 ………………………………………………………………………

a = 16 b = 30 c = 38 ………………………………………………………………………

a = 40 b = 44 c = 58 ………………………………………………………………………


Considera un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 32 cm e 60 cm; determina il perimetro, l‘area el‘altezza relativa all‘ipotenusa.

La diagonale di un rettangolo, avente le dimensioni di 4 m e 4,2 m, può misurare 6 m? Motiva la risposta.

La diagonale minore di un rombo è i �152� della maggiore e la loro somma è 23,8 dm; calcola perimetro e

area del rombo.

A�D� � C�B� 2p(ABC) = ?

A�B� // D�C� A(ABC) = ?

A�C� ⊥ C�B� 2p(ABCD) = ?

A�C� = 12 m A(ABCD) = ?

A�B� = 15 m

10

9

8

7

6✪

✪

rombo

trapezio isoscele



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

La similitudine e i teoremi di Euclide


Contrassegna le risposte che ritieni esatte:

a) Le tre condizioni che si devono verificare contemporaneamente perché due figure si possano definiresimili sono:

tutti i punti della prima figura devono essere in corrispondenza biunivoca con quelli della figura simile;

le ampiezze degli angoli corrispondenti delle due figure simili devono essere in proporzione;

le ampiezze degli angoli corrispondenti delle figure simili sono uguali;

il rapporto tra i lati corrispondenti delle due figure non è costante;

il rapporto tra i lati corrispondenti delle due figure è costante.

b) Due triangoli si dicono simili quando hanno:

gli angoli ordinatamente in proporzione;

tutte le coppie di lati corrispondenti in proporzione;

due coppie di lati in proporzione e congruenti gli angoli compresi tra questi lati;

due angoli e due lati corrispondenti in proporzione;

gli angoli ordinatamente congruenti.

c) Il rapporto di similitudine è uguale:

al rapporto tra lati corrispondenti;

al rapporto tra i perimetri;

al rapporto tra le ampiezze degli angoli;

al quadrato del rapporto tra le aree;

al rapporto tra le altezze corrispondenti.

d) I teoremi di Euclide mettono in relazione:

i cateti, il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo;

i tre lati di un triangolo rettangolo e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa;

i cateti e la retta parallela all’ipotenusa;

l’altezza relativa all’ipotenusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa;

i cateti, i loro punti medi e l’ipotenusa.

e) Il teorema di Talete:

serve per determinare i cateti di triangoli rettangoli simili;

afferma che le coppie di segmenti corrispondenti che si formano tra un fascio di rette parallele e

due trasversali sono in proporzione;

afferma che i raggi del Sole che giungono sulla Terra sono tutti paralleli;

afferma che i lati di due parallelogrammi sono sempre in proporzione;

serve per calcolare misure di oggetti molto alti (alberi, campanili, piloni...), sfruttando le ombreprodotte dal Sole.

Considera il triangolo rettangolo ABC retto in C e riconosci in esso gli elementi richiesti, come nel-l’esempio:

C�H� = altezza relativa all’potenusa ……………… = cateto minore

C�B� = ………………………………… A�B� = ………………………………

……… = proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa

A�H� = …………………………………………………………………………………

2

1

A

C

BH

123

Sempre riferendoti al triangolo ABC dell’esercizio precedente, riconosci e contrassegna le proporzioniche esprimono il I e il II teorema di Euclide:

A�C�� : A�B� = A�B� : C�B� A�H� : C�H� = C�H� : H�B� A�B� : C�H� = C�H� : A�C�

A�B� : A�C� = A�C� : A�H� A�H� : C�B� = C�B� : A�B� H�B� : B�C� = B�C� : A�B�

Completa inserendo Vero o Falso al posto dei puntini:

— Due triangoli isosceli sono sempre simili ……………

— Due triangoli isosceli rettangoli sono sempre simili ……………

— Due triangoli con il rapporto fra le aree uguale al rapporto fra i perimetri sono simili ……………

— Due triangoli isosceli con un angolo alla base uguale sono simili ……………

— Due triangoli simili hanno gli angoli in proporzione ..............................

— Due rettangoli con il rapporto fra le aree uguale al quadrato del rapporto fra le altezze sono simili

……………

— Due rombi con le diagonali proporzionali sono simili ……………

— Due figure piane che hanno gli angoli corrispondenti congruenti sono sempre simili …………...........…

— Due rettangoli simili hanno il rapporto fra le basi uguale al rapporto fra le altezze .............……………

— Due poligoni congruenti sono sempre simili ……………

— Due quadrilateri simili sono sempre congruenti ……………

— Due figure piane simili possono essere congruenti ……………

— Due figure congruenti non sempre sono simili ……………

— Due figure simili sono sempre equivalenti ……………

SAPER FARE

Riporta l’illustrazione sui due reticoli assegnati e rispondi alle domande.

Come sono tra loro le figure? ……………………………………………………

In che rapporto stanno le dimensioni di ciascuna delle figure disegnate rispetto a quella data?

……………………………………………………

5

4

IIIIIIIII

IIIIIIIII

3

1 cm

0,5 cm

0,2 cm


124

L M

N

3

4,5

O P

Q

1,8

2,7

25°25°

A B

C

80° 80°M N

O

20°

Date le seguenti coppie di triangoli, stabilisci se sono simili e giustifica la risposta specificando il criterio.

a) Considera gli angoli:

A^ = .................. B^ = .................. C^ = ..................

M^ = .................. N^ = .................. O^ = ..................

I triangoli ..................... simili per il ............. criterio

perchè ...............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................

b) Considera gli angoli:

P^ = .................. Q^ = .................. R^ = ..................

S^ = .................. T^ = .................. U^ = ...................

I triangoli ......................................................................

............................................................................................................................................................................

c) Calcola i rapporti tra lati corrispondenti

= .....................................

= ......................................

= ......................................

il rapporto è ................................................................;

i due triangoli .................................................................................................................................................

d) Considera gli angoli e i lati corrispondenti

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

.......................................................................................

i due triangoli ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................


Un rombo ha una diagonale che misura 13,2 cm e l’area di 116,16 cm2. Calcola la misura della lunghez-

za del perimetro di un rombo simile, sapendo che il rapporto di similitudine rispetto a quello dato è �34

�.

In un trapezio rettangolo la diagonale minore misura 22,5 dm ed è perpendicolare al lato obliquo.Sapendo che l‘altezza del trapezio misura 18 dm, calcola perimetro e area.

8

7

C�'�A�'��C�A�

B�'�C�'��B�C�

A�'�B�'��A�B�

6

✪

P Q

R

S

T

U

25°

65°

25°

A B

C

6 cm

9 cm

54,8 cm

7,2 cm

4

A' B'

C' cm cm


A

C

OB

D

O

B

A

C

O'O

A

B

c

c'

r

r'

O

Pt

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Circonferenza, cerchio e loro parti


Completa la seguente tabella scegliendo i nomi tra quelli assegnati (non tutti verranno utilizzati):centro, raggio, settore circolare, punto, corda, diametro, corona circolare, semicerchio, angolo al centro,angolo, circonferenza, arco, segmento circolare, cerchio, angolo alla circonferenza, retta esterna.


Ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una corda non passante per il centro.

Segmento che congiunge due punti di una circonferenza.

Linea chiusa formata da tutti i punti equidistanti da un punto interno detto centro.

Parte di circonferenza delimitata da due punti.

Ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due raggi.

Segmento che congiunge il centro con un punto qualsiasi di una circonferenza.

Ciascuna delle due parti congruenti in cui un cerchio è diviso da un diametro.

Parte di piano compresa tra due circonferenze aventi lo stesso centro, ma raggi diversi.

Corda passante per il centro.

Angolo avente il vertice nel centro di una circonferenza.

Osserva le seguenti figure e contrassegna le caselle con le risposte esatte.

a) il punto O è esterno la circonferenza

il punto P appartiene alla circonferenza

la retta t è tangente la circonferenza

Il segmento O�P� è congruente al raggio

b) le circonferenze c e c' sono concentriche

il segmento O�A� è il raggio della circonferenza c

O�’�B� > O�A� quindi r' < r

la distanza fra i centri (O�O�'�) corrispondealla differenza tra i due raggi (r' – r)

c) AO^B è un angolo al centro

AO^B è un angolo alla circonferenza

AB� è un arco convesso

AO^B è la metà di AC^B

d) AO^B = 180°

AC^B = AD^B = �12

� x 180°

il segmento A�B� corrisponde al raggio

i triangoli ADB e ACB sono rettangoli FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV2

1

126

O

B

A

D

C

O

D C

KA

H

B

OB

H

A

SAPER FARE

Osserva le seguenti figure e, in base ai dati forniti per ogni situazione, completa la tabella.

O�A� = 7 cm O�A� = 3 cm O�A� = 5 cmO�′�B� = 13 cm O�′�B� = 6,5 cm O�′�B� = 12,3 cm

Osserva il disegno, indica le parti richieste, completa le relazioni e la tabella.

…………………… = angolo al centro A�O� � ………… = raggio

…………………… = angolo alla circonferenza AC^B = ………… AO^B

…………………… = arco sotteso da AC^B e AO^B AO^B = ………… AC^B

Riferendoti alle illustrazioni e in base ai dati forniti risolvi i seguenti problemi:

O�H� A�B� A�B� = ?

O�A� = 60 dm 2p(AOB) = ?

O�H� = 36 dm A(AOB) = ?

r = 25 cm A�B� // C�D� H�K� = ?

D�C� = 30 cm O�H� C�D� A(ABCD) = ?

A�B� = 48 cm O�K� A�B�

D�B� = 85 m 2p(ABCD) = ?

C�B� = 13 m A(ABCD) = ?

D�A� = 36 m

Considera una circonferenza di raggio 51 cm e una corda B�D� che disti 24 cm dal centro O; disegna il dia-metro A�C� perpendicolare alla corda B�D�. Calcola:– la lunghezza della corda B�D�;– il perimetro del quadrilatero ABCD;– l‘area del quadrilatero ABCD.

8

7

�

�

6

�5

O B

A

C4

O′B

AO

O′A

B

O

A

O′

B

O

3

situazione

a)

b)

c)

14 cm

24,3 cm

O�A� + O�’�B� O�’�B� – O�A� O�O�’� rispetto alla loro posizione reciprocale circonferenze sono:

AC^B 86° 48° 13′ 7′′ 54° 39′

AO^B 104° 184° 17′ 147° 46′′

✪

✪

a) b) c)



B

D

O

E

F

A

C O′

V

R

S

T

U

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari


Definisci i poligoni seguenti rispetto alle circonferenze di centro O e O' e completa le frasi.

Il poligono ABCDEF è Il poligono RSTUV è

.................................... ..................................

nella circonferenza alla circonferenza

di centro O di centro O'.

a) Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici ………………….....………

alla circonferenza, i suoi lati sono ………………………… e gli assi dei suoi lati si …………………………

in un punto detto ……………………………………………………… che è il centro della circonferenza

……………………………………………

b) Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza quando i suoi vertici sono …………………………

alla circonferenza, tutti i suoi lati sono ………………………… la circonferenza e le bisettrici dei suoi

angoli si ……………………………………………………………….... detto ………………………… che è il

centro della circonferenza ……………………………………………

Contrassegna le risposte che ritieni esatte (le risposte esatte possono essere più di una):

a) Un quadrilatero generico è inscrittibile in una circonferenza quando:

ha i lati opposti congruenti e paralleli;

ha gli angoli opposti al vertice supplementari;

ha gli angoli opposti supplementari;

gli assi dei suoi lati si incontrano nello stesso punto.

b) Un quadrilatero generico è circoscrittibile ad una circonferenza quando:

ha gli angoli opposti supplementari;

la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due;

la somma di due lati opposti è diversa dalla somma degli altri due;

le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nello stesso punto.

c) L’apotema di un poligono regolare è:

il raggio della circonferenza inscritta nel poligono;

il raggio della circonferenza circoscritta al poligono;

perpendicolare al lato nel punto di tangenza con la circonferenza;

il lato del poligono regolare inscritto.

d) Il numero fisso di un poligono regolare è:

il rapporto costante tra le misure dell’apotema e del suo lato;

un numero trascendente che vale circa 3,14;

il numero da moltiplicare per il lato per ottenere l’apotema;

il numero da moltiplicare per l’apotema per ottenere il perimetro.

2

1

128

O

D

A C

B

Contrassegna le formule esatte:

a) Per il calcolo dell’area di un poligono regolare (A = area; a = apotema; 2p = perimetro):

A = 2p · a A = �p

2· a� A = �

2p2· a� A = �

p ·22a�

b) per il calcolo dell’apotema (f = n° fisso; l = lato):

a = �fl� a = l · f a = �

fl� a = f · l

c) per il calcolo del lato:

l = a · f l = �af� l = f · a l = �

af�

SAPER FARE

Completa la seguente tabella dove con α^ e β^ sono indicate le ampiezze di due angoli opposti di un gene-rico quadrilatero ABCD:

4

3

α^ 56° 19′ 63° 43° 27′ 131° 30′ 113° 15′ 38′′

β^ 34° 42′ 11° 35′ 48° 30′ 143° 32′

è inscrittibile? SI SI SI

Sapendo che i segmenti A�B�; B�C�; C�D�; D�A� sono i lati di un quadrilatero ABCD, completa la seguente tabel-la dove le misure sono espresse in cm:

5

A�B� 22,18 81,5 23 35 36

B�C� 18,24 66,5 31,9 93,5 78 43,5

C�D� 12,3 79 122 108 31,5

D�A� 16,24 121,5 31,1 63 23,6

è circoscrittibile? SI SI SI

In base all‘illustrazione e ai dati forniti risolvi il problema:

A�D� � D�C� = 15 cm 2p(ABCD) = ?

D�O� = 8,5 cm A(ABC) = ?

A�B� � B�C� A(ABCD) = ?

Predisponi il disegno, i dati, le richieste relative e risolvi il seguente problema: in una circonferenza dicentro O è inscritto un pentagono; un diametro corrisponde a una diagonale che divide il pentagono inun trapezio isoscele e un triangolo. Sapendo che i lati del triangolo, che non coincidono con il diametromisurano 40,5 m e 54 m e che la base minore del trapezio misura 18,9 m, calcola la misura del perime-tro e l’area del pentagono.

Un triangolo equilatero è circoscritto ad una circonferenza nella quale è inscritto un esagono regolare.Sapendo che l’altezza del triangolo misura 10,8 dm calcola:

— la misura del perimetro del triangolo equilatero e dell’esagono;— l’area del triangolo equilatero e dell’esagono.

8

7

6

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Lunghezza della circonferenza e area del cerchio


Completa le seguenti frasi e metti in corrispondenza ciascuna figura con la descrizione relativa.

a) La circonferenza è una …………………… chiusa formata da …………………… punti ……………………

da un punto O, detto …………………… (Fig. .......)

b) Il cerchio è la parte di piano costituita dai punti di una …………………… e dai punti ………………………

ad essa (Fig. ......)

c) Due circonferenze aventi ……………………..………………………… ma raggi …………………… si dicono

concentriche. La parte di piano ……………………………………………… tra le due circonferenze si dice

…………………………… e la sua larghezza corrisponde alla …………………………… fra i raggi delle due

………………………… (Fig. ......)

Contrassegna le risposte che ritieni esatte (puoi indicare più di una risposta).

a) Quali formule esprimono l’area del cerchio?

Ac = πr Ac = π2r Ac = πr2 Ac = d2π Ac = π · r · r

b) Quali formule esprimono la lunghezza di una circonferenza?

c = πr c = dπ c = r · 6,28 c = 2πr c = d · 6,28

c) Quali formule useresti per determinare la lunghezza di un raggio?

r = �A�c� r = �dc

� r = ��Aπ�c�� r = ��

2c�π�� r = �

3,c14�

d) Quali formule esprimono l’area di una corona circolare?

A(corona) = πr21 � r2

2 A(corona) = π · (r21 � r2

2) A(corona) = π · (r21 + r2

2) A(corona) = πr21 � πr2

2

e) Che tipo di numero è π?

naturale reale relativo irrazionale razionale trascendente

2

1

O

Figura 1

descrizione ......

Figura 2

descrizione ......

O

Figura 3

descrizione ......

130

D

A C

B

O

OA

c c'

A'

SAPER FARE

Completa la seguente tabella (le misure si intendono espresse in cm):

Completa la seguente tabella, usando di volta in volta le formule opportune:

r c α l As Ac

(cm) (cm) (°) (cm) (cm2) (cm2)

22 45°

234 13

17° 6′ 19π

37,5π 225π

Un rettangolo con le dimensioni di 10,8 cm e 14,4 cm è inscritto in un cerchio. Calcola la diagonale delrettangolo e l‘area del cerchio.

Riferendoti all‘illustrazione e ai dati forniti, risolvi il problema:

c = 14π m O�A� = ?

A(corona) = 32π m2 AC′ = ?

O�A�′� = ?

Calcola il contorno e l’area della parte colorata in base ai dati e alla figura sotto riportati:

ABCD è un rombo

A�C� = �34

� · D�B�

A�C� + D�B� = 56 cm

Una figura curvilinea è formata da un quadrato e da quattro semicerchi esterni al quadrato aventi comediametro ognuno dei lati del quadrato.

Disegna la figura e, sapendo che il suo contorno esterno misura 25,2π m, calcola:

– la misura del perimetro del quadrato;

– l‘area del quadrato;

– l‘area della figura curvilinea.

8

7

6

5

4

3

raggio diametro circonferenza area calcoli

32

9,4

78π

141,3

169π

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Poliedri: prismi


Barra le risposte che ritieni esatte (possono essere più di una).

a) Si definisce poliedro:

una parte di spazio limitata da almeno quattro poligoni;

un solido con tanti lati;

un angolo che si estende nello spazio.

b) Le facce di un poliedro sono:

sempre triangoli;

a volte rettangoli;

i poligoni che lo delimitano.

c) La superficie laterale di un poliedro è:

l‘insieme di tutti i poligoni che lo delimitano;

l‘insieme delle facce laterali;

costituita da almeno tre poligoni.

d) Un prisma è un poliedro:

con due facce congruenti poste su piani paralleli;

con almeno quattro facce laterali;

avente per facce laterali dei triangoli.

e) Si definisce altezza di un prisma:

la distanza tra due vertici opposti;

la distanza tra due piani contenenti due facce consecutive;

la distanza tra i due piani contenenti le basi.

f) Due poliedri si dicono equivalenti quando hanno:

la stessa estensione nello spazio;

la stessa superficie totale;

lo stesso volume.

Tra le seguenti formule riconosci quelle relative ai prismi:

a) per l’area della superficie laterale:

Al = �2p

2· h� Al = 2 · (2p + h) Al = 2p · h Al = �

2p2· a�

b) per il volume:

V = �Ab

2· h� V = �

Ab

3· a� V = Ab + h V = Ab · h

c) per il perimetro della figura di base:

2p = 2p = 2p = 2p =

d) per l‘altezza:

h = h = h = h = V�Al

V�Ab

V�2p

V · 2�

Ab

V�Ab

At – Al�2

Al�h

Al · 2�

h

2

1

132

A

B

C

DO

A′

D C

BA

B′

C′D′

O

Scrivi le formule che esprimono le relazioni che legano il peso con il peso specifico e il volume.

P = ……………………………… V = …………………………………… ps = ………………………………………

SAPER FARE

Considera i tre parallelepipedi dell’illustrazione; in base ai dati forniti, calcola il volume di ciascuno eannota le tue osservazioni:

a = 45 cm V1 = ? a = 12 cm V2 = ? a = 12 cm V3 = ?

b = 61 cm b = 45 cm b = 61 cm

c = 12 cm c = 61 cm c = 45 cm

Basandoti sull‘illustrazione e sui dati forniti, scrivi il testo del problema e risolvilo.

V (cubo) = 8 dm3 A�B� = ?

ps (vetro) = 2,5 Al = ?

At = ?

P = ?

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................


D�B� = �185� · A�C� At = ?

A�C� + D�B� = 92 cm V = ?

Al = 6800 cm2 P = ?

ps (ferro) = 7,8

Un parallelepipedo e un cubo hanno l’area della superficie totale equivalente. Sapendo che le dimensio-ni del parallelepipedo misurano 3 cm; 7 cm e 22,2 cm, calcola:

— lo spigolo e la diagonale del cubo;

— il volume di ciascuno dei due solidi;

— il peso di ciascuno dei due solidi sapendo che il cubo è di ghisa (ps 7,3) e il parallelepipedo è di rame

(ps 8,9).

Un oggetto di legno è formato da due parallelepipedi rettangoli sovrapposti. Il primo parallelepipedo èa base quadrata e ha lo spigolo di base di 24 cm e l’altezza di 10 cm. Le dimensioni del secondo paralle-lepipedo sono 8 cm; 3 cm; 14 cm. Calcola:

— l’area della superficie del solido;

— il peso in kg del solido sapendo che il peso specifico del legno di cui è costituito è 0,8.

8

7

6

5

4

3

A B

CD

E F

H G

✪

✪

prisma a base rombica



H

C

BA

O

V

D

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Poliedri: piramidi


Barra le risposte che ritieni esatte (possono essere più di una):

a) Una piramide è un poliedro:

avente le facce laterali triangolari;

avente come base un cerchio;

con almeno tre facce laterali triangolari.

b) In una piramide retta si definisce altezza:

l’altezza di una faccia laterale;

la distanza tra il vertice della piramide e il centro del cerchio inscritto nella base;

la distanza tra il vertice della piramide e un vertice del poligono di base.

c) L’apotema di una piramide è:

perpendicolare a ciascuno spigolo di base;

l’altezza della piramide;

l’altezza di una faccia laterale.

d) In una piramide regolare:

l‘altezza e l‘apotema di base coincidono;

la base è circoscrittibile a un cerchio;

la base è un poligono regolare.

Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:

a) Una piramide retta può avere come base un:

rettangolo rombo quadrato

trapezio isoscele triangolo equilatero esagono regolare

triangolo rettangolo parallelogramma trapezio rettangolo

b) Una piramide regolare può avere come base un:

rettangolo rombo quadrato

trapezio isoscele triangolo equilatero esagono regolare

triangolo rettangolo parallelogramma trapezio rettangolo

Facendo riferimento alla piramide retta dell’illustrazione, inserisci i termini adeguati e completa le relazioni:

…………… = vertice della piramide

……… = apotema di base

V�H� = …………………………………

O = ………………………………

…………… = altezza della piramide

3

FVFVFV

FVFVFV

FVFVFV

FVFVFV

FVFVFV

FVFVFV

2

1

V�H� = �…�…�…� +��O��H��2�

V�O� = �…�…�…� —� O��H��2�

V�H� = �V��B��2�—� …�…�…�

……… = �V��H��2�+� H��B��2�

……… = �V��O��2�+� O��B��2�

O�H� = �…�…�…� —� …�…�…�

V�O� O�H��

134

Tra le seguenti formule riconosci quelle relative alla piramide:

a) per l’area della superficie totale:

At = �Al

2· Ab� At = Al + Ab At = Al + 2Ab At = Al · Ab

b) per il volume:

V = �Ab

2· h� V = �

Ab

3· a� V = �

Ab

3· h� V = �

Ab

3+ h�

c) per l’area della superficie laterale:

Al = 2p · a Al = �2p

2· h� Al = �

2p2· a� Al = �

2p3· a�

SAPER FARE

Basandoti sull‘illustrazione e sui dati forniti, scrivi il testo del problema e risolvilo.

ABCD è un quadrato Al = ?

V�O� O�H� At = ?

V�B� = 8,5 cm V = ?

V�H� = 7,5 cm

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................


Considera una piramide quadrangolare regolare avente l‘area totale di 6144 cm2 e il perimetro di basedi 192 cm. Calcola l‘area laterale, il volume e il peso della piramide sapendo che è di alluminio (ps 2,7).

Una piramide retta ha per base un rombo avente l‘area di 54 dm2 e l‘altezza di 7,2 dm. Sapendo chel‘altezza della piramide misura 4,8 dm, calcola:

— l’area della superficie totale della piramide;

— il peso della piramide supponendo sia di alabastro (ps 2,6).

Un solido è formato da un prisma a base quadrata e da una piramide quadrangolare regolare con basecoincidente a quella del prisma. I due solidi sono equivalenti e ognuno ha il volume di 69,120 cm3.L’altezza del solido è 48 cm. Calcola l’area del solido.

Un oggetto è composto da un cubo e da due piramidi rette con le basi coincidenti con due facce oppo-ste del cubo.La distanza tra i vertici delle piramidi misura 42 cm; il rapporto tra le altezze delle piramidi è �

23

� e lo spi-golo del cubo è congruente alla minore delle due. Calcola:

— l’area della superficie del solido;

— la misura del volume;

— il peso dell’oggetto sapendo che il cubo è di legno di abete (ps 0,5) e le piramidi sono di legno di casta-

gno (ps 0,81).

9

8

7

6

�

5

4

A B

CD

V

HO

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Solidi di rotazione: cilindro e cono


Abbina ciascun termine con la sua definizione (non tutti i termini sono definiti).

altezza cono equilatero cilindro

sezione meridiana asse di simmetria apotema

a) Cono avente un triangolo equilatero come sezione meridiana.

b) Solido generato dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno alla retta sostegno della base.

c) Rettangolo ottenuto dall’intersezione di un cilindro con un piano passante per il suo asse di rotazione.

d) Distanza tra il vertice di un cono e un punto qualsiasi della circonferenza di base.

e) Distanza tra le due basi di un cilindro.

Contrassegna le formule che ritieni esatte (puoi indicarne anche più di una).

a) per l‘area totale del cilindro:

At = πr · h At = Al +2Ab At = πr2 + 2πr At = 2πr · (h + r)

b) per l‘area laterale del cono:

Al = π · r · a Al = Al = At – Ab Al = π · r · h

c) per l‘apotema del cono:

a = a = a = �h�2�+� r�2� a = �r2� –� h�2�

d) per il volume del cilindro:

V = V = Ab · h V = πr2 · h V = 2πr2 · h

e) per il volume del cono:

V = V = V = V =

Contrassegna le formule che ritieni esatte (puoi indicarne anche più di una):

a) Volume del cilindro equilatero:

3π r 2 π r 3 2 π h 3 π h 2

b) Volume del cono equilatero:

�πr

3· h� 2�

π r3· h� �

�33�� π r 3 �

33

� π r · h2

c) Area laterale del cilindro equilatero:

6 π r 2 4 π r 4 π r 2 4 · Ab

d) Area totale del cono equilatero:

2π r 2 3 π r 2 4 π r2 3 · Ab

3

πr3 · h�

2πr2 · h�

3Ab · a�

3Ab · h�

3

Ab · h�

3

Al�π · r

Al�π · h

π · r · a�

2

2

1

✪

136

SAPER FARE

Disegna e descrivi i solidi che ottieni dalle rotazioni di 360° delle seguenti figure piane:

a) rettangolo attorno alla retta di sostegno della base;

b) triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°, attorno alla retta sostegno del cateto maggiore;

c) rettangolo con base uguale a metà dell’altezza, attorno alla retta sostegno dell’altezza.

Basandoti sulle illustrazioni e sui dati forniti, scrivi i testi dei problemi e risolvili.

O�B� = raggio = 7 m Al (cilindro) = ?

B�C� = altezza = 13 m At (cilindro) = ?

V(cilindro) = ?

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

O�B� = raggio = 16 cm Ab (cono) = ?

At = 576π cm2 Al (cono) = ?

V(cono) = ?

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................


La circonferenza di base e l‘altezza di un cilindro misurano rispettivamente 24π cm e 12 cm. Calcola il volu-me del cilindro.

Un cilindro e un cono sono equivalenti. L‘area laterale del cilindro è 27π dm2, l‘altezza del cilindro e quel-la del cono misurano rispettivamente 4,5 dm e 6 dm. Calcola:

– l‘apotema del cono;

– la superficie totale di ognuno dei due solidi;

– il volume dei due solidi;

– il peso del cilindro sapendo che è di marmo (ps 2,8).

V^ = 90° A�V� = ?

A(AVA') = 196π cm2 A�B� = ?

At (cono) = ?

V(cono) = ?

Un vecchio calamaio di vetro (ps 2,5) è formato da un cubo con una cavità cilindrica. Sapendo che lo spi-golo del cubo misura 6 cm, che il centro del cerchio di base della cavità cilindrica coincide con il centro disimmetria della faccia del cubo, che la cavità cilindrica è profonda 4 cm e larga 5 cm, calcola la misuradella superficie e il peso del calamaio.

10

9

8

7

6

5

4

C

BA O

D O'

BAO

V

A

A

′

′

A

O

V

A

B

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Solidi di rotazione composti


Metti in relazione ciascuna figura piana con il solido generato dalla rotazione di 360°.

a) parallelogramma che ruota attorno alla retta sostegno della base;

b) triangolo rettangolo che ruota attorno ad una retta parallela al cateto maggiore e contenente il ver-tice opposto al cateto stesso;

c) triangolo isoscele che ruota attorno alla retta sostegno della base.

Riferendoti ai solidi dell’illustrazione completa la tabella:2

1

1 .......... 2 .......... 3 ..........

N

L M

N′

H

A B

C

D

B′

H

C′

segmento definizione rispetto alla figura piana definizione rispetto al solido

A�B�

B�C�

C�D�

A�D�

H�C�

L�M�

L�H� e H�M�

L�N� e N�M�

N�H� L�M��A�D� // B�C�

D�H� B�C��

138

SAPER FARE

Il trapezio isoscele ABCD viene fatto ruotare attorno alla retta sostegno della base minore e in seguitoattorno alla retta sostegno della base maggiore:

Completa le relazioni tra gli elementi del trapezio e gli elementi di ciascuno dei due solidi:

Trapezio 1° solido 2° solidoA�B� = base maggiore altezza cilindro somma delle altezze

D�C� = .............................................. ................................................. .................................................

D�A� � C�B� .............................................. ................................................. .................................................

A�K� � H�B� .............................................. ................................................. .................................................

D�K� � C�H� .............................................. ................................................. .................................................

a) Scegli il procedimento da utilizzare per calcolare l’area e il volume del primo solido:

2Ab + Al + Al (cilindro) 2Al (cono) + Al (cilindro) Al (cilindro) � 2Al (cono)

V (coni) + V (cilindro) V (cilindro) � 2V (cono) 2V (cono) · V (cilindro)

b) Quale fra i due solidi avrà superficie maggiore?

Il primo Il secondo

c) Quale dei due solidi avrà volume maggiore?

Il primo Il secondo

In un trapezio scaleno il rapporto tra la base maggiore e l’altezza è �23

� e la loro somma misura 100 cm;

sapendo che i lati obliqui misurano 61 cm e 65 cm, calcola la superficie e il volume del solido generatodalla rotazione di 360° del trapezio attorno alla base maggiore. Sapendo che il solido è di alluminio(ps 2,67), calcola il suo peso in kg.

Considera il solido generato dalla rotazione di 360° del triangolo ABC attorno alla retta sostegno del latoA�B� e completa le richieste in base ai dati forniti.

A�B� = 12,5 cm C�H� = ?

C�B� = 8 cm At = ?

A�C� = 19,5 cm Vt = ?

ps(granito) = 2,75 P(solido) = ?

In un trapezio rettangolo ABCD, rettangolo in A e in D, le basi misurano 4,65 dm e 30 cm; il lato obliquoB�C� misura 0,325 m. Considera i triangoli ACD e ABC che si evidenziano nel trapezio tracciando la diago-nale minore A�C�. Calcola le superfici e i volumi dei due solidi ottenuti dalla rotazione completa dei due triangoli ACD e ABCattorno alla retta sostegno della base maggiore A�B�.Somma i risultati ottenuti e confrontali con la superficie e il volume del solido generato dalla rotazionecompleta del trapezio ABCD attorno alla retta sostegno della base A�B�.

6

5

4

HA

BA

CDO

B′

K

DA′

O

H

B

C′D′

K

C

3

HA B

C′

C

✪

✪


VERIFICA DI ALGEBRA


A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verrannoutilizzati).

insiemi disgiunti, insieme universo, intersezione, insieme unione, diagramma di Venn, inclusione, sot-toinsieme proprio, insieme finito, insieme complementare, diagramma a frecce, insieme vuoto, insiemeinfinito, partizione, prodotto cartesiano.

Definizione Termine corrispondente

Insieme costituito da un numero illimitato di elementi

Operazione con la quale si individuano gli elementicomuni a due o più insiemi

Insieme ampio da cui prendere gli elementi per costituireun determinato insieme

Insiemi che non hanno alcun elemento in comune

Insieme costituito da tutti gli elementi di due o più insiemi

Insieme privo di elementi

Dato un insieme A e uno sottoinsieme B, è l’insieme ditutti gli elementi di A che non appartengono a B

Rappresentazione grafica di un insieme

Considera il seguente diagramma di Venn e contrassegna le affermazioni che ritieni esatte.

C = { x/x è una lettera della parola messi }

A = { x/x è una lettera della parola tucano }

C = { x/x è una lettera della parola semi }

B = { x/x è una lettera della parola scaleno }

u � A a � A c � C

s � C o � B e � B

l � B n � A c � B

A � B = {l; n} B � C = {e; s} C � A = �

A � C = {l; n} B � A = {u; t} A � B � C = {l; n}

A � B = {a, c, o} A � C = {u, t, m, i} A � C = {a, c, u, t, o, s, e, m, i}

B � C = {s, c, a, l, e, n, o, m, i} C � B = {l, e, s, n, m, i} B � A = {s, c, a, l, e, n, o}

A � B = {u, t} B � C = {l, n} C � A = {m, e, s, i}

C � B = {m, i} B � A = {m, e, n, s, i, l} C � A = C

6

5

4

3

2

1

Gli insiemi e le operazioni tra essi

A

oc

u

B

a

n

C

t

l se i

m

139

Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

140

Alcune delle seguenti scritture, riferite a insiemi generici A, B e C, sono errate, contrassegnale. Motiva,poi, le tue risposte.

b � A a � B B � A i � C

zero � � 10 � B O � A d � A

A � B {a, b}�{b, a} (a, b)�(b, a) A � B � B � A

SAPER FARE

Considera gli insiemi A = { x/x � N/x divisore di 12} e B = { x/x � N/x divisore di 36}, rappresentali tabu-larmente e graficamente.

Facendo riferimento agli insiemi A e B dell’esercizio 8 completa le seguenti relazioni.

2 .......... A 3 ......... B 3 .......... A 6 ......... A

6 .......... B 9 ......... B 4 .......... A 12 ....... A

36 .......... A 36 ......... B B .......... A A ......... A

A � B = ................. B � A = .................

A � B = ............................................. B � A = ...............................................

A – B = .................. B – A = .................

Considera gli insiemi A = { x/x � N/3 � x � 7 }; B = { x/x � N/4 � x � 8 } e, dopo averli rappresentatitabularmente, rappresenta graficamente A � B e B � A.

..............................................................................................................................................................................

Rappresenta per elencazione gli insiemi A = { x/x lettera della parola teorema } e B = { x/x lettera dellaparola periodico }. Considera ora gli insiemi C = A � B; D = B � A; E = A � B; F = B � A. Osservando lecoppie di insiemi C; D e E; F cosa puoi affermare?

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

Considera l’insieme I = { x/x � N/x < 25} e i suoi sottoinsiemi:

A = { x/x � N/x numero pari < 25}B = { x/x � N/x numero dispari < 25}I due sottoinsiemi A e B costituiscono una partizione dell’insieme I? Giustifica la risposta.

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

13

12

11

10

9

8

7


VERIFICA DI ALGEBRA 141

Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Insieme dei numeri relativi


Scrivi i termini o simboli corrispondenti alle seguenti definizioni:

definizioni termine o simbolo

I numeri relativi preceduti dal segno �. .......................................

Due numeri relativi che hanno lo stesso segno. .......................................

L’insieme dei numeri razionali positivi. .......................................

Due numeri relativi che non hanno lo stesso segno. .......................................

Il numero relativo privato del segno. .......................................

L’insieme dei numeri reali negativi. .......................................

I numeri relativi preceduti dal segno �. .......................................

L’insieme dei numeri interi relativi. .......................................

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false e, accanto ad ogni affermazione falsa, scrivi quel-la corretta:

Colloca i seguenti numeri relativi nel diagramma di Venn:

� 0,3; �1�1�; � 6,5; �45

�; 3; 0; 1,2�3�; 0,7�; �9�; �6�.

Metti al posto dei puntini il simbolo � o �:

N …… Z; I …… Q; I …… R; Q� …… Q; Q …… R;

Z� …… Q�; Z� …… Z� ; Q� …… I�; Q�…… R�; R�…… R.

4

3

2

1


� �12� � Z □

�45� � Q� □

0 � Q □

�5� � I □

� 3,5 � Q� □


�7� � R □

� 2 � Z� □

3,5 � Z� □

� 0,3� � Q� □

� 0,5 � Q □

QI

Z

R

✪

142

SAPER FARE

Scrivi i numeri interi relativi che corrispondono alle seguenti proposizioni:

proposizione numero/i

Ha valore assoluto 7. …….………………………

Il suo opposto è � 9. …….………………………

Il suo valore assoluto è compreso tra 5 e 7. …….………………………

È concorde al numero � 12 e il suo valore assoluto è 2. …….………………………

È negativo e il suo valore assoluto è minore di 3. …….………………………

È discorde al numero � 24 e il suo valore assoluto è 15. …….………………………

È positivo e il suo valore assoluto è minore di 2. …….………………………

Rappresenta sulla seguente retta orientata i numeri relativi ��12�; �3; �1; ��

23�; ��

52�; ��

73�:

Completa mettendo al posto dei puntini i simboli: <,>

0 …… � �12� 0 …… ��

34� �3 …… �4 �7 ……�10 �8 ……�2

��45� …… � ��

94

� …… ��23� �0,3� …… �0,3 �8 …… � 5 ��

35

� …… ��12�

7�8

7

6

5

0



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Operazioni con i numeri relativi


Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (a volte ci possono essere più risposte esatte):1a) � 6 � 10 è uguale a:

�16 �16

�4 �4

b) � 8 � (�9) è uguale a:

� 8 � 9 � 8 � 9

�17 �1

c) �15 �(�12) è uguale a:

�15 � (�12) �15 �12

�15 �12 �3

d) � 11 � (�18) è uguale a:

� 39 �7

� 11 �(�18) �11 � 18

e) � (�7�1�13�10) è uguale a:

�7�1�13�10 �7�1�13�10

�7�1�13�10 �7�1�13�10

f) � 3 � (�4) è uguale a:

�7 �12

�12 �1

g) (� 2)3 è uguale a:

�6 �8

�8 �6

h) (�5)2 è uguale a:

�25 �25

�10 �10

i) l’inverso di � �34� è:

�34� �

43

�

��43

� �

l) ��12��

3� ��

12

��2

è uguale a:

��12��

6(�5)5

��12��

5

��12��

1�

�34

�

m) �� 45

��6

: �� 45��

3è uguale a:

�� 45��

3

�� 45��

2

(�1)2 ��45��

3

n) [(�3)2]�2 è uguale a:

(�3)4 34

(�3)�4 3�4

o) �� 23��

�2è uguale a:

��32

��2

�

��32��

2�23

2

2�

p) ��94

�� è uguale a:

solo � �32� solo � �

32�

� �32� e � �

32� nessun risultato

2�32

144


operazione l’operazione l’operazione è definita in: eventualepossiede le proprietà Z Q R elemento neutro

addizione SI NO SI NO SI NO

sottrazione SI NO SI NO SI NO

moltiplicazione SI NO SI NO SI NO

divisione SI NO SI NO SI NO

SAPER FARE

Calcola il risultato delle seguenti operazioni:

a) �24 � 15 � 16 � ……………; b) � 35 � (�13) � ……………; c) � 12 � (� 9) � …………… ;

d) � 36 : (�12) � ……………; e) �37

� � �24

� � �12

� � ………………; f) � �2342� : ��

166�� …………… ;

g) ��13

��3

� ………………; h) (�2)�3 � ………………; i) �� 25

��2

� …………… ;

l) �9� � ………………; m) ��4� � ………………; n) ��23��

2� ��

23��

3: ��

23��

4 � …….. ;

o) ��15��

2: ��

15��

5� ��

15�� ………………; p) ��

34

��2

�3

: ��34

��2

�2

� ………………;

q) ��58

��2

� ��58

��3

: ��58

��8

� ��58

��2

�3

� ………………

Applica le proprietà indicate:

� �14� � �

45� � 2 � �

170� � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (associativa dell’addizione algebrica)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�� 45� � �

38

� � �14

�� : �110� � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (distributiva della divisione)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

��52

� � �67� � �

35��

1145�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (distributiva della moltiplicazione)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

��45

� � 2� � ��185� � �

12

�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (distributiva della moltiplicazione)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


a) (�2) � (�3)2 � 5 � (�2)3 �3 � (�2) � (�5) �8 ;

b) ��76

� � �83

�� : ��35

� � �610�� : ��

315� � �

25

�� : ��73� � �

145�� 20 : �

23

� ;

c) ��25

��2� ��

23

��4: ��

23

��2� ��

23

�� 32

��2� ��

270� � �

14

�� : ��112� � 7 � �

34

�� 15

��4

�0

� ��65

��2

;

d) � (�2)�3 .��4 � �

72

�� : ��14

� � 1�2

�2

��

1�17 � ��13��

4

5

4

3

2

✪

✪

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Calcolo letterale e monomi


Tra le seguenti espressioni letterali individua e contrassegna i monomi:

5ab2c3; 7a � 6b2; � �34

� a6b; � 7a3b�2; ��12�� b.

Per ogni definizione scrivi il termine corrispondente:

definizione termine

Fattore numerico di un monomio. …………………………………………………

Fattore letterale di un monomio. …………………………………………………

Monomi aventi la stessa parte letterale. …………………………………………………

Monomi aventi la stessa parte letterale ……………………………………….......……

ma coefficienti opposti. …………………………………………………

Somma degli esponenti che compaiono ……………………………………….......……

nella parte letterale di un monomio. ……………………………………….......……

Indica con una crocetta l’esatto completamento:

a) Il monomio 8a2bc3 è di:

quinto grado; sesto grado; secondo grado; terzo grado.

b) Il coefficiente del monomio �a3b4 è:

1; 0; 3; � 1; � 3.

c) Il monomio ��35� a2b3 è simile al monomio:

��35�ab2; �a2b; 13a2b3; �

16�a3b2.

d) Il monomio ��12� x3y4z è l’opposto del monomio:

2x3y4z ; �12� x3y4z ; �2x3y4z ; �x3y4z .

Scrivi quali dei seguenti monomi sono interi (I) e quali frazionari (F):

4abc�2 …… �37x2

ay4

2

�…… � 5ab3 …… �6az4

bc� …… �

5a3

2

� ……

SAPER FARE

Determina il valore delle seguenti espressioni letterali:

a) a � 3b � 5a; a � 3; b � 2.

b) 2a2 � 3ab � 2c � 5 a � �2; b � ��12�; c � �

16� .

5

4

3

2

1

✪


146

Calcola le seguenti espressioni:

a) 5a � 3a � 12a; b) �13

� a � �23

� a � 2a;

c) 3xy � (�3xy) � (�4xy); d) ��23� xy � �

12� x2y � �

1112

� x2y � �29

� xy;

e) (�2ac) � (�3a2c3); f) ��260� ax2� � ��

1102� a2x�;

g) (�15 x3y3z) : (5xz); h) ��130� xy3� : ��

235� x4y4�;

i) (�3 xy4)2; l) ��12

� a2�2

�3;

m) [( � 8xy) � ( � 3a) � ( � 35a3x2y) : ( � 7a2x) � ( � 2y) � ( � 3x) � ( � 5a)]3

n) � �13� xy3 � ��

32� x2y�

2� (�xy)5 � �

32� � (�x2y)2 � ��

23� xy3�.

Scrivi:

– un monomio di 3° grado: …………........…………

– un monomio di 4° grado che rispetto ad a sia di 2° grado: ……………………

– due monomi simili di 5° grado rispetto alla x: ……………………………………………

– due monomi opposti di 3° grado rispetto ad a e di 2° rispetto a b: …………………………………………

Traduci in espressioni letterali le seguenti frasi:

– il doppio di x più il suo triplo elevato al cubo meno quattro:

……………………………………………………………………………………………………………………

– il cubo di un numero diminuito dei suoi tre quinti:

……………………………………………………………………………………………………………………

– il quoziente tra la radice quadrata del quadruplo di a più uno e il doppio di a:

……………………………………………………………………………………………………………………

8

7

6

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

I polinomi


Per ogni definizione scrivi il termine corrispondente:

definizione termine

Espressione algebrica costituita da più monomi. ………………………………………………………

Polinomio in cui non figurano termini simili. ………………………………………………………

La somma algebrica di due monomi. ………………………………………………………

In un polinomio, il termine formato solo da un numero. ………………………………………………………

Un polinomio i cui termini hanno lo stesso grado. ………………………………………………………

La somma algebrica di tre monomi. ………………………………………………………

Indica con una crocetta l’esatto completamento:

a) Il polinomio 4a3 � 12ab4 � 3b7 � 23a4b5 è di:

settimo grado; terzo grado; nono grado; quarto grado;

b) Il polinomio 4x4 � 3x2 � 10x � 1 è:

omogeneo; ordinato in senso crescente; completo; ordinato in senso decrescente;

c) Il polinomio 5a3 � 12a � 4 � a4 � 3a2 è:

omogeneo; ordinato in senso crescente; completo; ordinato in senso decrescente;

d) Il polinomio 5xy2 � 3x3 � 7x2y è:

omogeneo; ordinato in senso crescente; completo; ordinato in senso decrescente.

Completa la seguente tabella, scrivendo lo sviluppo di ogni prodotto notevole:

prodotto notevole sviluppo

(a � b)2 …………………….........……………………………….....…

(a � b)3 ………………………………………..............………………

(a � b) � (a � b) ………………………………………..............………………

SAPER FARE

Esprimi le seguenti proposizioni sotto forma di polinomi:

a) Il quadrato di un binomio ………………………………

b) Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza ………………………………………………

c) Il cubo di un binomio ……………………………………

4

3

2

1

✪


148

Senza eseguire i calcoli esprimi le seguenti proposizioni sotto forma di polinomi:

a) Il perimetro di un triangolo equilatero il cui lato è (3a � 1)

………………………………………………………………………………………………………………………………

b) l’area di un rombo avente le diagonali rispettivamente lunghe (2x � y) e (5x � y)

………………………………………………………………………………………………………………………………


polinomio grado del grado rispetto grado rispetto grado rispettopolinomio alla lettera x alla lettera y alla lettera z

4x2y2 � 3xy3 � y4 � 5x4

�34

�x3yz2 � �13

�xy3z3 � �13

�x2y2z � 4

Esegui le seguenti operazioni con i polinomi:

a) (2x � 3y) � (7x � 4y) � (6x � 3y);

b) �x3 � �13

�y3 � �23

�xy� � ��52�xy � �

57

�y3�;c) (5ab � 1) � (2a � 4b2 � 5);

d) �4a7b3 � �152�a6b6c � �

130�a5b4c3 � 8a4b5c� : (�3a3b2);

e) (2x2 � 3xy) � (6y � 2) � 6xy � (5y � 2) � 2x � (2x � 3y);

f) [(y4 � 2y3) : ( � y3)]2 � 5y � (y � 1) � ( � 15y4 � 24y3 � 3y2) : ( � 3y2)

g) �2a2 � �12

�� 2a2 � �12

�� 14

�a2 � (a2 � 4) � ��12

�a2 � 1�2;

Utilizzando il calcolo letterale, determina l’area della superficie totale e il volume del cubo disegnato.

Utilizzando il calcolo letterale, determina l’area e il perimetro del trapezio disegnato.

A�B� = 6x + 3y A�B� // C�D�C�D� = 6x A�D� ⊥ A�B�A�D� = 4y C�H� ⊥ A�B�

A H B

CD

9

a

b

a b

8

7

6

5

✪

✪


Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Identità ed equazioni


Considera la seguente uguaglianza 7 � x � 14 verificata per x � 2, e completa:

a) l’uguaglianza 7 � x � 14 si chiama ………………......................................................

b) i termini a sinistra del segno di uguaglianza costituiscono il primo ………………

c) i termini a destra del segno di uguaglianza costituiscono il …………………......…

d) il numero 7 è detto ……………………………................

e) il numero 14 è detto ………………………………………

f) la lettera x è detta ……………………………...............…

g) il valore x � 2 è detto ……………………...........………

Indica quali delle seguenti equazioni sono in forma normale:

4 � x � 12 5 � x � 13 x � 7 � 0 �4x� � 6.

Scrivi, accanto a ciascuno dei seguenti casi, di quale tipo di equazione si tratta:

— se a = 0 e b = 0 ax = b si dice ………………………………………

— se a � 0 e b = 0 ax = b si dice ………………………………………

— se a � 0 e b � 0 ax = b si dice ………………………………………

— se a = 0 b � 0 ax = b si dice ………………………………………

Completa:

— un’equazione di 1° grado si dice …………………………… quando ha infinite soluzioni

— un’equazione di 1° grado si dice …………………………… quando ha una sola soluzione

— un’equazione di 1° grado si dice …………………………… quando non ammette soluzioni.

Considera l’equazione � 3x � 6 � � 3 e stabilisci quale principio di equivalenza è stato applicato in ognipassaggio.

1° passaggio � 3x � 6 � 6 � � 3 � 6 ……… principio� 3x � 3

2° passaggio � 3x � (�1) � 3 � (�1) ……… principio3x � � 3

3° passaggio �33

1

1�x � � �

33

1

1� ……… principio

x � � 1

5

4

3

2

1

150

Considera le seguenti equazioni e classificale:

a) 5x � 12 � 3 � 10x numerica; letterale; fratta; intera.

b) �12�x � 4 � �

34� � �

12

�x � 1 numerica; letterale; fratta; intera.

c) �15� � 2x � 3 numerica; letterale; fratta; intera.

d) 5ax � 3a � 12ax numerica; letterale; fratta; intera.

e) �2xb� � �

14

� � 5b numerica; letterale; fratta; intera.

SAPER FARE

Completa le seguenti equazioni in modo che siano:

impossibile …… x � 4;

determinata 6x � ….…;

indeterminata …… x � 0.

Stabilisci quali tra le seguenti coppie sono equazioni equivalenti:

a) 8x � 2 � 7x � 9 8x � 7x � 2 � 9

b) 3 � 2x � � 12 � 3x 2x � 3x � �12 � 3

c) 6x � 5 � 4x � 3 4x � 5 � 2x � 3

d) ��4x

� � �35� � � 2 � ��

220�

Scrivi un’equazione equivalente a ciascuna delle seguenti equazioni:

a) 5x � 4 � 0 ………………………………… b) �5x

� � 2 � � 3 ……………………………………

Risolvi le seguenti equazioni e verifica le soluzioni trovate (quando è possibile):

a) 3 � (17 � x) � 12x � 2 � (8 � 3x) � 50;

b) � � 2 � ;

c) �13

�x � ��16

�x � �56

�� 14

� � �152� � �

16

� � (x � 1);

d) 3x � (2 � x) � (x � 1) � (x � 1)2 � (x � 2) � (x � 2)2 � 2.

RIsolvi i seguenti problemi impostando un’equazione risolutiva:

a) Determina un numero tale che i suoi �56

� diminuiti di 3 siano uguali ai suoi �23

� aumentati di uno.

b) Trova due numeri sapendo che il primo supera di 3 il secondo e che il primo, aumentato di 5 e poi divi-so per 6, è uguale al secondo diminuito di 7 e poi diviso per 3.

c) Un uomo versa una prima rata pari ai �34

� del suo debito e poi 700 €. A quanto ammontava il debito, se

ne rimaneva �112� da pagare?

11

19 � x�

18x � 1�

6x � 2�

9

10

9

�5x � 12��

20

8

7

6

✪

✪

✪



Cognome ........................................................... data .........................................................

Nome ................................................................. classe........................................................

Piano cartesiano e funzioni matematiche


Indica, barrando la casella opportuna, in quale quadrante del piano cartesiano si trova ciascuno deiseguenti punti:

I II III IV

A ≡ ( � 6; � 1)

B ≡ ( � 2; � 3)

C ≡ ( � 5; � 5)

D ≡ ( � 8; � 4)

Scrivi in quale situazione viene utilizzata ciascuna delle seguenti formule:

a) yB � yA → per calcolare la lunghezza di un segmento A�B� …………………… all’asse …………………

b) xB � xA → per calcolare la lunghezza …………………………………………………………………………

c) yM � �yA �

2yB� → per calcolare l’ordinata …………………………………………………………………………

d) xM � �xA �

2xB� → per calcolare l’ …………………………………………………………………………………

e) �(x�A�� x�B)�2�� (�y�A�� y�B)�2� → per calcolare ……………………………………………………………………………

Indica quali tra le seguenti equazioni rappresentano rette parallele all’asse x o all’asse y:

la retta è parallela la retta è parallela

all’asse x all’asse y all’asse x all’asse y

y = 3x + 1 x = y

y = �52

� x x = � 8

y = �52

� x = �15

�

Indica quali tra le seguenti equazioni rappresentano rette passanti per l’origine degli assi:

SI NO SI NO

x = � 3 y = x

y = 7 y = � x

x = 2y y = x � 1

y = 3 � x x = 0

Considera la retta: y = � �53

� x e contrassegna in rosso le rette parallele ed in blu quelle perpendicolari alladata:

y = � �53

� x + 2 y = � �53

� x � 2

y = �35

� x + 1 y = � �160� x + 4

y = + �35

� x � 2 y = + �160� x � 1

y = � �35

� x y = �195� x � 6

y = + �35

� x y = + �35

� x + 7

5

4

3

2

1

152

Indica in quali quadranti si trova il diagramma cartesiano di ciascuna delle seguenti funzioni:

I II III IV I II III IV

a) y = 2x b) y = � �5x�

c) y = � x d) y = 0

e) y = 3 f) x = 1

g) x = � 3 h) y = x

SAPER FARE

Calcola la distanza tra i seguenti punti e le coordinate del loro punto medio:

A ≡ (� 2 ; 0) e B (4 ; 0); C ≡ (0 ; � 6) e D ≡ (5 ; 6); E ≡ �� 12

� ; �14

�� e F ≡ ��14

� ; �12

��.


equazione della retta equazione di una equazione di una equazione di una retta

retta parallela retta perpendicolare perpendicolare passanteper l’origine

y � �25� x � 1

y � � 3x � 7

y � �12� � x

y � 8x � 3

Se nell’equazione y = ax + b si fissa il valore di a, variando b si ottengono infinite ……………… tutte………………… tra loro.

Il valore di a prende il nome di ………………………… e determina ………………………………

Se nell’equazione y = ax + b si fissa il valore di b, variando a si ottengono ………………………… rette pas-

santi tutte per il punto di coordinate (……………).

Verifica algebricamente e graficamente se i punti A � (3; + 2); B � ��12

� ; �131��; C � (� 6 ; � 8) apparten-

gono alla retta:

y = � �23

�x + 4

10

9

8

7

6

✪


153

Determina le equazioni delle rette passanti per ciascuno dei seguenti punti e parallele:a) all’asse delle x; b) all’asse delle y.

A (2 ; 6); B �5 ; � �13

��.

Considera le coordinate dei vertici del triangolo ABC:

A � (1 ; 4) ;

B � (2 ; 5) ;

C � (4 ; 3) .

1) Calcola la misura del peri-metro del triangolo.

2) Calcola l’area del triangolo.

3) Scrivi le coordinate cartesia-ne dei vertici del triangolosimmetrico a quello dato

— rispetto all’asse y

— rispetto all’asse x

— rispetto l’origine.

Considera il quadrilatero di vertici:

A � �� 32

� ; 1� ;

B � �� 32

� ; 3� ;

C � ��52

� ; �92

�� ;

D � ��52

� ; � �12�� .

Stabilisci di quale figura sitratta e calcola la misura delperimetro e l’area.

Rappresenta nel pianocartesiano le seguenti funzionie completa quanto richiesto.

a) y = � �23

� x + 4

b) y = �75

� x � 3

La retta a) forma con l’asse delle ascisse un angolo …………… Potevi prevedere questo risultato? Perché?

………………………………………………………………………………………………………………………………

La retta b) forma con l’asse delle ascisse un angolo ……………………… Potevi prevedere questo risulta-

to? Perché? …………………………………………………………………………………………………………………

Le rette a) e b) passano per l’origine degli assi? ………… Infatti intersecano l’asse y rispettivamente nei

punti di coordinate ………………………………………

14

13

12

11

✪

✪

u

u

VERIFICA DI ALGEBRA154

Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Dati e previsioni


A ogni definizione corrisponde un termine da scegliere tra quelli elencati (non tutti i termini verrannoutilizzati):istogramma di frequenza, classe modale, aerogramma circolare, valore centrale di una classe, carto-gramma, frequenza cumulata dall’alto, scarto dalla media, confine superiore, campo di variazione,ampiezza di una classe, estremo inferiore, ideogramma, poligono di frequenze, variabile discreta, fre-quenza cumulata dal basso.

definizione termine corrispondente

Somma delle frequenze di una classe con tuttele frequenze delle classi che la precedono.

Linea spezzata che congiunge i punti medi delle basisuperiori dei rettangoli di un istogramma di frequenza.

Differenza tra il confine superiore e il confine inferioredi una classe.

Rappresentazione grafica che utilizza una cartinageografica.

Rappresentazione grafica in cui le aree dei rettangolisono proporzionali alle corrispondenti frequenze

Valore equidistante dai confini di una classe.

Rappresentazione grafica che utilizza figure più o menostilizzate

Differenza tra il valore massimo e quello minimo di unaraccolta dati.

Classe che presenta la frequenza massima

Distanza di ogni dato dalla media

Considera la seguente distribuzione in classi e contrassegna le risposte esatte:

classi frequenze

1 – 3 7

4 – 6 5

7 – 9 9

10 – 12 4

13 – 15 6

a) la classe modale è: 1 – 3 7 – 9 13 – 15

b) la moda è: 9 11 8

c) i valori centrali delle classi sono: 2; 4; 6; 8; 10 3; 6; 9; 12; 15 2; 5; 8, 11; 14

d) la media si calcola nel seguente modo:

M = M =

M = 2x7 � 5x5 � 8x9 � 11x4 � 14x6��

31

3x7 � 6x5 � 9x9 � 12x4 � 15x6��

312x7 � 4x5 � 6x9 � 8x4 � 10x6��

31

2

1

155

1110987654321

freq

uenz

a

60 65 70 75 80 85 90 95 100 votazione

e) Le frequenze cumulate dal basso sono: 7; 12; 21; 25; 31 1; 5; 12; 22; 35 31; 24; 19; 10; 6

f) la frequenza relativa della classe 4 – 6 si calcola nel seguente modo:

5 : 31 � 100; 31 : 5 � 100; 5 : 100 � 31

g) il campo di variazione è: 15; 15 – 1 13 – 3

SAPER FARE

Data la seguente distribuzione in classi completa le tabelle di frequenza cumulate dal basso e dall’alto.Individua poi, la classe modale e la moda.

Classi frequenze Classi Frequenze cumulate Classi Frequenze cumulatedal basso dall’alto

25 – 29 12 < 25 0 � 25

30 – 34 15 < 30 � 30

35 – 39 14 < 35 � 35

40 – 44 13 < 40 � 40

45 – 49 11 < 45 � 45

50 – 54 10 < 50 � 50

< 55 � 55 0

I pesi espressi in grammi relativi a 20 neonati sono i seguenti:

3300; 3800; 3100; 2900; 3400; 3500; 3400; 3600; 3200, 3300, 4200; 3600; 3900, 3100; 4200; 3700; 3400;3700; 3100; 3800.

Raggruppa i dati per classi aventi intervalli di 200 grammi. Stabilisci per ogni classe la frequenza assolu-ta, la frequenza relativa e la percentuale. Rispondi poi alle domande.

Qual è la classe modale? ............................................... Qual è la moda? ..........................................................

Qual è la media? ...............................

Il seguente istogramma si riferisce ai risultati ottenuti da alcuni studenti agli esami di maturità:

Quanti sono in tutto gli studenti? ......................................

Quanti sono quelli che hanno riportato una votazione maggiore o uguale a 85? ....................

Qual è la classe modale? .............. Secondo te la media è un valore che appartiene alla classe modale? ................

Perché? ....................

Rappresenta i dati della seguente tabella con un ortogramma, una poligonale delle frequenze e un areo-gramma.

misura delle scarpe 36 37 38 39 40 41 42 43 44

n° di paia di scarpevendute 12 33 70 74 66 53 33 25 9

percentule 3,2% 8,8% 18,7% 19,7% 17,7% 14,1% 8,8% 6,7% 2,4%

6

5

4

3


VERIFICA DI ALGEBRA156

Cognome ........................................................... data..........................................................

Nome ................................................................. classe ........................................................

Probabilità


Barra la risposta esatta.

a) La probabilità di un evento casuale (E) è uguale al rapporto tra:

il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili;

il numero dei casi possibili e il numero dei casi favorevoli;

il numero dei casi favorevoli e 100;

il numero dei casi favorevoli e 10.

b) Due eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno:

non modifica la probabilità di verificarsi dell’altro;

annulla le probabilità di verificarsi dell’altro;

comporta automaticamente il verificarsi dell’altro;

modifica la probabilità di verificarsi dell’altro.

c) Un evento totale:

comprende solo eventi parziali incompatibili;

è un sinonimo di evento composto;

si ottiene unendo due eventi parziali compatibili o incompatibili;

ha la certezza di verificarsi.

d) La frequenza relativa di un evento è data dal rapporto:

tra il numero delle prove effettuate e 100;

tra frequenza percentuale e numero delle prove effettuate;

tra il numero dei casi favorevoli e 100;

tra il numero dei casi favorevoli e il numero delle prove effettuate.

e) Due eventi si dicono incompatibili quando:

entrambi non hanno possibilità di verificarsi;

il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro;

possono verificarsi contemporaneamente.

il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro.

f) Il valore della probabilità di un evento casuale è:

maggiore di 0 e minore di 1;



maggiore di 1 e minore di 10.

g) Due eventi si dicono complementari se:

la differenza della loro probabilità è uguale a 1;

la differenza della loro probabilità è uguale a 100;

il prodotto delle loro probabilità è uguale a 1;

la somma delle loro probabilità è uguale a 1.

1

157

Accanto ad ogni probabilità espressa in modo simbolico scrivi il tipo di evento cui si riferisce.

p(E) =1 probabilità di un evento ……….………………………………………………………………………….… ;

p(E) = 0 …………………………………………………………………………………………………………………… ;

0 < p(E) < 1 ……………………………………………………………………………………………………………… ;

p(Et) = p(E1) + p(E2) ……………………………………………………………………………………………………… ;

p(Et) = p(E1) + p(E2) � p(E1 � E2) ……………………………………………………………………………………… ;

p(E�) = 1 � p(E) ……………………………………………………………………………………………………………. .

SAPER FARE

Un problema relativo all’estrazione di una carta da un mazzo di 40 è stato rappresentato graficamentee risolto nel modo seguente; scrivi il testo del problema:

Testo del problema: ...........................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

Nella seguente tabella è indicato il numero di volte in cui, su 500 lanci di una moneta, si è verificato cia-scuno degli eventi possibili, T o C. Calcola in percentuale la frequenza relativa e la probabilità matema-tica di ciascun evento.

evento frequenza assoluta frequenza relativa probabilità matematica

T 238 ....................................... ................................................................

C 262 ....................................... ................................................................

Lanciando la moneta 1000, 5000, 10000 ecc. volte, come diventerebbero la frequenza relativa e la pro-babilità matematica di ciascun evento?

………………………………………………………………………………………………………………………………

Se da un mazzo di 40 carte ne estrai una a caso, qual è la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi?

E1: “esce una carta di cuori” ...............................................................................................................................

E2: “esce una figura” ............................................................................................................................................

E3: “non esce una figura” ....................................................................................................................................

E4: “esce il due di picche” ....................................................................................................................................

E5: “esce un fante” ...............................................................................................................................................

E6: “esce un re o una carta di cuori”...................................................................................................................

E7: “esce il re di cuori” .........................................................................................................................................

E8: “esce una carta di quadri o una carta di fiori”.............................................................................................

Indica se gli eventi di ciascuna coppia sono compatibili o incompatibili:

— Nel lancio di un dado esce un multiplo di 3 o un numero primo.

……………………………………………………………………

— Nell’estrazione di una pallina da un’urna contenente palline verdi e gialle esce una pallina verde o una

gialla. ……………………………………………………………

— Nell’estrazione di un numero del lotto esce un numero pari o un numero divisibile per 5. ………………

…………………………………………………………………………

6

5

4

3

2


p(Et) = p(E1) + p(E2) = �440

1

10� + �

440

1

10� = �

120

1

5�


158


Una fabbrica di penne biro ha accertato che su 15 000 penne prodotte 45 non scrivono. Qual è la proba-bilità che ha un consumatore di acquistare una penna biro di quella marca che scriva?

Si mettono 6 biglie uguali in un sacchetto, 3 sono rosse e 3 blu. Se ne estrae una e, senza rimettere laprima nel sacchetto, si estrae una seconda biglia. La prima estratta si fa vedere, l’altra si tiene nascostain mano. Se ti si chiede di indovinare il colore della biglia tenuta nascosta, quale tra le seguenti strate-gie ritieni sia la migliore?

a) Dire sempe blu; b) dire sempre rosso; c) dire il colore diverso da quello della biglia estratta la primavolta; d) dire alternativamente blu e rosso; e) dire lo stesso colore della biglia estratta la prima volta.Rispondi motivando.

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

8

7

159

PROVA FINALE D’USCITACognome ........................................................... data................................................................

Nome ................................................................. classe..............................................................


Completa la seguente tabella.

SIMBOLO SIGNIFICATO DEL SIMBOLO SIMBOLO SIGNIFICATO DEL SIMBOLO

� ...................................... m.c.d. ............................................

� ...................................... ............... “è maggiore o uguale a”

M.C.D. ...................................... ............... “è perpendicolare”

x/x ...................................... � ...........................................

............... “è sottoinsieme di” // ...........................................

Z+ ...................................... ............... insieme dei numeri reali assoluti

R ...................................... ............... insieme dei numeri razionali negativi

Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (in alcune domande sono più di una).

• La formula A = �2p

2� a� si usa per calcolare l’area:

□ di un poligono qualsiasi; □ di un quadrato; □ di un poligono circoscritto; □ di un rettangolo.

• La formula V = �Ab

3� h� si usa per calcolare il volume:

□ di un prisma a base triangolare; □ di un parallelepipedo rettangolo; □ di una piramide;

□ di un cono.

• Per calcolare l’area della superficie laterale di un cono si usa la formula:

□ Al = 2r; □ Al = 2ra; □ Al = 2r2a; □ Al = ra.

• In un cilindro equilatero:

□ il raggio di base è uguale all’altezza;

□ il diametro di base è uguale all’altezza;

□ il diametro di base è metà dell’altezza;

□ l’altezza è il doppio del raggio;

• Due rette sghembe:

□ appartengono allo stesso piano; □ non hanno alcun punto in comune;

□ hanno un punto di intersezione; □ non appartengono allo stesso piano.

• ��12

��2

è uguale a:

□ (�2)�2; □ ; □ (�2)2; □ ��12

��2;

• ��34

� è:

□ l’inverso di ��43

�; □ l’inverso di �43

�; □ l’opposto dell’inverso di �43

�; □ l’opposto di �34

�.

• La radice quadrata di 4:

□ è uguale solo a �2; □ non ha soluzione in R; □ è uguale a 2; □ è uguale solo a �2.

• ��23

��2

��3

è uguale a:

□ ��32

��6; □ ��

23

��6

; □ ��23

��6; □ ��

23

��1

;

1�

��12

��2

2

1

160

• La notazione scientifica di 0,00002 è uguale a:

□ 2 � 10�4; □ 10�5; □ 2 � �1104�; □ 2 � 10�5.

• a3 � a�2 è uguale a:

□ a; □ a�1; □ a5; □ a�6.

• a�2 � a�3 è uguale a:

□ a�5; □ a6; □ a; □ a�6.

• �23

� a2b è un monomio:

□ fratto; □ intero; □ di 2° grado complessivo; □ di 3° grado complessivo.

• Il polinomio x3 � 2x2 � �12

�x � 3 è:

□ di terzo grado; □ di sesto grado; □ ordinato; □ completo.

• (a � b) � (a � b) è uguale a:

□ 2a � 2b; □ a2 � b2; □ a2 � b2; □ a � b.

• (a � b)2 è uguale a:

□ a2 � b2; □ a2 � ab � b2; □ a2 � 2ab � b2; □ (a � b) � (a � b).

• a3b2c : a2b2 è uguale a:

□ abc ; □ ab; □ a; □ ac.

• Data l’equazione ax � b, se b � 0 e a � 0 l’equazione:

□ è impossibile; □ è determinata e ha radice uguale a 0; □ è indeterminata;

□ è determinata e ha come radice un numero diverso da 0.




• La frequenza relativa di un dato è uguale:

□ alla frequenza assoluta moltiplicata per 100; □ alla frequenza assoluta divisa per 100;

□ alla frequenza assoluta moltiplicata per 1000; □ alla frequenza assoluta divisa per il numero dei dati.

• La mediana di una distribuzione di dati ordinati in modo crescente è:

□ uguale alla somma dei valori dei dati divisa il numero dei dati;□ il dato con la maggiore frequenza assoluta;

□ il dato in posizione centrale;

□ il dato con la maggior frequenza relativa.

• La probabilità di un evento è uguale:

□ a un numero � 0 e � 1; □ a un numero maggiore di 1;

□ al numero dei casi favorevoli moltiplicato per 100;

□ al numero dei casi favorevoli diviso il numero dei casi possibili.

• Se la probabilità di un evento casuale è �23

�, la probabilità dell’evento complementare è:

□ 1; □ �33

�; □ ��23

�; □ �13

�;

• L’equazione dell’asse delle ascisse è:

□ x � 0; □ x � 1; □ y � 0; □ y � 1;

• La misura del segmento A�B� parallelo all’asse delle ascisse è:

□ A�B� � xB � xA; □ A�B� � xA � xB; □ A�B� � xB � xA; □ A�B� � xA � xB;

161

• Le coordinate del punto medio (M) del segmento A�B� sono:

□ xM � �xA �

2xB�; yM � �

yA �

2yB�; □ xM � xA � xB ; yM � yA � yB ;

□ xM � xA � xB ; yM � yA � yB ; □ xM � �xA �

2xB�; yM � �

yA �

2yB�;

• La relazione che esprime una funzione di proporzionalità inversa è:

□ x � y � k; □ y � kx2; □ y � kx; □ y � �kx

�.

• La rappresentazione grafica di una funzione di proporzionalità diretta è:

□ una retta che interseca gli assi cartesiani:

□ una retta che passa per l’origine degli assi cartesiani;

□ una retta parallela all’asse delle ascisse;

□ una retta parallela all’asse delle ordinate.

• Il peso specifico di una sostanza è uguale:

□ al rapporto tra peso e volume;

□ al rapporto tra volume e peso;

□ al prodotto tra peso e volume;

□ al quoziente ottenuo dividendo il peso per il volume.

Facendo riferimento ai triangoli rettangoli disegnati completa le seguenti relazioni:

B�C� � �.........�.........�.........�.........�.� ..... : A�C� � A�C� : .....

A�B� � �.........�.........�.........�.........�.� A�B� : ..... � ..... : B�H�

A�C�2 � ....................................... ..... : C�H� � ..... : .....

Completa le seguenti proporzioni facendo riferimento al disegno:

c → lunghezza della circonferenza

Ac → area del cerchio

l : ........ � c : .......... As : ....... � �° : ......... As : l � ....... : .........

Completa il procedimento per risolvere un’equazione numerica intera di 1° grado ad una incognita.

a) si risolvono ..................................................................................................................................................... .

b) si riducono i due membri al ......................................................................................................................... .

c) si tolgono i denominatori applicando ......................................................................................................... .

d) si applica la regola ...................................... in modo che i termini con l’incognita siano ..........................

................................. .

e i termini noti .............................................................................................................. .

e) si riduce l’equazione a forma ...................................................................................................................... .

f) si calcola la radice dell’equazione dividendo il ......................................... per il ....................................... .

5

4

3

A B

C

A

C

BH

l

As

α°

162

Completa le seguenti frasi:

a) Il prodotto di due numeri relativi concordi è un numero ........................, il prodotto di due numeri rela-

tivi ........................ è un numero ............................ .

b) Il prodotto di tre o più numeri relativi è positivo se ......................................................................................

.................... è negativo se ............................................................................................................................ .

c) La potenza di un numero negativo è positiva se ......................................................., è negativa se

........................................................ .

SAPER FARE


a) ��25

� � �38

�� : ��15

� � �14

�� 12

��5

: ��12

��4

: ��35

��4

: ��35

�� 53

��2

�b) [(2x � 5y) (2x � 5y) � (x � 3y)2 � (4y � x) (4y � x)] : (�2x)

Risolvi la seguente equazione e verifica l’esattezza della radice:

�2x

1�

01

� � �1 �

53x

� � �x �

21

� � 2 � 2 � (x � 2)

Risolvi i seguenti problemi dopo aver predisposto un disegno rispondente al testo.

Considera una circonferenza di centro O e disegna in essa un diametro e una corda ad esso perpendi-

colare. Sapendo che la circonferenza misura 7,5 �m e che la corda è gli �85

� del raggio; calcola: a) l’area del cerchio;b) l’area e il perimetro del quadrilatero avente come vertici gli estremi del diametro e della corda.

Un solido è composto da un prisma a base quadrata e da due piramidi diverse aventi per basi le basidel prisma. La superficie totale del solido è 24416 dm2, la superficie laterale del prisma è 14560 dm2 e la

superficie laterale di una piramide è i �3553� di quella dell’altra.

Sapendo che lo spigolo di base misura 56 dm, calcola il volume del solido composto.

Disegna su un piano cartesiano il rettangolo ABCD di vertici:A ≡ ( � 2; 0), B ≡ ( 1; 0), C ≡ ( 1; 4), D ≡ ( � 2; 4).Individua il punto D’ simmetrico del punto D rispetto l’asse della x e considera il quadriltero D’ B C D;descrivilo e calcolane perimetro e area.Traccia le diagonali, calcola le loro lunghezze, determina le coordinate dei loro punti medi M e M’ e veri-fica col disegno l’esattezza dei tuoi calcoli.

Di seguito sono riportate i pesi, in grammi, di trote pescate durante una gara in un centro di pesca spor-tiva:200; 206; 212; 224; 190; 229; 233; 237; 241; 245; 151; 157; 163; 199; 210; 216; 222; 228; 150; 158; 174; 234;239; 243; 154; 161; 165; 167; 183; 188; 189; 220; 226; 232; 238; 234; 155; 173; 177; 152; 158; 249; 153; 257;161; 155; 157; 163; 179; 241; 245; 209; 200; 196; 213; 218; 224; 169; 163; 157; 151; 245; 161; 187; 233; 179;164; 158; 202; 196; 190; 206; 182; 208; 154; 159; 173; 251; 175; 164.

Raggruppa i dati in classi di ampiezza 10; calcola:– per ogni classe: la frequenza assoluta, quella relativa e quella percentuale;– le frequenze cumulate dall’alto e dal basso;– la media, la moda e la mediana. Effettua delle considerazioni sui valori medi.

Rappresenta, poi, i dati graficamente con un diagramma a tua scelta.

12

11

10

9

8

7

6


163

8888.... RRRRIIIISSSSUUUULLLLTTTTAAAATTTTIIII DDDDEEEELLLLLLLLEEEE PPPPRRRROOOOVVVVEEEE DDDD’’’’ IIIINNNNGGGGRRRREEEESSSSSSSSOOOO,,,,DDDDEEEELLLLLLLLEEEE VVVVEEEERRRRIIIIFFFFIIIICCCCHHHHEEEE EEEE DDDDEEEELLLLLLLLAAAA PPPPRRRROOOOVVVVAAAAFFFFIIIINNNNAAAALLLLEEEE DDDDIIII UUUUSSSSCCCCIIIITTTTAAAA

RISPOSTE AI PRINCIPALI QUESITI

PROVA D’INGRESSO – CLASSE PRIMA

a) centinaia b) centesimi; c) decine; d) decimi.

a) il doppio del numero; b) il triplo del numero;

c) la terza parte del numero; d) il numero stesso.

a) 767,652; b) 263,35; c) 6,91; d) 540,705; e) 385; f) 7,68.

500 m; 0,57 kg; 15,1 dl; 3,2 dm; 0,084 t; 0,723 l.

126; 90; 216; no; 39 anni, dato superfluo.

a) 1927; 65; b) 420; 2604 €.

PROVA D’INGRESSO – CLASSE SECONDA

a) propria f) supplementarib) consecutivi g) unità frazionariac) primo h) concavod) perpendicolari i) M.C.D.e) intersezione l) ascissa

a) 1; b) 0; c) 1; d) 8,2; e) 1000; f) 1; g) 128; h) 353; i) 634; l) 930.

a) 25; b) 1; c) 4.

a) M.C.D. 15; m.c.m. 3375; b) M.C.D. 76; m.c.m. 58520.

PROVA D’INGRESSO – CLASSE TERZA

a) periodo b) approssimatac) inversa d) direttamente proporzionalie) percentuale f) eccessog) continua h) acutangoli e ottusangoli

a) antecedenti; b) medi; c) estremi; d) fondamentale; e) dell’invertire;

f) a > b e c > d; g) c : d � �13

�; h) c : d � 5; d : c � �15

�; i) �b

d� c� ; l) �

ab� d� .

a) x � 6; b) x � �65

�; c) x � �5119�; d) x � 840; y � 1320; z � 1560 e) x � �

15

�.

72; 105; 3,1; 24,8; 3,79; 0,09.

a) 1; b) �1396� .

a) 102 m; 540 m2; b) 84 cm; 390 cm2;

c) 2160 dm2; 204 dm; 2160 dm2.

a) V; b) F; c) F; d) F; e) V; f) F; g) F; h) F; i) V.9

8

7

6

5

3

1

5

4

2

1

9

8

7

6

5

2

164

VERIFICHE DI ARITMETICA

Insiemi

a) non contiene elementi;b) �; c) �;d) la rappresentazione per elencazione; il diagramma di Eulero-Venn; la rappresentazione per caratteri-

stica;e) l’elenco di tutti gli elementi che appartengono all’insieme;f) contiene tutti gli elementi comuni ai due insiemi;g) disgiunti; non inclusi;h) è l’insieme A.

a) d � A; r � A; b) E � D; c) A � B � { }; B � A;

d) O � L � M; N � L � M; e) G � G� � F; F – G � G� .

C � { i, l, o, u, v }; A � { lettere della parola diluvio }; C � A; C � A � B; A � B � {d}.

c) 1 � A 3 � B A � B B � A 7 � A

6 � A 5 � A C � A C � B 8 � B

12 � A 12 � B A � C B � C 9 � C

4 � B 4 � A 4 � C 6 � C 0 � C.

a) C � { r, e, a, t, o, l } b) D � { n, g, r, e, a, t, o, l, q, u, i, d }

c) E � { n, g } d) F � { q, u, i, d}.

40 caramelle.

AI PRINCIPALI QUESITI


a) 0; b) inesistente; c) è uguale a b; d) inesistente; e) è uguale a 0; f) dissociativa; g) associativa;h) la 2ª proprietà della sottrazione; i) la sottrazione non è possibile in N; l) inderminato; m) impossibile;n) commutativa; o) dissociativa; p) distributiva; q) la 3ª proprietà della divisione.

1522; 1396; 15,33; 836,01; 0; 10; � o � o : ; � o : ; n; 0:0; 0; a:a; 1.

a) dissociativa; commutativa e associativa; b) invariantiva;c) commutativa; associativa e 2ª proprietà della sottrazione; d) distributiva della divisione rispetto la sottrazione;e) 3ª proprietà della divisione;f) invariativa.

a) 15; b) 3; c) 42,46; d) 23.

a) 83 kg; b) divisione; c) moltiplicazione, equivalenza e addizione oppure equivalenza, moltiplicazione e addizione;d) minore del peso di una pasta.

a) 7,5 €; b) 32 kg; c) 60.8

7

6

4

3

1

8

5

4

3

2

1

165


esponente di una potenza – base di una potenza – elevamento alla 2a potenza – risultato di una potenza.

a) □3 a; b) □4 1; c) □4 1; d) □1 non ha significato; e) □5 1 seguito da n zeri.

a) □3 am�n; b) □5 am�n; c) □2 am�n�p; d) □6 (a � b)m; e) □1 (a : b)n.

81 – 100 000 – 144 – 900 – 1 – 1 – 36 – 343 – 0,81 – 6,76 – 0,001 – 64000000.

F – F – F – V – F – F – F – V – F – F.

a) 2; b) 135; c) 1000; d) 11,4.

122 – 25 – 43 – 24 – 9 – 4 – 3 – 7 – �1�6�9� – �6�4� – �1�0�0� – �2�2�5�.

a) 602; b) 44.

1,8 � 107; 1,08 � 109; 3 � 108.

Divisori e multipli

a) 70 è il maggiore divisore comune di 140 e 210; 210 e 140 sono entrambi divisibili per 70;b) 100 e 150 sono divisibili per 50;c) 24 è il minore dei multipli comuni di 8 e di 12;d) 180 è divisibile per 36, per 12 e anche 20;

180 è il minore dei multipli comuni dei tre numeri dati.

F – V – F – F – F – V – F – V – F – V.

480 � 25 � 3 � 5; 3960 � 23 � 32 � 5 � 11.

a) M.C.D. � 90; m.c.m. � 14 850; b) M.C.D. � 36; m.c.m. � 1 995 840.

si; (2 � 7) � 14.

a) 2 ore; 20, 15, 12 percorsi completi; b) 22 mazzi; ...........

Le frazioni

a) maggiore o uguale al denominatore; b) minore del denominatore;c) multiplo del denominatore; d) maggiore di una frazione propria;e) il numeratore uguale a 1; f) numeri primi tra loro;g) una frazione equivalente a quella data; h) il numeratore maggiore;i) il minimo comune multiplo dei denominatori;l) 0; m) una scrittura priva di significato; n) indeterminato.

A � ��34

�; �155�; �

12

�; �110��; B � ��

54

�; �178�; �

92

�; �366�; �

375��; C � � ; �

375��; D � ��

12

�; �110��.

�14

� � �146� � �

28

� � �250�; �

32

� � �1150� � �

2178� � �

64

�; �19200

� � �192� � �

1250� � �

4650�.

30; 24; 55; 12.

�23

� ; M.C.D. � 24.

�28

� < �13

� < �1156� < �

77

� < �98

� < �1142� < �

52

� .

�57

� > �47

�; �23

� > �24

�; �82

� < �135�; �

75

� > �191� .11

10

9

8

7

36�66

2

11

10

9

6

3

2

11

10

8

7

6

5

4

3

1

166

Operazioni con le frazioni

a) la loro somma è 1; b) uno; c) uno; d) �ba

�; e) ; f) �59

� � �83

�; g) �ban

n�;

h) ��ba

��8; i) ��

ba

��8; l) ��

ba

� � �cd

��5; m) ��

ba

� : �cd

��8; ��

ba

� � �cd

��8; n) ��

ba

��30

; o) frazione a termini frazionari;

p) �ba

� � �cd� ; �

ba

� : �dc

� ;

a) �32

�; b) �95

�; c) �1445�; d) �

295�; e) �

1116�; f) �

287�.

��25

��2; ��

43

��3; ��

23

��12

; ��112��

2; 1; �

13

�.

a) �125�; b) �

29

�; c) �1435� .

�35

�; �175�; 1; �

32

�; 9; �34

�; �12

�; 3; �12

�.

Dati e previsioni

tabella di frequenza; percentuale; indagine statistica; unità statistica; istogramma; popolazione; fre-quenza assoluta; frequenza relativa; variabile statistica; modalità; variabile quantitativa continua; campodi variazione.

1b; 2f; 3e; 4a; 5c; 6c; 7d; 8c.

.


inverso.

diretto.

diretto.

inverso.

a) A�B� > C�D� ; b) più di 36,90 € ;

c) < 700 q ; d) 1° numero � 468 : 13 � 5.

a) 30 km; b) 380; c) 65°; 91°; ottusangolo; d) 90 kg.

a) 135 €; 180 €; b) 144 km; 36 km.


inverso.

diretto.

diretto.

inverso.

a) A�B� > C�D� ; b) più di 36,90 € ; c) < 700 q ;d) 1° numero � 468 : 13 � 5; 1° numero < 2° numero; e) 1° numero 12 : 2 � 9; 1° numero > 2° numero.

a) 30 km; b) 380; c) 65°; 91°; ottusangolo; d) 90 kg.

a) 135 €; 180 €; b) 144 km; 36 km. 7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

2

1

7

6

5

4

2�3�

71

167


a) è chiuso rispetto alla divisione; ha come sottoinsiemi N;b) hanno per denominatore una potenza di 10;c) formato dal gruppo di cifre decimali, o dalla cifra, che si ripete all’infinito;d) esiste solo se il numero è misto; è la cifra o il gruppo di cifre decimali che non si ripetono;e) decimale limitato;f) decimale periodico misto;g) si esprime con la scrittura a meno di 0,01; si esprime con la scrittura a meno di �

1010

�; si scrive con duesole cifre decimali;

h) a meno di 0,1 per difetto;i) 32,161.l) a meno di �

110� per difetto è 8,4; a meno di 0,01 per difetto è 8,45;

m) �15010

�; n) �59090

�; o) �49505

�; p) �698910

� .

�23

� → periodico semplice; �35

� → decimale limitato; �179� → periodico semplice;

�76

� → periodico misto; �235� → decimale limitato; �

1715� → periodico misto.

�3150�; �

599�; �

163�; �

49693

�; �356�; �

1303232

� .

a) �32

�; b) 9; c) �98

� .

L’estrazione di radice e i numeri reali assoluti

numero irrazionale – radicando – estrazione di radice – indice del radicale – insieme Q(a) – quadrato per-fetto – insieme R(a) – quadrato perfetto.

a) 400; b) 0,09; c) 0,7; d) 740; e) 4; f) �1�4�4� � �1�6�; 12 � 4; 48; g) 92; 81.

4900; 1296; 1089; 7056.

V – F – V – F – V – V – F – F – V.

a) 90; 42 b) 76; 18,1; c) 10,15; 2,4; 1,5; 0,658; 18,7; 9,61; 7,59; 8,51; 16,553.

a) 9 � 12 � 7 � 756; b) �1114�; c) 8 � 15 : 4 � 30; d) 23 � 52 � 13 � 2600.

a) �176�; b) 1,61.8

7

6

5

4

2

1

7

5

4

1

168


proporzione – antecedente – medi – proprietà fondamentale – conseguente – proporzione continua –proprietà del permutare – terzo proporzionale – estremi – catena di rapporti uguali.

a) b : a; b) estrarre la radice quadrata di a � b; c) a � d � b � c ; c � �a

b� d�;

d) la proprietà del permutare gli estremi; e) la proprietà dell’invertire; f) la proprietà del comporre.

2a e 4a quaterna.

a) �156�; b) �

49

�; c) �221�; d) �

2156�.

a) �110�; b) �

12

�; c) 90; 120; 180; d) 406; 609.

a) x : 56 � 56 : 112; b) �130� : �

65

� � �65� : x; c) 2,7 : x � x : 10,8.

a) 5 : 8 � x : y; b) comporre; c) x < y.

a) 396; 231; b) 216 km; 180 km; c) 25,5 m; 34 m; 42,5 m; d) 18,2 cm; 28,6 cm.


a) i valori di y dipendono dai valori assegnati a x; le grandezze x e y sono direttamente proporzionali;b) il prodotto tra i valori corrispondenti di due grandezze x e y è costante; le due grandezze x e y sono

inversamente proporzionali;c) le due grandezze y e x sono inversamente proporzionali;d) le due grandezze x e y sono direttamente proporzionali; il rapporto tra i valori di y e i corrispondenti

valori di x è costante.

caratteristica: se i valori della prima grandezza raddoppiano o dimezzano, anche quelli corrispondentidella seconda raddoppiano o dimezzano; se i valori della prima grandezza raddoppiano o triplicano,quelli corrispondenti della seconda dimezzano o diventano un terzo.

legge: y � k � x ; �yx

� � k ; y � �kx

� ; x � y � k .

costante: rapporto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k � �ky

� ); pro-dotto tra i valori della seconda grandezza e quelli corrispondenti della prima (k � x � y).

grafico: semiretta uscente dall’origine; ramo di iperbole equilatera.

a) diretta; y � �130� x ; b) inversa; y � �

1x6� .

Applicazioni della proporzionalità

capitale – problemi del 3 semplice – areogramma circolare – percentuale – problemi del 3 semplice inver-so – montante – interesse – problemi di ripartizione semplice diretta.

a) P : N � r : 100; b) I � �C

1�

2r0�

0m

�; c) t � �IC�

�

10r0

�; d) r � �C

I�

�

t(1a0n0ni)

� .

a) 60%; 20%; 20,65%; 5%; b) 65; 0,6; 222; 0,8; c) 68; 50; 4; 1890.

8%; 6000 €; 6%; 344,50 €; 1 anno e 2 mesi.

20%; 10€; 43,60 €; 636,64 €; 12%; 50 €.

a) 341 m; b) 12 ore; c) 97 500 €; 26812,50 €; d) 64°48’; 97°12’; 75°36’; 113°24’; 189°; concavo...6

5

4

3

2

1

3

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

169

Dati e previsioni

a) dividere la somma dei valori ottenuti per il loro numero.b) i valori 7,5 e 11 hanno frequenza assoluta 2.c) ci sono più valori che hanno frequenza massima; la moda non è significativa.d) la media non è molto significativa perché i dati sono dispersi verso il basso;

la mediana è 4 perché 4 è il valore che si trova in posizione centrale;e) il morbillo è una malattia che si manifesta soprattutto nei bambini;

l’età dei malati di morbillo è concentrata verso valori bassi.f) deve essere rappresentativo dell’intera popolazione; è più rappresentativo se è di grandi dimensionig) non si può dire con certezza se accadrà; è impossibile che si verifichi.h) un numero maggiore o uguale a zero e minore o uguale a uno.

i) 0,6; �35

�.

l) la somma è un numero dispari minore di 11

a) la somma dei valori e il loro numerob) la moda o valore normalec) estendere all’intera popolazioned) certo; incerto; impossibilee) il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili.

dati media moda mediana

5, 5, 8, 10

4, 5, 8, 9, 9

1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 8

7, 10, 6, 10, 3, 9, 11

4, 3, 12, 6, 8, 1, 7, 3

40,3�6� kg; 42 kg; 41 kg.

completa; campione; completa; completa; campione; campione; campione; completa.

è uguale; dalla seconda.

�12

�; �12

�; �12

�; �45

� .

NO; perché la somma dei due eventi è un numero maggiore di 1.9

8

7

6

5

3

2

1

7 5 6,5

7 9 8

4 5 5

8 10 9

5,5 3 5

170

VERIFICHE DI GEOMETRIA


semiretta – punto – asse – piano – linea – congruenza diretta – segmento – linea retta – segmento somma – punto medio

a) un punto; b) una semiretta; una linea; c) un segmento; d) una semiretta; e) un piano.

A � �; t � �; H � r; r � �;.

24 m; 72 m.

29,5 cm; 18,5 cm.

28 dm; 70 dm.

10 m; 14 m.

21 cm; 19 cm; 17 cm.

Gli angoli

semipiano – angolo convesso – angoli adiacenti – grado – angoli supplementari – angolo ottuso – bisettrice– angolo acuto – angoli esplementari – angoli opposti al vertice.

d) 7°3’14”.

a) 141°49’35”; b) 44°16’35”; c) 30°0’45”; d) 11°16’45”.

a) 180°; 80° b) 195°40’33”;

18°; 72°.

40°20’; 139°40’; 139°40’.

48°51’41”.

48°30’; 97°; 132°30’.

Rette nel piano

a) hanno in comune un solo punto; b) sono incidenti e formano quattro angoli retti; c) r // s; d) m ⊥ n; e) a � b = { }; f) congruenti; g) supplementari; h) un segmento perpendicolare.

α∧

� 123°; β∧

� 57°.

1∧

� 145°; 6∧

� 35°; 8∧

� 35°; 4∧

� 35°; 5∧

� 145°; 7∧

� 145°; 3∧

� 145°.

FCD∧

� 75°; DCG∧

�105°; BCG∧

� BCF∧

�180°; HFE∧

�75°; BCG∧

�75°; CFE∧

�105°; BCF∧

�105°; CBI∧

�105°.

150°; 30°; 147°36’; le due rette non sono parallele.

Piano cartesiano

a) perpendicolari;b) si chiamano asse della ascisse e delle ordinate; si intersecano in un punto che si chiama origine degli

assi; dividono il piano cartesiano in quattro quadranti;c) va dall’origine verso l’alto per l’asse delle y; va dall’origine verso destra per l’asse delle x; d) si chiamano ascissa e ordinata; indicano la sua distanza dagli assi;e) ha come ordinata 0.

a) F; b) F; c) V; d) V; e) V; f) V; g) V.

A � (3; 0) B � (2; 3) C � (0; 7) D � (6; 5) P � (3; 5) M � (2; 5)

A�B� e B�C� sono adiacenti; D�E� e E�F�� sono consecutivi; A�B� e I�L� sono incidenti; R�S� e T�U� sono sovrapposti.

concavo; vertice R.6

4

3

2

1

6

5

4

3

1

11

10

9

8

7

6

4

1

1110

9

8

7

4

2

1

171

Triangoli

triangolo ottusangolo – triangolo rettangolo scaleno – triangolo isoscele ottusangolo – circocentro– triangolo equilatero – ortocentro – incentro – triangolo scaleno – baricentro – triangolo rettangolo.

NO; SI.

45°; 32 dm.

71°; 28 cm.

ACH∧

� 25°; CAH∧

� 65°; AHC∧

� 90°; HAB∧

� 40°; ABH∧

� 50°; AHB∧

� 90°; CAB∧

� 105°.

67°; 24 m; 26 m; 10 m.

a) SI; b) NO; c) NO.

Quadrilateri

a) contiene l’insieme dei parallelogrammi; contiene quadrilateri con una coppia di lati paralleli;b) gli angoli adiacenti ad ogni base sono congruenti; gli angoli adiacenti a ogni lato obliquo sono sup-

plementari;c) l’altezza è congruente a un lato; sono presenti due angoli retti;d è costituito da quadrilateri con due coppie di lati paralleli; è incluso nell’insieme dei trapezi;e) i lati opposti sono paralleli e congruenti a coppie;f) le diagonali sono congruenti; ci sono due coppie di angoli retti;g) le diagonali sono perpendicolari e di diversa lunghezza;

le diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli interni;le diagonali formano quattro triangoli rettangoli scaleni congruenti;

h) le diagonali perpendicolari e congruenti; le caratteristiche dei rettangoli e dei rombi;i) 2p = I x 4; l) b = (2p : 2) – h.

NO; SI; NO; NO.

a) BCH∧

� 48°; C∧

� 138°; A∧

� 138°;

b) A∧

� 60°; D∧

� 120°; BD∧

C � 26°; AC∧

D � 26°;

AO∧

B � 128°; AO∧

D � 52°; AD∧

B � 94°; AC∧

B � 94°.

144 dm.

81 dm; 108 dm.

17,07 m; 27,07 m.

9 cm.

44 dm.

Triangoli e quadrilateri nel piano cartesiano

a) triangolo acutangolo scaleno;b) triangolo rettangolo isoscele;c) triangolo ottusangolo scaleno.

a) rettangolo;b) rombo;c) quadrato.

3

1

9

8

7

6

5

4

3

1

12

11

10

9

8

5

1

172

Equiestensione ed area dei poligoni

a) un rettangolo; un parallelogramma; b) un trapezio; c) un triangolo; d) un triangolo rettangolo;

e) le misure dei lati; f) h � �Ab

�; h � A : b; g) un rettangolo, un parallelogramma; un rombo; h) un rombo.

a) d � �A� �� 2�; l � 2p : 4; A � l2; b) 2p � l � 4; A � �d1 �

2d2�; A � b � h;

c) (b1 � b2) � �A �

h2

� ; d) h � �Ab

� ; b � �Ah

� .

a) hanno la stessa estensione nel piano; hanno la stessa superficie, ma non la stessa forma;b) sono costituite da parti ordinatamente congruenti;c) sono sicuramente equiestese; sono sicuramente isoperimetriche; d) sono sicuramente equivalenti.

a) 765 m2; b) 36 cm.

123,2 dm; 948,64 dm2; 717,60 dm2.

54 m; 48 m.

150 cm2; 25 cm.

336 cm2; 528 cm2; 24 cm.

Teorema di Pitagora

F – V – F – V – F.

a) VV; b) VF; c) VF; d) VF; e) VFV; f) FVF; g) FV; h) FV.

7; 60; 70; 40.

a) 9 cm; 12 cm; 15 cm; 20 cm; 15 cm; 30 cm. b) 9 cm; 15 cm; 8 cm; 6cm.

c) 3 � �2� cm � 4,242 cm; 10,1808 : �2� � 7,2 dm; 7 cm.

rettangolo; ottusangolo; acutangolo.

160 cm; 960 cm2; 28,2 cm.

No, ……

36,4 dm; 58,8 dm2.

36 m; 54 m2; 37,2 m; 69,12 m2.

La similitudine e i teoremi di Euclide

a) tutti i punti della prima figura devono essere in corrispondenza biunivoca con quelli della figura simi-le; le ampiezze degli angoli corrispondenti delle figure simili sono uguali; il rapporto tra i lati corrispon-denti delle due figure è costante;

b) tutte le coppie di lati corrispondenti in proporzione; due coppie di lati in proporzione e congruenti gliangoli compresi tra questi lati; gli angoli ordinatamente congruenti;

c) al rapporto tra lati corrispondenti; al rapporto tra i perimetri; al rapporto tra le altezze corrispondenti;

d) i tre lati di un triangolo rettangolo e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; l’altezza relativa all’ipote-nusa e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa;

e) afferma che le coppie di segmenti corrispondenti che si formano tra un fascio di rette parallele e due tra-sversali sono in proporzione; serve per calcolare misure di oggetti molto alti, sfruttando le ombre prodottedal Sole.

II teorema di Euclide A�H� : C�H� � C�H� : H�B�; I teorema di Euclide A�B� : A�C� � A�C� : A�H�;I teorema di Euclide H�B� : B�C� � B�C� : A�B� .

3

1

10

9

8

7

6

5

4

3

1

10

9

8

7

6

4

2

1

173

F – V – F – V – F – V – V – F – V – V – F – V – F – F.

33 cm.

99 dm; 459 dm2.


segmento circolare – corda – circonferenza – arco – settore circolare – raggio – semicerchio – corona cir-colare – diametro – angolo alla circonferenza.

a) F – V – V – V; b) F – V – F – V; c) V – F – V – F; d) V – V – F – V.

a) 20 cm; 6 cm; secanti; b) 9,5 cm; 3,5 cm; 3,5 cm; tangenti internamente;c) 17,3 cm; 7,3 cm; esterne.

96 dm; 216 dm; 1728 dm2.

27 cm; 1053 cm2.

210 m; 1932 m2.

90 cm; 279,87 cm; 4590 cm2.

Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari

a) ha gli angoli opposti supplementari; gli assi dei suoi lati si incontrano nello stesso punto;b) la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due; le bisettrici dei suoi angoli si incon-

trano nello stesso punto;c) il raggio della circonferenza inscritta nel poligono; perpendicolare al lato nel punto di tangenza con

la circonferenza;d) il rapporto costante tra le misure dell’apotema e del suo lato; il numero da moltiplicare per il lato per

ottenere l’apotema.

a) A � �2p

2� a�; b) a � l � f; a � f � l; c) l � �

af� .

46 cm; 26,55 cm2; 120 cm2.

194,4 m; 2493,18 m2.

37,41 dm; 21,6 dm; 67,34 dm2; 33,67 dm2.


a) Ac � πr2; Ac � π � r � r; b) c � dπ ; c � r � 6,28; c � 2πr.

c) r ��; d) A(corona) � π � (r12 � r22); A(corona) � πr12 � πr2

2 ; e) trascendente.

18 cm; 81π � 254,34 cm2;

7 m; 81π m2; 9 m.

140,288 cm; 94,6176 cm2;

50,4 m; 158,76 m2; 408,0132 m2.8

7

6

5

Ac�π

2

8

7

6

3

2

8

7

6

5

3

2

1

8

7

4

174

Poliedri: prismi

a) una parte di spazio limitata da almeno quattro poligoni; b) a volte rettangoli; i poligoni che lo deli-mitano;c) l’insieme della facce laterali; costituita da almeno tre poligoni;d) con due facce congruenti poste su piani paralleli;e) la distanza tra i due piani contenenti le basi; f) la stessa estensione nello spazio; lo stesso volume.

a) Al � 2p � h; b) V � Ab � h; c) 2p � �Ah

l�; d) h � �AV

b�.

V1 � 32940 cm3; V2 � 32940 cm3; V3 � 32940 cm3; i tre solidi sono equivalenti.

2 dm; 16 dm2; 24 dm2; 20 kg.

8720 cm2; 48 000 cm3; 374,4 kg.

9 cm; 15,59 cm; 729 cm3; 466,200 cm3; 5321,7 g; 4149,18 g.

2420 cm2; 4,8768 kg.

Poliedri: piramidi

a) avente le facce laterali triangolari; con almeno tre facce laterali triangolari;b) la distanza tra il vertice della piramide e il centro del cerchio inscritto nella base;c) perpendicolare a ciascuno spigolo di base; l’altezza di una faccia laterale;d) la base è circoscrittibile a un cerchio; la base è un poligono regolare.

At � Al � Ab; V � �Ab

3� h�; Al � �

2p2� a� .

120 cm2; 184 cm2; 135,345 cm3.

3840 cm2; 24 576 cm3; 66,3552 kg.

144 dm2; 224,64 kg.

293,856 cm2.

1353,44 cm2; 3168 cm3; 2030,4 g.


a) At � Al � 2Ab; At � 2π r � (h � r); b) Al � π � r � a; Al � At – Ab

c) a � �πA�

l

r� ; a � �h�2�� r�2� d) V � Ab � h; V � πr2 � h; e) V � �

Ab

3� h�; V � �

πr2

3� h�.

a) V � 2πr3; b) V � π r3; c) Al � 4 πr2; Al � 4 � Ab; d) At � 3πr2; At � 3 � Ab.

182π m2 � 571,48 m2; 280π m2 � 879,20 m2; 637π m3 � 2000,18 m3.

256π cm2; 320π cm2; 1024π cm3.

1728π cm3.

7,5 dm; 45π dm2; 54π dm2; 40,500π dm3; 40,500π dm3; 356,076 kg.

28 cm; 14 cm; 245π cm2; 442,810π cm3.

278,80 cm2; 343,75 g.10

9

8

7

6

5

�3��

33

2

9

8

7

6

5

4

1

8

7

6

5

4

2

1

175


a) 2; b) 3; c) 1.

a) 2Al(cono) � Al(cilindro); V(cilindro) � 2V(cono); b) Il primo; c) Il primo.

8040π cm2; 57 600π cm3; 482,907 kg.

4,8 cm; 132π cm2; 96π cm3; 828,96 g.

3613,12π cm2; 2059,12π cm2; 3374π cm2;

15 680π cm3; 12 152π cm3; 27 832π cm3;

At1 � At2 > At3 V1 � V2 � V3 .

VERIFICHE DI ALGEBRA

Gli insiemi e le operazioni tra essi

a) insieme infinito; intersezione; insieme universo; insiemi disgiunti; insieme unione; insieme vuoto; insie-me complementare; diagramma di Venn.

C = { x/x è una lettera della parola messi }

A = { x/x è una lettera della parola tucano }

C = { x/x è una lettera della parola semi }

B = { x/x è una lettera della parola scaleno }

u � A a � A c � C

s � C o � B e � B

l � B n � A c � B

A � B = {l; n} B � C = {e; s} C � A = �

A � C = {l; n} B � A = {u; t} A � B � C = {l; n}

A � B = {a, c, o,} A � C = {u, t, m, i} A � C = {a, c, u, t, o, s, e, m, i}

B � C = {s, c, a, l, e, n, o, m, i} C � B = {l, e, s, n, m, i} B � A = {s, c, a, l, e, n, o}

A � B = {u, t} B � C = {l, n} C � A = {m, e, s, i}

C � B = {m, i} B � A = {m, e, n, s, i, l} C � A = C

b � A a � B B � A i � C

zero � � 10 � B o � A d � A

A � B {a, b} = {b, a} (a, b) = (b, a) A � B = B � A

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }; B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; 8

7

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

1

✗

✗✗

✗

✗ ✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗ ✗✗

✗ ✗

✗ ✗

✗ ✗

✗

✗

A

B

12

346

129

18 36

176

2 .......... A 3 ......... B 3 .......... A 6 ......... A

6 .......... B 9 ......... B 4 .......... A 12 ....... A

36 .......... A 36 ......... B B .......... A A ......... A

A � B = ................. B � A = .................

A � B = ............................................. B � A = ...............................................

A – B = .................. B – A = .............................

A = {3, 4, 5, 6, 7}; B = {4, 5, 6, 7, 8}.

A = {t, e, o, r, m, a}; B = {p, e, r, i, o, d, c}; C = A � B = {e, o, r}; D = B � A = {e, o, r};

E = A � B = {t, e, o, r, m, a, p, i, d, c}; F = B � A = {t, e, o, r, m, a, p, i, d, c}. Per l’intersezione e l’unio-

ne vale la proprietà commutativa.

Sì, perché non sono vuoti, sono disgiunti e la loro unione è uguale all’insieme I.


positivi – concordi – Q+ – discordi – valore assoluto – R� – negativi – Z.

F – V – V – V – F; V – V – F – F – V.

�; �; �; �; �; �; �; �; �; �.

�7 e �7; �9; �6 e �6; �2; �2 e �1; �15; �1.

>; <; >; <; <; <; <; >; <; <.


a) �4; b) �8 �9; �1 c) �15 �12; d) � 7; �11 � ( � 18); �11�18; e) �7�1�13�10

f) �12; g) �8; h) �25; i) ��43�; l) ��

12��

5; m) ��

45��

3; n) (�3)�4; o) ��

32��

2;

p) ��32� e � �

32

�.

a) �25; b) �48; c) �108; d) �3; e) ��47�; f) �2; g) ��

217�; h) ��

18

�;

i) ��245

�; l) 3; m) nessun risultato; n) ��23�� ; o) ��

15��

�2; p) ��

34

��2; q) ��

58

��3.

a) 36; b) 3; c) �25

� ; d) �98

� .


5ab2c3; ��34

� a6b; �7a3b�2.

coefficiente – parte letterale – simili – opposti – grado complessivo.

sesto grado; � 1; 13a2b3; �12

� x3y4z .

F – F – I – F – I.

a) 12; b) �437�.5

4

3

2

1

5

3

1

7

5

4

2

1

13

12

11

10

9� � � �

��

� � � �

�

A A

{1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18, 36} {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18, 36}

� A� = {9, 18, 36 }

177

a) 14a; b) �53

� a; c) 2xy; d) � �49

� xy � �152� x2y ; e) 6a3c4;

f) �14

� a3x3; g) �3x2y3; h) �52

� x–3 y–1; i) 9x2y8; l) �614� a12; m) �a3x3y3; n) � �

34� x5y5.

I polinomi

polinomio – ridotto a forma normale – binomio – termine noto – omogeneo – trinomio.

nono grado – ordinato in senso decrescente – completo – omogeneo e completo.

4° – 4° – 4° – 0°;7° – 3° – 3° – 3°.

a) 15x � 4y; b) x3 � �281� y3 ��

161� xy; c) 10a2b � 20ab3 � 25ab � 2a � 4b2 � 5;

d) � �43� a4b � �

45� a3b4c � �

110� a2b2c3 � �

83

� ab3c; e) 12 x2y � 12xy2; f) y2 � 7y � 3; g) 4a4 � �54

� .

At � 6 � (a � b)2; V � (a � b)3.

24xy � 6y2; 12x � 12y.


a) equazione; b) primo membro; c) secondo membro; d) coefficiente dell’incognita;e) termine noto; f) incognita; g) radice o soluzione.

4 � x �12, x � 7 � 0

indeterminata; determinata; determinata; impossibile.

indeterminata; determinata; impossibile.

1° principio; 2° principio; 2° principio.

a) numerica; intera; b) numerica; intera; c) numerica; intera; d) letterale; intera; e) letterale; fratta.

a) SI; b) NO; c) SI; d) NO.

a) x � 1; b) impossibile; c) x � 4; d) x � 3.

a) x � 24; b) 25; 22; c) 4200 €.


A → II; B → III; C → IV; D → I.

nessuna; nessuna; asse x; nessuna; asse y; asse y.

NO; NO; SI; NO; SI; SI; NO; SI.

rosso; blu; blu; niente; blu; rosso; rosso; blu; blu; blu.

a) I III; b) II IV; c) II IV; d) asse x; e) I II; f) I IV; g) II III; h) I III.6

5

4

3

1

11

10

8

6

5

4

3

2

1

9

8

7

6

2

1

6

178

A�B� � 6u M(1; 0); E�F� � u M�� 18

�; �38

�� ; C�D� � 13u M��52

�; 0� .

il punto A appartiene; il punto B appartiene; il punto C non appartiene.

y � 6; x � 2; y � � �13� ; x � 5.

7,4u; 2u2.

A’ ( � 1; 4); B’ (� 2; 5); C’ (� 4; 3);

A’’ (1; � 4); B’’ (2; � 5); C’’ (4; � 3);

A’’’ (� 1; � 4); B’’’ (� 2; � 5); C’’’ (� 4; � 3).

Dati e previsioni

frequenza cumulata dal basso; poligono di frequenze; ampiezza di una classe; cartogramma; istogram-ma di frequenza; valore centrale di una classe; ideogramma; campo di variazione; classe modale; scartodalla media.

a) la classe modale è: 1 – 3 7 – 9 13 – 15

b) la moda è: 9 11 8

c) i valori centrali delle classi sono: 2; 4; 6; 8; 10 3; 6; 9; 12; 15 2; 5; 8, 11; 14

d) la media si calcola nel seguente modo:

M = M =

M =

e) Le frequenze cumulate dal basso sono: 7; 12; 21; 25; 31 1; 5; 12; 22; 35 31; 24; 19; 10; 6

g) la frequenza elativa della classe 4 – 6 si calcola nel seguente modo:

5 : 31 � 100; 31 : 5 � 100; 5 : 100 � 31

h) il campo di variazione è: 15; 15 – 1 13 – 3

Classi frequenze Classi Frequenze cumulate Classi Frequenze cumulatedal basso dall’alto

25 – 29 12 < 25 0 25

30 – 34 15 < 30 30

35 – 39 14 < 35 35

40 – 44 13 < 40 40

45 – 49 11 < 45 45

50 – 54 10 < 50 50

< 55 55 0

3

2x7 � 5x5 � 8x9 � 11x4 � 14x6��

31

3x7 � 6x5 � 9x9 � 12x4 � 15x6��

312x7 � 4x5 � 6x9 � 8x4 � 10x6��

31

2

1

12

11

10

�1�0��

47

✗✗

✗

✗

✗

✗

✗

12

27

41

54

65

75

75

63

48

34

21

10

179

Il calcolo della probabilità

a) il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili;b) modifica la probabilità di verificarsi dell’altro;c) si ottiene unendo due eventi parziali compatibili o incompatibili;d) tra il numero dei casi favorevoli e il numero della prove effettuate;e) il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro;f) maggiore di 0 e minore di 1; g) la somma delle loro probabilità è uguale a 1.

frequenza relativa: 47,6%; 52,4%; probabilità matematica: �12

� (50%).

P(E1) � �14� ; P(E2) � �

130� ; P(E3) � �

170� ; P(E4) � �

410� ; P(E5) � �

110� ; P(E6) � �

1430� ; P(E7) � �

410� ; P(E8) � �

12

� .

compatibili; incompatibili; compatibili.

�1909070

�.

c)

Prova finale d’uscita

Completa la seguente tabella.

SIMBOLO SIGNIFICATO DEL SIMBOLO SIMBOLO SIGNIFICATO DEL SIMBOLO

� ...................................... m.c.d. ............................................

� ...................................... ............... “è maggiore o uguale a”

M.C.D. ...................................... ............... “è perpendicolare”

x/x ...................................... ...........................................

............... “è sottoinsieme di” // ...........................................

Z+ ...................................... ............... insieme dei numeri reali assoluti

R ...................................... ............... insieme dei numeri razionali negativi

Barra la casella che corrisponde alla risposta esatta (in alcune domande sono più di una).

• La formula A = �2p

2� a� si usa per calcolare l’area:

□ di un poligono qualsiasi; □ di un quadrato; □ di un poligono circoscritto; □ di un rettangolo.

• La formula V = �Ab

3� h� si usa per calcolare il volume:

□ di un prisma a base triangolare; □ di un parallelepipedo rettangolo; □ di una piramide;

□ di un cono.

• Per calcolare l’area della superficie laterale di un cono si usa la formula:

□ Al = 2�r; □ Al = 2�ra; □ Al = 2�r2a; □ Al = �ra.

• In un cilindro equilatero:

□ il raggio di base è uguale all’altezza;

□ il diametro di base è uguale all’altezza;

□ il diametro di base è metà dell’altezza;

□ l’altezza è il doppio del raggio;

• Due rette sghembe:

□ appartengono allo stesso piano; □ non hanno alcun punto in comune;

□ hanno un punto di intersezione; □ non appartengono allo stesso piano.

2

1

8

7

6

5

4

1

intersezione

uguaglianza

Massimo Comun Divisore

minimo comun denominatore

è congruente

è parallelo

⊥

tale che

Ra

Q�

insieme dei n i relativi positivi

insieme dei n i reali

�

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗✗

180

• ��12

��2

è uguale a:

□ (�2)�2; □ ; □ (�2)2; □ ��12

��2;

• ��34

� è:

□ l’inverso di ��43

�; □ l’inverso di �43

�; □ l’opposto dell’inverso di �43

�; □ l’opposto di �34

�.

• La radice quadrata di 4:

□ è uguale solo a �2; □ non ha soluzione in R; □ è uguale a 2; □ è uguale solo a �2.

• ��23

��2

��3

è uguale a:

□ ��32

��6; □ ��

23

��6

; □ ��23

��6; □ ��

23

��1

;

• La notazione scientifica di 0,00002 è uguale a:

□ 2 � 10�4; □ 10�5; □ 2 � �1104�; □ 2 � 10�5.

• a3 � a�2 è uguale a:

□ a; □ a�1; □ a5; □ a�6.

• a�2 � a�3 è uguale a:

□ a�5; □ a6; □ a; □ a�6.

• �23

� a2b è un monomio:

□ fratto; □ intero; □ di 2° grado complessivo; □ di 3° grado complessivo.

• Il polinomio x3 � 2x2 � �12

�x � 3 è:

□ di terzo grado; □ di sesto grado; □ ordinato; □ completo.

• (a � b) � (a � b) è uguale a:

□ 2a � 2b; □ a2 � b2; □ a2 � b2; □ a � b.

• (a � b)2 è uguale a:

□ a2 � b2; □ a2 � ab � b2; □ a2 � 2ab � b2; □ (a � b) � (a � b).

• a3b2c : a2b2 è uguale a:

□ abc ; □ ab; □ a; □ ac.







• La frequenza relativa di un dato è uguale:

□ alla frequenza assoluta moltiplicata per 100; □ alla frequenza assoluta divisa per 100;

□ alla frequenza assoluta moltiplicata per 1000; □ alla frequenza assoluta divisa per il numero dei dati.

• La mediana di una distribuzione di dati ordinati in modo crescente è:

□ uguale alla somma dei valori dei dati divisa il numero dei dati;□ il dato con la maggiore frequenza assoluta;

□ il dato in posizione centrale;

□ il dato con la maggior frequenza relativa.

1�

��12

��2✗ ✗

✗ ✗

✗

✗ ✗

✗

✗

✗

✗ ✗

✗ ✗ ✗

✗

✗ ✗

✗

✗

✗

✗

✗

181

A B

C

A

C

BH

l

As

α°

• La probabilità di un evento è uguale:

□ a un numero 0 e 1; □ a un numero maggiore di 1;

□ al numero dei casi favorevoli moltiplicato per 100;

□ al numero dei casi favorevoli diviso il numero dei casi possibili.

• Se la probabilità di un evento casuale è �23

�, la probabilità dell’evento complementare è:

□ 1; □ �33

�; □ ��23

�; □ �13

�;

• L’equazione dell’asse delle ascisse è:

□ x � 0; □ x � 1; □ y � 0; □ y � 1;

• La misura del segmento A�B� parallelo all’asse delle ascisse è:

□ A�B� � xB � xA; □ A�B� � xA � xB; □ A�B� � xB � xA; □ A�B� � xA � xB;

• Le coordinate del punto medio (M) del segmento A�B� sono:

□ xM � �xA �

2xB�; yM � �

yA �

2yB�; □ xM � xA � xB ; yM � yA � yB ;

□ xM � xA � xB ; yM � yA � yB ; □ xM � �xA �

2xB�; yM � �

yA �

2yB�;

• La relazione che esprime una funzione di proporzionalità inversa è:

□ x � y � k; □ y � kx2; □ y � kx; □ y � �kx

�.

• La rappresentazione grafica di una funzione di proporzionalità diretta è:

□ una retta che interseca gli assi cartesiani:

□ una retta che passa per l’origine degli assi cartesiani;

□ una retta parallela all’asse delle ascisse;

□ una retta parallela all’asse delle ordinate.

• Il peso specifico di una sostanza è uguale:

□ al rapporto tra peso e volume;

□ al rapporto tra volume e peso;

□ al prodotto tra peso e volume;

□ al quoziente ottenuo dividendo il peso per il volume.

Facendo riferimento ai triangoli rettangoli disegnati completa le seguenti relazioni:

B�C� � �.........�.........�.........�.........�.� ..... : A�C� � A�C� : .....

A�B� � �.........�.........�.........�.........�.� A�B� : ..... � ..... : B�H�

A�C�2 � ....................................... ..... : C�H� � ..... : .....

Completa le seguenti proporzioni facendo riferimento al disegno:

c → lunghezza della circonferenza

Ac → area del cerchio

l : ........ � c : .......... As : ....... � �° : ......... As : l � ....... : .........

4

3

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗ ✗

✗

✗

✗

A�B�2 � C�A�2

C�B�2 � C�A�2

C�B�2 � A�B�2

A�B�

B�C� B�C�

A�H�

A�H�

C�H� H�B�

�° 360° 360° cAc Ac

182

Completa il procedimento per risolvere un’equazione numerica intera di 1° grado ad una incognita.

a) si risolvono ..................................................................................................................................................... .

b) si riducono i due membri al ......................................................................................................................... .

c) si tolgono i denominatori applicando ......................................................................................................... .

d) si applica la regola ...................................... in modo che i termini con l’incognita siano ..........................

................................. .

e i termini noti .............................................................................................................. .

e) si riduce l’equazione a forma ...................................................................................................................... .

f) si calcola la radice dell’equazione dividendo il .................................. per il .............................................. .

Completa le seguenti frasi:

a) Il prodotto di due numeri relativi concordi è un numero ........................, il prodotto di due numeri rela-

tivi ........................ è un numero ............................ .

b) Il prodotto di tre o più numeri relativi è positivo se .................................................................................,

è negativo se ....................................................................................................................... .

c) La potenza di un numero negativo è positiva se ......................................................., è negativa se

........................................................ .


a) ��25

� � �38

�� : ��15

� � �14

�� 12

��5

: ��12

��4

: ��35

��4

: ��35

�� 53

��2

�b) [(2x � 5y) (2x � 5y) � (x � 3y)2 � (4y � x) (4y � x)] : (�2x)

Risolvi la seguente equazione e verifica l’esattezza della radice:

�2x

1�

01

� � �1 �

53x

� � �x �

21

� � 2 � 2 � (x � 2)

Risolvi i seguenti problemi dopo aver predisposto un disegno rispondente al testo.

Considera una circonferenza di centro O e disegna in essa un diametro e una corda ad esso perpendi-

colare. Sapendo che la circonferenza misura 7,5 �m e che la corda è gli �85

� del raggio; calcola: a) l’area del cerchio;b) l’area e il perimetro del quadrilatero avente come vertici gli estremi del diametro e della corda.

Un solido è composto da un prisma a base quadrata e da due piramidi diverse aventi per basi le basidel prisma. La superficie totale del solido è 24416 dm2, la superficie laterale del prisma è 14560 dm2 e la

superficie laterale di una piramide è i �3553� di quella dell’altra.

Sapendo che lo spigolo di base misura 56 dm, calcola il volume del solido composto.

Disegna su un piano cartesiano il rettangolo ABCD di vertici:A ≡ ( 2; 0), B ≡ ( 1; 0), C ≡ ( 1; 4), D ≡ ( 2; 4).Individua il punto D’ simmetrico del punto D rispetto l’asse della x e considera il quadriltero D’ B C D;descrivilo e calcolane perimetro e area.Traccia le diagonali, calcola le loro lunghezze, determina le coordinate dei loro punti medi M e M’ e veri-fica col disegno l’esattezza dei tuoi calcoli.

11

10

9

8

7

6

5le operazioni indicate in ciascun membro

minimo comun denominatore (m.c.d.)

il secondo principio di equivalenza

del trasporto al primo

membro

al secondo membro

normale

termine noto

positivo

discordi

l’esponente è pari

l’esponente è dispari

�� 13

��

negativo

i fattori negativi sono presenti in numero pari

i fattori negativi sono presenti in numero dispari

coefficiente dell’incognita

[2; 0 � 0]

[ � 2x ; � 3y]

[14,0625 � m2; 22,5 m2; 20,1 m]

[272832 dm3]

[Trapezio rettangolo; 20 u; 18 u2; 5 u; 8,5 u; M ≡ (�0,5; 2); M’ ≡ (�0,5; 0)]

183

Di seguito sono riportate i pesi, in grammi, di trote pescate durante una gara in un centro di pesca spor-tiva:200; 206; 212; 224; 190; 229; 233; 237; 241; 245; 151; 157; 163; 199; 210; 216; 222; 228; 150; 158; 174; 234;239; 243; 154; 161; 165; 167; 183; 188; 189; 220; 226; 232; 238; 234; 155; 173; 177; 152; 158; 249; 153; 257;161; 155; 157; 163; 179; 241; 245; 209; 200; 196; 213; 218; 224; 169; 163; 157; 151; 245; 161; 187; 233; 179;164; 158; 202; 196; 190; 206; 182; 208; 154; 159; 173; 251; 175; 164.Raggruppa i dati in classi di ampiezza 10; calcola:– per ogni classe: la frequenza assoluta, quella relativa e quella percentuale;– le frequenze cumulate dall’alto e dal basso;– la media, la moda e la mediana. Effettua delle considerazioni sui valori medi. Rappresenta, poi, i dati graficamente con un diagramma a tua scelta.

12

150-159 16 16 80 16 : 80 � 0,2 20%

160-169 11 27 64 11 : 80 � 0,1375 13,75%

170-179 7 34 53 7 : 80 � 0,0875 8,75%

180-189 5 39 46 5 : 80 � 0,0625 6,25%

190-199 5 44 41 6,25%

200-209 6 50 36 6 : 80 � 0,075 7,5%

210-219 6 56 30 7,5%

220-229 7 63 24 7 : 80 � 0,0875 8,5%

230-239 8 71 17 8 : 80 � 0,1 10%

240-249 7 78 9 8,75%

250-259 2 80 2 2 : 80 � 0,025 2,5%

totale 80 100%

MODA �150 �

2159

� � 154,5 g

MEDIA �

� �

� �15

85080� � 194,75 g

MEDIANA 192,5 g

2472 � 1809,5 � 1221,5 � 922,5 � 972,5 � 1227 � 1287 � 1571,5 � 1876 � 1711,5 � 509��

80

154,5�16�164,5�11�174,5�7�184,5�5�194,5�5�204,5�6�294,5�6�224,5�7�234,5�8�244,5�7�254,5�2��

80

184

9999.... RRRRIIIISSSSUUUULLLLTTTTAAAATTTTIIII DDDDEEEEIIII GGGGIIIIOOOOCCCCHHHHIIIIEEEE DDDDEEEELLLLLLLLEEEE VVVVEEEERRRRIIIIFFFFIIIICCCCHHHHEEEE FFFFIIIINNNNAAAALLLLIIII DDDDEEEELLLL CCCCOOOORRRRSSSSOOOO

9999....1111 RRRRiiiissssuuuullllttttaaaattttiiii ddddeeeeiiii ggggiiiioooocccchhhhiiii

ARITMETICA – VOLUME A

185

ARITMETICA – VOLUME B

186

GEOMETRIA – VOLUME B

GEOMETRIA – VOLUME C

188


7

6

5

4

3

2

1

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

189

9999....2222 RRRRiiiissssuuuullllttttaaaattttiiii ddddeeeellll lllleeee vvvveeeerrrriiiiffff iiiicccchhhheeee ffff iiiinnnnaaaallll iiii

ARITMETICA – VOLUME A


a) addizione; moltiplicazione;

b) addizione;

c) l’operazione inversa dell’addizione - la prova dell’addizione;

d) elemento neutro per la moltiplicazione;

e) dividendo e divisore sono 0;

f) commutativa dell’addizione;

g) associativa della moltiplicazione;

h) a – b – c – d;

i) a x b – a x c – a x d;

l) non è vera se c = 0; se c � 0 esprime la proprietà invariantiva della divisione;

m) vale solo se d � 0 e a è divisibile per d; esprime la III proprietà della divisione;

n) qualche volta; se un addendo è 0;

o) qualche volta;

p) qualche volta; se un fattore è 1;

q) se solo il dividendo è 0.

1) Si effettuano innanzi tutto le operazioni che compaiono entro le .................................., eseguendo

prima le .............................. e le ......................, nell’ordine ........................................., poi le ....................,

e le ........................... anch’esse nell’ordine ......................................

2) Si eseguono le operazioni che compaiono nelle .................................., osservando il medesimo

ordine definito ...........................................

3) Si effettuano le operazioni interne alle .................................., osservando il medesimo ordine.

4) Si eseguono, infine, le operazioni rimaste, sempre osservando .......................................

40 .... 40 = 0; 10 .... 3 = 7; 38 .... 0 = 38; 3 .... 2 .... 6 = 7;

a .... a = 0; n .... a .... a = n; b .... 0 = b; 3 .... 5 = 15;

2 .... 0 impossibile; 27 .... 9 = 3; 0 .... 0 indeterminato; 11 .... 11 = 1;

a .... a = 1; b .... 1 = b; a .... b .... b = a; n .... 0 = 0.

4

3

2

1

Unità 4

somma differenza

2° addendo sottraendo

1° addendo minuendo

prodotto quoto o quoziente

2° fattore divisore

1° fattore dividendo

parentesi tonde

parentesi quadre

parentesi graffe

nel punto precedente

il medesimo ordine

moltiplicazioni

sottrazioni in cui si presentano

in cui si presentano addizionidivisioni

––:: :

: : :– x

x:

x x

– – ++

±±

190

......... + 1437 = 3241; 27,5 + .......... = 51,65; ......... – 1034 = 969;

.......... – 48,04 = 23,2; 715 – ............ = 6,84; 315 x ...... = 26145;

8502 : ..... = 218; ......... : 45 = 176; 12,5 x ...... = 42,5.

a) 30; b)5; c) 4,6.

a) 14 cm; 181 cm; 167 cm; no..........b) 48; 4.

10

9

8

7

6

5

associativa/commutativa

invariantiva

associativa/II proprietà della sottrazione

invariantiva

commutativa/associativa

dissociativa/commutativa/associativa

distributiva

✪1804

71,24

39 7920 3,4

708,16 83

24,15 2003

78

1901

1879

1809

1564

54

1837

1

1

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

1

0

0 0

0

b a

191

minore

base

unità

Metodi per risolvere i problemi

a) (dati superflui) 43,75 €; b) non si può risolvere (dati mancanti).

a) 33 anni; 24 anni b) 600 €; 2000 €; c) 5; 10; 30.


a) quadrato; b) cubo; c) numero stesso; d) 1 000 … 0; e) maggiore di 1 e minore di 10;

f) la potenza di 10 più vicina a quel numero; g) dell’elevamento a potenza; h) 1;

i) zero; l) non ha significato; m) an�m ; n) an�m ; o) an�m ; p) (a � b)n; q) (a : b)n.

* uno dei possibili risultati.

16

110

9

8

7

6

3

2

1

3

2

Unità 5

Unità 6

esponente

valore della potenza

base

potenza

indice della radice

segno di radice

radice

radicale radicando

{n zeri

49 1000 625 81 3375

1 0 1,44 1 0,04

0,000001 0,027 0,000025

33 24 122 62

34 43 23 26

34 28 33 52

4 * 3 4 103 3 65

* 14 2 3 3 15 2 2 42 * 3 2 * 3 2 2

26 = ................. 34 = ................. 64 81

192

Crucinumero

ORIZZONTALI VERTICALI

20. Rende vera l’uguaglianza 23 � 53 � 103 8. Rende vera l’uguaglianza 34 � 254 � 754

24. Rende vera l’uguaglianza 23 � 153 � 303

13

12

11

1,5 � 104

75 000 000 000

4,5 � 106

200 000

3,2 � 107

2,7 � 1010

104

7 3 3 2 9

10 11 5 2 5

106

105

5 0 0 2 5 6 1

1 7 5 7 6 0

6 5 0 6 2 0

1 2 1 4 5 0

5 7 5 6 4 0

6 5 0 3

2 5 5 9 9 3

5 5 0 0 6 3 0

193

Divisori e multipli di un numero naturale

a) maggiore dei divisori comuni; b) minore dei multipli comuni; c) il minore di essi; d) il maggiore di essi;e) 1; f) il loro prodotto; g) 1; h) numeri primi tra loro; i) illimitati;l) il resto della loro divisione è zero; m) è divisibile solo per 1 e se stesso; n) ha più di due divisori;o) il prodotto dei suoi fattori primi; p) una regola per stabilire se un numero è divisibile per un altro.

D(64) � {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

864 � 25 � 33; 2625 � 3 � 53 � 7; 35 000 � 23 � 54 � 7.

24 � 32 � 5 � 720; 22 � 32 � 52 � 7 � 6300; 100000 � 25 � 55 oppure (2 � 5)5; 1500000 � 25 � 3 � 56.

15.

M.C.D. � 22 � 3 � 5; M.C.D. � 22 � 5 � 7.

m.c.m. � 24 � 32 � 52 � 7; m.c.m. � 2 � 32 � 52 � 7 � 13.

756 � 22 � 33 � 7; M.C.D. (756; 840) � 84;840 � 23 � 3 � 5 � 7; m.c.m. (756; 840) � 7560.

a) 13; 10 cm � 60 cm; b) 6 m; 25 e 24 gradini.17

16

15

14

13

12

11

10

7

3

1

Unità 7

0, 2, 4, 6, 8

somma sue cifre

ultime due un multiplo di 4

se termina con 5 o con 0

se lo è la somma delle sue cifre

se termina con almeno 1, 2, 3 zeri

differenza som-

ma posto pari somma

posto dispari multiplo di 11

se termina con 2 zeri o con 25, 50, 75

scomposizione

fattori primi fattorizzazione

uguali maggiori

23

33

21 o 22 o 23 o 24

1123

54

22 7

194

Prime conoscenze sui numeri relativi

Z� → Insieme dei numeri relativi negativi; Z� → insieme dei numeri relativi positivi.

a) Z�� Z�� 0; b) concordi; c) lo stesso valore assoluto e segno contrario;d) dalla parte numerica; e) hanno lo stesso segno; f) hanno segno diverso;g) due versi, uno positivo e l’altro negativo.

�35 °C; �10 °C; �345 €; �287,36 €; �212 m; �2175 m; �3154 m; �322; �1995.

�7 ; �4; 0; �1; �3; �7; �9; �12.

0; �6. �6.

a) �207,80€; b) �56.

Unità 9Le frazioni

a) avente il numeratore uguale a 1; b) n < d; c) d � n; d < n; d) prive di significato;

e) corrisponde a un numero naturale; f) equivalenti; g) dei numeri razionali assoluti;

h) il minimo comune multiplo dei denominatori; i) numeri primi tra loro.

�47�; �

74

� ; �93

� �3. 65

2

1

13

1211

109

8

76

4

3

2

1

�3 �3

�5 �8

�4 �5�7 �10 �3

�6 �9 �2

�5 �2 �9

< < <

> > >

> � <

> < �

� 4 � 1 �3 �8

�2; �1; 0; �1

�5; �4; �3; �2; �1; 0

�11; �10; �9; �8

�2; �1; 0; �1

numeratore

linea di frazione o fratto

denominatore

> > <

< < >

Unità 8

195

24; 30; 36; 90.

�83

�; �175�; �

78

�; �45

�.

�79

�; M.C.D. � 8; �151� ; M.C.D. �15.

�182� , �

192�; �

1450�, �

3420�; �

4620�, �

2650�; �

3224�, �

1254�, �

2284�; �

1920�, �

2910�, �

2920� .

�25� , �

12

� , �34

� , �45

� , �56

� , �99

� , �43

� .

Unità 10Operazioni con le frazioni

a) la loro somma; b) il loro prodotto; c) 1; d) �ab

� ; e) ��23

��12

; f) ��57

��6; g) ��

134��

2;

h) ��13

��4; i) ��

18

��6.

3

1

14

13

12

11

10

8

7

� > < < < �

F ��12

��6�2

� ��12

��4

F �245� � �

196� � � �

9116�

V

F 22

V

100 � 9�

16

�56

�; �34

�; �12

�; �1135�; �

410�

�75

�; �5205�; �

9405�; �

158�; �

3131�

�5205�; �

9405�; �

3131� �

12

�; �410�

V

F �74

� � �47� � �

492+816� = �

6258�

V

F �195� � �

152� � �

2356�

196

a) �23

� ; b) ��23

��2

o �49

� ; c) 1. �12� ; �

183� ; �

1290� ; �

2327� .

�53� ; �

37

� ; �18

� ; 11. a) �27

� ; b) �298� ; al 5° fratello .

Rappresentazioni grafiche

a) diagramma a colonne; b) cartogramma;c) areogramma circolare; d) grafico lineare.

Dati e previsioni

a) un insieme di elementi che hanno almeno una caratteristica comune;

b) vengono considerati tutti gli elementi della popolazione statistica;

c) il numero delle volte con cui si presenta una modalità di una variabile statistica;

d) uguale alla frequenza assoluta diviso il numero totale di rilevamenti; un numero compreso tra zero

e uno;

e) uguale alla frequenza relativa moltiplicata per cento;

f) non è costante in una popolazione; può essere qualitativa o quantitativa;

g) ciascun elemento di una indagine statistica;

h) un modo con cui essa si può presentare;

i) discreta o continua;

l) si può rilevare solo attraverso una misura;

m) si esprime con parole;

n) per classificare le unità statistiche rispetto alle variabili qualitative; per classificare le unità statisti-

che rispetto ad una o più variabili; per indicare la distribuzione degli elementi di una popolazione

rispetto alle variabili statistiche;

o) la differenza tra il dato maggiore e quello minore;

p) i dati sono di tipo quantitativo e presentano una elevata variabilità;

q) formato da rettangoli contigui le cui basi sono gli intervalli e le altezze le frequenze degli intervalli;

che utilizza il riferimento cartesiano (asse delle ascisse e asse delle ordinate);

r) calcolando la differenza tra il valore dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore.

1

2

1

75

64

Unità 11

Unità 12

197



16 anni; 50 e 80; prima classe : 100; seconda classe: 80; terza classe : 60.

a) 10 femmine, 6 maschi; b) 15; c) 45; d) 25.


2

1

3

2

1l’intero

il valore della parte che

corrisponde a �56

�

inverso perché

il valore di una parte

e si deve trovare il valore dell’intero

del IV tipo

la differenza

tra due numeri e il loro

rapporto

Unità 13

periodo

antiperiodo

parte intera

numero decimale limitato

numero naturale

numero decimale illimitato periodico

Unità 14

198

a) una potenza di 10; b) 2 o 5 o entrambi; 2 o 5;c) né il fattore 2 né il fattore 5; d) i fattori 2 o 5 ed altri.

a) �185�; b) �

3530� .

11,6� → 12; 11,7; 11,67; 11,667; 7,4� → 7; 7,4; 7,44; 7,444;

107,25396 → 107; 107,3; 107,25; 107,254; 0,017465 → 0; 0,0; 0,02; 0,017.

10

9

8

7

6

3

1,6limitato

16 : 15 � 1,06� numero decimale 6 0periodico misto

4 : 3 � 1,3� numero decimale 3periodico semplice

�23

9� 2� � �

291� � �

73

�

�15

9�

90

�; �1959� � �

353�

� �29202

� � �3175�

246�24�

90

40 � 23 � 5 decimale limitato

27 � 33 periodico semplice

30 � 2 � 3 � 5 periodico misto

199

Estrazione di radice e i numeri reali assoluti R(a)

N ................................................................................................................

Q(a) .............................................................................................................

I (a)...............................................................................................................

R(a) ..............................................................................................................

a) numero irrazionale; b) esponenti pari;

c) due cifre decimali; d) numeri decimali illimitati non periodici.

�5�0�;0,01

��34

��;

0,1

�2�4� .

7

5

4

3

2

1 indice della radice

radicale

segno di radice

radice

radicando

insieme di numeri naturali

insieme di numeri razionali assoluti

insieme di numeri irrazionali assoluti

insieme dei numeri reali assoluti

al prodotto delle radici quadrate

di ciascun fattore

radici quadrate

termini

a una potenza con la stessa base

e con esponente dimezzato.

�a� :� b� � �a� : �b�

Unità 15

��ab

�� a��

�b� numeratore denominatore

radici quadrate

� 440; � 5;

� �3109� ; � 24; � 23 � 32 � 52 � 1800.

200

�7�0�5�6� � 84; �8�8�2� � 21� �2�.

�4�2�5�,7�0,1

� 20,6; �6�5�5�3�6� � 256.

0,83.


a) un’uguaglianza tra due rapporti; b) continua; c) quarto proporzionale;d) b è la metà di a; e) medio proporzionale; f) terzo proporzionale;g) il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi; h) il rapporto è maggiore di 1;i) il rapporto è minore di 1; l) diventa il doppio.

4

2

1

13

11

10

9

8

V

F �2�5� � 5

V

F ��1�05�0��

V

V

�5��

10�5�

��1�0�0�

1,1 9,3

1,6 17,2

29,4 7,4

Unità 16

antecedente

conseguente

1° proporzionale

2° proporzionale

rapporto

4° proporzionale

3° proporzionale

medi

estremi

3 4 6 8 3 � 8 4 � 6

1 100 2 200 100 � 2 1 � 200

201

a) x � �45

�; b) x � �17

�; c) x � 10; y � 15; d) x �10; y � 8; e) x � 15; y � 18; z � 27.

a) 45; 27; b) 1500 cm2; c) 48 cm; 80 cm; 112 cm; 160 cm; 208 cm.


a) y � kx; b) y � x � k; c) la variabile indipendente;d) una semiretta uscente dall’origine degli assi cartesiani; e) un ramo di iperbole equilatera;f) quante unità rispetto a 100 soddisfano una certa condizione;g) il valore che corrisponde ad un tasso percentuale;h) il valore che corrisponde al tasso percentuale 100; i) dati espressi in percentuale;l) un compenso calcolato in percentuale;m) una somma di denaro data in prestito e che dà diritto a un compenso;n) un compenso annuo rispetto a 100;o) l’importo ottenuto sommando al capitale l’interesse maturato.

1

9

8

7

6

5

105 � 7 � 21 � 35

21 : 105 � 7 : 35

7 : 21 � 35 : 105

(105 � 21) : 105 � (35 � 7) : 35 oppure (105 � 21) : 21 � (35 � 7) : 7

(105 � 35) : 105 � (21 � 7) : 21 oppure (105 � 35) : 35 � (21 � 7) : 7

35 6

x � �83

�; x � �156

�;

x � �54

�.

7 : 14 � 9 : 18 18 : 14 � 9 : 7 due tra le proposizioni possibili

�34

� : �54

� � �32

� : �140� �

54

� : �140� � �

34

� : �32

� due tra le proposizioni possibili

Unità 17Unità 17

202

y � 5x; proporzionalità diretta; y � �6x

�; proporzionalità inversa.

7

6

5

3

2

50% 50% 25%

62,5% 40% 0%

9 3

36 6

0 4

�287� �

92

�

�1x8�

�34

� x

�C

1�

2r0�

0m

�

�I �

r1�

0t0

� �I �

r1�

2m00

� �I �

r3�

6g000�

�IC� 1

�

0t0

� �IC� 1

�

2m00

� �I �

C36

� g000�

�IC� 1

�

0r0

� �I �

C12

�

0r0

� �I �

C36

�

0r00

�

C � r � g��

36000

C � r � t�

100

�13020

� 32% 0,32

�14

� 25% 0,25

�265� �

12040

� 0,24

�1230� �

16050

� 65%

203

14; 50; 30.

27; 45; 63.

162; 81; 72.

a) 20 giorni; b) 48 kg; c) 12 kg.

Dati e previsioni

a) M �

b) la frequenza maggiore; c) il rapporto tra la somma dei valori dei dati e il loro numero;

d) il valore che si trova in posizione centrale; e) una parte rappresentativa dell’intera popolazione;

f) uno; g) zero; h) 0 � p(E) � 1; i) il rapporto tra il numero dei casi favorevoli a quell’even-

to e il numero dei casi possibili; l) 100%.

plurimodale; dei valori; frequenza.

dispersione verso i valori bassi.

45; 44; 44.

27; Pentium 3; perché questi dati non sono di tipo quantitativo.

Sì; no �135�; sì, no �

175�.

�12

�; �1430�; �

130�; �

38

�; �210�, �

230�; �

130�, �

170�; �

15

�; �1490�.

25, 15.

100.9

8

7

6

5

4

3

2

d1 � f1 � d2 � f2 ................ dn� fn��n1

12

11

10

9

8

Unità 18

341

7%

6 mesi

8%

243 16,20 � 1200��

20 � 4

30 � 1200��450 � 10

75 � 1200��1000 � 15

175 � 100��1250 � 2

620 � 11 � 5��

100

204

GEOMETRIA – VOLUME A


a) una lettera maiuscola dell’alfabeto italiano; b) una lettera minuscola dell’alfabeto italiano;c) una lettera minuscola dell’alfabeto greco; d) sono sempre sovrapponibili;e) R�S�; f) è perpendicolare e passa per il punto medio del segmento.

– il segmento E�F� misura 5,7 cm EF� = 5,7 cm

– i segmenti P�Q�, R�S� e U�V� sono congruenti .......................................................................

– i segmenti A�B� e C�D� hanno la stessa misura .......................................................................

– il segmento C�D� è più lungo del segmento E�F� .......................................................................

– il segmento F�G� supera di 3 cm il segmento P�Q� .......................................................................

– i segmenti C�F�, G�H� e I�L� sono congruenti e misurano 7,3 cm .......................................................................

AB� � BC� = 15 m E�F� = 3—5

� G�H�

□ la differenza tra due segmenti misura 15 m □ E�F� supera G�H� di 3 m

□ la somma tra A�B� e C�D� è 15 m □ E�F� è costituito da 3 parti e G�H� da 5

□ A�B� è multiplo di B�C� secondo il numero 15 □ E�F� è costituito da 5 parti e G�H� da 3

□ la differenza tra A�B� e B�C� è 15. □ E�F� è i tre quinti di G�H�.

R�S� = A�B� � 3 cm R�S� = 3 � A�B� – A�B�

□ i segmenti R�S� e A�B� sono congruenti □ il segmento R�S� è il doppio del segmento A�B�

□ il segmento A�B� supera di 3 cm il segmento R�S� □ il segmento R�S� è il quadruplo del segmento A�B�

□ il segmento R�S� supera di 3 cm il segmento A�B� □ il segmento A�B� è la metà del segmento R�S�

□ R�S� è maggiore di A�B� di 3 cm. □ il segmento A�B� è la quarta parte del segmen-

to R�S�

4

3

2

1 figura nome definizione

semiretta b Parte di una retta che ha origine nel punto O

........................... Parte di una retta delimitata dai punti R e S

segmenti I segmenti A�B� e B�C� sono .......................................................... perché .............................................................

A�B� e B�C� ...........................................................................

segmenti I segmenti L�M� e M�N� sono ......................................................... perché ........................................................................................ ...........................................................................

segmenti I segmenti C�D� e P�Q� sono ......................................................... perché ........................................................................................ ...........................................................................

M è .............. Il punto M si chiama ................................................................... perché .............................................................

A�M� ≅ M�B� .........................................................................

segmenti I segmenti O�P� e Q�R� sono ........................................................ infatti .......................................................................................... .............................................................................

O

b

R S

Q

O P

R

A

B

C

PC

ID

Q

L

NM

ABM

segmento R�S�

consecutivi

consecutivihanno l’estremo B in comune

adiacentisono consecutivi e appartengono

alla stessa retta.

incidentihanno in comune il punto I (inter-

sezione)

mediodivide il segmento A�B� in due parti

congruenti

sovrappostihanno un estremo in comune e tutti

i punti di O�P� appartengono a Q�R�.

adiacentiL�M� e M�N�

incidentiP�Q� e C�D�

ilpunto medio

sovrappostiO�P� e Q�R�

P�Q� � R�S� � U�V�

A�B� � C�D�

C�D� > E�F�

F�G� � P�Q� � 3 cm

C�F� � G�H� � I�L� � 7,3 cm

✗

✗

✗✗

✗

✗

✗

✗

Unità 1

205

✗

✗✗

✗

✗✗

✗✗

✗

✗✗✗

✗

✗✗✗

✗

A�B� = 1° segmento A�B� � 10 cmC�D� = 2° segmento = 3 � A�B� C�D� � 30 cmE�F� = 3° segmento = 2 � A�B� E�F� � 20 cm

AB� + CD� + EF� = 60 cm

a) 76 dm; 19 dm; b) 54 m; 72 m; c) 1,63 m; 1,5 m; d) 124 cm; 96 cm; 59 cm.

Gli angoli

a) Il vertice di un angolo è:– un punto importante di un angolo – il punto da cui hanno origine le due semirette

che delimitano un angolo

– il punto medio di un angolo acuto

– il punto comune ai due lati di un angolo

b) Osserva l’illustrazione:

– OA e OB sono i lati dell’angolo AO∧

B

– O è il vertice di un angolo concavo e di uno convesso

– il simbolo dell’angolo concavo è ∧

– α∧

è un angolo concavo

– i simboli AO∧

B e BO∧

A indicano lo stesso angolo convesso

c) Due angoli consecutivi:

– sono sempre adiacenti

– non hanno alcun punto in comune

– hanno solo il vertice in comune

– hanno il vertice e un lato in comune

d) Un angolo piatto:

– è il doppio di un angolo retto

– è la terza parte di un angolo giro

– è maggiore di un angolo concavo

– è maggiore di un angolo convesso FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV1

7

6

5

H

DF

GE

L M N OC D

a

bDC

EF

QP

A

C D

B

R S

U

Unità 3

α

A

BO

206

congruenti

60

3600

✗✗

✗✗

✗✗

✗✗

e) Un angolo acuto:

– è sempre convesso

– è sempre concavo

– è sempre minore della metà di un angolo piatto

– si indica con il simbolo ∨

f) L’ampiezza di un angolo:

– si misura in gradi, primi e secondi

– si misura con il righello

– si misura con il goniometro o rapportatore

– è maggiore di 180° se l’angolo è acuto

90°; supplementari; esplementari;

complementari– Due angoli adiacenti sono

supplementari

– Due angoli opposti al vertice sono ......................................................... .

possono

– Due angoli ottusi essere supplementari.non possono

sempre– Due angoli consecutivi sono complementari.

a volte

– Un grado vale ..... primi. 60

– Un grado vale ............ secondi. – Un primo vale secondi.360

una sola bisettrice– Ogni angolo ha

tante bisettrici

due parti congruenti– La bisettrice divide un angolo in

quattro parti congruenti

è sempre un angolo acuto– La somma di due angoli acuti

può essere un angolo acuto

3

2

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

FV

α

β

A

BOβ

γ

α

b

207

2 � α∧

; �12

� � AO∧

B; AO∧

B : 2; 4 � C∧

; �15

� � RO∧

S ; 3� γ∧

; α∧

� β∧

�15°; AO∧

B � �13

� �CO∧

D ; RS∧

T � 3 � AO∧

B

a) 48°41’33”; b) 128°51’55”; c) 45°2’45”; d) 11°16’45”

CO∧

D = 55° complementare ............... supplementare ...............

EO∧

F = angolo retto complementare ............... supplementare ...............

AO∧

B = 73° 12’ complementare ............... supplementare ...............

MO∧

N = �12

� � CO∧

D complementare ............... supplementare ...............

a) β∧

= 37°12’; α∧

� β∧

= 49°36’; b) 72°; 108°; c) 67°; 113°; d) si; e) 96°48’24”; f) 40°32’

Rette nel piano

1

9

8

7

affermazione scrittura simbolica

l’angolo MO∨

N è concavo MO∨

N

gli angoli α∧

e β∧

sono complementari α∧

+ β∧

= 90°

gli angoli α∧

e δ∧

sono supplementari α∧

+ δ∧

= 180°

l’angolo A∧

supera di 12° il triplo di B∧

A∧

� 3 � B∧

+ 12°

l’angolo α∧

supera di 28° la metà di β∧

α∧

= �12

��β∧

+ 28°

6

5

4 BO∧

A è acuto BO∧

A < CO∧

A.................. ........

CO∧

A è ................ BO∧

A ..... CO∧

B

DO∧

A è ................ BO∧

A ..... DO∧

A ..... EO∧

A

EO∧

A è ................. CO∧

A ..... CO∧

E ..... EO∧

A

DO∧

B è ................. BO∧

E .... CO∧

E .... EO∧

A

............................. ...............................

............................. ...............................

............................. ...............................

............................. ...............................

retto <

ottuso < <

piatto � �

acuto > <EO

∧B è ottuso

35° 125°

0° 90°

16°48’ 106°48’

62°30’ 152°30’

Unità 4

figura nome proprietà

Due rette che hanno ................................Rette ................................................. punto in comune

un soloincidenti

m ∩ n = P

Rette................................................ Tutti i punti di una sono anche i puntisovrapposte

dell’altra

Rette................................................ Due rette che non hanno in comune parallele

.................................................................= ∅a ∩ b

alcun punto

208

✗✗

✗

✗✗

✗

a) no; b) 18°; 162°; c) 107°30’; 72°30’.

Poligoni

– Se il primo e l’ultimo segmento hanno un estremo in comune la spezzata si dice ............................

– Se due segmenti si intersecano la spezzata si dice .................................................................................

– La somma delle misure dei segmenti di una spezzata chiusa si chiama .............................................

– Dato il poligono ABCD, i punti A, B, C, D si chiamano ............................ del poligono, i segmenti AB�,

BC� , CD� , DA� sono i ...................................................... del poligono, la linea spezzata ABCD rappresen-

ta ..................................................

– Il segmento che ha per estremi due vertici non consecutivi di un poligono si dice .............................

{ poligoni regolari }

quadrato ∈ C rettangolo ∈ A

rombo ∈ C esagono regolare ∈ B

triangolo equilatero ∈ A pentagono concavo ∈ B

– Il lato maggiore di un poligono è sempre ........................................ della ...........................................

degli altri lati.

– In un poligono la ...................... degli angoli esterni misura ........... .

– La somma degli angoli ......................................... di un poligono .......................................... dal numero

....................................................

5

FVFV

FVFV

FVFV4

3

1

6

figura nome proprietà

Rette................................................. Due rette incidenti che formano quattro perpendicolari

angoli ...........rettir ⊥ s

1∧

e 8∧

; 2∧

e 7∧

alterni esterni sono congruenti

3∧

e 6∧

; 4∧

e 5∧

.................................. sono ............................................................

2∧

e 6∧

; 4∧

e 8∧

; 1∧

e 5∧

; 3∧

e 7∧

......................................................... sono ............................................................

1∧

e 7∧

; 2∧

e 8∧

.......................................................... sono ............................................................

3∧

e 5∧

; 4∧

e 6∧

.......................................................... sono ............................................................

alterni interni congruenti

corrispondenti congruenti

coniugati esterni supplementari

coniugati interni supplementari

Unità 5

chiusa

intrecciata

perimetro

vertici

lati

un quadrilatero

diagonale

minore somma

somma

interni è data

dei lati meno 2 per 180°

360°

209

10; 13

94 cm

a) 108°; b) 15; 10; 25; 6; c) 9 lati, 10 lati.

Piano cartesiano

a) perpendicolari;b) asse delle ascisse;c) asse delle ordinate;d) l’origine degli assi cartesiani;e) sull’asse delle y;f) sull’asse delle x;

g) quadranti.

a) Dato il punto A � (6; 9): i numeri 6 e 9 si dicono: ......................................

il numero 6 è il valore dell’ .................................

il numero 9 è il valore dell’ .................................

b) I punti di coordinate (1, 3); (5, 3); (7, 3) hanno la stessa .............................. e quindi appartengono

ad una retta ................................ all’asse ............................

c) I punti di coordinate (5, 4); (5, 10); (5, 0) hanno la stessa .............................. e quindi appartengono

ad una retta ................................ all’asse ............................

A � (...........; ............); B � (...........; ............); C � (...........; ............); D � (...........; ............).

consecutivi.

spezzata aperta intrecciata.5

4

3

2

1

9

8

7

Unità 6

disegno e nome numero numero numero di triangoli numero totaledel poligono dei lati delle diagonali in cui viene diviso delle diagonali

uscenti dal vertice A il poligono

5 2 3 5

6 3 4 9

8 5 6 20

pentagono

esagono

ottagono

coordinate cartesiane

ascissa

ordinata

ordinata (3)

parallela delle x

ascissa (5)

parallela delle y

1 1,5 2,5 3,5 4 0 0 2

210

Triangoli

1

figura nome definizione e proprietà

È un poligono di 3 lati.Proprietà: Il lato maggiore è minore

triangolo ABCdella somma degli altri due(A�B� < A�C� + C�B�).

angoli ..................................... La somma degli ..................................................interni

................................................................................

angoli ................................. La somma degli ..................................................esterni

...............................................................................

triangolo In ogni triangolo ............................... gli angoli................................................. interni sono .........................................................acutangolo

triangolo In ogni triangolo ............................ due angoli................................................. sono ................................. e il terzo è ...............ottusangolo

................................................

triangolo In ogni triangolo ............................. un angolo.................................................. è ..................................... gli altri due ................rettangolo

..............................................................................

triangolo In ogni triangolo .................................................................................................. i tre lati sono ......................................................scaleno

triangolo In ogni triangolo .................................................................................................. due lati sono ......................................................isoscele

triangolo In ogni triangolo ................................................................................................. ..............................................................................equilatero

triangolo In ogni triangolo ............................................... .................................................. due angoli misurano ......................................................................................... e i due cateti sono ...........................................

A

B

C

AB

C

αβ

γ

Unità 7

A

B

A<90°B<90°C<90°

C

C

A

B

B>90°

A

C

B

A=90°

A

C

B

A

C

B

AB ≅ AC

A B

CAB ≅ BC ≅ AC

AB≠BCBC≠ACAC≠AB

A B

CA = 90°C ≅ B = 45°

C

rettangoloisoscele

angoli internimisura 180°

angoli esternimisura 360°

acutangolominori di 90°

ottusangoloacuti ottuso

cioè > 90°

rettangoloretto sono

acuti

scaleno di diversa lunghezza

isoscele congruenti

equilatero i tre lati sonocongruenti

rettangolo isoscele45°

congruenti

211

Q

T P

ReQa

Ro

✗

✗

✗

incentro; altezze; mediana; baricentro; assi.

a) 75 cm; b) 84°; 48°; 48°; isoscele acutangolo; c) 109,12 cm.

Quadrilateri

– Il quadrilatero ABCD è un .............................., le sue dimensioni A�B�e B�C� si dicono ..................... e ................................ .

D�B� e A�C� sono le .........................................................

– Il quadrilatero EFGH è un ............................, E�F� è il ..............................

e H�K� è ........................................ .

E�G� e H�F� sono rispettivamente la ........................................................ e la

.................................................

– Il quadrilatero LMNO è un ....................................................................,

L�M� è la ................................................ N�O� è la ........................................,

M�N� è il ............................................., O�L� è congruente a ................. ed

è l’........................................ .

P�M� è la .......................................................................................................

– Il quadrilatero RSTU è un ............................................................... .

U�H� è l’.................................. relativa a ............................., mentre U�K� è

l’........................... relativa a ..................... .

– Un rettangolo è un quadrilatero? ..................................

– Un rombo è un trapezio? ...............................................

– Un quadrato è un rombo? .............................................

– Un trapezio è un parallelogramma? ............................

– Un parallelogramma è un trapezio? ............................

– Un rettangolo è un quadrato? ......................................

– Un quadrilatero è un trapezio? .....................................

– Un rombo è un quadrato? .............................................

2

1

6

5

4

3

2

Unità 8

α

β�

B

a b c

fd e

20° acutangolo isoscele90° rettangolo

20° ottusangolo

80° acutangolo

90° rettangolo isoscele

60° equilatero; equiangolo

α∧

β∧

γ∧

tipo di triangolo

80° 80°

60° 30°

120° 40°

30° 70°

45° 45°

60° 60°

rettangolo

base altezza

diagonali

rombo lato

l’altezza

diagonale maggiore

diagonale minore

trapezio rettangolo

base maggiore base minore

lato obliquo

l’altezza

parallelogramma

altezza

altezza

sempre

sempre

sempre

sempre

qualche volta

qualche volta

qualche volta

qualche volta

R�S�S�T�

proiezione del lato obliquo sulla base maggiore

N�P�

212

5

4

3 formulanome e disegno

indicazioni forniteformula/e

della figura inverse

per calcolare il perimetro di b =2p = (b + h) � 2 un rettangolo bisogna moltipli-

care per due la somma delle h =misure della base e dell’altezza

l =2p = l � 4

2p = (l1 + l2) � 2l1 =

l2 =

rettangolo

quadratorombo

parallelogramma

��22p�� h

��22p�� b

�24p�

��22p�� l2

��22p�� l1

elementi analogie differenze

lati P: lati a due a due congruentiRo: quattro lati congruenti

angoli due coppie di angoli P:opposti congruenti Ro:

diagonali P:Ro:

due coppie di lati paralleli

diagonali non congruenti non perpendicolariperpendicolari


lati Re: Qa:

angoli Re:Qa:

diagonali Re:Qa:

.................................. ..................................rettangolo

perpendicolari tra loro

quattro angoli retti

lati a due a due congruentiquattro lati congruenti

non perpendicolari tra loroperpendicolari tra loro

congruenti tra loro

quadrato


lati Ro: Qa:

angoli Ro:Qa:

diagonali Ro:Qa:

.................................. ..................................rombo

quattro lati congruenti e parallelia coppie

due coppie di angoli opposticongruenti

non perpendicolari tra loroperpendicolari tra loro

due acuti e due ottusiquattro angoli retti

non congruenticongruenti

perpendicolari tra loroe bisettrici degli angoli

quadrato

213

✗✗✗

✗

A�B� (cm) B��C�� (cm) C�D� (cm) D�A� (cm) esiste il quadrilatero?

35 36 50 34

160 145 156 160

42 46 50 49

18 27 13 72

33 cm.

22,4 cm.

108 cm; 84 cm.

150°; 60°; 2p � 131,6 cm.13

12

11

10

9

8

7

NOSI

NOSI

NOSI

NOSI6

base b altezza h semiperimetro p perimetro 2p(cm) (cm) (cm) (cm)

26 14

19 85

11 60,2

2 � b � 78 117

65 �75

� � b � 91

49,2

39

23,5 42,5

40 80

120,4

234

156 312

lato l (cm) 2p (cm)

208

28

158,48

lato l (cm) 2p (cm)

348

16

64,68

52 87

16,17

64

39,62

112

109°141°

75°

72°32°32°

108°

51°129°129°

64°30’25°30’

214

GEOMETRIA - VOLUME B

Equiestensione e area dei poligoni

A = b x h A = �(b1 + b

22) x h� A = A = �

d1 x2

d2�

L’unità fondamentale per le misure di superficie è ...................., i suoi sottomultipli sono; ...................

....................................................... e i suoi multipli sono; ................................................................................

A = �d1 x

2d2� ; A = b x h

A = �b

2x h�

A = l 2; A = �d2

2

�

Formula di Erone; A = �p� x� (�p� –� l�1)� x� (�p� –� l�2)� x� (�p� –� l�3)�

A = (b x h) : 2

c1 = A x 2 : ................. i = .............................. c2 = ............................ hi = ............................

27 m; 45m; 1215 m2.

25 cm; 20 cm; 10 cm; 25 cm.

90 cm; 150 cm; 14 400 cm2; 2200 cm2.

[457,92 cm2, 98,35 cm].18

17

16

15

14

13

12

11

cm2 hm2 dm2 mm2 dam2

5 m2

0,00006 km2

10

8

7

5

4

3

2

i x hi�2

1 D C B A

b2 b1 h A

4,9 3,9 5,6

52 48 2112

45 15 210

d2 (cm) d1 (cm) l (cm) 2p (cm) h (cm) A (cm2)

16 12 24

18 60 432

112 70 2352

c2 (dm) c1 (dm) i (dm) hi (dm) A (dm2) 2p (dm)

36 28 42

48 36 1440

48 60 144

24,64

7

36

il m2 mm2;

cm2; dm2 dam2; hm2; km2

50000 0,0005 500 5000000 0,05

600000 0,006 6000 60000000 0,6

96 4

28,8

33,628042

48 15

96

24 504 106

1888060

36 28,8 864

b 39 2 x h = 35

h 18,2 x b = 9,9

A 624 17,82

1,836,4

1516

662,48 525

c2 A x 2 : hi A x 2 : c1A x 2 : i

✪

Unità 11

�37

�

215

Il teorema di Pitagora

a) per tutti i triangoli rettangoli;b) i = �c�1

2� +� c�22� ;

c) c1 = �i2� –� c�22� ;

d) c2 = a2 + b2 ;e) è formata da numeri primi fra loro;f) due triangoli rettangoli scaleni;g) due triangoli rettangoli scaleni, ciascuno con due angoli acuti che misurano 30° e 60°. a) 3 m; 1,08 m; 1,92 m; b) 200 cm; 232,86 cm; c) 35,1 dm; 32,4 dm.

8, 15, 17 .............................................. 25, 60, 65 ...........................................

27, 36, 45 ........................................... 5, 12, 13 ...........................................

135 m2. 2760 cm2. 315 cm2. 4200 m2; 1984,14 €.

Alcune trasformazioni geometriche: le isometrie

– Le isometrie o congruenze sono dei ......................................................... rigidi che mantengono la

........................................ figura, ma cambiano la sua .............................. sul piano.

– La traslazione, la rotazione, la simmetria centrale e assiale sono ................................ o congruenze.

– La simmetria ........................ è una .............................. inversa.

– La traslazione, la rotazione e la simmetria ........................ sono .............................. dirette.

triangolo isoscele; rombo; rettangolo; trapezio isoscele; quadrato.

7226,30 cm2; 380 cm.

126 cm; 972 cm2.

La similitudine. I teoremi di Euclide

hanno lo stesso numero di vertici, angoli congruenti e lati corrispondenti in proporzione.

hanno i lati corrispondenti congruenti; hanno gli angoli corrispondenti congruenti; hanno i lati corri-spondenti in proporzione.

2

1

12

11

5

3

1

8765

4

3

1

primitiva

primitivaderivata

derivata

movimenti

forma della posizione

isometrie

congruenza

centrale congruenze

assiale

caratteristiche traslazione rotazionesimmetria simmetria

assiale centrale

La figura si deformaLa figura cambia posizioneLa figura si sposta sul pianoLe figure corrispondentisono direttamente congruentiIl verso di percorrenza dellefigure corrispondenti rimaneinvariato

NO

SI

SI

SI

SI

NO

SI

NO

NO

NO

NO

SI

SI

SI

SI

NO

SI

SI

SI

SI

Unità 13

Unità 12

Unità 14

216

un angolo congruente e i lati che delimitano quest’angolo in proporzione.

triangoli rettangoli.

C^

= 105°; E^

= 45°; SI.

B�H� = 64 cm; B�C� = 14 cm; A�H� = 5,69 cm.

a) 36 cm; b) 600 cm2; 120 cm; c) 33 cm; 51 cm2.

Proprietà della similitudine

150 cm2. 15 cm; 18 cm; �56

�. 12 cm; 60 cm.

GEOMETRIA - VOLUME C


2

1

654

3

8

7

6

4

3

Unità 15

Unità 16

�49

�

�116�

�110682

� = �23

��23

�

�2946� = �

14

��14

�

triangolo ABC triangolo DEF rapporto

A�B� B�C� A�C� D�E� E�F� D�F�di similitudine

6 cm 8 cm 10 cm 24 cm ..... cm ..... cm k =

32 cm 28 cm ... cm 48 cm ..... cm 72 cm k =

�22pp

(

(

A

D

B

E

C

F)

)� �AA

(

(

A

D

B

E

C

F)

)�

32 40

4248

circonferenza

cerchio

diametro

raggio

segmento circolare

settore circolare

arco convesso

corda

ca

c

A

Ba

c

O O1

Ac1

c

O O1

c1 c A

B

O O1

c1

................................

................................

................................

................................

................................

................................

................................

................................

r < ds r > ds

c � a = Ø c � a = {A, B}

O��O��1�� = r + r1

c � c1 = {A}

................................

................................

O��O��1�� < r + r1

c � c1 = {A,B}

O��O��1�� > r + r1

c � c1 = Ø

217

a) uguale al raggio b) infiniti; congruenti c) perpendicolarid) il doppio e) infiniti angoli alla circonferenza f) piatto

a) diminuisce b) raddoppiac) si dimezza d) raddoppia

AC∧

B = ......... MP∧N = .......... AO

∧P = ..........

MQ∧

N = .........

CO∧

D = .......... A�B� = .............. AB∧

D = ..........

O�H� = ................ CB∧

D = ...........42 m; 75,6 m.

2257,92 dm2

3872 cm2.

Poligoni inscritti e circoscritti e area di un poligono regolare

a) possiede il circocentro; gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto;b) possiede l’incentro; le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto;c) sempre inscrittibile e mai circoscrittibile;d) i triangoli e i quadrati; i poligoni regolari e i triangoli;e) punto d’incontro delle bisettrici degli angoli; centro della circonferenza inscritta;f) punto d’incontro degli assi dei lati; centro della circonferenza circoscritta.

�al� = ................... a = ................... l = ...................

A = .........

2.......... a = ................... 2p = ..................

O�H� = A�B� O�H� = C�H� O�A� .... A�B�

B�O� = B�D� B�O� = 23

..........

O�H� = B�O�

360 cm; 5400 cm2.

1728 cm2; 192 cm.

52 m; 13 m.

55,424 cm2; 166,272 dm2; 83,136 dm2; �23

� .10

9

8

7

6

4

3

2

8

7

6

5

4

3

50°

140° 10 cm

8,66 cm

60°

60°

60°

43°

62°

Unità 17

f

2p x a 2 x A

2p

2 x A

a

l x f a : f

�12

�

�12

�

�13

�

�12

�

=

C�H�

�

�

�

�

�

�

�

�

A∧

B∧

C∧

D∧

A�B� B�C� C�D� A�D� è inscrittibile? è circoscrittibile?

48° 74° 132° 106° 26 cm 54 cm 42 cm 20 cm

85° 77° 140° 58° 39 cm 48 cm 51 cm 42 cm

92° 53° 88° 127° 34 cm 50 cm 41 cm 25 cm

102° 68° 59° 131° 65 cm 52 cm 40 cm 35 cm NOSINOSI

NOSINOSI

NOSINOSI

NOSINOSI

218


a) indica il rapporto costante tra una circonferenza rettificata e il suo diametro; è un numero trascendente;

b) una corda e un arco;c) è direttamente proporzionale all’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente;

raddoppia se raddoppia l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente;

d) di �16

� di circonferenza;

e) As : α° = Ac : 360°; Ac : As = 360° : α°;f) un angolo al centro di 180°; un arco pari a una semicirconferenza;g) l’area di un settore circolare e la lunghezza del corrispondente arco sono direttamente proporzionali.

BO∧

C = EO∧

F

FO∧

G = 2 � DO∧

C

EO∧

G > PO∧

S

BO∧

C = �13

� � RO∧

Q

AO∧

D = PO∧

Q

AO∧

B < PO∧

S

16 cm; 32π dm; 256π dm2.

20π m; 28π m2. a) 256π cm2; 64π cm; b) 69,68 cm; 96π cm2.

Rette e piani nello spazio

a) due punti; tutti i punti; b) un punto; c) parallela; d) una retta; e) tre punti non allineati; una rettae un punto esterno ad essa; due rette incidenti; due rette parallele; f) piede della perpendicolare.

a .... c a .... d c .... d a ∩ β = .... c ∩ β = ..... e ∩ d = ....

a .... b b .... d α .... β b .... β = {B} a .... b = ∅ α ∩ β = ....

α .... δ r .... v γ .... δ = ∅

β .... γ s .... t α ∩ γ = ....

α .... β s .... v β .... γ = s

r .... s t .... v α ∩ δ = ....

r .... t α ∩ β = .... β ∩ δ = ....

40 cm; 26 cm. 25,98 cm.76

4

3

2

76

5

FV

FV

FV

FV

FV

FV4

3

2

Unità 18

Unità 19

10 cm ................. 30 cm ................. 2 cm .................

area del................. 400π cm2 ................. 25π cm2 ................. 225π cm2

cerchio100π cm2

20 cm 5 cm

900π cm2 4π cm2

15 cmlunghezza

del raggio

��

��

��

�

�

��

��

�

�RS = �12

� � CD

EG < FG

BC = EF

RQ > CD

FG = 2 � CD

AB > PS FV))

FV))

FV))

FV))

FV))

FV))

A(sett. BOC) = �13

� � A(sett. ROQ)

A(sett. EOG) > A(sett. POS)

A(sett. FOG) = 4 · A(sett. ROS)

A(sett. POQ) = A(sett. ROQ)

A(sett. AOD) > A(sett. ROQ)FV

FV

FV

FV

FV

//

//

//

//

//

⊥

⊥

//⊥

⊥

// //

r

{ v }

∅

∅

∅{C }{A}

⊥ ∩∩

∩

∩

// // { t }

//

219

Solidi equivalenti. Volume di un solido. Peso specifico

a) lo stesso volume; b) 1 dm3 ; c) sono equivalenti; d) P : V; e) V � ps; ps � V; f) P : ps; g) cm3 ;h) possono essere congruenti; sono sempre equivalenti; i) sono equivalenti se hanno lo stesso pesospecifico; l) possono avere lo stesso valore numerico.

a) 1 m3 di un liquido:

vale 1 000 dam3 vale 1 000 000 cm3

corrisponde a un peso in kg corrisponde a una capacità di 1 000 l

b) 1 cm3:

vale 1.000 dm3 vale 0,001 dm3

vale 0,001 m3 corrisponde a un peso in g

c) 1 l:

vale 10 dal vale 10 dl

vale 100 ml corrisponde a un volume in dm3

d) 1 cl:

vale 10 dl vale 0,1 dl

corrisponde a un volume di 10 cm3 corrisponde al peso di 1 g

e) 1 Mg:

vale 1.000 kg vale 1.000 g

corrisponde a un volume di 1 m3 corrisponde a una capacità di 1000 l

60 cm3. 598,9 g. 16,97.654

3

2

1

Unità 20

�

�

�

�

��

�

�

�

� �

liquido peso specifico capacità volume peso

ps del recipiente V P

acqua di mare 1,03 35 dl 3,5 dm3 ........ g

alcool 0,8 1500 ml ...... dm3 ....... hg

olio d’oliva 0,9 ... hl 200 dm3 ....... kg

benzina ........ 15 l 15 000 ........ 10 500 g

materiale peso specifico volume peso

ps V P

alluminio ......... 5 dm3 13,5 kg

legno di castagno 0,8 2 m3 ............

stagno 7,3 .............. 182,5 g

sughero 0,25 4 m3 ............

2,7

1,5

cm3

3605

12

180

1,6 Mg

1 Mg

25 cm3

0,7

2

220

Poliedri: prismi

I due poligoni di base sono ......................... e sono situati su piani .................. Le facce laterali sono tutte

dei ............................ Gli spigoli laterali sono ................................. alle basi. L’altezza è lunga come uno

.................................

È un prisma avente per basi due ........................... Un parallelepipedo rettangolo è limitato da ................

rettangoli, ha ...... vertici, ........ spigoli e ....... diagonali. Gli spigoli laterali sono ........................... alle basi

È un ........................................................ nel quale le ....... dimensioni sono .................... Le facce sono ............

quadrati.

d = �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..� d = .........................

a = �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..� l = .........................

b = �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�h = �..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..�..� ;

a) non appartenenti alla stessa faccia; b) da nessuno dei piani delle facce; c) uguale alla; d) poligoni regolari; e) tre spigoli; f) esaedro.

450 cm2; 567 cm3.

1056 cm2; 1440 cm3; 3,6 kg.. 7

6

4

3

2

1

Unità 21

congruenti

rettangoli

rettangoli 6

8 12 4

tre tuttecongruenti

perpendicolari

spigolo laterale

parallelepipedo rettangolo

perpendicolari

paralleli

d : �3�

l . �3�a2 + b2 + h2

d 2 � b2 � h2

d2 � a2 � h2

d2 � a2 � b2

25

10

30

25

15

2520 2820

1680

3000

6300

1500

1200

A�B� (cm) A�C� (cm) B�C� (cm) A�A�'� (cm) Al (cm2) At (cm2) V (cm3)

..... 15 20 42 ........ ........ ........

26 ..... 24 ..... ........ 1740 ........

34 16 ..... ..... ........ ........ 3600

20

36

24 50

75

576

5184

4224

1056

9504

17 280

2160

AA�B� (cm) B�C� (cm) A�A�'� (cm) A�C�'� (cm) Al (cm2) At (cm2) V (cm3)

40 18 ..... ..... 2784 ........... ...........

..... 12 9 25 ..... ........... ...........

60 ..... 27 ..... ......... ........... 58 320

32 4096

1024

5776

1536 4096

32 768

8664

32 . �3�

38 . �3�

16

38

A�B� (cm) A��C��'� (cm) Al (cm2) At (cm2) V (cm3)

..... ........... ........... 6144 ...........

..... 16 �3� ........... ........... ...........

..... ........... ........... ........... 54 872

221

Poliedri: piramidi

O�H� = �V�H�2 ..�..........�..........�..� V�H� = �..........�..........�....� O�V� = �..........�..........�....�

O�V� = �A�V�2 .�..........�..........�...� A�V� = �..........�..........�....� A�O� = �..........�..........�....�

V�H� = �C�V� 2.�..........�..........�...� C�V� = �..........�..........�....� C�H� = �..........�..........�....�

– Una piramide è retta quando nella sua base si può ...................................................... una

....................................................... e il piede dell’altezza coincide con il ..............................................

.......................................................

– Una piramide è regolare quando è ............................... ed ha per base un .......................................

.......................................................

4

3

2

1

tipo di proprietà formule formulepoliedro dirette inverse

Al =

2p =

a =

At =

Al =

Ab =

V =

Ab =

h =

A B

D C

V

O H

Le facce laterali di una piramide retta sono

................................... non tutti neccessariamente

............................................ tra loro, ma aventi tutti

la stessa ........................................ L’altezza di ogni

faccia laterale si dice ......................................

Nella piramide regolare le facce laterali sono

tutti triangoli ............................................., tra loro

................................................... In una piramide

regolare l’apotema si ottiene congiungendo il

....................... con il .......................... medio di uno

......................................... di .......................................

triangoli

congruenti

altezza

apotema

isosceli

congruenti

vertice punto

dei lati base

– V�O�2

– A�O�2

– C�H�2

V�O�2 �H�O�2 V�H�2 � O�H�2

A�V� 2 �V�O�2

V�C�2 �V�H�2

V�O�2 �A�O�2

V�H�2 �H�C�2

At � Ab

�V

h� 3�

�Ab

3� h�

At � Ab

At � Al

�VA

�

b3

�

�Al

a� 2�

�A2lp� 2�

�2p

2� a�

POLIEDRI

POLIEDRI

……………………

…….....…………………….....………………

….....….....…….....….....…

Regolari

Cubi Tetraedi

Piramidi

inscrivere

circonferenza centro della

circonferenza

retta poligono

regolare

Prismi

222

18 144 cm3; 4320 cm2.

3840 cm2; 16 896 cm3; 45,6 kg.


3

9

8

5 A�B� 2p(ABCD) V�H� O�V� Ab Al At V(cm) (cm) (cm) (cm) (cm2) (cm2) (cm2) (cm3)

24 ...... 20 ...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... 324 ...... ...... 1296

96

18 12

16 576 960

540

1536 3072

8641572

Unità 22

figura nomi delle parti indicate formule dirette formule inverse

r = ..............................O�B� .......................................... Al = .........................

h = .............................B�C� ... ........................................

At = ... ...................... Ab = O�O�’� ... .....................................

h = .............................il rettangolo ABCD

r = è la sezione ...........................V = ..........................

il quadrato ABCD è la Al = ......................... Ab = ...........................

.................................................

.................................................

At =.......................... Ab = ...........................

V = .......................... r =

a = .............................B�O� ........................................... Al = .........................

r = ..............................

B�V� ... ........................................

At =.......................... Al = ............................O�V� ...........................................

r = il triangolo isoscele ABVV =

è la sezione ........................... h =

il triangolo .............................. Al = ......................... Ab = ...........................

ABV è la ................................. At = ... ...................... Ab = ...........................

.................................................V =

cilindro

A B

D

h

C

rO

O'

cilindro equilatero

A B

D C

r

h

cono

A B

V

a

O r

h

cono equilatero

A B

V

h a

O r

h

raggio

altezza

altezza

meridiana

2� r � h

Al � 2Ab

��V�

�

h3

��V�

�

r2

3�

4 � Ab

� r a

Ab � Al

2 � Ab

3 � Ab

��33�� r3

At � Ab

�� r

3

2 � h�

Al : 4

At : 6

�3�2V��

6 � Ab

2 � r3

V : (� r2)

��

Vh��

Al : (2� h)

Al : (2� r)

Al : (� r )

Al : (� a)

Al : 2

Al : 3

Ab � hoppure�r2 � h

�At �

2Al

�

raggio

apotema

altezza

meridiana

equilatero

sezione

meridiana

sezione

meridiana

223

192π cm2; 192π cm3.

1372π cm3; 504π cm2; 36,619 kg.


4500π cm2; 28 125π cm3.

54π cm2; 55,728π cm3.

2208π cm2; 7680π cm3.5

4

3

7

6

5

4

12

28 35

24 100π

144π

441π

260π

180π

735π

432π

360π

324π

1176π

800π

A�B� A�C� B�C� Ab Al At V(cm) (cm) (cm) (cm2) (cm2) (cm2) (cm3)

10 ... 26 ......... ......... ......... .........

... 9 15 ......... ......... ......... .........

21 ... ... ......... ......... ......... 4116π

12 9

12,5 56,25π

360π

216π

522π 1620π

1296π

703,125π300π

81π

A�B� B�C� Ab Al At V(cm) (cm) (cm2) (cm2) (cm2) (cm3)

9 20 ........ ........ ........ ...........

... ... 144π ........ 504π ...........

7,5 ...... ............ 187,50π ........ .................

✪diretta

il raggio

area laterale

224

ALGEBRA

Gli insiemi e le operazioni fra essi

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1 ✗ ✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗ ✗

✗ ✗✗

✗✗

✗

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

1, 2, 4, 8

1, 2, 4, 8

sì

sì

commutativa

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 20, 24, 40

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 20, 24, 40

Unità 1

225

14

13

12c, o, m, u, n, a, l, e

c, o, m, u, n, a, l, e, t, s

m, u, l, a, t, e, s

m, u, l, a, t, e, s, c, o, n

sì

gli insiemi (A � B) � C e (B � C) � A contengono gli stessi elementi

verde, blu, indaco, violetto

(me, si) (me, la) (me, sto) (te, si) (te, la) (te, sto)

(me, sto) (te, sto)sto

me te

la

si

(me, la) (te, la)

(me, si) (te, si)

B• giallo• rosso

• arancione • verde• blu

• indaco• violetto

B��A�

226


�5,1�2�; �5,03; �5; �5,01; �5,1; �5,12; �5,121; �5,15.

a) �9; ��250�; �4; �3,5; 0; �6,5; �7,5; �8; b) ��1�0�; ��

84

�; ��1126

�; ��14�; ��

250�; ��

48

�; �1; �3.10

9

7

3

2

1

� � �

� � �

� � �

� � �

� < <

< < >

� > <

concordi

discordi

discordi

discordi

concordi

concordi

Unità 2

naturali

Z�

Q�

dueQ

Q�

numeri interi relativi

irrazionali relativi

reali relativi

il numero senza il segno

hanno lo stesso valore assoluto

ma segno oppostio

precede

segue

Z�

227


a) concordi; b) 3; c) opposti; d) �13

�; e) 0; f) 0; g) positivo; h) �1; i) paril) non esiste in R; m) �23; n) (�7)4.

a) �1; b) � �16245

�; c) � 2; d) � 4.


a) ��2a

5

2b�; b) hanno la stessa parte letterale; c) dalla somma degli esponenti della parte letterale;

d) opposti; e) di grado 2 rispetto alla lettera b.

2

1

7

6

5

4

3

1

0

� 19 �34

�105

��34

�

��65

� �13

��23

�

� �145�

� 7

� �35

�

�

�

� 1

1�a 2

�a

am�n

1 � a � a

1

distributiva

proprietà invariantiva

proprietà associativa

annullamento del prodotto

3a proprietà della divisione

proprietà distributiva

✗

✗✗

✗✗

✗✗

�3 �215� ��

18

� �196�

� 11 � 6 non esiste in R � �49

�

parte letterale

coefficiente

Unità 3

Unità 4

228

4a � 3; 2 � (a � 1); (a � 2a)2.

il doppio di un numero diminuito di uno; il triplo della somma di due numeri.il quadrato di un numero diminuito del doppio di un altro numero.

6

5

4

3 di seguito

proprio segno

simile

opposto

il prodotto dei

coefficienti

sola volta alla somma

degli esponenti

coefficiente

parte letterale

il quoziente dei coefficienti

monomi

differenza

dividendo divisore

del secondo monomio

somma algebrica dei coefficienti

� �12

�

� �12

� xy

xy 2 1 1

�1

� 1 y3 3 0 3

x3y5 8 3

� 2

� 1 ...y3

5

229

��15�a2 � b2.

�x 6y 2z 2; ��18

� a3b9; 1.

�8x 3y 3; ��49

�x2.

4a.

8a; 5a; 22a; 26a2.

I polinomi

è di 4° grado; 2°; grado; non è ordinato; ordinato; completo.

3xy � 3x; x3 � 3 � y 3; a � b � ab.

4

3

2

1

13

12

11

10

9

8

7

��12�x3y2� (�5ab) ��

23�xy2�

��32�a2bc� ��

23�a2b�

Unità 5

F

V

F

V

F

F

0

1

� a3

� 6a4 x 2

✗✗

✗

✗

230

a) 13a2 + b2 – 11ab2; b) 8a2b – 8ab – a – �13

�; c) �83

� a2 – �1135� a + �

25

� ; d) 13a2 – y2 + 4ay .


a) la sua soluzione; b) a � 0 e b � 0; c) a � 0 e b � 0; d) hanno la stessa radice;e) qualsiasi valore; f) solo determinati valori.

2

1

9

8

7

6

5

Unità 6

3

4

2

1

il monomio per ciascun termine del polinomio

prodotti

ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo

ciascun termine del

polinomio monomio addizionano

quozienti

A = (3x + 2) (x + 3) – x 2 = 3x2 + 9x + 2x + 6 – x 2 = 2x2 + 11x + 6

2p(ABCD) = 2(3x + 2) + 2(x + 3) = 6x + 4 + 2x + 6 = 8x +10

(5a � 2b)2

(x� 2a)3

(a � b �c)2

2a + 4b – 3

–a –11b – 8

–3x

2xy – 5x 2 + 4y 2

– 3x y

231

0x = �3; impossibile; 0x = 0; indeterminata.

a) x � �49

�; ��896� = ��

896�; b) x � �

130�; �

83

� � �83

� c) x � � �13�; � �

112� � � �

112�.

Problemi risolvibili con equazioni di 1° grado ad una incognita

a) x � �25

� x � 9; b) 2x � (2x � 2) � 100; c) �34

�x � �12� x � �

18

� � (x � 10).

64; 48.

7.

80°; 100°.

1500 cm3.

Relazioni e funzioni

a) una relazione tra due elementi di una coppia ordinata (a, b);b) la proprietà riflessiva di una relazione; c) possiede la proprietà simmetrica;d) possiede la proprietà antisimmetrica; e) a � c;f) contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva;g) contemporaneamente riflessiva, antisimmetrica e transitiva; h) assume valori diversi;i) mantiene sempre lo stesso valore; l) assume valori arbitrari;m) una corrispondenza univoca tra due insiemi A e B;n) si ottengono tramite una misurazione diretta; o) la variabile indipendente.

1

6

5

4

3

1

6

5

4

3

2° principio di equivalenza

regola del cambiamento di segno

soppressione dei denominatori numerici

soppressione dei termini uguali

trasporto dei termini

Unità 7

Unità 8

addiziona sottrae membri

numero espressione equivalente

moltiplicano dividono membri

numero equivalente

232

y � x � 2; y � 2x 2.

Elementi di geometria analitica

42

31

6

5

4

3

Unità 9

F

DE

III I IV II

✗ ✗ ordine stretto

✗ ✗ ✗ equivalenza

✗ ✗ ✗ ordine largo

✗ ✗ ordine stretto

✗ ✗ ✗ ordine largo

4x

y � x2

y � 6x

y � 2x

y � x2 � 1

1 3 5 7

II

0

0

�54

�

sull’asse delle y

sull’asse delle x

– �35

�

– �32

�

– �47

�

233

A�B� � yB � yA.

E�F� � xE � xF.

F ≡ (a; �b); L ≡ (�a; b) M ≡ (�a; �b).

R�S� � �(x�R�� x�S)�2�� (�y�R�� y�S)�2�.

xM � �xA �

2xB� ; yM � �

yA

2� yB� .

B’ ≡ �3; �1; C’ ≡ 0; �5; triangolo rettangolo: 6u2; 12u; trapezio isoscele: 18u2; 22u; 6,7u.15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

I; asse y; III;

II; asse x; II;

asse x; III; asse y.

4,5u;

2,5u;

5u

�6 �4 �2 �4

�3 �3 �5 �3

�2 �4 1 0

XM = �� 6

2� 2� = � 2 XM’ = �

� 32� 5� = 1

YM = �� 4

2� 4� = � 4 YM’ = �

�32� 3� = 0

� �

� �

� �

� �

�3 �8

�10,3 �4

�3,5 ��52

�

�6,5 �1,5

0 0

00

0 0

00

234


y � kx.

y � � �12�x ; y � �4x.

y � �x; y � x.

una retta non passante per l’origine.

� �35� è il coefficiente angolare della retta; la retta attraversa il II e IV quadrante.

y � � �32�x � 3; y � � �

32�x � 2; y � ��

32� x � �

12� .

y � � �25� x ��

15�; y � � �

25� x � 3.

di una retta passante per l’origine degli assi; dell’asse delle ordinate.

posizionata tra la bisettrice del I e III quadrante e l’asse delle ordinate.

y �� 32� x ; A � y � ��

32� x ; B � y � � �

32�x.

y � �34� x � 2; y � �

34� x � �

32�; y � �

34� x � �

34� .

y � �2; x � 3; A ≡ (�3; �2); B ≡ (�3; �2); C ≡ (�3; �2); D ≡ (�3; �2);ABCD → rettangolo; 2p � 20u; A � 24u2.

si ottiene un’iperbole equilatera; proporzionalità inversa.

si ottiene una parabola; proporzionalità quadratica.19

18

17

16

15

13

12

11

10

9

8

6

5

4

3

2

1

delle ascisse

ascisse bisettrice primo

terzo

Unità 10

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

235

Dati e previsioni

1

Unità 11

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

236

86

7

6

5

4

2 individui che frequentano una piscina

quantitativa

moda

10-19 14,5

54119,474,5 � 1,35 � 14,5 � 186 � 24,5 � 92 � 34,5 � 78 � 44,5 � 44 � 54,5 � 6

4,9% 4,4%

55 - 60

30 - 35idem

60 - 658,7% a 8,0%

0,3%; 0,8%

Valle d’Aosta

idem a sopra

Val d’Aosta; Campania

Liguria, Lombardia, Lazio

Trentino; Umbria; Molise; Basilicata; Sardegna

✗

✗

✗

Dati e previsioni

1

237

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

✗

238

a) estrazione di una carta di seme nero; b) ottenere un numero dispari; c) estrarre una carta chenon sia una figura; d) ottenere testa; e) estrarre una pallina rossa; f) ottenere il numero sei.

incompatibili; compatibili; compatibili.

1) �15

� � �13

� = �115�; 2) �

25

� � �23

� = �145�; 3) �

35

� � �15

� = �235�

�211� � �

210� � �

119� � �

118� = �

1431.640�

�30

100�; �

10100�; �

30400� �

2116�109

8

7

6

5

4

3

2

V

0,168 �16

� = 0,1�6�

�16

�

�16

�

�16

�

�16

�

�16

�

0,184

0,192

0,196

0,14

0,12

F

V

F

�135�

�175�

si avvicinerebbe sempre più

�12

�

�14

30�

�14

20� = �

130�

�14

50� = �

38

�

�420� = �

210�

�460� = �

230�

�14

20� = �

230�

�170�

�480� = �

15

�

�14

90�

239

La logica proposizionale

a) trasformano un enunciato aperto in enunciato vero;b) una proposizione logica non può essere sia vera sia falsa;c) disgiunzione logica;d) una proposizione logica può essere o solo vera o solo falsa;e) congiunzione logica;f) alla quale si può attribuire un valore di verità.

a ∧ b; numeri divisibili per 5 e per 3.

a ∨ b; alunni che studiano l’inglese o il tedesco.

¬ b; numeri non dispari.8

7

6

4

3

2

Unità 12

V

F

F

F

V

V

V

F

F

V

V F F V F V V F

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