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INTRODUZIONE AI MONOMI I monomi sono espressioni matematiche costituite dal prodotto tra una parte numerica ed una parte letterale, in cui la parte numerica del monomio è un qualsiasi numero (positivo, negativo, intero, frazione, decimale finito, decimale periodico, irrazionale,....), mentre la parte letterale è costituita dal prodotto di potenze con base letterale ed esponente intero positivo.

ATTENZIONE: prima cosa da ricordare. In un monomio compare solo una delle 4 operazioni che conoscete: IL PRODOTTO o moltiplicazione. Non ci sono addizioni "+" o sottrazioni "-". E, se il monomio è scritto in forma normale (vedremo cosa vuol dire), non può comparire neanche la divisione ":". Possiamo considerare I monomi come i mattoncini della matematica su cui si fonda buona parte dell'Algebra, perché servono a costruire oggetti un po' più elaborati: i polinomi. Qui di seguito daremo tutte le definizioni sui monomi che bisogna imparare sin da subito (per citarne una, la definizione di monomi simili). Più avanti vedremo come bisogna comportarsi nella pratica e come svolgere le varie operazioni con i monomi.

DEFINIZIONE DI MONOMIO Un monomio è un'espressione matematica che consiste in un prodotto di fattori qualsiasi, siano essi numerici o letterali. I fattori letterali hanno per esponente un numero naturale. Dunque gli esponenti che compaiono sulle

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lettere sono numeri naturali, ovvero interi e non negativi (cioè può comparire anche lo zero) Un esempio?

4x2 II fattore numerico ( 4 ) prende il nome di coefficiente o parte numerica, mentre il fattore letterale ( x2 ) costituisce la cosiddetta parte letterale. La definizione di monomio presenta "tre diversi ingredienti": 1) la parte numerica può essere costituita da un qualsiasi numero; 2) la parte numerica deve essere moltiplicata per la parte letterale; 3) nella parte letterale possono esserci solamente moltiplicazioni. Non a caso il termine monomio deriva dalla fusione delle parole greche monos = unica e nomé = legge, giusto a sottolineare il fatto che l'unica legge che compare in essi è il prodotto. Attenzione, non fatevi ingannare: le potenze sono particolari moltiplicazioni in cui i fattori coincidono con la base, quindi rientrano perfettamente nella regola della definizione.

ESEMPI SUI MONOMI

La definizione è piuttosto semplice e non dovrebbe spaventarci, ma per toglierci ogni possibile dubbio conviene vedere subito una carrellata di esempi sui monomi:

3x2yz3

è un monomio in cui 3 è il coefficiente numerico mentre x2yz3 è la parte letterale.

3

-abc è un monomio che ha per coefficiente numerico -1 (che è un numero relativo)

mentre abc è la parte letterale.

x2z

è ancora un monomio! Il coefficiente numerico è (che è un numero

razionale) mentre la parte letterale è x2z

√ x

è un monomio con parte numerica √ (che è un numero irrazionale) mentre la parte letterale è x

è un monomio! Anche se la parte letterale sembra non esserci, in realtà è una

qualsiasi lettera con esponente zero, che quindi vale 1. Es. x0z0. II

coefficiente del monomio è .

3a + bc

non è un monomio, perché l'espressione non si può scrivere come prodotto tra una parte numerica e una parte letterale (compare il segno "+").

4

( 3 + 3 ) a2bc

è un monomio, perché compare un segno "+", ma solo nella parte numerica. Non prendiamoci in giro. Quello è il monomio 6a2bc "camuffato".

-abc-2 non è un monomio, perché l'esponente della lettera c è negativo.

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non è un monomio, perché sfruttando la definizione di potenza con esponente negativo possiamo riscriverlo nella forma 5xyz-1, da cui si vede che l'esponente di z è negativo e quindi non è un numero naturale.

4 √ yz non è un monomio perché equivale a 4x0,5yz, e l'esponente di x non è intero. Attenzione: dai precedenti esempi abbiamo scoperto che, in accordo con la definizione, i soli e semplici numeri sono un caso particolare di monomi.

MONOMI RIDOTTI IN FORMA NORMALE Un monomio si dice ridotto in forma normale se si scrive come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali di basi diverse. Ad esempio:

3 x x y z

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non è ridotto in forma normale e per ridurlo in forma normale dovremo moltiplicare in modo opportuno cosi da ottenere:

x2yz

Dunque, in un monomio ridotto in forma normale, la parte numerica, col suo segno, deve comparire una sola volta, così come le diverse lettere, ciascuna con il proprio esponente intero non negativo. Inoltre non va indicato il segno del prodotto () in quanto sottinteso. N.B.: probabilmente non lo troverete mai scritto. Ma vi do un consiglio: scrivete sempre ciascun monomio con le lettere che lo compongono, disposte in ordine alfabetico.

GRADO COMPLESSIVO DI UN MONOMIO E

GRADO DI UN MONOMIO RISPETTO A UNA LETTERA

Una volta capito cos'è un monomio scritto in forma normale, interviene il concetto di grado di un monomio in senso generale e di gradi di un monomio rispetto alle varie lettere: Grado del monomio rispetto ad una lettera: è l'esponente della lettera nel

monomio. Grado complessivo del monomio: è la somma degli esponenti di tutte le

lettere che compaiono nel monomio.

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Non è affatto difficile determinare i gradi di un monomio, ma purtroppo, per qualche strano motivo, a volte gli studenti hanno difficoltà in merito. Riportiamo un semplice esempio:

x3yz2 è un monomio ridotto in formale, inoltre:

3 è il grado del monomio rispetto alla lettera x 1 è il grado del monomio rispetto alla lettera y 2 è il grado del monomio rispetto alla lettera z 3 + 1 + 2 = 6 è il grado complessivo del monomio.

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Ho più volte ribadito il concetto, perchè molto importante, basilare direi, nel programma futuro. Al monomio nullo (cioè "0") non attribuiamo alcun grado, mentre i singoli numeri non nulli, -2, -6, 5, 7, 1/2, -3/5, ecc. (che sono monomi se presi singolarmente) hanno grado 0. Ora attenzione, dobbiamo introdurre alcuni concetti fondamentali che ritorneranno ciclicamente nella vita di uno studente.

MONOMI SIMILI

Dati due monomi ridotti in forma normale, chiamiamo monomi simili due monomi che hanno la stessa parte letterale. Ad esempio:

xy2z e -3xy2z sono monomi simili perché hanno la stessa parte letterale, cosi come sono monomi simili:

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ab2 e ab2

MONOMI UGUALI

Dati due monomi ridotti in forma normale, definiamo monomi uguali due monomi che hanno lo stesso coefficiente e la stessa patte letterale, come ad esempio:

4xy2z e 4xy2z 4xy2z e (1 + 3) xy2z

MONOMI OPPOSTI Diciamo che due monomi in forma normale sono monomi opposti se sono simili e se hanno i coefficienti numerici opposti. Sono un esempio di monomi opposti:

4ab2 e - 4ab2 Impariamo per bene questi nuovi concetti perché permettono di definire le operazioni con i monomi, di cui parleremo in seguito.

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OPERAZIONI FRA I MONOMI Le operazioni tra monomi sono le principali operazioni algebriche (somma, sottrazione, prodotto, divisione, elevamento a potenza) riferite al calcolo letterale con i monomi. Poco fa abbiamo gettato le basi teoriche e proposto tutte le definizioni: ora che abbiamo spiegato cosa sono i monomi, passiamo alla pratica e vediamo le regole per svolgere le principali operazioni con i monomi.

COME SVOLGERE LE OPERAZIONI CON I MONOMI

Le operazioni tra monomi su cui ci concentreremo sono le seguenti: 1) somma di monomi; 2) moltiplicazione tra monomi; 3) potenza di un monomio; 4) divisione tra monomi. Per ciascuna di esse presenteremo la regola di calcolo corredata da un esempio e da un ulteriore approfondimento.

SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI Diciamo sin da subito che è possibile sommare solamente monomi simili. In particolare la somma di monomi simili è un monomio che ha: come coefficiente numerico: la somma dei coefficienti numerici dei

monomi della somma; come parte letterale: la stessa parte letterale dei monomi di partenza. Se i

monomi non sono simili, non è possibile effettuare la somma e lasceremo gli addendi così come sono scritti.

Esempio

xy + 3xy + xy - 2xy

i monomi che compongono l'espressione sono simili perché hanno tutti la stessa parte letterale, quindi possiamo sommare i coefficienti numerici:

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(1 + 3 + - 2) xy

Effettuiamo le operazioni all'interno delle parentesi tonde e otteniamo:

xy = xy

Facile, no? Ripetiamo ancora una volta: "LA SOMMA TRA DUE MONOMI È POSSIBILE SE E SOLO SE I MONOMI

SONO SIMILI, IN CASO CONTRARIO I TERMINI RIMARRANNO COSÌ COME SONO".

Ad. esempio:

xy + 3xy + xy2 - 2xy = (1 + 3 - 2) xy + xy2 = 2xy + xy2

PRODOTTO TRA MONOMI Contrariamente con quanto succede con la somma, il prodotto tra monomi è sempre possibile. Moltiplicare due monomi tra loro vuol dire prendere il monomio che ha: coefficiente numerico dato dal prodotto dei coefficienti numerici; parte letterale data da tutte le lettere dei singoli monomi, ciascuna con

esponente uguale alla somma degli esponenti delle singole lettere.

La moltiplicazione tra monomi è più difficile a dirsi che a farsi, fidatevi!

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Esempio:

2x3y 3xy2z Il monomio prodotto ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti

2x3y 3xy2z = 2 3...= 6... Ora calcoliamo la parte letterale del monomio prodotto. Essa conterrà sicuramente le lettere x, y, z, ma noi siamo interessati anche agli esponenti:

2x3y 3xy2z = 6x?y?z? Cosa dobbiamo mettere al posto dei punti interrogativi? L'esponente della lettera x è dato dalla somma dell'esponente della x presente nel primo fattore e quello della x nel secondo fattore, quindi 3+1= 4:

2x3y 3xy2z = 6x4y?z? La lettera y avrà esponente 1+2=3 dove 1 e 2 sono rispettivamente l'esponente della lettera y presente nel primo fattore e l'esponente della y nel secondo fattore:

2x3y 3xy2z = 6x4y3z? L'esponente di z è dato da 0+1=1 dove 0 e 1 sono gli esponenti della z nel primo e nel secondo monomio fattore:

2x3y 3xy2z = 6x4y3z A ben vedere non abbiamo fatto nulla di particolare, infatti abbiamo solamente applicato le proprietà delle potenze.

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POTENZA DI UN MONOMIO

Per elevare alla potenza n-esima un monomio bisogna elevare a potenza il coefficiente e moltiplicare per n gli esponenti dei fattori letterali. In pratica si tratta di usare la proprietà per le potenze di potenze. Esempio:

(-2x2yz)2 = (-2)2 (x2)2 (y)2 (z)2 = 4x4y2z2

DIVISIONE TRA MONOMI

La divisione tra monomi è leggermente più complicata rispetto alle operazioni che abbiamo descritto finora, perché richiede la condizione di divisibilità tra monomi (vedi prossimo paragrafo). Un monomio (dividendo) si dice divisibile per un secondo monomio (divisore) se esiste un ulteriore monomio (quoziente) che moltiplicato per il secondo dà il primo. Che è un po' la definizione che si da per i numeri interi: "Un numero intero (dividendo) si dice divisibile per un secondo numero intero (divisore) se esiste un ulteriore numero intero (quoziente) che moltiplicato per il secondo dà il primo". 8, numero intero, è divisibile per 2, numero intero, perché esiste un quoziente, ovvero 4, anch'esso intero, per cui 4 2 = 8. Da piccoli avevamo i numeri interi. Adesso abbiamo di monomi. In pratica, con una minima forzatura, il monomio è il numero intero dell'algebra letterale.

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Con tale ipotesi possiamo definire la divisione tra due monomi divisibili e diversi da zero. Essa è un monomio che ha: coefficiente numerico dato dal quoziente (cioè dal risultato della

divisione) dei coefficienti numerici; parte letterale data dal rapporto (o divisione) delle lettere omonime tra

loro. Per gli esponenti ci si comporta ancora una volta applicando le proprietà delle potenze. Stavolta vanno sottratti e non sommati:

Esempio:

3x3y2z : (3xyz)

La parte letterale del monomio quoziente è 3:3=1, mentre la parte letterale si ricava nel modo seguente:

3x3 y2 z : (3 x y2) = (3:3) x3-1 y2-2 z1-0 = 1 x2 y0 z1 = x2 z

CONDIZIONE DI DIVISIBILITÀ TRA MONOMI

Per dividere due monomi dobbiamo fare molta attenzione perché non è sempre possibile farlo. L'argomento è un po' delicato ma se prestate attenzione risulterà una passeggiata. Prendiamo due monomi che chiameremo:

Per poter eseguire la divisione tra due monomi è necessario che gli esponenti di ogni singolo elemento della parte letterale del monomio dividendo siano maggiori o al massimo uguali alle potenze delle lettere corrispondenti del monomio divisore.

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Se questa proprietà viene rispettata, il risultato della divisione sarà un monomio che avrà: come parte numerica il quoziente tra le parti numeriche dei due monomi; come parte letterale quella che andrà a formarsi seguendo la regola della

divisione tra potenze (riportando la base e sottraendo gli esponenti); Esempi sul quoziente di due monomi Esempio 1:

Esempio 2: la divisione

non è eseguibile in quanto il grado di a nel primo monomio è 3 che è minore di 4 (grado di a nel monomio divisore)

MCD E mcm TRA MONOMI Il MCD ed il mcm tra monomi sono rispettivamente: il massimo comun divisore di due o più monomi; il minimo comune multiplo tra due o più monomi.

Essi vengono definiti in modo del tutto analogo rispetto al caso numerico. Prima di passare a parlare dei polinomi è bene imparare a risolvere gli esercizi sul calcolo di MCD e mcm di monomi, in modo da prendere confidenza con i monomi e con le operazioni tra monomi.

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Vedremo come calcolare il massimo comun divisore di monomi e il minimo comune multiplo di monomi; oltre a mostrare la regola generale per il calcolo, proporremo alcuni esempi per entrambi i casi. Naturalmente prima di procedere nella lettura è bene aver presente in cosa consistono il MCD e il mcm di due o più numeri (ripasso scuole medie).

MCD DI MONOMI

Il massimo comun divisore di due o più monomi è un qualsiasi monomio di grado massimo che divide contemporaneamente tutti i monomi dati! immaginiamo di avere due monomi. Per calcolarne il MCD prenderemo:

come parte letterale, la parte letterale formata da tutte e sole le lettere comuni ai monomi, elevate ciascuna al più piccolo esponente che esse hanno nei singoli monomi. DUNQUE PRENDIAMO LE LETTERE COMUNI COL MINORE ESPONENTE;

Per il coefficiente dobbiamo fare una piccola distinzione. Se i coefficienti dei monomi sono interi, sceglieremo come coefficiente del massimo comun divisore il massimo comun divisore dei coefficienti dei monomi dati. Se invece i coefficienti dei monomi non sono numeri interi, allora per convenzione si è soliti prendere come coefficiente del massimo comun divisore 1. DUNQUE PRENDIAMO I FATTORI (NUMERICI) COMUNI COL MINORE ESPONENTE; SE FRA I COEFFICIENTI C'È QUALCHE FRAZIONE, ALLORA COME MCD DEI COEFFICIENTI PRENDEREMO "1";

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Esempi sul MCD di monomi Vogliamo calcolare il massimo comun divisore dei monomi:

3x2yz4 ; 18ax3y3z4 ; 6xy3z3

Le lettere comuni ai tre monomi sono x, y, z, ma quali esponenti dobbiamo scegliere?

gli esponenti di x sono 2, 3 e 1: il più piccolo è 1; gli esponenti di y sono 1, 3 e 3: il più piccolo è 1; gli esponenti di z sono 4, 4 e 3: il più piccolo è 3.

Dunque il massimo comun divisore ha quindi come parte letterale xyz3. I coefficienti dei monomi sono interi, quindi possiamo determinare il massimo comun divisore tra 3, 18 e 6, scomponendoli in fattori primi: 3 = 3; 18 = 2 32; 6 = 2 3

e, al solito, prendiamo i fattori comuni col minore esponente: 3 Abbiamo finito, perché abbiamo sia il coefficiente che la parte letterale del monomio massimo comun divisore:

MCD (3x2yz4 ; 18ax3y3z4 ; 6xy3z3) = 3xyz3 Altro esempio: Calcoliamo il massimo comun divisore tra i monomi:

- ax2y4 ; 3ay2 ; 2y3z

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In questo caso l'unica lettera in comune è y e l'esponente da considerare è 2 perché è l'esponente minore. Il coefficiente del MCD è invece 1 perché non tutti i coefficienti di partenza sono numeri interi. Dunque:

MCD (- ax2y4 ; 3ay2 ; 2y3z) = y2

mcm DI MONOMI

Il minimo comune multiplo di due o più monomi è definito come un qualsiasi monomio di grado minimo che sia divisibile per tutti i monomi dati. Immaginiamo di avere due monomi. La regola per determinarne il mcm è la seguente: la parte letterale del mcm si determina prendendo le lettere comuni e

non comuni, prese una sola volta, con il massimo esponente. DUNQUE PRENDIAMO LE LETTERE COMUNI E NON COMUNI COL MAGGIORE ESPONENTE;

per il coefficiente del mcm, se i coefficienti dei monomi dati sono interi, allora calcoleremo il loro minimo comune multiplo. Se invece i coefficienti dei monomi non sono interi, allora prenderemo come coefficiente del minimo comune multiplo il nostro amico 1. DUNQUE PRENDIAMO I FATTORI (NUMERICI) COMUNI E NON COMUNI COL MAGGIORE ESPONENTE; SE FRA I COEFFICIENTI C'È QUALCHE FRAZIONE, ALLORA COME mcm DEI COEFFICIENTI PRENDEREMO "1";

Esempi sul mcm di monomi Qualche esempio giusto per comprendere come applicare la regola di calcolo del mcm tra monomi. Calcoliamo il minimo comune multiplo tra:

xy ; -2ax2y2 ; 3xy

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Per parte letterale, dobbiamo prendere le lettere comuni e non comuni con il

massimo esponente, in questo caso: ax2y2. Come coefficiente prenderemo il minimo comune multiplo tra 1, 2, 3 che è 6. Abbiamo già finito:

mcm (xy ; -2ax2y2 ; 3xy) = ax2y2 Un altro esempio: Vogliamo calcolare il mcm dei monomi:

x ; y ; - xyz2

La parte letterale del minimo comune multiplo è formata dalle lettere comuni e non comuni prese con il massimo esponente, dunque xyz2. Il coefficiente del minimo comune multiplo invece è 1 perché i coefficienti dei monomi dati non sono interi.