MATEMATICA CLASSE 1A – A.S. 2015/2016

PROGRAMMA SVOLTO

In riferimento ai testi Leonardo Sasso: "Matematica a colori - edizione blu”, Algebra vol.1, ed.Petrini Ascari, Morzenti, Valsecchi: “ La geometria del piano e le trasformazioni”, vol.1 ed.San Marco 1) Numeri naturali e numeri interi:

Gli insiemi numerici N e Z: operazioni e proprietà. Criteri di divisibilità, numeri primi, M.C.D. e m.c.m, potenze con esponente naturale e loro proprietà, espressioni numeriche, problemi in N e in Z.

2) Numeri razionali:

Le frazioni e numeri razionali. L’insieme numerico Q. Numeri decimali finiti e periodici. Proporzioni e percentuali. Potenze con esponente intero negativo. Espressioni e problemi in Q. Notazione scientifica e ordine di grandezza. I numeri irrazionali e i numeri reali.

3) Gli insiemi e la logica: Gli insiemi e le loro rappresentazioni. Sottoinsiemi. Partizione di un insieme. Operazioni tra insiemi e loro proprietà. Proposizioni e connettivi logici di base. Proposizioni aperte e insiemi di verità. Le implicazioni logiche. Forme equivalenti per l’implicazione logica (condizione necessaria e sufficiente). Implicazione inversa, contraria, controinversa. Alcune forme di ragionamento: modus ponens e modus tollens e sillogismo ipotetico. I quantificatori.

4) Relazioni:

Il concetto di relazione. Rappresentazioni di una relazione. Proprietà delle relazioni. Relazioni di equivalenza e d’ordine. Il concetto di funzione, funzione inversa, prodotto di funzioni, funzione biunivoca (definizioni).

5) Monomi e polinomi:

I monomi e i polinomi. Le operazioni e le espressioni con i monomi e i polinomi. M.C.D. e m.c.m. fra monomi. I prodotti notevoli. Le funzioni polinomiali. Divisione con resto fra polinomi. Il teorema del resto e il teorema di Ruffini.

6) La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche:

La scomposizione in fattori dei polinomi: raccoglimento a fattor comune e raccoglimenti parziali, scomposizioni mediante i prodotti notevoli, scomposizione del trinomio di secondo grado, scomposizione mediante la regola di Ruffini. M.C.D. e m.c.m. fra polinomi. Le frazioni algebriche: condizioni di esistenza e semplificazione. Le operazioni con le frazioni algebriche. Semplificazione di espressioni con frazioni algebriche.

7) Equazioni lineari:

Classificazione delle equazioni; dominio e soluzioni di un’equazione. Le equazioni equivalenti e i principi di equivalenza. Risolvere equazioni intere e fratte, numeriche. Ricavare formule inverse. Utilizzare le equazioni per rappresentare e risolvere problemi.

8) Enti geometrici, primi assiomi e teoremi:

Il metodo della geometria. Rette parallele e secanti, assioma di Euclide. Fasci di rette. Semipiani e relativo assioma. Insiemi convessi e concavi. Angoli.

9) Trasformazioni geometriche, isometrie Trasformazioni geometriche. Invarianti e elementi uniti di una trasformazione. Trasformazioni involutorie. Assioma della distanza. Isometrie e loro proprietà. Lunghezza del segmento e ampiezza di un angolo.

10) Confronto e operazioni tra segmenti e angoli Confronto e operazioni tra segmenti. Confronto e operazioni tra angoli. Angoli particolari.

11) Proprietà della simmetria assiale:

Rette perpendicolari e assiomi di perpendicolarità. Asse di un segmento. Distanza di un punto da una retta, proiezioni e oblique. Simmetria assiale e proprietà.

12) Applicazioni della simmetria assiale:

Poligoni e triangoli. Lati, vertici diagonali di un poligono, angolo interno, angolo esterno. Poligono equilatero, poligono equiangolo, poligono regolare. Luogo geometrico. Asse del segmento come luogo geometrico. Circocentro di un triangolo. Bisettrice dell’angolo come luogo geometrico. Incentro di un triangolo. Proprietà del triangolo isoscele. Alcune semplici costruzioni geometriche con riga e compasso. Applicare teoremi già acquisiti nella dimostrazione di nuovi teoremi.

LAVORO ESTIVO Il presente file contiene

1. Indicazioni di lavoro suddivise per fasce di profitto 2. Allegati, numerati da 1 a 2, contenenti esercizi e riferimenti ai testi utilizzati durante l’anno 3. Schede di lavoro, numerate da 1 a 9, che costituiscono il materiale che verrà utilizzato nei corsi di recupero

estivi Il lavoro è obbligatorio per tutti, secondo le indicazioni. Se qualche esercizio creasse qualche problema, riportare il testo e lasciare lo spazio vuoto per lo svolgimento segnalando in breve perché non si riesce a risolverlo. Riportare un eventuale svolgimento, anche se errato. A titolo facoltativo si consiglia di ‘giocare’ con la matematica utilizzando le proposte presenti in internet a cura di alcune università italiane (per esempio: giochi di Archimede, Kangourou della matematica, giochi MATEpristem), soprattutto a quegli studenti meno autonomi, che si ritengono poco creativi. Ci sono anche le soluzioni! Sempre a titolo facoltativo allego un elenco di consigli di lettura che coinvolgono la matematica. 1] Studenti con sospensione del giudizio

Si ricorda che tali studenti, per essere ammessi alla classe successiva, dovranno sostenere prima dell’inizio del prossimo anno scolastico una prova d’esame (secondo il calendario che verrà comunicato sul sito) consistente in una prova scritta e una orale, in cui verranno verificate sia le conoscenze che le abilità operative. Per la preparazione all’esame si raccomanda di seguire il corso di recupero organizzato dalla scuola o un equivalente lavoro individuale. Le schede da 1 a 9 vanno stampate e portate al corso di recupero. Per eventuali ulteriori esercitazioni si possono utilizzare anche gli esercizi indicati nell’allegato 2.

2] Studenti promossi, ai quali però è stato comunicato il permanere di lacune in matematica

Le schede da 1 a 9 costituiscono, anche per costoro, un percorso guidato per colmare le lacune residue. In occasione della prima lezione di matematica, dovranno consegnare all’insegnante il quaderno con il lavoro svolto. Le prove di ingresso alla classe successiva, che saranno somministrate anche al resto della classe e valutate come verifiche del quadrimestre, permetteranno di accertare l’avvenuto recupero di tali lacune.

3] Studenti promossi con voto 6

Dovranno svolgere gli esercizi indicati nell’allegato 2. L’allegato 1 è un utile riepilogo delle proprietà delle operazioni fra insiemi. A titolo facoltativo potranno poi avvalersi delle schede da 1 a 9 per gli argomenti sui quali ritengano di doversi meglio consolidare.

4] Studenti promossi con voto maggiore o uguale a 7

Dovranno svolgere gli esercizi indicati nell’allegato 2 secondo le seguenti indicazioni: TEMA A: svolgere tutti gli esercizi proposti TEMA B: svolgere tutti gli esercizi proposti TEMA C-D: svolgere un esercizio ogni due GEOMETRIA: svolgere tutti gli esercizi proposti

L’allegato 1 è un utile riepilogo delle proprietà delle operazioni fra insiemi. All'inizio dell’anno scolastico verrà considerato come prerequisito irrinunciabile per tutti la conoscenza di:

- definizioni - proprietà delle operazioni fra numeri e fra polinomi - proprietà degli insiemi - proprietà delle relazioni - enunciati degli assiomi e dei teoremi studiati, dimostrazione dei teoremi studiati

INDICAZIONI DI LAVORO Prima di iniziare a fare gli esercizi si rileggano (per quell’argomento) le spiegazioni del libro di testo, rileggendo anche eventuali esempi di esercizi svolti. Per geometria è particolarmente importante ripassare e memorizzare tutti i contenuti (definizioni, assiomi, teoremi). Ci si può aiutare anche utilizzando le schede riassuntive del testo e svolgendo le prove di autovalutazione e la simulazione di verifica (si ricordi che in fondo al testo si possono trovare le soluzioni).

Allegato1

Riepiloghiamo le proprietà delle operazioni fra insiemi.

INTERSEZIONE UNIONE

PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA AAA AAA

Proprietà commutativa

ABBA ABBA

Proprietà associativa CBACBA CBACBA

Proprietà distributiva

dell’intersezione rispetto all’unione dell’unione rispetto all’intersezione CABACBA CABACBA

Elemento neutro

AUA AA

Elemento assorbente A UUA

Complementazione AA UAA

Leggi di De Morgan

prima BABA seconda BABA

Altre proprietà

AA U U

Proprietà della differenza ABA AA

AAU AA

ABBA BABA Se A e B sono disgiunti allora ABA e BAB Se BA allora BA

CARDINALITÀ DI UN INSIEME DEFINIZIONE Se A è un insieme finito si definisce cardinalità di A il numero (naturale) di elementi dell’insieme A e si scrive onA elementi di A.

PROPRIETÀ DELLA CARDINALITÀ BABABA

Se nA allora n2AP

BAAxB

Allegato2

TEMA A – I NUMERI Pag.145: 3,4,10,16,22,24,36,38,39,41,45,49 Pag.148: tutto il test da 1 a 23

TEMA B – IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA Pag.242: tutto il test da 1 a 19 ESERCIZIO1] Dati gli insiemi 10x,ZxxU , 8x2,Ux|xA , 01x,Ux|xB 3 ,

5nNnnx,Ux|xC 2 , dopo averne dato una rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn, scrivi per elencazione gli insiemi

BAC

CBBA

BCBA

BCP

ESERCIZIO2] In riferimento all’esercizio precedente inserisci i simboli opportuni.

{-1, -2, -3} …… A ……P(A) 5……P(A) …… A 5 ……ABC 7 …… BC 1 ……AB 3 …… A 5 ……AB {1, 2, 3} …… A ……P(A) 0 ……

ESERCIZIO3] Fornisci una proprietà caratteristica, in forma simbolica, che definisca i seguenti insiemi

1. A è l’insieme dei multipli naturali di 11 compresi fra 15 e 100 2. 7,5,3,1,1,3B

3. 343,216,125,64,27,8C 4. D è l’insieme dei numeri naturali pari non minori di 10

TEMA C- D – IL CALCOLO CON LE LETTERE E LE EQUAZIONI Pag.452: 55,57,59,62,64,67,68,72 Pag.456: tutto il test da 1 a 30 ESERCIZIO1] Semplifica le seguenti espressioni

1 2 3 1 3 1 3

2 2 2 8

3 12

12

2 2 2 2 14

4 14

18

12

3 12

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

3 4 2 2 22

2 2 2

2

3 22 2

2a

a

2a

5a

2

2

2

2

b a b b a a a

b a b a b

b a b a b a b b a b a

a a a a

:

:

: :

:

24 3 2

2

2

3 2 3 4 5 22

2

4 2 2

4 4 3 3 2 2

8 2 2 3

5 6 3 6 3 3 3 4

6 49

3 23

3 23

2 13

2 43

7 3 13

a a a a

x x x x x x

x x x x x x x x

a b a b a b

: :

: :

: :

:

x - 1

13

13

:

:

:

3

8 3

9 13

3 13

13

3

2 2 2 22

3 3 2

ab

a bc c c

a a a a

a + 3bc + c

a + 13

2

Soluzioni

1

2

3

4 2 3

5 1

6

7

8 96 144

9 6 1

2

2

2 2

- 43

a + 3b

- 1

64b

13

14

6x + 3

127

a b - a b +9ab - 27

16a

3a

2 2

4

3 3 2 2

2

2

a a

x x

abc b c

a

ESERCIZIO2] Semplifica le seguenti espressioni fra frazioni algebriche

xy1:

yxy2x1

y1

x1

yx2

y1

x1 9

yxy

yxx:

xyy

yxx

xy4yx1:

xy11

yx 8

2xxx4949

x718x9x81

xx188145x5

9x8x4+4x 7

2a2a

4aa6:

2a3a 6

1a31

a3a33a2

a43a

4a:

a4a4a33

4a44a3 5

x38

x9x32x3x

2x3x

1xx51x:1x 4

a320

a55a4:

2aa2a3a

2aa2a3a

1a4 3

y83

1y3y83

y31

y31:

y92y

9y6yy+1 2

4m1:

m21

m2m1-m

m21

m2m1+m 1

22223

2

22

22

22

11

2

21

242

3

2

224

2

2

2

2

2

2

3

3

22

2

2

2

2

2

2

Soluzioni

xy1- 9

4 816+ x72+a

2a 6

1 51x x4

9a25 3

y3 2

m1 1

2

2

3

4

ESERCIZIO3] Risolvi le equazioni Numeriche fratte: sul libro di testo da pag.538: 290, 291, 295, 296, 298, 301, 303, 307, 309 ESERCIZIO4] Risolvi i seguenti problemi Sul libro di testo da pag.497: 320, 325; pag.502: 396 Sul libro di testo da pag.536: 259, 263, 264, 273, 281, 289 ESERCIZIO5] Risolvi i seguenti problemi 1. Alla fine di un campionato a 18 squadre, comprensivo di girone di andata e di ritorno, una squadra ha totalizzato 31

punti. Sapendo che la vittoria vale 3 punti, il pareggio 1 punto e la squadra ha pareggiato una sola volta, quante vittorie e quante sconfitte ha conseguito la squadra? 23perse;10vinte

2. Un ragazzo perde giocando i 52

delle sue figurine. Gioca ancora e ne perde 41

di quante gliene erano rimaste. Alla

fine ha in tasca 72 figurine. Quante ne aveva all’inizio del gioco? 160 3. Per una gita scolastica a cui partecipa un’intera classe, gli alunni devono pagare 44 euro a testa. All’ultimo momento

due alunni non possono partecipare alla gita e quindi il costo deve essere ripartito tra i soli alunni che vi parteciperanno. Si calcola che, visto che i due assenti non hanno pagato, ognuno deve aggiungere 4 euro alla quota precedentemente stabilita. Quanti sono gli alunni della classe? 24

4. Si vuole suddividere un insieme di 50 persone in tre gruppi, in modo che nel secondo gruppo ci siano 5 persone in

più che nel primo, e nel terzo ci siano il doppio delle persone che ci sono nel secondo. Quante persone ci sono in ciascuno dei tre gruppi? Impossibile

5. Un ciclista pedala in una direzione a 30 km all’ora. Un marciatore parte a piedi dallo stesso punto e alla stessa ora,

ma va in direzione opposta a 6 km all’ora. Dopo quanto tempo saranno lontani 150 km? '250oppure'10h4 6. Giovanni ha in tasca 10 euro in più di Aldo, il quale ha la metà dei soldi di Livio, che ha il triplo del denaro di

Tommaso. I quattro fratelli decidono di unire tutte le loro sostanze per acquistare una maglia del costo di 87 euro per la loro mamma e non avanzano nulla. Quanto aveva in tasca Aldo? euro50,16

7. Il signor Rossi ha risparmiato nello scorso anno il 2% del suo guadagno e, nel corrente anno, intende aumentare di

31

il risparmio precedente e cioè risparmiare 800 euro. Quanto ha guadagnato il signor Rossi nello scorso anno?

euro000.30

8. Trova le età di due fratelli sapendo che la loro somma è 50 anni e che fra cinque anni l’età del maggiore sarà i 57

dell’età del minore. Calcola poi quanti anni fa l’età del maggiore era il doppio dell’età del minore? faanni10;20e30 9. Un treno parte da una stazione e viaggia alla velocità costante di 120 km/h. Dopo 80 minuti parte un secondo treno

dalla stessa stazione e nella stessa direzione alla velocità di 150 km/h. Dopo quanti km il secondo raggiungerà il primo? km800

GEOMETRIA

TEOREMI

1] Due triangoli isosceli ABC e ABD hanno in comune la base AB e si trovano nello stesso semipiano di frontiera rAB, con AD<AC. Dimostra che

1. La bisettrice di BCA ˆ passa per D 2. Sono congruenti gli angoli DBC ,ˆDAC 3. Il triangolo CEF è isoscele, essendo {E}=ACrBD, {F}=BCrAD 4. I triangoli ADE e BFD hanno gli angoli ordinatamente congruenti

2] Sia ABC un triangolo isoscele di base BC; siano x, y gli assi dei lati AB, AC e si intersechino in P; siano BK e CH altezze e si intersechino in Q. Dimostra che

1. I punti A, P, Q sono allineati 2. Il triangolo PHK è isoscele 3. Il triangolo BQC è isoscele 4. I triangoli APB e APC sono isosceli 5. Le rette x, y sono rispettivamente parallele a CH, BK 6. BCKH è un trapezio isoscele 7. AH<AQ 8. AB<2AP

3] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia O il circocentro. Sia M il punto medio di AO ed N quello di OB. Siano OHAC e OKBC, con H, K punti sui lati del triangolo. Dimostra che

1. Il triangolo OMN è isoscele 2. Il triangolo OHK è isoscele 3. H e K sono i punti medi di AC e BC 4. MNKH è un trapezio isoscele 5. I triangoli AOC e BOC sono isosceli

4] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia T l’incentro. Siano P e Q le intersezioni dei segmenti BC e AC rispettivamente con le rette rAT e rBT. Siano x, y le bisettrici degli angoli esterni in A e B del triangolo, che si incontrano in K. Dimostra che

1. AB è parallelo a PQ 2. K si trova sulla retta rCT 3. sono isosceli i triangoli CPQ, PQT, TAB 4. i triangoli QAT e PBT hanno gli angoli rispettivamente conguenti 5. TH<PT oppure THPT (distingui in quali condizioni si verificano i due casi), essendo {H}= ABrCT 6. il punto K ha la stessa distanza dalle rette contenenti i lati del triangolo

5] Dato il triangolo isoscele ABC, prolunga i due lati, dalla parte del vertice A, di due segmenti congruenti AE ed AD (con AEAB); unisci B con D e C con E e sia O il punto di intersezione delle rette rBD e rCE. Essendo M il punto medio di BC, siano H e K la sue proiezioni sui segmenti OB ed OC. Dimostra che

1. BD è congruente a CE 2. O appartiene alla retta bisettrice dell'angolo BA^C. 3. Il quadrilatero OHMK ha i lati a due a due congruenti e le diagonali perpendicolari 4. DEKH è un trapezio isoscele 5. MK<AC

6] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia CH una altezza. Sia Q un punto di CH tale che il AQ divida l’angolo BAC in due angoli congruenti. Siano S ed R le proiezioni ortogonali di Q su AC e BC rispettivamente; siano M ed N i

punti medi di CS e CR. Dimostrare che 1. Il triangolo AQB è isoscele 2. Gli angoli RHQ e HRQ sono congruenti 3. Gli angoli QBR e HBQ sono congruenti 4. Il quadrilatero SRNM è un trapezio isoscele

Sia poi {O}=MRNS. Dimostrare che 5. O, C, H sono allineati

Si traccino ora le rette rNS e rMR, che intersecano la retta rAB in E ed F. Dimostrare che 6. EH è congruente ad HF.

7] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia CH una mediana, M ed N i punti medi rispettivamente di AC e BC. Sia O l’intersezione fra CH e l’asse del lato AC. Dimostrare che

1. Il triangolo ABO è isoscele 2. Gli angoli BCO e OBC sono congruenti 3. I segmenti MN e AB sono paralleli 4. La retta rON è perpendicolare a BC

Si traccino poi da M e N le parallele x e y rispettivamente ad OA e OB, che si intersecano in F e secano i lati AC e BC rispettivamente in R ed S. Dimostrare che

5. C, H, F sono allineati 6. MNSR è un trapezio isoscele.

8] Sia ABC un triangolo acutangolo e isoscele di base BC. Indica con AH l’altezza relativa alla base (con HBC) e indica con L il circocentro del triangolo. Dimostra che:

1. il triangolo ABL è isoscele 2. LH < LA

Prolunga i lati AB e AC dalla parte di A di due segmenti congruenti AD e AE (con AD<AB). Da D e da E traccia le rette s e r rispettivamente parallele ad AC e ad AB, che intersecano in G ed F la retta BC. Detto O il punto di intersezione delle rette r ed s, dimostra che:

3. AH è bisettrice dell’angolo DAE

4. l’angolo ABL è congruente alla metà dell’angolo DAE 5. D ed E sono simmetrici rispetto alla retta AH 6. O è un punto della retta AH 7. DEFG è un trapezio ed è isoscele

9] Sia ABC un triangolo rettangolo in C e sia r la bisettrice dell’angolo BAC che interseca CB in P. Da P conduci la retta perpendicolare ad AB che incontra il lato AB in D e il prolungamento del lato AC in E. Sia H il punto d’intersezione fra CD ed r. Dimostra che:

1. gli angoli PC^D e PD^C sono congruenti 2. H è punto medio di CD 3. AH < AC < AP 4. gli angoli DPB e CPE sono congruenti come pure CE^P e CB^D 5. CDBE è un trapezio isoscele 6. gli angoli BEP e EBP sono congruenti 7. HD < PB e CD < CB

10] Sia ABC un triangolo rettangolo in B e sia BH l’altezza relativa ad AC. Costruisci D, punto simmetrico di A rispetto a BH. Traccia l’asse s dell’ipotenusa AC e la bisettrice dell’angolo BA^C che si intersecano in P. Da P conduci la parallela al lato BC che incontra la retta AB in E. Dimostra che i triangoli ABD, PAC, EPM, EAM sono isosceli, dove M = AC s.

Scheda n°1

Contenuti: Gli insiemi numerici N e Z Contenuti minimi

L’insieme dei numeri naturali N Potenze e loro proprietà; MCD e mcm

L’insieme dei numeri interi Z Potenze e loro proprietà

Applicazioni Semplificare espressioni Calcolare MCD e mcm Risolvere problemi in N, Z Dimostrare o confutare semplici congetture

ESERCIZIO1] Individua fra le seguenti, le affermazioni Vere e le affermazioni False. Motiva le Vere e costruisci un controesempio per quelle False:

a. La differenza dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato della loro differenza b. L’opposto del quadrato di un numero è il quadrato dell’opposto del numero stesso c. Il prodotto dei cubi di due numeri è uguale al cubo del prodotto dei due numeri d. Il doppio del valore assoluto di un numero è uguale al valore assoluto del doppio del numero e. La somma dei valori assoluti di due numeri interi è maggiore al valore assoluto della somma dei due numeri f. Se il risultato di una potenza è negativo, il suo esponente è dispari g. Se il risultato di una potenza è positivo, il suo esponente è pari h. Se si moltiplica per –1 un qualunque numero, si ottiene un risultato negativo

ESERCIZIO2] Dimostra che per moltiplicare un qualsiasi numero naturale per 12, basta moltiplicarlo per 10 e sommargli il suo doppio. Analogamente dimostra che per quadruplicare un qualsiasi numero naturale basta raddoppiarlo due volte. Quali proprietà hai utilizzato? ESERCIZIO3] Risolvi i quesiti a. la metà di 20164 è …. b. il quadrato del quadrato del quadrato di 32 è …. c. la cifra delle unità del numero 432 765 è …. d. il doppio di 20162 è …. ESERCIZIO4] Dimostra che: a. 5 − 5 + 5 è divisibile per 7; è dispari; è multiplo di 125. b. 7 + 7 è pari; è divisibile per 14; non è multiplo di 5. c. 7 − 9 è multiplo di 4; è pari; è multiplo di 13. ESERCIZIO5] Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando quando possibile le proprietà delle potenze e specificando quali proprietà stai utilizzando.

1. 2R ....2:22 155273 2. 90R ....3:33 2422

3. 22403328 26R ...75:5

4. 115232423 2R ....82:1684 5. 24223324 15R ....53:5353

ESERCIZIO6] Scomponi in fattori i seguenti numeri naturali, anche utilizzando le proprietà delle potenze. Calcola i MCD e i mcm richiesti.

..70035a 2

..752500b 3

..18003600c

MCD(a,c)=.. mcm(a,c)=..2

MCD(a,b,c)=.. mcm(b,c)=..

ESERCIZIO7] Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando quando possibile le proprietà delle potenze e specificando quali proprietà stai utilizzando.

1. 322 3:3

2. 56232534 1:11:1:11

3. 35 2:2 4. 362 5. 425

6. 532

7. 32 22

8. 222-:222 33243223

9. 278 33:3

ESERCIZIO8] Ogni mese un grossista consegna ad un ristorante 30 litri, 48 litri e 18 litri di tre tipi diversi di vino utilizzando il minor numero possibile di recipienti tutti uguali e completamente riempiti, senza mescolare qualità diverse di vino nello stesso recipiente. Quanti recipienti riceverà quel ristorante in un anno?

R: 192 recipienti da 6 litri ciascuno

COMPITO ESERCIZIO9] Semplifica le seguenti espressioni

1. ...23:32:2:2256:30100:5:27:7 2333035

2. ....1000:523:2:2525:555 32232

104322423

3. 224334353333 1034:443:37528:24+

4.

43242

35

2:35112222

5. 10R ....52:5252 883263 ESERCIZIO10 Dimostra che il prodotto dei quadrati di due naturali è ancora il quadrato di un numero naturale, mentre NON è vero che la somma dei quadrati di due naturali è il quadrato di un numero naturale. ESERCIZIO11 sul libro pag.54 n.456 e 459 ESERCIZIO12 In una classe di 27 alunni, la media dei voti nell’ultimo compito di matematica è stata 6,5. La media dei voti delle 12 ragazze è stata 7. Qual è la somma dei voti di tutti gli alunni? Qual è la somma dei voti di tutte le ragazze? Qual è la media dei voti dei soli ragazzi? ESERCIZIO13 Se 484 6n32 , quanto vale n?

(USA University of South Carolina, 2003) NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°2

Contenuti: Insiemi. Implicazioni logiche

Contenuti minimi Insiemi e loro rappresentazioni Sottoinsiemi Operazioni fra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare, prodotto cartesiano Proposizioni matematiche Inversa, contraria, controinversa di una implicazione Quantificatori

Applicazioni Rappresentare per elencazione, caratteristica, diagrammi di Venn Utilizzare correttamente i simboli di inclusione ed appartenenza, insieme vuoto, insieme universo Determinare gli elementi di tali insiemi Risolvere problemi utilizzando i diagrammi di Venn Costruire tali proposizioni Utilizzare i quantificatori

ESERCIZIO1 Ricopia più volte il diagramma in figura e colora gli insiemi elencati, indicando per ciascuno l’operazione con cui si ottengono a partire dagli insiemi A, B, C. Colora l’insieme delle persone che praticano:

a. la pallavolo e il nuoto b. il calcio o la pallavolo c. la pallavolo ma non il nuoto d. il calcio o la pallavolo, ma non entrambi e. nessuno dei tre sport

Modifica il diagramma della figura in modo da rappresentare la situazione in cui nessuno pratica tutti e tre gli sport e tutti coloro che giocano a calcio praticano anche nuoto. ESERCIZIO2] Ricorda che un insieme può essere fornito per elencazione dei suoi elementi, per caratteristica, tramite diagrammi di Venn. Dati i seguenti insiemi, fornisci per ciascuno le rappresentazioni mancanti.

81 27, 9, 3, 1,A

20xNn n3 x|NxB

6n Nn 2-x |ZxC n

...

321 ,

161 ,

81 ,

41 ,

21 1,D

5x 2 |ZxE

ESERCIZIO3] Rappresenta, con un unico diagramma di Venn, i seguenti insiemi e successivamente completa le scritture.

12 xNn n2 x|NxA ; 12 xNn n4 x|NxB ; 11x 8 |NxC

B … A

Se xB allora x … A

… B

B … C

4 … B

{4} … A

{4} … C

{0, 4, 8} … B

ESERCIZIO4] Dato l’insieme universo 10x |ZxU , rappresenta, con un unico diagramma di Venn, i seguenti insiemi e successivamente completa

Nn2x |UxA n ; Nn 1n2x |UxB ; 5x Nn -2nx |UxC

...A

...B

...C

...BA

...CA

...A

...BA

...BCA

...BCCA

A ... BA

... CBA

… B A

{-2, 3, -8} … ABC ESERCIZIO5 Dati gli insiemi , 5 4;Be7 2; 1;A , costruisci gli insiemi AxA e AxB ESERCIZIO6 Risolvi il problema aiutandoti con un diagramma di Venn Nel periodo delle elezioni dei rappresentanti di classe, in una classe di 31 alunni si sono candidati 3 studenti: Anna, Beatrice, Cristian. Tutti gli alunni sono presenti. Ogni alunno della classe può votare anche più di un candidato. Allo spoglio dei voti risulta che:

due schede sono bianche non ci sono schede nulle 2 schede indicano tutti e tre i nomi 8 schede indicano solo Anna 5 schede indicano solo Beatrice 2 schede indicano solo Anna e Beatrice 3 schede indicano solo Beatrice e Cristian 2 schede indicano solo Anna e Cristian Quanti hanno votato solo Cristian? E chi saranno i due rappresentanti di classe eletti?

(7; Anna e Cristian) ESERCIZIO7 Risolvi il problema aiutandoti con un diagramma di Venn Un gruppo di amici, dopo cena, vanno in un bar. Ognuno di loro prende almeno il caffè, il dolce o il gelato. Si sa che:

1 persona ha preso un caffè, un dolce e un gelato 3 persone hanno preso soltanto il caffè 8 persone hanno bevuto un caffè 2 persone hanno preso solo un gelato 4 persone hanno preso almeno un dolce e un gelato 4 persone hanno preso solo il dolce 10 persone non hanno preso il gelato. Quanti sono gli amici? Quante persone hanno preso il dolce e il caffè, ma non il gelato. Determina quanto pagano complessivamente, sapendo che il caffè costa 1 euro, il dolce 4,50 euro e il gelato 3,50 euro.

R: 17; 3; euro82750,31150,418 ESERCIZIO8 Scrivi in forma simbolica le seguenti proposizioni aperte utilizzando il quantificatore opportuno. Indica poi il valore di verità delle proposizioni.

a. Ogni numero naturale è minore del suo successivo. b. Tutti i quadrati sono positivi. c. Ci sono numeri razionali che sono uguali al loro reciproco. d. Non esistono numeri interi il cui cubo è uguale a 343.

ESERCIZIO9] Date le seguenti implicazioni, scrivine inversa, contraria e controinversa. Per ciascuna stabilisci se è o meno una implicazione logica.

1. Se un numero è una potenza di 8 allora è dispari 2. Se un numero è multiplo di 6 allora è multiplo di 3 3. Se una figura geometrica ha 5 lati, allora ha 5 angoli congruenti 4. Se un numero è intero allora è razionale

ESERCIZIO10 Trascrivi le proposizioni:

a. Se smette di piovere vado in piscina. b. E’ necessario che ritorni il sole affinché i pomodori maturino. c. Solo se sono iscritto alla corsa posso gareggiare. d. E’ sufficiente non presentarsi all’esame per non superarlo. e. Solo se ha le diagonali congruenti un quadrilatero è un rettangolo f. Basta che un poligono sia equiangolo perché sia regolare nelle forme equivalenti: Se ……………………… allora …………………….. Condizione sufficiente …………………………. Condizione necessaria ……………………………… Solo se ……………………………………………….

COMPITO

ESERCIZIO11] Dato l’insieme universo

51,

41,

271,

91,

31,

32,

21 1, 0, |QxU , rappresenta, con un unico

diagramma di Venn, i seguenti insiemi e successivamente completa

3nNn

31x |UxA n

;

5nNn

n1x |UxB 0 ;

2nZnn31 x|UxC

...A

...B

...C

...BA

...CA

...A

...BA

...BCA

...BCCA

ESERCIZIO12] Dati gli insiemi generici A, B, C ed U, rappresenta con diagrammi di Venn i seguenti insiemi:

CBA ;CBA ;CBA ;CBA ;CBA ;CBA ESERCIZIO13 Ci sono 29 persone in una stanza. Di queste, 11 parlano francese, 24 parlano inglese, e 3 non parlano né francese né inglese. Quante persone nella stanza parlano sia francese che inglese? ESERCIZIO14 Si sa che in una città di confine la popolazione parla il tedesco o il francese e che il 70% della popolazione parla il tedesco mentre il 60% parla il francese. Quale percentuale di popolazione conosce entrambe le lingue? ESERCIZIO15] Date le seguenti implicazioni, scrivine inversa, contraria e controinversa.

1. Se mi telefoni sei gentile 2. Se un numero è minore di 100 allora ha due cifre

ESERCIZIO16 Scrivi in linguaggio verbale le seguenti proposizioni e indica il loro valore di verità.

3xRx 2 2xxZx 5xZx

1xRx 0 0xZx 2 xxQx ESERCIZIO17 sul libro pag.193 n.211 NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°3

Contenuti: Relazioni – Insiemi numerici: Q

Contenuti minimi Relazioni e loro rappresentazione Proprietà delle relazioni. Relazioni d’equivalenza e d’ordine. L’insieme dei numeri razionali Q

Ordinamento Rappresentazione decimale Potenze e loro proprietà Operazioni con i numeri razionali

Applicazioni Utilizzare diverse rappresentazioni Classificare relazioni in un insieme Risolvere problemi in Q

ESERCIZIO1] Individua fra le seguenti le affermazioni Vere e le affermazioni False. Motiva le Vere e costruisci un controesempio per quelle False:

a. Il reciproco della somma di due numeri è uguale alla somma dei reciproci dei due numeri b. Il quoziente di due numeri uguali è sempre 1

c. Nell’espressione n

ba

se n è negativo il risultato dell’espressione è negativo.

d. Se si moltiplica per –1 numeratore e denominatore di una frazione si ottiene una frazione equivalente ESERCIZIO2] Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false 12

35

610

36

16

13

14

28

13

56

25

18

35

16

74

45

1415

35

49

32

7 ; ; - ; - ; - ; -7

ESERCIZIO3] Scrivi le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali (la parte in parentesi rappresenta il periodo)

3.6

7.(2)

0.(2)

12.05

8.2(5)

7.(312)

0.(05)

2.(25)

0.03

3.(9)

0.34(5)

4.(5)

7.(5)

13.1(9)

ESERCIZIO4] Confronta o ordina tra loro i seguenti numeri decimali 0.3 ..... 0.(3)

17.(9) ..... 18

0.01 ; 0.(01) ; 0.0(1) : ....

8.0(1).....8.(01)

3.02(9).....3.03

0.001 ; 0.(001) ; 0.0(01) ; 0.00(1) : ....

ESERCIZIO5] Semplifica le seguenti espressioni in Q, utilizzando quando possibile le proprietà delle potenze e specificando quali proprietà stai utilizzando.

1. 3322

32R

32:

32

32

2. 144R 16169

34 2

22

3. 333

6R 92:

34

4. 64

125R 825

52:

254 333

5. 41R

22:2

651:

8113

32

23:

23

32

3

5322

5

4247

ESERCIZIO6] Risolvi i problemi 1. Fra i partecipanti ad un convegno il 40% sono maschi; il 20% dei maschi e il 15% delle femmine sono al di

sotto dei 30 anni. Qual è la percentuale complessiva dei partecipanti al di sotto dei 30 anni? (17%)

2. Una scatola da 1 kg di tonno sott’olio contiene il 4% di olio, mentre una scatoletta da 250 grammi ne contiene

il 18%. Quale delle due confezioni di tonno contiene una minor quantità di olio? Perché la scatoletta da 250 grammi abbia la stessa quantità di olio della confezione da 1 kg, quale deve essere la sua percentuale di olio?

R: quella da 1kg; il 16% 3. In una cittadina l’80% degli abitanti è maggiorenne e ha diritto al voto. Nelle ultime elezioni comunali, soltanto

il 70% degli aventi diritto al voto si è recato alle urne, ma il 5% di questi ha votato scheda bianca o nulla. Fra i voti espressi 5 su 8 sono stati a favore del sig.Lapo Mannaro che è stato così eletto sindaco con 3990 preferenze. Quanti abitanti ha quella città?

R: 12000

4. Se le due dimensioni di un orto rettangolare vengono una aumentata e l’altra diminuita del 10% che variazione percentuale subisce l’area? Rispondi motivando.

R: l’area diminuisce sempre dell’1% indipendentemente dalle dimensioni 5. Se le due dimensioni di un orto rettangolare vengono aumentate entrambe del 10% di quanto aumenta in

percentuale l’area? E il perimetro? R: l’area aumenta del 21%; il perimetro aumenta del 10%

6. In un concorso passa la prima selezione soltanto il 20% dei disegni presentati. Successivamente ad una

seconda selezione solo 8% dei disegni rimasti in gara viene premiato. In totale i disegni premiati sono 4. Quanti lavori erano stati presentati alla gara?

R: 250, infatti se indico con x il numero di tutti i lavori in gara si ha che 250x4x10020

1008

ESERCIZIO7] Maria ha acquistato un libro, scontato del 15%, al prezzo di 15 euro e 30 centesimi. Dopo aver letto 41

delle pagine del libro, legge 32

delle pagine rimanenti e a questo punto le restano da leggere ancora 104 pagine.

Determina: il prezzo del libro prima dello sconto (prezzo di copertina) Il numero di pagine complessivo del libro La percentuale che rappresenta il numero di pagine che restano da leggere a Maria rispetto al numero di pagine complessivo

18 euro, 416 pagine, 25% ESERCIZIO8 Una relazione può essere rappresentata mediante diagramma sagittale o grafico cartesiano. Delle seguenti relazioni definite tra gli insiemi 6;5;4Be7;4;3;2;1A , illustra tutte le possibili rappresentazioni, indica poi Dominio e Condominio.

a. 4;4,6;3,6;2,6;1,5;1,4;2,4;1 b. beaba sono pari

c. 0baba ESERCIZIO9 Studia le proprietà delle seguenti relazioni, stabilisci poi quali fra le relazioni sono di equivalenza, per queste individua le classi di equivalenza, o quali sono d’ordine, per queste individua se sono d’ordine stretto/largo, totale/parziale.

b. In 43,10 231, 27,A , x R y se e solo se x ha un numero di cifre minore di quello di y c. Nell’insieme degli studenti del tuo liceo, essere nati nello stesso anno o nello stesso luogo d. Nell’insieme degli studenti del tuo liceo, essere nati nello stesso anno e nello stesso luogo e. Nell’insieme 3xZxB , 0yx: f. Nell’insieme delle persone presenti in questa stanza, x R y se e solo se x è venuto a scuola con lo stesso

mezzo di trasporto di y g. In un insieme di persone, aver pranzato almeno una volta insieme.

ESERCIZIO10] Dopo averne disegnato un grafico (sagittale o cartesiano), stabilisci se le seguenti corrispondenze definite dall’insieme A all’insieme B sono o no funzioni. In caso affermativo stabilisci se è una funzione biunivoca

a. 14 11, 8, 5, 2, 0,B e 5 4, 3, 2, 1,A , y=3x-1 b. 17 10, 5, 2, B e 4 3, 2, 1,A , y=x2+1 c. 17 10, 2, B e 4 3, 2, 1,A , y=x2+1

COMPITO

ESERCIZIO11] Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali

31

;

2.5(9);

- 0.33; 101

; 5

16

-1.544;

0.(1);

-1.5(4);

51

ESERCIZIO12] Dividi il prodotto tra il cubo di 4

21

e il quadrato di 3

21

per il quadrato di 7

21

. Aggiungi al

risultato il cubo di 21

, quindi dividi la somma ottenuta per 43

.

ESERCIZIO13] Semplifica le seguenti espressioni

1.

43

43:

34

43

522

2314:

414

1168

35

32

2. 624

4232

4223

823

27:9

31:

271

:

21:

321

16:4

ESERCIZIO14] Il rapporto fra le aree di due rettangoli è 169

. Trova l’altezza del secondo rettangolo sapendo che ha la

base di 20 cm e che il primo rettangolo ha i lati lunghi 15 cm e 16 cm. ESERCIZIO15] In un’azienda il 15% del personale è costituito da impiegati, il 20% da tecnici specializzati e infine ci sono 273 operai. Quanti sono gli impiegati e quanti i tecnici? ESERCIZIO16 sul libro pag.106 n.231, 233 ESERCIZIO17 Rappresenta con un grafo le seguenti relazioni e studiane le proprietà

a. Nell’insieme 663,834,5423,636,673,2354,384,3452A “essere formati dalle stesse cifre (anche in ordine diverso)”

b. Nell’insieme delle espressioni 002224 3,2,2,2,2,82,2611,73,53C “essere equivalente” (cioè avere lo stesso risultato)

c. Nell’insieme 242 10,10,988,13400,1012,11100D “avere lo stesso numero di cifre”

ESERCIZIO18 Verifica che in N la relazione “avere uguale la cifra delle unità” è una relazione di equivalenza. Stabilisci quali e quante sono le classi di equivalenza che si costruiscono. ESERCIZIO19 Dato l’insieme Δ,A considerane l’insieme delle parti P(A). In tale insieme si può definire la relazione di inclusione . Dimostra che è una relazione d’ordine parziale e disegnane il grafo. NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°4

Contenuti: Gli insiemi numerici – Il calcolo letterale: monomi, operazioni con i polinomi. Contenuti minimi

L’insieme dei numeri razionali Q

Operazioni con i numeri razionali

Monomi e polinomi: definizioni varie Operazioni con i monomi MCD e mcm di monomi Operazioni con i polinomi (addizione e moltiplicazione) Prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato del binomio e del trinomio, cubo del binomio)

Applicazioni Semplificare espressioni Classificare e determinare il grado di monomi e polinomi Semplificare espressioni Calcolare MCD e mcm Semplificare espressioni

ESERCIZIO1] Semplifica le seguenti espressioni in Q

1. -1.2R 2452.54

121

21

65875.0

435.0

2. -3R 6.23.2

526.14.33.1

3. -1R

6061

65

41368.0

435.3

214

54

654.2308.0

4. -2R 321

32

65

1211

65

23:

321

21

671

21

25

65:

321

61

211

21

2

222

322

ESERCIZIO2] La ditta Grandi Affari pratica lo sconto del 30% su un particolare capo d’abbigliamento, mentre la concorrente La Vera Convenienza sullo stesso capo pratica prima il 20% e poi un ulteriore sconto del 12% sul prezzo già scontato. Se il prezzo originale del capo in entrambi i negozi è x, scrivi con due espressioni il prezzo finale in ciascun negozio. Quale negozio pratica uno sconto maggiore? ESERCIZIO3] Si deve rivestire esternamente di stoffa un contenitore senza coperchio che ha la forma di un parallelepipedo rettangolo di altezza 30 cm. Se a e b sono le misure in cm dei lati di base, calcola la quantità di stoffa occorrente.

R: ab+60a+60b

ESERCIZIO4] In un triangolo ABC, l’altezza relativa ad AB è 23

di AB. Indica con x la misura di AB e con y l’area di

ABC ed esprimi y in funzione di x. Se x raddoppia l’area raddoppia?

R: 0x,x43y 2 , no, quadruplica

ESERCIZIO5 Calcola:

1. 0Rx:axaxaxax 2222

2. ba2Rb2:a4

25b2a2bba51:ba

54ab

31:ba 45

2

222

2

2242

34

ESERCIZIO6] Completa

yzx5yx23 325 in forma normale è …………….……………; il coefficiente numerico è …………;

il grado complessivo è ……….., il grado rispetto a x è …….., rispetto a y …….., rispetto a z ………., rispetto a t Dato il monomio yx2 31 , scrivi un monomio simile …………………. il monomio opposto ………………. un monomio con lo stesso grado ……………….

25y4x 2

è un polinomio di grado ……………….. e i suoi termini sono: ……………………………………..

Scrivi un trinomio omogeneo di quarto grado ……………….……………………………. e il suo opposto ……………………………. Ordina il polinomio xyx5yx3 3453 di grado ………….. rispetto ad x …………………………………….. rispetto ad y ……………………………………..

ESERCIZIO7 Per ogni coppia di monomi, scrivi tre divisori comuni e il MCD.

Monomi Divisori comuni MCD dcba15;bca18 24342

3253 yx7;zxy

ESERCIZIO8 Per ogni coppia di monomi, scrivi tre multipli comuni e il mcm.

Monomi Multipli comuni mcm dcba15;bca18 24342

3253 yx7;zxy

ESERCIZIO9] Completa:

...yx5yx5 33

...xab2xab2 4242

...x21ab2

23

...x31ba2

32

...c3b21a2

22

...2x3y12x3 ...1x1x1x1x ...16x814x92x32x3 42

ESERCIZIO10] Calcola

1. 18a6a10R1aa1a33a3a21a2a21 22222

2. 1Rab:babaabbaba31 2224333333

3. bc6Ra23c2ba

21c2ba2c2ba2

43c2ba2

41 22

2

4. 1R1y9xx:yx9xy3x1x1xxy3x 2422222

5. x2R32x

23xx3x

427x

91x

211x

49x

91x

21x3x2 23242222

COMPITO

ESERCIZIO11] Semplifica le seguenti espressioni

1. -1R 1

411

4775.0

561625.0

81

85

21

326.24

2.

2R

1111

12

121

41

31

2352:

311

361

94

1211

2

323

2

ESERCIZIO12 sul libro pag.453: 55,57,62,64

ESERCIZIO13] In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB misura 4 e l’altezza AD è 53

del lato obliquo

BC. Indica con x la misura di BC e stabilisci quali valori può assumere x. Indica con y il perimetro del trapezio ABCD; esprimi y in funzione di x. Stabilisci per quali valori di x il perimetro di ABCD è uguale a 10. ESERCIZIO14] Calcola:

1. 1271110572

23

232

32 cba83Rcba2bca

43bca

23cab

32

2. a8

27a203Ra

32:a

23a5:aaa4a2:a3 3

2222525

3. 6Rba:ba45b

2a

2aba1 22

222

22

4. 222

x4

27R23x

23xx3x

49

23xx

5. 17x8R2x1x273x4x2x3x 3

6. 1x2Rxxxx11x 4422263232 7. ba2b17Rab3babababab2ab2a 342222222

8. 0R2xa1x1a4a9

10a31xa

31x 22222

22

9. RAPIDO 33223 a8Rbababa3baba3ba

NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°5

Contenuti: Scomposizione di polinomi in fattori. Divisibilità fra polinomi.

Contenuti minimi Divisione fra polinomi Regola di Ruffini, teorema del resto Raccoglimento totale Raccoglimento parziale Riconoscimento di prodotti notevoli Trinomio particolare, monico e non monico Somma e differenza di cubi Metodo di Ruffini MCD e mcm fra polinomi

Applicazioni Eseguire divisioni fra polinomi Applicare regola di Ruffini e teorema del resto Scomporre polinomi tramite la combinazione dei vari metodi Determinare MCD e mcm

ESERCIZIO1] Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni, applicando la regola generale o, se possibile, quella di Ruffini:

1. 0R;1x3Q1x2:1x2x3x6 223 2. 3R;2x4x2Q2x:1x6x2 23

3. 8

17R;83x

49x

23x2Q3x2:1x6x9x4 2334

ESERCIZIO2 Senza eseguire le divisioni, calcola il resto applicando il teorema del resto:

1. 2x:x31xx 32

2.

21x:x

31x

41x

21 234

ESERCIZIO3] Scomponi in fattori i seguenti polinomi (raccoglimento totale e parziale)

1. ...30...yx

107yx

153xy

32 44224

2. y2xc8y2xab2

3. 2b3ab3ax3

4. byyabx2xa2 22

5. by5a-bx5ay15a-x15a 2233

6. 4233234 n6mn6m-n4m-n4m ESERCIZIO4] Scomponi in fattori i seguenti polinomi ( … + riconoscimento di prodotti notevoli)

1. 22 y16x25

2. 35 2a-8a 3. 2234 y16xy16x-4x

4. 2258 y20x-y20x5x-

5. 2233 xyyx31yx

271

6. 432234 32xy-y144xy216x-y108x

7. 23232323 y36abx12abby9a-bx3a-

8. y6x4xy121y9x4 22

9. 1x2x 24 10. 1b6b9a 22 11. 4y4yx 22

12. x2axb2ab4a4a 2

ESERCIZIO5] Scomponi in fattori i seguenti polinomi (trinomio particolare) 1. 30x7x 2 2. 12a4a2 3. 234 a10a3a 4. 8-2x3x 2 5. 1517x4x 2 6. 5-9x-2x 2

ESERCIZIO6] Scomponi in fattori i seguenti polinomi (metodo di Ruffini) 1. 6xx4x 23 2. 2x7x7x2 23 3. 6x5x5x5x 234

ESERCIZIO7] Trova MCD e mcm fra i seguenti polinomi

1. 1x2x;2x4x2;1xxx 2223 2. 6xx;6x5x;8x12x6x 2223

3. xa4ax10ax6;x32x2;x16x16x4 235234

ESERCIZIO8] Rispondi motivando o riportando i passaggi a. Senza calcolare il numero, spiega perché 44 7781 non è primo

b. Calcola, senza usare la calcolatrice 612

1315

9333

c. Calcola, senza usare la calcolatrice 22

44

40414041

R: b. 12; c. 81

COMPITO

ESERCIZIO9 Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni, applicando la regola generale o, se possibile, quella di Ruffini:

1. 3xR;4x2Q1x3:1xx12x6 223 2. 2R;2x2x2xxQ1x:x3x 23435

3. 0R;4x3x2Q1x2:4x11x4x4 223

ESERCIZIO10] Scomponi in fattori

yxa14xab7bxa35 23332 ay2ax10by3bx15

27b - 12b3 ax30x9a25 22

864223 16b-24abb12a-b2a

4a5a 24 2xx2x 45

234363 b576ab28ab4a- 25b20b49a 22

a12a6a49a4a 2324 9xax816a 22

ESERCIZIO11] Trova MCD e mcm fra i seguenti polinomi

1. 1x;xx;x3x6x3 4323

2. 3x5x2;1x3x2;3x8x3x2 2223

3. a25x5ax5x;75x30x3;25x25x11 22222 ESERCIZIO12 sul libro pag.452:59,67,68,69 NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°6

Contenuti: Frazioni algebriche.

Contenuti minimi Frazioni algebriche Operazioni con le frazioni algebriche

Applicazioni Determinazione delle CE, frazioni equivalenti, semplificazione di frazioni Semplificazione di espressioni

ESERCIZIO1] Completa

....x....x ...

3x5x3x 5)

....x.... x 9x

...3x2x 4).... x

32x...

32xx5 3)

....x.... x65xx

...2x15x 2)....x.... x

...3x4x

2x34x 1)

2

2

2

2

ESERCIZIO2] Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver determinato le CE. Indica anche per quali valori ciascuna frazione si annulla.

1. 2

2

x4x411x4

2. 10a13a3

2a3x4ax62

3. 22

2

x1a2axax1a2a

4. 2a2aaa12a68a

23

23

5. 2aa

4a5a2

24

ESERCIZIO3] Indica con a e b due numeri reali e scrivi l’espressione algebrica che corrisponde alla seguente frase “dividere la somma dei reciproci dei due numeri per il quadrato della somma dei due numeri e moltiplicare il risultato ottenuto per la somma dei cubi dei due numeri”. Determina il dominio (CE) dell’espressione e semplificala. Determina il valore che assume l’espressione per a=-2 e b=-4.

23;

abbaba;0ba,0b,0a:CE

22

ESERCIZIO4] Considera le due espressioni 1a1a1a

2

e

1a1a1a

2

. Individua le affermazioni VERE e quelle FALSE:

a. sono equivalenti b. hanno significato per gli stessi valori di a c. sono una la frazione reciproca dell’altra

d. hanno prodotto 2

1a1a

R: F; V (a1); F; V ESERCIZIO5] Semplifica le seguenti espressioni. Ricordati di determinare le CR

1. 2a

2a:R 2a2a

4aa6:

2a3a 11

2

21

2. a-251a:R

2a3aa4a129:

3a2a3a2a16:

55a12a8a32a

2

2

23

4

2

23

3. 2x2-x:R

8x4x2xx8

x22x3

4x4x4x3x10

4x4x6x

232

2

2

2

4. 4

2

2

2

2

2

2 m1:R

4m1:

m21

m2m1-m

m21

m2m1+m

5. 1:R 3x2x

30-20x+8-x : 3x

x2xx-1

2-1+x 2

2

6. 2

3-2x:R x2

11-x

1 : 2x3x

x231x2

11-2x

1 : 1x2x

1-x22

7. 2

2

2

2

2

2

2 9a25:R

a320

a55a4:

2aa2a3a

2aa2a3a

1a4

8. 1:R 6a5a

a109a4a

9a6a1

3a4a1 :

6aa1

2aa1

22

22

2222

COMPITO

ESERCIZIO6] Completa

....x....x 1x

...1x

x3 )3

....x 10x2

...5x

x3 )2

....x x5...

x51x3 )1

2

2

...x ...

x1083x

10x 6)

....a....a a5a

...5aa

3a 5)

....x....x x5x

...x

2x 4)433

ESERCIZIO7] Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver determinato le CR.

1aaa1aaa

23

23

;

3aa3a9ab3ab

23

2

;

3a4a6aa4a

2

23

ESERCIZIO8] Semplifica le seguenti espressioni.

1. 21:R 1

7a

35a2a1 :

70+14a1

aa144949

22

2. 2-x

2:R 2x

2x3

36x5x

x4x

2x+422

3. 3x

3-x:R x1xx3:

3x39x

x33x2

1+xx

2

2

2

4. 5-x5x16:R 1

x2025x10x

5x2

51

x5x5-x

223

2

5. 6-z

z:R 1z

1z1 :

2z3z1+2z

z11

4+z2 :

4z3z2+z

22

6. 33

3

22 y3:R

y83

1y3y83

y31

y31:

y92y

9y6yy+1

7. 16x:R

2xxx4949

x718x9x81

xx188145x5

9x8x4+4x

22

22

22

8. x2a2x :R

ax

ax1a

a1

ax121

4x2

2aax1

2aax1

222

ESERCIZIO9] Semplifica

1x

2x1-x :R

42x3

2x12

x11

13x3xx2x2x

12xx2x

1x1:

x1x

x1x

x2

2

2

23

2

23

2

2

NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°7

Contenuti: Equazioni numeriche intere e fratte di primo grado. Problemi

Contenuti minimi Equazioni e loro soluzioni Principi di equivalenza Equazioni numeriche intere e fratte di primo grado Equazioni letterali intere e fratte di primo grado Problemi con equazioni di primo grado

Applicazioni Forme normali e verifica delle soluzioni Determinazione delle soluzioni di una equazione Determinazione della soluzione di una equazione letterale e risoluzione di semplici equazioni parametriche Risoluzione di problemi algebrici e geometrici con equazioni di primo grado

ESERCIZIO1 Trova per ciascuna equazione la sua forma normale, il grado e verifica che i valori a fianco indicati sono soluzioni dell’equazione.

a. 3xx1x 2 51x

b. 222 1x41x41x21x2 2

1x

c. 1x

41x21x2x 3

4x

ESERCIZIO2 Risolvi in R le seguenti equazioni numeriche

a. 2x3x13x61x2x3x2x 22222

b. RSx34

31x2

21x2

65

31

21

31x2

21x2

c. 12;0RS12

12xx

121:x

1212x

d.

45x1

x55x:x5xx5

x5xx5

x5x5x 21112

22

e.

S2x3x

8x4

x11

x111

x11

1x11

2

ESERCIZIO3

1. Trova per quali valori di a l’equazione 3a2ax1a 2 nell’incognita x risulta: a. Indeterminata b. Impossibile c. Determinata. In tal caso trova la soluzione

3ax,1a.c;adivalorenessunper.b;1a.a

2. Considera l’equazione x12xk nell’incognita x e determina per quale valore di k tale equazione: a. Ammette come soluzione x=1 b. Ammette come soluzione x=2 c. È impossibile

1k.c;kdivalorenessunper.b;0k.a

3. E’ data l’equazione fratta 0xk

1x2

nell’incognita x.

a. Per quali valori di k l’equazione è impossibile? b. Per quali valori di k la soluzione è x=3?

23k.b;0k,2k.a

4. Ricava x in ciascuna delle seguenti espressioni:

a. 1xxa1xx

b. 1a1x

ax

c. 0x

1a2x

a2

31acon

1a31a2x,0x2x:CE.c;1ax,1x:CE.b;a

21x.a

5. Risolvi l’equazione kx2k21ax rispetto ad ogni lettera che vi compare.

41xse

1x4ax2k;k2ase

k2a2kx;0xse

x21x4ka

ESERCIZIO4] Risolvi i seguenti problemi con equazioni di primo grado 1. Una rockstar nella sua tourneè annuale ha raccolto nei suoi ultimi 4 concerti 600.000 spettatori, raddoppiandoli a

ogni concerto. In quanti hanno assistito all’ultimo concerto?

2. L’età di una madre supera di 18 anni la somma delle età delle due figlie e l’età della figlia maggiore è i 35

dell’età

della sorella. Determina le loro età sapendo che fra due anni l’età della madre sarà il triplo di quella della figlia maggiore.

3. Un segmento è diviso in due parti tali che 41

di una è uguale ai 72

dell’altra. Sapendo che l’intero segmento è lungo

cm 30, determinare le lunghezze delle due parti.

4. In un rettangolo i 45

della base superano di 17 cm l’altezza; determina perimetro e area del rettangolo, sapendo

che la somma dei 53

della base con i 43

dell’altezza è 18 cm.

5. Cinque amici, Aldo, Bruno, Carlo, Dario ed Enzo uniscono le loro forze in denaro per realizzare una gita domenicale:

Bruno dà i 32

di quello che ha dato Aldo, Carlo i 45

di quello che ha dato Bruno, Dario la metà di quello che hanno

dato Bruno e Carlo insieme, Enzo dà 11 euro. Alla fine si contano 50 euro: quanto ha dato ciascuno? RISULTATI 1. 320.000 2. 34; 10; 6 3. 16 cm; 14 cm 4. 56 cm; 160 cm2 5. Aldo 12 euro, Bruno 8 euro, Carlo 10,00 euro, Dario 9,0 euro

COMPITO ESERCIZIO5 Risolvi in R le seguenti equazioni

1.

275xx

533 2

2. RS3x21x1x2xx 22222

3. 2x41xx

23

21xx

21x

41x

21x

232

4. 6x3x

211

1x

211

1x1

43

45x

5. 1x6x5x2x

x2x3x4x

1x63x5x2

3x623

2

22

6. 1xx41

11x8x16

27x201x4x4

11x4x4

5224

2

22

7. 0xx1xx3

1xx

3xx22

1x2x2x2x3x3 22

2

2

8.

Sx9

x32xx44

20x10x32

x2:3

x2

1x2

1

2

2

ESERCIZIO6 sul libro di testo pag.648 n.41, 42 ESERCIZIO7

1. Considera l’espressione 1x1k2

xk

.

a. Per quali valori di x l’espressione non ha significato? b. Ricava x c. Ricava k

2. Considera la formula nrR

nVI

.

a. Calcola I per n=2 b. Calcola I per R=r c. Ricava n d. Ricava R

ESERCIZIO8] Risolvi i seguenti problemi con equazioni di primo grado 1. Miscelando una soluzione A contenente il 60% di alcol e una soluzione B contenente il 10% di alcol, si vogliono

ottenere dieci litri di una soluzione C contenente il 43% di alcol. Quale quantità di ciascuna delle due miscele A e B si devono utilizzare?

2. In una classe le ore complessive di italiano e di matematica sono 15 alla settimana. In un giorno di assenza dell’insegnante di matematica, le sue due ore di lezione sono state condotte dall’insegnante di italiano e così la classe quella settimana ha fatto un numero di ore di italiano quadruplo rispetto a quelle di matematica. Quante ore di matematica e di italiano sono previste per quella classe alla settimana?

3. Determina la misura degli angoli di un triangolo sapendo che il primo è 45

del secondo e che il terzo angolo supera

di 15° la metà del secondo. 4. Aumentando il lato di un quadrato di 5 cm la sua area aumenta di 275 cm2 . Calcolare il lato del quadrato. 5. In una famiglia l’età del padre supera di 3 anni quella della madre e, fra 5 anni, sarà il triplo di quella del figlio.

Sapendo che tutti e tre insieme oggi hanno 108 anni, qual è l’età di ciascuno dei tre? 6. In un numero di due cifre la cifra delle unità supera di 5 quella delle decine. Scambiando le cifre, il numero che si

ottiene è 38

del numero iniziale. Qual è questo numero?

7. Il resto, il quoziente e il divisore di una divisione sono tre numeri consecutivi. Se si scambiano tra loro il quoziente

e il resto, il dividendo diminuisce di 6. Quali sono le due divisioni? 8. Nel magazzino di un negozio di articoli per bambini ci sono 35 fra tricicli e biciclette e si contano 89 ruote: quanti

sono i tricicli e quante le biciclette? 9. Se apro il rubinetto e chiudo lo scarico, la vasca da bagno vuota si riempie in 5 minuti; se poi chiudo il rubinetto e

apro lo scarico, la vasca da bagno si vuota in 4 minuti. Se apro il rubinetto e lo scarico, in quanto tempo si vuota la vasca piena?

10. Ho 4 litri di acqua borica al 3%: per diluirla al 2% quanta acqua devo aggiungere? NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°8

Contenuti: scrittura in simboli; teoremi su rette parallele e perpendicolari; definizione di simmetria assiale e sua applicazione su disegni.

Contenuti minimi Enti geometrici e loro costruzione Scritture in simboli Assiomi Teoremi su rette parallele e rette perpendicolari Teoremi su distanze e oblique Definizione di simmetria assiale

Applicazioni Rappresentare graficamente situazioni geometriche Tradurre scritture geometriche dal linguaggio verbale al linguaggio simbolico e viceversa Semplici dimostrazioni con l’utilizzo di questi teoremi Costruzione grafica di figure simmetriche; individuazione degli assi di simmetria di una figura

ESERCIZIO1] Completa la figura con le ulteriori costruzioni indicate e la tabella con il linguaggio mancante.

Costruisci l’asse s di EA che interseca il segmento in M; costruisci la bisettrice b dell’angolo AED

che interseca r in F; costruisci il punto medio N di DC; prolunga ED dalla parte di E di un segmento EG congruente ad ED

Linguaggio verbale Linguaggio simbolico D appartiene alla retta a

I punti D, P, C sono allineati

DE // r

AB ed r si intersecano in un punto

s è asse di EA

AE:Ss

b è bisettrice dell’angolo AED

EAMMAEM

DE è perpendicolare ad a

I segmenti AB ed ED non hanno punti in comune

ED ed EG sono adiacenti e congruenti

aDC

P appartiene a DC ma non è il suo punto medio

Le rette a ed r sono perpendicolari e si intersecano in P

Le rette DE e CB sono parallele e non coincidenti

N è punto medio di DC

ESERCIZIO2] Completa la tabella in relazione ai segmenti disegnati in figura, utilizzando i teoremi sulla distanza di un punto da una retta e sulle oblique.

a) Completa:

Distanza di A da rBC: … ;

Oblique da A su rBC: … ; … ;

Distanza di P da rAC: … ;

Oblique da P su rAC: … ; … ;

Distanza di P da rBA: … ;

Distanza di B da rPD: … ;

Oblique da B da rPD: … ; … .

b) Completa

affermazione spiegazione

AC<AB

PA<AB

PA>PD

AB>PC

c) Disegna: la distanza di D da r; la distanza di D da rBC; la proiezione ortogonale di B su r; la proiezione ortogonale del segmento PC su rBA.

ESERCIZIO3] Nell’esercizio seguente rappresenta la situazione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simboli, dimostra le tesi. Completa inoltre dove richiesto. Dato un triangolo isoscele ottusangolo ABC di base BC, traccia la bisettrice dell’angolo CBA

(esiste ed è …………...

per …...…………………………………..…………………………….) che incontra AC in D. Da D traccia la perpendicolare a BC (esiste ed è …………….. per ……………………………………………………..………) che incontra la base in E. Da A traccia l’altezza AH e da B l’altezza BK (con HBC e KrAC). Infine da K traccia la parallela a DE (esiste ed è …………….. per ……………………………………………..………) che interseca la base BC in F. Dimostra che:

a. AH e DE sono parallele b. BD > DE c. KF < BD d. la retta KF è perpendicolare alla base del triangolo e parallela alla retta AH

Disegno Ipotesi Tesi

a. b. c. d.

Dimostrazione

ESERCIZIO4] Esegui le simmetrie indicate (copia tre volte il disegno sul quaderno)

Disegna l’immagine di ABC in SCD Disegna l’immagine di BCD in SAC Disegna l’immagine di ABC in SBC

Trova l’immagine FGHIL di ABCDE nella simmetria di asse r e successivamente l’immagine QRSTU di FGHIL nella simmetria di asse a.

ESERCIZIO5] Individua gli assi di simmetria di alcuni segnali stradali Segnali di divieto Segnali di obbligo

Segnali di pericolo Segnali di precedenza

COMPITO ESERCIZIO6] Sia O un punto del prolungamento del segmento AB, del quale M è punto medio. Dimostra che

2OBOAOM

ESERCIZIO7] Nell’esercizio seguente rappresenta la situazione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simboli, dimostra le tesi. Completa inoltre dove richiesto. Nel piano siano dati una retta r e un punto P che non le appartiene (esiste perché ……………………………………….). Da P traccia una retta s perpendicolare ad r (esiste ed è …………….. per ………………………………………..………) che la interseca in H. Preso un punto Q di r diverso da H (esiste per ………………………………………………………), traccia la retta per P e Q (esiste ed è ……………… per …………………………………………). Sia M il punto medio di QH (esiste ed è …………………… per …………………………………..………………………..), K la proiezione di H su PQ. Traccia infine da P la retta a parallela ad r (esiste ed è ……………. per ……………………….………………………) e da Q la retta b perpendicolare ad r. Dimostra che:

a. PH<PQ e HQ<PQ b. PQ<PH+QH c. KH<PM<PQ d. a è perpendicolare a s e. s è parallela a b f. a e b sono perpendicolari e incidenti

ESERCIZIO8] Fra tutte le lettere in stampatello maiuscole dell’alfabeto individua quelle che hanno un asse di simmetria. ESERCIZIO9] Esegui le simmetrie indicate e rispondi alle domande

a. Disegna l’immagine EFGH di ABCD in Sr b. Disegna l’immagine ILMN di ABCD in Sa c. Indica quali parti della figura ottenuta nella Sr confermano

che (fornisci, se possibile, un esempio per ogni richiesta) 1. si conserva il parallelismo fra rette 2. rette parallele all’asse si trasformano in parallele

all’asse 3. rette corrispondenti si incontrano sull’asse 4. rette perpendicolari all’asse sono unite

d. Ripeti l’esercizio al punto c in riferimento alla figura ottenuta nella Sa.

NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda

Scheda n°9

Contenuti: Applicazioni della simmetria assiale

Contenuti minimi Proprietà della simmetria assiale Proprietà caratteristiche dell’asse di un segmento e della bisettrice di un angolo

Applicazioni Dimostrazioni con l’utilizzo della simmetria assiale e delle proprietà relative

Negli esercizi che seguono rappresenta la situazione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simboli, dimostra le tesi. Completa inoltre dove richiesto. Le correzione di tutti gli esercizi dal numero 1 al numero 8 sono presenti nel file delle correzioni/soluzioni. ESERCIZIO1] Traccia gli assi di due segmenti AB e BC, consecutivi ma non adiacenti. Dimostra che i punti A, B, C sono equidistanti dal punto di incontro O degli assi dei due segmenti. (Il punto O esiste per …………………..…) ESERCIZIO2] Traccia gli assi s e r di due segmenti AB e BC, consecutivi ma non adiacenti. Indica con M il punto medio di BC e con O il punto d’incontro degli assi. Traccia la bisettrice dell’angolo rOs indica con P il punto di intersezione fra la bisettrice e la retta BC. Da P traccia la parallela ad AB che incontra s in N. Dimostra che i segmenti PN e PM sono congruenti come pure gli angoli MNPeNMP . ESERCIZIO3] Dato il segmento AB sia r il suo asse e O un punto dell’asse. Considera una retta r’ perpendicolare ad r non passante per O che interseca la retta OA in A’ e la retta OB in B’. Dimostra che r è asse di A’B’ ESERCIZIO4] Dimostra che se il quadrilatero ABCD ha la diagonale AC bisettrice degli angoli in A e in C, allora le sue diagonali sono perpendicolari.

ESERCIZIO5] Traccia la bisettrice OC dell’angolo convesso BOA

e da un suo punto P traccia la perpendicolare ad OP che incontra la retta rOA in M e la retta rOB in N. Dimostra che NOM è isoscele. ESERCIZIO6] Nel triangolo isoscele ABC sia r l’asse della base BC che interseca BC nel punto H. Considera un punto P di r interno al triangolo e siano C’ e B’ rispettivamente i punti di intersezione fra la retta CP e AB, e la retta BP e AC. Dimostra che:

a. Gli angoli BCAeCBA sono congruenti b. A appartiene ad r; c. BC’ CB’; d. C’B’ è parallelo a BC.

ESERCIZIO7] Sia ABC un triangolo rettangolo in A e AD l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Costruisci i punti E ed F simmetrici di D rispetto ad AB e ad AC. Dimostra che DF è perpendicolare a DE e che AF AE. ESERCIZIO8] Sia ABCD un trapezio rettangolo di base maggiore AB perpendicolare a BC. Sia r l’asse di AB che interseca AB in M. Costruisci il simmetrico A’B’C’D’ di ABCD nella simmetria assiale di asse AD e indica con M’ il trasformato di M. Considera un punto P sul prolungamento di AD dalla parte di A e il punto E comune a r e alla retta AD. Dimostra che:

a. La retta r è perpendicolare alla retta DC b. A’B’ e B’C’ sono perpendicolari c. PB e PB’ sono congruenti d. I segmenti A’B’ e D’C’ sono paralleli e. Le rette BB’ e CC’ sono parallele f. Il triangolo EAB è isoscele di base ………………………….

come pure EAB’ g. EM<EA h. Il punto E appartiene all’asse di A’B’ i. rAD è bisettrice dell’angolo MEM’ j. il punto di intersezione fra le rette BC e B’C’ appartiene alla

retta rAD k. Il triangolo MAM’ è isoscele e MM’ è perpendicolare ad rAD l. D è equidistante da AB e AB’

Indicato con H il punto di intersezione fra MM’ e la retta AD, dimostra che: m. AE>MH e deduci che il perimetro di ABE è maggiore del perimetro di AMM’

ESERCIZIO9] (senza correzione) Sia ABC un triangolo isoscele di base AC. Traccia da A le rette r e x rispettivamente perpendicolari a BC e ad AB; traccia da C le rette s e y rispettivamente perpendicolari a AB e ad BC. Indica con F il punto di intersezione fra s e AB, con G il punto di intersezione fra r e BC e con D il punto di intersezione fra x e y. Dimostra che:

a. i lati del quadrilatero AECD sono parallele a due a due, dove E=rs; b. BF e BG sono congruenti; c. I triangoli AGC e AFC sono congruenti; d. La retta ED è asse di AC; e. AEC e ADC sono triangoli isosceli; f. ECBGAB

;

g. AC>AD e AC>AG; è possibile confrontare AD e AG?