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Unità didattica di matematica:I monomi

• Prerequisiti: - Conoscere gli insiemi numerici e le loro proprietà.

- Conoscere le quattro operazioni e le loro proprietà. - Conoscere e saper operare con le potenze nell'insieme dei numeri reali (R).

• Obiettivo: - Comprendere l'importanza della notazione letteraria e del calcolo letterale. - saper “manipolare” le formule, sia nella risoluzione di esercizi, sia nella trattazione di temi a carattere scientifico o tecnico

• Destinatari: - Studenti di una prima superiore o alunni di una seconda con debito

scolastico.

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I MONOMI

È importante avere ben chiaro nella mente il concetto basedel calcolo letterale, quello che possiamo considerarecome il mattone nella costruzione delle espressionialgebriche, il monomio, a partire dalla seguente definizione:

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Il monomio: chi è costui?

Il monomio è un’espressione algebrica letteraleformata dal prodotto di quanti si vogliano fattorinumerici e letterali, i fattori letterali hanno un esponente.

Attenzione: gli esponenti dei fattori letterali devono

appartenere all’insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4.......}.

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Esempi di monomi:

3,5ab; 3c; 4mele; 5kg; 7cavalli; ;

Un monomio, pertanto, è normalmente costituito dal prodotto di più fattori dei quali il primo èun numero (chiamato coefficiente ) e gli altri sono lettere (chiamata parte letterale ), eventualmente elevate a potenza.

La parola monomio deriva dalla composizione di due termini latini mono (uno) + nomen (nome).

possiamo pensare la parte letterale come se fosse il “nome” del monomio,mentre il coefficiente indica la quantità dello stesso:

22m significa 22 × 1metro; 5Kg significa 5 x 1Kg;

5d significa 5×1d, dove alla lettera d può essere assegnato qualunque valore numerico o ilnome di qualsiasi cosa

Nota bene: Il segno × generalmente non viene scritto, ma rimane sottinteso, pertanto anche la scrittura: 5abcd significa 5×1a×1b×1c×1d

Verifichiamo insieme

h21

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RipassiamoParti di un monomio

• coefficiente = il fattore numerico con il proprio segno;• parte letterale = il prodotto dei rimanenti fattori (le lettere);

Convenzionise il coefficiente è +1 o -1 allora 1 si omette e si scrive solo la parteletterale.

Attenzione: 1 si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0.

abcxyba 10;5;3 32

abcabcxyxyaa 1;1;1 33

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Forma normale del monomio

Osserva attentamente i seguenti esempi:

Come puoi osservare, applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, abbiamosostituito ai fattori numerici il loro prodotto e ad ogni prodotto di fattori letterali, di egualebase, la corrispondente potenza.

QuindiOgni monomio può essere scritto come prodotto di un solo fattore numerico edi fattori letterali di basi diverse.

Questa è la forma normale di un monomio.

Proviamo insieme

222 10))()(5)(2())(5)()(2( abbaba

28b)7(4)7)((4 bb

322222 )152())()()(

31)(1)(

52())(

31)()()(

52 babbabba

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Proviamo insieme

1.

2.

3.

4.

aab )3()2( 2

3)45()

23( xxy

)4)(5( ba

bba )32()

56( 3

226 ba

yx 4815

ab20

23

1512 ba 23

54 ba

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Grado di un monomio• Grado complessivo di un monomio = somma degli esponenti delle lettere

es. grado complessivo 3+5 = 8

grado complessivo 5+2+1 = 9

• Grado di un monomio rispetto ad una lettera = esponente di quella lettera

es. grado rispetto ad “a” = 3 grado rispetto a “b” = 5

• Grado di un monomio rispetto ad una lettera = esponente di quella lettera es. grado rispetto a “c” = 0

grado rispetto a “d” = 0

532 ba

cba 2523

532 ba

532 ba

9

Il grado complessivo di un monomio è uguale alla somma degli esponenti delle singole lettere

Stabiliamo il grado dei seguenti monomi:

grado =

grado =

grado =

grado =

grado =

grado =

526 ba

yx 4815

ab20

3215 ba

bca 221

abc42

7

5

2

5

4

3

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Definizioni

• Due o più monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale (stesse lettere con gli stessi esponenti)

es:

• Due o più monomi si dicono uguali se hanno stesso coefficiente e stessa parte letterale

es:

• Due o più monomi si dicono opposti se hanno stessa parte letterale (sono simili), ma hanno coefficiente opposto

es:

Verifichiamo

;5;3 abab

;6;6 22 baba

;7;7 xyxy

2323 5;23 yxyx

;37;

37 44 axax

;83;

83 22 byabya

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Passiamo ora alla parte cruciale dell’unità didattica:

Le operazioni con i monomi

Addizione tra monomi

Moltiplicazione tra monomi

Elevamento a potenza di monomi

Divisione tra monomi

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  OPERAZIONI CON I MONOMI  

Somma di monomi

si possono sommare tra loro solo monomi similiEsempi:

4mele + 5mele = 9mele 3b + 5b + 2b = 10b 3bcd + 5bcd - 2bcd = 6bcd 3kg + 5kg = 8kg5€ - 7€ = - 2€10$ -12$ = -2$

La somma di più monomi simili è un solo monomio simile ai precedenti ilcui coefficiente è uguale alla somma algebrica dei coefficienti.

Proviamo insieme

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Somma di monomi abcabc 38 abc5

yxyxyx 222 3410 yx 29

22 57 abab 212ab

€2€6 €4

abcabc 46 abc10

raneranerane 425 rane7

2323 1512 yxyx 233 yx

baba 44

25

23 ba4

28 ba44

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Prodotto di monomi Il prodotto di due o più monomi, non nulli, è un monomio che ha:• il coefficiente uguale al prodotto dei coefficienti dei monomi dati • la parte letterale uguale al prodotto di tutte le lettere presenti nei singoli monomi, facendo attenzione ad applicare opportunamente le proprietà delle potenze

N.B. (si scrivono tutte le lettere una volta sola e ogni lettera avrà come esponente la somma degli esponenti delle lettere corrispondenti che compaiono nei singoli fattori).

Proviamo insieme

)3()4( cab cab)34( abc12

)4()3()2( 2432 xyyxyx 7624 yx

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Prodotto di monomi

)2()5( 232 xaxa 3510 xa

)25()

43( 543 xyyx 94

815 yx

)5()7( 34 abcba cba 4535

)56()

34( 42 bcaab cba 35

1524

cba 35

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Elevamento a potenza di monomi Elevando ad una n-esima potenza un monomio, con n naturale, si

ottiene un monomio che ha:• il coefficiente uguale al coefficiente del monomio dato elevato al

numero n;• parte letterale uguale alla parte letterale del monomio dato elevato

ad n (in questo caso l’esponente della lettera è dato dal prodotto degli esponenti).

Es. 1:

Es. 2:

Proviamo insieme

1236343323342 8)()()()2()2( cbacbabca

15935333353

278)()()

32()

32( yxyxyx

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Elevamento a potenza di monomi

22 )3( b ;9 4b 22 )3( b ;9 4b

32 )2( ba ;8 36ba 2)( xy ;22 yx

323 )4( cba ;64 369 cba 5)2( alt ;32 555 tla

232 )32( xa ;

94 64xa 34 )

51( xy ;

1251 123 yx

223 )45( yzx ;

1625 426 zyx 22 )

52( nmba ;

54 42 nmba

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Divisione tra monomi

Dati due monomi (il primo si chiama dividendo, il secondo divisore), non nulli, si definisce quoziente dei due, una espressione che ha:

• come fattore numerico il quoziente dei coefficienti del monomio dividendo e del monomio divisore

• come fattori letterali i fattori letterali dei due monomi aventi come esponente la differenza tra gli esponenti di ciascuna lettera del dividendo e l'esponente che la medesima lettera ha nel divisore.

Es. 1:

Es. 2:

Es. 3:

)6(:)24( 24246 bcacba

)5(:)30( 2235 yxyx

)5(:)8( 2535810 cbacba

324 ba

yx36

337

58 cba

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Es. 4:

Osserva:• i due monomi non presentano le stesse lettere: nel monomio non è presente il fattore letterale "a“; mentre nel monomio non è presente il fattore "z". Facciamo in modo che essi presentino le stesse lettere.

Come?• Moltiplichiamo ogni monomio per la lettera mancante elevata a zero; ciò non altera i

monomi (infatti qualsiasi numero elevato a 0 è uguale a 1) e quindi non altera l'operazione.

Avremo così:

Prima di procedere è importante notare che si deve rispettare l'ordine nella sottrazione degli esponenti delle lettere:

Attenzione! Questo risultato non è un monomio, perché l'esponente del fattore "a" è negativo (ricorda, infatti, la definizione di monomio).

)3(:)7( 6428 yaxzyx

)7( 428 zyx

)3( 6 yax

)3(:)7( 060428 ayzxazyx

142100468060428

37)

37()3(:)7( azxazxayzxazyx

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Quindi: non sempre la divisione tra due monomi dà per quoziente

un altro monomio; quando ciò accade, i monomi si dicono divisibili.

Per essere più precisi:

dati due monomi si dice che il primo (dividendo) è divisibile per il secondo (divisore) se esiste un terzo monomio (quoziente) tale che moltiplicato per il secondo dà per prodotto il primo (proprietà della divisione).

Proviamo insieme

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Divisione tra monomi

)3(:3 32 abba ;2ab )4(:8 3245 yxyx ;2 3 yx

)2(:16 3253 yzxyzx ;8 2xz )5(:20 6767 baba ;4

)16(:25 234 tzt ;1625 32 zt

)18(:27 445 xyyx 4

1827 x ;

69 4x

)35(:

52 263 abba 42

53

52 ba ;

256 42ba

)716(:)

78( 354 yxyx 4)

167()

78( xy ;

21 4xy

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Sei finalmente giunto al termine di questa unità didattica. Hai potuto ripassare le principali regole che disciplinano i

monomi e le operazioni tra di essi. Nel corso della spiegazione hai avuto anche l'occasione di verificare le tue conoscenze tramite semplici esercizi e con

l’aiuto dell’insegnante,

Ora facciamo sul serio andiamo alla

verifica finale