MONOMI E POLINOMI

I MONOMI

Un monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo moltiplicazioni e divisioni tra numeri e lettere.

Esempi

3a2-12a4

438

7ba

yx22

3

Le parti di un monomio sono:

438

7ba

il coefficiente la parte letterale

Esempi

645 yx

il coefficiente la parte letterale

Esempi

64ba

quando il coefficiente non compare è uguale a 1

la parte letterale

641 ba

GRADO di un monomio

Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere.

3x2y3 grado: 2+3=5

2a2b4c grado: 2+4+1=7

-5xy grado: 1+1=2

+ 12 grado: 0

Il grado di un monomio privo di parte letterale è zero.

Monomi SIMILI

Due o più monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale.

646464

2

14 bababa sono simili

xyyx 34 52 NON sono simili

SOMMA di monomi

Monomi simili si possono SOMMARE

(+5a3b2) + (-2a3b2 ) =

sommando i coefficienti:

(+5 a3b2) + (-2 a3b2 ) = (+5-2) … = +3 …

La parte letterale NON CAMBIA:

(+5a3b2) + (-2a3b2 ) = (+5-2) a3b2 =+3 a3b2

SOMMA di monomi: esempi

4 4 4 4 4 41 ) 6 4 1 ( 6 4a a a a a a

yxyxyxyxyx 22222 5)14312(14312

5555

5

14

5

115

5

13 aaaa

DIFFERENZA di monomi

Si somma al primo monomio l’opposto del secondo.

44444 23)2(3 aaaaa

xyxyxyxyxy4

7

2

3

4

1)

2

3(

4

1

La somma di due o più monomi NON simili è un POLINOMIO

34 54 baba

Esempi

4223 45 yxxyyx

GRADO di un polinomio

Il grado di un polinomio è il grado del monomio di grado massimo.

34 54 baba

grado4 grado2 grado3

Il grado massimo è 4 quindi il polinomio ha grado 4.

SOMMA di polinomi

abaaba 1264 44

aba )124()61( 4

aba 85 4

Si sommano i monomi simili.

PRODOTTO di due monomi

Bisogna moltiplicare tra loro i coefficienti e le parti letterali, applicando le proprietà delle potenze (cioè sommando gli esponenti).

)4()2( 224 baba

8 2124 ba368 ba

PRODOTTO di un monomio per un polinomioBisogna applicare la proprietà distributiva della

moltiplicazione.

2x (3x2 + 2x – 1) =

2x (3x2 ) + 2x (2x) + 2x (–1) =

6x3 + 4x2 – 2x

PRODOTTO di polinomi

Bisogna applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione.

(x – 1)(2x2 + 7x + 3) =

(x – 1) (2x2) + (x – 1) (7x) + (x – 1) (3) =

2x3 – 2x2 + 7x2 – 7x + 3x – 3 =

2x3 + 5x2 – 4x – 3

DIVISIONE di un polinomio per un monomioBisogna applicare la proprietà distributiva della

divisione e si applicano alla parte letterale le proprietà delle potenze (sottraendo gli esponenti).

(6 x4 + 8 x3 –12 x2): 2x2 =

(6 x4 ): 2x2 + (8 x3): 2x2 + (–12 x2): 2x2 =

3 x4-2 + 4 x3-2 - 6 x2-2 =

3 x2 + 4 x1 - 6 x0 = 3 x2 + 4 x - 6

I PRODOTTI NOTEVOLI I casi particolari del prodotto

La SOMMA per la DIFFERENZA

(a+b) (a-b) =

= a2 - ab + ab - b2 =

= a2 - b2

È il quadrato del primo termine MENO il quadrato del secondo termine.

Esempi

(2a + 7)(2a - 7)=

(3a - 4b)(3a+ 4b) =

(x2 + 3y)(x2 – 3y) =

(5a - 3b)(5a+ 3b) =

(5x2+2y2)(5x2 -2y2) =

4a2 - 49

9a2 - 16b2

x4 - 9y2

25a2 - 9b2

25x4 - 4y4

QUADRATO di binomio

(a+b)2 =(a+b)2 = (a+b) (a+b) =

= a2+ab+ab+b2 =

= a2+2ab+b2

È il quadrato del 1° monomio

+

il doppio prodotto del 1° per il 2°

+

il quadrato del 2° monomio

Esempi

(2x + 7)2 =

(3a - 4b)2 =

(2x - 3y)2 =

(5a - 3b)2 =

(2xy – 3y)2 =

4x2 + 28 x + 49

9a2 - 24 ab + 16b2

4x2 - 12 xy + 9y2

25a2 - 30ab + 9b2

4x2y2 - 12 xy2 + 9y2