Programma - Costruzione di Macchine - Università ... · ... ‐Resistenza di una barra in acciaio...

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AFFIDABILITÀ DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE

Corso

Prof. Dario [email protected]

Ing. Gianluca [email protected]

http://www.dipmec.univpm.it/costruzione/home.htm (Didattica/Dispense)

Testo di riferimento:

Stefano Beretta“Affidabilità delle Costruzioni Meccaniche”

Springer, 2009

• Richiami di statistica• Probabilità / Funzione densità di probabilità / Probabilità cumulata / Affidabilità

• Tasso di Guasto / MTTF, MTBF

Corso di:Affidabilità delle costruzioni meccaniche

Programma del corso

• Principali Funzioni di Distribuzione • Distribuzione Esponenziale / Distribuzione normale / Distribuzione Lognormale / Distribuzione di Weibull

• Algebra delle variabili casuali• Variabili Multiple / Regressione Lineare

• Carte di Probabilità

• Reti di affidabilità per sistemi meccanici complessi• Calcolo dell’affidabilità di un sistema multicomponente / Scelta del coefficiente di sicurezza

• Metodi per aumentare l’affidabilitàMetodi per aumentare l affidabilità• Selezione dei componenti / Collaudo / Derating / Ridondanza

• Albero dei guasti , FMEA e FMECA• Esempi di stesura delle tabelle per organi meccanici di semplice funzionamento

• Esempi ed esercizi

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Richiami di statistica

Campionamento e variabili aleatorie

Data una popolazione di dati, si chiama campioni


p p ,campionamento l’estrazione di uno di questi dati (campione).

popolazione

campioni

La popolazione rappresenta quindi una variabile aleatoria o casuale Y,mentre con y indichiamo il generico valore osservato come risultato di unesperimento o campionamento.

y si troverà all’interno di un certo dominio di esistenza Ỹ

valori osservati y

Ỹ

Y


Campionamento e variabili aleatorie

La casualità o aleatorietà delle variabili, salvo diversamente specificato, non si riferisce a eventuali incertezze o errori di misura, ma semplicemente al fatto che il valore delle variabili in esame non può essere noto con esattezza a priori per motivi vari


priori per motivi vari

Esempi di variabili aleatorie:

‐Resistenza di una barra in acciaio verificata tramite prova di trazione‐Pressione atmosferica‐Pioggia annua di una località

‐Numero di persone in un locale o su un autobus

Continue

Numero di persone in un locale o su un autobus‐Numero di cricche > 2mm in un pannello Discrete

Il confine tra le due categorie è più teorico che pratico in quanto, ad es.:‐la pioggia annua di una località è sempre discretizzata in mm‐Le elaborazione digitali moderne effettuano sempre una discretizzazione dei valori, per cui anche le variabili continue sono trattate come discrete, però la potenza di calcolo e le memorie attuali consentono di utilizzare una gran mole di dati che fa assomigliare anche un problema discreto ad uno continuo

3


Probabilità

Supponiamo di poter ripetere un esperimento relativo ad una grandezza Y per un numero di volte n grande a piacere, allora

si otterranno n risultati: y y y


si otterranno n risultati: y1, y2, ….., yn

Se A è un sottoinsieme di Ỹ, la probabilità che il risultato di un evento o esperimento cada all’interno di A vale:

niconn

AyiA i

n,...,2,1,

:#lim)(Prob

Se un evento è certo la sua probabilità è 1Ad esempio si consideri il lancio di un dado a 6 facce con A = 1,2,3,4,5,6

Se un evento è impossibile la sua probabilità è 0Ad esempio si consideri il lancio di un dado a 6 facce con A = 7


ProbabilitàDati due eventi A e B mutuamente esclusivi, la loro probabilità combinata, vale a dire la probabilità che si verifichi l’uno o l’altro caso vale:Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B)


Ad esempio si consideri il lancio di un dado a 6 facce con A = 2, e B = 5. La probabilità di avere 2 o 5 è la somma dei due eventi presi separatamente

Se due eventi A e B sono indipendenti, la loro probabilità combinata, vale a dire la probabilità che si verifichi contemporaneamente vale:Prob(A+B) = Prob(A)·Prob(B)

Ad esempio si consideri due lanci di un dado a 6 facce con A = 2 e B = 5 La probabilità di “azzeccare” 2 alAd esempio si consideri due lanci di un dado a 6 facce con A 2, e B 5. La probabilità di azzeccare 2 al primo lancio e 5 al secondo è data dal prodotto delle due probabilità prese separatamente

4


Probabilità

Dati due eventi A e B non mutuamente esclusivi, la loro probabilità combinata, vale a dire la probabilità che si verifichi l’uno oppure l’altro caso vale:Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(AB)


Ad esempio si consideri il lancio di due dadi a 6 facce con A = 2, e B = 2. La probabilità di avere almeno un dado uguale ad 2 è dato dalla somma della probabilità di avere 2 sul primo dado più la probabilità di avere 2 sul secondo dado meno la probabilità di avere 2 su entrambe i dadi.

Prob(A) = 1/6 = 0.1667Prob(B) = 1/6 = 0.1667Prob(AB) = 1/36 = 0.0278

Prob(A+B) = Prob(A) + Prob(B) Prob(AB) = 11/36 = 0.3056


Funzione densità di probabilità (pdf)

Assegnata una variabile continua Y le cui osservazioni y ricadono all’interno del dominio Ỹ, la pdf è definita come:

yyyY ]),[(Prob


y

yyyYyf

y

]),[(Problim)(

0

f(y) rappresenta la probabilità che un valore casualmente estratto dalla popolazione cada all’interno dell’intervallo di dimensioni infinitesime dy, diviso dy stesso (cioè l’ampiezza dell’intervallo considerato).

In altri termini:

)(Prob)( dyyYydyyf

N.B.: f(y) è quindi una funzione a valori finiti, mentre la probabilità f(y)dy è un numero infinitesimo perché si riferisce alla probabilità di un intervallo infinitesimo

5


Funzione di probabilità cumulata (cdf)

Assegnata una variabile continua Y le cui osservazioni y ricadono all’interno del dominio Ỹ, la pdf è definita come:

yyyYf

]),[(Probli)(

0.3

0.35

f(y)


y

yyyYyf

y

]),[(Problim)(

0

La funzione di probabilità cumulata è invece definita come:

dyyfyYyFy

)()(Prob)(

1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

y

PD

F

f(y)

F(y)

essa rappresenta la probabilità che una osservazione casuale di Y sia inferiore ad y, ed equivale all’area sottesa dalla curva pdf

oppure il limite inferiore di Ỹ

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y

CD

F

F(y)


Funzione di probabilità cumulata (cdf)Se si considera y =+∞ o sup Ỹ , cdf vale:

1)()Υ~

(sup dyyfF0.3

0.35

f(y)


Cioè la probabilità di trovare Y all’interno dell’intero dominio Ỹ vale 1 (100%)

)()( p Υ yyf

Invece la probabilità di trovare Y all’interno di un generico intervallo ]a, b] vale:

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

y

PD

F

f(y)

1a b

Prob(a<Y≤b) = Prob(Y≤b) - Prob(Y<a) = = F(b)-F(a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

y

CD

F

F(b)-F(a)

F(y)

6


Percentile

Il percentile p% della popolazione Y è definitocome il valore argomentale (ossia il valoredella variabile) yp la cui probabilità cumulatavale proprio p/100

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F(y)p/100


vale proprio p/100.

Il percentile rappresenta in definitiva lalettura in modo inverso della funzione diprobabilità cumulata F

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

y

CD

F

a

F(a)

yp

Affidabilità0.3

0.35

La funzione affidabilità R(y) è il complementoa 1 della F e rappresenta la probabilità che Yassuma valori > y

R(y) = Prob(Y> y) = 1 – F(y)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

y

PD

F

f(y)

F(y)R(y)


Variabili discreteSe si tratta una variabile discreta Y con dominio Ỹ = {y1, y2,…} (tutti i possibili valoridi y), si definisce la funzione massa di probabilità

nyYyp i

ii lim)(Prob)(


dove ni è il numero di osservazioni con risultati yi e N è il numero di osservazionitotali.Cioè per un generico valore possibile yi nel dominio di esistenza si può definire laprobabilità (finita) che l’evento o l’esperimento abbia come esito proprio yi .

La probabilità cumulata (che un’osservazione sia ≤ yk) è data da:

NyYyp

Nii

lim)(Prob)(

La probabilità cumulata (che un osservazione sia ≤ yk) è data da:

ki yyi

ikk ypyYyF:

)()(Prob)(

Nel caso di variabili discrete, la funzione densità di probabilità f(y) si trasforma inmassa di probabilità p(yi), e non è più rappresentata da una curva continua ma daun istogramma.

7

Richiami di statisticaIstogramma

Nel caso di variabili discrete, la funzione densità di probabilità f(y) si trasforma in massa diprobabilità p(yi), e non è più rappresentata da una curva continua ma da un istogramma.L’istogramma può essere usato convenientemente anche per discretizzare variabili continue:

1.8

2x 10

5

se si hanno a disposizione N campionamenti o valori


)(log3.31 10 Nk

2x 10

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y

rico

rre

nze

o f

req

uen

ze

osservati di una variabile continua , convienesuddividere il dominio in k intervalli o classi

e verificare quante ricorrenze si hanno in ciascuna classe.

Frequenza ni = numero di risultati che cadono all’interno dell’i-esima classe

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

y

ricor

renz

e o

fre

que

nze

Frequenza relativa Nnf i

i

Densità dell’i-esima classei

i

i

ii N

nf

Al diminuire dell’ampiezza delle classi Δi, l’istogramma assomiglia sempre più ad una pdf continua


IstogrammaUna volta noto o calcolato l’istogramma, si calcola facilmente con la definizione di F la probabilità cumulata per variabili discrete

1.8

2x 10

5


2x 10

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y

rico

rre

nze

o f

requ

enz

e

y

prob

abili

tà c

umul

ata

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

y

ricor

renz

e o

fre

que

nze

y

pro

babili

tà c

um

ula

ta

8


Indicatori di tendenza…Si supponga di studiare una variabile aleatoria Y di cui è nota una distribuzione, si definiscono

la moda, come quel valore argomentale y che massimizza la funzione massa di probabilità (per variabili discrete) o densità di probabilità (per variabili continue)


Valore atteso

~

)()(y

ypyYE

~

)()( dyyfyYE

la mediana, come quel valore argomentale y al percentile 50%

…e dispersioneVarianza

22

~

22 )()()()(

YEypyYVary

22

~

22 )()()()(

YEdyyfyYVar

Deviazione standard )(YVar

Coeffic. di variazione CV CV


Statistiche campionarieSi supponga di studiare una variabile aleatoria Y di cui, tramite un campionamento orealizzazione campionaria, sono note n osservazioni: y1, y2, y3, …, yn

n


n

yy i

i

Si definisce media campionaria:

La media campionaria rappresenta una stima del valore atteso delladistribuzione (non nota) da cui sono stati estratti i campioni.

n

i

i

n

yyS

1

)( 22Si definisce varianza campionaria:

i n

La varianza campionaria rappresenta una stima della varianza delladistribuzione (non nota) da cui sono stati estratti i campioni.

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Richiami di statisticaAffidabilità condizionata

La probabilità condizionata di un evento A rispetto a B è data dalla probabilità che si verifichiA, dopo che si è verificato B.

L’affidabilità condizionata R(T0, Δ) risponde invece alla domanda: qual è la probabilità di poter


( 0, ) p q p pcompiere una missione di durataΔ dopo aver già consumato una vita T0? o in altri termini:

dato un componente che ha già funzionato per un periodo T0, quanto vale la sua affidabilità perfunzionare un ulteriore periodoΔ?

La probabilità di sopravvivere all’istante T0+Δ vale:(la probabilità di sopravvivere fino a T0) · (la probabilità di sopravvivere duranteΔ)

0.3

0.35

),()()( 000 TRTRTR

)(

)(),(

0

00 TR

TRTR

quindi

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

y

PD

F

f(y)

T0+ΔT0N.B.: R(T0,Δ) non va confusa con (F(T0+Δ)-F(T0)),R(T0,Δ) è il rapporto tra le aree a T0 e T0+Δmisurate da destra


Esercizio

Assegnato un gruppo freni la cui vita è distribuita secondo la tabella sotto riportata, si chiede di calcolare:1) La durata corrispondente al percentile 10%2) Quanti gruppi freni vanno sostituiti a 52000 km

Tratto da es. 1.1 del libro (con modifiche)


2) Quanti gruppi freni vanno sostituiti a 52000 km3) Moda e mediana4) Media (o valore atteso) e varianza5) Probabilità di portare a termine missione di 10000 km per un freno che ha già fatto

70000 km

distanza in migliaia di km

numero di cedimenti

45 1

50 3

55 6

60 9

65 12

70 17

75 20

80 15

85 11

90 8

95 5

100 2

105 1

10


Esercizio

1) Occorre aggiungere alla tabellina le colonne relative al calcolo della massa di probabilità e della probabilità cumulata di guasto

numero di


testo

tot

ii n

nyp )( 110totncon

Si può verificare che 1)( iyp

…poi si esegue la somma progressiva dei p(yi) ottenendo la colonna della probabilità cumulata

distanza in Mm cedimenti p F

45 1 0.009 0.009

50 3 0.027 0.036

55 6 0.055 0.091

60 9 0.082 0.173

65 12 0.109 0.282

70 17 0.155 0.436

75 20 0.182 0.618

80 15 0.136 0.755

85 11 0.100 0.855

90 8 0.073 0.927

95 5 0.045 0.973

F(yi), il cui valore finale vale giustamente 1

Il percentile p10% si trova per interpolazione, tra la 3° e 4° riga:

56.55091.010.0091.0173.0

556055%10

p migliaia di km

100 2 0.018 0.991

105 1 0.009 1.000

tot 110 1


Esercizio

2) Per calcolare F(52) occorre fare l’interpolazione tra la 2° e 3° riga

distanza in Mmnumero di cedimenti p F


testo

%8.5058.050525055

036.0091.0036.0)52(

F

Poco meno del 6% dei pezzi si rompe prima di 52000 km

p

45 1 0.009 0.009

50 3 0.027 0.036

55 6 0.055 0.091

60 9 0.082 0.173

65 12 0.109 0.282

70 17 0.155 0.436

75 20 0.182 0.618

80 15 0.136 0.755

85 11 0.100 0.855

90 8 0.073 0.927

95 5 0.045 0.973

100 2 0.018 0.991

105 1 0.009 1.000

tot 110 1

11


Esercizio

3) La moda è il valore della variabile che massimizza la pdf o l’istogramma, cioè 75000 km

distanza in Mmnumero di cedimenti p F

25


testo

p

45 1 0.009 0.009

50 3 0.027 0.036

55 6 0.055 0.091

60 9 0.082 0.173

65 12 0.109 0.282

70 17 0.155 0.436

75 20 0.182 0.618

80 15 0.136 0.755

85 11 0.100 0.855

90 8 0.073 0.927

95 5 0.045 0.973

100 2 0.018 0.991

0

5

10

15

20

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

num

ero

di g

uast

i105 1 0.009 1.000

tot 110 1

migliaia di km

La mediana equivale al percentile 50%, e si ottiene interpolando tra la 6° e 7° riga

75.71436.050.0436.0618.0

707570%50

p migliaia di km


Esercizio

4) Per calcolare media e varianza occorre aggiungere le colonne per il calcolo di:

y·p(y) e p(y) ·(y-μ)2distanza in Mm

numero di cedimenti p F p*y p*(y‐mu)^2

45 1 0 009 0 009 0 409 7 790


testo

45 1 0.009 0.009 0.409 7.790

50 3 0.027 0.036 1.364 16.068

55 6 0.055 0.091 3.000 20.260

60 9 0.082 0.173 4.909 16.667

65 12 0.109 0.282 7.091 9.380

70 17 0.155 0.436 10.818 2.821

75 20 0.182 0.618 13.636 0.096

80 15 0.136 0.755 10.909 4.473

85 11 0.100 0.855 8.500 11.507

90 8 0.073 0.927 6.545 17.989

95 5 0.045 0.973 4.318 19.528

100 2 0.018 0.991 1.818 12.034

Effettuando le somme si ottiene 27.74)()(~

y

ypyYE

2.147)()()(~

22 y

ypyYVar

migliaia di km

migliaia di km

1.122.147 163.0 CVmigliaia di km

105 1 0.009 1.000 0.955 8.583

tot 110 1 74.273 147.198

12


Esercizio

5) Occorre calcolare R(70,10)

distanza in Mmnumero di cedimenti p F p*y p*(y‐mu)^2


testo

p p y p (y )

45 1 0.009 0.009 0.409 7.790

50 3 0.027 0.036 1.364 16.068

55 6 0.055 0.091 3.000 20.260

60 9 0.082 0.173 4.909 16.667

65 12 0.109 0.282 7.091 9.380

70 17 0.155 0.436 10.818 2.821

75 20 0.182 0.618 13.636 0.096

80 15 0.136 0.755 10.909 4.473

85 11 0.100 0.855 8.500 11.507

90 8 0.073 0.927 6.545 17.989

95 5 0.045 0.973 4.318 19.528

100 2 0.018 0.991 1.818 12.034

105 1 0.009 1.000 0.955 8.583

tot 110 1

%4.43434.0436.01

755.01

)70(1

)80(1

)70(

)80()10,70(

F

F

R

RR


Tasso di guasto (Failure Rate)

Il Tasso di Guasto, esprimibile con una funzione h(t), esprime la probabilità di uncomponente di arrivare a rottura dopo aver raggiunto un tempo t.

La probabilità di cedimento nell’intervallo infinitesimo [t t+dt] è data dal prodotto della


La probabilità di cedimento nell intervallo infinitesimo [t, t+dt] è data dal prodotto dellaprobabilità del componente di “arrivare sano” al tempo t per la probabilità del componentedi cedere dopo aver superato t:

dtthtRdttf )()()(

Probabilità di cedimento nell’intervallo [t, t+dt] Probabilità di superare

Probabilità di cederedopo aver superato t

[ , ]

)(

)()(

tR

tfth

Probabilità di superare l’istante di tempo t

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Il Tasso di Guasto è la misura istantanea della variazione della curva cumulativa rispettoalla probabilità che il componente sia ancora sopravvissuto. Cioè valuta con chepercentuale si hanno guasti fra gli elementi rimanenti.


)(

)(

)(1

)(

)(tR

tf

tFt

tF

th

La probabilità h(t)dt è ex-post, in quanto riferita a un manufatto sano al tempo t, mentre laprobabilità f(t)dt è ex-ante, in quanto riferita a un manufatto certamente sano al tempo t=0

• Il tasso di guasto ha dimensioni inverse al tempo, quindi può essere interpretato comeindice del numero di guasti nell’unità di tempo, cioè come velocità di guasto

• I data-sheet dei manufatti dichiarano spesso il tasso di guasto


Tasso di guasto (Failure Rate)Si considerino N componenti di un test: Ns(t) è il numero dei componenti sopravvissuti altempo t, Nf(t) è il numero dei componenti rotti al tempo t.

tNtNNtNtR ffs

1)(


NNNtR 1)(

derivando:

dt

tdN

Ndt

tdR f1)(

Il Tasso di guasto, in base alla sua definizione, può essere scritto come:

dt

tdN

tNth f

s

1

Dividendo e moltiplicando per N si ottiene:

dt

tdR

tRdt

tdR

tN

Nth

s

1

14




dt

tdR

tRth

1

Integrando e tenendo conto che R(0)=1 si ottiene:

tRtR

tdRdtth

ttln

00

Quindi l’affidabilità R(t) diventa:

t dtth dtthetR 0




In genere i guasti sono raggruppabili in tre tipi:• Guasti durante il rodaggio (quality failures):

di solito sono dovuti ad errori di progetto o di fabbricazione (materiale difettosoassemblaggio o aggi staggio scorretto)assemblaggio o aggiustaggio scorretto).

• Guasti casuali (stress-related failures):sono dovuti a cause aleatorie che provocano l’applicazione all’elemento di forze chesuperano la resistenza di progetto.

• Guasti per invecchiamento organico o tecnico (wearout failures):avvengono quando il prodotto raggiunge il termine della sua vita effettiva.

mortalità infantile h(t) decrescente

danneggiamento casuale

h(t) costante

usurah(t) crescente

15

h(t)




Curva a vasca da bagno (bathtub):

h(t)

mortalità usura

t

mortalità infantile vita

utile

Richiami di statisticaTempo medio tra i guasti MTBF

Il tempo medio fra i guasti (Mean Time Between Failures, MTBF), è un parametro diaffidabilità applicabile a dispositivi meccanici, elettrici ed elettronici e adapplicazioni software.


Il MTBF è il l tt d l t t t d il i l i hIl MTBF è il valore atteso del tempo tra un guasto ed il successivo; la sua misura haimportanza in moltissimi ambiti; ad esempio:• la valutazione della vita media di un dispositivo meccanico, o di un componente

elettronico, nell'ambito della progettazione,• la valutazione del tempo di attesa in coda di un semilavorato, se il guasto è riferito ad

una macchina utensile in un processo di produzione industriale

16


Tempo medio tra i guasti MTBF ‐MTTF


Il tempo medio tra i guasti MTBF si intende la somma di due tempi: MTTF (Mean Time ToFailure) e MTTR (Mean Time To Repair).

MTBF = MTTF + MTTR

Il tempo medio fino al guasto o MTTF rappresenta la vita media di un componente. Esso èquindi calcolabile come valore atteso della funzione densità di probabilità, o come integralesu tutto il dominio della funzione affidabilità:

dtttfMTTF

0

)(

oppure come integrale su tutto il dominio della funzione affidabilità:

)()(1)()( tRdt

dtR

dt

dtF

dt

dtf

dttRdttRtRtdttRdt

dtMTTF

0000)()()()(

integrando per parti

=0


Tempo medio tra i guasti MTBF ‐MTTF


Il tempo medio tra i guasti MTBF si intende la somma di due tempi: MTTF (Mean Time ToFailure) e MTTR (Mean Time To Repair).

MTBF = MTTF + MTTR

Il tempo medio fino al guasto o MTTF rappresenta la vita media di un componente. Esso èquindi calcolabile come valore atteso della funzione densità di probabilità, o come integralesu tutto il dominio della funzione affidabilità:

dttRdtttfMTTF

00

)()(

Si d fi i i il t di t di l di t l t i dSi definisce invece il tasso di guasto medio, come la media temporale per un certo periodo del tasso di guasto:

dttht

ht

0

)(1 Concettualmente il tasso di guasto medio ed il

MTTF sono l’uno il reciproco dell’altro

17


Esercizio

Data una popolazione di 10000 componenti di cui sono noti i tempi di cedimento, calcolare:1) Il Tasso di Guasto2) Media (o valore atteso) e Mediana

Tratto da es. 6.1 del libro (con modifiche)


t [ ]Numero di

tit [ore] componenti operativi Ns

0 10000

50 8880

100 8300

150 7918

200 7585

250 7274

300 6968

350 6668

400 6375

450 6088

500 5808

550 5535

600 5269

650 5011

700 4760

750 4517

800 4237

850 3864

900 3396

950 2819

1000 2098

1050 1154

1100 0


Esercizio

1) Il Tasso di Guasto


t [ore]Numero di componenti operativi Ns

0 10000

50 8880

100 8300

150 7918

200 7585

250 7274

300 6968

350 6668

400 6375

450 6088

500 5808

550 5535

600 5269

650 5011

700 4760

750 4517

800 4237

850 3864

900 3396

950 2819

1000 2098

1050 1154

1100 0

18


Esercizio

1) Il Tasso di Guasto



Affidabilità R(t) = Ns(t)/N

Differenziale dell'affidabilità dR(t)/dt = ‐R/t

Tasso di Guasto h(t) = ‐dR(t)/dt 1/R(t)

0 10000 1.000 ‐ ‐

50 8880 0.888 ‐0.0022400 0.00252252

100 8300 0.830 ‐0.0011600 0.00139759

150 7918 0.792 ‐0.0007640 0.00096489

200 7585 0.759 ‐0.0006660 0.00087805

250 7274 0.727 ‐0.0006220 0.00085510

300 6968 0.697 ‐0.0006120 0.00087830

350 6668 0.667 ‐0.0006000 0.00089982

400 6375 0.638 ‐0.0005860 0.00091922

450 6088 0.609 ‐0.0005740 0.00094284

500 5808 0.581 ‐0.0005600 0.00096419

550 5535 0.554 ‐0.0005460 0.00098645

600 5269 0.527 ‐0.0005320 0.00100968

650 5011 0.501 ‐0.0005160 0.00102973

700 4760 0.476 ‐0.0005020 0.00105462 0 0035

0,0040

0,0045

Tasso di Guasto

750 4517 0.452 ‐0.0004860 0.00107594

800 4237 0.424 ‐0.0005600 0.00132169

850 3864 0.386 ‐0.0007460 0.00193064

900 3396 0.340 ‐0.0009360 0.00275618

950 2819 0.282 ‐0.0011540 0.00409365

1000 2098 0.210 ‐0.0014420 0.00687321

1050 1154 0.115 ‐0.0018880 0.01636049

1100 0 0.000 ‐0.0023080 ‐

0,0000

0,0005

0,0010

0,0015

0,0020

0,0025

0,0030

0,0035

0 200 400 600 800 1000

h(t)

t [ore]


Esercizio1)2) Media (o valore atteso) e Mediana



0 10000

50 8880

100 8300

150 7918

200 7585

250 7274

300 6968

350 6668

400 6375

450 6088

500 5808

550 5535

600 5269

650 5011

700 4760

750 4517

800 4237

850 3864850 3864

900 3396

950 2819

1000 2098

1050 1154

1100 0

19





Numero di cedimenti Nf

Cedimenti cumulati

Massa di probabilità p

pdf f(t)

F(T) f*y*dt

0 10000 0 0 0.000 0.0000000 0.0000 0.00000000

50 8880 1120 1120 0.112 0.0022400 0.1120 5.60000000

100 8300 580 1700 0.058 0.0011600 0.1700 5.80000000

150 7918 382 2082 0.038 0.0007640 0.2082 5.73000000

200 7585 333 2415 0.033 0.0006660 0.2415 6.66000000

250 7274 311 2726 0.031 0.0006220 0.2726 7.77500000

300 6968 306 3032 0.031 0.0006120 0.3032 9.18000000

350 6668 300 3332 0.030 0.0006000 0.3332 10.50000000

400 6375 293 3625 0.029 0.0005860 0.3625 11.72000000

450 6088 287 3912 0.029 0.0005740 0.3912 12.91500000

500 5808 280 4192 0.028 0.0005600 0.4192 14.00000000

550 5535 273 4465 0.027 0.0005460 0.4465 15.01500000

600 5269 266 4731 0.027 0.0005320 0.4731 15.96000000

650 5011 258 4989 0.026 0.0005160 0.4989 16.77000000

700 4760 251 5240 0.025 0.0005020 0.5240 17.57000000

750 4517 243 5483 0.024 0.0004860 0.5483 18.22500000

800 4237 280 5763 0.028 0.0005600 0.5763 22.40000000

850 3864 373 6136 0 037 0 0007460 0 6136 31 70500000

media = ∑ f·y·dt = 622.62 ore

850 3864 373 6136 0.037 0.0007460 0.6136 31.70500000

900 3396 468 6604 0.047 0.0009360 0.6604 42.12000000

950 2819 577 7181 0.058 0.0011540 0.7181 54.81500000

1000 2098 721 7902 0.072 0.0014420 0.7902 72.10000000

1050 1154 944 8846 0.094 0.0018880 0.8846 99.12000000

1100 0 1154 10000 0.115 0.0023080 1.0000 126.94000000


ore 652.194989.050.04989.05240.0

650700650%50

p





Numero di cedimenti Nf

Cedimenti cumulati

Massa di probabilità p

pdf f(t)

F(T) f*y*dtTasso di Guasto h(t) = f(t)/R(t)

0 10000 0 0 0.000 0.0000000 0.0000 0.00000000 0.00000000

50 8880 1120 1120 0.112 0.0022400 0.1120 5.60000000 0.00252252

100 8300 580 1700 0.058 0.0011600 0.1700 5.80000000 0.00139759

150 7918 382 2082 0.038 0.0007640 0.2082 5.73000000 0.00096489

200 7585 333 2415 0.033 0.0006660 0.2415 6.66000000 0.00087805

250 7274 311 2726 0.031 0.0006220 0.2726 7.77500000 0.00085510

300 6968 306 3032 0.031 0.0006120 0.3032 9.18000000 0.00087830

350 6668 300 3332 0.030 0.0006000 0.3332 10.50000000 0.00089982

400 6375 293 3625 0.029 0.0005860 0.3625 11.72000000 0.00091922

450 6088 287 3912 0.029 0.0005740 0.3912 12.91500000 0.00094284

500 5808 280 4192 0.028 0.0005600 0.4192 14.00000000 0.00096419

550 5535 273 4465 0.027 0.0005460 0.4465 15.01500000 0.00098645

600 5269 266 4731 0.027 0.0005320 0.4731 15.96000000 0.00100968

650 5011 258 4989 0.026 0.0005160 0.4989 16.77000000 0.00102973

700 4760 251 5240 0.025 0.0005020 0.5240 17.57000000 0.00105462

750 4517 243 5483 0.024 0.0004860 0.5483 18.22500000 0.00107594

800 4237 280 5763 0.028 0.0005600 0.5763 22.40000000 0.00132169

850 3864 373 6136 0 037 0 0007460 0 6136 31 70500000 0 00193064

media = ∑ f·y·dt = 622.62 ore

850 3864 373 6136 0.037 0.0007460 0.6136 31.70500000 0.00193064

900 3396 468 6604 0.047 0.0009360 0.6604 42.12000000 0.00275618

950 2819 577 7181 0.058 0.0011540 0.7181 54.81500000 0.00409365

1000 2098 721 7902 0.072 0.0014420 0.7902 72.10000000 0.00687321

1050 1154 944 8846 0.094 0.0018880 0.8846 99.12000000 0.01636049

1100 0 1154 10000 0.115 0.0023080 1.0000 126.94000000 ‐


ore 652.194989.050.04989.05240.0

650700650%50

p

Programma - Costruzione di Macchine - Università ... · ... ‐Resistenza di una barra in acciaio...

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