Urti - Cap. 10 HRW1 Conservazione della quantità di moto Le leggi della dinamica sono in grado di...
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Urti - Cap. 10 HRW 1
Conservazione della quantità di moto
Le leggi della dinamica sono in grado di prevedere come un corpo risponde alle forze,
a volte però con calcoli estremamente complessi. I principi di conservazione a volte permettono di semplificare di molto i calcoli.
Esempio
Una palla da baseball colpisce una mazza. La forza che la mazza applica alla palla cresce partendo dal valore zero fino ad un valore massimo (quando la palla entra in pieno contatto con la mazza) fino a ritornare a zero quando la palla si allontana dalla mazza. Il comportamento preciso della forza è estremamente complicato e il più delle volte ignoto.
Se quello che interessa studiare è il moto della pallina è sufficiente conoscere la velocità iniziale e finale della palla, ciò che è accaduto durante l’urto non serve
Impulso = Prodotto tra la forza F per l’intervallo di tempo durante il quale agisce
pdvmdimpulso
vmdvdmdtdt
vdmdtamimpulso
dtFimpulso
)(
)(
Quantità di moto = Prodotto tra la massa e la velocità
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Urti - Cap. 10 HRW 2
Teorema impulso - quantità di moto
Se su un corpo agisce una forza risultante F, l’impulso della forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo
Dati due corpi che urtano tra loro
Forze interne:
Forze che i corpi all’interno del sistema esercitano l’uno sull’altro (urto)
Forze esterne:
Forze esercitate sui corpi del sistema da agenti esterni al sistema (p.es. Gravità)
0int
2,021,012,21,1int
2,02,21,01,121122,1,
2,02,2212,1,01,1121,
ppdtFF
vmvmvmvmdtFF
vvmvvmdtFFFF
vvmdtFFvvmdtFF
fext
ffext
ffextext
fextfext
Per il principio di azione e reazione la somma delle forze interne è nulla
0ppdtF fext
Se la somma delle forze esterne è nulla
00 0 pppp ff
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Urti - Cap. 10 HRW 3
Principio di conservazione della quantità di moto
La quantità di moto totale (la risultante della somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli corpi) di un sistema isolato rimane costante (si conserva). Un sistema
isolato è un sistema per cui è nulla la somma vettoriale delle forze esterne che agiscono su di esso (gli urti devono essere cioè elastici).
1
221
22110
m
vmv
vmvm
pp
ff
ff
fo
Esempio
22112,021,01
22,
21,
22,0
21,0
.,,,
2
1
2
1
2
1
2
1
ff
ff
fo
fcinocinfMoM
vmvmvmvm
mvmvmvmv
pp
EEEE
Esempio
1,021
12,1,0
21
211,
2,21,1,0122111,01
22,21,1,01,1,01
22,
21,
21,0
2
2
1
2
1
2
1
vmm
mvv
mm
mmv
vmvvmvmvmvm
vmvvvvmmvmvmv
ff
ffff
fffff
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Urti - Cap. 10 HRW 4
Nota: L è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla velocità ed al
vettore posizione
Momento Angolare
Si definisce momento angolare di un corpo di massa m, velocità v rispetto ad punto P il vettore L:
2mrprvmrL
Nota: Il momento angolare è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto
v
r
LP
Un corpo che si muove radialmente rispetto al punto P ha momento angolare nullo
v
rL=0
P
00sin mvrvmrL
Un corpo che si muove di moto circolare uniforme con centro nel punto P ha momento angolare costantev
r
LP
mvrmvrvmrL 90sin
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Urti - Cap. 10 HRW 5
Un corpo con momento angolare non nullo non è detto che abbia una traiettoria cruva
Un corpo che si muove in moto rettilineo uniforme può avere momento angolare non nullo
)(sin)()( tmvtrvmtrL vr
L
P
Momento della forza M
Si definisce momento della forza M di un corpo rispetto ad punto P il prodotto vettoriale tra la forza che agisce sul corpo e il vettore che
congiunge P al corpo:
FrM
Nota: M è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla Forza ed al
vettore posizione
Nota: Il momento della forza è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto
F
r
M
P
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Urti - Cap. 10 HRW 6
A partire dalle definizione di momento angolare e momento della forza è possibile riscrivere la seconda equazione di Newton in termini di M ed L
dt
Ld
dt
vmrdM
dt
vdmrFr
dt
vdamF
Il momento della forza è pari alla derivata rispetto al tempo del momento angolare
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Urti - Cap. 10 HRW 7
Principio di conservazione del Momento Angolare:
Se il momento delle forze esterne agenti su un sistema è nullo, allora il Momento Angolare Totale Ltot si conserva.
Vale sia vettorialmente che per una sola componente
In un sistema composto da un corpo:
Quando si conserva Lz il corpo si muove con velocità angolare costanteQuando si conserva L allora il moto avviene su un piano
Forza Centrale
Una forza si dice centrale quando la sua intensità dipende solo ed esclusivamente dalla distanza della sorgente ed il verso è radiale
• La forza di gravità è una forza centrale
• La forza elettrostatica è una forza centrale
L’esempio tipico sulla conservazione del momento angolare è la ballerina che ruotando su se stessa ritrae le braccia. La sua velocità angolare aumenta
2mrmvrL