Se il ticchettio di una grondaia o di un rubinetto sgocciolanti hanno mai attirato la vostra attenzione, oltre che avervi fatto innervosire, avrete certamente notato che i tempi di formazione delle gocce e quindi i tempi delle loro cadute non sono isocroni come le oscillazioni di un pendolo, bensì caotici. Siamo circondati da fenomeni di natura caotica, il cui studio sta acquistando sempre più importanza in tutti i campi della ricerca, eppure quasi li ignoriamo. Anche a scuola, vista la totale assenza della trattazione di questi fenomeni nei programmi scolastici di ogni ordine e grado. Da insegnanti di liceo ci siamo chiesti se valga la pena “fare un po’ di caos a scuola”, cioè trattare l’argomento dal punto di vista didattico, e come farlo, magari trovando punti di interdisciplinarità fra diverse materie. In questo articolo proponiamo dunque degli spunti per la realizzazione di una semplice esperienza sulla fisica del caos e alcune riflessioni di interesse trasversale con la filosofia.

L’ESPERIMENTO IN CLASSE

L’apparato sperimentale consiste in un pendolo costituito da un magnete cilindrico, costretto ad oscillare tra altri due magneti cilindrici uguali tra loro e posti simmetricamente alla verticale del pendolo in posizione di equilibrio. La configurazione scelta è quella che vede le polarità attrattive tra pendolo e magneti fissi (Figura 1). Sul magnete-pendolo viene agganciato un led alimentato da una piccola batteria da orologio in modo che la sua influenza sul moto sia ragionevolmente trascurabile. Con una fotocamera in acquisizione di lunga posa si possono fotografare le traiettorie del pendolo messo in oscillazione in una stanza buia sotto forma di scie luminose tracciate dal led. Le stesse traiettorie possono essere acquisite anche come video con una seconda fotocamera o videocamera e analizzate successivamente con un programma di analisi video: nel nostro caso abbiamo utilizzato il software Tracker (www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker).

M Figura 1. Schema del pendolo magnetico

TRAIETTORIE CAOTICHE

Rispetto alle oscillazioni di un pendolo normale, in questo caso le oscillazioni non sono influenzate soltanto dalla forza di gravità (trascuriamo il moto terrestre), ma anche dalle interazioni del campo magnetico entro cui il pendolo si trova immerso. La descrizione analitica di questo moto sarebbe molto complessa per alunni di scuole superiori, per cui ci accontentiamo di analizzare le traiettorie del pendolo attraverso l’esperimento. Si nota subito che queste sono caotiche. Basta far partire il pendolo più volte dalla stessa posizione iniziale per riscontrare che le traiettorie seguite sono sempre diverse ed imprevedibili. Si può facilmente verificare, inoltre, che alla fine delle oscillazioni il magnete-pendolo rimarrà posizionato su uno dei due magneti fissi (attrattore) in modo del tutto imprevedibile ed apparentemente non dipendente dalle condizioni iniziali dell’oscillazione. Durante le oscillazioni, inoltre, si evidenziano facilmente strani cambiamenti di rotta e brusche variazioni di velocità ed accelerazioni in prossimità dei due magneti fissi (posizioni di attrattori). Nella Figura 2 (a pagina successiva) sono mostrate traiettorie acquisite, in vista laterale e dall’alto, con una foto in lunga posa di 30 secondi. Sono evidenti le diverse geometrie tracciate dalle traiettorie fotografate nonostante la posizione di partenza del pendolo sia, nei limiti dell’errore sperimentale, la stessa. Un fenomeno che evidenza la natura non deterministica di questo tipo di moto.

ANALISI DEI DATI

Una delle oscillazioni del pendolo magnetico può essere filmata con una telecamera digitale. Il video può dunque essere analizzato con un software come Tracker per ricavare diverse informazioni sul moto in oggetto. Tracker è capace di spacchettare il video in fotogrammi di circa 0,07 secondi. Memorizzando la posizione della traiettoria (attraverso il segnale luminoso del led agganciato al pendolo) è possibile ricavare le coordinate x ed y per ogni fotogramma e di seguito ricavare il grafico delle traiettorie. Questo programma, inoltre, permette di ricavare anche altre variabili come la velocità, l’accelerazione e l’energia cinetica punto per punto. Nella Figura 3 è riportato il

Come allestire una semplice esperienza con un pendolo magnetico per cominciare a capire la natura dei fenomeni caotici.

APPROFONDIMENTO / PREVEDERE IL FUTURO

Portare il caos a scuola a cura diDOMENICO LIGUORI* e ALESSANDRA CURCIO**

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grafico y-x di una delle traiettorie del pendolo registrata nel corso dei nostri esperimenti. In questo sistema di riferimento i due magneti fissi si trovano nei punti di coordinate A(4,61; -50,95) e B(4,61; 50.95) mentre il pendolo è partito dalla posizione di coordinate C(-6.45; -100.75). Dal grafico si può

notare come alla fine il pendolo collassi sul magnete nella posizione A. Nella Figura 4, invece, è riportato il grafico dell’accelerazione in funzione della coordinata y. Si può notare come in corrispondenza dei punti di inversione di rotta (in y) il valore dell’accelerazione raggiunge i valori massimi.

P Figura 2. Esempi di traiettorie delle oscillazioni del pendolo magnetico – vista laterale (a, b) e vista dall’alto (c,d).

p Figura 3. Traiettorie del pendolo. p Figura 4. Accelerazione in funzione della coordinata y.

a

b

c d

Nella Figura 5 è riportato l’andamento dell’energia cinetica in funzione del tempo. È evidente l’andamento decrescente (le oscillazioni si smorzano con il tempo) il cui valore medio è approssimabile con una curva esponenziale del tipo K=Ae-Bt in cui A e B sono due costanti, K e t rappresentano, rispettivamente, l’energia cinetica del pendolo ed il tempo.

Nelle figure 6 e 7 sono, infine, riportati gli andamenti della componente x ed y della velocità, rispettivamente rispetto alle coordinate x ed y. Si può notare che attorno alle posizioni di circa x=5 ed y=-50 (dove si trova il magnete sul quale, in questo caso, si è stabilizzato il pendolo alla fine delle sue oscillazioni) i valori delle velocità convergono, in modo circolare, a zero.

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P Figura 5. Energia cinetica in funzione del tempo. La curva continua in nero rappresenta il fit.

P Fig. 6. Componente x della velocità rispetto alla coordinata x. P Figura 7. Componente y della velocità rispetto alla coordinata y.

IL CAOS IN FILOSOFIA

Analizzando i miti sulla creazione di diverse culture e religioni o il pensiero dei primi filosofi greci, da Anassagora a Platone per esempio, si scopre un comune denominatore: il bisogno di scoprire l’ordine nella natura. Più tardi, nel Seicento, Galileo Galilei incarna molto bene questo bisogno di mettere ordine nella natura percependovi l’espressione dell’ordine razionale divino quando afferma, nel Saggiatore, che «il grande libro della natura è scritto in caratteri che sono cerchi, triangoli ed altre figure». In questo modo, sottolinea inoltre che l’opera ordinatrice può avvenire solo attraverso l’utilizzo della matematica, unico linguaggio capace di descriverne l’espressione e la manifestazione fenomenologica. L’affermazione del metodo sperimentale introdotto da Galileo, della mirabilis scientia del metodo cartesiano e della meccanica newtoniana furono solo alcuni fra i più importanti successi scientifici che spinsero il pensiero positivista a convincersi che la natura avesse un’anima deterministica decifrabile attraverso leggi matematiche ben definite. L’affermazione del matematico Laplace, «datemi lo stato dell’Universo ed io vi predirò il futuro», esprime bene la concezione deterministica della natura secondo la quale note tutte le condizioni iniziali di un sistema, utilizzando le equazioni della fisica, si riesce a prevederne esattamente l’evoluzione futura. In realtà questo sogno durò poco perché agli inizi del Novecento la ricerca mise in crisi la concezione deterministica. Poincaré nel 1903 affermò infatti, che anche se riuscissimo a conoscere tutte le condizioni iniziali di un sistema, la sua evoluzione rimarrebbe nota soltanto in modo approssimato. La visione deterministica della natura viene soppiantata da quella indeterministica perché la scienza scopre fenomeni nei quali le leggi deterministiche non valgono più. Fenomeni per i quali piccole variazioni delle condizioni iniziali inducono grosse variazioni nell’evoluzione temporale del sistema fisico impedendone qualsiasi tipo di previsione. E allora in natura vige l’ordine o il caos? Si può tentare di rispondere a questa domanda introducendo una nuova visione della realtà: la complessità. Questa visione, che segnò la morte del riduzionismo e del determinismo, si è affermata solo da pochi decenni quando la scienza iniziò ad occupasi di fenomeni più complessi la cui descrizione richiede un gran numero di variabili (climatologia, inquinamento, andamento della borsa ecc.) accettando l’idea che la mancanza di predicibilità è intrinseca nella dinamica del sistema.

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PER CONCLUDERE

Una delle critiche più frequenti che gli alunni rivolgono al sistema scolastico riguarda il divario eccessivo tra le nozioni apprese in aula e la loro spendibilità nella vita di tutti i giorni. Ci sono temi della scienza moderna e contemporanea la cui trattazione in classe produce interesse e curiosità rispondendo bene al bisogno di contestualizzazione preteso dagli studenti di oggi. Le difficoltà matematiche connesse alla spiegazione scientifica accurata di questi argomenti possono essere superate proponendo un approccio sperimentale e tralasciando gli aspetti più tecnici. Il caos è proprio uno di questi argomenti, visto che è alla base di fenomeni della vita quotidiana come le previsioni meteo, l’erosione delle coste, l’effetto di alcune decisioni politiche sull’economia, la computer graphics, la diffusione di sostanze inquinanti nelle acque e nell’atmosfera. Il pendolo magnetico, facilmente realizzabile, permette di evidenziare la natura non deterministica delle sue traiettorie osservando che non esiste modo di prevedere la sua posizione nel tempo, dato che piccole ma inevitabili variazioni delle condizioni iniziali provocano grandi ed imprevedibili perturbazioni del moto.

PER APPROFONDIRE

— M. Di Bernardo, D. Saccoccioni, Caos, ordine e incertezza in epistemologia e nelle scienze naturali, Mimesis 2012.

— D. Ruelle, Caso e caos, Bollati Boringhieri 1991.

— G. Nicolis, I. Prigogine, La complessità, Einaudi 1987.

— K.Popper, La logica della scoperta scientifica, Einaudi 1970.

— L. Geymonat, Galileo Galilei, Einaudi 1969.

* Domenico Liguori è docente di matematica e fisica al liceo scientifico Stefano Patrizi di Cariati (CS)

** Alessandra Curcio è docente di storia e filosofia al liceo classico San Nilo di Rossano (CS)