Urti - Cap. 10 HRW 1

Conservazione della quantità di moto

Le leggi della dinamica sono in grado di prevedere come un corpo risponde alle forze,

a volte però con calcoli estremamente complessi. I principi di conservazione a volte permettono di semplificare di molto i calcoli.

Esempio

Una palla da baseball colpisce una mazza. La forza che la mazza applica alla palla cresce partendo dal valore zero fino ad un valore massimo (quando la palla entra in pieno contatto con la mazza) fino a ritornare a zero quando la palla si allontana dalla mazza. Il comportamento preciso della forza è estremamente complicato e il più delle volte ignoto.

Se quello che interessa studiare è il moto della pallina è sufficiente conoscere la velocità iniziale e finale della palla, ciò che è accaduto durante l’urto non serve

Impulso = Prodotto tra la forza F per l’intervallo di tempo durante il quale agisce

pdvmdimpulso

vmdvdmdtdt

vdmdtamimpulso

dtFimpulso

)(

)(

Quantità di moto = Prodotto tra la massa e la velocità

Urti - Cap. 10 HRW 2

Teorema impulso - quantità di moto

Se su un corpo agisce una forza risultante F, l’impulso della forza risultante è uguale alla variazione della quantità di moto del corpo

Dati due corpi che urtano tra loro

Forze interne:

Forze che i corpi all’interno del sistema esercitano l’uno sull’altro (urto)

Forze esterne:

Forze esercitate sui corpi del sistema da agenti esterni al sistema (p.es. Gravità)

0int

2,021,012,21,1int

2,02,21,01,121122,1,

2,02,2212,1,01,1121,

ppdtFF

vmvmvmvmdtFF

vvmvvmdtFFFF

vvmdtFFvvmdtFF

fext

ffext

ffextext

fextfext

Per il principio di azione e reazione la somma delle forze interne è nulla

0ppdtF fext

Se la somma delle forze esterne è nulla

00 0 pppp ff

Urti - Cap. 10 HRW 3

Principio di conservazione della quantità di moto

La quantità di moto totale (la risultante della somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli corpi) di un sistema isolato rimane costante (si conserva). Un sistema

isolato è un sistema per cui è nulla la somma vettoriale delle forze esterne che agiscono su di esso (gli urti devono essere cioè elastici).

1

221

22110

m

vmv

vmvm

pp

ff

ff

fo

Esempio

22112,021,01

22,

21,

22,0

21,0

.,,,

2

1

2

1

2

1

2

1

ff

ff

fo

fcinocinfMoM

vmvmvmvm

mvmvmvmv

pp

EEEE

Esempio

1,021

12,1,0

21

211,

2,21,1,0122111,01

22,21,1,01,1,01

22,

21,

21,0

2

2

1

2

1

2

1

vmm

mvv

mm

mmv

vmvvmvmvmvm

vmvvvvmmvmvmv

ff

ffff

fffff

Urti - Cap. 10 HRW 4

Nota: L è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla velocità ed al

vettore posizione

Momento Angolare

Si definisce momento angolare di un corpo di massa m, velocità v rispetto ad punto P il vettore L:

2mrprvmrL

Nota: Il momento angolare è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto

v

r

LP

Un corpo che si muove radialmente rispetto al punto P ha momento angolare nullo

v

rL=0

P

00sin mvrvmrL

Un corpo che si muove di moto circolare uniforme con centro nel punto P ha momento angolare costantev

r

LP

mvrmvrvmrL 90sin

Urti - Cap. 10 HRW 5

Un corpo con momento angolare non nullo non è detto che abbia una traiettoria cruva

Un corpo che si muove in moto rettilineo uniforme può avere momento angolare non nullo

)(sin)()( tmvtrvmtrL vr

L

P

Momento della forza M

Si definisce momento della forza M di un corpo rispetto ad punto P il prodotto vettoriale tra la forza che agisce sul corpo e il vettore che

congiunge P al corpo:

FrM

Nota: M è un vettoreDipende dal Punto PE’ sempre ortogonale alla Forza ed al

vettore posizione

Nota: Il momento della forza è calcolato SEMPRE rispetto ad un punto

F

r

M

P

Urti - Cap. 10 HRW 6

A partire dalle definizione di momento angolare e momento della forza è possibile riscrivere la seconda equazione di Newton in termini di M ed L

dt

Ld

dt

vmrdM

dt

vdmrFr

dt

vdamF

Il momento della forza è pari alla derivata rispetto al tempo del momento angolare

Urti - Cap. 10 HRW 7

Principio di conservazione del Momento Angolare:

Se il momento delle forze esterne agenti su un sistema è nullo, allora il Momento Angolare Totale Ltot si conserva.

Vale sia vettorialmente che per una sola componente

In un sistema composto da un corpo:

Quando si conserva Lz il corpo si muove con velocità angolare costanteQuando si conserva L allora il moto avviene su un piano

Forza Centrale

Una forza si dice centrale quando la sua intensità dipende solo ed esclusivamente dalla distanza della sorgente ed il verso è radiale

• La forza di gravità è una forza centrale

• La forza elettrostatica è una forza centrale

L’esempio tipico sulla conservazione del momento angolare è la ballerina che ruotando su se stessa ritrae le braccia. La sua velocità angolare aumenta

2mrmvrL