UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEFacolta di Scienze M.F.N.

Corso di Laurea in Matematica

Prof. Andrea Stefanini

Appunti aggiuntivi al corso di

LABORATORIO DI FISICA 2

CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

Anno Accademico 2009-2010

1

1 Reti elettriche in regime sinusoidale

In questo capitolo sono studiate le proprieta delle reti elettriche in regime sinusoidale,regime che si realizza quando gli elementi attivi (generatori di tensione o di corrente)forniscono segnali che sono funzioni sinusoidali del tempo durante un intervallo di duratamolto maggiore del periodo dei segnali medesimi.Lo studio che di tali reti verra svolto riguarda esclusivamente il regime stazionario, valea dire le situazione che si viene a creare quando sono esauriti tutti i fenomeni transitori,come quelli che si verificano in corrispondenza di apertura e chiusura di un circuito. A talescopo saranno impiegati metodi formali di calcolo che consentono di ridurre la trattazioneall’applicazione di leggi lineari formalmente analoghe a quelle gia impiegate nello studiodelle reti lineari in regime di correnti continue e stazionarie.

1.1 Generalita sulle grandezze periodiche .

Si definisce grandezza periodica una grandezza a(t), funzione di una variabile t, perla quale si ha, per ogni t, a(t) = a(t+nT ), in cui la costante T prende il nome di periodoe n e un numero intero. Nella relazione precedente la variabile continua t puo essere unaqualunque grandezza; nello studio delle grandezze elettriche essa e la variabile tempo. Sichiama frequenza la grandezza ν = 1

Te pulsazione la grandezza ω = 2π

T= 2πν. Si

definisce poi valore medio di una grandezza periodica l’espressione Am = 1T

∫ t+Tt a(t′)dt′

e valore quadratico medio l’espressione Aqm =√

1T

∫ t+Tt a2(t′)dt′. Si definisce grandez-

za alternata una grandezza periodica a valor medio nullo, ovvero una grandezza per laquale, fissato un intervallo di tempo uguale ad un periodo, l’integrale relativo all’insiemedei punti in cui essa assume valori positivi e uguale a quello relativo all’insieme dei puntiin cui essa assume valori negativi.Una grandezza sinusoidale e una grandezza alternata del tipo at = A sen(ωt+φ), in cuiil valore massimo A prende il nome di ampiezza e φ quello di fase iniziale (−π < φ < π).La fase iniziale assume particolare importanza quando si vanno a confrontare grandezzesinusoidali caratterizzate da valori diversi di φ (ad es. φ1 e φ2). Si dice allora che lagrandezza 2 e in anticipo di fase rispetto alla 1 quando φ2 > φ1, in ritardo di fase se valela relazione inversa. Se φ2 = φ1 ± π le due grandezze si dicono in opposizione di fase,mentre se φ2 = φ1 ± π/2 si dice che esse sono in quadratura.Nel caso di una grandezza sinusoidale il valore quadratico medio ha il valore Aqm =√

1T

∫ t+Tt A2 sen2(ωt′ + φ)dt′ = 1√

2A, mentre il valore medio della sola semionda positiva

e Am = 1T/2

∫

π−φω

−φω

A sen(ωt′ + φ)dt′ = 2πA. Se la grandezza sinusoidale rappresenta una

intensita di corrente o una differenza di potenziale il valore quadratico medio prende ilnome di valore efficace.L’importanza di studiare il comportamento delle reti in presenza di segnali sinusoidalideriva principalmente da due fatti, uno di ordine pratico e l’altro di carattere fondamen-tale. Il fatto pratico e la tensione alternata viene quasi universalmente adottata per ladistribuzione di energia elettrica per uso industriale e domestico. Il motivo di caratterefondamentale e che qualunque grandezza periodica f(t) con periodo T = 2π/ω, purche

2

soddisfi a certi requisiti di continuita generalmente soddisfatti nei casi di nostro interesse,puo essere espressa nella forma (sviluppo in serie di Fourier):

f(t) =∞∑

n=0

[an sen(nωt) + bn cos(nωt)]

an =ω

π

∫ T2

−T2

f(t′) sen(nωt′)dt′ n = 1, 2, .....

bn =ω

π

∫ T2

−T2

f(t′) cos(nωt′)dt′ n = 0, 1, 2, .....

cioe f(t) puo sempre esprimersi come somma di contributi ognuno puramente sinusoidale,con frequenza pari a multipli della frequenza fondamentale ω (armoniche). Cio vale inparticolare se f(t) e una fem applicata in un ramo di una certa rete lineare; vedremoche questo fatto, insieme alla linearita delle equazioni che regolano l’andamento dellecorrenti, fa sı che, per avere la soluzione per le correnti nei vari rami della rete, e sufficientesufficiente conoscere lo sviluppo di Fourier della f(t) e risolvere il circuito separatamenteper le varie armoniche. La corrente complessiva in un ramo sara data dalla somma dellevarie correnti in quel ramo, ognuna associata alle rispettive armoniche. La semplicitadel metodo sta nel fatto che la soluzione per ognuna delle armoniche si basa su metodistandard, sostanzialmente identici per ognuna di esse. Concludendo possiamo quindidire che conoscere la risposta di una rete lineare ad una eccitazione sinusoidale di fattocorrisponde a conoscere la risposta della rete a qualunque eccitazione periodica.

1.2 Rappresentazione simbolica di una grandezza sinusoidale.

Ad ogni grandezza sinusoidale a(t) = A sen(ωt+ φ), caratterizzata dalle costanti A, ω eφ, puo essere associato un vettore applicato a(t) di modulo A, rotante in senso antiorarioin un piano xy intorno al proprio punto di applicazione (che per comodita puo esserescelto nell’origine O degli assi) con velocita angolare ω e tale da formare con l’asse xl’angolo φ nell’istante t = 0. La corrispondenza tra grandezza sinusoidale e vettore rotante(rappresentazione vettoriale) e biunivoca e la componente del vettore secondo l’asse y adun certo istante coincide con il valore della grandezza sinusoidale nello stesso istante (vedi

Figura 1: Rappresentazione vettoriale

fig. 1). Nel ca-so in cui si abbianon grandezze sinu-soidali della stes-sa frequenza vale laseguente proprieta:la combinazione li-neare di n grandezzesinusoidali medianten costanti reali (αi)e una grandezza si-nusoidale della stes-

sa frequenza che ha come corrispondente il vettore ottenuto dalla combinazione lineare,

3

tramite le stesse costanti (αi), degli n vettori corrispondenti.Nel caso di piu grandezze isofrequenziali, delle quali interessino le relazioni reciproche diampiezza e di fase, la loro rappresentazione vettoriale e costituita da un insieme di vettorirotanti la cui posizione reciproca non varia nel tempo; ciascuna grandezza sinusoidalepotra allora essere associata ad un vettore statico applicato in O, con la direzione che adesso compete in un qualsiasi fissato istante identico per tutti. Scegliendo in particolarecome istante di riferimento t = 0, l’angolo formato da ciascun vettore con l’asse x e pro-prio la fase della corrispondente grandezza sinusoidale.In questa rappresentazione l’ampiezza e la fase della somma di piu grandezze sinusoidalisono ordinatamente rappresentate dal modulo del vettore risultante dei vettori statici cor-rispondenti e dall’angolo che esso forma con l’asse x.A ogni vettore del piano reale applicato nell’origine si puo associare un numero complessoavente come parte reale ax e coefficiente dell’immaginario ay, dove ax e ay sono rispet-tivamente le componenti del vettore secondo gli assi x e y. Tale numero complesso, chenormalmente viene indicato con lo stesso simbolo del vettore rotante, si scrive in formatrigonometrica

a = ax + j ay essendo j =√−1

Pertanto ad ogni grandezza sinusoidale si puo far corrispondere (rappresentazione simbo-lica) un numero complesso il cui coefficiente dell’immaginario fornisce il valore istantaneodella grandezza. Ne seguono le relazioni:

| a |= A =√

a2x + a2

y tanγ =ay

ax

Essendo

ax = A cos γ = A cos(ωt+ φ) ay = A senγ = A sen(ωt+ φ)

si ha

a = A [cos(ωt+ φ) + j sen(ωt+ φ)]

Utilizzando le formule di Eulero si puo scrivere:

a = A ej(ωt+φ) = A ejωtejφ = Aejωt

avendo posto A ejφ = A [cos(φ) + j sen(φ)] = A, ampiezza complessa.Ad una grandezza sinusoidale di fissata frequenza si associa pertanto la sua ampiezzacomplessa, cioe un numero complesso il cui modulo e il cui argomento sono rispettivamentel’ampiezza e la fase della grandezza.

1.3 Derivata di una grandezza sinusoidale

La rappresentazione simbolica di una grandezza sinusoidale semplifica notevolmente leoperazioni elementari su grandezze sinusoidali. Essa consente inoltre, nella sua forma

4

esponenziale, di conseguire il seguente risultato, particolarmente utile ai fini del presentecorso: la derivazione temporale conserva la corrispondenza.Sia a(t) = A sen(ωt+φ) una grandezza sinusoidale e a = A ejωtejφ la grandezza simbolicacorrispondente. Si ha

da

dt= j ω Aejωtejφ = ω Aejωtej(φ+ π

2)

La grandezza simbolica cosı ottenuta e corrispondente ad una grandezza sinusoidale dellastessa frequenza, di ampiezza ω A e di fase φ+ π

2. Tale grandezza e proprio quella che si

ottiene come derivata temporale di a(t). Si ha infatti

da(t)

dt= A ω cos(ωt+ φ) = A ω sen(ωt+ φ+

π

2)

In forma sintetica si puo scrivere la relazione

da(t)

dt= j ω a(t). (1)

La da(t)dt

rappresenta pertanto una grandezza sinusoidale di ampiezza ωA e in anticipo difase di π/2 rispetto ad a(t).

1.4 Integrale di una grandezza sinusoidale

La eq.(1) stabilisce una relazione tra grandezze sinusoidali di uguale frequenza, una dellequali e la derivata temporale dell’altra. Inversamente ricavando dalla eq.(1)

a(t) =1

j ω

da(t)

dt

risulta che a(t) e la primitiva di da(t)dt

che rappresenta una grandezza sinusoidale di ugualefrequenza ed e pertanto assunta come

a(t) =∫

da(t)

dtdt

Si noti che l’operazione formale di integrazione equivale a dividere la da(t)dt

per l’operatoreimmaginario j ω . Si puo pertanto concludere che, data una grandezza sinusoidale a(t)di fissata frequenza, si ha:

∫

a(t) dt =1

j ωa(t)

∫

a(t) dt rappresenta quindi una grandezza sinusoidale di ampiezza Aω

in ritardo di fase diπ/2 rispetto ad a(t).

5

1.5 Relazioni tra tensione e corrente nei circuiti in regime

sinusoidale.

Le precedenti considerazioni, relative alla rappresentazione simbolica di una grandezzasinusoidale, consentono di estendere ai circuiti in regime sinusoidale le leggi generali (ed iteoremi da esse derivati) nella stessa forma nella quale sono espresse nel caso in cui i circuitisiano percorsi da correnti continue e stazionarie. Come gia detto, si ricorda che con taleformalismo e possibile descrivere la situazione delle reti soltanto in regime stazionario, cioequando siano esauriti i fenomeni transitori che si verificano nelle condizioni di aperturae chiusura dei circuiti. Inoltre saranno considerati soltanto i casi in cui tutti i generatoripresenti forniscano segnali sinusoidali di uguale frequenza. In tali condizioni in ogni ramodi una rete circola una corrente sinusoidale di ampiezza, frequenza e fase determinate.

1.5.1 Principi di Kirchhoff

1o Principio

Come nel caso della corrente continua, il principio di conservazione della carica elettricapuo essere enunciato nel modo seguente:“In un nodo in cui confluiscono n correnti sinusoidali tutte di pulsazione ω e di valoreistantaneo ik(t) = Ik sen(ωt+ βk) si ha per ogni istante t

n∑

k=1

ik(t) =n∑

k=1

Ik ejωtejβk = 0 “

Essendo ejωt 6= 0, ne segue:

n∑

k=1

Ik ejβk =

n∑

k=1

Ik = 0 (2)

L’equazione (2) va cosı intesa: fissato in modo arbitrario un verso di percorrenza cui as-sociare convenzionalmente un segno ( p. es. positivo per le correnti entranti nel nodo) efissate inoltre arbitrariamente le origini dei tempi, la fase βk di ogni singola corrente e taleda fornire ad ogni istante il segno della ik(t) che, in base alla convenzione fatta, indical’effettivo verso di percorrenza della corrente.

2o Principio

In un qualsiasi percorso chiuso costituito da n elementi, attivi o passivi, ove, stabilitoun certo verso positivo di percorrenza, Vk(t) = Vk sen(ωt + αk) e la tensione istantaneaai capi del generico elemento (supposto che i generatori abbiano tutti la stessa pulsazioneω), si ha

n∑

k=1

Vk(t) =n∑

k=1

Vk ejωtejαk =

n∑

k=1

Vk ejαk =

n∑

k=1

Vk = 0

6

1.5.2 Relazioni tra tensione e corrente per elementi passivi ideali

Gli elementi passivi di circuito che si considerano sono resistori, induttori e conden-satori; essi si possono ritenere ideali se valgono per essi rispettivamente, qualunque sial’andamento temporale della tensione ai loro capi, le relazioni

v(t) = R i(t), v(t) = Ldi(t)

dt, v(t) =

1

C

∫ t

t0i(t′) dt′ + v(t0) (3)

dove le costanti R, L e C sono costanti indipendenti dall’ampiezza e dalle caratteristichetemporali della v(t).Nel caso in cui v(t) sia un segnale sinusoidale di tensione di ampiezza V , pulsazione ωe fase α, cioe v(t) = V sen(ωt + α) applicato ai capi dei singoli elementi, in condizionistazionarie essi sono percorsi dalla corrente i(t) = I sen(ωt+β). In forma simbolica si ha

v(t) = V ejωtejα = V ejωt

i(t) = I ejωtejβ = I ejωt

e, per le relazioni (3),

VR = R I, VL = jωLI, VC =1

jωCI

Per un resistore ideale si ha quindi

VR ejα = RI ejβ → VR = RI α = β

e di conseguenza e nullo lo sfasamento ψ = α− β tra tensione e corrente.In maniera analoga per un induttore ideale otterremo

VL ejα = jωLI ejβ → VL = ωLI α = β +π

2

e per un condensatore ideale

VC ejα = −j 1

ωCI ejβ → VC =

1

ωCI α = β − π

2

1.5.3 Impedenza

Si consideri un generico elemento passivo ideale percorso dalla corrente i(t) quando ai suoicapi sia applicata la d.d.p. sinusoidale v(t). Sia v(t) = V ejωtejα e i(t) = I ejωtejβ.Si consideri il rapporto

v(t)

i(t)=V ejωt

I ejωt=V

I=V ejα

I ejβ=V

Iejφ

Tale rapporto e un numero complesso, indipendente dal tempo, il cui modulo e il rapportodelle ampiezze V e I della tensione e della corrente e il cui argomento e la differenza delle

7

rispettive fasi. Posto Z = VI, si definisce impedenza complessa di un elemento ideale

Z = Z ejφ = VI.

Per quanto visto precedentemente si hanno le seguenti espressioni di Z per i tre elementipassivi ideali:

ZR = R ZL = jωL ZC =1

jωC

e quindi

ZR = R, φ = 0 ZL = ωL, φ =π

2ZC =

1

ωC, φ =

−π2

Si noti che ZL e ZC dipendono dalla frequenza della tensione applicata. Si osservi inoltreche la definizione di impedenza complessa consente di scrivere la relazione tra le ampiezzecomplesse della tensione ai capi di un elemento ideale in regime sinusoidale e della correnteche lo percorre come

V = Z I (4)

relazione formalmente analoga all’espressione della legge di Ohm per tensioni e correnticontinue e stazionarie. La eq.(4) esprime la legge di Ohm in regime sinusoidale.

1.5.4 Impedenza equivalente di una rete passiva

Si consideri una rete passiva costituita da elementi ideali comunque connessi; scelti duequalsiasi punti A e B della rete si definisce impedenza complessa equivalente dellarete vista da A e B il rapporto Zeq = V

Iin cui V e l’ampiezza complessa della tensione

sinusoidale applicata tra A e B mediante un generatore ideale di tensione e I l’ampiezzacomplessa della intensita della corrente da esso erogata.L’impedenza equivalente di una rete in regime sinusoidale e dunque un numero complessoche si suole scrivere nelle forma trigonometrica Zeq = R + jX in cui R e la componentereale, detta resistenza, e X, coefficiente dell’immaginario, viene usualmente chiamatoreattanza. Si ha quindi Zeq =

√R2 +X2 e tanψ = X

R, essendo ψ l’argomento di Zeq.

Si suole chiamare ammettenza il reciproco dell’impedenza; nel caso di una rete passival’ammettenza e un numero complesso e si puo scrivere Yeq = G + jS ove G si chiamaconduttanza e S suscettanza.La precedente definizione operativa di impedenza equivalente consente di determinare talegrandezza anche se sono incogniti gli elementi che costituiscono la rete e se di essa non enota la configurazione.Qualora invece siano noti i singoli elementi e si conosca la configurazione della rete, epossibile esprimere l’impedenza equivalente in funzione delle impedenze degli elementicostituenti.Si deducono ora le espressioni della impedenza equivalente nei due fondamentali casi par-ticolari in cui gli elementi passivi siano in serie o in parallelo.

8

a) Serie

Siano Z1, Z2, ...... , Zn le impedenze complesse di n elementi passivi connessi inserie. Facendo riferimento alla fig. 2 si ha:

Zeq =V

I=V1 + V2 + ...... + Vn

I= Z1 + Z2 + ...... + Zn

con evidente significato dei simboli.

Figura 2: Circuito serie Figura 3: Circuito parallelo

b) Parallelo

Facendo riferimento alla fig. 3 si ottiene

1

Zeq=

I

V=I1 + I2 + ...... + In

V=

1

Z1+

1

Z2+ ...... +

1

Zn

Ricordando che il reciproco dell’impedenza prende il nome di ammettenza, si vede che inun circuito parallelo si sommano le ammettenze.

Cerchiamo ora di applicare quanto sopra ottenuto a alcuni semplici circuiti.

1) Circuito RL serie

L’impedenza complessiva del circuito mostrato in fig. 4 e data da

Figura 4: circuito RL serie

Z = R + jωL

e quindi la corrente che scorre nel circuito e

I =V

R + jωL= V

R− jωL

R2 + ω2L2

e la caduta di tensione sulla resistenza

VR = IR = VR2 − jωLR

R2 + ω2L2

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Se quindi al nostro circuito e applicata una d.d.p. alternata

V = V0 sen(ωt)

il circuito sara percorso da una corrente

I = I0 sen(ωt+ ψ)

con

I0 =V0√

R2 + ω2L2e ψ = arctan(

−ωLR

).

La caduta su R sara data da

VR = VR0 sen(ωt+ ψ)

con

VR0 =V0R√

R2 + ω2L2

2) Circuito RC serie

L’impedenza complessiva del circuito e data da Z = R + 1jωC

e quindi la corrente che

scorre nel circuito e I = VR+ 1

jωC

e la caduta di tensione sulla resistenza VR = IR = V RR+ 1

jωC

.

3) Circuito RL parallelo

L’ammettenza complessiva del circuito mostrato in fig. 5 e data da

1

Z=

1

R+

1

jωL

e quindi la corrente che scorre nel circuito e

I = V

(

1

R+

1

jωL

)

= V(

ωL− jR

ωLR

)

mentre quelle che scorrono su R e L sono rispettivamente

IR = V1

RIL = V

1

jwL

Se quindi al nostro circuito e applicata una d.d.p. alternata

V = V0 sen(ωt)

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Figura 5: Circuito RL parallelo Figura 6: Rappresentazione vettoriale

il circuito sara percorso da una corrente

I = I0 sen(ωt+ ψ)

con

I0 = V0

√R2 + ω2L2

ωLRe ψ = arctan(

−RωL

)

Tale corrente e il risultato della somma delle due correnti IR e IL le cui espressioni sono

IR =(

V0

R

)

sen(ωt) IL =(

V0

ωL

)

sen(ωt+ ψL) ψL =−π2

come rappresentato vettorialmente in fig. 6.

4) Circuito RC parallelo

L’ammettenza complessiva del circuito e data da 1Z

= 1R

+ jωC e quindi la cor-

rente che scorre nel circuito e I = V(

1R

+ jωC)

, risultante dalla somma delle correnti

IR = V 1R

e IC = V jωC.

1.5.5 Teoremi di Thevenin e Norton

Si e gia visto nel caso della corrente continua che i teoremi di Thevenin e Norton sonoconseguenza della linearita delle relazioni tra cadute di potenziale e intensita di corrente(legge di Ohm e principi di Kirchhoff).Tale linearita e valida anche nel caso dei circuiti in regime sinusoidale stazionario purcheci si riferisca all’ampiezza complessa di tensioni e correnti. Pertanto, con procedimen-to formalmente analogo a quello seguito nel caso della corrente continua, si ricavano iseguenti risultati:

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a) Teorema di Thevenin

Data una rete costituita da elementi attivi e passivi, ove per elementi attivi si inten-dono generatori isofrequenziali, e fissati due punti A e B di essa, la rete stessa, vista da talipunti, e equivalente ad un generatore ideale di tensione V0 della stessa frequenza aventein serie un elemento passivo di impedenza Z0.V0 e la tensione esistente a vuoto tra i due punti considerati; Z0 e l’impedenza equivalentedella rete passiva vista dagli stessi punti a condizione che ciascun generatore sia sostituitocon la propria impedenza interna.

b) Teorema di Norton

Data una rete costituita da elementi attivi e passivi, e fissati due punti A e B di essa, larete stessa, vista da tali punti, e equivalente ad un generatore ideale di corrente eroganteuna corrente I0 avente in parallelo un elemento passivo di impedenza Z0.I0 e corrente di corto circuito tra i due punti considerati; Z0 ha lo stesso significatoenunciato nel Teorema di Thevenin.

1.6 Potenza in regime sinusoidale

Si consideri un elemento passivo di impedenza Z = R + jX e siano v(t) = V sen(ωt)e i(t) = I sen(ωt + φ), con φ = − arctan(X/R), i valori istantanei della differenza dipotenziale ai suoi capi e della intensita di corrente che lo percorre.La potenza istantanea dissipata da tale elemento e

p(t) = v(t)i(t) = V I sen(ωt) sen(ωt+ φ) =V I

2[cosφ (1 − cos(2ωt)) + senφ sen(2ωt)] .

La potenza istantanea puo quindi essere espressa mediante la somma di due termini,ambedue oscillanti con pulsazione 2ω, doppia di quella della tensione di alimentazione,ma il primo dei quali e a media diversa da zero mentre il secondo e a media nulla. Lapotenza reale, detta anche potenza attiva, e il valor medio della p(t), per cui

p(t) = P =V I

2cosφ = VeffIeff cosφ (5)

L’espressione cosı ottenuta rappresenta la potenza realmente assorbita (o dissipata) daun circuito e dipende in modo essenziale dallo sfasamento φ tra tensione e corrente. Laeq. 5 puo trasformarsi nel modo seguente

p(t) = R I2eff essendo Veff = Z Ieff e cos φ =

R

Z

Si evidenzia in tal modo che la potenza attiva dipende soltanto dalla presenza di elementiohmici.Nel caso in cui l’elemento di circuito considerato contenga soltanto componenti reattivi

12

si ha cos φ = 0 e pertanto p(t) = 0. Non si ha cioe dissipazione di potenza da parte del-l’elemento di circuito in studio pur non essendo nulla la potenza istantanea. Quest’ultimainfatti oscilla in questo caso con frequenza 2ν e ampiezza (V I/2) senφ intorno al valorezero. Cio descrive il fatto fisico relativo agli scambi di energia tra il generatore e il campomagnetico (nel caso sia presente un induttore) e il campo elettrostatico (nel caso sia pre-sente un condensatore), scambi che avvengono alla frequenza 2ν. Per tenere conto che,anche in presenza di soli elementi reattivi, e impegnata nel circuito una potenza, sebbenenon vi sia una dissipazione di essa, si suole introdurre il concetto di potenza reattiva,espressa dalla formula Pr = VeffIeff senφ la quale esprime il prodotto del valore efficacedella corrente in quadratura con la tensione. La potenza reattiva viene comunementemisurata in V Ar (voltampere reattivi).Tenendo conto che la massima potenza dissipabile da un carico si ha per φ = 0, si suoleindicare con il nome di potenza apparente la grandezza Pa = VeffIeff , misurata in V A(voltampere). Ne segue la relazione formale P 2

a = P 2 + P 2r

1.7 Circuiti attenuatori o sfasatori

1.7.1 Quadrupoli passivi

Studieremo ora le risposte di alcuni particolari circuiti passivi sollecitati da segnali sinu-soidali di tensione aventi frequenza variabile.Tali circuiti posono essere schematizzati come quadrupoli (vedi fig. 7), nel senso che

Figura 7: Quadrupolo elettrico

presentano due terminali di ingresso(IN) tra i quali viene applicata la sol-lecitazione (tensione o corrente di in-gresso) e due terminali di uscita (OUT)dai quali viene prelevata la risposta(tensione o corrente di uscita). Ogniquadrupolo e caratterizzato dalla atte-nuazione A = Vout

Vinche e una grandez-

za complessa dipendente dalle caratte-ristiche degli elementi passivi e dalla fre-

quenza; A definisce completamente le relazioni di ampiezza e fase tra i segnali di ingressoe di uscita pur essendo da essi indipendente: valgono infatti

A =Vout

Vin

arg A = αout − αin

dove αout e αin sono rispettivamente le fasi del segnale di uscita e di quello di ingresso.

1.7.2 Esempi semplici di attenuatori o sfasatori

Si chiamano attenuatori quei quadrupoli la cui attenuazione e funzione monotona dellafrequenza; ne vedremo nel seguito alcuni esempi.

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Circuito CR

Il circuito e mostrato in figura e si ha

Figura 8: Circuito CR Figura 9: Attenuazione Figura 10: Fase

A =Vout

Vin

=R

R + 1jωC

=jωRC

1 + jωRC=

jωτ

1 + jωτ

dove abbiamo posto τ = RC costante di tempo del circuito. E’ quindi

A =1

√

1 + 1ω2τ2

arg A = γ = arctan(

1

ωτ

)

(6)

Nelle figure 9 e 10 sono riportati gli andamenti di A e γ in funzione della frequenza ν. Sisuol definire frequenza di taglio la frequenza νT tale che A(νT ) = 1√

2: tale condizione

viene raggiunta per ωT τ = 1 e quindi νT = ωT

2π= 1

2πτ= 1

2πRC. Si noti che νT e il va-

lore della frequenza per cui la componente reattiva dell’impedenza del circuito e uguale aquella resistiva.La frequenza di taglio e un parametro caratteristico del circuito che fornisce una indi-cazione della zona di transizione dei valori dell’attenuazione. Questo parametro consentedi denominare il circuito descritto come filtro passa-alto, nel senso che segnali sinusoidalidi frequenza ν ≫ νT vengono trasmessi con ampiezza praticamente invariata, mentre se-gnali sinusoidali con frequenza ν ≪ νT vengono fortemente attenuati. Di conseguenza, nelcaso in cui il segnale in ingresso sia periodico non sinusoidale, il circuito fornisce in uscitaun segnale periodico di forma diversa rispetto a quello di ingresso. Infatti un segnaleperiodico con frequenza ν puo essere riguardato, secondo Fourier, come risultante dallasovrapposizione di infiniti segnali sinusoidali di frequenza nν, multipla della propria. Ilcircuito, pertanto, fornisce una risposta diversa per ciascuna componente di Fourier infunzione della frequenza di questa componente.

14

Circuito RL

Figura 11: Circuito RL

Con riferimento al circuito mostrato in fig. 11 si ha

A =Vout

Vin

=jωL

R + jωL=

jωτ

1 + jωτ

avendo indicato con τ = LR

la costante di tempo

del circuito. La risposta di questo circuito e quindiidentica a quella del circuito CR.

Circuito LR

Facendo riferimento al circuito riportato in fig. 12 si ha

A =Vout

Vin=

R

R + jωL=

1

1 + jωτ

avendo indicato con τ = LR

la costante di tempo del circuito.

Figura 12: Circuito LR Figura 13: Attenuatione Figura 14: Fase

E’ quindi

A =1√

1 + ω2τ 2arg A = γ = arctan(−ωτ) (7)

Anche in questo caso, definita frequenza di taglio la frequenza νT = 12πτ

si vede chequesto circuito si comporta da filtro passa-basso, nel senso che segnali sinusoidali difrequenza ν ≪ νT vengono trasmessi con ampiezza praticamente invariata, mentre segnalisinusoidali con frequenza ν ≫ νT vengono fortemente attenuati.

15

Figura 15: Circuito RC

Circuito RC

Riferendoci al circuito mostrato in fig. 15 si ha

A =Vout

Vin=

1jωC

R + 1jωC

=1

1 + jωRC=

1

1 + jωτ

dove si e posto τ = RC costante di tempo delcircuito.La risposta di questo circuito e quindi identica aquella del circuito LR.

1.8 Il decibel

Supponiamo di misurare due potenze, non necessariamente elettriche, P1 e P2. Il lororapporto viene spesso misurato in una scala logaritmica (in base 10) la cui unita e dettadecibel: precisamente si dice che la potenza P1 supera di N decibel (dB) la potenza P2,con N dato da

N = 10 logP1

P2

Se si ha a che fare con una potenza elettrica dissipata su una resistenza R, e possibileesprimerla come P = V 2/R dove V e la tensione ai capi di R. Qualora le due potenzesiano dissipate su due resistenze uguali, potremo scrivere

N = 10 logP1

P2

= 20 logV1

V2

Se le resistenze su cui sono dissipate le potenze non sono uguali, occorre tener conto diun termine aggiuntivo 10 log R2

R1. In elettronica, quando si definisce il rapporto di due

tensioni V1 e V2, lo si misura spesso in decibel, come se si trattasse di un rapporto dipotenze

20 logV1

V2

indipendentemente dal valore delle resistenze ai capi delle quali queste tensioni sono mi-surate. Viene cosı modificata la definizione originaria di decibel e la si usa per misurare,anziche rapporti di potenze, rapporti di tensioni. Vediamo ora come tale definizione puoessere utilizzata per caratterizzare la risposta dei circuiti CR (passa alto) e LR (passabasso). Le curve di risposta dei due circuiti, sia per quanto riguarda la funzione A(ν) chela funzione γ(ν), dipendono dalla sola costante τ . Esse sono quindi suscettibili di unarappresentazione grafica che puo essere particolarmente utile. Riscritte le eq. (6) e (7)

16

nella forma

A =1

√

1 +(

νT

ν

)2arg A = γ = arctan(

νT

ν) passa alto

A =1

√

1 +(

ννT

)2arg A = γ = − arctan(

ν

νT

) passa basso (8)

potremo esprimere A in decibel ottenendo

AdB = 20 log A = −10 log

[

1 +(

νT

ν

)2]

passa alto

AdB = 20 log A = −10 log

[

1 +(

ν

νT

)2]

passa basso

Esaminiamo in dettaglio gli andamenti di Adb(ν) e γ(ν) in funzione della frequenza perciascuno dei due casi. Per il circuito passa alto gli andamenti sono mostrati in fig. 16, neicosidetti “diagramma di ampiezza” e “diagramma di fase”, dove per l’asse delle ascisse estata utilizzata una scala logaritmica.

Figura 16: Attenuazione (sinistra) e sfasamento per un circuito passa alto

Per ν ≪ νT l’espressione per Adb(ν) puo essere approssimata come

AdB ≃ −20 log[

νT

ν

]

= 20 · [logν − logνT ]

evidenziando una relazione lineare tra AdB e logν con pendenza di 20 dB/decade; taleretta interseca inoltre quella per AdB = 0 per ν = νT . Per frequenze ν ≫ νT la curva epressoche costante e corrisponde ad un’ampiezza Vout = Vin, cioe la tensione e trasmessasostanzialmente inalterata dal circuito; a tali frequenze l’impedenza del condensatore einfatti trascurabile rispetto a quella della resistenza. Infine per ν = νT si ha AdB ≃ −3dB.

17

Per quanto riguarda la fase γ si vede che per ν ≪ νT essa tende a π/2, cioe la tensione inuscita e in anticipo di un quarto di periodo, per ν = νT si ha γ = π/4 e infine per ν ≫ νT

essa tende a zero (e pertanto in questa condizione tensione di uscita e di ingresso sonouguali sia in fase che in ampiezza).

Per il circuito passa basso (LR) gli andamenti corrispondenti sono riportati in Fig. 17.

Figura 17: Attenuazione (sinistra) e sfasamento per un circuito passa basso

Per tale circuito possono essere sviluppate considerazioni del tutto analoghe a quelle peril circuito passa basso, in quanto gli andamenti sono simili una volta fatte le dovutetrasformazioni.

1.9 Elementi reali di circuito

Finora si e parlato di resistori, condensatori e induttori considerandoli elementi ideali; sie cioe ammesso che per questi elementi la relazione tra tensione e corrente sia tale cheuna di tali grandezze e proporzionale all’altra o alla sua derivata prima rispetto al tempo.Cio implica che ogni elemento passivo e caratterizzato da una ben determinata grandezzafisica (R, L o C) costante rispetto a variazioni di tensione e di frequenza.In realta tale assunzione e verificata solo in prima approssimazione per il concorso difenomeni di diversa natura, per tener conto dei quali ciascun elemento reale puo essererappresentato mediante una combinazione di piu elementi ideali opportunamente connes-si. Nel seguito descriveremo alcune schematizzazioni piu realistiche dei singoli elementidi circuito.

Resistore

E‘ rappresentabile mediante lo schema riportato in fig. 18, in cui L tiene conto del-l’induttanza dei fili e C della capacita di essi. Per i resistori normalmente usati (adimpasto) i valori di L e C danno un contributo trascurabile all’impedenza complessiva

18

Figura 18: Resistore reale

fino a 100 MHz. A questo pregio si contrap-pone il difetto che questo tipo di resistori hannopotenza massima dissipabile solo di qualche watt;per potenze maggiori si adoperano resistori a fi-lo.

Induttore

Per un induttore reale lo schema equivalente e identico a quello utilizzato per un resi-store reale. In questo caso R varia con la frequenza e tiene conto della resistenza (ohmica)dell’avvolgimento pellicolare (ad alta frequenza la corrente scorre praticamente sulla solasuperficie del conduttore) e dell’effetto di prossimita (la corrente che circola in una spirasubisce l’influenza del campo magnetico creato dalla corrente che circola nella spira accan-to). C tiene conto del fatto che fra due spire vicine percorse da una corrente si manifestaun effetto capacitivo.

Condensatore

Figura 19: Condensatore reale

In fig. 19 e riportato lo schema equivalente conil quale e possibile rappresentare un condensatorereale.In esso RS tiene conto della resistenza dei contat-ti, L dell’induttanza dei fili che vanno alle arma-ture, RP (dipendente dalla frequenza) delle perditedovute all’isolante interposto tra le armature. Perfrequenze inferiori a circa 20 MHz RS e L possonoessere trascurate e quindi lo schema si riduce al solo parallelo di C e RP .

1.10 Circuiti derivatori e integratori

Nei precedenti capitoli sono stati studiati, riguardandoli come quadrupoli, alcuni partico-lari circuiti in regime sinusoidale, come i circuiti attenuatori.Si vogliono ora studiare alcuni particolari quadrupoli che si comportano come circuitiderivatori e integratori nel senso che, applicando ad essi in ingresso un segnale di tensionefunzione del tempo, si ottiene in uscita un segnale che e direttamente proporzionale alladerivata o all’integrale rispetto al tempo del segnale di ingresso.Tra i vari possibili circuiti che assolvono le funzioni precedentemente indicate, si conside-reranno solo i circuiti costituiti da due elementi passivi, resistore e condensatore e resistoreed induttore.

19

1.10.1 Circuiti derivatori

Circuito CR

Figura 20: Circuito CR

Sia v(t) il segnale di tensione applicato in ingressoal circuito CR riportato in fig. 20.Tale tensione si ripartisce in vC(t) e vR(t) essendov(t) = vC(t) + vR(t) per ogni t. Si supponga che siaverificata, per ogni istante t, la condizione

| vR(t) | ≪ | vC(t) | (9)

per cui si ha

v(t) ≃ vC(t) =1

C

∫ t

t0i(t′) dt′ + vC(t0)

Derivando ambo i membri rispetto al tempo si ottiene

dv(t)

dt≃ 1

Ci(t) da cui i(t) ≃ C

dv(t)

dt

Per quanto riguarda il segnale di uscita si ha

vR(t) = R i(t) ≃ RCdv(t)

dt= τ

dv(t)

dtessendo τ = RC

Circuito RL

Figura 21: Circuito RL

Per questo circuito, riportato in fig. 21, si hav(t) = vL(t) + vR(t); supponendo nuovamente chevalga

| vL(t) | ≪ | vR(t) | (10)

per ogni t, si ricava

v(t) ≃ vR(t) = Ri(t) da cui i(t) ≃ 1

Rv(t)

Ne segue

vL(t) = Ldi(t)

dt≃ L

R

dv(t)

dt= τ

dv(t)

dtcon τ =

L

R

20

1.10.2 Circuiti integratori

Circuito RC

Si supponga in questo caso, riportato in fig. 22, che sia verificata per ogni t la condizione

| vC(t) | ≪ | vR(t) | (11)

da cui

v(t) ≃ vR(t) = Ri(t) e quindi i(t) ≃ 1

Rv(t)

Per il segnale in uscita si ha quindi

vC(t) =1

C

∫ t

t0i(t′) dt′ ≃ 1

RC

∫ t

t0v(t′) dt′ =

1

τ

∫ t

t0v(t′) dt′

essendosi scelta l’origine dei tempi t0 in modo tale che vC(t0) = 0.

Figura 22: Circuito RC Figura 23: Circuito LR

Circuito LR

Nel circuito riportato in fig. 23 si ha v(t) = vL(t) + vR(t); si supponga, per ogni t,

| vR(t) | ≪ | vL(t) | . (12)

Risulta allora

v(t) ≃ vL(t) = Ldi(t)

dtcioe‘ L di(t) ≃ v(t) dt

da cui, integrando,

i(t) =1

L

∫ t

t0v(t′) dt′ + i(t0)

Scegliendo l’origine dei tempi in modo che sia i(t0) = 0, si ricava

vR(t) = R i(t) ≃ R

L

∫ t

t0v(t′) dt′ =

1

τ

∫ t

t0v(t′) dt′

21

Ciascun caso finora discusso fornisce soltanto un’approssimazione di circuito derivatore eintegratore propriamente detto. Come si e visto, tale approssimazione e tanto migliorequanto meglio sono verificate le diseguaglianze (9), (10) e (11),(12).Queste, a loro volta, dipendono dalla costante di tempo τ del circuito; infatti le condizioni(9) e (10) di derivazione si possono scrivere

i(t) ≪ 1

τ

∫ t

t0i(t′) dt′

(avendo scelto t0 in modo che vC(t0) = 0), mentre quelle (11) e (12) di integrazione sipossono scrivere

∫ t

t0i(t′) dt′ ≪ τ i(t)

E’ quindi evidente che la prima e tanto meglio verificata quanto piu piccola e τ e la se-conda quanto piu grande e τ .Il termine di confronto per τ e individuato volta per volta in base alle caratteristiche delsegnale di ingresso (p.es. il periodo nel caso di un segnale periodico, la durata se si trattadi un segnale impulsivo).E’ opportuno inoltre sottolineare che le relazioni (9), (10) e (11), (12) , se da un lato fa-voriscono le condizioni di integrazione e di derivazione, dall’altro riducono l’ampiezza delsegnale in uscita e quindi si tratta di scegliere di volta in volta un opportuno compromesso.

Le discussioni relative ai circuiti considerati sono state eseguite supponendo che glielementi passivi fossero ideali. Si deve tener conto che l’impiego di elementi reali comportavariazioni rispetto alla trattazione precedente. Tali variazioni sono pero generalmentecontenute nel caso di resistori e di condensatori, mentre possono essere sensibili nel casodegli induttori, prevalentemente per il fatto che questi ultimi presentano una resistenzaserie che non e fisicamente distinta dalla componente induttiva.

1.11 Circuiti derivatori ed integratori con segnali in ingresso di

tipo particolare

A titolo di esempio si studiano ora i circuiti CR e RC in corrispondenza a diverse formedel segnale di ingresso.

1.11.1 Segnale a gradino.

Un segnale a gradino e definito dalla relazione (vedi fig. 24)

v(t) = V0 = costante per t > t0

v(t) = 0 per t ≤ t0

22

Figura 24: Segnale di tensione a scalinoFigura 25: Risposta dei circuiti RC e CRad un segnale di tensione a scalino

Per t > t0 si ha

V0 = R i(t) +1

C

∫ t

t0i(t′) dt′ ;

integrando la precedente equazione si ricava

i(t) =V0

Re−

t−t0τ da cui VR = V0 e

− t−t0τ VC = V0 (1 − e−

t−t0τ )

Gli andamenti di VR e VC sono riportati in fig. 25. Posto per semplicita t0 = 0, pert ≪ τ si ha vC(t) ≃ V0

tτ

cioe il segnale di uscita prelevato ai capi del condensatore edirettamente proporzionale all’integrale V0t del segnale di ingresso.Per t ≫ τ si ha vR(t) ≃ 0, cioe il segnale di uscita prelevato ai capi del resistore edirettamente proporzionale alla derivata (nulla) del segnale di ingresso.

1.11.2 Segnale a onda quadra.

Figura 26: Onda quadra ditensione

Un segnale a onda quadra e un segnale periodico, diperiodo T , variabile tra +V1 e −V2 per t0 ≤ t < t0 +Tsecondo l’andamento riportato in fig. 26. Si consideriil caso particolare in cui V1 = V0, V2 = 0 e T1 = T/2; siassuma t0 = 0 e si supponga che con un tale segnale siaalimentato un circuito RC serie. Si hanno le seguentiequazioni per quanto riguarda l’intensita di correntei(t) e le cadute di potenziale VR(t) e VC(t) ai capi delresistore e del condensatore una volta che si sia postoVC(0) = 0:per 0 ≤ t ≤ T

2

i(t) =V0

Re

−tτ vR(t) = V0 e

−tτ vC(t) = V0 (1 − e

−tτ )

per t = T2

vR(T

2) = V0 e

−T2τ = k V0 vC(

T

2) = V0 (1 − e

−T2τ ) = V0 (1 − e

−T2τ )

23

Figura 27: risposta del circuito RC aun’onda quadra: caso τ ≃ T

2

Figura 28: risposta del circuito RC aun’onda quadra: caso τ ≃ T

10

per T2≤ t ≤ T

i(t) =V0 (1 − k)

Re−

t−T/2τ vR(t) = −V0 (1 − k) e−

t−T/2τ vC(t) = V0 (1 − k) e−

t−T/2τ

Ad ogni istante 0 ≤ t < T2

si ha vC(t) + vR(t) = V0 , mentre per t ≥ T2

valevC(t) + vR(t) = 0 . Per t = T

2si ha una discontinuita nella vR(t), che passa dal valore

k V0 al valore (1 − k) V0: il valore di tale discontinuita e pari a V0.Per T ≤ t < T + T

2si ha

i(t) =V0 − vC(T )

Re−

t−Tτ =

V0 − V0 (1 − k)k

Re−

t−Tτ

da cui si ricavano le corrispondenti espressioni per vR(t) e vC(t) .Dopo n periodi si avra:per nT ≤ t ≤ nT + T

2

vR(t) = V0 (1 − k + k2 − k3 + ..... − kn) e−t−nT

τ

vC(t) = V0 [1 − (1 − k + k2 − k3 + ..... − kn) e−t−nT

τ ]

per nT + T2≤ t ≤ (n+ 1)T

vR(t) = −V0 (1 − k + k2 − k3 + ..... − kn+1) e−t−(nT+T/2)

τ

vC(t) = V0 (1 − k + k2 − k3 + ..... − kn+1) e−t−(nT+T/2)

τ

L’evoluzione temporale dei segnali vR(t) e vC(t) nel caso in cui τ = T2

e riportata infig. 27, mentre in fig. 28 e riportato il caso in cui T

2≫ τ .

24