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Modulazione di ampiezza

Luca De Nardis

11 Novembre 2020

Luca De Nardis Modello circuitale 11 Novembre 2020 1 / 45

Modulazione

La modulazione è un’operazione di adattamento del segnale al canale.Nel corso considereremo due tipi di modulazione:

modulazione su portante impulsiva (già vista);

modulazione su portante sinusoidale.

La modulazione su portante sinusoidale è usata per segnali analogici m (t),tipicamente di banda base, con caratteristiche spettrali note ocaratterizzabili attraverso uno spettro di densità di potenza di cui m (t) èuna realizzazione.In generale consideremo segnali m (t) limitati in banda, reali o complessi:

nel caso di m (t) reale lo spettro M (f ) sarà simmetrico rispetto af = 0 e si estenderà nell’intervallo [−B, B];ciò non sarà vero per un generico segnale complessom (t) = m1 (t) + im2 (t), che considereremo per una trattazione piùgenerale.


Modulazione su portante sinusoidale

L’obiettivo della modulazione su portante sinusoidale è quello ditrasportare lo spettro di m (t) intorno a una frequenza centrale fp > 0adeguata al mezzo di trasmissione in cui il segnale si deve propagare.

La frequenza fp verrà scelta in modo da rispettare anche l’allocazionefrequenziale prevista dalla regolamentazione.



L’operazione di spostamento dello spettro a frequenza fp avvieneassociando ad m (t) uno dei parametri di un segnale sinuosidale che oscillaa frequenza fp. A seconda del parametro scelto si hanno differenti schemidi modulazione:

Ampiezza → Amplitude Modulation (AM);Fase → Phase Modulation (PM);Frequenza → Frequency Modulation (FM).

PM e FM vanno entrambe ad associare ad m (t) l’argomento dellasinusoide (angolo o fase) e sono quindi dette modulazioni angolari:

PM: la fase del segnale modulato varierà linearmente con m (t);

FM: la fase del segnale modulato varierà linearmente con l’integrale dim (t) nel tempo.



Consideriamo come detto un generico segnale complesso:

m (t) = m1 (t) + im2 (t) . (1)

La modulazione opererà una trasformazione su tale segnale, definendo:

f1 {m1(t)}+ if2 {m2(t)} . (2)

Tale segnale, ancora di banda base, verrà spostato intorno alla frequenzafp moltiplicandolo per l’esponenziale complesso e

i(2πfpt+ϕ0) ottenendo ilsegnale complesso (anche nel caso di m (t) reale):

s+ (t) = (f1 {m1(t)}+ if2 {m2(t)}) .e i(2πfpt+ϕ0) (3)

Detto ∆Bm l’intervallo di frequenze occupato dallo spettro di m (t), se sisceglie fp > ∆Bm s

+ (t) avrà contributi frequenziali solo a frequenzepositive. È detto per questo motivo segnale analitico positivo.


Segnale analitico positivoIl suo spettro di densità di potenza Ps+ (f ) è mostrato in figura

Si ha:

s+(t) = (f1 {m1(t)}+ if2 {m2(t)}) · e i(2πfpt+ϕ0)

= (f1 {m1(t)}+ if2 {m2(t)}) · (cos(2πfpt + ϕ0) + i sin(2πfpt + ϕ0))= f1 {m1(t)} cos(2πfpt + ϕ0)− f2 {m2(t)} sin(2πfpt + ϕ0)++ i (f1 {m1(t)} sin(2πfpt + ϕ0) + f2 {m2(t)} cos(2πfpt + ϕ0)) .

(4)La parte reale di s+ (t) è proprio il nostro segnale modulato!


Segnale modulato

Si ha quindi:

s (t) = Re{s+(t)

}= f1 {m1(t)} cos(2πfpt+ϕ0)−f2 {m2(t)} sin(2πfpt+ϕ0).

(5)e lo spettro di s (t) è, ad esempio nel caso AM:

Si noti che poiché s (t) è reale, il suo spettro a differenza di quello dis+ (t) è simmetrico rispetto all’origine (ma in generale non è simmetricorispetto a fp).


Segnale modulato: caso m (t) reale

Se m (t) è reale, s (t) diventa:

s (t) = Re{s+(t)

}= f1 {m1(t)} cos(2πfpt + ϕ0). (6)

e si avrà quindi per Ps (f ) un andamento simile a quello visto nella slide 3:

In questo caso c’è simmetria sia rispetto all’origine che rispetto a ±fp.


Trasformazione e tipi di modulazione

Se f1 {·} e f2 {·} sono trasformazioni lineari allora s (t) sarà lacombinazione di due sinusoidi le cui ampiezze variano linearmente conparte reale e immaginaria del segnale modulante.

Si può però utilizzare la stessa notazione anche per rappresentare segnalimodulati di angolo, scegliendo opportunamente le trasformazioni f1 {·} ef2 {·}. Ad esempio, assumendo m1(t) = m2(t) = α(t) e:

f1 {m1(t)} = a cos(α(t))f2 {m2(t)} = a sin(α(t)),

(7)

si ottiene il seguente segnale modulato:

s(t) = a cos(α(t)) cos(2πfpt + ϕ0)− a sin(α(t)) sin(2πfpt + ϕ0)= a cos(2πfpt + ϕ0 + α(t)),

(8)

e cioè un segnale modulato d’angolo (in particolare un segnale PM).


Inviluppo complesso

Il segnale

s(t) = f1 {m1(t)}+ if2 {m2(t)} = sf (t) + isq(t) (9)

è detto inviluppo complesso, e {sf (t)

sq(t)(10)

sono dette componenti analogiche di bassa frequenza, rispettivamente infase e in quadratura.

NB

Si noti che se m(t) è un segnale di banda base anche s(t) lo è, visto che èlo stesso segnale trasformato da f1 {·} e f2 {·}.


Portante sinusoidaleLa sinusoide utilizzata per spostare lo spettro del segnale modulante, dettaportante, può essere scelta come segue:{

p(t) = A cos (2πfpt + ϕ0) , detta PORTANTE IN FASE

p(t) = A sin (2πfpt + ϕ0) detta PORTANTE IN QUADRATURA

(11)


Portante sinusoidale

Le portanti in fase e in quadratura sono caratterizzate da stesso spettro diampiezza ma diverso spettro di fase:

Portante in fase Portante in quadratura


Portante sinusoidaleAvendo stesso spettro di ampiezza le due portanti hanno anche stessospettro di densità di potenza, e stessa potenza:

PP =

∫ +∞−∞

|P (f )|2 df = A2

4+

A2

4=

A2

2V 2 (12)


Modulazione di ampiezza (AM)

Modulazione AM: l’ampiezza a(t) della portante è proporzionale a m(t).Ad esempio, considerando la portante in fase, si ottiene:

s(t) = a(t) cos(2πfpt + ϕ0) = kam(t) cos(2πfpt + ϕ0), (13)

dove ka è la costante di proporzionalità tra m(t) e a(t).In generale m(t) assumerà sia valori positivi che negativi, e lo stesso faràquindi kam(t):


Modulazione di ampiezza (AM)

kam(t) determinerà quindi l’inviluppo del segnale modulato:


Modulazione di ampiezza (AM)Avere un inviluppo del segnale modulato sempre positivo semplifica però(come vedremo) l’operazione di demodulazione.Se si vuole ottenere questo risultato si può definire a(t) come:

a(t) = ap + kam(t), (14)

con ap t.c. a(t) > 0 ∀ t.

E il segnale modulato è:

s(t) = (ap + kam(t)) cos(2πfpt + ϕ0) =

= ap cos(2πfpt + ϕ0) + kam(t) cos(2πfpt + ϕ0).(15)


Modulazione AM a Portante Intera (PI)

Il segnale modulato cos̀ı ottenuto contiene una componente che non portainformazione, ma la portante non modulata. Per questo motivo è dettosegnale AM a Portante Intera (AM-PI).


Modulazione AM

In base al valore assunto da ap distinguiamo tre tipi di modulazione AM:

ap = 0: mod. AM a Portante Soppressa (AM-PS)

0 < ap ≤ max{ka |m(t)|}: mod. AM a Portante Ridotta (AM-PR)ap > max{ka |m(t)|}: mod. AM a Portante Intera (AM-PI)

In generale, l’inviluppo complesso sarà:

s(t) = ap + kam(t). (16)

NB

Considerando due segnali segnali reali m1(t) e m2(t) e sfruttandol’ortogonalità tra le portanti, si può trasmettere inoltre il segnale:

s(t) = ka1m1(t) cos(2πfpt + ϕ0) + ka2m2(t)sin(2πfpt + ϕ0). (17)


Spettro di un segnale modulato AM

Lo spettro del segnale modulato AM dipenderà ovviamente da quello dim(t).

Nel seguito considereremo tre segnali modulanti differenti:

1 segnale modulante sinusoidale;

2 segnale modulante deterministico di banda B;

3 segnale modulante realizzazione di un processo di banda B.

Utilizzeremo in particolare il segnale modulante sinusoidale per ricavare deiparametri che sono validi anche per le altri classi di segnale modulante.


Segnale modulante sinusoidale

Si ha:m (t) = A cos (2πWt) . (18)

Il segnale modulato AM, assumendo ad esempio di utilizzare la portante infase, è quindi:

s(t) = (kam(t) + ap) cos(2πfpt + ϕ0)

= kaA cos(2πWt) cos(2πfpt + ϕ0) + ap cos(2πfpt + ϕ0)

=kaA

2cos(2π(fp + W )t + ϕ0) +

kaA

2cos(2π(fp −W )t + ϕ0)+

+ ap cos(2πfpt + ϕ0).(19)

dove si è fatto uso dell’identità 2 cosα cosβ = cos(α + β) + cos(α− β).



Ricordando lo spettro di una sinusoide, mostrato nella slide (12), si ha chelo spettro corrispondente è:

SAM−PI−PR(f ) =kaA

4

(e iϕ0δ(f − (fp + W )) + e−iϕ0δ(f + (fp + W ))

)+

+kaA

4

(e iϕ0δ(f − (fp −W )) + e−iϕ0δ(f + (fp −W ))

)+

+ap2

(e iϕ0δ(f − fp) + e−iϕ0δ(f + fp)

).

(20)dove si è utilizzato il suffisso PI − PR per indicare che l’espressione èvalida sia per segnali a Portante Ridotta che a Portante Intera, cioè intutti i casi in cui ap > 0.Nel caso PI si ha per il segnale considerato:

ap > max{ka |m(t)|}) ⇒ ap > kaA (21)



Nel caso di Portante Soppressa si ha:

SAM−PS(f ) =kaA

4

(e iϕ0δ(f − (fp + W )) + e−iϕ0δ(f + (fp + W ))

)+

+kaA

4

(e iϕ0δ(f − (fp −W )) + e−iϕ0δ(f + (fp −W ))

),

(22)e risultano quindi assenti gli impulsi di Dirac di ampiezza ap/2 centrati in−fp e fp che compaiono invece nel caso di PI e PR.



A partire dagli spettri di ampiezza è immediato ricavare gli spettri didensità di potenza per tutti i segnali considerati, seppure al limite perT →∞:

PAM−PI−PR(f ) =k2a

A2

2

8(δ(f − (fp + W )) + δ(f + (fp + W ))) +

+k2a

A2

2

8(δ(f − (fp −W )) + δ(f + (fp −W ))) +

+a2p4

(δ(f − fp) + δ(f + fp))

PAM−PS(f ) =k2a

A2

2

8(δ(f − (fp + W )) + δ(f + (fp + W ))+) +

+k2a

A2

2

8(δ(f − (fp −W )) + δ(f + (fp −W ))) .

(23)

La potenza dei segnali sarà quindi ottenibile come P =∫ +∞−∞ P(f )df .



La condizione imposta su ap per garantire che l’inviluppo sia semprepositivo (segnale PI ) può essere scritta al quadrato:

ap > kaA ⇒ a2p > k2aA2 = k2a2PM , (24)

dove si è tenuto conto del fatto che per il segnale m(t) considerato si ha:

PM =A2

2. (25)

Questa condizione porta però a un uso inefficiente della potenza adisposizione: per questo motivo tipicamente si considera per i segnali PIuna condizione meno stringente:

ap > kaA ⇒ a2p > k2aA2

2= k2aPM . (26)



La potenza del segnale modulato, tenendo conto della condizione”rilassata” imposta su ap e ka per i segnali PI , è:

PAM−PI =k2aPM

2+

a2p2

=k2a

A2

2

2+

a2p2

conk2a

A2

2

2<

a2p2

PAM−PR =k2aPM

2+

a2p2

=k2a

A2

2

2+

a2p2

con 0 <a2p2≤

k2aA2

2

2

PAM−PS =k2aPM

2=

k2aA2

2

2.

(27)

Potenza utile

Non tutta la potenza del segnale modulato sarà utile ai fini dellarivelazione dei simboli: solo la componente k2aPM/2 comparirà nell’SNRall’ingresso del decisore a soglia!


Segnale modulante sinusoidaleLa frazione di potenza che effettivamente sarà utile ai fini dell’SNR èquindi pari a:

η =k2aPm2

k2aPm2 +

a2p2

, (28)

e per i tre tipi di modulazione si ha:ηAM−PI <

1

21

2≤ ηAM−PR < 1

ηAM−PS = 1.

(29)

Significato di η

η è interpretabile come l’efficienza nell’utilizzo della potenza disponibile deltrasmettitore. Nel caso AM − PS tutta la potenza disponibile è potenzautile, negli altri casi una parte viene ”sprecata” sulla portante.


Segnale modulante deterministico

Consideriamo un generico segnale m(t) che rispetti le seguenti ipotesi:

m(t) reale;

m(t) di banda B finita;

m(t) a valor medio nullo:

m(t) = limT→+∞

1

T

∫ T2

−T2

m(t)dt = 0. (30)


Segnale modulante deterministicoLo spettro del segnale modulato è in questo caso:

SAM−PI−PR(f ) =ka2

(e iϕ0M(f − fp) + e−iϕ0M(f + fp)

)+

+ap2

(e iϕ0δ(f − fp) + e−iϕ0δ(f + fp)

)SAM−PS(f ) =

ka2

(e iϕ0M(f − fp) + e−iϕ0M(f + fp)

).

(31)

Detto PM(f ) è lo spettro di densità di potenza di m(t), lo spettro didensità di potenza è:

PAM−PI−PR(f ) =k2a4

(PM(f − fp) + PM(f + fp)) +

+a2p4

(δ(f − fp) + δ(f + fp))

PAM−PS(f ) =k2a4

(PM(f − fp) + PM(f + fp)) .

(32)


Segnale modulante deterministico

Volendo rappresentare gli spettri di densità di potenza si ha quindi:


Segnale modulante realizzazione di un processo

Il generico segnale m(t) sarà la realizzazione di un processo Wide SenseStationary (WSS) {m(t)} con banda B e a media nulla.Si può dimostrare che detta φM (τ) l’autocorrelazione di {m(t)} e PM(f )il corrispondente spettro di densità di potenza, si ha per il corrispondenteprocesso {s(t)} la funzione di autocorrelazione:

φS (τ) =(a2p + k

2aφM(τ))

2cos(2πfpτ) (33)

e di conseguenza lo spettro di densità di potenza:

PS(f ) =k2a4

(PM(f − fp) + PM(f + fp)) +a2p4

(δ(f − fp) + δ(f + fp)) ,(34)

analizzabile come visto nel caso di segnale deterministico.


Efficienza spettrale della modulazione AM

L’espressione dello spettro di densità di potenza ottenuta nella slide 32mostra che in PS(f ) sono presenti due repliche di PM(f ), una intorno a−fp e l’altra intorno a fp.

Questo segnale è detto per questo motivo segnale AM a Banda LateraleDoppia (BLD) o Double Side Band (DSB)

Si può essere più efficienti, evitando di trasmettere due repliche di PM(f )?

S̀ı, modificando il modulatore in modo da trasmettere una sola replica,ottenendo un segnale AM detto a Banda Laterale Unica (BLU) o SingleSide Band (SSB)


Segnali AM a Banda Laterale UnicaConsideriamo un segnale m(t) deterministico come quello di slide 29.Si assuma ora di far passare m(t) in un filtro Hh(f ) che applica al segnaleuno sfasamento di π/2, detto filtro di Hilbert:

Indicheremo con mh(t) il segnale in uscita dal filtro in risposta a m(t):

mh(t) = m(t) ∗ hh(t) (35)

Utilizzando m(t) e mh(t) come segnali modulanti per la portante in fase ein quadratura è possibile ottenere un segnale BLU con efficienza spettraledoppia rispetto a quello BLD.


Segnali AM a Banda Laterale UnicaConfrontiamo gli spettri dei segnali m(t) e mh(t):


Segnali AM a Banda Laterale Unica

Consideriamo sm(t) , kam(t) cos(2πfpt) e smh(t) , kamh(t) sin(2πfpt):

La fase di smh(t) include un doppio sfasamento rispetto a quella di sm(t):quello legato al filtro di Hilbert e quello legato al prodotto per la portantein quadratura (si veda la slide 12).


Segnali AM a Banda Laterale Unica

Consideriamo ora i segnali somma e differenza di sm(t) e smh(t):{si (t) = sm(t) + smh(t) = kam(t) cos(2πfpt) + kamh(t) sin(2πfpt)

ss(t) = sm(t) + smh(t) = kam(t) cos(2πfpt)− kamh(t) sin(2πfpt)(36)

Per effetto dello sfasamento introdotto in smh(t), in entrambi i casi unadelle due bande laterali viene eliminata, in quanto i due segnali hanno inquella banda laterale stesso modulo e fase con differenza di π.

Se si sceglie si (t) viene preservata la banda laterale INFERIORE;

Se si sceglie ss(t) viene preservata la banda laterale SUPERIORE.

In generale il segnale

s(t) = kam(t) cos(2πfpt)± kamh(t) sin(2πfpt) (37)

è detto segnale AM-BLU.


Segnali AM a Banda Laterale Ridotta

Il filtro di Hilbert hh(t) non è fisicamente realizzabile: di conseguenza èpraticamente impossibile cancellare perfettamente una banda laterale.

È però possibile adottare dei filtri hv (t) che approssimano il filtro diHilbert, arrivando a cancellare buona parte di una banda laterale.

Si ottiene cos̀ı un tipo di modulazione detta a Banda Laterale Ridotta(BLR) o Vestigial Side Band (VSB), in cui una banda laterale è preservataintegralmente e l’altra è notevolmente ridotta.

Gli schemi di modulazione AM-BLR sono stati utilizzati negli standard peril broadcasting TV sia analogici che numerici, per ridurre la bandaoccupata e allocare un maggior numero di canali.


Inviuppo complesso nei segnali AM

Ricordando che valgono le relazioni:

s (t) = Re{s+(t)

}= Re

{s(t)e i(2πfpt+ϕ0)

}⇒ s(t) = s+(t)e−i(2πfpt+ϕ0)

(38)si osserva che nel caso di segnali BLU o BLR il segnale modulato non èsimmetrico rispetto a fp e −fp, e quindi l’inviluppo complesso per talisegnali è effettivamente un segnale complesso.

Ricapitolando si ha per gli schemi di modulazione AM visti:s(t)AM−BLD = kam(t) + ap

s(t)AM−BLU = ka(m(t) + im(t) ∗ hh(t))s(t)AM−BLR = ka(m(t) + im(t) ∗ hv (t))

(39)


Demodulazione di segnali AM

La demodulazione ha l’obiettivo di riportare lo spettro del segnale in bandabase, rimuovendo la traslazione dello spettro e le eventuali altre modificheintrodotte dalla modulazione.

Demodulatore

Esistono fondamentamente tre tipi di demodulatori AM:

demodulatore di inviluppo;

demodulatore coerente (omodina);

demodulatore eterodina.


Demodulatore di inviluppo

È il demodulatore più semplice, ma è utilizzabile solo quando l’inviluppodel segnale AM è sempre positivo: solo per segnali AM-PI.

se vI (t) > vO(t) il diodo è in conduzione e l’uscita segue l’ingresso;

se vI (t) < vO(t) il diodo stacca e il condensatore inizia a scaricarsisulla resistenza.

La costante di tempo τ = RC deve essere scelta in modo che:

1 la scarica sia abbastanza lenta da non scendere troppo in un periododi sinusoide → 1/τ � fp;

2 la scarica sia abbastanza veloce da seguire fedelmente l’inviluppo delsegnale modulato → 1/τ > B.


Demodulatore coerente (omodina)

Non richiede che l’inviluppo sia sempre positivo, ma necessita di una stimadi frequenza e fase della portante: preferibilmente segnali AM-PR.

Il segnale in uscita dal mixer è:

smixed(t) = kam(t)[cos2 (2πfpt + ϕ0)

]= kam(t)

[1 + cos (2 (2πfpt + ϕ0))

2

].

(40)Il filtro passabasso, con frequenza di taglio fc � 2fp, rimuoverà lacomponente sinusoidale, lasciando la componente proporzionale a m(t).


Demodulatore eterodinaLa demodulazione è effettuata in due step usando lo schema seguente:

Il segnale in uscita dal mixer è:

sIF (t) =2s(t) cos (2πfet + ϕe) =

=2 [sf (t) cos (2πfpt + ϕ0)− sq(t) sin (2πfpt + ϕ0)] cos (2πfet + ϕe) ==sf (t) cos [2π (fp + fe) t + ϕ+]− sq(t) sin [2π (fp + fe) t + ϕ+] +

+ sf (t) cos [2π (fp − fe) t + ϕ−] + sq(t) sin [2π (fp − fe) t + ϕ−](41)

dove: {ϕ+ , ϕ0 + ϕe

ϕ− , ϕ0 − ϕe(42)


Demodulatore eterodina

Se la frequenza fe è scelta in modo da avere fp + fe e fp − fe lontane, ilfiltro HIF (f ) potrà rimuovere fp + fe lasciando la sola frequenza

fIF = fp − fe (assumendo fp > fe). (43)

Il segnale filtrato da HIF (f ) è quindi un segnale AM con stesso m(t) ma afrequenza fIF � fp e quindi più comoda da gestire.

Questo segnale potrà essere demodulato con un demodulatore coerente afrequenza fIF o di inviluppo (se il segnale di origine era PI).


Demodulatore eterodina

Il mixer si comporterà nello stesso modo per qualunque segnale in ingressoa frequenza f ∗, generando due segnali a frequenze:{

f ′ = f ∗ + fe

f ′′ = f ∗ − fe(44)

Questo può causare problemi se insieme al segnale utile entra un segnaleinterferente a frequenza

f ∗ t.c. f ′ = f ∗ + fe = fIF = fp − fe ⇒ f ∗ = fp − 2fe , fIM (45)

che passerebbe quindi il taglio introdotto da HIF (f ).

Per evitare questo problema è necessario che HRF (f ) introduca una forteattenuazione alla frequenza fIM , detta frequenza immagine di fp.


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