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Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai, tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari

1

RETI IN REGIME SINUSOIDALE

Appunti a cura dell’Ing. Stefano Usai

Tutore del corso di ELETTROTECNICA per meccanici, chimici e biomedici A. A. 2005/ 2006

Facoltà di Ingegneria dell’Università degli Studi di Cagliari

(ultimo aggiornamento 14/11/2009)


2

Introduzione: definizioni pag. 3Funzioni periodiche pag. 5Grandezza alternata e sinusoidale pag. 6Metodo simbolico per lo studio dei circuiti in regime sinusoidale pag. 13Bipoli e circuiti semplici pag. 19Funzionamento dei bipoli clettrici R, L, C in corrente continua pag. 20Funzionamento dei bipoli elettrici r, l, c in regime sinusoidale permanente pag. 21Bipolo resistivo pag. 21Bipolo induttivo pag. 23Bipolo capacitivo pag. 25 Equazioni costitutive dei componenti elementari: resistore, induttore e capacitore. pag. 27Componenti elementari: trasformatore e generatori dipendenti pag. 29Trasformatore ideale: potenza istantanea pag. 30Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in tensione) pag. 31Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in tensione) pag. 32Bipoli RLC pag. 33Ammettenza: conduttanza, suscettanza pag. 34Triangolo delle ammettenze pag. 35Impedenze in serie e in parallelo pag. 36Potenza istantanea in un bipolo pag. 38Potenza attiva, reattiva, apparente e complessa pag. 39Triangolo delle potenze pag. 41Potenza in un bipolo puramente resistivo pag. 42Potenza in un bipolo puramente induttivo pag. 42Potenza in un bipolo puramente capacitivo pag. 43Generatori reali di tensione e di corrente pag. 45Condizioni di massimo trasferimento di potenza: rendimento. pag. 46Teorema di Tellegen e di Boucherot pag. 48Applicazione del teorema di Boucherot pag. 48Analogie fra i metodi di risoluzione delle reti in regime continuo e sinusoidale pag. 50Metodi di risoluzione delle reti in regime sinusoidale pag. 51Metodo delle correnti maglia pag. 51Metodo dei potenziali di modo pag. 54Rifasamento pag. 58Modalità di rifasamento di un impianto pag. 59Risoluzione delle reti lineari in presenza di generatori con frequenza diversa pag. 63Risonanza pag. 66Risonanza serie pag. 68Risonanza parallelo pag. 79Reti due porte o bi-porta pag. 88Bi-porta attivo: teorema generalizzato di Thevenin pag. 90Definizione del bi-porta attraverso la matrice Z pag. 94Definizione del bi-porta attraverso la matrice Y pag. 95Definizione del bi-porta attraverso la matrice T pag. 96 Definizione del bi-porta attraverso la matrice inversa Ti pag. 97Potenza assorbita da un bi-porta pag. 99


3

RETI IN REGIME SINUSOIDALE INTRODUZIONE

Sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al variare del tempo con legge sinusoidale. Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con tensione sinusoidale con frequenza di:

50 Hz in Europa 60 Hz in USA.

Le tensioni sinusoidali sono molto importanti nelle applicazioni.

DEFINIZIONI

Funzione periodica nel tempo t, u(t): è una funzione che rappresenta una grandezza che assume valori uguali ad intervalli di tempo pari al suo periodo T

)nTt(u)t(u += Interin∈∀ (1)

u1(t)

t T


4

Si definiscono:

Valore medio u(t) nel periodo T:

∫=T

0T dt)t(u

T1Um (2)

Valore medio u(t) in un qualunque intervallo di tempo τ:

∫=τ

τ τ0

dt)t(u1Um (3)

Valore efficace o valore quadratico medio:

∫=T

0

2 dt)t(uT1U (4)


5

FUNZIONI PERIODICHE Una qualsiasi funzione tale che soddisfi la relazione (1) e cioè: )nTt(u)t(u += Interin∈∀ può essere espressa mediante la serie di Fourier a condizione che siano verificate le condizioni di Dirichelet:

1. se è discontinua presenti un numero finito di discontinuità nel periodo T

2. abbia un valor medio finito nel periodo T :

∞<= ∫T

0T dt)t(u

T1Um

3. presenti un numero finito di massimi positivi e negativi.

Lo sviluppo di u(t) nella serie di Fourier in forma reale è:

∑∑∞

=

∞

=

++=1n

n1n

n0 )tnsin(b)tncos(a

2a)t(u ωω (5)

con:

∫−

=2T

2T

n dt)tncos()t(uT2a ω n=0,1,2,3….. (6)

∫−

=2T

2T

n dt)tnsin()t(uT2b ω n=0,1,2,3….. (7)


6

Si definisce: • Alternata o alternativa una grandezza periodica il cui

valor medio nel periodo è uguale a zero:

∫ ==T

0m 0dt)t(u

T1U

T (8)

• Fattore di forma Kf di una grandezza alternativa il rapporto fra il suo valore efficace e il suo valore medio

nel semiperiodo:

2Tm

f UUK = (9)

Una grandezza alternativa è sinusoidale se varia nel tempo con legge sinusoidale:

)tsin(U)t(u M αω += (10) Essa è caratterizzata da tre parametri, ossia per definirla in maniera univoca sono necessari tre parametri:

1. AM ampiezza o valore massimo di picco di a(t) con le stesse dimensioni di a(t); cioè se a(t) è una corrente AM si misurerà in Ampere, se a(t) è una tensione AM si misurerà in Volt, e così via.

u

t


7

2. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

srad

T2f2 ππω pulsazione, legata alla frequenza

f e al periodo [ ]sHz1

f1T =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

3. α [ ]rad fase iniziale e [ ]s

sradradt =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ωα

α

intervallo di tempo corrispondente alla fase α.

N.B. (ωt+α) [ ]rad rappresenta la fase istantanea della grandezza sinusoidale. Per t=0 risulterà (ωt+α) = α. Si definisce:

Periodo T l’intervallo di tempo che intercorre fra due istanti successivi aventi la stessa fase istantanea


8

Osservazione

ωα

α =t ; in funzione del valore dell’angolo α avremo i

seguenti casi:

α=0 la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per

00t ==ωα u(0)=UMsin(ωt+α)=0

Sinusoide con fase iniziale nulla

-25-20-15-10

-505

10152025

Tempo

U

α<0 la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per

0t <−

=ωα

α u(0)=UMsin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ωα <0


9

[ ]ondisectωα

α =

α>0 la u(t)=0 per (ωt+α)=0, ossia per:

0t >=ωα

α u(0)=UMsin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωα >0

[ ]ondisectωα

α =

Se la fase iniziale è positiva la sinusoide è in anticipo, in caso contrario la fase iniziale è negativa e la sinusoide risulta in ritardo.


10

DETERMINAZIONE DEL VALORE EFFICACE DI UNA GRANDEZZA SINUSOIDALE u(t)

Definizione di valore efficace

∫=T

0

22M dt)t(sinU

T1U ω (11.a)

Dalle formule trigonometriche per la duplicazione degli archi:

xx 2sin212cos −= da cui 2

2cos1sin 2 xx −=

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=T

0

2M dt

2t2cos1U

T1U ω (11.b)

Inoltre:

TT ttdtt

00 42sin

222cos1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=∫

−ωωω e ricordando che ω=

Tf ππ 22 = si

ha che la soluzione del precedente integrale risulta essere:

224

22sin

20

24

22sin

2T

T

T

T

TTT

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−− π

π

π

π


11

La (11.b) diventerà:

2U

2TU

T1U M2

M == (12)

Il valore medio UT di una grandezza sinusoidale u(t) nel semiperiodo sarà:

∫ +=2T

0Mm dt)tsin(U

T2U

2T

αω (13)

Operando un cambiamento di riferimento:

2T

0M

2T

0Mm

tcosUT2dt)tsin(U

T2U

2T ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−== ∫ ω

ωω

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=ωω

ω

ω 0cos2Tcos

UT2U Mm

2T

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

ωω

ωωπ

ωω

π

11UT2

1cosUT212

TT2cos

UT2U

M

MMm2T


12

= MMMM U636.0U2

T22U

T22U

T2

===ππω

Il fattore di forma di una grandezza sinusoidale sarà:

11.1U22

U

UUK

M

M

mf

2T

===

π

(14)


13

METODO SIMBOLICO PER LO STUDIO DEI CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

Se una rete lineare è alimentata da un generatore sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α), risulteranno sinusoidali tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei diversi rami del circuito. L’importanza delle eccitazioni di tipo sinusoidale è legata al fatto che: • qualsiasi funzione periodica nel tempo o alternativa è

sviluppabile in una serie di funzioni del tipo:

ei(t)=EMisin(ωit+αi) con i

ii T2f2 ππω == con pulsazione

ωi=iω per i=0, 1 ,2 ,….(sviluppo in serie di Fourier) e che

• per circuiti lineari vale il principio di sovrapposizione

degli effetti. Per tali motivi lo studio di questi circuiti si riconduce allo studio di circuiti alimentati da un solo segnale sinusoidale (tanti circuiti quante sono le componenti dello sviluppo di Fourier), per poi applicare il principio di sovrapposizione degli effetti per tutti i contributi delle cause, o eccitazioni, alle diverse frequenze.


14

In base delle considerazioni già fatte, poiché una funzione sinusoidale e(t)=EM sin(ωt+α) è definita da tre parametri (ampiezza EM, pulsazione ω, fase α) è possibile semplificare notevolmente i calcoli trasformando:

l’insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca.

Insieme delle funzioni sinusoidali S u(t)=UMsin(ωt+α) (15)

Insieme delle funzioni complesse C

U(jωt)=UM e j(ωt+α) (16) Le operazioni tra grandezze sinusoidali, che richiedono l’applicazione di tutte le formule relative alla trigonometria, vengono così semplificate in operazioni più semplici da eseguire fra grandezze simboliche complesse. La corrispondenza risulta anche isomorfa, cioè conserva le operazioni fondamentali.


15

Relazioni tra le grandezze sinusoidali, i corrispondenti vettori rotanti nella rappresentazione complessa e i fasori della rappresentazione fasoriale

Rappresentazione sinusoidale )tcos(E)t(e M αω +=

Rappresentazione complessa )t(jeE)tj(E Mαωω +=

Ricordando che 2

cosαα

αjj ee −+

= avremo:

2e)eE(e)eE(

2eeeeE

2eeE)tcos(E)t(e

tjjM

tjjM

jtjjtj

M

)t(j)t(j

MM

ωαωα

αωαω

αωαωαω

−−

−−

+−+

+=

=+

=

=+

=+=

Ponendo: αjM eEE =

__

e αjM eEE −=

__* , si ricava:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=+=

−tj

__tjtj

M eERe2

e* EeE)tcos(E)t(e ωωω

αω

(17) Ricordando che se IR jIII +=

__

si ha:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==−++=+

____*

__

Re22 IIjIIjIIII RIRIR (18)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==+−+=−

____*

__

Im22 IjjIjIIjIIII IIRIR (19)


16

Quindi: 2

IIIRe

__*

____ +

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ (20)

j2IIIIm

__*

____ −

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ (21)

Dall’espressione della rappresentazione complessa si ottengono le seguenti relazioni:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=−=+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=+=+=

−

−

__tjtj

__

tj

__

M

__tjtj

__

tj

__

M

EeImej2

Eej2

E)tsin(E)t('e

EeRee2Ee

2E)tcos(E)t(e

ωωω

ωωω

αω

αω (22)

che possono essere visualizzate attraverso la seguente rappresentazione grafica: tjeE ω

__

e(t)’= EMsin(ωt+α)

tjeE ω

2

__

(ωt+α)

tjeE ω−

2

__

e(t)=EMcos(ωt+α)


17

Si vede come e(t) risulta essere: la proiezione sull’asse reale del vettore rotante e uguale in ogni istante alla somma di due vettori rotanti con velocità angolare opposta jωt e

-jωt, di modulo 2

EM pari alla metà dell’ampiezza del

vettore rotante associato )tj(E ω . Più grandezze sinusoidali di uguale frequenza possono essere rappresentate con i fasori, ossia considerando i vettori rotanti associati alla rappresentazione complessa relativi all’istante t=0. Ciò è possibile perché grandezze complesse della stessa frequenza ruotano mantenendo fra loro lo stesso sfasamento al variare del tempo. Quindi:

1. Rappresentazione sinusoidale )tsin(E)t(e M αω +=

2. Rappresentazione complessa )t(jeE)tj(E M

αωω +=


18

3. Rappresentazione fasoriale αj

M eEE =__

In questo modo ad ogni grandezza sinusoidale corrisponde una grandezza complessa con modulo pari al valore massimo (o efficace) e fase pari alla fase iniziale. • Con la rappresentazione fasoriale non viene espresso

il terzo parametro ω, perché è definito a priori per tutte le grandezze aventi la stessa pulsazione e quindi rappresentabili sullo stesso piano complesso.

• Grandezze di pulsazioni diverse non possono essere

rappresentate sullo stesso piano perché in ogni istante varia lo sfasamento relativo fra loro.


19

BIPOLI E CIRCUITI SEMPLICI

Ipotesi: circuito in regime sinusoidale permanente. Se ad un bipolo si applica una tensione sinusoidale u(t), esso assorbirà una corrente sinusoidale i(t) sfasata di un certo angolo che dipende dalla natura stessa del bipolo.

Lo sfasamento fra le due grandezze può essere positivo o negativo ed è espresso dalla relazione ϕ=αV-αI ossia dalla differenza fra le fasi.

⎩⎨⎧

+=

+=

)tsin(I)t(i)tsin(U)t(u

IM

VM

αωαω

I

V

II

UU

α

α

∠=

∠=

2II

2UU

M

M

=

=

u(t)

i(t)


20

FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI R, L, C IN CORRENTE CONTINUA

Resistore o resistenza ideale U=RI (1) Vale la legge di Ohm Capacitore o condensatore ideale

0RUIR ==⎯→⎯∞= (2)

Induttore o induttanza ideale

0I;0U0R ==⎯→⎯= (3) Il condensatore ideale in corrente continua equivale ad un interruttore aperto; non circola corrente (funzionamento a vuoto). L’induttore ideale in corrente continua equivale ad un interruttore chiuso privo di resistenza; la tensione ai capi del bipolo è nulla (funzionamento in corto circuito).

U

U

U

U

U


21

FUNZIONAMENTO DEI BIPOLI ELETTRICI R, L, C IN REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE

Bipolo resistivo R(Ω)= Resistenza

(1)

MM RIU = tsinU2)t(uU2U M ω=⎯→⎯= (2)

u(t)

i(t)

tsinUtsinRI)t(Ri)t(utsinItsinI2)t(i

MM

M

ωωωω===

==


22

Utilizzando la rappresentazione fasoriale:

0UU__∠= (Volt)

0II__∠= (Ampere) I U

__IRU = (3)

con 2

II;2

UU MM == ;

Le due grandezze risultano in fase pur avendo dimensioni e ampiezze diverse.


23

Bipolo induttivo L(Henry) = Induttanza

Per la legge di Lenz: dtdiL)t(uL = (4)

u(t)

i(t)


24

Poiché tsinI)t(i M ω= , avremo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2tsinU

2tsinLItcosLI)t(u MMML

πωπωωωω

(5) con MM LIU ω= (6) Si definiscono: Reattanza induttiva: fL2LX L πω == (Ω) (7)

Suscettanza induttiva: fL2

1L

1BL πω== (S) (8)

Utilizzando la rappresentazione fasoriale:

2UU

_ π∠= (Volt) U

0II_

∠= (Ampere) I

2II;

2UU MM

L ==

Inoltre: ( )_

L_

ILj2

LIU ωπω =∠= (9)


25

Bipolo capacitivo C (Farad) = Capacità o capacitore La relazione che lega tensione e corrente in un bipolo capacitivo è duale a quella trovata per il bipolo induttivo:

dtduC)t(i = (10)

Quindi se tsinU)t(u M ω=

u(t)

i(t)


26

( )

(11) 2

tsinI

2tsinCUtcosCU)t(i

M

MM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

πω

πωωωω

con MM CUI ω= (12)

MM IC1Uω

= (13)

Si definiscono:

Reattanza capacitiva: C1XC ω

= (Ω) (14)

Suscettanza capacitiva: CBC ω= (S) (15)

Con i valori efficaci: IXIC1U C==ω

(16)

utilizzando la rappresentazione fasoriale:

0UU__∠= (Volt) I

2II__ π∠= (Ampere)

U

__UCjI ω= (17)

__I

C1jUω

−= (18)


27

EQUAZIONI COSTITUTIVE DEI COMPONENTI ELEMENTARI

1. Resistore:

equazione costitutiva in c.a.: )t(Ri)t(u = equazione costitutiva in c.c. : RIU =

2. Induttore

equazione costitutiva in c.a. dt

)t(ddt

)t(diL)t(u Φ==

equazione costitutiva in c.c. La corrente I non varia e la tensione U=0.

L’induttore equivale ad un interruttore chiuso o ad una resistenza di valore nullo.

N.B. Φ=LI (Weber)

u(t)

i(t)

u(t)

i(t)


28

3. Capacitore

equazione costitutiva in c.a.: dt

)t(dqdt

)t(duC)t(i ==

equazione costitutiva in c.c.: La tensione non varia nel tempo e la corrente è sempre nulla. Il capacitore equivale ad un interruttore aperto o ad una resistenza di valore infinito.

N.B. Q=CV:quantità di carica (Coulomb)

u(t)

i(t)


29

Fra i componenti elementari principali esistono altre tre categorie:

1. Trasformatore ideale 2. Generatore ideale di tensione (pilotato in corrente o in

tensione) 3. Generatore ideale di corrente (pilotato in corrente o in

tensione)

Trasformatore ideale

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

21

21

in1i

nuu (4) 1-1’ = morsetti primari; 2-2’ = morsetti secondari

n = rapporto di trasformazione (è un numero reale) Questo doppio bipolo è descritto dalle relazioni (4) utilizzando: • la convenzione degli utilizzatori per la coppia di morsetti di ingresso

(1-1’) e • la convenzione dei generatori per la coppia di morsetti in uscita (2-2’).

U1 U2


30

La potenza istantanea è data dalla seguente relazione:

)t(piuin1nuiu)t(p 22222111 ==== (5)

La relazione (5) indica che:

il trasformatore è trasparente alle potenze (potenza in ingresso pari alla potenza in uscita), mentre variano tensioni e correnti, che hanno valori in ingresso e in uscita in proporzione mutuamente inversa.

Se eabbassatororetrasformat:uu1n 21 −>⎯→⎯> Se elevatoreoretrasformat:uu1n 21 −<⎯→⎯< Se isolamento di oretrasformat:uu1n 21 =⎯→⎯=

Il trasformatore di isolamento viene utilizzato per separare una parte del circuito da un’altra per motivi principalmente dovuti alla sicurezza elettrica.

Essendo )t(piuiu)t(p 222111 === la potenza assorbita dal doppio bipolo è 0iuiu)t(p 2211 =+= , ossia la potenza entrante è uguale a quella uscente. In base a queste considerazioni risulta che: il trasformatore ideale è un elemento passivo e non dissipativo, non è dotato di stato, in quanto sia le tensioni che le correnti primarie e secondarie sono legate da relazioni algebriche e non differenziali (non ci sono derivate temporali, quindi non si può parlare né di condizioni iniziali, né di variabili di stato). La base di definizione è mista: (u1;i2) o (u2;i1). Questo quadripolo ideale è utile per modellare componenti reali.


31

Generatore ideale di tensione controllato

Generatore di tensione pilotato in corrente (CCVS: Current Controlled Voltage Source) [ ]

enzatransimpedk Ω

Generatore di tensione pilotato in tensione (VCVS: Voltage Controlled Voltage Source)

[ ]adβ

Altro simbolo previsto dalle norme:

UβU

+ -

I

Ik


32

Generatore ideale di corrente controllato

Generatore di corrente pilotato in corrente (CCCS:Current Controlled Current Source) [ ]adα

Generatore di corrente pilotato in tensione (VCCS: Voltage Controlled Current Source) [ ]Siemensg

transammettenza Altro simbolo previsto dalle norme: Questi ultimi quattro componenti sono attivi.

U Ug

I

Iα


33

BIPOLO RLC

CLRAB UUUU ++= (1)

( )[ ]IXXjRIjXIjXIRU CLCLAB −+=−+= (2) Introducendo il concetto di impedenza avremo:

IZU AB &= (N.B. Z& è un operatore complesso) (3) ( )2

CL2 XXRZZZ −+=⎯→⎯∠= ϕ& modulo di Z& (4)

R

XXarctan CLZ

−=ϕ argomento di Z& (5)

R = Z cosϕz (6)

X = Z sinϕz= R tanϕz (7)

U

UCULUR


34

• Se XL-XC >0 prevale il fenomeno induttivo e la corrente è in ritardo rispetto alla tensione

• Se XL-XC <0 prevale il fenomeno capacitivo e la corrente è in anticipo rispetto alla tensione

Ammettenza

jBGZ1Y +==&

& ; (8) G = conduttanza (Siemens)

B = suscettanza (Siemens) YYY ϕ∠=& (con notazione fasoriale)

ATTENZIONE:

X1j

R1

ZXj

ZR

XRjXR

jXR1Y 2222 +≠−=

+−

=+

=& (9)

Z1

Z1

ZZ

ZX

ZRY 24

2

4

2

4

2===+= (10)

U


35

ϕϕ −=−=−=+

−=

RXarctan

RXarctan

ZR

ZX

arctan

2

2Y (11)

Quindi: ZY ;Z1Y ϕϕ −== (12)

Analogamente a quanto fatto per le impedenze, si definisce un triangolo delle ammettenze:

In regime sinusoidale due bipoli si dicono equivalenti se presentano ai loro morsetti la stessa impedenza equivalente, ossia il rapporto fra il fasore della tensione e quello della corrente é lo stesso.


36

1_

1_

1

I

UZ =&

2_

2_

2

I

UZ =&

Se 21

__

21___

21_

ZZIIIUUU && =⎯→⎯==⎯→⎯== IMPEDENZE IN SERIE E IN PARALLELO

Come in corrente continua, valgono relazioni analoghe a quelle viste per il partitore di tensione e di corrente realizzati in regime permanente con i resistori.

Serie: ∑=

••••••=++++=

n

1iin321eq ZZ....ZZZZ (1)

_

n

1ii

i_

i UZ

ZU

∑=

•

•

= (2)

U1 U2

U1 U2 U3 Un


37

Parallelo: n321eq Z

1...Z1

Z1

Z1

Z1

&&&&&++++= (3)

n321eq Y...YYYY &&&&& ++++= (4)

_

n3__

2

_

1

_I...IIII ++++= (5)

_

n

1ii

ii

_I

Y

YI

∑=

=&

& (6)

Nel caso particolare di due sole impedenze in parallelo avremo: (7)

_

21

1_

21

2_

1 IYY

YIZZ

ZI ••

•

••

•

+=

+=

_

21

2_

21

1_

2 IYY

YIZZ

ZI ••

•

••

•

+=

+=

••

•••

+=

21

21*

ZZ

ZZZeq (8)

U


38

POTENZA ISTANTANEA IN UN BIPOLO Si definisce potenza istantanea p(t):

( )ϕωω −== tsintsinIU)t(i)t(u)t(p MM (1)

essendo ( ) ( )[ ]βαβαβα −−+−= coscos21sinsin

( ) ( )[ ]βαβα +−−= coscos21 (2)

( ) =−−= ϕωϕ t2cos2IUcos

2IU)t(p MMMM

( ) =−−= ϕωϕ t2cos2

I2

Ucos2

I2

U MMMM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

2t2sinUIcosUI πϕωϕ (3)

essendo; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

2sincos παα (4)

Se si alimenta un bipolo passivo in regime sinusoidale le tensioni e le correnti relative saranno:

tsinU)t(u M ω= ( )ϕω −= tsinI)t(i M

u(t)

i(t)

ϕ U

I


39

• ϕcosUI : é costante e coincide con il valor medio della potenza istantanea p(t) nel semiperiodo, essa é la potenza attiva o reale e cos ϕ è il fattore di potenza.

La potenza attiva si indica con P. Si ha:

P ≥ 0 per 22πϕπ

≤≤−

P < 0 per 2

32

πϕπ<<

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2t2sinUI πϕπ è la potenza fluttuante di

pulsazione doppia 2ω rispetto alla potenza attiva. Questo termine non da contributo di potenza attiva.

POTENZA ATTIVA, REATTIVA, APPARENTE E COMPLESSA

Potenza attiva ϕcosUIP = [ ]Watt [ ]W (1)

Potenza reattiva ϕsinUIQ = [ ]VAR o [VoltAmpereReattivi] (2)

Potenza apparente UIS = [ ]VoltAmpere [ ]VA (3)

Potenza complessa ∗

=+=__IUjQPS& [ ]VA (4)


40

Dimostrazione: ϕjeZjXRZ && =+=

Se ϕϕ j_

j_

IeIIeI I −∗

=⎯→⎯=

Allora ( ) Ijj__

eeZIIZU ϕϕ== &

ϕϕϕϕ jjjj UIeIe)eUe(UIjQPS I ===+= −∗& = ϕϕ sinjUIcosUI + Altre relazioni utili:

UIsinIUcosIUQPS 22222222 =+=+= ϕϕ (5)

ϕϕϕ

cosPScosScosUIP =⎯→⎯== (6)

ϕϕϕ

sinQSsinSsinUIQ =⎯→⎯== (7)

ϕtanPQ = (8)

ϕcos_

I _

U ϕ

_

I ϕsin

_

I

Il grafico si riferisce alla ipotesi di carico ohmico-induttivo

u(t)

i(t)


41

La potenza attiva ϕcosVIP = sarà il prodotto della tensione per la componente della corrente nella direzione

della tensione: ϕcosI_

La potenza reattiva ϕsinVIQ = sarà il prodotto della tensione per la componente della corrente nella direzione

perpendicolare (o in quadratura) alla tensione: ϕsinI_

Analogamente a quanto fatto per impedenze e ammettenze si definisce un triangolo delle potenze:

S


42

Potenze istantanea, attiva, reattiva e apparente nel caso si bipoli puramente resistivi, induttivi o capacitivi.

1. Potenze in un bipolo puramente resistivo

Se il bipolo è resistivo non c’è sfasamento fra tensione e corrente:ϕ=0 (9)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

2t2sinUIUI

2t2sinUIcosUI)t(p πωπϕωϕ

∫ ====T

0

22

RURIcosUIdt)t(pP ϕ (10)

PS00sinUIsinUIQ =⎯→⎯=== ϕ (11)

2. Potenze in un bipolo puramente induttivo Se il bipolo è induttivo lo sfasamento fra tensione e

corrente: 2πϕ = (12)

( )πωπϕωϕ −+⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+= t2sinUI0UI

2t2sinUIcosUI)t(p

∫ ===T

0

0cosUIdt)t(pP ϕ (13)

L

22 QS

LULIUI

2sinUIsinUIQ =→=====

ωωπϕ (14)


43

3. Potenze in un bipolo puramente capacitivo

Se il bipolo è capacitivo lo sfasamento fra tensione e

corrente: 2πϕ −= (15)

( )t2sinUI0UI2

t2sinUIcosUI)t(p ωπϕωϕ +⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+=

∫ ===T

0

0cosUIdt)t(pP ϕ (16)

C22 QSCUI

C1UI

2sinUIsinUIQ =→=−=−=−== ω

ωπϕ

(17)


44


45

GENERATORI REALI Generatore reale di tensione. Può essere simulato con un generatore ideale di tensione

con in serie l’impedenza interna.

Generatore reale di corrente. Può essere simulato con un generatore ideale di corrente

con in parallelo l’ammettenza interna.


46

•

•

==i

i

Z

EYEJ_

__

è la relazione che consente di passare da un generatore di tensione a un generatore di corrente equivalente o viceversa, in base ai teoremi di Thevenin e Norton. CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA

iii jXRZ +=•

(1)

jXRZ +=•

(2)

••+

=ZZ

EIi

__

(3)

U


47

La potenza trasferita dalla resistenza al carico sarà:

( ) ( )2i2

i

22

uXXRR

ERRIP+++

==

(4) Tale potenza sarà massima per:

iRR = e per iXX −= ossia per ∗••

= iZZ Per dimostrarlo basta esprimere Pu in funzione di R considerando costante X, e poi in funzione di X considerando costante R, derivare le due espressioni e quindi uguagliarle a zero.

iu R R0

dRdP

=⎯→⎯= con X = cost

iu XX0

dXdP

−=⎯→⎯= con R = cost

Il rendimento complessivo η sarà ridotto del 50%:

2

2

e

u

RI2RI

PP

rogatae potenzatilizzatau potenza

===η


48

TEOREMA DI TELLEGEN

*IUjQPS__

=+=•

è la potenza complessa. Per una rete lineare in regime sinusoidale vale il teorema di Tellegen secondo il quale:

( ) 0S0jQPIUl

1i

_

i

l

1iii

l

1i

__=⎯→⎯=+= ∑∑∑

===

∗

(1)

Poiché deve essere valida la (1) sarà:

0Q 0Pl

1ii

l

1ii == ∑∑

==

(2)

Le relazioni (2) esprimono il teorema di conservazione della potenza attiva e reattiva, chiamato Teorema di Boucherot. Separando i generatori dagli altri bipoli elementari passivi, il teorema di Tellegen può essere così enunciato: la somma delle potenze attive (o reattive) generate deve essere uguale alla somma delle potenze attive (o reattive) assorbite. Con l sono stati indicati i lati della rete a cui è associato un grafo con l lati orientati. In altre parole il teorema mostra come il vettore delle tensioni e delle correnti sono fra loro ortogonali, infatti se

0*IU__

= , allora i vettori _

U e *I_

sono ortogonali. Il teorema di Tellegen è una delle espressioni del principio di conservazione dell’energia, da esso discende che la somma delle potenze attive (reattive) erogate è uguale alla somma delle potenze attive (reattive) assorbite.


49

Applicazione del TEOREMA DI BOUCHEROT

1U = tensione ai morsetti dell’alimentazione 2U = tensione ai morsetti dell’utilizzatore

P1 = potenza attiva erogata Q1= potenza reattiva erogata P2 = potenza attiva assorbita dall’utilizzatore Q2= potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore PR = potenza attiva assorbita dalla linea QX= potenza reattiva assorbita dalla linea

22

2R1 PRIPPP +=+= (1)

22

L2X1 QIXQQQ +=+= (2)

Poiché IUSIIUQPS

2

2222

22

222 ==⎯→⎯=+= (3)

Da cui ISUIUQPS 1

1112

12

11 =⎯→⎯=+= (4)

Lo sfasamento fra U1 e I1 è dato da :

1U 2U


50

1

11 P

Qarctan=ϕ (5)

ANALOGIE FRA I METODI DI RISOLUZIONE DELLE RETI IN REGIME CONTINUO E SINUSOIDALE

La risoluzione delle reti sinusoidali è basata sui teoremi visti per le reti in corrente continua, valgono quindi:

La legge di Ohm Il principio di sovrapposizione degli effetti I teoremi di Thevenin e Norton Il metodo di risoluzione delle correnti di maglia Il metodo di risoluzione dei potenziali di nodo Il teorema di Millman.

Quindi le espressioni analitiche delle leggi, teoremi e principi sono generalmente analoghe a quelle valide per il regime permanente, basta far corrispondere le grandezze corrispondenti secondo il seguente schema:

grandezze in corrente continua corrente alternata

U tensione U tensione I corrente I corrente R resistenza •

Z impedenza G conduttanza •

Y ammettenza


51

3.METODI DI RISOLUZIONE DELLE RETI IN REGIME SINUSOIDALE

3.1 Metodo delle correnti di maglia

Il metodo discende dalle equazioni di Maxwell, quindi dalla solenoidità delle correnti. Per applicarlo si introducono delle correnti fittizie che siano di per sé solenoidali. Procedimento

1. Si sceglie un albero sul grafo 2. Si assumono come variabili ausiliarie le correnti di

maglia che corrispondono alle correnti nei rami di co-albero, con le rispettive orientazioni l-(n-1)si scrive il sistema risolvente determinando la matrice dei coefficienti (complessi) e il vettore dei termini noti nel modo seguente:

0ZZn

1iiii >=∑

=

•• sempre

con iiZ•

= impedenza della maglia i-esima o autoimpedenza n = numero delle impedenze della maglia i-esima

jZZjiZm

1jij ∑

=

••==

con ijZ•

= impedenza del ramo comune alle maglie i e j o mutua impedenza m = numero delle impedenze della maglia i-esima


52

0Zij >& se i_I e j

_I percorrono il ramo ij con verso concorde

0Zij <& se i_I e j

_I percorrono il ramo ij con verso discorde

∑=

=ir

1i

_

ii_

EU dove gli Ei sono i generatori di presenti nel

ramo i e ri é il numero di generatori di tensione presenti nel ramo i-esimo. Il segno delle tensioni imposte dai generatori è positivo se il generatore, considerato da solo, fa fluire una corrente concorde con il verso di percorrenza della maglia, negativo in caso contrario.

n

2

1

n

2

1

nnn2n1

2n2221

1n1211

U:UU

I.II

Z...ZZ......

Z...ZZZ...ZZ

=

&&&

&&&

&&&

In presenza di generatori di corrente, bisognerà considerare non solo il contributo dei generatori di tensione, ma anche quello dei generatori di corrente, per cui in generale si ha:

jI_

jU_

j_

UUU += dove:

jU_

U dovuta ai generatori di tensione presenti nella maglia;

jI_

U dovuta ai generatori di corrente presenti nella maglia

( ∑= YIU j_

jI_

&)


53

N.B. j

j_

j_

Y

IE •= e j

j

Y

1Z •

•=

Questa convenzione è sempre possibile se i generatori sono reali. In presenza di generatori ideali di corrente, la tensione ai loro capi è incognita: per non aumentare il numero delle incognite con la conseguente necessità di introdurre una nuova equazione per ciascun generatore ideale, si deve far in modo di scegliere la corrente di maglia coincidente con la corrente imposta dal generatore.


54

Metodo dei potenziali di nodo Tale metodo è derivabile da quello su base maglie utilizzando la dualità e sostituendo le ammettenze ijY& alle impedenze ijZ& , le correnti impresse dai generatori di

corrente i_I alle tensioni impresse dai generatori di tensione

i_E , le tensioni ai nodi i

_U (rispetto ad un nodo preso come

riferimento) alle correnti di maglia i_I .

Infatti, per ogni generico ramo, applicando la legge di Ohm generalizzata avremo:

ij

j_

i_

ij

ij_

ij_

ij_

ijij_

j_

i_

Z

UU

Z

EIIZEUU ••−

+=⎯→⎯−=− &


55

Procedimento

1. Si sceglie su un albero il grafo orientato 2. Si assumono come variabili ausiliarie i potenziali ai

nodi dell’albero (escluso il nodo che verrà preso come riferimento), quindi avremo n*=n-1 variabili, indicando con n il numero di nodi della rete

3. Si scrive il sistema risolvente costituito da equazioni delle correnti per i tagli fondamentali associati all’albero scelto, ossia si scrive il sistema risolvente determinando la matrice dei coefficienti nel seguente modo:

*n

2

1

*n

2

1

*n*n2*n1*n

*n22221

*n11211

I.II

U.UU

YYY......

Y...YYY...YY

=

&&&

&&&

&&&

iiY& è l’ammettenza propria, pari alla sommatoria delle singole ammettenze dei rami i e j che fanno capo al nodo i-esimo.

0Yij <& sempre, é l’ammettenza equivalente del ramo ij che è connesso al nodo i.


56

i_I è il componente i-esimo del vettore dei termini noti, pari alla somma algebrica delle correnti imposte dai generatori di corrente e, se ce ne fossero, di tensione, che fanno capo al nodo i.

Si usa la seguente convenzione:

0I i_> se la corrente imposta dal generatore è entrante

nel nodo i-esimo

0I i_< se la corrente imposta dal generatore è uscente

dal nodo i-esimo 4. Risolvere il sistema calcolando le tensioni dei nodi

rispetto al nodo assunto come riferimento. 5. Determinare la tensione ai capi degli altri rami del

circuito come differenza fra i potenziali dei nodi ai quali tali rami sono connessi.

In presenza di generatori di tensione, bisognerà considerare non solo il contributo dei generatori di corrente, ma anche quello dei generatori di tensione.

jI_

jV_

j_

III += dove:

jV_I è il contributo dei generatori di tensione presenti nella maglia

jI_I è il contributo dei generatori di corrente presenti nella maglia


57

N.B. j

j_

j_

YIE&

= e j

j Y1Z&

& =

Questa convenzione è sempre possibile se i generatori sono reali. Nel caso ci fossero generatori ideali di tensione, la corrente da loro erogata è incognita: per non aumentare il numero delle incognite con la conseguente necessità di introdurre una nuova equazione per ciascun generatore ideale, si deve far in modo di scegliere uno dei potenziali nodali coincidente con la tensione imposta dal generatore. Se non è possibile occorre scrivere una nuova equazione in modo da poter risolvere con unicità il problema.


58

RIFASAMENTO

4.1 GENERALITA’

LL jXRZ +=•

(1)

ϕ∠=+=•

UU ZjXRZ con 22U XRZ += (2)

_

L

_IZU &=∆ caduta di tensione nella linea (3)

2JL RIP = potenza dissipata nella linea (4)

ϕcos_

I _

U ϕ

_

I ϕsin

_

I

1U 2U U∆


59

All’aumentare della corrente I aumentano sia la caduta di tensione sia la potenza dissipata in linea. L’ente erogatore dell’energia elettrica dovrebbe spendere ulteriormente, per produrre una aliquota di energia che viene dissipata lungo la linea per effetto Joule, o aumentare la sezione dei conduttori per realizzare linee con resistenza più bassa in modo da ridurre le perdite, come dimostrato dalla relazione (4). Per tali motivi l’ente erogatore ha fissato dei limiti per il fattore di potenza degli impianti utilizzatori, al di sotto dei quali l’utente viene costretto a pagare una penale o, nei casi più gravosi, a rifasare.

cosϕ ≥0.9 : nessuna penale 0.7≤ cosϕ ≤0.9:pagamento di una penale

proporzionale a ∫∫

T

T

Pdt

Qdt con T che

rappresenta il periodo di fatturazione cosϕ ≤0.7 : obbligo di rifasamento dell’impianto.

MODALITA’ DI RIFASAMENTO DI UN IMPIANTO

Per rifasare una linea si inserisce in parallelo al carico una batteria di condensatori. Inserendo la batteria di condensatori il carico sarà alimentato con la stessa corrente richiesta I, mentre nella linea circolerà una corrente:

C___III += .


60

Triangolo delle potenze Si nota che ϕϕ <'

PQarctan=ϕ mentre

PQQ

arctan' c−=ϕ (1)

1U 2U U∆

2U


61

Per determinare il valore della capacità della batteria di condensatori C e il valore della potenza reattiva capacitiva Qc necessari per rifasare ad un certo fattore di potenza si utilizzano le seguenti relazioni:

Potenza reattiva della batteria di condensatori

( )'tantanPQ'QQc ϕϕ −=−= (2) Dimostrazione:

PQQ

'tan c−=ϕ da cui cQQ'tanP −=ϕ ;

inoltre dal triangolo delle potenze si ha Q'tanP =ϕ ; quindi si risale alla (2) con semplici passaggi matematici.

Capacità della batteria di condensatori

( )222

c

U'tantanP

UQ'Q

UQC

ωϕϕ

ωω−

=−

== (3)

I carichi che richiedono un rifasamento sono in genere:

Motori asincroni Lampade a scarica Saldatrici con trasformatore Forni ad induzione


62

Il rifasamento può essere:

R. centralizzato, se si usa un’unica batteria di condensatori posta a monte dei vari carichi inseriti in una rete

R. distribuito, se si rifasa ogni singolo carico che lo richieda.

In genere si usa il rifasamento centralizzato quando i carichi si inseriscono tutti contemporaneamente; quello distribuito quando i carichi non vengono inseriti contemporaneamente. Per quanto riguarda i costi, chiaramente il rifasamento distribuito è il più costoso, ma garantisce un risultato migliore. La soluzione che si usa sovente è il rifasamento “a gradini”, che consente di ottenere una potenza reattiva variabile (a gradini) in funzione della richiesta della rete collegata a valle della batteria di condensatori. Per evitare dimensionamenti errati è bene conoscere il diagramma di carico della rete da rifasare. Il massimo tornaconto economico si ottiene quando è massima la differenza fra il vantaggio per le minori perdite che si ottengono dopo il rifasamento e l’onere relativo alla installazione della batteria di condensatori.


63

RISOLUZIONE DELLE RETI LINEARI IN PRESENZA DI GENERATORI CON FREQUENZA DIVERSA Se una rete lineare è alimentata da:

più generatori con diversa frequenza o un generatore di segnale periodico esprimibile mediante una serie di Fourier

si può applicare il

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI. Si risolve una rete per ciascun generatore, prestando attenzione al fatto che al variare della frequenza variano anche le reattanze XL e XC: i loro rispettivi valori andranno quindi valutati volta per volta per ciascun valore della frequenza. Per ciascun valore di fi le corrispondenti reattanze saranno:

Lf2X iLi π= (1)

Cf2

1Xi

Ci π= (2)


64

Le potenze istantanee in ciascun ramo saranno:

( ) ( )iIiU wtsinI 2(t)ie wtsinU 2(t)u con

(t)i(t)uIUp(t)

iiii

n

1iiioo

ϕϕ +=+=

⋅+= ∑=

(3) n= numero di generatori sinusoidali a frequenza diversa La potenza istantanea è quindi data dalla somma di due termini:

00 IU rappresenta la potenza fornita dal generatore equivalente in corrente continua

∑=

⋅

n

1iii (t)i(t)u rappresenta la potenza fornita dai

generatori che erogano energia con frequenze diverse Il valore medio della potenza istantanea o la potenza attiva sarà:

∑=

+=n

1iiii00 cosIUIUP ϕ (4)

La potenza reattiva sarà:

∑=

=n

1iiii sinIUQ ϕ (5)


65

Ui e Ii sono i valori efficaci di tensione e corrente. Si nota che per la potenza reattiva manca il termine a frequenza nulla (per f=0), infatti a frequenza nulla: XL=0 cortocircuito U=0 XC=∞ circuito aperto I=0 La potenza apparente sarà:

22 QPS += (6) con:

∑=

+=n

1iiii00 cosIUIUP ϕ

∑=

=n

1iiii sinIUQ ϕ


66

Inoltre il valore efficace della corrente e della tensione saranno:

1

220 ∑

=+=

n

iii III

∑=

+=n

iiiUUU

1

220

Essendo Ii e Ui valori efficaci della corrente e della tensione relativi al contributo del generatore di frequenza iesima.

RISONANZA

Il concetto di risonanza risale alla diffusione dei primi sistemi a corrente alternata. Sin da allora si iniziarono ad osservare fenomeni strani nei circuiti con comportamento elettrico prevalentemente induttivo o capacitivo. Si possono verificare due tipi di risonanza:

• risonanza serie e • risonanza parallelo.

In condizioni di risonanza serie può accade che la tensione fra gli estremi di un bi-polo, pur attraversato da corrente, risulti praticamente nulla, mentre la tensione ai capi del condensatore o dell’induttore sia uguale o addirittura più elevata della tensione applicata alla serie degli elementi.


67

Analogamente in condizioni di risonanza parallelo può accadere che la corrente assorbita dal bi-polo sia praticamente nulla, mentre la corrente che attraversa l’induttore o il capacitore può assumere lo stesso valore o addirittura superare quello della corrente erogata dal generatore cui sono collegati gli elementi.

Risulta dunque importante studiare tale fenomeno perché in impianti con correnti forti, tale condizione può rappresentare una condizione di funzionamento anomala di un circuito ed arrecare danni non solo agli impianti (nel caso della conversione statica dell’energia può dar luogo a pericolose sovratensioni o sovracorrenti), ma anche alle persone. In alcune applicazioni, al contrario, è proprio tale condizione a rappresentare il funzionamento desiderato del circuito, si tratta di circuiti in bassa potenza dove le correnti in gioco sono correnti deboli.


68

RISONANZA SERIE

Si consideri un circuito R, L, C serie, in serie ad un generatore di tensione a frequenza variabile.

Si supponga di far variare la frequenza f da zero ad infinito. Poiché le reattanze variano al variare della frequenza, avremo un circuito che potrà avere sia un comportamento elettrico prevalentemente induttivo, che capacitivo secondo il valore della frequenza imposta dal generatore di tensione:

i

_II ϕ∠=

ϕ∠=•

ZZ

Uii

_U)(ZIIZU ϕϕϕϕϕ ∠=+∠=∠⋅∠= (1)

E

RU LU CU


69

Ci saranno tre casi possibili:

ϕ > 0, la tensione è in anticipo rispetto alla corrente

CARICO PREVALENTEMENTE INDUTTIVO

ϕ < 0, cioè tensione in ritardo rispetto alla corrente

CARICO PREVALENTEMENTE CAPACITIVO

U

U


70

ϕ = 0, cioè tensione e corrente sono in fase fra loro

CARICO PREVALENTEMENTE RESISTIVO

Se si studia la variazione dell’impedenza Z& al variare della frequenza f si ha:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−+=

C1LjR)XX(jRZ CL ω

ω& (2)

LX L ω= rappresenta l’equazione di una retta passante per

l’origine degli assi (y=mx)

C1XC ω

= rappresenta l’equazione di una iperbole

equilatera (y=a/x) R si può ritenere praticamente costante al variare della frequenza

22

C1LRZ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

ωω& (3)

RC1L

arctan ωω

ϕ−

= (4)


71

Graficamente:


72

A sinistra della pulsazione di risonanza ω0, il carico è prevalentemente capacitivo, in corrispondenza di ω0 il carico é puramente ohmico, mentre a destra di ω0 il carico é prevalentemente induttivo. Alla pulsazione di risonanza ω0 si ha l’uguaglianza fra reattanza induttiva e capacitiva:

LC21f

Cf21Lf2XX 0

00CL ππ

π =⎯→⎯=⎯→⎯= (5)

f0 = frequenza di risonanza ω0 = 2π f0 = pulsazione di risonanza In condizioni di risonanza la corrente sarà massima in quanto si annulla la reattanza del circuito; l’impedenza coincide con la resistenza, quindi tensione e corrente sono in fase.

MAXIRU

ZUI === (6)


73

Valori della resistenza e della reattanza al variare della frequenza

f 0 ω0 ∞

R R R R

CX C ω

1= ∞

C0

1ω

0

LX L ω= 0 L0ω ∞ Z& ∞ R ∞ −

I 0 0

ϕ 2π

− 0 2π

Di seguito è rappresentata la curva di risonanza, che risulta essere tanto più acuta quanto minore è il valore di resistenza rispetto alla reattanza alla frequenza di risonanza

LC21f

Cf21Lf2XX 0

00CL ππ

π =⎯→⎯=⎯→⎯=


74

Il rapporto CL

RCRRLQ 11

0

00 ===

ωω (7)

viene chiamato fattore di merito del circuito alla frequenza di risonanza..

Se Q0>1 ossia : R>Cω

1=Lω

00 in condizioni di

risonanza la tensione ai capi di L e C risulta maggiore della tensione totale applicata ai capi di R. ************************************************Il fattore di merito di un circuito risonante alla frequenza f, Q0 è definito come il rapporto tra l’energia immagazzinata nel circuito e quella dissipata in un ciclo di oscillazione alla frequenza f0 di risonanza. Un’altra definizione è la seguente : Q0 è il rapporto tra la differenza di potenziale ai capi dell’induttore o ai capi del capacitore e la differenza di potenziala ai capi della resistenza in condizioni di risonanza:

CL

RCRIR

ICj

UU

IRILj

U

UQ

o

o

R

c

o

o

fofR

fofL 111

0

000 ======

=

=

ωωω


75

Il fattore di merito consente di calcolare il valore della tensione che si stabilisce in condizioni di risonanza serie ai capi dei singoli bipoli L e C in funzione della tensione applicata Rfof

UU ==

:

fofofofCfofL UQUU===

== *


76

ϕ

R→∞

R→0


77

Il bipolo può essere usato come un filtro selettivo per Q elevato (bassi valori di R)

E

RU LU CU


78

In tale filtro passa banda reale f1 ed f2 sono i valori delle due frequenze di taglio di un filtro passa banda reale e rappresentano quei valori di frequenza per le quali il segnale di uscita si riduce a circa il 70% di quello in ingresso, con una attenuazione di 3 dB.


79

RISONANZA PARALLELO Il generatore di tensione E ha frequenza variabile.

Relazioni in termini di ammettenze

__EYI &= (8)

L1jYL ω

−=& (9)

CjYC ω=& (10)

R1YR =& (11)

ABU

E


80

CjL

1jR1YL ω

ω+−=& (12)

Andamento dei moduli della resistenza e delle reattanze

La corrente sarà minima per la pulsazione ω=ω0.


81

Inoltre, se R=0, la corrente, per ω=ω0, sarà nulla. Il bipolo può essere utilizzato per filtrare segnali con frequenza f0. Andamento delle fasi.


82

RL

1Carctan ω

ωϕ

−=

(13) Infatti se:

f=0 2R

0R

L01C0

arctan πϕ −=∞−

=−

=

f=∞ 2R

0R

L1C

arctan πϕ =−∞

=∞−∞

=

f=f0 0R0arctan

RL

1Carctan 0

0==

−=

ωω

ϕ

Sia per quanto riguarda la risonanza serie, che la risonanza parallelo, diminuendo la resistenza R, si rendono i filtri passa banda ed elimina banda più selettivi.

Per la risonanza serie:i

MAX RUI = e, all’aumentare di R,

diminuisce IMAX

Per la risonanza parallelo: UGRUI i

imin == , quindi

all’aumentare di R diminuisce Imin


83

Risonanza parallelo

Chiaramente la frequenza di taglio f0 si può variare, variando L o C essendo:

LC21f0 π

= (14)

Se G>Lω

1=Cω

00 la corrente sull’induttanza e sulla

capacità puo essere superiore alla corrente che attraversa la resistenza R. Un aumento di L o di C farà diminuire la frequenza di taglio, viceversa una riduzione di L o C la farà aumentare. Il fattore di merito Q0 di un circuito risonante alla frequenza fo, è definito come il rapporto tra l’energia immagazzinata nel circuito e quella dissipata nel ciclo alla frequenza f0 di risonanza.


84

bipolo. dal assorbita e totalmentcorrente della maggiore é re)condensato nel (o

induttorenell' corrente della modulo il risonanza di condizioniin Quindiassorbita. totalecorrente lacon coincide risonanza

di condizioniin che resistore, nel corrente della modulo del maggiore ére)condensato nel (o induttorenell' corrente della modulo il 1,Q Se

1ω essendo

resistore nel corrente la e corrente della modulo il re)condensato nel (o induttorenell' corrente della

modulo il trarapporto ilcon coincide Q risonanza di condizioniIn LCR

RCω

PQ Q

1Q

;1 ;

0

0

000

00

0

0

R

c0

0 R0

222

R

>

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅==⋅=→

==→

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

==

==

===

===

===

=

=====

LC

ILCRI

IL

RIQIIIQI

QL

RI

I

LU

LjUI

RU

RUI

oppureLCR

LRPQ

UCQUL

QR

UP

fofL

foffoffofC

fofL

fofL

R

L

L

R

L

cL

ω

ωωω

ω

ωω


85

La corrente i

MAX RUI = per la risonanza serie e la corrente

UGRUI i

imin == per la risonanza parallelo, non varieranno

al variare di L e C in quanto dipendono solo dalla resistenza R

Risonanza parallelo. Risonanza serie


86

Per studiare la selettività di un circuito risonante serie occorre definire:

la larghezza di banda B = f2 – f1 le frequenze di taglio f2 ed f1

Per esempio in condizioni di risonanza serie: RUI MAX =

In condizioni ordinarie: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=

C1LR

UI2

ωω

Ricordando che L

1C 20ω

= avremo:

20

0

20

20

02

220 Q1R

U

RL1R

UI

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

ωω

ωω

ωω

ωωω

(15)


87

Le frequenze di taglio si determinano imponendo:

21

II

MAX= da cui

21

Q1

12

0

0

20

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ωω

ωω

2I

IMAX =2

0

0

20Q1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=ωω

ωω

Elevando al quadrato 1° e 2° membro dell’equazione:

( ) 2

0

020

2

0

20

22

0

20

0

20

2Q1

Q1Q12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+≅

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

ωωω

ωωωω

ωω

ωω

N.B. L’approssimazione è valida per 0ff ≅

2

0

20

22

0Q12 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−

ωωωω da cui risulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=±

0

20

2

0Q1ωω

ωω . (16)

Risolvendo l’equazione si ottengono 4 soluzioni, 2 positive e 2 negative; ovviamente non hanno significato fisico le soluzioni negative.


88

Attraverso passaggi matematici si ottengono le seguenti soluzioni:

0

0012 Q2

ωωω ±= in termini di pulsazione (17)

0

0012 Q2

fff ±= in termini di frequenza (18)

Per un determinato valore di ω0, all’aumentare di Q0 l’ampiezza di banda diminuisce. In generale per un bipolo passivo costituito da resistenze, induttanze e capacità diversamente collegate, si possono definire: • le condizioni di risonanza serie, ossia di reattanza nulla

(con picchi della corrente che si possono verificare per più valori della frequenza) dallo studio del comportamento elettrico della impedenza equivalente serie RLC

o • le condizioni di risonanza parallelo, ossia con

suscettanza nulla (con attenuazioni della corrente complessiva che si possono verificare per più valori della frequenza) dallo studio del comportamento elettrico della ammettenza equivalente parallelo


89

RETI DUE PORTE Definizione generale Una rete due porte è un circuito accessibile da due porte privo o no di eccitazioni nel suo interno. Si ricorda che la porta è costituita semplicemente da una coppia di morsetti connessi in modo qualsiasi al circuito d’interesse ed usati in modo che la corrente entrante nell’uno sia uguale a quella uscente dall’altro. La rete due porte può essere:

Attiva Passiva

Per verificare se una rete due porte è attiva o passiva, basterà scollegare la rete da eventuali collegamenti esterni e:

1. Misurare con un voltmetro la tensione che si stabilisce fra i morsetti 1-1’ e 2-2’


90

Se U1≠0 oppure U2≠0 la rete è attiva Altrimenti:

2. Misurare con un amperometro la corrente che si stabilizza in un corto-circuito fra i morsetti primari e secondari

Se I1≠0 oppure I2≠0 la rete è attiva Queste operazioni sono consentite quando si conosce l’entità delle tensioni e delle correnti e si dispone della strumentazione idonea. La caratterizzazione di una rete due porte attiva può essere ricondotta a quella di una rete due porte passiva, applicando il teorema generalizzato di Thevenin.


91

Teorema generalizzato di Thevenin Un sistema accessibile da due porte può essere caratterizzato mediante i due seguenti gruppi di parametri:

1. Parametri che rappresentano la rete due porte ottenuta dal circuito disattivando le eccitazioni (rendendo passivo il circuito, aprendo i rami dove sono presenti i generatori di corrente e cortocircuitando i generatori di tensione)

2. Le tensioni che si manifestano ai morsetti delle due porte quando sono lasciati aperti.


92

Quindi al circuito equivalente che consegue da questa caratterizzazione si perviene nel seguente modo:

Con i morsetti 1-1’ e 2-2’ aperti si avrebbe:

⇓

1U

1I

2U

2I

Bi-porta attivo

10U

1I

02U

2I

Bi-porta attivo


93

Infine applicando il Teorema generalizzato di Thevenin si ottiene:

con: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=_

20

_

2

_

2

_

10

_

1

_

1

U'UU

U'UU

essendo 10U e 20U le tensioni che si stabiliscono tra i morsetti 1 1’ e 2 2’ nel funzionamento a vuoto del bipolo attivo. Caratterizzazione di una rete due porte priva di eccitazioni al suo interno La caratterizzazione di una rete due-porte passiva richiede quattro parametri. Se

l è il numero di rami del circuito n è il numero di nodi del circuito

1*U

1I

2*U

2I

Bi-porta passivo 2U 1U

+ +10U 20U


94

considerando al posto del due-porte due bipoli indeterminati caratterizzati da quattro grandezze elettriche (U1; U2; I1; I2) e scegliendo un albero nel circuito risultante, si possono scrivere

le equazioni di equilibrio per le maglie ( )[ ]1nl −− le equazioni di equilibrio per i tagli fondamentali ( )1n −

Risultano ( )[ ] ( ) l1n1nl =−+−− equazioni complessive. Si scrivono le equazioni costitutive per tutti i rami, fatta eccezione per i due bipoli indeterminati connessi alla porte, (l -2) equazioni. Risultano [ ]2l2 − equazioni con 2 l variabili. Questo sistema, eliminando tutte le variabili, ad esclusione di quelle che si riferiscono ai due bipoli indeterminati, può essere ridotto ad un sistema in due sole equazioni lineari omogenee nelle quattro grandezze elettriche dei bipoli indeterminati.


95

Per cui si può affermare che la rete due-porte è caratterizzata da due equazioni omogenee nelle quattro grandezze elettriche di porta.

1U

2U 2U

2U 21 +UU


96

Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice Z&

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

_

2

_

1

_

2

_

2

_

1

_

1

I;IfU

I;IfU

1I e 2I sono le variabili indipendenti 1U e 2U sono le variabili dipendenti

2_

121_

11_

1 IZIZU••

+=

2_

221_

21_

2 IZIZU••

+= da cui

02

_

1

_

111

II

UZ

=

•= ;

0

_

2

_

112

1II

UZ

=

•= ;


97

02

_

1

_

221

II

UZ

=

•= ;

01

_

2

_

222

II

UZ

=

•=

Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice Y&

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

_

2

_

1

_

2

_

2

_

1

_

1

U;UfI

U;UfI

1I e 2I sono le variabili dipendenti 1U e 2U sono le variabili indipendenti


98

2_

121_

11_

1 UYUYI••

+=

2_

221_

21_

2 UYUYI••

+= da cui:

02

_

1

_

111

UU

IY

=

•= ;

0

_

2

_

112

1UU

IY

=

•= ;

02

_

1

_

221

UU

IY

=

•= ;

01

_

2

_

222

UU

IZ

=

•=


99

Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice di trasmissione T&

Se si vogliono relazionare le grandezze in ingresso 1_

1 I;U

con le grandezze in uscita 2_

2 I;U si utilizza la matrice di trasmissione T&

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

_

2

_

22

_

1

_

2

_

21

_

1

I;UhI

I;UhU

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

2_

2__

1

2_

2__

1

IDUCI

IBUAU

&&

&&

1I e 1U sono le variabili dipendenti 2I e 2U sono le variabili indipendenti

0I

_

1

_

2

2U

UA

=

= guadagno di tensione

0U

_

2

_

1

2I

UB

=

= transimpedenza diretta

0I

_

2

_

1

2U

IC

=

= transammettenza diretta

0U

_

2

_

1

2I

IB

=

= guadagno di corrente


100

Le espressioni dei parametri suggeriscono prove che possono essere simulate utilizzando il modello circuitale del nullore, infatti si dovrebbe alimentare da entrambi i lati e avere I2=0, oppure alimentare il primario e cortocircuitare il secondario U2=0. Questa matrice descrittiva è utilizzata quando si hanno più quadripoli in cascata. Infatti è facilmente dimostrabile che essi equivalgono a un quadripolo equivalente definito con una matrice di trasmissione Te:

∏=

=n

1iie TT n = numero dei blocchi in cascata

T1 T2 Tn 1U 2U

1I 2I


101

Definizione del doppio bipolo attraverso la matrice di trasmissione inversa 1-TiT && =

Se si vogliono relazionare le grandezze in uscita 2_

2 I;U

con le grandezze in ingresso 1_

1 I;U si utilizza la matrice di

trasmissione inversa 1-TiT && =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

_

1

_

12

_

2

_

1

_

11

_

2

I;UiI

I;UiU

2

_

11

2

_

2

I

U TI

U −=

dove 1-TiT && = è facilmente determinabile in base delle proprietà del calcolo matriciale. POTENZA ASSORBITA DA UN DUE PORTE La potenza totale assorbita da un due porte è :

[ ] [ ]*22

*11 I U Re

21 I U Re

21 P2P1 P +=+=

La sua espressione è legata alle relazioni della matrice di definizione scelta. P può essere espressa in funzione delle sole correnti se si è scelta la matrice delle impedenze Z , o in funzione delle sole tensioni se si è scelta la matrice delle ammettenze Y o in funzione di corrente e tensione con la matrice T e così via.


102

Nello studio dei quadripoli è importante definire il rapporto tra le grandezze fisiche in uscita e quelle corrispondenti in ingresso come tensioni, correnti e potenze. Il rapporto uscita/ingresso può essere maggiore , uguale o minore di 1. Nel primo caso si ha una amplificazione della grandezza in esame e il quadripolo deve essere necessariamente attivo, ossia contenere dei generatori di tensione o di corrente. Nel secondo caso il quadripolo è passivo e la grandezza in esame risulta attenuata. Nella valutazione e nella misurazione sperimentale di attenuazioni si usano generalmente unità logaritmiche . La scelta di queste unità consente di semplificare i calcoli nei quadripoli in cascata dove gli effetti della attenuazione o amplificazione si moltiplicano tra di loro e in particolare, se i quadripoli sono uguali, l’attenuazione o amplificazione residua risulta essere la potenza ennesima della attenuazione del singolo quadripolo. Si definiscono rispettivamente il rapporto di potenze, di tensioni e di correnti come:

( )

( )

( )2

1dbP

2

1I

2

1dbP

2

1V

2

1dbP

2

1P

II20logA decibelin

IIA

VV20logA decibelin

VVA

PP10logA decibelin

PPA

=→=

=→=

=→=

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