Universita degli Studi di FirenzeFacolta di Scienze Mat., Fis. e Nat.

Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica

Anno Accademico 2008-2009

Corso di Esperimentazioni IB

Dr. Marco Romoli

Appunti su:

ESPERIENZA SULLA MISURA DELLA VELOCITA DELLA LUCE NELL’ARIA

1 Introduzione

La velocita della luce in un mezzo omogeneo e isotropo e definita classicamente come il rapportotra lo spazio L percorso da un impulso di luce monocromatico e l’intervallo di tempo t impiegatoa percorrerlo.

v =L

t(1)

La velocita della luce dipende dal mezzo nel quale la luce si propaga e dalla lunghezzad’onda della radiazione.

L’esperienza consiste nella determinazione della velocita della luce attraverso la misura dellalunghezza del cammino e la misura del tempo di transito di un breve impulso di luce. Nel vuotola luce si propaga con velocita c = 299792458 m/s. In un mezzo trasparente la luce si propagasempre con velocita inferiore a quella del vuoto. Le caratteristiche del mezzo che determinanola velocita della luce definiscono un parametro n detto indice di rifrazione. L’indice di rifrazionedi un mezzo trasparente e un numero reale maggiore di 1 e dipende dalla lunghezza d’onda λdella radiazione. La velocita della luce in un mezzo caratterizzato dall’indice di rifrazione n edata da:

v =c

n. (2)

Poiche n = n(λ) il mezzo si dice cromatico.Volendo generalizzare l’Eq.1 al caso in cui il cammino di un raggio luminoso attraversi una

successione di m mezzi trasparenti, omogenei e isotropi con indice di rifrazione ni, si deve faruso dell’Eq.2 e scrivere:

c =

∑mi=1 Lini∑m

i=1 ti(3)

dove il numeratore rappresenta il cammino ottico della luce all’interno del mezzo i-esimo,definito in un enunciato alternativo del principio di Fermat [EspIOttica].

2 Misura della velocita della luce

L’esperienza di laboratorio consiste nella misura indiretta della velocita della luce attraverso lamisura dello spazio percorso da un impulso di luce e dal tempo che questi impiega a percorrerlo.

La tecnica di misura e una versione moderna delle misure effettuate da Fizeau con il metododella ruota dentata e da Foucault e Michelson col metodo dello specchio rotante [EspIOttica].In entrambi i casi, la misura consisteva nell’impulsare meccanicamente un fascio di luce, fa-cendolo passare attraverso le cavita di una ruota dentata, oppure facendolo riflettere su unospecchietto in rotazione, in modo da determinare indirettamente, con accorgimenti ottici, iltempo impiegato dall’impulso a percorrere una distanza nota.

Adesso, con l’aiuto dell’elettronica, e possibile generare impulsi quasi monocromatici moltobrevi e misurare il tempo impiegato da questi impulsi a percorrere, in laboratorio, una distanzamisurabile.

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Tabella 1: Indice di rifrazione dei piu comuni materiali trasparentiMateriale n a λ=589.3 nmelio 1.000036aria secca (p=1.013 hPa, T=0◦C) 1.0003anidride carbonica 1.00045ghiaccio 1.31acqua (20◦C) 1.333etanolo 1.36quarzo 1.458olio d’oliva 1.467glicerina 1.473sale 1.516vetro 1.5 - 1.9diamante 2.419

Principio di misura: Una serie di impulsi luminosi molto brevi (20 ns) vengono emessida una sorgente a diodo laser e percorrono un cammino di lunghezza nota, dell’ordine di alcunimetri, prima di venire rivelati da un fotodiodo che li trasforma in impulsi di tensione. Gliimpulsi vengono letti per mezzo di uno oscilloscopio. L’oscilloscopio, misurando anche l’impulsodi tensione del segnale in uscita dalla sorgente, fornisce la misura del tempo impiegato dallaluce a percorrere il cammino ottico. L’oscilloscopio funziona quindi da cronometro.

La misura del cammino percorso dall’impulso si effettua utilizzando un metro a nastro.Cammino della luce: La sorgente di luce, S, e un diodo laser rosso (λ = 650 nm) (vedi

Figura 1). Esso genera un pennello di luce con un angolo solido di propagazione di qualchemilliradiante, sufficiente per rimanere “compatto” (qualche centimetro), dopo aver percorsodistanze dell’ordine di un paio di decine di metri.

Il pennello di luce viene inizialmente suddiviso in due parti da un cubo “beam-splitter”, B,il quale contiene una superficie di separazione tra due mezzi trasparenti diversi. Meta fasciopassa attraverso la superficie e l’altra meta viene riflessa a 90◦. La prima meta del pennello diluce viene intercettata all’uscita del “beam-splitter” dal fotodiodo D1 detto di “start”, avendopercorso un tratto s di spazio corrispondente al lato del cubo. Uno dei canali dell’oscilloscopioregistra l’impulso del fotodiodo. L’altro fascio viene diretto attraverso il laboratorio, verso unospecchietto di rinvio, M , posto a distanza d dal cubo, che, una volta allineato, lo riflette dinuovo verso il cubo. Il fascio attraversa il cubo e viene rifocalizzato da una lente di camera,C, sul secondo fotodiodo, D2, detto di stop. La distanza che percorre l’impulso dall’uscita dalcubo a D2 sia q. I cammini di start e di stop, x1 e x2, hanno, rispettivamente, le seguentimisure:

x1 = s

x2 = 2s+ 2d+ q

La differenza tra questi due cammini e la distanza, L, percorsa dalla luce tra l’impulso distart e l’impulso di stop.

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Figura 1: Cammino ottico del pennello di luce prodotto dal diodo laser per la misura dellavelocita della luce.

L = x2 − x1 = 2d+ s+ q. (4)

3 Messa in opera degli strumenti

Occorre innanzitutto collegare elettricamente i dispositivi per la misura secondo lo schemamostrato in Fig.2. La scatola dell’elettronica contiene sia il circuito di generazione degli impulsielettrici di alimentazione del diodo laser sia i due circuiti di lettura dei fotodiodi di start e distop. Una volta acceso il circuito, il diodo laser e alimentato con un generatore di impulsi adalta frequenza (6.25 MHz), ciascuno dei quali ha una larghezza minore di 20 ns.

Prima di iniziare la misura occorre allineare i componenti ottici in modo da illuminare ifotodiodi di start e di stop con il pennello di luce che percorre i due diversi cammini1. Poiche il

1L’occhio vede un fascio luminoso continuo, a causa del fenomeno di persistenza dell’immagine sulla retina.L’occhio non e in grado di percepire variazioni periodiche di illuminazione se queste avvengono con frequenzasuperiore ad una frequenza critica (mediamente di circa 30 Hz). L’occhio vede, quindi, un segnale continuoattenuato di una quantita definita dalla frazione di tempo durante la quale l’impulso alimenta il diodo laserdivisa per il periodo della generazione di impulsi. Questa quantita prende il nome di duty cycle e nel caso

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Figura 2: Collegamenti elettrici tra i dispositivi utilizzati per la misura della velocita della luce.

diodo laser, il cubo beamsplitter e il fotodiodo di start condividono lo stesso supporto mecca-nico, per il loro allineamento occorre verificare che il fascio del laser illumini l’area sensibile delfotodiodo. Si puo perfezionare l’allineamento aggiustando la posizione del diodo laser e quelladel fotodiodo massimizzando l’ampiezza dell’impulso elettrico emesso dal fotodiodo e visualiz-zato sull’oscilloscopio. Il cubo beamsplitter riflette meta del fascio laser nella direzione parallelaal binario ottico sul quale sono montati i componenti. Si deve regolare la piattaforma del cubocon la vite micrometrica, in modo che il pennello di luce uscente sia orizzontale. Si dispone lospecchio di rinvio in modo da intercettare il pennello di luce e lo si regola mediante le due vitimicrometriche in modo che la luce riflessa incida di nuovo sul cubo beamsplitter. Si posizionaquindi la lente di camera dietro il beam splitter i modo che questa rifocalizzi il fascio laser. Sulpiano focale della lente si pone il fotodiodo di stop, e si completa l’allineamento aggiustando leregolazioni del cavaliere su cui e montato il fotodiodo. Si verifica sull’oscilloscopio che si vedail secondo impulso di luce.

descritto e pari a circa il 6%.

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4 Uso dell’oscilloscopio

Prima di illustrare come si predispone l’oscilloscopio per la misura dell’intervallo di tempo t,si descrivono brevemente le caratteristiche e le funzioni principali di questo strumento. Quelloche segue non vuole essere un manuale d’uso dell’oscilloscopio, ma fornisce solamente alcu-ne informazioni base sul funzionamento dello strumento, che permettono di eseguire semplicioperazioni.

L’oscilloscopio in uso presso il laboratorio e un oscilloscopio analogico a 2 canali Tektronixmod. 2235 con frequenza 100MHz. La Figura 3 mostra un’immagine dello strumento.

Figura 3: Oscilloscopio analogico Tektronix mod.2235, 2 canali, 100MHz.

L’oscilloscopio e uno strumento di misura elettronico che consente di visualizzare, su ungrafico bidimensionale, l’andamento temporale di segnali elettrici. L’asse orizzontale del graficosolitamente rappresenta il tempo, rendendo l’oscilloscopio adatto ad analizzare segnali varia-bili col tempo, dalle grandezze periodiche agli eventi casuali e non ripetitivi. L’asse verticalerappresenta la tensione.

La banda passante dello strumento (100MHz nel mod. 2235) indica la frequenza massimadei segnali visualizzabili, cosı come la risoluzione temporale, ovvero la piu rapida variazionerilevabile. Sul pannello frontale si trovano sia lo schermo di visualizzazione dei segnali sia tuttii pannelli di comandi. Allo schermo e sovrapposto un reticolo allo scopo di favorire la letturadei dati. Ogni intervallo del reticolo e chiamato divisione, sull’asse orizzontale le divisioni sonosolitamente 10, sull’asse verticale 8.Ciascuna divisione e ulteriormente divisa in 5 intervalli. Adestra dello schermo c’e il pannello della scala delle ampiezze, mostrato in Figura 4 che gestiscedue canali (CH1 e CH2). A fianco si trova il pannello base dei tempi che e comune a entrambii canali e a destra il pannello del trigger.

Il segnale da misurare viene introdotto attraverso un apposito connettore (tipo coassialeBNC). In modalita semplice, un punto luminoso percorre lo schermo da sinistra a destra a

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Figura 4: Pannello con la scala verticale e i connettori di ingresso (CH1 e CH2) (blu); pannellocon la base dei tempi (rosso) e pannello del trigger (verde).

velocita costante, ridisegnando ripetutamente una linea orizzontale. La velocita di scansionee selezionabile per mezzo di una manopola presente sul pannello, la quale comanda il circuitobase dei tempi. Questo circuito genera precisi intervalli di tempo, che possono variare da pochisecondi a qualche nanosecondo, i valori, espressi in unita di tempo per divisione, sono riportatisulla manopola e permettono di selezionare la portata temporale dello strumento.

In assenza di segnale, la traccia e solitamente al centro dello schermo, e l’applicazione diun segnale all’ingresso, provoca la deflessione verso l’alto o verso il basso, in funzione dallapolarita del segnale. La scala verticale e espressa in volt per divisione, e puo essere regolatada decine a millesimi di volt. L’altezza iniziale del grafico (offset) puo comunque essere decisadall’utente, cosı come e possibile escludere la componente in corrente continua presente nelsegnale in esame.

In questo modo si ottiene la visualizzazione di un grafico di tensione in funzione del tempo.Se il segnale e periodico, e possibile ottenere una traccia stabile regolando la base dei tempiin modo che la frequenza di scansione coincida con la frequenza del segnale o con un suosottomultiplo. L’oscillatore della base dei tempi, non essendo sincronizzato con il segnale inanalisi, impedisce di avere una traccia stabile e ferma, questa fluttuera lentamente da destra asinistra o viceversa.

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Per ottenere una traccia stabile gli oscilloscopi dispongono di una funzione chiamata trigger(innesco), questo circuito fa partire la scansione solo in corrispondenza del verificarsi di unevento sul segnale in ingresso, per esempio il superamento di una soglia di tensione positivao negativa. Dopo avere completato la scansione da sinistra a destra, l’oscilloscopio rimane inattesa di un nuovo evento. In questo modo la visualizzazione rimane sincronizzata al segnale ela traccia e perfettamente stabile. La soglia di sensibilita del trigger, cosı come altri parametrie regolabile. Il circuito del trigger puo essere configurato per mostrare una sola scansione di unsegnale non periodico, come un singolo impulso o sequenze di impulsi non ripetitivi.

5 Messa in opera e taratura dell’oscilloscopio

L’oscilloscopio funziona da cronometro. Esso consente di visualizzare gli impulsi elettrici di starte di stop. La misura dell’intervallo di tempo intercorso tra i due impulsi, effettuata direttamentesullo schermo dell’oscilloscopio, fornisce il tempo impiegato dalla luce a percorrere il camminoL.

Per ottenere la corretta visualizzazione dei due impulsi sull’oscilloscopio occorre effettuarele seguenti impostazioni:

• Scala verticale

– vertical mode: selezionare both per visualizzare entrambi i canali;

– vertical mode: selezionare alt;

– vertical mode: selezionare come trigger source il canale corrispondente alsegnale di start;

– selezionare dc, tramite la leva posta sotto la manopola delle ampiezze;

– una volta visualizzati i segnali aggiustare la scala verticale volts/div per massi-mizzare l’ampiezza del segnale sullo schermo.

• Base dei tempi

– selezionare a su horizontal mode;

– scegliere la portata della base dei tempi (sec/div) in modo che l’intervallo di tempoda misurare occupi la massima estensione orizzontale visualizzata sullo schermo, perminimizzare l’errore relativo. In caso sia necessario tirando il bottone rosso (cal) siottiene un’amplificazione della base dei tempi x 10.

• Trigger (innesco)

– selezionare a source: int (interna);

– a trigger: auto oppure norm;

– aggiustare slope e la manopola level in modo da vedere il segnale di start in modocompleto, che includa cioe il suo picco.

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E necessario effettuare la taratura della base dei tempi per verificare che essa corrispondarealmente al valore in secondi per divisione riportato sulla manopola corrispondente 2. Poichead ogni valore di portata della base dei tempi corrisponde un circuito elettrico leggermentedifferente, la taratura corrispondente a ciascuna portata sara in generale differente. Convienequindi effettuare le misure di taratura dopo aver terminato le misure di intervallo di tempo cheservono a determinare la velocita della luce, quando si conosce quante portate della base deitempi sono state utilizzate.

Per ogni portata, la taratura si effettua collegando a uno dei due canali dell’oscilloscopio,con un BNC, l’uscita dell’oscillatore a quarzo della scatola elettronica dell’impulsatore dellaser, quella indicata con osc. L’oscillatore al quarzo incluso nel circuito genera un’onda difrequenza di 100 MHz3, ovvero di periodo di 10 ns, con una accuratezza di una parte per10000 (0.01%), molto maggiore dell’accuratezza con cui si e in grado di misurare il periodo.La taratura consiste nel confrontare il periodo dell’onda generata dall’oscillatore, T , fornitodalle specifiche, con quello misurato con l’oscilloscopio. Per misurare il periodo si visualizzal’onda con l’oscilloscopio e si misura l’intervallo di tempo, τ , compreso tra i due picchi estremivisualizzati e si divide tale quantita per il numero di periodi compresi tra questi due picchi, N .

La costante di taratura k sara:

k =NT

τ(5)

con errore relativo:

∆k

k=

∆τ

τ(6)

avendo trascurato l’errore su T .Come gia detto la costante di taratura e in generale differente per portate differenti.

6 Misura della distanza L percorsa dall’impulso di luce

La distanza L percorsa dall’impulso di luce e data dalla somma di tre distanze, 2d, s e m (vedieq.4).

La distanza s e quella percorsa dalla luce all’interno del cubo beam-splitter, ed e data dallalunghezza del lato del cubo. Si misura con il calibro.L’errore su questa misura e dato dall’erroredi sensibilita del calibro.

La distanza si misura con il metro a nastro dalla faccia del cubo allo specchio di rinvio M .Per stimare l’errore su questa misura si ripete la misura di d in diversi punti del cubo. Si stimail valore di d come la media delle misure e l’errore ∆d come lo scarto massimo tra queste misure.Se si ottiene sempre lo stesso valore, l’errore sara dato dall’errore di sensibilita del metro,

La distanza q e la distanza tra il cubo e il fotodiodo si misura con il calibro o con un righellodalla faccia posteriore del cubo al fotodiodo D2, con la stessa procedura descritta per d.

2L’oscilloscopio fornisce la base dei tempi con un’accuratezza di qualche percento.3Il circuito dell’impulsatore del laser riduce la frequenza dell’oscillatore di un fattore 16 tramite un circuito

detto “divisore”

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Come vedremo piu avanti in un esempio, non serve un’elevata accuratezza nella misura diL.

7 Misura del tempo impiegato dall’impulso luminoso a

percorrere la distanza L

L’oscilloscopio visualizza contemporaneamente gli impulsi elettrici di start e di stop generatidai due fotodiodi D1 e D2. La misura dell’intervallo di tempo t che intercorre tra i due picchidegli impulsi fornisce il tempo impiegato dalla luce a percorrere il cammino L, a meno di unacostante di taratura k descritta nel paragrafo 5. L’errore sull’intervallo di tempo e il doppiodell’errore di lettura nella posizione dei picchi di start e di stop.

8 Determinazione della velocita della luce

La misura di L e la misura di t si ripetono piu volte, spostando lo specchio di rinvio M adistanze diverse dalla sorgente impulsata, utilizzando come appoggio i banchi del laboratorio.

Una volta misurati L (d, s, q), t e k la velocita della luce in aria si ottiene facendo usodell’eq.1 e dell’eq.4 e ricordando l’eq.3:

v =c

n=snv

ktn+

2d

kt+

q

kt(7)

dove n e l’indice di rifrazione dell’aria, e nv e l’indice di rifrazione del vetro di cui e costituitoil cubo beam-splitter.

Facciamo la seguente approssimazione, che giustificheremo in seguito:

v =c

n' L

kt=s+ 2d+ q

t◦(8)

dove t◦ = kt. Essa e equivalente a considerare che l’impulso di luce percorra tutto il suocammino in aria.

Con questa approssimazione si puo fare a meno di conoscere l’indice di rifrazione nv.L’errore relativo sulla misura della velocita si ricava utilizzando il metodo della derivata

logaritmica:

∆v

v=

∆L

L+

∆k

k+

∆t

t(9)

dove ∆L = ∆s+ 2∆d+ ∆q.Facciamo un esempio numerico per ottenere una stima a priori dell’incertezza con la quale

si misura la velocita della luce e per giustificare l’approssimazione appena fatta di considerareil cammino dell’impulso di luce interamente in aria.

Consideriamo i seguenti valori per le grandezze misurate:

• d = (9.000± 0.001) m

9

• s = (0.02500± 0.00001) m

• v ' 3 · 108 m/s da cui t '= 60 ns

• ∆t = 1 ns

Con questi valori, e assumedo q = 0 e k = 1, si ottiene:

∆v

v' ∆L

L+

∆t

t' 1

9000+

1

60' 1.7% (10)

Da questa stima si vede subito che il principale contributo all’errore su v e dato dall’incer-tezza su t, per questo la lunghezza del cammino percorso dalla luce puo essere misurata conun’incertezza di qualche centimetro, senza che questa influenzi l’accuratezza della misura.

Se si calcola poi l’errore sistematico relativo δv/v che si commette trascurando che partedel cammino della luce e nel vetro (nv ∼ 1.5), sottraendo l’eq.8 all’eq.7 si ottiene:

δv

v=s(nv − n)

ktnv' 0.06% (11)

Essa risulta, come atteso, di piu di un ordine di grandezza inferiore all’errore che si compiesulla misura della velocita della luce.

Si puo anche mostrare che con il livello di precisione fornito da questa misura, non e possibilediscriminare tra la velocita della luce in aria (n = 1.0003) e quella in vuoto. Infatti per poterdistinguere le due velocita occorrerebbe un’accuratezza relativa nella misura:

δv

v' c− c/n

c= 1− 1

n' 1− 1

1 + ε' ε = 0.03% (12)

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