Sull'equilibrio relativo magnetodinamico di masse gassose elettricamente conduttrici, rotauti e soggette allu

propria gravitazione.

CATALD0 AGOSTINELLI (Torino) (~)

A B r u n o F i n z i nel suo 70too compleanno.

Santo. - S i coJ~sidera l ' equi l ibr io re la t ivo mugnetodi~,amico di masse gassose e le t t r icamenfe coudu t t r i c i r o t a n t i e g rav i tan t i . S i s tabi l i scono in modo ge~erale le equaz ion i che reg- gol~o i l fenomel~o~ suppot~endo che oltre a u n moto di ro taz ione i~ torno a u n asse di s immetria~ vi Ma anche mov imen to ~ei p i q n i m e r i d i a n i e che il campo mag~et ico che s i genera s ia ne l l ' i n s i em e polo idale e toroidale .

1. - in questo lavoro, r iprendendo aleune mie ricerehe pubblicate in due note lineee [1], r iguardanti l' equilibrio relativo magnetodinamico di masse gassose elet tr icamente conduttrici, rotanti e gravitanti~ e riferendomi ancora al easo di un gas politropico, stabilisco in modo pifi generale le equazioni che reggono il fenomeno, supponendo che oltre a un moto di ro~azione intorno a un asse di simmetria, vi sia anche movimento nei piani meridiani e che il campo magnetico the si genera sia nel l ' ins ieme poloidale e toroidale.

Dalle equazioni del mote e del campo magnetico, introducendo una funzione V del eampo deduco intanto due notevoli relazioni le (31), che

esprimono la veloeith angolare ~o e la componente trasversa H~ del campo magnetieo, per mezzo di ire funzioni arbi trar ie F[V], G~V], q~(V] della fun- zione del campo, e per mezzo della densita ~. Stabilisco inoltre un 'equazione, la (33), ehe definisce la funzione del campo V, nella quale compare un ' a l t r a funzione arbitraria di V, e ottengo un integrale, (36), in cui ~ incognita la

densith ~, oltre la funzione V. Nel caso in cui il potenziale delte forze non elettromagnetiche agenti

sul gas siano quelle di mutua attrazione new~oniana delle particelle, in virtfi del l 'equazione di POISSO]~ si el imina detto potenziale e la questione viene cosi ridotta alia considerazione di due sole equazioni differenziali, le (33) e (37), eontenenti come incognite la densith 9 e la funzione V del campo.

(*) Entrata in Redazione il 6 luglio 1969.

172 CATALDO AGOSTINELLI: SulI equAlbrlo relativo magnetodillamico, ecc.

Par t ico larmente notevole ~ il case in cut il mote della massa gassosa puramente rotatorio interne a l l ' asse di simmetria, nel quale le equazioni precedenti si semplificano notevolmente.

Se pi~t in p~rticolare il moto di rotazione ~ uniforme, e il eampo ma- gnetieo t rasversale H+ ~ mullo, e sulia massa gassosa agisee un campo magnetico ua i forme He diretto seeondo l ' asse di rotazion% rieseo ad ottenere un 'equa-

zione differenziale del secondo ordine in cut ~ ineognita la sota densitfi, p, e ehe i) ann generalizzazione del l 'equazione di E~DE~. Da questa equazione deduce iutauto per la veloeit~ angolare di rotazione una limitazione da cut r isuIta che il l imite superiore gifi~ date da POI~CAR~ pub essere abbassato o inn~lzato in dipendenza dei valori del eampo magnetico.

Nel ease pot t he esista un legame fra ann certa costante /co da cut dipende la corrente di conduzione, e quindi iI campo magnetico indotto, e la veloeith angolare ~o0, e che questa eostante ko sin suff ic ientemente pieeola, dimostro come sin possibile per la massa gassosa una configarazione sferiea in cut lo sehiaeeiamento polare dovuto alla rotazione b compensate dal l 'a l - langamento assiale provocato dal campo magnetico. In questo case esiste uua soluzione del problema in cut la densith ? 5 funzione soltanto della dis- tanza ~ dal centre della sfera, mentre le componenti del campo magnetieo, che sono state determinate esplici tamente in funzione di ?(~), sono anche funzioni della colati tudine.

A considerazioni analoghe si perviene nelFipotes i e h e l a velocit'~ ango- lare sin variabile, e preeisamente sin l ineare rispetto alia funzione V del campo, (57), con un coefficiente ao dello stesso ordiae di grandezza della costante ko. ]~ possibile ancora in questo case una configurazione sferica nella quale in prima approssimazione la velocith angolare varia col quadrate della distanza daWasse, ed ~ propozionale al campo magnetico applicato He.

2. - Trat tandosi det mote stazionario di una massa gassosa di condutti- vith elet tr ica molto grande, tale da poterla r i tenere infinita, le equazioni da considerare, eel ben note significato dei simboli, sono (1)

(1)

(2)

(3)

(4)

I 1 ,) r o t v A o ~ g r a d v 2 " - ~ r o t H h H - - g r a d p - { - ? g r a d U

div (~o) = 0

rot (H A o) ~- 0,

div H ~ 0.

(~) Cfr. ['2], Cap. I I I , § 2, n. ~, p. 159.169.

CATALDO AGOSTINELLt: SulI 'equilibrio relativo magnetodinamico, ecc. i73

Supponendo inol t re che si t ra t t i di un gas poli t ropico avremo

(5) p = C~v

con C e $ costant i posit ive. Ammet t endo c h e l a mausa gassosa,, ol tre a un movimento di rotazione,

in generaIe non uniforme, in te rne a un asse z, abbia anche un mote net plant mer idiani , porremo

C6) v = ~ r a , + v=m + v~a~,

dove, con r i fe r imento a coordinate c i l indr iche r, % z, abbiano indica te con an, av, a: i versori delie direzioni secondo cut var iano ques te coordinate , e con vr, Cot, Vz le cor r i spondent i component i del la velocith v di nna par t ice l la gassvsa; ¢o ~ ovviamente la velocith angolare di rotazione.

Nel l ' ipo tes i del la s immet r i a ass ia le tut t i gli e lement i del campo e del mote sa ranno ind ipcndent i da l l '~momal ia W e funzioni sol tanto delle coordi. h a t e r , ~.

In questo case l ' equaz ione (2) di cont inu i th d iven ta

(7) r ~:(rgt ') + e~, e =) = O.

Analogamente , essendo Hr, H 9, /-/: le component i e i l indr iche del campo magnet ico, la condizione (4) porge

(8) r ?r - ~ - - 0.

Esiste qu ind i una funzione V(r, z), f u n z i o n e del campo , tale t he

I ~ V I ~ V ~9) H~ -- /4_- --

r ~z ' r ? r "

La (3) most ra pot t he sarh

(10) H A v = g r a d ~,

con (I) funzione di r, z. La (10) porge le equazioni scalar i

~09

(10') v~H: - v=H~ - - 0

3 0

174 CATALDO AGOSTINELLI: Sull'equilibrio relativo magnetodinamico, ecc.

La seeonda di queste mostra che in ogni piano meridiano la componente meridiana delia veloeit/~ ~ parallela al l 'analoga componente del campo ma. gnetico. Abbiamo ciob

(11) v~ - - $H~, v.~ = ~ t L ,

con ~ in generale variabile da punto a punto, e quindi, in virtfi delle (9),

(12) V r - - ' V z = - - - * r 3z ' r 3r

Sostituendo nella (7) abbiamo

che equivale alla

OV 3 ( ~ ) . 3 V V ~ ( ~ ) ' ~ r ~r ~ = 0 .

Da questa segue che ~ sara una funzione ~¢(V) di V, e quindi

(13)

Le (12) porgono per~anto

1 t I¢(v )OV __1 qf~ 3V (14) vr - - rp Oz ' v: : r ~ V) or "

Sostituiamo ora i valori (14) di v~, v~, e i valori (9) di Hr, H~ nella prima e nella terza delle (10'). Abbiamo cosi

(15)

Eiiminando da queste la funzione + si deduce che l 'espressione ~ ( V ) I ! J ( r ? ) - o ) sarh pure una funzione di V. Porremo quindi

q~'(V) ~o - - - - H~ = F ( V ) ,

r,~

con F funzione per ora arbi t rar ia di V,

CATALDO AGOSTINELLI: SulI'equilibrio relativo magnetodinamico, ecc. 175

3. - Consideriamo ora t 'equazione (1 per le (14) possiamo scrivere

(17)

Si ricava quindi

(18)

(19)

del moto. Osserviamo intanto che

IF V - - r ~ g r a d VAa+-[-+ra+.

ro o 1 = r ~(~)r~)a=--~ (°~r2)a~ -- ~-r(r-~ ~ \ ~ ] ) ag"

rotvAv=-- + g r a d ( ~ o C ) + ~ ~ ~ r +~3-z]l gradV +

W{D, 23V D 2 DV} + ~ ~z ((or) -~ -- Dr (~or) ~ grad

Cosi pure per le (9) si ha

(20)

e ponendo

H = grad V ^ grad ~o + rH~ grad %

D (21) v ~ v = r ~ : \ ~ ] -~z-y,

dove V2 ~ l 'operatore di BELTRAMI assoeiato al 52 di L A P L A C E , si ottiene

(22) rot H - " - - V 2 V g r a d ~o + grad (rH~) A grad

V2V 1 (23) rot H A H -- r2 grad V- - ~ grad ( r H ~ ) 2 - -

~(rH~) D V Dz Dr 1"

1 t D(rH~) D V r ~r Dz

Sostituendo le (19) e (23) nella (1) abbiamo

(24) to grad ((or 2) -]- ~ ~-r ~ ~r + ~z ~ grad V --

WI 3(¢orz) DV D 2 DV gradq~-- r~ Dz Dr Dr (tot)

176 CATALDO AGOSTINELLI: SulI'equilibrio relativo magnetodinamico, ece.

+ l + vi. I - - ~ , g r a u grad P,~) -- U + r t ~r ~z ~z crJ ) dove per la (5)

(25) P(p) = ~ dp -- Y _ 1 U-~"

Poichb per la supposta simmetria assiale gli elementi del campo e del mote sono indipendenti da lFanomal ia % la (24) si scinde nelle due equazioni

grad V - -

= ~ ~ grad + z r ~grad(rH~) 2 -4- gradII , r

dove per semplicith si 6 posto

l v 2 - - U. (28) n = P(~) +

La (26) si pub scrivere

1 3 ((or2) ~,rH~) ) ~c V { ti; ~(tor2 ) 3(rH~) } ~ V O,

ed essendo W - - ~ ' ( V ) , si pub sorivere ancora

aV ~ 3V (29') ~cz ~ (r2° " W -- l~rH~) ~ - - x r (r2to • W - - llrH~l. • -~ = O,

da cui segue che F espressione r2toW--l~rHv sarh una funzione di V, ehe indicheremo con - - ~t G(V):

(30) r2o)W - - ~rH, ---- -- [~G( F).

D a questa equazione e dalla (16) ricaviamo

G( V) -~ r2~F/ t~ F( V) + q~'G/(r29) (31) rH~ = 1 - - W~/(~p) ' to-- 1 - - W2/(~tp) '

CATALDO AGOSTINELLI: SuIl'equiIibrio reIativo magnetodinamico, ecc. t77

le quali espr imono la componen te H~ del campo magne t ico e la velociti~ an- golare o per mezzo delle funzioni a rb i t ra r ia W(V), F(F), G(V), e per mezzo della densi t~ 0.

4. - 0 s se rv iamo ora che in virtfl del la (16) e del la (30) si ha successi- vamen te

grad (rH,) ~ ---- o) grad (~or ~) - - 2 ~

1 --" - { r 2 o J ? grad (for 2) - - ~rH7 grad (rH~) } :

r27

1 = r2-- ~ { [W(V) • rH~ -{- r2eF( V)] grad (¢or 2) - ~rH~ grad (rHv)} :=

tI~ { IF( V). grad (for 2) - ~ grad (rH~) } + F grad (to, 2) - -

_-- H__~ [ grad ( W ~ r 2 - - ~rH~) - - ~or ~ grad tI; } + F(V) grad (~or 2) - -

H~ { grad (~tG) + (or 2 grad tF } + F(V) grad (~or 2) = r?

_ H~{ dG_{_ dW I ,2dF -- - - r ~ ~ c/~V ~or 2 ~/-]? grad V -[- grad (¢or-~F) - - (or ~ grad V.

So t i tuendo nel la (27) abbiamo

(32)

~e@ dG + d ? ¢or2 ~--~)d-~or 2 d F [ ! grad V,

net la quale in luogo di H~ e di o~ si dev(mo in t ende re costi tui t i i valori (31). Pe r l ' i n t egrab i l i th de l l ' equaz ione (32), la quan t i th del s e c o n d o membro

che mot t ip l ica grad V, deve essere u n a funz ione di V che ind iehe remo con K'(V) = dK/dV:

I (33) - - ~ ~ + t°r2 -d-V) + o~r d17 : K ' ( F ) .

Annali di Matematica 23

178 CATALDO AGOSTtNELLI: Sull'equilibrio relativo magnetodinamico, etc.

Allora, poichb r isul ta

(34)

la (32) diventa

l (35) grad I P,~) - - ~or2(F-- ~

da cui segue l ' in tegra le

(36)

v 2 -- r:~o -~ + r~l~ WP~ V)(grad V) 2

~If2

l 1 ) ~2 P ~ ) - - (orPiff - - 2 to -f- ~ (grad V) 2 - - U - - K(V) = cost.

La (33)e la (36)cost i tu iscono due equazioni nelle incognite g, V, dove W, F, G, K sono funzioni arbi t rar ie di V, che si possono assegnare caso per

caso secondo ]a na tura del problema che si considera. Ricavate le funzioni t~, V, le (31) danno senz 'a l t ro la velocith angolare to e la componente t rasversa H+ del campo magnetico. Le (9) e ]e (14) danno poi le altre component i del campo magnet ico e del la velocith.

Nel caso in cui il potenziale U delle forze non e le t t romagnet ichc ~ quetlo

delle mu tue attrazioni newtoniane de l le par t icel le fluide, esso si pub e l iminare p rendendo la divergenza di ambo i membr i della (35), oppure il 52 di LA- PLACE di ambo i membr i della [36), e osservando the per F equazione di PoIsso~¢ si ha A 2 U = - - 4 u f ~ , essendo f la costante di at trazione universale. Si ottione cosl l ' equaz ione

(37) ~2 _~ K(V) 1 4~:f~ 0.

5. - U n caso par t ico larmente notcvole b quello in cui si faccia W - - 0 . In questo caso per le (14) le component i vT e v~ della velocit/~ sono identica- mente nulle e si t rat ta quindi di un moto rotatorio della massa gassosa intorno a l l 'asse z9 in generale non uniforme.

Inol t re le (31) porgono

(38) o~ -- F(V), rH , -- G(V)

e quindi la ve loc i t / angotare ~o ed rH+ sono funzioni soltanto di V. La (33) e la (37) d iventano ora pifi sempl icemente

(39) ( i 1 v pv + ~. d r / + r2 0 rb -d~ + ~ =

CATALDO AGOSTINELLI: Sull'equilibrio relativo magnetodinamico, ecc. 179

(40) I r2F2 __ h (V) } -~- 4~f~ = O.

Se pifl in part icotare si t rat ta di an moto di rotazione uniforme con veloeiti~ angolare ¢oo costante, e supponiamo nulla ta componente trasversale H~ del eampo magnetico, dobbiamo porre F--~oo, G - - 0 . Ritenendo inol~re K(V) funzione l ineare di V, ponendo ciob K : - - k o V , con ko eostante, le equazioni (39) e (40), tenendo conto della (25), si riducono alla seguenti

k. (41) V2V : "-" T2~9

I Cy } 2 (42) ~2 y ~ i ~-~ + koV + 47:fp = 2~o0.

V2V Nelle ipotesi ammesse r isul ta rot H - - - a , , e quindi per la pr ima

r dolle equazioni di 3IASWEIm, essendo trascurabile la corrente di spostamento in confronto della corrente di conduzione I, si ha

k 0 I - - r ~ • a ~ .

Questa mostra the la corrente di eonduzione ~ diretta t rasversalmente ed proporzionale alla distanza dall 'asse ed alla densit/~.

Ricordando l 'espressine (21) del V2V, abbiamo

2~V A2V= V 2 V-~- r ~r '

I~V dove per la seconda delle (9) ~ r ~ --H_- Se supponiamo che la massa gas-

sosa sia soggetta ad un eampo magnetieo uniforme Ho, diretto secondo l 'asse di rotazione, e indichiamo con h~ la componente assiale del campo magne- tieo indotto, abbiamo allora

Se supponiamo ancora the il campo magaetico indotto sia suff icientemente piccolo in confronto del campo magnetico applicato H0, tale da poter tra-

I ~ V scurare il rapporto h:/Ho in confronto del t 'uni ta , possiamo porte r ~ ~ Ho, e allora per la (41) r isulta

180 CATALDO AGOSTINELLI: SulI'equilibrio relativo magnetodinainico, ecc.

(43) }~o r2 ~

e la (42) si t rasforma nella seguente

(44) "( -- 1 52~r-~ -~- 4" f - f -~ r~ ,o : 2~oo -- kotto).

Quest 'u l t ima equazione eontiene come incognita la sola densit~ ~ e si pub considerare una generalizzazioue del l 'equazione di EMDE~ del l 'equi l ibr io stellare. Ottenuta la densith ~ la (41) defi~fisce la funzione V del campo ma- gnetico.

Pe r quanto r iguarda le condizioni al contorno, trattandosi di una massa gassosa t ibera nello spazio e soT gett,~o alla propria gravitazione, sul contorno sar'~ ~ =: 0. Inoltre sulla superficie l ibera z la componente normale del eampo magnetico indotto sari~ pure nulla, e avremo quindi

cio6

(45)

13V 13F ) ( H - - H o ) X n - - - r ~ z a , 4,--r~ra.. X n - - H o X

1 r g r a d V X a ~ A n - - H ° X n = O '

dove n 6 il versore della normale alla superficie esterna. Ponendo

1 (46) v - - e~-:~ .... u,

l ' equazione (44) diventa

1 (47:f A- k~ ) 2(~o~- koHo) (47) 5_~u -~- C(v --~ 1) ~ r2 ~tv "-" C(v -~- 1)

Da ques ta equazione possiamo ricavare alcune conseguenze notevoli. Se la massa gassosa oceupa un volume S, limitato da una superfieie z, e integria.

mo ambo i membri della (47) rispetto ad S, abbiamo

f d,, 4=f dn dz -l- C(v -[- 1)m -4- C(v -~ 1)~

O-

2(¢o~ - - koHo) S I : C(v ÷ 1) '

dove m - - f u ~ d S - - - - f ~ d S 6 la massa totale del gas ed I - - f r 2 ~ d S ~ il mo- s s s

mento d ' inerzia rispetto a l l ' asse di rotazione.

CATALDO AGOSTINELLI: SulI'equilib~'io relativo maguetodiuamico, ecc. 181

Po iehb per la s tabi l i th d e l l ' e q u i l i b r i o re la t ivo del la massa gassosa, sul la du

super f i c i e l ibe ra b necessar io che s i a ~ < 0, ne d e d u c i a mo per la velocit/~

ango la re di ro taz ione la l imi taz ione

(48)

dove ? , ~ - - J ' ~ d S / S ~ la densit 'h media del la massa gassosa. s

Dal la (48) segue che il l imi te supe r io re di PoIs~CAn]~ pe r ef fe t to del campo magne t i co pub essere inna lza to o abbassat% d i p e n d e n t e m e n t e dal va lore del la cos tan te ko (2).

6 . - Se ora suppon iamo che la cos tan te k0 a s suma il va lore

2 (49) ko - - o)o/Ho ,

e che ques to va lore sia s u f f i c i e n t e m e n t e piccolo da po te r t r a s c u r a r e ne l la 2 2 (47) il t e rmine kor/(4=f~) , in conf ron to de l l ' un i t h , anche per i pun t i pifi

d i s tan t i da l t ' a s se , essa si r i duce al ia ben nora equaz ione di EMDEST

4r:f u ~ = 0. (50) h2u + C(v -f- 1)

[n ques to easo sar/~ a l lora possibi le per la massa gassosa ro t an t e u n a con f igu raz ione sfer ica . Sotto o p p o r t u n e ipotesi d u n q u e in u n a massa gassosa e l e t t r i c~men te condu t t r i ee , u n i f o r m e m e n t e ro t a n t e in to rno a un asse, il campo

magne t i co indot to pub g e n e r a r e u n a l l u n g a m e n t o ass ia le ta le da c o m p e n s a r e lo s eh i aec i amen to polare dovuto al la ro taz ione e ave re qu ind i una conf igura- zione s fe r i ea de l la massa gossosa (3).

In ques te condiz ioni se i nd i eh i amo con ~ la d i s tauza di un pun to dal cen t ro del la massa sfer ica , la (50) fo rn i rh la funz ione u, e qu ind i la dens i th a, in funz ione di ~ e la massa gassosa sarh cos t i tu i ta di s t ra t i eoneen t r i c i omogeni .

{e) Per alcune notevolt estensioni del teorema di POINCA~ all~ Magnetofh~idodinamic~ collfrontare la nora di TINo ZEULI eitato in [3].

(3) La possibilith di avere una configurazione sferica nel caso di una massa i'luida incompressibile, elettricamento conduttrice~ uniformemente rota.nte intorno a un asse, fu d~ me dimostrata sin dal 1954 nella nota citata, in [4]. Confrontare al riguardo anehe ~ •agne- tofluidodinamica ~) Cap. I I I , § 2, 3~ p. 146.

182 CATALDO AGOSTINELLI: Sull'equilibrio relativo magnetodinamico, etc.

Nora la p- ~(~), da l la r isoluzione de l l ' equaz ione di EMDE~, ~ faci le r icavare la funzione V. Ri fe rendoe i a l l ' equaz ione (4i), se in t roduc iamo ancora la co la t i tud ine 0 di un punto, poich~ in coordinate sfer iche ~, 0 r i su l ta

sen 0 ~ I V~ V = + ~

abbiamo

(51) 32V sen O ~ [ 1 ~V ~o~ sen 2 0.

Cercando una soluzione del la fo rma

(52) V : (I)~) sen 2 0,

abbiamo per la funzione (I)(~) l ' equaz ione

(53. d20 2 2 d~ 2

che ammet t e l ' i n t eg ra l e

2 f f (54) ¢ ----- 2 H°~'2 3~-Ho ~(~)d~ - - ~ J 0 0

nul lo per ~--> 0. Ne segue

/55) V - - 2 Ho; 2 sen 2 0 + 3 ~ o 0 0

e le component i Hi , H0 del campo magnetico, secondo il raggio vet tore ~ e nel sense in cui crese l ' a n o m a l i a 0, r i su l tano

(57)

1 3V ~2 sen 0 30

0

0

1 3V H0 = -- " -- He sen 0 . . . . . . . . . .

sen 0 ~

0

sen O.

0

CATALDO AGOSTINELLI: Sult'equilibi'io reiativo magnetodinamico, ecc. 183

7. - Nel l ' ipotes i che si tratti ancora di moto puramente rotatorio (lI; = 0), e che sia hullo il eampo magnetico trasversale ( G ' - 0 ) , supponiamo ora ehe il moto rotatatorio non sia pifl uniforme e poniamo to uguale a una funzione l ineare di V:

(57) to = tool1 + ~oVl

con ~o costante suff icientemente pieeola, dello stesso ordine di grandezza della costante ko considerata prima.

Trascurando allora i termini di 20 ordine in :¢o e k0, le equazioni (39) e (40) porgono ora

(58) V2V = r2~ . . . . . . . . (ko aoto~r 2)

(59) ~: t C¥ ~ } ( y -- 1 ~-~ -]- (ko -- ~otoor2) V + 4~f~

Ma risulta :

23V ~ 2 V = W V + ~ 3r

= 2(o~.

3V 4V, 52/y2 V) = r 2 A u V - { - 4 r ~ q- 4V = ~'2V2V 2ff 6 r ~ +

ed 6 d ' a l t ra parte

~ r = H o 1 + ~ H o ,

percib, tenendo conto della (58) possiamo porre

a2 V = 2//o + r~--~ (ko - - ~o~o~r 2)

A2(r2 V) r4~ (ko - - aoto2or 2) + 6Hor 2 + 4 V. =-d

Sosti tuendo nella (59) e t rascurando al solito i termini di secondo ordine in ao e ko, abbiamo

(60) C,~ ~,~_~ + 4~:f~ - - ~o~O~(4V + 6Hot ~) = 2(to2o - - koHo). y - - 1

184 CATALDO AGOSTINELLI: Su l l ' equ i l ibr io re la t ivo maglze tod iuamico , ecc.

Nel caso part icolare in eui

2 2 (61) too ----- koHo, (ko " - too/Ho),

l ' equazione precedente, nel l 'approssimazione considerata, pub essere sostitui- ta dalla seguente

(62) C,{

che ~ l ' equazione di EMDESL Sar/~ pertanto possibile, anehe nel caso della rotazione non uniforme, una configurazione di equilibrio relativo della massa gassosa, sferica (o molto prossima a quella sferica), in cui la densith ~ funzione soltanto della distanza ~ dal centro della sfera.

Poich~ in questo caso aoto 2 --aokoHo ~ una quanti th di secondo ordine in So e ko, la (58) pub essere sostituita dalla

L (63) V 2 V : "-" r:~,

che ~ identica alia (41). Per la funzione V si ha ancora il valore espresso dalla (55) in coordinate sferiche ~, 0, e sussistono quindi ancora i valori (56) per le componenti H~, H0 del camp() magnetico.

Per quanto r iguarda infine la veloeit~ angolare di rotazione, in virtfl della ( 5 7 ) e della (55), t rascurando al solito i termini di secondo ordine in

2 ~o e o ~ o - k o / H o , si ha semplicemente

i 2 I i i 1 (64) ~)=¢oo 1 +2~oHo{ sen 20 =too i + ~ a o H o r 2 ,

clog la velocit~ angolare varia cot quadrate della distanza dal l ' asse di rota- zione.

CATALDO AGOSTINELLI: Sull'equilibrio relativo magnetodinamico, ecc. 185

BIBLIOGRAFIA

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-- - - , Sul l 'equil ibrio adiabatico magnelodinamico di u n a massa f luida gassosa gravi- tante in rotazione non u~iforme, ~ R e n d i c o n t i Accad . ~az . dei L ince i ~ Ser ie V I I I ~ Vol. X X V I I I ~ fasc. 3. - Matzo 1960.

[2] . . . . , Magnetofluidodiq~amica, ~, Ediz ion i Cremonese ))~ Roma, 1966.

[3] T. ZEULI, Sopva alcune generahzzaz ioni di un teo'rema di l~oincard in mag~etofluido- dinamica~ ~ R e n d i c o n t i Accad . ~ a z . dei :Lincei ~ ser ie V ] I ] ~ vol . X L V I ~ 1969.

[4] C. AGOSTINF~LL~ Sotuzioni s tazionarie delle equazioni della mag~etoidrodinamica inte. q'essanti la Cosmogonia, ,~ R e n d i c o n t i Accad. 57az. dei L i n c e i ~ Ser ie V I I I , Vol, X V I I , fasc. 5. • N o v e m b r e 1954.

Annali di Matematica 24