Geometria delle masse

APPUNTI DI FISICA – GEOMETRIA DELLE MASSE

Prof. Grasso Germano – Istituto Calamandrei – Crescentino

1

GEOMETRIA DELLE MASSE



2

I CORPI RIGIDI ED ESTESI

Ogni corpo, di qualsiasi forma e dimensione, fermo o in movimento, in moto rettilineo, curvilineo o

rotatorio, è composto da un sistema di masse, di solito, ma non necessariamente, collegate tra loro.

Il corpo può essere composto completamente dello stesso materiale e allora si definisce omogeneo,

oppure da materiali differenti tra loro e quindi non omogeneo, inoltre all’interno del corpo possono

essere presenti zone in cui la materia è assente e allora si definisce discontinuo.

Il corpo è quindi assimilato ad un agglomerato di masse ed è definito “corpo esteso” per

distinguerlo dall’ipotetico e teorico “corpo puntiforme” che è stato utilizzato, ad esempio, per lo

studio del moto rettilineo.

Di solito, per le applicazioni normali della fisica, il corpo esteso ha una massa invariabile nel

tempo, ma non sono infrequenti i casi in cui si deve considerare anche la variabilità (come ad

esempio quando si considerano gli urti anelatici o i sistemi a massa variabile).

Il concetto di massa è poi sempre accompagnato dal concetto di volume, forma, densità, peso

specifico, peso, inerzia e stato.

Di particolare importanza il peso e l’inerzia per quanto riguarda la statica, la cinematica e la

dinamica.

Per quanto riguarda poi la definizione di corpo rigido, si parte dalla considerazione che il corpo sia

costituito da materia allo stato solido aggregata in particelle, collegate e unite tra loro, da forze

interne intermolecolari.

Tali forze interne sono le forze di coesione e la loro intensità dipende del tipo di materiale che

costituisce il corpo.

Esse possono essere assimilate, in modo analogico ed ideale, a molle elastiche deformabili per

effetto di forze esterne applicate al corpo (elasticità dei materiali), la cui robustezza sarà indicata dal

valore della “costante elastica caratteristica” elK .

La presenza di forze di coesione interne dovute all’elasticità dei materiali ci permetterà di definire

l’importante concetto di “Reazione vincolare” senza la quale non si potrà affrontare lo studio della

statica e della dinamica.

Il concetto di elasticità (legge di Hooke) sarà poi di fondamentale rilevanza per lo studio delle

deformazioni e delle conseguenti sollecitazioni interne strutturali sulle quali si basano le principali

teorie della Scienza delle Costruzioni applicate a tutti i manufatti siano essi fermi che in

movimento.

Rimandando ad altri momenti l’approfondimento dei concetti elencati, si vogliono ora prendere in

esame alcune caratteristiche fondamentali, tipiche di tutti i corpi o sistemi di corpi estesi, legate

principalmente alla forma geometrica della distribuzione delle masse e, di conseguenza, all’aspetto

esterno della massa.

Per questo motivo l’argomento che si affronta è “ LA GEOMETRIA DELLE MASSE” cioè la

distribuzione geometrica delle masse costituenti il corpo rigido ed esteso.

Si prenderanno in esame i corpi omogenei, costituiti perciò dallo stesso tipo di materia, sia continui

che discontinui.

Alcune volte, se non in contrasto con la teoria, sarà anche possibile scambiare tra loro due concetti

fisici assolutamente diversi quali la massa, ovvero la quantità di materia, e il peso, ovvero la forza

di attrazione esercitata dal campo gravitazionale terrestre (o di altro campo) sulla massa stessa.

Ciò è possibile, anche se non consigliabile, solo a condizione di aver appreso in modo definitivo la

differenza sostanziale tra le due grandezze, di utilizzare il chilogrammo come unità di misura del

peso, di far riferimento a ciò che accade sulla Terra e di utilizzare quel tanto di “leggerezza” che

può distinguere le scienze fisiche da quelle matematiche o chimiche.



3

IL MOMENTO STATICO DI UNA MASSA RISPETTO AD UN’ASSE

Siamo partiti ammettendo la presenza di un corpo rigido ed esteso avente dimensioni tali da

impedirci la possibilità di poterlo pensare puntiforme.

Come sappiamo il punto è definito come entità puramente geometrica, priva di qualsiasi dimensione

spaziale e da utilizzarsi esclusivamente come rappresentazione ideale per i fenomeni in cui la

traiettoria o la posizione sono di fondamentale importanza.

A ben pensare, la traiettoria o la posizione, nulla hanno a che fare con le dimensioni fisiche reali del

corpo che invece la percorre o la occupa.

E’ però impossibile immaginare un corpo, anche se pensato piccolissimo, completamente privo di

dimensioni spaziali quali la larghezza, lunghezza e spessore che, alla fine, ci consentono di

individuarne la forma.

Di solito, il passaggio dal concetto di punto geometrico a punto materiale, avviene spontaneamente

trasformando il “punto geometrico” in una sua visualizzazione tridimensionale ingrandita che è poi

riconosciuta come una “sfera”.

Di raggio piccolo a piacere ma pur sempre una sfera.

Per chi pensa che la sfera possa comunque comportare problematiche non semplici da risolvere

esiste sempre la possibilità di scegliere forme più geometriche come ad esempio un cubo.

Di lato piccolo a piacere ma pur sempre un cubo.

Le due scelte comportano vantaggi e svantaggi: il cubo ha il vantaggio di non avere superfici curve

ma solo piane consentendoci, in questo modo, di visualizzare due dimensioni contemporaneamente

senza doverci sforzare al pensiero di cosa capita alla terza; il cubo ha il vantaggio di aver solo sei

facce laterali che, tra l’altro, sono parallele a due a due, inoltre gli spigoli formati dall’incontro dei

piani delle facce del cubo ci indicano, di solito, le direzioni, tra loro perpendicolari, della terna

d’assi cartesiani che usiamo come sistema di riferimento.

Certamente la sfera ha una forma più accattivante, perfettamente tonda, senza spigoli e poi, cosa

dire del fatto che tutti i punti giacenti sulla sua superficie hanno la stessa distanza dal punto

centrale?

La sfera sembrerebbe perfetta ma il suo volume e la sua superficie ci complicherebbero

notevolmente la vita non fosse altro che per la presenza di quel che non finisce mai con i

decimali!

Certo che la natura si presenta sempre in forma sferica piuttosto che cubica e sappiamo anche il

perché, ma nessuno osa confrontarsi con la natura.

La conclusione è che utilizzeremo ora la sfera ora il cubo secondo le necessità e il nostro stato

d’animo.

Tornando al corpo rigido esteso e ammettendo che esso è sicuramente individuato dalle tre

dimensioni spaziali che definiamo ZYX , ci torna in mente la fatica, subentra la pigrizia e

ci sforziamo di semplificare, ove possibile, il problema.

In fondo non sarebbe quella gran differenza se provassimo ad immaginare il corpo tagliato in tanti

strati, sottilissimi, da studiare ad uno ad uno e, da sommare a studio effettuato, ricostruendo il corpo

esteso.

Buona idea pensiamo: meno fatica per immaginare la profondità e, nel medesimo tempo, possiamo

individuare le superfici attraverso le quali si manifesteranno le probabili sollecitazioni dovute a

cause esterne o interne.

Ecco che, allora, il corpo si è trasformato in tante fettine ognuna delle quali è caratterizzata da solo

due dimensioni in evidenza, mentre la terza, ad esempio la profondità, possiamo ridurla quasi a

piacere.

La terza dimensione, piccola a piacere, confrontata con le altre due perde interesse e può quindi

essere trascurata.

E’ certamente una buona idea, sarà usata spesso e volentieri, ma con un certo criterio.



4

Ci troviamo ora alla presenza di un corpo la cui profondità, che di solito faremo coincidere con la

dimensione individuata dall’asse Z , è molto ridotta e quindi trascurabile.

Possiamo dire, a questo punto, che il corpo tridimensionale si è trasformato in un parallelepipedo i

cui spigoli X e Y sono notevolmente più grandi dello spigolo Z .

La massa complessiva del corpo potrà, a questo punto, essere pensata come somma delle masse di

tante piccole particelle a forma di cubo ognuna delle quali di lato uguale allo spessore .Z

La posizione, all’interno della massa totale, di ogni singola particella sarà nota tramite i valori delle

coordinate rispetto ad un sistema di riferimento bidimensionale con origine in un punto qualsiasi del

piano YX della posizione dei punti centrali dei quadrati ognuno dei quali, essendo piccoli a

piacere, può ancora essere considerato puntiforme.

Figura 1 – DISTRIBUZIONE DI MASSE n

m IN UNO STRATO RETTANGOLARE DI MASSA M

MOMENTO STATICO RISPETTO ALL’ASSE Y

Nella figura sovrastante è raffigurato un qualsiasi strato rettangolare di spessore Z ricavato da un

parallelepipedo avente spigoli paralleli agli assi del sistema di riferimento cartesiano.

La massa complessiva è stata suddivisa in 112 elementi o particelle di massa i

m .

Se lo strato è composto interamente dello stesso materiale, con la stessa densità volumetrica, le

particelle, essendo di volume uguale, saranno composte della stessa quantità di materia.

Ma ciò non è strettamente indispensabile.

Si definisce MOMENTO STATICO Y

S delle masse i

m rispetto all’asse Y , la sommatoria dei

prodotti di ciascuna massa per la rispettiva distanza i

X dall’asse Y .

La distanza è, in questo caso, misurata perpendicolarmente all’asse, ma può anche essere misurata

non perpendicolarmente e inclinata di un angolo .



5

Essendo il prodotto di una massa per una distanza, le unità di misura del momento statico rispetto

ad un’asse saranno:

YS → mkg

Quindi il MOMENTO STATICO complessivo rispetto all’asse Y sarà espresso dalla seguente

formula:

i

112n

1n

iYXmS

IL CENTRO DI MASSA O CENTRO DI GRAVITA’

Il CENTRO DI MASSA dell’intero sistema, che corrisponde al centro di gravità e anche al

baricentro geometrico della figura, a condizione che il corpo sia composto completamente dello

stesso materiale, è definito dal punto in cui può essere pensata concentrata la massa complessiva del

corpo.

Partendo da questo presupposto e riferendoci alla definizione di MOMENTO STATICO

precedente, è piuttosto ovvio che, pensando di concentrare tutta la massa nel centro di massa, e

calcolando il momento statico complessivo bisognerà tenere conto della distanza del centro di

massa dall’asse Y .

Se indichiamo la distanza del centro di massa con .M.d.C

X , il momento statico complessivo di tutta

la massa rispetto all’asse Y sarà:

.M.d.CY XMS

Evidentemente il momento statico calcolato con questo secondo sistema dovrà essere uguale a

quello calcolato tenendo conto di tutte le particelle.

Quindi:

YYSS

Da cui:

112n

1n

ii.M.d.CXmXM

Da cui si ottiene la distanza .M.d.C

X del Centro di massa dall’asse Y :

M

Xm

X

112n

1n

ii

.M.d.C

Ora, con l’ipotesi che il corpo sia effettivamente costituito dello stesso materiale, e allo scopo di

semplificare il problema, consideriamo che il centro di massa corrisponda esattamente con il

BARICENTRO GEOMETRICO e anche con il CENTRO DI GRAVITA’.

D’ora in avanti il punto in cui può essere concentrata tutta la massa del corpo sarà definito

BARICENTRO e sarà indicato con la lettera G.

Per cui la formula precedente assumerà la forma:



6

M

Xm

X

112n

1n

ii

G

Con essa potremo calcolare la distanza dall’asse Y del baricentro G .

Non abbiamo, però ancora risolto il problema in quanto esistono infiniti punti del piano YX che

sono distanti G

X dall’asse Y .

Solo uno di essi è il baricentro reale e, per il suo posizionamento finale, occorre la seconda

coordinata G

Y ovvero la sua distanza dall’asse X .

Per calcolarla definiamo, esattamente come prima, il MOMENTO STATICO delle masse rispetto

all’asse X .

Figura 2 - DISTRIBUZIONE DI MASSE n

m IN UNO STRATO RETTANGOLARE DI MASSA M

MOMENTO STATICO RISPETTO ALL’ASSE X

Il MOMENTO STATICO delle masse rispetto all’asse X sarà:

i

112n

1n

iXYmS

Mentre il momento statico della massa complessiva per la distanza G

Y :

GX YMS



7

Da cui:

XXSS

Infine:

M

Ym

Y

112n

1n

ii

G

E’ questa la seconda coordinata del Baricentro o Centro di massa che ci consente la reale

individuazione di G all’interno del sistema di riferimento cartesiano scelto.

Quindi, concludendo e generalizzando il problema, le coordinate del baricentro di un sistema di

masse disposte in un piano YX , qualunque sia il loro numero e posizionamento, sono ricavabili

dalle due formule:

M

Xm

X

qualsiasin

1n

ii

G

M

Ym

Y

qualsiasin

1n

ii

G

Se ripetiamo lo stesso ragionamento considerando il corpo disposto nello spazio, ricaviamo anche la

terza coordinata del baricentro:

M

Zm

Z

qualsiasin

1n

ii

G

Per quanto riguarda lo strato di materia preso in considerazione nei disegni precedenti,

considerando che esso è un rettangolo, le coordinate del baricentro saranno tali da individuare il

punto mediano:

2

XXX

12

G

2

YYY

12

G

Le formule ricavate con il calcolo del momento statico sono valide per qualsiasi distribuzione di

masse sia essa continua che discontinua; di conseguenza le coordinate del centro di massa possono

essere caratterizzare sia un punto interno al sistema sia esterno.

Il centro di massa può cioè essere un punto appartenente fisicamente al corpo oppure un punto che,

fisicamente, non appartiene al corpo e che è, quindi, esterno.

Per il calcolo dei MOMENTI STATICI, relativamente al segno algebrico da assegnare alle distanze

dagli assi delle masse, si seguirà il seguente principio:



8

Il momento statico di una massa rispetto ad un asse sarà considerato positivo se la distanza

della massa dall’asse di riferimento è dalla parte dei numeri positivi, negativo se il contrario.

Figura 3 – COORDINATE DEL CENTRO DI MASSA O BARICENTRO DEL RETTANGOLO.

LE CARATTERISTICHE DEL CENTRO DI MASSA O BARICENTRO

Per come è stato definito il centro di massa e per quanto è stato esposto precedentemente circa i

segni algebrici da assegnare alle distanze, è possibile concludere che:

Il MOMENTO STATICO delle masse costituenti un corpo rispetto ad un qualsiasi asse

passante per il baricentro è nullo

0XmSi

qualsiasin

1n

iGY

0YmSi

qualsiasin

1n

iXG

Qualsiasi corpo, vincolato o appeso nel suo centro di massa e in condizioni di iniziale

quiete, mantiene il suo stato di quiete per un tempo infinito.

Le condizioni dinamiche del movimento causato da un sistema di forze che agisce sul corpo

non cambiano se lo stesso sistema di forze è applicato nel centro di massa.

Comunque sia complessa la traiettoria mantenuta dalle particelle costituenti un corpo in

movimento, il baricentro mantiene, invece, una traiettoria semplice.

Ogni corpo può essere scomposto in elementi più semplici come rettangolo, triangolo,

cerchio ed archi di circonferenza ecc. ecc.

Il centro di massa complessivo può essere pensato come centro di massa di tutte le masse

semplici ognuna delle quali, a sua volta, ha un centro di massa facilmente riconoscibile.



9

I momenti statici delle masse semplici costituenti il corpo nel suo complesso e pensate

concentrate nei rispettivi centri di massa sono uguali al momento statico di tutta la massa

pensata concentrata nel centro di massa unico.

BARICENTRI CARATTERISTICI DI SEZIONI O SUPERFICI SEMPLICI.

Come già detto in precedenza, ogni sezione complessa può essere scomposta in più sezioni di forma

semplice in cui la posizione del centro di massa risulta facilmente individuabile.

Le sezioni semplici notevoli sono le seguenti:

Rettangolo

Triangolo

Quadrilatero

Trapezio

Cerchio

RETTANGOLO

Il baricentro di un rettangolo è all’incrocio delle mediane ai lati o delle diagonali.

Figura 4 – BARICENTRO DI UN RETTANGOLO HB

TRIANGOLO:

Per un triangolo qualsiasi la posizione del baricentro è individuata dal punto d’incrocio delle rette

mediane passanti nei rispettivi vertici opposti.

Inoltre il baricentro divide i tre segmenti mediani nel rapporto 3

2 e

3

1.



10

Figura 5 – BARICENTRO DI UN TRIANGOLO.

QUADRILATERO:

Di solito il quadrilatero è diviso in due triangoli di area 1

A e 2

A e, per essi si riconosce la

posizione dei relativi baricentri 1

G e 2

G dall’incrocio delle mediane. Il baricentro G del

quadrilatero è collocato sul segmento che 21

GG ad una distanza da 1

G pari alla distanza HG2

oppure ad una distanza da 2

G pari a HG1

.

Figura 6 – BARICENTRO DI UN QUADRILATERO ABCD



11

Figura 7 – BARICENTRO DI UN QUADRILATERO ABCD

TRAPEZIO:

Il baricentro del trapezio è collocato sul segmento che unisce i punti medi delle due basi all’incrocio

con la retta che si ottiene prolungando, da una parte, la base minore con un segmento pari alla base

maggiore e dall’altra la base maggiore con un segmento pari alla base minore.

Figura 8 – BARICENTRO DI TRAPEZIO



12

ESEMPI DI CALCOLO

Esempio 1:

Date cinque masse di densità diverse, collocate in un piano YX come da disegno seguente,

calcolare le coordinate del loco centro di massa.

Ognuna delle masse ha uno spessore di 5 mm.

Le densità specifiche delle masse è:

1d =

3dm

kg20 2d =

3dm

kg0,3 3d =

3dm

kg5,0 4d =

3dm

kg5,8 5d =

3dm

kg5,6

Figura 9 – BARICENTRO DI SISTEMA DI MASSE DISCONTINUO

Soluzione:

Calcolo della grandezza delle masse:

kg400dm05,0dm20dm20

dm

kg0,20VdM

3111

kg15dm05,0dm10dm10

dm

kg0,3VdM

3222

kg5,7dm05,0dm30dm10

dm

kg5,0VdM

3333

kg85dm05,0dm10dm20

dm

kg5,8VdM

3444

kg5,32dm05,0dm10dm10

dm

kg5,6VdM

3555



13

Calcolo della coordinata GX del baricentro complessivo:

T

Y

5i

1i

i

5i

1i

Gi1

GM

S

M

XM

X

54321

5G54G43G32G21G1G

MMMMM

XMXMXMXMXMX

540

5,25,324855,25,75,4154400X G

m32,2540

255.1X G

Calcolo della coordinata GY del baricentro complessivo:

T

X

5i

1i

i

5i

1i

Gi1

GM

S

M

YM

Y

54321

5G54G43G32G21G1G

MMMMM

YMYMYMYMYMY

540

5,25,325,2855,25,75,6154400X G

m63,2540

422.1X G



14

Esempio 2:

Determinare il centro di massa di un corpo a forma di U avente le dimensioni riportate nel disegno

sottostante. Si suppone che il corpo sia omogeneo, di densità pari a

3cm

g8d e di spessore

mm10Z .

Figura 10 – BARICENTRO DI CORPO SCOMPONIBILE IN RETTANGOLI. SISTEMA CONTINUO.

Soluzione:


g800.4dm0,1cm10cm60

cm

g0,8VdM

311

g000.4cm0,1cm10cm50

cm

g0,8VdM

322

g400.2cm0,1cm10cm30

cm

g0,8VdM

333


T

Y

3i

1i

i

3i

1i

Gi1

GM

S

M

XM

X

321

3G32G21G1G

MMM

XMXMXMX

200.11

5,4400.25,2000.45800.4X G

dm4X G



15


T

X

3i

1i

i

3i

1i

Gi1

GM

S

M

YM

Y

321

3G32G21G1G

MMM

YMYMYMY

200.11

5,1400.25,3000.45,6800.4X G

dm36,4200.11

800.48X G

Esempio 3:

Determinare il centro di massa del sistema di masse omogenee illustrato in figura .

Si suppone che il corpo sia omogeneo, di densità pari a

3cm

g8d e di spessore mm10Z .

Figura 11 – BARICENTRO DI CORPO SCOMPONIBILE IN RETTANGOLI E CERCHI.

Soluzione:


Con l’ipotesi di corpo omogeneo e per il fatto che lo spessore con si modifica, le messe sono

evidentemente proporzionali alla superficie delle varie parti che compongono il corpo nel

suo complesso.



16

Per questo motivo si può procedere al calcolo determinando le superfici invece che le masse.

222i

2e

2

1 cm5501520RRS

2

2 cm3416410S

2

3 cm3001030S

2

4 cm9002045S

2

5 cm172443S

2

6 cm188447S

22

7 cm826.230S

2

TOTALE cm970.4S


T

Y

3i

1i

i

7i

1i

Gii

GS

S

S

XS

X

TOTALE

7G76G65G54G43G32G21G1G

S

XSXSXSXSXSXSXSX

2

3

G

cm970.4

cm016.84

970.4

45826.27188151721090014300353450550X

dm69,1cm90,16X G


T

X

3i

1i

i

7i

1i

Gii

GS

S

S

YS

Y

TOTALE

7G76G65G54G43G32G21G1G

S

YSYSYSYSYSYSYSY

2

3

G

cm970.4

cm814.24

970.4

35826.235188121723390060300603460550X

dm499,0cm99,4X G



17

Esempio 4:

Determinare il centro di massa del sistema planetario Terra-Luna .

La massa della Terra è kg10976,5M24

T , la massa della Luna è kg1035,7M22

L .

La distanza tra il centro di massa terrestre e lunare è di circa km000.400D

Figura 12 – CENTRO DI MASSA SISTEMA TERRA-LUNA

Soluzione:


T

Y

3i

1i

i

2i

1i

Gii

GS

S

M

XM

X

LUNATERRA

LUNA.GLunaTERRA.GTerraG

MM

XMXMX

0735,0976,510

)0735,0976,5(10000.200

100735,010976,5

000.200100735,0000.20010976,5X

24

24

2424

2424

G

km140.1950495,6

000.2009025,5

0495,610

10000.2009025,5X

24

24

G

Quindi in centro di massa per il sistema Terra-Luna è posto a circa 4.860 km da centro di gravità

terrestre.

La Luna ha quindi un moto di rivoluzione attorno a tale punto e non al centro di gravità terrestre.

Nello stesso tempo anche la Terra ha un moto di rivoluzione attorno al centro di massa che dura

esattamente quanto il tempo impiegato dalla Luna.

Inoltre la Luna ruota su se stessa impiegando un tempo pari al periodo di rivoluzione attorno al

centro di massa (circa 27 giorni) e, per questo motivo, rivolge alla Terra sempre la stessa superficie.



18

Esempio 5:

Determinare il centro di massa della sezione tipica di una struttura prefabbricata di copertura.

Figura 13 – COPPONE PREFABBRICATO DI COPERTURA.

Soluzione:


T

X

3i

1i

i

3i

1i

Gii

GS

S

M

YM

Y

cm24,27

302

4830

2

6425200

705,16302

48027,1630

2

6425,325200

yG


Per ragioni di simmetria la coordinata GX è pari alla metà della larghezza complessiva.



19

Esempio 6:

Determinare il centro di massa della sezione tipica di una trave prefabbricata a doppia pendenza.

Figura 14 – SEZIONE DI TRAVE PREFABBRICATA

Soluzione:


T

X

3i

1i

i

5i

1i

Gii

GS

S

M

YM

Y

cm39,110

10201216552

122010

2

12401040

5102098121651252

122018610

2

12401951040

y G


Per ragioni di simmetria la coordinata GX è pari alla metà della larghezza complessiva.



20

Esempio 7:

Determinare il centro di massa della sezione tipica di una trave da ponte tipo cassone.

Figura 15 – SEZIONE DI TRAVE A CASSONE.

Soluzione:


T

X

3i

1i

i

5i

1i

Gii

GS

S

M

YM

Y

cm70,16320340202002502030600

1020340120202002275502023530600y

G


T

Y

5i

1i

i

5i

1i

Gii

GS

S

M

XM

X

cm07,2220340202002502030600

70203409020200230202002905020X

G



21

Esempio 7:

Determinare il centro di massa della sezione tipica di un muro di contenimento terra con relativa

fondazione.

Figura 16 – MURO DI CONTENIMENTO CON FONDAZIONE.

Soluzione:


T

X

3i

1i

i

2i

1i

Gii

GS

S

M

YM

Y

cm00,119

4002

402040300

2184002

40202040300

y G


T

Y

5i

1i

i

5i

1i

Gii

GS

S

M

XM

X

cm00,183

4002

402040300

2164002

402015040300

X G



22

DETERMINAZIONE GRAFICA DELLE COORDINATE DEL BARICENTRO

Per la determinazione della posizione del centro di massa di un qualsiasi corpo omogeneo, continuo

o discontinuo, si possono anche utilizzare sistemi grafici.

Il metodo più utilizzato è quello di una doppia applicazione della regola del poligono funicolare in

cui le masse dei corpi semplici costituenti il corpo nel suo complesso sono sostituite con vettori

aventi modulo uguale al valore delle masse (o delle superfici se il corpo è omogeneo).

I vettori sono applicati nei centri di massa di ogni particella.

Il centro di massa generale del sistema è determinato dall’incrocio delle direzioni delle risultanti di

due poligoni funicolari uguali e inclinati di 90° uno rispetto l’altro.

Figura 17 – DETERMINAZIONE DEL CENTRO DI MASSA CON IL POLIGONO FUNICOLARE.



23

I MOMENTI DI SECONDO ORDINE

IL MOMENTO D’INERZIA ASSIALE

Sempre considerando un sistema di masse n321

m,.........m,m,m , contenute in un piano e

costituenti un corpo di massa

ni

1i

imM , si definisce MOMENTO D’INERZIA del sistema di

masse rispetto ad un asse X appartenente al piano, la somma dei prodotti delle singole masse per il

quadrato delle rispettive distanze misurate perpendicolarmente all’asse X e quindi parallele

all’asse .Y

Figura 18 – MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO AD UN ASSE X QUALSIASI

Il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE, rispetto all’asse X è:

ni

1i

i

2

iXYmJ

Le unità di misura del MOMENTO D’INERZIA ASSIALE sono:

ni

1i

2

i

2

iXmYkgmJ →

XJ 2

mkg



24

Il più delle volte, considerando la proporzionalità della massa alla densità e al volume del corpo, si

preferisce sostituire con la grandezza superficie la massa; il momento d’inerzia risulterebbe così

espresso da:

ni

1i

2

i

22

iXmYmSJ → 4

XmJ

Allo stesso modo è definito il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto a un’asse Y qualsiasi:

ni

1i

i

2

iYXmJ

Solitamente, specialmente per i corpi che sono utilizzati per la realizzazione di costruzioni (travi in

acciaio, in legno, in cemento armato) e che sono caratterizzati da differenze sostanziali tra due

dimensioni spaziali e la terza, i momenti d’inerzia assiali X

J e Y

J hanno valori diversi tra loro.

Considerando che le masse costituenti il sistema non possono, evidentemente, assumere valore

nullo e che il quadrato di un numero negativo è, comunque, un numero positivo, si può dedurre che

il momento d’inerzia assiale è sempre POSITIVO o NULLO, cioè sempre maggiore o uguale a

zero:

0JX

0JY

CASI PARTICOLARI:

Il MOMENTO D’INERZIA X

J o Y

J ha un valore nullo solo nel caso in cui tutte le masse

im costituenti il sistema siano collocate rispettivamente, esattamente sull’asse X o

sull’asse Y di riferimento.

I MOMENTI D’INERZIA XG

J eYG

J calcolati rispetto a due assi perpendicolari X e

Y passanti nel centro di massa o baricentro, sono, tra tutti i possibili momenti d’inerzia

calcolati rispetto ad assi non baricentrici, quelli che hanno valore minimo.



25

IL MOMENTO D’INERZIA ASSIALE COME MOMENTO STATICO DEI

MOMENTI STATICI

La formulazione del MOMENTO D’INERZIA ASSIALE così come precedentemente vista può

essere scritta anche in un altro modo:

i

ni

1i

ii

ni

1i

i

2

iXYYmYmJ

i

ni

1i

iiXYYmJ

Dunque, paragonando la relazione con quella che fornisce il valore del momento statico delle masse

rispetto ad un asse X , si riconosce che il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE è anche il momento

statico dei momenti statici dei valori ii

Ym pensati al posto di i

m .

Ora, se la coordinata G

Y del centro di massa rappresentava la distanza alla quale porre tutta la

massa M del corpo per ottenere lo stesso valore di MOMENTO STATICO X

S , è possibile

estendere tale concetto anche al MOMENTO D’INERZIA ASSIALE:

La radice quadrata del rapporto tra il MOMENTO D’INERZIA ASSIALE X

J e la massa

complessiva M è definito RAGGIO D’INERZIA rispetto all’asse X :

ni

1i

i

ni

1i

iii

Xx

2

m

YYm

M

J =

In cui:

x

(ro) RAGGIO D’INERZIA (m) rispetto all’asse X

Il significato fisico del raggio d’inerzia (raggio giratorio) è il seguente:

Il raggio d’inerzia X

è la distanza, misurata perpendicolarmente all’asse X , in cui

concentrare tutta la massa M del corpo per ottenere lo stesso valore del momento d’inerzia

XJ .

Cioè:

MmJ

ni

1i

X

2

iX

2

X

Tutto quanto detto vale anche per il momento d’inerzia rispetto all’altro asse, per cui si ottiene:

i

ni

1i

ii

ni

1i

i

2

iYXXmXmJ

i

ni

1i

iiYXXmJ



26

ni

1i

i

ni

1i

iii

YY

2

m

XXm

M

J

Y

(roY) RAGGIO D’INERZIA (m) rispetto all’asse Y

MmJ

ni

1i

Y

2

iY

2

Y

Esempio 1:

Dato un sistema di masse puntiformi collocate nel piano YX come da figura, determinare i

momenti d’inerzia X

J e Y

J del sistema rispetto agli assi cartesiani e i relativi raggi giratori

d’inerzia X

e Y

.

Le masse sono rispettivamente:

1M = 3 kg

2M = 2 kg

3M = 3 kg

4M = 5 kg

5M = 2 kg

Figura 19 – DETERMINAZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI J E DEI RAGGI GIRATORI .

SOLUZIONE:

Calcolo del momento d’inerzia rispetto all’asse X :

5i

1i

i2

iX YmJ = 52

542

432

322

212

1 YmYmYmYmYm

22222

X 25022505250365024003J

2

X cmkg000.950.1J

2

i

XX

2cm000.130

15

000.950.1

m

J



27

m5,3cm55,350cm000.1302

X

Calcolo del momento d’inerzia rispetto all’asse Y :

5i

1i

i2

iY XmJ = 52

542

432

322

212

1 XmXmXmXmXm

22222

Y 25024005)250(3)450(24003J

2

Y cmkg500.997.1J

2

i

YY

2cm166.133

15

500.997.1

m

J

m65,3cm92,364cm166.1332

X

Esempio 2 :

Dato un sistema continuo di masse collocate nel piano YX a formare un rettangolo di base B

ed altezza H, determinare i momenti d’inerzia X

J , Y

J e i relativi raggi giratori d’inerzia X

e

Y del sistema, rispetto agli assi cartesiani passanti nel centro di massa del rettangolo e paralleli

rispettivamente alla base e all’altezza.

Y

Y

Figura 20 – MOMENTO D’INERZIA BARICENTRICO DI UNA MASSA RETTANGOLARE CONTINUA.

SOLUZIONE:

Il calcolo dei momenti d’inerzia assiali baricentrici risulterebbe abbastanza agevole con l’uso delle

regole d’integrazione che, in questo ambito non risultano ancora acquisite.

E’ però possibile al calcolo utilizzando alcuni e semplici accorgimenti:



28

La massa del corpo rettangolare è evidentemente distribuita in modo uniforme in base allo

spessore del corpo e alla sua densità specifica.

La massa è quindi proporzionale alla superficie che si considera

Possiamo quindi sostituire la grandezza massa con la grandezza superficie.

Il rettangolo può essere scomposto in strisce parallele all’asse X per il calcolo del

momento d’inerzia X

J e in strisce parallele all’asse Y per il calcolo del momento d’inerzia

YJ .

Supponiamo di suddividere la metà dell’altezza H in un numero di strisce pari a N , per il

calcolo del momento d’inerzia X

J

Maggiore è il numero di strisce migliore è il risultato.

Ogni striscia, di larghezza pari alla base B del rettangolo, avrà quindi un’altezza pari a:

N2

HY

La superficie di ogni striscia, parallela all’asse X , sarà dunque data da:

N2

HBYBS

i

Se il numero N è sufficientemente grande, l’altezza Y di ogni striscia è sufficientemente

piccola per poterla considerare una superficie (o massa) puntiforme con baricentro collocato

nel punto mediamo dell’altezza Y .

La distanza del baricentro, misurata perpendicolarmente dall’asse X , cambierà in funzione

della striscia considerata secondo la semplice relazione:

2

YY1nY

i

O anche:

2N2

H

N2

H1nY

i

1n2N4

H

2

12n2

N2

H

2

11n

N2

HY

i

Per ogni striscia, parallela all’asse X , situata dalla parte positiva dei valori di Y , sarà

presente, dalla parte negativa, un’uguale striscia posta alla stessa distanza. Il contributo di

ogni striscia – considerata solo dalla parte positiva – per il calcolo del momento d’inerzia

XJ dovrà quindi essere considerato doppio.

Utilizzando queste ipotesi e precisazioni calcoliamo ora il momento d’inerzia della sezione

rettangolare rispetto all’asse X baricentrico.

Si tenga presente che il risultato finale sarà espresso in 4cm a condizione di utilizzare i cm

come unità di misura delle dimensioni geometriche.

Per riportare alle giuste dimensioni il valore del momento d’inerzia sarà sufficiente moltiplicare il

risultato per il valore dello spessore cm e per il valore della densità

3cm

kg.

Il valore del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X può essere calcolato con la formula

generale:



29

i2

Ni

1i

iXYm2J

Che è però proporzionale alla:

Ni

1i

i2

iXYS2J

La sommatoria è estesa a tutte le superfici (o masse) delle strisce in cui si è suddiviso il corpo che

risulta essere il doppio di N (N è il numero di strisce componenti la metà del rettangolo).

Possiamo quindi raddoppiare il contributo di ogni striscia tenendo conto che, ad ogni modo, il

quadrato di un numero negativo è comunque positivo.

Sostituendo, all’interno della sommatoria, i valori di i

S e i

Y come da ipotesi, si ottiene:

2Nn

1n

X1n2

N4

H

N2

HB2J

La sommatoria è estesa a tutte le N superfici i

S che hanno valore costante e che, quindi, in ogni

caso si potranno raccogliere a fattore comune anche all’esterno della sommatoria:

2Nn

1n

X1n2

N4

H

N2

HB2J

Da cui:

2

Nn

1n

2

22Nn

1n

X1n2

N16

H

N

HB1n2

N4

H

N

HBJ

Da cui:

Ni

1i

2

2

2

X1n2

N16

H

N

HBJ

Ni

1i

2

3

3

X1n2

N16

HBJ

Come si può notare il Momento d’inerzia è essenzialmente composto:

Valore fisso dipendente dalle dimensioni geometriche della sezione:

16

HB

3

Valore variabile costituito dalla sommatoria estesa a tutti gli N elementi dei valori:

3

Nn

1n

2

3N

3

41n2

N

1

Ad esempio, se la metà del rettangolo è stato suddiviso in 10 elementi - 10N :

Nn

1n

21n2

2222222222191715131197531 1.330

Nn

1n

21n2

3N

3

4



30

Di conseguenza, unendo i componenti si ottiene, in modo approssimato:

Ni

1i

2

3

3

X1n2

N16

HBJ

3

3

3

XN

3

4

N16

HBJ

Da cui, concludendo:

12

HB

12

HBJ

33

X

Che rappresenta, alla fine, il valore del momento d’inerzia assiale baricentrico rispetto all’asse X

Ripetendo lo stesso ragionamento, frazionando cioè il rettangolo in N strisce parallele all’asse Y , si

può, allo stesso modo, calcolare il valore del momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse Y

che è espresso dalla seguente relazione:

12

BHJ

3

Y

Per il calcolo dei raggi giratori d’inerzia si utilizzano poi i valori calcolati dei momenti d’inerzia

baricentrici, ottenendo:

H288,012

H

12

1H

12

H

HB

12

HB

S

J2

3

TOTALE

X

X

B288,012

B

12

1B

12

B

HB

12

HB

S

J2

3

TOTALE

Y

Y

Figura 21 – POSIZIONE DEI RAGGI D’INERZIA PER ASSI PARALLELI AI LATI E BARICENTRICI



31

Esempio 3:

Dati due parallelepipedi di uguale spessore Z = 10 mm e di uguale superficie frontale 2

cm400S , uno con base B=10 cm ed altezza H=40 cm, l’altro con base B= 4 cm ed altezza

H=100 cm, realizzati in materiale avente densità

3cm

g5d , determinare i momenti d’inerzia

assiali baricentrici principali e i rispettivi raggi giratori d’inerzia.

Figura 22 –

SOLUZIONE:

Primo rettangolo:

cm40H

cm10B

cm88,2B288,0cm88,2400

333.3

S

J

cm52,11H288,0cm54,11400

333.53

S

J

cmkg665,16cm

g5cm1cm333.3

12

1040

12

BHJ

cmkg665,266cm

g5cm1cm333.53

12

4010

12

HBJ

YG

YG

XG

XG

2

3

4

33

YG

2

3

4

33

XG



32

Secondo rettangolo:

cm100H

cm4B

cm152,1B288,0cm15,1400

533

S

J

cm80,28H288,0cm68,28400

333.333

S

J

cmkg665,2cm

g5cm1cm533

12

4100

12

BHJ

cmkg666.1cm

g5cm1cm333.333

12

1004

12

HBJ

YG

YG

XG

XG

2

3

4

33

YG

2

3

4

33

XG

Esempio 4:

Determinare le regole per il calcolo dei momenti d’inerzia assiali per un rettangolo di base B ed

altezza H rispetto agli assi X e Y rispettivamente passanti per la base e per l’altezza.

Si suppone che il rettangolo sia omogeneo e si conoscono le coordinate del baricentro G .

Figura 23 – CALCOLO MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO AD UN ASSE 0

X PASSANTE PER LA

BASE B



33

Soluzione:

Il calcolo dei momenti d’inerzia assiali NON BARICENTRICI risulterebbe abbastanza agevole con

l’uso delle regole d’integrazione che, in questo ambito non risultano ancora acquisite.

E’ però possibile al calcolo utilizzando alcuni e semplici accorgimenti:

La massa del corpo rettangolare è evidentemente distribuita in modo uniforme in base allo

spessore del corpo e alla sua densità specifica.

La massa è quindi proporzionale alla superficie che si considera

Possiamo quindi sostituire la grandezza massa con la grandezza superficie.

Il rettangolo può essere scomposto in strisce parallele all’asse X per il calcolo del

momento d’inerzia 0X

J e in strisce parallele all’asse Y per il calcolo del momento

d’inerzia 0Y

J .

Supponiamo di suddividere l’altezza H in un numero di strisce pari a N , per il calcolo del

momento d’inerzia 0X

J

Maggiore è il numero di strisce migliore è il risultato.

Ogni striscia, di larghezza pari alla base B del rettangolo, avrà quindi un’altezza pari a:

N

HY

La superficie di ogni striscia, parallela all’asse 0

X , sarà dunque data da:

N

HBYBS

i

Se il numero N è sufficientemente grande, l’altezza Y di ogni striscia è sufficientemente

piccola per poterla considerare una superficie (o massa) puntiforme con baricentro collocato

nel punto mediamo dell’altezza Y .

La distanza del baricentro, misurata perpendicolarmente dall’asse X , cambierà in funzione

della striscia considerata secondo la semplice relazione:

2

YY1nY

i

O anche:

N2

H

N

H1nY

i

1n2N2

H

2

12n2

N

H

2

11n

N

HY

i

Per ogni striscia, parallela all’asse X , è, questa volta solo dalla parte positiva dell’asse Y e

contribuisce con la sua distanza e la sua superficie, al calcolo del momento d’inerzia X

J

Utilizzando queste ipotesi e precisazioni calcoliamo ora il momento d’inerzia della sezione

rettangolare rispetto all’asse 0

X passante, questa volta, sulla base B .

Si tenga presente che il risultato finale sarà espresso in 4cm a condizione di utilizzare i cm

come unità di misura delle dimensioni geometriche.



34

Per riportare alle giuste dimensioni il valore del momento d’inerzia sarà sufficiente moltiplicare il

risultato per il valore dello spessore cm e per il valore della densità

3cm

kg.

Il valore del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X può essere calcolato con la formula

generale:

i

2Ni

1i

i0XYmJ

Che è però proporzionale alla:

Ni

1i

i

2

i0XYSJ

La sommatoria è estesa a tutte le superfici (o masse) delle strisce in cui si è suddiviso il corpo che

risulta essere N (N è il numero di strisce componenti tutta l’altezza del rettangolo).

Sostituendo, all’interno della sommatoria, i valori di i

S e i

Y come da ipotesi, si ottiene:

2Nn

1n

0X1n2

N2

H

N

HBJ

La sommatoria è estesa a tutte le N superfici i

S che hanno valore costante e che, quindi, in ogni

caso si potranno raccogliere a fattore comune anche all’esterno della sommatoria:

2Nn

1n

0X1n2

N2

H

N

HBJ

Da cui:

2

Nn

1n2

22Nn

1n

0X1n2

N4

H

N

HB1n2

N2

H

N

HBJ

Da cui:

Ni

1i

2

2

2

0X1n2

N4

H

N

HBJ

Ni

1i

2

3

3

0X1n2

N4

HBJ

Come si può notare il Momento d’inerzia è essenzialmente composto:

Valore fisso dipendente dalle dimensioni geometriche della sezione:

4

HB

3

Valore variabile costituito dalla sommatoria estesa a tutti gli N elementi dei valori:

3

Nn

1n

2

3N

3

41n2

N

1

Ad esempio, se il rettangolo è stato suddiviso in 10 elementi - 10N :



35

Nn

1n

21n2

2222222222191715131197531 1.330

Nn

1n

21n2

3N

3

4

Di conseguenza, unendo i componenti si ottiene, in modo approssimato:

Nn

1n

2

3

3

0X1n2

N4

HBJ

3

3

3

0XN

3

4

N4

HBJ

Da cui, concludendo:

3

HB

3

HBJ

33

0X

Che rappresenta, alla fine, il valore del momento d’inerzia assiale rispetto ad un asse 0

X passante

sul lato B.

Ripetendo lo stesso ragionamento, frazionando cioè il rettangolo in N strisce parallele all’asse 0

Y ,

si può, allo stesso modo, calcolare il valore del momento d’inerzia del rettangolo rispetto all’asse

0Y , passante sul lato H che è espresso dalla seguente relazione:

3

BHJ

3

0Y

Per il calcolo dei raggi giratori d’inerzia si utilizzano le formule generali, ottenendo:

H577,03

H

3

1H

3

H

HB

3

HB

S

J2

3

TOTALE

X

0X

B577,03

B

3

1B

3

B

HB

3

HB

S

J2

3

TOTALE

Y

0Y



36

RELAZIONE TRA I MOMENTI D’INERZIA BARICENTRICI E I MOMENTI D’INERZIA

RISPETTO AD ASSI NON BARICENTRICI

Sfruttando i valori calcolati dei momenti d’inerzia baricentrici e dei momenti d’inerzia rispetto ad

assi non baricentrici, relativi ad un rettangolo di base B ed altezza H ( si veda l’esempio n. 2 e n.

4), si può determinare la relazione esistente tra gli stessi.

Determiniamo la relazione esistente tra il momento d’inerzia baricentrico XG

J e quello non

baricentrico 0X

J :

12

HBJ

3

XG

MOMENTO D’INERZIA BARICENTRICO

3

HBJ

3

XO

MOMENTO D’INERZIA RISPETTO ALL’ASSE

0X

Possiamo ad esempio verificare se il momento d’inerzia 0X

J può essere ottenuto sommando al

momento d’inerzia XG

J una quantità incognita T :

Cioè:

TJJXG0X

Provando poi a determinare la quantità incognita T con la formula inversa:

XGXOJJT

Da cui, sostituendo i valori noti:

12

HBHB4

12

HB

3

HBT

3333

Da cui:

4

HB

12

HB3T

33

L’incognita così trovata può anche essere scritta, senza modificare il suo valore, in altro modo: 2

2

HHBT

In cui si riconosce, nel termine HB , la superficie complessiva del rettangolo (come si è detto la

superficie complessiva è il termine proporzionale per il valore della massa); e nel termine

2

H la

distanza tra l’asse 0

X rispetto a cui si è calcolato il momento d’inerzia 0X

J e il punto

rappresentativo del baricentro.

In poche parole si è così determinata una importante relazione che permette di calcolare il valore del

momento d’inerzia non baricentrico in funzione di quello baricentrico per un rettangolo:



37

G2

XG

2

XG0XYHBJ

2

HHBJJ

Oppure, tenendo conto della effettiva formulazione del momento d’inerzia:

G2

TOTALEXG

2

TOTALEXG0XYMJ

2

HMJJ

La relazione, determinata per un sistema di masse di forma rettangolare, costituisce l’importante

TEOREMA DI TRASPOSIZIONE per i momenti d’inerzia che, come si vedrà, ha una validità

generale per una qualsiasi distribuzione di masse.

Il TEOREMA DI TRASPOSIZIONE dimostra che:

Il Momento d’inerzia rispetto ad un asse 0

X qualsiasi, è uguale al momento d’inerzia

rispetto ad un asse X passante nel baricentro e parallelo a 0

X più la massa totale del corpo

(o la superficie proporzionale) moltiplicata per il quadrato della distanza tra i due assi.

G2

TOTALEXG

2

TOTALEXG0XYMJ

2

HMJJ

PER LE MASSE

G2

TOTALEXG

2

TOTALEXG0XYSJ

2

HSJJ

PER LE SUPERFICI

Il Teorema di trasposizione permette così un calcolo più veloce di momenti d’inerzia non

baricentrici partendo dal presupposto di conoscere quelli baricentrici.

Per le figure di più comune utilizzo i momenti d’inerzia baricentrici sono riportati in apposite

tabelle.

Naturalmente tutto quanto detto vale anche per i momenti d’inerzia rispetto all’asse 0

Y :

G2

TOTALEYG

2

TOTALEYG0YXMJ

2

BMJJ

PER LE MASSE

G2

TOTALEXG

2

TOTALEYG0YXSJ

2

HSJJ

PER LE SUPERFICI



38

IL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI

Il Teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia assiali permette di calcolare il momento d’inerzia

di un corpo rispetto ad un’asse qualsiasi, appartenente o no al corpo, a condizione di conoscere il

momento d’inerzia del corpo rispetto all’asse baricentrico parallelo all’asse qualsiasi, la distanza tra

l’asse qualsiasi e quello baricentrico e la massa o superficie del corpo.

Si consideri il disegno seguente ove è raffigurato un corpo con forma qualsiasi con riportata la

posizione del centro di massa o baricentro ricavata con il sistema e il calcolo dei momenti statici:

Figura 24 – MOMENTO D’INERZIA ASSIALE 0X

J RISPETTO AD UN ASSE QUALSIASI 0

X NON

BARICENTRICO PARALLELO ALL’ASSE BARICENTRICO G

X

Il corpo è suddiviso in elementi di massa i

m , sufficientemente piccola da poter essere pensati

puntiformi.

Sia N il numero di elementi in cui si è suddiviso il corpo.

Se si suppone che il materiale di cui è costituito il corpo sia omogeneo, la superficie i

S è

proporzionale alla massa i

m .

Il momento d’inerzia assiale 0X

J rispetto all’asse 0

X non baricentrico, parallelo all’asse G

X

baricentrico, e distante G.Y

d dallo stesso è, per definizione, la sommatoria dei prodotti di ogni

singola massa per il quadrato della distanza i

Y dall’asse 0

X rispetto a cui si intende calcolare il

momento d’inerzia:



39

i

2Ni

1ii0X

YmJ

Osservando il disegno è però possibile notare che le distanze i

Y delle masse i

m dall’asse 0

X ,

dipendono dalla distanza G.Y

d tra i due assi – quello baricentrico G

X e quello non baricentrico

0X - e dalla distanza di ogni massa dall’asse baricentrico:

G.iG.YiYdY

Naturalmente la distanza G.i

Y deve essere considerata positiva o negativa a seconda che la massa

cui si fa riferimento sia collocata sopra o sotto l’asse baricentrico.

Dopo questa considerazione il momento d’inerzia può essere calcolato con:

2

G.iG.Y

Ni

1i

ii

2Ni

1i

i0XYdmYmJ

E, sviluppando il quadrato tra parentesi:

G.i

2

G.iG.YG.Y

2Ni

1i

i0XYYd2dmJ

Cioè:

Ni

1i

G.i

2

iG.iG.Y1G.Y

2

i0XYmYd2mdmJ

G.i

2Ni

1i

iG.iG.Y

Ni

1i

i

Ni

1i

G.Y

2

i0XYmYd2mdmJ

Da cui, considerando che i termini G.Y

d e 2 , sono comunque costanti per qualsiasi massa i

m sia

presa in esame, si ottiene:

G.i

2Ni

1i

iG.i

Ni

1i

iG.Y

Ni

1i

iG.Y

2

0XYmYmd2mdJ

Ora si può riconoscere che il termine:

Mm

Ni

1i

i

Cioè la sommatoria estesa a tutta la popolazione di masse i

m , rappresenta la massa complessiva

del corpo M .



40

Inoltre nella sommatoria:

Ni

1i

G.iiYm

Si riconosce il momento statico delle N masse i

m rispetto all’asse G

X passante nel centro di

massa e si ricorda che il momento statico rispetto a qualsiasi asse baricentrico ha un valore nullo,

proprio per definizione di baricentro, quindi:

0Ym

Ni

1i

G.ii

Per cui si ottiene:

G.i

2Ni

1i

iG.i

Ni

1i

iG.Y

Ni

1i

iG.Y

2

0XYmYmd2mdJ

=

G.i

2Ni

1i

iG.YG.Y

2

0XYm0d2MdJ

G.i

2Ni

1i

iG.Y

2

0XYmMdJ

D’altra parte il termine:

XGG.i

2Ni

1i

iJYm

Per quanto visto precedentemente è il momento d’inerzia della popolazione di masse rispetto

all’asse baricentrico G

X , quindi, in definitiva, si ottiene:

G.Y

2

XG0XdMJJ

Che è appunto il risultato dell’importante TEOREMA DI TRASPOSIZIONE dei momenti

d’inerzia assiali.

Il momento d’inerzia assiale 0X

J rispetto ad un qualsiasi asse 0

X parallelo ad un asse

passante nel centro di massa G , è uguale al momento d’inerzia baricentrico XG

J più il

prodotto della massa complessiva M per il quadrato della distanza tra i due assi G.Y

d .

In base al Teorema di trasposizione e considerando che il prodotto tra la massa complessiva

M e il quadrato della distanza G.Y

d è sempre positivo, si può anche dedurre che il

momento d’inerzia baricentrico XG

J , tra tutti i possibili momenti d’inerzia, è quello che ha

il valore minore.

Inoltre il TEOREMA DI TRASPOSIZIONE è valido anche per i momenti d’inerzia calcolati

rispetto ad un asse Y oppure un asse qualsiasi:

G.X

2

YG0YdMJJ



41

ESTENSIONE DEL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE ALLE SUPERFICI:

Sempre considerando un corpo costituito da un materiale omogeneo, il TEOREMA DI

TRASPOSIZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI può essere esteso alla superficie del

corpo a condizione di sostituire alla massa complessiva M la superficie complessiva S .

Si ottiene così la seguente formulazione:

G.Y

2

XG0XdSJJ

G.X

2

YG0YdSJJ

ESTENSIONE DEL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE AI CORPI COMPOSTI:

Per quanto riguarda i corpi omogenei composti essenzialmente da figure geometriche semplici quali

quadrati, rettangoli, cerchi ecc., si potrà applicare il teorema di trasposizione per il calcolo dei

momenti d’inerzia sommando i vari momenti d’inerzia baricentrici (di solito reperibili in tabelle) e i

vari prodotti di ogni massa (o superficie) costituente per il relativo quadrato della distanza tra il

baricentro generale della figura e il baricentro del singolo componente:

)dSJ(...............)dSJ(J Gn.Y

2

nnXGn1G.Y

2

111XG0X

)dSJ(...............)dSJ(J Gn.X

2

nnYGn1G.X

2

111YG0Y



42

ESEMPIO 1:

Determinare il valore dei momenti d’inerzia assiali baricentrici per il corpo avente sezione come da

disegno seguente:

Figura 25 – SEZIONE A “ TDOPPIA ” SIMMETRICA

SOLUZIONE:

Calcolo momento d’inerzia baricentrico XG

J con applicazione del Teorema di trasposizione:

)dSJ()dSJ()dSJ(J 3G.Y2

33XG2G.Y2

22XG1G.Y2

11XGXG

Dove:

96

hHB

128

hHB

12

2

hHB

JJ

33

3

3XG1XG

12

hbJ

3

2XG

2

hHBSS

31

hbS 2

4

hH

4

hHH2

4

hH

2

H

22

hH

2

Hdd 3G.Y1G.Y

0d 2G.Y

Sostituendo si ottiene:



43

23323

XG4

hH

2

hHB

96

hHB

12

hb

4

hH

2

hHB

96

hHBJ

12

hb

16

hH

48

hH

16

hH

48

hH

2

hHBJ

32222

XG

12

hb

8

hH

24

hH

2

hHBJ

322

XG

12

hb

8

hhH2H

24

hhH2H

2

hHBJ

32222

XG

12

hb

24

h3hH6H3hhH2H

2

hHBJ

32222

XG

12

hb

24

h4hH4H4

2

hHBJ

322

XG

12

hb

6

hhHH

2

hHBJ

322

XG

12

hbhhHHhhHhHH

12

BJ

3322223

XG

3333

33

XG hbhHB12

1

12

hbhH

12

BJ

Quindi, in definitiva:

333

XGhbhHB

12

1J

Calcolo momento d’inerzia baricentrico YG


)dSJ()dSJ()dSJ(J 3G.X2

33YG2G.X2

22YG1G.X2

11YGYG

Dove:

24

hHB

122

hHB

12

2

hHB

JJ

33

3

3XG1XG

12

hbJ

3

2XG

2

hHBSS

31

hbS 2

0ddd3G.X2G.X1G.X



44


)dSJ()dSJ()dSJ(J 3G.X2

33YG2G.X2

22YG1G.X2

11YGYG

24

hHB

12

hb

24

hHBJ

333

YG

12

hb

12

hHBJ

33

YG


hbhHB12

1J

33

YG

ESEMPIO 2:


disegno seguente:

Figura 26 – SEZIONE SIMMETRICA

SOLUZIONE:

Calcolo momento d’inerzia baricentrico XG


)dSJ()dSJ(J 2G.Y2

22XG1G.Y2

11XGXG

Dove:

96

hHB

128

hHB

12

2

hHB

JJ

33

3

2XG1XG



45

2

hHBSS 21

4

hH

4

hHH2

4

hH

2

H

22

hH

2

Hdd 2G.Y1G.Y


)dSJ()dSJ(J 2G.Y2

22XG1G.Y2

11XGXG

2323

XG4

hH

2

hHB

96

hHB

4

hH

2

hHB

96

hHBJ

16

hHhHB

48

hHBJ

23

XG

1

hH

3

hH

16

hHBJ

22

XG

1

hhH2H

3

hhH2H

16

hHBJ

2222

XG

3

h3hH6H3hhH2H

16

hHBJ

2222

XG

3

h4hH4H4

16

hHBJ

22

XG

3

hhHH4

16

hHBJ

22

XG

322223

XG hhHHhhHhHH12

BJ


33

XGhH

12

BJ

Calcolo momento d’inerzia baricentrico YG


)dSJ()dSJ(J 2G.X2

22YG1G.X2

11YGYG

Dove:

24

hHB

122

hHB

12

2

hHB

JJ

33

3

2XG1XG

2

hHBSS 21



46

0dd 2G.X1G.X


)dSJ()dSJ(J 2G.X2

22YG1G.X2

11YGYG

24

hHB

24

hHBJ

33

YG


12

hHBJ

3

YG

ESEMPIO 3:


disegno seguente:

Figura 27 – SEZIONE RETTANGOLARE CAVA E SIMMETRICA

SOLUZIONE:

Come si può notare, la sezione rettangolare cava può essere scomposta nella somma di due sezioni

il cui momento d’inerzia baricentrico è già stato calcolato, una sezione con doppio rettangolo

simmetrico rispetto ai due assi baricentrici e un rettangolo.

Il momento d’inerzia è quindi calcolato con la somma dei momenti d’inerzia delle figure

componenti:



47

Per il rettangolo simmetrico:

33

XG hH12

BJ

12

hHBJ

3

YG

Per il rettangolo semplice:

12

hbBJ

3

XG

12

hbBJ

3

YG

Quindi:

3333

33

XG hbBhHB12

1

12

hbBhH

12

BJ

3333

XG hbhBhBHB12

1J

33

XGhbHB

12

1J

12

hHBJ

3

YG

12

hbB3

hbBhHB12

1J

33

YG



48

ESEMPIO 4:

Determinare, utilizzando il TEOREMA DI TRASPOSIZIONE, i momenti d’inerzia assiali rispetto

a due rette X e Y passanti nel centro di massa del corpo indicato nella figura sottostante.

La posizione del centro di massa è stata ricavata precedentemente.

Il corpo è omogeneo. Utilizzare i centimetri come unità di misura.

Figura 28 – DETERMINAZIONE DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI BARICENTRICI.

SOLUZIONE:

Calcolo del momento d’inerzia assiale rispetto all’asse G

X passante nel centro di massa del corpo:

Calcolo dei momenti d’inerzia calcolati rispetto ad assi X baricentrici per ogni figura componente il

corpo:

4

331

3

11XG cm000.5

12

000.160

12

cm10cm60

12

HBJ

4

332

3

22XG cm166.104

12

000.12510

12

cm50cm10

12

HBJ

4

333

3

33XG cm500.2

12

000.130

12

cm10cm30

12

HBJ

Calcolo del momento d’inerzia complessivoXG

J baricentrico:

3G.Y2

33XG2G.Y2

22XG1G.Y2

11XGXGdSJdSJdSJJ

222

XG 56,283010500.256,85010166.10444,211060000.5J

4

XG cm808.668202.247802.140804.280J



49


Y passante nel centro di massa del

Corpo:

Calcolo dei momenti d’inerzia calcolati rispetto ad assi Y baricentrici per ogni figura componente il

corpo:

4

331

3

11YG cm000.180

12

000.21610

12

cm60cm10

12

BHJ

4

332

3

22YG cm166.4

12

000.150

12

cm10cm50

12

BHJ

4

333

3

33XG cm500.22

12

000.2710

12

cm30cm10

12

BHJ

Calcolo del momento d’inerzia complessivo YGJ baricentrico:

3G.X2

33YG2G.X2

22YG1G.X2

11YGYG dSJdSJdSJJ

222

YG 53010500.22155010166.488,91060000.180J

4

YG cm234.385000.30666.116568.238J

Esempio 5:

Determinare i momenti d’inerzia assiali baricentrici per assi paralleli ai lati principali della sezione

a cassone per la quale sono già state calcolate le coordinate del baricentro.

Figura 29 – TRAVE A CASSONE – CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI BARICENTRICI

SOLUZIONE:


X passante nel centro di massa del corpo:

Calcolo dei momenti d’inerzia calcolati rispetto ad assi X baricentrici per ogni figura componente il

corpo:



50

4

331

3

1

1XGcm333.208

12

cm50cm20

12

HBJ

4

332

3

2

2XGcm000.350.1

12

cm30cm600

12

HBJ

4

333

3

3

3XGcm333.333.13

12

cm200cm20

12

HBJ

4

333

3

3

4XGcm333.333.13

12

cm200cm20

12

HBJ

4

333

3

3

5XGcm666.226

12

cm20cm340

12

HBJ

Calcolo del momento d’inerzia complessivoXG

J baricentrico:

5G.Y

2d5XGJ4G.Y

2d4XGJ3G.Y

2d3S3XGJ2G.Y

2d2S2XGJ1G.Y

2d1S1XGJXGJ

In cui:

cm111d1G.Y

cm71d2G.Y

cm44dd4G.Y3G.Y

cm154d5G.Y

Per cui:

215420340666.226

24420200333.333.132

27130600000.350.1

21112050333.208XGJ

4

XGcm465.523.300J

Calcolo del momento d’inerzia complessivoYG

J baricentrico:

5G.X

2d5YGJ4G.X

2d4YGJ3G.X

2d3S3YGJ2G.X

2d2S2YGJ1G.X

2d1S1YGJYGJ

In cui:

cm312d1G.X

cm22d2G.X

cm154d3G.X

cm112d4G.X

cm48d5G.X

4

3

1YGcm333.33

12

2050J

4

3

2YGcm000.000.540

12

60030J

4

3

4YG3YGcm333.133

12

20200JJ

4

3

5YGcm666.506.65

12

34020J

Per cui:

24820340666.506.65

211220200333.133

215420200333.133

22230600000.000.540

23122050333.33YGJ

4

YGcm865.569.872J



51

IL MOMENTO D’INERZIA POLARE

Considerato un sistema continuo di masse avente forma qualsiasi e un punto O del piano in cui

sono contenute le masse, si definisce MOMENTO D’INERZIA POLARE, rispetto al punto O ,la

somma dei prodotti di ogni singola massa per il quadrato della relativa distanza dal punto O .

2Ni

1i

iPRmJ

MOMENTO D’INERZIA POLARE

Figura 30 – MOMENTO D’INERZIA POLARE

Se si utilizza un sistema di riferimento cartesiano con assi perpendicolari qualsiasi e passanti nel

punto O rispetto al quale si vuole calcolare il momento d’inerzia polare, la distanza i

R , relativa ad

ogni massa i

m in cui è stato suddiviso il corpo, può anche essere espressa, mediante il Teorema di

Pitagora, da:

i2

i2

i2

YXR

Per cui il Momento d’inerzia polare assume la forma:

Ni

1i

i2

i2

iPYXmJ



52

E, scomponendo la sommatoria:

)YmXm(J

Ni

1i

i2

ii2

iP

Ni

1i

i2

i2

N1

1i

i2

iPYmXmJ

Si riconoscono, nelle due sommatorie, i momenti d’inerzia assiali Y

J e X

J rispetto agli assi Y e

X passanti nel punto O , quindi:

N1

1i

i2

iYXmJ

Ni

1i

i2

i2

XYmJ

Di conseguenza il momento d’inerzia polare è:

XYPJJJ

Poi, se si tiene conto del Teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia assiali e dalla conoscenza

dei momenti d’inerzia principali baricentrici XG

J e YG

J :

)dMJ()dMJ(J G.Y2

XGG.X2

YGP

)dd(MJJJ G.Y2

G.X2

XGYGP

)dd(MJJ G.Y2

G.X2

G.PP

PG2

G.PPRMJJ

In cui:

G.PJ

YGXGJJ MOMENTO D’INERZIA POLARE BARICENTRICO

PGR = Distanza tra il polo P e il baricentro G

Se il corpo è omogeneo la massa è proporzionale alla superficie, quindi:

G.Y2

G.X2

XGYGPdSdSJJJ

)dd(SJJJ G.Y2

G.X2

XGYGP

)dd(SJJ G.Y2

G.X2

G.PP

PG

2

G.PPRSJJ



53

Figura 31 – MOMENTO D’INERZIA POLARE

ESEMPIO 1:

Determinare il momento d’inerzia polare di un rettangolo omogeneo come in figura rispetto ad un

suo spigolo O .

Figura 32 – MOMENTO D’INERZIA POLARE DI RETTANGOLO HB RISPETTO AL POLO O



54

SOLUZIONE:

Il momento d’inerzia polare rispetto al polo O , spigolo del rettangolo come da figura, è dato da:

G.Y2

G.X2

XGYGPdSdSJJJ

Dove:

12

HBJ

3

XG

12

HBJ

3

YG

HBS

2

Hd YG

2

Bd XG

Per cui:

2233

P2

B

2

HHB

12

HB

12

HBJ

4

HB

4

HB

12

HB

12

HBJ

3333

P

3

HB

3

HBJ

33

P

22P BH

3

HBJ

ESEMPIO 1:

Determinare il momento d’inerzia polare di un rettangolo omogeneo come in figura rispetto ad un

suo spigolo O centrato sul lato di base B .

Figura 33 - MOMENTO D’INERZIA POLARE DI RETTANGOLO HB RISPETTO AL POLO O



55

SOLUZIONE:

Il momento d’inerzia polare rispetto al polo O , punto medio del lato B , base del rettangolo, come

da figura, è dato da:

G.Y2

G.X2

XGYGPdSdSJJJ

Dove:

12

HBJ

3

XG

;

12

HBJ

3

YG

; HBS

2

Hd

YG 0d

XG

Per cui:

233

P2

HHB

12

HB

12

HBJ

4

HB

12

HB

12

HBJ

333

P

12

HB

3

HBJ

33

P



56

IL MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO

Considerato un sistema continuo di masse avente forma qualsiasi e due rette qualsiasi X e Y

contenute nel piano, si definisce MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO, rispetto alle due rette,

la somma dei prodotti di ogni singola massa per le rispettive distanze dalle due rette, valutate

secondo due direzioni prefissate:

ii

Ni

1i

iXYYXmJ

MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO

Figura 34 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO

Evidentemente, considerando il sistema di rette rispetto al quale si calcola il momento d’inerzia

centrifugo e le varie posizioni delle particelle costituenti il corpo, il prodotto tra le distanze del

baricentro delle particelle dagli assi prefissati, può assumere valori positivi, negativi o nulli a

seconda dei segni algebrici che contraddistinguono le varie posizioni.



57

ESEMPIO 1:

Determinare il momento d’inerzia centrifugo di un corpo con sezione rettangolare di dimensioni

HB rispetto a un sistema d’assi cartesiani ortogonali con origine nello spigolo del rettangolo

come indicato in figura.

Figura 35 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO SPIGOLO “A”– RETTANGOLO HB

SOLUZIONE:

Anche in questo caso, in alternativa alle regole d’integrazione ancora da acquisire, si propone la

risoluzione numerica delle sommatorie.

I lati di base ed altezza saranno suddivisi in N parti uguali in modo tale che la superficie

complessiva del rettangolo sia, alla fine, costituita da un numero di rettangoli pari a 2

N .

Ogni particella avrà, di conseguenza, una superficie rettangolare con dimensioni di base pari a N

B

ed altezza pari a N

H.

La superficie di ogni particella sarà dunque:

2i

N

HB

N

H

N

BS

Considerando che il numero N può essere scelto grande a piacere, di conseguenza la superficie di

ogni particella sarà piccola a piacere.

Il momento d’inerzia centrifugo, calcolato rispetto agli assi cartesiani ortogonali coincidenti con i

due lati e con origine nello spigolo denominato "A" sarà dunque dato dalla seguente formula

generale:



58

ii

Ni

1i

iXYYXmJ

2

In cui la sommatoria deve essere estesa a tutte le particelle costituenti la superficie quindi partendo

dalla numero uno sino a quella contraddistinta dal numero 2

N .

Tenendo poi presente che, con l’ipotesi di corpo omogeneo, la massa è proporzionale alla superficie

potremo sostituire alla formula generale la seguente:

ii

Ni

1i

iXYYXSJ

2

Ricordando che la superficie i

S di ogni particella è:

2i

N

HBS

e sostituendo, si ottiene:

i

Ni

1i

i2ii

Ni

1i

2XYYX

N

HBYX

N

HBJ

22

I valori i

X e i

Y sono le coordinate, rispetto agli assi scelti, del baricentro di ogni singola

particella.

Dall’esame della figura è evidente che i segni algebrici delle coordinate sono sempre positivi,

qualsiasi sia la particella che si prende in esame.

La sommatoria può essere estesa a tutte le particelle appartenenti ad una stessa colonna e poi a tutte

le colonne comprese nella riga.

Tutte le particelle appartenenti alla stessa colonna saranno caratterizzate dallo stesso valore della

coordinata i

X ottenibile una semplice relazione matematica:

Per le particelle appartenenti alla prima colonna 1i :

N2

BX

i

Per le particelle appartenenti alla seconda colonna 2i :

N2

B122

N2

B3

N2

BB2

N2

B

N

BX

i

Per le particelle appartenenti alla colonna ennesima:

1n2N2

B

N2

12n2B

N2

BB1n2

N2

B

N

B1nX

i

Ogni particella appartenente alla stessa colonna sarà però caratterizzata da valori diversi della

coordinata i

Y che potremo ottenere con la seguente relazione matematica:

Per la prima particella di ciascuna colonna:

N2

HY

i

Per la seconda particella di ciascuna colonna:

N2

H122

N2

H3

N2

HH2

N2

H

N

HY

i

Per l’ennesima particella di ciascuna colonna:

1n2N2

H

N2

12n2H

N2

HH1n2

N2

H

N

H1nY

i



59

Con queste necessarie precisazioni si può ora procedere con il calcolo della sommatoria generale

utilizzando il metodo delle strisce verticali, cioè:

La sommatoria generale è uguale alla somma delle sommatorie estese alle singole

particelle costituenti le varie strisce verticali:

Ni

1i

N2i

1Ni

Ni

1)1N(Ni

2i

Ni

1i

i2

XY

22

)1n2(N2

H

N2

B)1n2(.......1n2

N2

H

N2

B3)1n2(

N2

H

N2

B

N

HBYX

N

HBJ

Ni

1i

N2i

1Ni

Ni

1)1N(Ni

)1n2(N2

H

N2

B)1N2(.......1n2

N2

H

N2

B3)1n2(

N2

H

N2

B

2N

HB

XYJ

2

Ni

1i

N2i

1Ni

Ni

1)1N(Ni

)1n2(N2

B)1N2(.......1n2

N2

B3)1n2(

N2

B

N2

H

2N

HB

XYJ

2

Ni

1i

N2i

1Ni

Ni

1)1N(Ni

2XY

2

)1n2()1N2(.......1n23)1n2(N2

B

N2

H

N

HBJ

Ni

1i

N2i

1Ni

Ni

1)1N(Ni

4

22

XY

2

)1n2()1N2(.......1n23)1n2(

N4

HBJ

Ni

1i

N2i

1Ni

Ni

1)1N(Ni

4

22

XY

2

)1n2(1N2.......1n23)1n2(

N4

HBJ

Tutte le sommatorie presenti sono uguali tra loro e contengono gli stessi termini.

In altre parole la sommatoria:

)1N2(.......975311n2

Ni

1i

E’ uguale alla somma dei numeri dispari compresi tra 1 e il numero )1N2( .

Come si potrà verificare la somma dei numeri dispari è uguale al quadrato del valore N , quindi:

2

Ni

1i

N)1N2(.......975311n2

Per cui si ottiene:

2222

4

22

XYN1N2................N5N3N

N4

HBJ

Raccogliendo a fattore comune il termine costante 2

N si ha:

1N2.............531NN4

HBJ

2

4

22

XY

Il termine tra parentesi è nuovamente una somma tra i numeri dispari sino al valore pari a

1N2 ; tale somma è di nuovo uguale al quadrato di N , per cui, alla fine, si ottiene:



60

4

HBN

N4

HBNN

N4

HBJ

22

4

4

22

22

4

22

XY

Quindi, in conclusione, il momento d’inerzia centrifugo calcolato per un rettangolo di dimensioni

HB e rispetto ad una coppia d’assi cartesiani giacenti sui lati del rettangolo e aventi origine in

uno spigolo, ha un valore:

4

HBJ

22

XY

IL TEOREMA DI TRASPOSIZIONE PER IL MOMENTO D’INERZIA

CENTRIFUGO

Anche nel caso di calcolo del momento d’inerzia centrifugo rispetto a due assi qualsiasi YX ,

possiamo verificare se esiste una regola che ci permetta di semplificare il problema partendo, ad

esempio, dalla conoscenza del momento d’inerzia centrifugo rispetto a due assi baricentrici

GGYX .

Sia allora a nostra conoscenza la sezione del corpo di massa complessiva M e due sistemi di assi

cartesiani, uno passante nel baricentro della sezione l’altro in un punto P qualsiasi.

Per semplicità immaginiamo di utilizzare coppie di assi cartesiani ortogonali e facciamo riferimento

alla seguente figura:

Figura 36 – TRASPOSIZIONE DEL MOMENTO CENTRIFUGO DA ASSI BARICENTRICI AD ASSI NON

BARICENTRICI



61

Con queste ipotesi di partenza, il momento d’inerzia centrifugo rispetto al sistema di assi YX ,

non passanti nel centro di massa, si può dunque calcolare con la formula generale:

ii

Ni

1i

iXYYXmJ

Vale sempre la considerazione di poter suddividere il corpo di massa M in un numero di particelle

sufficientemente piccole da poter essere considerate puntiformi.

Per esempio si potrebbe pensare di suddividere tutta la massa in un numero N di particelle.

Il numero N sarà sufficientemente grande da poter immaginare infinitamente piccole le particelle

di massa i

m .

Ogni particella sarà quindi caratterizzata da una massa pari a N

Mm

i e, come al solito, se il corpo

è omogeneo, potremo sostituire alla massa M o alle masse i

m le rispettive superfici S o i

s .

Prendendo in considerazione la formula generale e il disegno schematico di cui sopra, le coordinate

di ogni massa i

m rispetto al sistema di assi YX sono comunque dipendenti dalle coordinate

della massa stessa rispetto agli assi baricentrici GG

YX e dalle distanze in orizzontale e

verticale tra i due sistemi:

G.Xi.GidXX

G.Yi.GidYY

Quindi il momento d’inerzia centrifugo assume la forma:

G.Yi.GG.Xi.G

Ni

1i

iXYdYdXmJ

Sviluppando i prodotti in parentesi:

G.YG.XG.Xi.GG.Yi.Gi.Gi.G

Ni

1i

iXYdddYdXYXmJ

Separando le sommatorie:

G.XG.Y

Ni

1i

iG.X

Ni

1i

i.GiG.Yi.G

Ni

1i

ii.Gi.G

Ni

1i

iXYddmdYmdXmYXmJ

Considerando poi che alcuni termini sono comunque costanti anche all’interno delle sommatorie e

che quindi possono essere presi a fattor comune e fatti uscire dalle rispettive sommatorie:

Ni

1i

iG.XG.Y

Ni

1i

i.GiG.Xi.G

Ni

1i

iG.Yi.Gi.G

Ni

1i

iXYmddYmdXmdYXmJ



62

Esaminando ora le varie sommatorie si può osservare che:

YG.XGi.Gi.G

Ni

1i

iJYXm)....1

E’ il momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto

agli assi baricentrici.

0Xm)....2i.G

Ni

1i

i

E’ il momento statico delle masse rispetto all’asse G

Y passante

nel baricentro che, per definizione di baricentro, è nullo.

0Ym)....3i.G

Ni

1i

i

E’ il momento statico delle masse rispetto all’asse G

Y passante

nel baricentro che, per definizione di baricentro, è nullo.

Mm)....4

Ni

1i

i

La somma di tutte le masse delle particelle è evidentemente

uguale alla massa totale del corpo.

Per cui il momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto agli assi non baricentrici YX , risulta

uguale a:

MddJJG.XG.YYG.XGXY

Oppure, se il corpo è omogeneo:

SddJJG.XG.YYG.XGXY

Queste ultime relazioni rappresentano, in termini matematici, il Teorema di Trasposizione valido

per i Momenti d’inerzia centrifughi .

Il teorema di trasposizione dimostra che:

Il momento d’inerzia centrifugoXY

J ,calcolato rispetto a una coppia d’assi

cartesiani ortogonali YX , paralleli alla coppia d’assi cartesiani

ortogonali GG

YX passanti nel centro di massa o baricentro, è uguale al

momento d’inerzia centrifugo YG.XG

J calcolato rispetto agli assi baricentrici

più il prodotto della massa M del corpo per il prodotto delle distanze G.X

d e

G.Yd ,misurate ortogonalmente, tra i corrispondenti assi baricentrici e non

baricentrici.



63

ESEMPIO 1:

Utilizzando il Teorema di trasposizione per i momenti centrifughi e i valori calcolati nell’esempio

precedente relativamente al momento d’inerzia centrifugo di un rettangolo, rispetto ad una coppia

d’assi cartesiani ortogonali passanti sui lati del rettangolo e con origine in uno spigolo, calcoliamo il

momento d’inerzia centrifugo baricentrico rispetto ad una coppia d’assi baricentrici paralleli ai lati

del rettangolo.

Figura 37 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO BARICENTRICO SECONDO ASSI PRINCIPALI

Il momento d’inerzia centrifugo rispetto agli assi YX è stato calcolato nell’esempio precedente:

4

HBJ

22

XY

Applicando il teorema di trasposizione e dovendo essere valida la relazione:

SddJJG.XG.YYG.XGXY

Si ottiene, invertendo la formula:

SddJJG.XG.YXYYG.XG

04

HB

4

HBHB

2

B

2

H

4

HBJ

222222

YG.XG

Da cui si ottiene:

0JYG.XG



64

Cioè:

Il momento d’inerzia centrifugoYG.XG

J rispetto ad assi baricentriciG

X e G

Y

in corrispondenza dei quali si hanno, rispettivamente, il valore massimo e il

valore minimo dei momenti d’inerzia assiali XG

J e YG

J , è nullo.

Attenzione:

Se gli assi sono baricentrici ma NON corrispondono agli assi principali d’inerzia, il momento

d’inerzia centrifugo NON E’ NULLO.

MOMENTI D’INERZIA RISPETTO AD ASSI CON DIREZIONE VARIABILE

Si considera ora un corpo di massa omogenea, di forma qualsiasi, e, come già visto, si scompone in

particelle di massa i

m sufficientemente piccole, tali da poter essere considerate puntiformi.

Utilizzando le definizioni di momento statico e la particolare caratteristica del baricentro, punto

rispetto al quale si annullano i momenti statici, si procede al calcolo delle coordinate del baricentro

stesso.

Se il corpo ha forme regolari oppure se è composto da figure geometriche semplici – in primo luogo

rettangoli – risulta abbastanza agevole individuare un sistema d’assi cartesiani YX paralleli e/o

perpendicolari ai lati principali del corpo stesso.

Sfruttando il Teorema di Trasposizione dei momenti d’inerzia assiali, è poi possibile determinare il

valore dei Momenti d’inerzia XG

J e YG

J , calcolati rispetto agli stessi assi YX passanti nel

baricentro.

Utilizzando ancora il Teorema di Trasposizione, unitamente alla conoscenza dei momenti

baricentrici e ai valori delle coordinate del baricentro o centro di massa, si perviene al valore dei

momenti d’inerzia assiali rispetto ad assi qualsiasi ma paralleli a quelli baricentrici e al valore del

momento d’inerzia polare rispetto ad un punto appartenente al piano in cui è sezionato il corpo.

Ora, supponendo di aver determinato i vari momenti d’inerzia rispetto agli assi così come definiti, si

vuole prendere in considerazione anche l’eventualità di poter modificare a piacere l’inclinazione del

sistema d’assi cartesiani rispetto al sistema di riferimento principale e determinare i nuovi valori dei

momenti d’inerzia confrontandoli, poi, con i valori di riferimento.

In altre parole: si utilizzerà un sistema di riferimento fisso di assi cartesiani ortogonali YX in cui

l’asse orizzontale X è anche un sistema di riferimento angolare, e un altro sistema di riferimento

cartesiano pure ortogonale 11

YX girevole intorno all’origine P del primo sistema.

L’inclinazione del sistema girevole )YX(11

rispetto al sistema fisso )YX( sarà misurata, in

senso antiorario, dall’ampiezza dell’angolo tra l’asse X e l’asse 1

X .

Le coordinate cartesiane di ogni particella di massa i

m costituenti il corpo di massa M , potranno

essere riferite sia al sistema fisso )YX( sia al sistema girevole )YX(11

mediante opportune

trasformazioni che terranno conto dell’inclinazione angolare tra i due sistemi.

Facendo riferimento al disegno sottostante ove è riportato un corpo qualsiasi, una particella di

massa m , il sistema fisso assoluto YX , il sistema girevole 11

YX e l’ampiezza

dell’angolo tra i due sistemi; le coordinate della particella in esame e, di conseguenza di tutte



65

quelle componenti il corpo, rispetto al sistema girevole, si possono ottenere dalle coordinate rispetto

al sistema fisso tenendo presente le seguenti relazioni:

CDABX1

BCAPY1

I segmenti indicati dipendono dalle coordinate della particella rispetto al sistema assoluto e

all’angolo tra i due sistemi.

Più precisamente:

SenYAB

CosXCD

CosYAP

SenXBC

Per cui, le coordinate rispetto al sistema girevole – in riferimento al sistema fisso - assumono la

forma:

CosXSenYX1

SenXCosYY1

Figura 38 – TRASFORMAZIONE DI COORDINATE: )YX()YX(11



66

CALCOLO DEI MOMENTI D’INERZIA ASSIALI

Utilizzando le nuove coordinate si può quindi calcolare il momento d’inerzia assiale rispetto

all’asse 1

X del sistema girevole:

Ni

1i

i1

2

i1XYmJ

E, inserendo i valori dipendenti dal sistema fisso e dall’angolo:

2

ii

Ni

1i

i1XSenXCosYmJ

Ni

1i

1i

2

i

22

i

2

i1XSenCosYX2SenXCosYmJ

Tenendo presente che il valore dell’angolo è costante per ogni posizione assunta dal sistema

girevole rispetto al sistema fisso e che, di conseguenza, sono costanti i valori di:

22

Sen;Cos;Sen;Cos

Si ottiene, spostando fuori dalla sommatoria i termini comunque costanti e separando le

sommatorie:

ii

Ni

1i

ii2

Ni

1i

i

2Ni

1i

i2

i

2

1X YXmSenCos2XmSenYmCosJ

Da cui, tenendo presente che le sommatorie non sono altro che:

Xi2

Ni

1i

i JYm

MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “X”

Yi2

Ni

1i

i JXm

MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “Y”

XYii

Ni

1i

i JYXm

MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO RISPETTO A “XY”

Si ottiene dunque:

SenCos2JSenJCosJJXY

2

Y

2

X1X

Il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto all’asse 1

X del sistema girevole è uguale:

Alla somma dei momenti d’inerzia assiali calcolati rispetto all’asse X e

all’asse Y del sistema fisso moltiplicati, rispettivamente per il quadrato del

coseno e del seno dell’angolo tra i due sistemi, meno il doppio prodotto del

momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto ai due asse fissi moltiplicato

per il valore del seno e del coseno dell’angolo.

Per quanto riguarda il valore del momento d’inerzia 1Y

J rispetto all’asse 1

Y del sistema girevole,

si segue il medesimo procedimento, ottenendo:



67

Ni

1i

i12

i1YXmJ

E, inserendo i valori dipendenti dal sistema fisso e dall’angolo:

2

ii

Ni

1i

i1YCosXSenYmJ

Ni

1i

1i

2i

22i

2

i1YSenCosYX2CosXSenYmJ

Tenendo presente che il valore dell’angolo è costante per ogni posizione assunta dal sistema

girevole rispetto al sistema fisso e che, di conseguenza, sono costanti i valori di:

22

Sen;Cos;Sen;Cos

Si ottiene, spostando fuori dalla sommatoria i termini comunque costanti e separando le

sommatorie:

ii

Ni

1i

ii2

Ni

1i

i

2Ni

1i

i2

i

2

1YYXmSenCos2XmCosYmSenJ

Da cui, tenendo presente che le sommatorie non sono altro che:

Xi2

Ni

1i

i JYm

MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “X”

Yi2

Ni

1i

i JXm

MOMENTO D’INERZIA ASSIALE RISPETTO A “Y”

XYii

Ni

1i

i JYXm

MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO RISPETTO A “XY”

Si ottiene dunque:

SenCos2JCosJSenJJXY

2

Y

2

X1Y

Il momento d’inerzia assiale calcolato rispetto all’asse 1

Y del sistema girevole è uguale:

Alla somma dei momenti d’inerzia assiali calcolati rispetto all’asse X e

all’asse Y del sistema fisso moltiplicati, rispettivamente per il quadrato del

seno e del coseno dell’angolo tra i due sistemi, a cui è sommato il doppio

prodotto del momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto ai due asse fissi

moltiplicato per il valore del seno e del coseno dell’angolo.



68

CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA POLARE

Per quanto riguarda il calcolo del momento d’inerzia polare relativo al punto P , origine sia del

sistema fisso sia del sistema girevole, si farà riferimento alla formula generale:

i12

Ni

1i

i)1Y1X(PRmJ

In cui i termini i2

R , per il Teorema di Pitagora, hanno un valore:

i12

i12

i12

YXR

CosXSenYX1

SenXCosYY1

SenCosiYiX2a2

Seni2

X2

Cosi2

YCosSeniYiX22

Cosi2

X2

Seni2

Yi12

R

22

i222

i2

i12

CosSenXCosSenYR

Quindi, tenendo presente che la somma dei quadrati di seno e coseno ha comunque sempre valore

unitario, si ottiene:

i2

ì2

i2

i2

i12

XY1X1YR

E, il momento polare risulta:

i2

i2

Ni

1i

i)1Y1X(PXYmJ

Cioè, alla fine:

COSTANTEJJJJJJ1Y1XYX)YX(P)1Y1X(P

Cioè:

Il momento polare rispetto ad un punto P è costante qualsiasi sia

l’inclinazione del sistema di riferimento che si utilizza per il calcolo.

CALCOLO DEL MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO

Il momento d’inerzia centrifugo rispetto al sistema girevole di assi 11

YX è dato dalle seguenti

relazioni:

i1i1

Ni

1i

i1Y1XYXmJ

Che, con le opportune sostituzioni di coordinate, diventa:

SenXCosYCosXSenYmJiiii

Ni

1i

i1Y1X



69

SenCosXCosYXSenXYCosSenYmJ i22

ii

2

iii2

Ni

1i

i1Y1X

SenCosXSenCosXYCosSenYmJ i222

iii2

Ni

1i

i1Y1X

Cioè, scomponendo la sommatoria e portando fuori dagli indici di sommatoria i termini che sono

comunque costanti:

ii

Ni

1i

i22

i2

Ni

1i

ii2

Ni

1i

i1Y1X XYmSenCosXmSenCosYmCosSenJ

Riconoscendo poi i momenti assiali e il momento centrifugo rispetto agli assi fissi YX :

22

XYYX1Y1XSenCosJSenCosJCosSenJJ

Oppure:

22

XYYX1Y1XSenCosJCosSenJJJ

Alla fine, riepilogando tutti i risultati ottenuti, si ha:

Per i momenti d’inerzia assiali rispetto ad assi girevoli:

SenCos2JSenJCosJJXY

2

Y

2

X1X

SenCos2JCosJSenJJXY

2

Y

2

X1Y

Per il momento d’inerzia centrifugo rispetto ad assi girevoli:

22

XYYX1Y1XSenCosJSenCosJCosSenJJ

Per il momento d’inerzia polare rispetto ad assi girevoli:

COSTANTEJJJJJJ1Y1XYX)YX(P)1Y1X(P

Con:

X

J Momento d’inerzia assiale rispetto all’asse X fisso.

Y

J Momento d’inerzia assiale rispetto all’asse Y fisso.

XY

J Momento d’inerzia centrifugo rispetto alla coppia di assi fissi.

)YX(P

J Momento d’inerzia polare rispetto alla coppia d’assi fissi

Ampiezza dell’angolo tra il sistema fisso e quello girevole.

Dalla goniometria si riprendono poi alcune formulazioni specifiche riguardanti alcune funzioni

trigonometriche che, in modo specifico, ricorrono nel caso.



70

In particolare:

1.

2

2Cos1Cos

2

2.

2

2Cos1Sen

2

3. 2SenCosSen2

4. 2CosSenCos22

Le formule precedenti assumono la forma:

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ

XY

YXYX

1X

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ

XY

YXYX

1Y

2CosJ2Sen2

JJJ

XY

YX

1Y.1X

ASSI PRINCIPALI D’INERZIA

La disponibilità delle formule per il calcolo dei momenti d’inerzia assiali e centrifughi rispetto ad

assi ortogonali mobili in sincrono attorno al punto d’origine di un sistema d’assi cartesiani

ortogonali fisso, ci permette il calcolo dei momenti di secondo ordine rispetto ad assi comunque

orientati a condizione di essere a conoscenza dei momenti rispetto agli assi fissi.

Orientando a piacere il sistema mobile si potranno ricavare i conseguenti momenti di secondo

ordine.

Più avanti si dimostrerà che, per ogni corpo considerato, esiste una particolare configurazione d’assi

cartesiani per la quale il momento centrifugo ha valore nullo.

In altre parole:

Esiste un particolare valore dell’ampiezza dell’angolo e, di conseguenza, un particolare

sistema d’assi, in riferimento al quale il corrispondente valore del momento d’inerzia

centrifugo 1Y.1X

J si annulla.

Il sistema d’assi cartesiani rispetto al quale si annulla il momento centrifugo è anche definito

“SISTEMA D’ASSI PRINCIPALI D’INERZIA” e gode anche della seguente importante proprietà:

I momenti d’inerzia assiali calcolati rispetto a due assi principali d’inerzia –

rispetto ai quali il momento centrifugo è nullo – sono rispettivamente quello

massimo e quello minimo per la sezione.

Se il sistema d’assi , oltre ad essere principale, è anche baricentrico allora

esso è definito “Sistema d’assi principali centrali d’inerzia”.



71

Per la sezione che si considera, l’ampiezza dell’angolo che soddisfa alle ipotesi di cui sopra, può

essere determinato imponendo l’annullamento del momento centrifugo e risolvendo l’equazione

conseguente:

02CosJ2Sen2

JJJ 0XY0

YX1Y.1X

Di conseguenza si ottiene:

02CosJ2Sen2

JJ

0XY0YX

Da cui:

0XY0

YX2CosJ2Sen

2

JJ

0XY0

XY2CosJ2Sen

2

)JJ(

0XY0

XY2CosJ2Sen

2

)JJ(

XY

XY

0

0

JJ

J2

2Cos

2Sen

XY

XY0

JJ

J22Tan

O anche:

0

XY

XY0 2Cos

JJ

J22Sen

0

XY

XY0 2Sen

J2

JJ2Cos

Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento centrifugo si

ottiene:

2

JJ

J2Tan

XY

XY1

0

Determinato l’angolo che individua la posizione degli assi principali d’inerzia si può passare al

calcolo dei momenti assiali rispetto a tali assi che rappresentano anche il massimo e minimo valore

possibile per la sezione:

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ XY

YXYX

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ XY

YXYX



72

ESEMPIO 1:

Data la sezione come nelle figura sottostante, determinare le coordinate del centro di massa, gli assi

principali centrali d’inerzia , i valori massimo e minimo dei momenti assiali baricentrici i relativi

raggi d’inerzia.

Figura 39 -

SOLUZIONE:

Calcolo delle coordinate del baricentro:

cm0,20

205010010

352050510010X

G

cm0,30

205010010

1020505010010Y G

Calcolo dei momenti d’inerzia assiali rispetto agli assi non baricentrici YX :

4633

X cm10466,33

2050

3

10010J

4633

Y cm10466,13

6020

3

8010J

Calcolo dei momenti assiali rispetto agli assi GX e GY baricentrici:

Utilizzando il teorema di trasposizione dei momenti assiali:

G2

XGX YSJJ

Da cui si ottiene:



73

G2

XXG YSJJ

466626

XG cm10666,1108,110466,330)205010010(10466,3J

Mentre per il momento YGJ :

G2

YGY XSJJ

G2

YYG XSJJ

4526

YGcm1066,62020501001010466,1J

Calcolo del momento centrifugo rispetto agli assi GX e GY baricentrici:

Sfruttando il teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia centrifughi e ricordando che i

momenti centrifughi rispetto agli assi principali centrali dei rettangoli sono nulli, si ottiene:

2G2G22YG.2XG1G1G11YG.1XGYG.XG YXSJYXSJJ

0J 1YG.1XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali


2

1 cm100010010S

2

2 cm10005020S

cm15X1G

cm15X2G

cm0,20Y 1G

cm0,20Y2G

Per cui:

4

YG.XGcm000.6000,2015100000,201510000J

Calcolo dell’inclinazione degli assi principali centrali d’inerzia baricentrici:

XGYG

YG.XG

0JJ

J22Tan

Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento

centrifugo si ottiene:

2

JJ

J2Tan

XGYG

YGXG1

0

2

2,1Tan

2

101

102,1Tan

2

10666,11066,6

000.6002Tan

16

6

1

65

1

0

09,252

2,1Tan1

0



74

Calcolo dei momenti d’inerzia assiali

J e

J rispetto agli assi principali centrali

d’inerzia:

0XGY0YGXGYGXG

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ

18,50Sen)000.600(18,50Cos2

1066,610666,1

2

1066,610666,1J

5656

65656

10948,177,0000.60064,02

1066,610666,1

2

1066,610666,1J

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ YG.XG

YGXGYGXG

18,50Sen000.60018,50Cos2

1066,610666,1

2

1066,610666,1J

5656

55656

10999.59977,0000.60064,02

1066,610666,1

2

1066,610666,1J

Calcolo dei raggi

e

principali d’inerzia:

cm29,319791000000.1

10958,1

S

J 6

cm32,173001000000.1

109999,5

S

J 5

Figura 40 – ASSI PRINCIPALI CENTRALI D’INERZIA E RAGGI D’INERZIA MASSSIMI E MINIMI



75

ESEMPIO 2:


principali centrali d’inerzia , i valori massimo e minimo dei momenti assiali baricentrici e i relativi

raggi d’inerzia.

Figura 41

SOLUZIONE:


cm14,9

43040246

173041240346X G

cm28,12

43040246

2304204023846Y G

Calcolo dei momenti assiali baricentrici:

o 3G2

32G2

21G2

13XG2XG1XGXG YSYSYSJJJJ

433

1XG cm3212

46

12

HBJ

433

2XG cm666.1012

402

12

HBJ

433

3XG cm16012

430

12

HBJ

21 cm24S 2

2 cm80S 23 cm120S

cm72,25Y 1G cm72,7Y 2G cm28,10Y 3G

Per cui:



76

4222XG cm183.44)28,10(12072,78072,2524160666.1032J

o 3G2

32G2

21G2

13YG2YG1YGYG XSXSXSJJJJ

433

1YG cm7212

64

12

HBJ

433

2YG cm66,2612

240

12

HBJ

433

3YG cm000.912

304

12

HBJ

21 cm24S 2

1 cm80S 23 cm120S

cm14,12Y 1G cm14,8Y 2G cm86,7Y 3G

Per cui:

4222

YG cm350.2586,712014,880)14,12(24000.966,2672J

Calcolo del momento centrifugo secondo gli assi baricentrici:

Sfruttando il teorema di trasposizione dei momenti d’inerzia centrifughi e ricordando che i momenti

centrifughi rispetto agli assi principali centrali dei rettangoli sono nulli, si ottiene:

3G3G33YG.3XG2G2G22YG.2XG1G1G11YG.1XGYG.XG YXSJYXSJYXSJJ



0J 31Y.3XG in quanto calcolato rispetto ad assi principali centrali

21 cm2446S

22 cm80402S

23 cm120304S

cm14,12X 1G

cm14,8X 2G

cm86,7X 3G

cm72,25Y 1G

cm72,7Y 2G

cm28,10Y 3G

Per cui:

4YG.XG cm786.2228,1086,7120072,714,880014,1272,25240J

Calcolo dell’inclinazione degli assi principali d’inerzia baricentrici:

XY

XY0

JJ

J22Tan

Il particolare valore dell’angolo 0 in corrispondenza del quale si annulla il momento centrifugo si ottiene:

2

JJ

J2Tan

XY

XY1

0

2

4199,2Tan

2

832.18

572.45Tan

2

183.44350.25

786.222Tan

1

11

0



77

77,332

186,2Tan1

0

Calcolo dei momenti d’inerzia assiali J e J rispetto agli assi principali centrali d’inerzia:

02SenXYJ02Cos2

YJXJ

2

YJXJJ

54,67Sen)786.22(54,67Cos2

350.25183.44

2

350.25183.44J

924.0786.22382,02

350.25183.44

2

350.25183.44J

4cm417.59054.21597.3766.34J

2SenXYJ2Cos2

YJXJ

2

YJXJJ

54,67Sen)786.22(54,67Cos2

350.25183.44

2

350.25183.44J

924,0786.22382,02

350.25183.44

2

350.25183.44J

4cm115.10054.21597.3766.34J

Calcolo dei raggi principali d’inerzia:

cm28,16262224

417.59

S

J

cm71,615,45224

115.10

S

J

Figura 42 – ASSI PRINCIPALI CENTRALI D’INERZIA E RAGGI D’INERZIA MASSIMI E MINIMI



78

ESEMPIO 3:



raggi d’inerzia.

Figura 43 -

SOLUZIONE:

Calcolo delle coordinate del baricentro. Si utilizzano i valori già calcolati:

cm40XG

cm6,43YG


o 3G2

32G2

21G2


433

1XG cm000.512

1060

12

HBJ

433

2XG cm166.10412

5010

12

HBJ

433

3XG cm500.212

1030

12

HBJ

2

1 cm600S 2

2 cm500S 2

3 cm300S

cm44,21Y 1G cm56,8Y 2G cm56,28Y 3G

Per cui:

4222

XGcm809.66856,2830056,850044,21600500.2166.104000.5J



79

o 3G2

32G2

21G2


4

33

1YGcm000.180

12

6010

12

HBJ

4

33

2YGcm166.4

12

1050

12

HBJ

4

33

3YGcm500.22

12

3010

12

HBJ

2

1cm600S 2

1cm500S 2

3cm300S

cm88,9x1G cm15Y

2G cm5Y

3G

Per cui:

4222

YGcm234.385530015500)88,9(600500.22166.4000.180J








2

1cm600S

2

2cm500S

2

3cm300S

cm88,9X1G

cm15X2G

cm5X3G

cm44,21Y1G

cm56,8Y2G

cm56,28Y3G

Per cui:

4

YG.XGcm456.14856,285300056,8(15500044,2188,96000J


XGYG

YG.XG

0JJ

J22Tan


2

JJ

J2Tan

XGYG

YG.XG1

0

2

047,1Tan

2

575.283

912.296Tan

2

809.668234.385

456.1482Tan

1

11

0



80

158,232

047,1Tan1

0


0YG.XG0

YGXGYGXG2SenJ2Cos

2

JJ

2

JJJ

31,46Sen)456.148(31,46Cos2

234.385809.668

2

234.385809.668J

)723,0(456.148691,02

234.385809.668

2

234.385809.668J

4cm829.732333.107975.97521.527J

2SenJ2Cos2

JJ

2

JJJ

YG.XG

YGXGYGXG

31,46Sen)456.148(31,46Cos2

234.385809.668

2

234.385809.668J

712.321723,0456.148975.97021.527J

4cm712.321J


cm87,22262400.1

829.732

S

J

cm15,1579,229400.1

712.321

S

J

Figura 44



81

USO DEGLI ASSI PRINCIPALI D’INERZIA

Dopo aver definito e calcolato la posizione angolare degli assi principali d’inerzia e – che

sono anche centrali nel caso di assi baricentrici – e ai quali corrispondono il massimo e minimo

momento d’inerzia assiale e il valore nullo del momento d’inerzia centrifugo, è possibile utilizzarli

come assi di riferimento per il calcolo dei momenti d’inerzia assiale e centrifugo rispetto ad assi

girevoli YX passanti nel punto d’origine degli assi principali.

Per fare ciò basta utilizzare il sistema già adottato per il calcolo dei momenti di secondo ordine

relativamente ad un sistema fisso e ad uno mobile, sostituendo quello fisso con il sistema principale.

Facendo riferimento alla figura seguente:

Figura 45 – ASSI PRINCIPALI D’INERZIA E SISTEMA GIREVOLE YX

Ricordando le formule che permettono il calcolo dei momenti assiali per un sistema girevole,

tenendo presente che il momento centrifugo rispetto al sistema d’assi principali ha un valore nullo e

che il valore dell’angolo rappresenta l’inclinazione degli assi YX rispetto agli assi

principali d’inerzia , si ottiene:

1) Per il momento assiale rispetto a X :

SenCos2JSenJCosJJ22

X

0J

Quindi:

22

XSenJCosJJ



82

Oppure, tenendo presente che:

2

2Cos1Cos

2 ;

2

2Cos1Sen

2

2

2Cos1J

2

2Cos1JJ X

2Cos2

JJ

2

JJJ

X

2) Per il momento assiale rispetto a Y :

SenCos2JCosJSenJJ22

Y

0J

Quindi:

22

YCosJSenJJ

Oppure, per lo stesso di prima:

2Cos2

JJ

2

JJJ

Y

3) Per il momento centrifugo rispetto a YX :

22

XY SenCosJSenCosJCosSenJJ

0J

Quindi:

SenCosJCosSenJJXY

Oppure, tenendo presente che:

2SenCosSen2

2Sen2

JJJ

XY



83

IL SISTEMA ANTIPOLARE

IL MOMENTO STATICO DEI MOMENTI STATICI

Ritorniamo al concetto di momento statico di un sistema di masse calcolato rispetto ad un asse X o

Y qualsiasi.

La definizione di momento statico è stata utilizzata – in modo specifico – per la determinazione

delle coordinate del centro di massa o baricentro di un corpo, relativamente ad un sistema di

riferimento d’assi cartesiani ortogonali aventi origine in un punto qualsiasi del piano contenente la

sezione del corpo in esame.

Il momento statico delle masse costituenti il corpo e relativo ad esempio ad un asse X qualsiasi, era

stato così definito:

ni

1i

iiXYmS

Si ricorda che il prodotto di ogni massa i

m per la relativa distanza i

Y dalla retta X scelta come

riferimento, può essere equiparato al momento di una forza parallela all’asse X la cui distanza,

valutata perpendicolarmente all’asse, è appunto i

Y .

In questo caso basterà sostituire alla grandezza “massa” la grandezza “forza-peso” che, come è

risaputo dipende dalla massa.

Il centro di massa o baricentro G era poi stato definito come punto particolare del piano,

appartenente o non appartenente al corpo, nel quale risultava possibile concentrare tutta la massa

ottenendo lo stesso valore del momento statico relativo all’asse stabilito:

MYmYSG

n1

1i

iGX

Si poteva quindi calcolare la coordinata G

Y del baricentro delle masse uguagliando i valori dei

momenti statici ottenendo:

i

ni

1i

iGYmMY

M

Ym

Y

ni

1i

ii

G

Con l’ipotesi di corpo omogeneo si estendeva poi la relazione alla superficie ottenendo:

S

Ym

Y

ni

1i

ii

G

Lo stesso ragionamento era valido anche per la coordinata G

X del baricentro cosicché si otteneva

anche l’altra relazione:

M

Xm

X

ni

1i

ii

G

oppure: S

Xm

X

ni

1i

ii

G

Si ricorda inoltre che la posizione del centro di massa risultava indipendente dal sistema d’assi di

riferimento ed era quindi stabilita solo dalla posizione delle varie masse o dalla forma del corpo.



84

IL BARICENTRO DEI MOMENTI STATICI O CENTRO RELATIVO AD UN ASSE

Ora, lo stesso ragionamento e definizioni, possono essere applicate anche nel caso in cui al posto

delle masse i

m costituenti le n particelle, siano prese in considerazione, al posto delle masse, le

grandezze ottenute moltiplicando la massa di ognuna per la distanza, misurata ad esempio in modo

perpendicolare, dall’asse cui si fa riferimento.

Relativamente all’asse :X

im

iiYm mkg

Il momento statico, relativo ad ogni asse, delle nuove grandezze definite come sopra, può quindi

essere considerato “il momento statico dei momenti statici delle masse i

m ” e può essere calcolato

con le seguenti relazioni:

ni

1i

i2

ni

1i

iiiX*

YmYYmS

D’altra parte si riconosce, nell’espressione X*

S , il momento d’inerzia assiale delle masse calcolato

rispetto all’asse X .

Di conseguenza, in modo analogo al baricentro delle masse, potremo definire un nuovo punto del

piano che rappresenterà il baricentro X delle nuove grandezze messe al posto delle masse cioè il

baricentro dei momenti statici o centro relativo all’asse considerato.

Riprendendo la definizione di baricentro diremo che:

Il baricentro X dei momenti statici è un punto particolare, appartenente al piano, in cui è

possibile concentrare i momenti statici complessivi delle masse, calcolati relativamente

all’asse considerato, ed ottenere i momenti statici delle nuove grandezze.

La coordinata X

Y del baricentro B dei momenti statici rispetto all’asse X saranno calcolate con le

seguenti relazioni:

ni

1i

iiiX

*

i

ni

1i

iXYYmSYmY

ni

1i

ii

ni

1i

iii

X

Ym

YYm

Y

D’altra parte, esaminando le relazioni e ricordando le definizioni di momento statico delle masse, di

baricentro delle masse, di momento d’inerzia assiale e di raggio d’inerzia, si riconoscono:

Xi2

ni

1i

i

ni

1i

iii JYmYYm

MYmYYm G

ni

1i

iGi

ni

1i

i

Per cui, la coordinata del baricentro dei momenti statici, o centro relativo agli assi, è anche espresso

da:



85

MY

J

Ym

YYm

Y

G

X

ni

1i

ii

ni

1i

iii

X

mkgm

mkg2

Il momento d’inerzia assiale è, di conseguenza, anche espressi dalle seguenti:

MYYJGXX

In cui X

Y è la coordinata, misurata perpendicolarmente all’asse X , del baricentro dei momenti

statici, mentre G

Y è la coordinata, misurata sempre perpendicolarmente all’asse X , del centro di

massa o baricentro delle masse.

Oppure, utilizzando la definizione di raggio d’inerzia:

MJ X

2

X

Da cui il legame tra i raggi d’inerzia, le coordinate del baricentro delle masse e le coordinate del

baricentro dei momenti statici:

GXX

2

YY GXX

YY

Inoltre, considerando il Teorema di trasposizione dei momenti assiali:

MYJJ G2

XGX

e ricordando che il momento d’inerzia baricentrico è:

MJ XG

2

XG

Si ottiene:

MYMJ G

2

XG

2

X

Infine:

MYMMYYJ G

2

XG

2

GXX

Semplificando i termini simili:

G

2

XG

2

GXYYY

E ricavando la coordinata X

Y del centro relativo o baricentro dei momenti statici:

G

XG

2

G

G

G

2

XG

2

X

YY

Y

YY

A un risultato analogo si perviene considerando i momenti statici rispetto all’asse Y e rifacendo

quindi gli stessi ragionamenti fatti a proposito dell’asse X .



86

MX

J

Xm

XXm

X

G

J

ni

1i

ii

ni

1i

iii

Y

MXXJGYY

MJ Y

2

Y

GYY

2

XX GYY

XX

MXJJ G

2

YGY

MJ YG2

YG

MXMJ G

2

YG

2

Y

MXMMXXJ G

2

YG

2

GYY

G

2

YG

2

GYXXX

G

YG

2

G

G

G

2

YG

2

Y

XX

X

XX

ESEMPIO 1:

Determinare le coordinate XX

YX del centro relativo X (baricentro dei momenti statici ym

calcolati rispetto all’asse x ) e le coordinate YY

YX del centro relativo Y (baricentro dei

momenti statici xm calcolati rispetto all’asse y ) per un rettangolo HB e per assi passanti,

come in figura, sui lati di base ed altezza.

Figura 46 – CENTRO RELATIVO RISPETTO AGLI ASSI X E Y



87

Soluzione:

Posizione del baricentro dei momenti statici ii

ym calcolati rispetto all’asse x . Il

baricentro dei momenti statici è indicato con il simbolo X .

La posizione del baricentro dei momenti statici X o centro relativo rispetto all’asse X è

data dalle due coordinate X

Y e X

X (nel sistema di riferimento cartesiano stabilito).

Esse sono calcolate con:

G

XG2

G

G

G2

XG2

G

G2

XG

G

XX

YY

Y

Y

SY

SYJ

SY

JY

SY

SddJ

SY

JX

G

YGXGYG.XG

G

XYX

1) Calcolo della prima coordinata X

Y :

Per il rettangolo in figura e, relativamente all’asse X , si ha:

12

H

HB

12

HB

S

J

2

HY

2

3

XGXG

2

G

Da cui si ottiene:

cm283

422

3

H2

6

HH3

6

H

2

H

H12

H2

2

H

2

H

12

H

2

H

YYY

2

2

G

XG2

GX

Oppure, più semplicemente:

cm283

422

3

H2

HB3

HB2

HB2

H

3

HB

SY

JY

2

3

3

G

XX

2) Calcolo della seconda coordinata G

Y :

Per il rettangolo in figura si ha:

SY

SddJ

SY

JX

G

YGXGYG.XG

G

XYX

Con i seguenti valori:

0J YG.XG in quanto momento centrifugo baricentrico secondo assi principali

2

Bd XG

2

Hd YG

Per cui:

cm122

24

2

B

HB4

HB2

HB2

H

HB2

B

2

H0

X2

22

X



88

Posizione del baricentro dei momenti statici ii

Xm calcolati rispetto all’asse y . Il

baricentro dei momenti statici è indicato con il simbolo Y .

La posizione del baricentro dei momenti statici Y o centro relativo rispetto all’asse y è

data dalle due coordinate Y

Y e Y

X (nel sistema di riferimento cartesiano stabilito).

Esse sono calcolate con:

G

YG2

G

G

G2

YG2

G

G2

YG

G

y

YX

XX

Y

SX

SXJ

SX

JX

SX

SddJ

SX

JY

G

YGXGYG.XG

G

XYY

1) Calcolo della prima coordinata Y

X :

Per il rettangolo in figura e, relativamente all’asse X , si ha:

12

B

HB

12

HB

S

J

2

BY

2

3

YGYG

2

G

Da cui si ottiene:

cm163

242

3

B2

6

BB3

6

B

2

B

B12

B2

2

B

2

B

12

B

2

B

XXX

2

2

G

YG2

GY

Oppure, più semplicemente:

cm163

242

3

B2

HB3

HB2

HB2

B

3

HB

SX

JX

2

3

3

G

YY

2) Calcolo della seconda coordinata YY :

Per il rettangolo in figura si ha:

SX

SddJ

SX

JY

G

YGXGYG.XG

G

XYY

Con i seguenti valori:

0J YG.XG in quanto momento centrifugo baricentrico secondo assi principali

2

Bd XG

2

Hd YG

Per cui:

cm212

42

2

H

HB4

HB2

HB2

B

HB2

B

2

H0

Y2

22

Y



89

ESEMPIO 2:

Determinare la relazione che permette di calcolare la posizione del centro relativo X

Y per un

rettangolo HB come in figura e per un asse X la cui distanza dal baricentro G delle masse è

variabile a piacere.

Figura 47 -

Soluzione:

La posizione del baricentro dei momenti statico o centro relativo B

Y è data da:

G

XG

2

G

G

G

2

XG

2

X

YY

Y

YY

Per il rettangolo in figura e, relativamente ad un asse X la cui distanza Y dal baricentro G è

variabile da un valore infinitamente grande sino ad un valore nullo (asse X baricentrico):

S

J

YY

XGXG

2

VariabileG

Con i seguenti valori costanti:

12

HBJ

3

XG

HBS

La posizione del centro relativo è quindi data da:

YHB

12

HB

YY

S

J

YY

3

XG

X



90

Da cui:

Y12

HY

YHB12

HBY

YHB12

HBYY

233

X

Esaminando la relazione che permette il calcolo della distanza, dall’asse X , del centro relativo X

Y

si potrà notare che:

Se l’asse X è baricentrico, la distanza tra l’asse e il baricentro G è nulla.

Ipotesi:

0Y

Per cui:

Y12

H

Y12

H0

Y12

HYY

222

)0YPER(X

D’altra parte, essendo nullo il valore del denominatore, il risultato del quoziente ha la

tendenza a diventare un numero infinitamente grande, di conseguenza:

)0(12

H2

Quindi:

X

Y

Quindi, in conclusione, se l’asse X si avvicina al baricentro delle masse, il centro relativo

XY ha la tendenza a essere infinitamente distante dall’asse stesso.

Se l’asse X si allontana grandemente dal baricentro G :

Ipotesi:

Y

Allora il termine Y12

H2

, avendo al denominatore un numero tendente all’infinito, ha la

tendenza ad assumere un valore nullo, perciò:

0

12

H

Y12

HYY

22

)YPER(X

In conclusione, se l’asse X si allontana grandemente dal baricentro delle masse, il centro

relativo X

Y ha la tendenza ad essere infinitamente vicino al baricentro stesso in quanto il

suo valore è uguale alla distanza dell’asse X dal baricentro.



91

IL CENTRO RELATIVO AD UN ASSE DEI MOMENTI STATICI RISPETTO AD UN ALTRO

ASSE – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO

Prendiamo ora in esame un corpo di massa M , di forma qualsiasi, e un sistema di riferimento

cartesiano che immaginiamo, per semplicità, ortogonale e con origine in un punto qualsiasi del

piano.

Del corpo in esame si conoscono, in quanto calcolate, le coordinate del centro di massa o baricentro

G .

Il corpo è suddiviso in un numero n di particelle di massa i

m .

Il numero n sia sufficientemente grande da poter considerare puntiformi le particelle.

Figura 48 – MOMENTO D’INERZIA CENTRIFUGO E POSIZIONE DEI CENTRI RELATIVI

Come già visto in precedenza, si definisce Momento d’inerzia centrifugo delle n masse i

m rispetto

alle due rette YX , la sommatoria dei prodotti di ogni singola massa per le rispettive distanze

dagli assi considerati:

ii

ni

1i

iXYXYmJ

Tuttavia è anche possibile, senza alcuna modifica al risultato finale, riscrivere l’espressione del

momento d’inerzia centrifugo nel modo seguente:

ii

ni

1i

iXYX)Ym(J

Ed interpretare la relazione nel modo seguente:

Il momento d’inerzia centrifugo XY

J è uguale alla sommatoria dei momenti statici rispetto

all’asse Y delle grandezze ottenute moltiplicando ciascuna massa per la rispettiva distanza

iY dall’asse X , cioè i momenti statici delle masse rispetto all’asse X .



92

Deve perciò esistere, nel piano individuato dai due assi, un punto particolare definito centro relativo

all’asse Y , ove poter concentrare la somma dei momenti statici relativi all’altro asse ed ottenere il

medesimo valore del momento centrifugo.

Tale punto può, come precedentemente, essere pensato come baricentro dei momenti statici rispetto

all’asse X .

Cioè:

)Ym(XJi

ni

1i

iXXY

D’altra parte la sommatoria dei prodotti delle singole masse per le rispettive distanze dall’asse

X altro non è che il momento statico delle masse e, come tale, può essere a sua volta espresso

tenendo conto della definizione di baricentro delle masse:

MYmY)Ym(S

ni

1i

GGi

ni

1i

iX

Si ottiene quindi:

MYX)Ym(XJGXi

ni

1i

iXXY

Ove:

XX Centro relativo all’asse Y dei momenti statici delle masse rispetto all’asse X

GY Coordinata del baricentro delle masse

Il momento d’inerzia centrifugo rispetto ai due assi YX è quindi uguale al prodotto della

massa complessiva del corpo per la distanza G

Y del baricentro dall’asse X e per la distanza

YX del centro relativo delle grandezze

iiYm rispetto all’asse Y .

Ancora senza modifiche al valore finale, l’espressione del momento centrifugo può essere espressa

anche dalla seguente:

ii

ni

1i

iXYY)Xm(J

La sommatoria equivale al momento statico, questa volta rispetto all’asse X delle grandezze

ottenute moltiplicando le svariate masse per le relative distanze dall’asse Y .

Deve perciò esistere, nel piano individuato dai due assi, un punto particolare definito centro relativo

all’asse X , ove poter concentrare la somma dei momenti statici relativi all’altro asse ed ottenere il

medesimo valore del momento centrifugo.

Tale punto può, come precedentemente, essere pensato come baricentro dei momenti statici rispetto

all’asse X .

Cioè:

)Xm(YJi

ni

1i

iYXY

D’altra parte la sommatoria dei prodotti delle singole masse per le rispettive distanze dall’asse

Y altro non è che il momento statico delle masse e, come tale, può essere a sua volta espresso

tenendo conto della definizione di baricentro delle masse:

MXmX)Xm(S

ni

1i

GGi

ni

1i

iY



93

Si ottiene quindi:

MXY)Xm(YJGYi

ni

1i

iYXY

Ove:

YY Centro relativo all’asse X dei momenti statici delle masse rispetto all’asse Y

GX Coordinata del baricentro delle masse

Per concludere è quindi possibile equiparare le due espressioni del momento d’inerzia centrifugo

ottenendo così la seguente relazione:

MYXJ

MXYJ

GXXY

GYXY

da cui si ottiene:

GXGY

YXXY

Oppure:

G

G

Y

X

Y

X

Y

X

Cioè:

Considerata una coppia d’assi cartesiani YX qualsiasi, il rapporto tra le distanze dei

centri relativi ai due assi, è uguale al rapporto tra le coordinate del centro di massa misurate

rispetto alla stessa coppia d’assi cartesiani.

O anche:

Y

G

G

XY

Y

XX

X

G

G

YX

X

YY

CORRISPONDENZA TRA ASSI E CENTRI RELATIVI

Tenendo presente i risultati ottenuti con il calcolo del momento d’inerzia centrifugo esaminiamo ora

un caso particolarmente importante relativo alla corrispondenza tra assi di riferimento e loro centri

relativi.

A questo scopo consideriamo un corpo di forma qualsiasi del quale abbiamo già calcolato la

posizione del centro di massa o baricentro e un’asse di riferimento x NON baricentrico.

Sia X

Y la coordinata del centro relativo dei momenti statici delle n particelle rispetto a tale asse,

il cui valore è calcolato con la seguente espressione:

G

XG2

G

G

G2

XG2

XY

YY

YY

Indicheremo con X il centro relativo rispetto alla retta x .



94

L’altra coordinata del punto X si ottiene mediante il calcolo del momento statico rispetto all’asse

y delle grandezze costituite da ymi , cioè i momenti statici delle masse rispetto a x , che, alla

fine risulta essere il momento centrifugo:

MYXYmXXYmJGX

ni

11

iiXi

ni

1i

iixy

Da cui:

MY

JX

G

xy

X

Allo stesso modo si potrà procedere anche nel caso in cui si decida di prendere in considerazione

una seconda retta di riferimento y anch’essa NON baricentrica.

Indicheremo con Y il centro relativo rispetto a tale retta e la sua distanza Y

X dalla stessa sarà

calcolata con:

G

YG2

G

G

G2

YG2

YX

XX

XX

L’altra coordinata del punto Y si ottiene mediante il calcolo del momento statico rispetto all’asse

x delle grandezze costituite da ii

Xm , cioè i momenti statici delle masse rispetto a y , che, alla

fine risulta essere il momento centrifugo:

MXYXmYYXmJGy

ni

11

iiyi

ni

1i

iixy

Da cui:

MX

JY

G

xy

y

Le due rette yx costituiscono quindi un sistema di riferimento, non necessariamente di tipo

ortogonale, il cui punto d’origine non è coincidente con il centro di massa del corpo.

Per un sistema di riferimento qualsiasi vale la relazione dimostrata precedentemente con il calcolo

del momento d’inerzia centrifugo:

GXGYYXXY

Supponiamo ora che l’asse y passi esattamente nel punto occupato dal centro X relativo all’asse

x in modo tale che la distanza X

X sia nulla:

Ipotesi 1:

Asse Y comunque orientato ma passante in ogni caso nel centro relativo all’asse X

Dall’ipotesi 1 consegue che:

0XX

Ipotesi 2:

Asse Y e asse X non passanti per il baricentro G del corpo

Dall’ipotesi 2 consegue che:

0Y

0X

G

G



95

CONSEGUENZE:

Essendo nullo il valore di X

X è automaticamente nullo anche il prodotto GX

YX e di

conseguenza deve essere nullo anche il prodotto GY

XY

Quindi se 0XX 0YX

GX

Se 0YXGX 0XY

GY

D’altra parte, non essendo nullo G

X per il fatto che l’asse Y , per definizione è

baricentrico, dovrà essere sicuramente nullo il valore di Y

Y .

Cioè: 0XYGY 0X

G 0Y

Y

Conclusioni:

Se l’asse y passa nel centro relativo X dell’asse x , di conseguenza anche l’asse x passa nel

centro relativo Y dell’asse y . In questo caso il momento centrifugo è nullo e i due assi sono

principali d’inerzia.

Il centro relativo X è definito “ANTIPOLO” della retta x .

Dunque se la retta y passa nell’antipolo X , le due rette yx si dicono “CONIUGATE”

Oppure:

Se uno dei due centri relativi è su un asse, di conseguenza l’altro centro relativo è sull’altro asse.

Figura 49 – CENTRI RELATIVI E ASSI yx QUALSIASI



96

Figura 50 – CENTRI RELATIVI POSIZIONATI SUGLI ASSI DI RIFERIMENTO – FASCI DI RETTE y

PASSANTI NEL CENTRO RELATIVO x .

Considerato che, l’unica condizione necessaria per far sì che i centri X e Y - rispettivamente

relativi all’asse x e all’asse y - siano posizionati sugli assi stessi ( X sull’asse y , Y sull’asse

x ) è che almeno uno delle rette passi nel centro relativo dell’altra, possiamo dedurre, ad esempio,

che ogni retta y passante nel punto X ha il centro ad essa relativo posizionato sulla retta x .

Siccome le rette passanti per un punto sono infinite, si può concludere che ad ogni posizione

angolare dell’asse y corrisponde una determinata posizione del centro relativo Y sull’asse x .

In altre parole, se si immagina di ruotare l’asse y attorno al punto X - centro relativo dell’asse x -

il centro relativo Y si muoverà su una linea retta corrispondente all’asse x .

Naturalmente vale lo stesso principio anche per l’eventuale rotazione dell’asse x attorno al centro

relativo Y .

IL SISTEMA ANTIPOLARE

Ritornando al problema del centro relativo X rispetto ad una retta di riferimento prefissata x ,

relativamente ad un sistema di masse comunque disposte, abbiamo osservato che la posizione del

centro cambia continuamente se è modificata la posizione della retta.

Tuttavia, in base a quanto visto sino ad ora, è possibile affermare che, una volta determinata la

coordinata del centro di massa o baricentro G della sezione in esame, il centro relativo X rispetto

ad una qualsiasi retta x è sempre posto a una distanza maggiore che non il baricentro dalla retta

stessa.

In termini matematici questo fatto è espresso, in modo generico,da:

GXYY



97

In modo particolare, poi, la differenza tra i due valori si può ottenere se si prende in esame la

relazione che permette il calcolo di X

Y :

G

XG2

GXY

YY

Dalla quale si ricava la differenza:

G

XG2

GXY

YY

Considerando che il raggio d’inerzia baricentrico XG

non è mai nullo e che il suo valore non è

influenzato dalla distanza della retta di riferimento x dal baricentro, ma solo dall’inclinazione della

retta baricentrica rispetto alla quale si calcola il momento d’inerzia e il relativo raggio giratorio,

possiamo dire che il rapporto G

XG2

Y

dipende quasi esclusivamente dal valore di

GY che è collocato

al denominatore.

E’ quindi logico pensare che, allontanando la retta x dal baricentro G , si mantiene inalterato il

numeratore ed aumenta il denominatore e, di conseguenza, il rapporto ha la tendenza a diminuire.

Ciò vuol dire che, allontanando la retta dal centro di massa, la differenza tra il centro relativo X e

la distanza del baricentro dall’asse, ha la tendenza a diminuire.

In condizioni limite, se si immagina di spostare la retta infinitamente distante dal baricentro, il

rapporto G

XG2

Y

e, di conseguenza, anche la distanza tra

XY e

GY hanno la tendenza ad annullarsi.

Quindi, quando la retta è infinitamente distante dal baricentro G , il centro X ad essa relativo è

coincidente con il baricentro stesso.

Ipotesi e tesi:

G

Y 0YYGX

GXYY

D’altra parte, mentre la retta x si avvicina al baricentro, la distanza G

Y diminuisce sino ad

annullarsi completamente se la retta è baricentrica e, di conseguenza, il rapporto G

XG2

Y

e la

differenza GX

YY tendono ad un valore infinitamente grande:

0YG

GXYY

Ciò significa che, spostando la retta verso il baricentro G , il suo centro relativo X si allontana dal

baricentro sino ad una distanza infinitamente grande nel momento in cui la retta è proprio

posizionata sul baricentro.

E’ quindi chiaro che ad ogni retta x corrisponde un centro relativo X ; se la retta è infinitamente

distante dal baricentro il suo centro relativo è il baricentro stesso mentre se la retta è baricentrica il

suo centro relativo è all’infinito.

Risulta quindi impossibile l’esistenza di una retta x contenente il suo centro relativo X e, siccome

il centro relativo è anche definito “POLO”, non esItono rette che contengano il proprio polo.

Se esistesse una retta simile, sarebbe definita retta “AUTOCONIUGATA” cioè “retta contenente il

proprio polo”.

Possiamo quindi concludere che, nel sistema di masse e assi di riferimento come descritto, non

esistono rette “AUTOCONIUGATE”.



98

Tuttavia se si considerano nuovamente la retta x , il suo polo o centro relativo X e un punto 1

X -

simmetrico di X rispetto al baricentro G - e si ripete il ragionamento precedente, si può

concludere facilmente quanto segue:

Mentre la retta x si avvicina alla posizione del baricentro, il suo centro relativo X si

allontana dal baricentro e, di conseguenza, il punto simmetrico di X rispetto al baricentro

G - che abbiamo definito 1

X - si avvicina alla retta.

Il movimento del centro relativo X deve necessariamente avvenire su una linea retta la cui

direzione è individuata dal segmento che congiunge il baricentro G - fisso – a un centro

X relativo ad una posizione intermedia della retta x .

Se immaginiamo di spostare la retta x dall’infinito ad una certa posizione, sempre

mantenendola parallela a se stessa, il centro relativo si sposterà da una posizione iniziale

corrispondente con il baricentro ad una posizione finale corrispondente al punto X

percorrendo il segmento GX .

E’ evidente che ad un ulteriore spostamento della retta deve corrispondere uno spostamento

del punto X tale da mantenere la stessa direzione del segmento GX .

E’ ovvio che, ad un certo momento ed ad una certa distanza, la retta x e il punto 1

X saranno

sovrapposti, mentre il centro relativo X sarà simmetrico di 1

X rispetto al baricentro.

La particolare retta x che contiene il punto 1

X - simmetrico di X - è quindi

“AUTOCONIUGATA” con 1

X che è ora definito “POLO” di x .

Il punto X - vero centro relativo – diventa “ANTIPOLO” di x

D’altra parte, congiungendo il punto X con il suo simmetrico 1

X , è individuata una retta G

y che

passa anche nel baricentro G e che gode quindi delle seguenti proprietà:

Unita alla retta x costituisce un sistema di riferimento cartesiano non necessariamente

ortogonale.

Passando nel centro relativo X dell’asse x è automaticamente coniugata con la retta x .

Essendo coniugate, ognuna contiene il centro relativo dell’altra.

La seguente figura illustra la posizione della retta autoconiugata con il proprio antipolo 1

X .

Per un determinato corpo avente la sezione come illustrata in figura è relativamente

semplice determinare la posizione del baricentro G utilizzando i momenti statici delle

masse rispetto a due assi qualsiasi.

Considerando poi una retta 1x qualsiasi si può determinare la posizione del centro

relativo che sarà indicato con 1X .

Congiungendo il punto 1X con il baricentro G si individua il segmento 1GX che è

indicativo della direzione sulla quale si muoverà il centro relativo per ulteriori spostamenti

della retta x .

Ruotando di 180° il segmento 1GX , con il baricentro come punto fisso, si trova,

all’estremità opposta il punto 1X1

, evidentemente simmetrico di 1X .

Ora, mantenendola parallela a se stessa, avviciniamo la retta 1x al baricentro; di

conseguenza il centro 1X si muoverà verso l’esterno lungo la direttrice 1GX , mentre



99

il simmetrico 1X1

si muoverà verso l’interno – sempre lungo la direttrice 1GX -

andando incontro alla retta x in movimento verso il baricentro.

Alla posizione 2x corrisponderà il centro 2X e il suo simmetrico 2X1

, alla

posizione 3x corrisponderà il centro 3X e il suo simmetrico 3X1

Fermiamo il movimento della retta x nel momento in cui il punto 1

X è esattamente

collocato sulla stessa. In questo caso si è immaginato che la retta 3x sia in una posizione

tale da contenere il simmetrico 3X1

La direttrice GX sarà ora rappresentata dalla retta G

y passante nel baricentro e luogo dei

punti occupati, nei vari istanti, dal movimento del centro relativo X

Lo stesso ragionamento fatto per la retta x può essere ripetuto per ogni retta tra le infinite

appartenenti al piano contenente la sezione, trovando, per ognuna, una corrispondenza con:

Una retta coniugata G

y contenente il baricentro G , il centro relativo X e il suo

simmetrico 1

X

La retta autoniugata nx che contiene il simmetrico 1

X

La retta parallela a nx e Gx che contiene il centro relativo X

Svolgendo quanto descritto per tutte le rette x appartenenti al piano e unendo tra loro gli infiniti

punti 1

X o X si otterrà una curva chiusa – definita conica – di forma solitamente ellittica.

Tale curva è definita “ELLISSE CENTRALE D’INERZIA” e la sua conoscenza permette di

calcolare i momenti d’inerzia baricentrici relativi ad una retta passante nel baricentro e avente

inclinazione qualsiasi.

In particolare, dato l’ellissi centrale d’inerzia per la sezione in esame, si nota l’esistenza di una

coppia di rette, tra loro coniugate e ortogonali, alla quale corrispondono il diametro massimo e

minimo dell’ellissi.

Queste rette particolari sono gli assi principali centrali d’inerzia ai quali corrispondono

rispettivamente il massimo e minimo momento assiale baricentrico per la sezione in esame.

Inoltre, relativamente a tali assi, si annulla il momento d’inerzia centrifugo.

Gli assi principali sono, in questo caso, anche centrali e, di solito, vegono definiti e .



100

Figura 51 – ELLISSE CENTRALE D’INERZIA

Qualora si intenda calcolare il momento d’inerzia del corpo rispetto alla particolare retta 3x che

contiene 3X1

- simmetrico del suo centro relativo 3X -, si potrà ricorrere alla formula

generale:

MYYmYYJG3X

ni

1i

iG3X3X

Riferendo la relazione al disegno sovrastante e misurando le distanze parallelamente alla retta

baricentrica G

y , si avrà:

3331

3XGX2XXY

331

GGXGXY

Quindi il momento d’inerzia assume la forma:

MGXGX2J333X

MGX2J2

33X

D’altra parte, per calcolare il momento d’inerzia assiale 3XJ , è anche possibile applicare il teorema

di trasposizione dei momenti assiali ottenendo:

MdJJ GX2

)G(X3X

Con:

GXJ Momento d’inerzia rispetto ad una retta Gx parallela a 3x e passante in G

2

3GX2

GXd

M Massa complessiva del corpo

Uguagliando i momenti d’inerzia si ottiene:



101

MGXJMGX22

3)G(X

2

3

Da cui:

GX

2

3

2

3JMGXMGX2

GX

2

3JMGX

Tenendo poi conto che il momento d’inerzia può anche essere espresso in funzione del raggio

d’inerzia , si ottiene:

MJ GX2

GX

MMGX GX22

3

Da cui:

3GXGX

In conclusione si può quindi affermare che:

Il raggio d’inerzia relativo ad una retta generica G

x baricentrica, per un corpo del quale è

stato tracciato l’ellisse centrale d’inerzia, corrisponde alla metà del diametro dell’ellisse

misurato sulla retta coniugata alla retta G

x .

USO DELL’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA

Per determinare la forma e le dimensioni dell’ellisse centrale d’inerzia, relativamente alla sezione

del corpo in esame, si utilizza, di solito, la seguente procedura:

Avendo a disposizione la forma e dimensioni della sezione e utilizzando un sistema di

riferimento costituito da due assi cartesiani ortogonali – ognuno dei quali può essere ad

esempio considerato parallelo ai lati principali della sezione – sono calcolate, rispetto al

sistema stesso, le coordinate del centro di massa o baricentro G .

Le coordinate del baricentro, pur variabili rispetto ad un qualsiasi altro sistema di

riferimento diverso da quello utilizzato per il calcolo, saranno comunque sempre dipendenti

dalla posizione immutabile dello stesso baricentro.

Solitamente le sezioni in esame sono scomponibili in forme più semplici quali rettangoli,

quadrati, circonferenze o triangoli e ciò rende agevole il passo successivo cioè il calcolo dei

momenti assiali X

J e Y

J della sezione riferiti ai due assi yx scelti. Si utilizzano, a

tale scopo, i momenti assiali baricentrici relativi alle varie sezioni semplici in cui si è

scomposta la sezione di partenza e per assi baricentrici paralleli agli assi di riferimento.

Per il calcolo dei momenti assiali baricentrici relativi alla sezione intera, unitamente a quelli

parziali baricentrici per ogni sezione semplice, si utilizza il Teorema di trasposizione dei

momenti assiali computando le distanze dei rispettivi baricentri secondo direzioni parallele

ai due assi scelti.

E’ poi calcolato, sempre rispetto ad assi ortogonali paralleli agli assi yx originari e

passanti nel baricentro generale della sezione, il momento d’inerzia centrifugo YG.XG

J .

Anche in questo caso è utilizzato il Teorema di trasposizione dei momenti centrifughi

applicato alle varie figure componenti ricordando che, per ogni sezione semplice sono

facilmente individuati gli assi principali centrali d’inerzia baricentrici relativamente ai quali



102

sono nulli i momenti centrifughi. Anche in questo caso le distanze tra i vari baricentri e il

baricentro della sezione completa saranno computate parallelamente agli assi.

Dopo aver determinato il valore del momento centrifugo YG.XG

J baricentrico generale

rispetto agli assi baricentrici paralleli agli assi yx , utilizzando la teoria relativa ad assi

girevoli e ricordando che il momento centrifugo si annulla se calcolato rispetto ad assi

principali centrali d’inerzia, sarà possibile calcolare l’inclinazione anglorare, rispetto agli

assi baricentrici paralleli a yx , del sistema di assi principali centrali d’inerzia che

saranno definiti . Gli assi principali centrali d’inerzia saranno ortogonali e, rispetto

ad essi, si avrà il massimo e il minimo valore dei momenti assiali baricentrici.

Considerando poi il sistema d’assi principali d’inerzia come nuovo sistema di

riferimento fisso e utilizzando i valori dei momenti d’inerzia

YG.XGYGXGJJJ calcolati in precedenza, si potranno determinare i nuovi momenti

d’inerzia assiali GG

JJ

rispetto agli assi principali centrali d’inerzia.

Infine, con i momenti assiali GG

JJ

e utilizzando le apposite relazioni, si calcoleranno

i raggi d’inerzia G

e G

che costituiscono rispettivamente i due semidiametri

dell’ellisse centrale d’inerzia re della sezione in esame.

Relativamente alla procedura descritta, si riporta, di seguito, l’esempio n. 2 già svolto alla pagina n.

67. Le dimensioni sono riportate a pag. 67.

ESEMPIO 2:



raggi d’inerzia.

Figura 52



103

SOLUZIONE:


cm14,9

43040246

173041240346X G

cm28,12

43040246

2304204023846Y G


o 3G2

32G2

21G2


433

1XG cm3212

46

12

HBJ

433

2XG cm666.1012

402

12

HBJ

433

3XG cm16012

430

12

HBJ

21 cm24S 2

2 cm80S 23 cm120S

cm72,25Y 1G cm72,7Y 2G cm28,10Y 3G

Per cui:

4222XG cm183.44)28,10(12072,78072,2524160666.1032J

o 3G2

32G2

21G2


433

1YG cm7212

64

12

HBJ

433

2YG cm66,2612

240

12

HBJ

433

3YG cm000.912

304

12

HBJ

21 cm24S 2

1 cm80S 23 cm120S

cm14,12Y 1G cm14,8Y 2G cm86,7Y 3G

Per cui:

4222

YG cm350.2586,712014,880)14,12(24000.966,2672J








21 cm2446S

22 cm80402S

23 cm120304S

cm14,12X 1G



104

cm14,8X 2G

cm86,7X 3G

cm72,25Y 1G

cm72,7Y 2G

cm28,10Y 3G

Per cui:

4YG.XG cm786.2228,1086,7120072,714,880014,1272,25240J


XY

XY0

JJ

J22Tan


2

JJ

J2Tan

XY

XY1

0

2

4199,2Tan

2

832.18

572.45Tan

2

183.44350.25

786.222Tan

1

11

0

77,332

186,2Tan1

0


02SenXYJ02Cos2

YJXJ

2

YJXJJ

54,67Sen)786.22(54,67Cos2

350.25183.44

2

350.25183.44J

924.0786.22382,02

350.25183.44

2

350.25183.44J

4cm417.59054.21597.3766.34J

2SenXYJ2Cos2

YJXJ

2

YJXJJ

54,67Sen)786.22(54,67Cos2

350.25183.44

2

350.25183.44J

924,0786.22382,02

350.25183.44

2

350.25183.44J

4cm115.10054.21597.3766.34J


cm28,16262224

417.59

S

J

cm71,615,45224

115.10

S

J



105

Figura 53 – ASSI PRINCIPALI CENTRALI D’INERZIA E RAGGI D’INERZIA MASSIMI E MINIMI



106

SEZIONE MOMENTI D’INERZIA

BARICENTRICI

12

HBJ

3

XG

12

BHJ

3

YG

12

hHBJ

33

XG

12

BhHJ

3

YG

12

hbHBJ

33

XG

Geometria delle masse

Documents

Transcript of Geometria delle masse