Misura di una grandezza (fisica)hep.fi.infn.it/chimica/2016_17-Misura_e_errori.pdf ·...

Fall / 2016 R. D'Alessandro 1

Misura di una grandezza (fisica)●Metodo scientifico sperimentale richiede due caratteristiche alla misura:–Affidabilità–Riproducibilità●La presentazione di un risultato attenente a una misura deve fornire informazioni sufficienti tali da:–Consentire la ripetizione della misura stessa–Valutare l'accordo tra i risultati


Le vostre relazioni●Spiegare cosa state misurando

●Procedure eseguite

●Metodi di misura e la strumentazione usata

●Elaborazione Dati:–Errori “teorici”

–Errori di misura

●Confronto critico tra misure ed eventuali previsioni “teoriche”, e tra gruppi diversi.

●UNITÀ DI MISURA SEMPRE !

●Tabelle e grafici con spiegazioni chiare !


Cosa vuol dire “misura”●Definite l'osservabile che interessa–A volte può essere meno ovvio di quello che sembra (altezza di uno stipite, ampiezza di una sinusoide, ....)

●Descrivete (in termini di prestazioni) gli strumenti impiegati, in modo da poter in seguito valutare la precisione della misura stessa.–Spesso, una stima della precisione viene fatta prima ancora di compiere la misura ......

●Definite le condizioni operative–(temperatura, umidità, ecc.)


Il risultato della misura

●Misurare la lunghezza di un oggetto:–Tavolo (1m), spessore di un foglio (1mm), batterio (1µm), macromolecola (1nm)

●È un numero:–Con dimensionalità (in questo caso metri)–Con delle incertezze, cioè margini di errore–Ad esempio la risoluzione finita del metro, o di un calibro, cambiamento di temperatura


Errori●Gli errori sono principalmente di due tipi:–Sistematici, che sono intrinseci al metodo di misura adottato–Statistici, prodotti da eventi casuali che influiscono sulla misura stessa

●Spesso, i primi si riflettono in uno spostamento della misura dal valore “vero”–Ad esempio: Una sotto/sovra stima dovuta a un metro con un errore di scala.

●Gli errori statistici si riflettono in una dispersione delle misure attorno al valore “vero”


Errori sistematici

●Agli errori sistematici appartengono anche quelli chiamati errori a priori:–I tipi fondamentali di errori a priori sono gli errori di taratura, lettura e sensibilità.– Derivano dai limiti di precisione e di sensibilità degli strumenti di misura e, avendo a disposizione l’informazione completa sugli apparecchi, si possono valutare già prima di eseguire la misura stessa


Errori di taratura*

●In questa categoria rientrano gli errori derivantidal fatto che lo strumento di misura, per limitiintrinseci di precisione, fornisce una risposta chenon corrisponde esattamente alla grandezzamisurata.●Se ad esempio g è, in unità opportune, il valoreche verrebbe ipoteticamente misurato da unostrumento perfetto, uno strumento reale darà come risultato m = f (g).●*Dalle dispense del Prof. Perego (Dip. di Fisica di Firenze): Richiami sulla teoria degli errori.


Errori di taratura*●Se lineare :–m = (1 + α)g + β, dove la costante α, positiva o negativa, dà l’errore di scala e β quello che si chiama normalmente errore di offset.


Errori di lettura

●Legati alla strumentazione analogica–Esempio del metro “poco” illuminato ......–Lancette (parallasse)

●Lo si considera pari a metà della divisione più piccola della scala nel punto di misura.●Appartengono a questa categoria anche gli errori di troncatura della strumentazione digitale.


Errori di sensibilità●L’errore di sensibilità corrisponde alla minima variazione della grandezza misurata che lo strumento è in grado di percepire.●Può corrispondere all'errore di lettura.●A volte, soprattutto quando facciamo delle misure di zero variando il valore di campioni di riferimento (e.g. Metodo potenziometrico), vediamo che a un certo punto il rivelatore di zero non è più sensibile (non si scosta dallo zero) pur continuando a variare il valore del campione.


Presentazione del risultato (1)

●Numerico:–x±∆x (stesse unità di misura)–i.e. 1,234 V ± 0,006 V–i.e. 1,234 ± 0,006 V–i.e. 1,234 V ± 0,5 % (errore relativo)

●Grafico: X

1 2 3

X1

X2

X3

X

1 2 3

X1

X2

X3


Presentazione del risultato (2)

• Possiamo quindi confrontare due o più risultati:• Stabilire se sono compatibili

• Controllo che non ci siano misure “anomale”

• Dal grafico, controllando che ci sia una effettivasovrapposizione tra i vari punti (comprensivi delleloro barre di errore)

• Analiticamente confrontando la “distanza” tra 2 misure rispetto al loro errore:

• | X1 – X2 | < ∆X1 + ∆X2


Cifre significative●Contrariamente a quanto potete aver sentito, le cifre servono!–Gli arrotondamenti conviene farli solo alla fine!

●Al momento della presentazione del risultato finale è inutile presentare sia:–Tante cifre sull'errore, quando la misura è data, ad esempio, con 2 cifre–Tante cifre sulla misura, quando l'errore già rende già inaffidabile, ad esempio, la prima cifra●A volte vengono comunque riportate tutte le cifre inerenti al valore misurato; solitamente quando la misura deve poi essere successivamente combinata con altre.


Incertezze relative e assolute●Errore assoluto: x±∆x (unità di misura)●Spesso conviene utilizzare:● x(unità di misura) ± ∆x/x (Errore relativo)

● Questo viene poi riportato usualmente in %–Si ha una immediata quantificazione della precisione (1%, 0.01 % e non 1±0.01m o 100±0.01m)–Sorgono problemi per misure dove il valore trovato è zero.●E' chiaro che in questo caso si deve dare l'errore come “intervallo” di valori attorno alla misura, cioè un errore assoluto.


Misura diretta: Pratica(ccia) di multimetri

●Taratura: 0.5%

●Lettura: 2 digit

●?

●Misuro 1.362 V●1.362 ±(0.5% * 1.362 + (2 digit = 0.002) ) V●1.362 ±(0.007 + 0.002) V

●Occhio alla scala! I due digit possono rovinare la misura.

●Usate sempre la scala con maggior sensibilità!


Propagazione dell'errore sistematico●Misura diretta:– l = x±∆x (metri)– V = g±∆g (Volt)– ecc.

●Misura indiretta:– v(velocità) = l(metri) / t(secondi)– ∆l (metri) e ∆t (secondi) sono noti–Come calcoliamo ∆v ?


Propagazione dell'errore●Sviluppo di Taylor, derivate valutate nel punto di misura.

●Stima dell'errore per eccesso, prendendo i valori assoluti!

●Ad esempio, funzione f delle variabili x1, x2 , ecc.

●L’errore sistematico è «conservativo». Ci si mette sempre nel peggior caso possibile. Quindi tutti le possibili cause di errore si sommano con lo stesso segno!


Propagazione dell'errore

●Gli errori a priori si propagano con la propagazione lineare ...... forse troppo “conservativo”, vedremo in seguito.●Esempio:–Pila di fogli, H = Bh,

–h spessore di un singolo foglio,

–B numero di fogli.

–B è esatto, mentre h e H hanno un certo errore ∆h e ∆H.

–∆H = B∆h



●Ricaviamoci lo spessore di un singolo foglio.●B = 200, H = 3,3 ± 0,1cm.

–h = H/B = 3,3/200 cm = 0,0165 cm–∆h = ∆H/B = 0,1/200 cm = 0,0005 cm–h = 1,65 10-4 m ; ∆h = 5 10-6 m

●h = (165 ± 5) 10-6 m●h = 165 ± 5 µm●Errore relativo ….. ?



●Altro esempio:●v = l/t ; velocità media assunta costante.


Propagazione dell'errore●Errore relativo --> Derivata logaritmica●Basato sul fatto che la derivata di ln(x) è 1/x ●Quindi il differenziale di ln(x) è dx/x . ●Ad esempio:●v = l/t ; ln (v) = ln (l/t)●d ln (v) = dv/v ●d ln (l/t) = d ln (l) - d ln (t)= dl/l - dt/t --> | ∆l/l | + | ∆t/t |


Propagazione dell'errore●Altro esempio: Pendolo piccole oscillazioni

●Conviene avere l (lunghezza del filo) piccola o grande ?●La precisione su T pesa di più sulla misura della precisione su l , ma T dipende da l stesso per cui alla fine è meglio aumentare l …. purché si mantenga la precisione nel misurare la lunghezza.


Esempio Millikan●Misura della carica elettrica

–Gocciolina d'olio sospesa in un campo elettrico

●E = V/d ; F(gravità) = F (elettrostatica)–qV/d = mg–q = mgd/V => m = 4/3 π R3 (ρoil - ρair)

●Conoscere m ? Non solo dalla densità dell'olio, perché è presente la spinta di Archimede. Inoltre bisogna ricavare R il raggio della goccia.

–Legge di Stokes:–Il coefficiente di viscosità η viene misurato con altri metodi, ma il suo errore influisce!


Esempio Millikan●Si lascia cascare la gocciolina in caduta libera (E = 0) :

–A un certo punto vD = cost.–FD = mg <=> 4/3 πR3(ρoil-ρair)g = 6πRηvD

–R2 = 9ηvD / 2(ρoil- ρair)g–Quindi conoscendo h possiamo ricavarci R e quindi m .

●Conoscendo ∆η, propaghiamo l'errore e arriviamo all'errore sulla carica dell'elettrone ........


Esempio Millikan●La carica della goccia Q era proporzionale a N volte e (carica elementare).●Nel 1914: 1.590 < e < 1.594 10-19 C●Oggi: 1.602 10-19 C●Il valore della carica elementare è aumentato via via nel tempo; una certa “riluttanza” a cambiare!●Se R è dell'ordine del libero cammino medio L, FD deve essere modificata:–FD -> FD * 1/(1 + α L/R) con α = 0.8 circa


Feynman e MillikanRichard Feynman disse in un seminario tenuto a Caltech nel 1974:

We have learned a lot from experience about how to handle some of the ways we fool ourselves. One example: Millikan measured the charge on an electron by an experiment with falling oil drops, and got an answer which we now know not to be quite right. It's a little bit off because he had the incorrect value for the viscosity of air. It's interesting to look at the history of measurements of the charge of an electron, after Millikan. If you plot them as a function of time, you find that one is a little bit bigger than Millikan's, and the next one's a little bit bigger than that, and the next one's a little bit bigger than that, until finally they settle down to a number which is higher.

Why didn't they discover the new number was higher right away? It's a thing that scientists are ashamed of - this history - because it's apparent that people did things like this: When they got a number that was too high above Millikan's, they thought something must be wrong - and they would look for and find a reason why something might be wrong. When they got a number close to Millikan's value they didn't look so hard. And so they eliminated the numbers that were too far off, and did other things like that. We've learned those tricks nowadays, and now we don't have that kind of a disease.

Al 2008 il valore accettato per la carica elementare è: 1.602176487(40)×10−19 C.


Come si agisce su questi errori

●Sistematici:–Possibile calibrare/tarare lo strumento–Variare metodo sperimentale (rapporto)

●e.g. tra due lunghezze: g(x')/g(x)●Statistici (vedremo in seguito):–Legati al numero di dati raccolti–Trattamento “statistico” per valutare la migliore stima della misura finale.


Errori statistici*

Il concetto di errore a posteriori nasce dalla constatazione sperimentale che in determinati casi, ripetendo una stessa misura in quelle che si ritengono essere sempre le medesime condizioni, si ottiene ogni volta un risultato diverso. Nel campo della fisica classica, e quindi nelle misure del laboratorio, il fenomeno viene interpretato come causato da un certo numero di fluttuazioni nelle condizioni, che alterano in modo imprevedibile il risultato delle misure; nella fisica microscopica esistono poi fenomeni, come il decadimento nucleare, il cui decorso è intrinsecamente probabilistico. (Rumore elettrico).*Dalle dispense del Prof. Perego: Richiami sulla teoria degli errori.


Errori statistici●Le variazioni osservate nelle nostre misure devono essere maggiori (ben maggiori) dell’errore sistematico.●Siamo sicuri che le nostre misure siano affette da errori statistici e non da sistematici che non abbiamo controllato ? (Temperatura che cambia, ecc. )●Trattazione apposita.●Si pone poi il problema di come sommarli ai sistematici.


Errori statistici

●Evidenti se errori sistematici (a priori) sono “piccoli”●Dovuti a fluttuazioni casuali del valore misurato●La misura viene ripetuta nelle medesime condizioni (entro le nostre conoscenze e capacità di controllo).●Non si parla più di un solo valore, ma di una distribuzione di valori


Istogramma, normale e cumulativo

●I valori trovati ad esempio possono essere riportati in un istogramma.


Variabile casuale e probabilitàdell'evento

●Una variabile casuale si distingue da una normale variabile (il cui valore può essere noto, incognito, ricavabile da un’equazione, ecc.) in quanto il suo valore risulta da un esperimento e non può essere altrimenti conosciuto (e.g. il lancio di un dado).●Definiamo la probabilità dell’evento A nel modo seguente (frequentistica):

–ripetiamo l’esperimento n volte e contiamo il numero di volte nA cui l’evento si verifica.–


Alcune proprietà della probabilità*● Sia S l’insieme dei possibili risultati di un esperimento casuale. Avremo:

–P(S) = 1

–Se A, B sono due sottoinsiemi di S , definiamo P (AB) la probabilità che si verifichino contemporaneamente A e B, ossia che il risultato x dell’esperimento casuale risulti x∈A e contemporaneamente x ∈ B. Definiamo A e B mutuamente disgiunti se P(AB) = 0. Come esempio banale, per il lancio di un dado, gli eventi per cui i risultati sono diversi sono tutti disgiunti fra loro.

–Se A e B sono mutuamente disgiunti, P (A + B), ossia la probabilità che il risultato dell’esperimento casuale appartenga ad A o a B risulta P(A+B) = P (A) + P (B). Ad esempio, la probabilità che lanciando un dado si ottenga 1 o 2 vale 1/6 + 1/6 = 1/3.

–Si definiscono gli eventi A e B mutuamente indipendenti se: P(AB) = P(A) · P(B) .

Ad esempio consideriamo come evento A quello per cui il dado bianco dà risultato 2 e come evento B quello in cui il dado nero dà risultato pari. Possiamo indicare gli eventi corrispondenti con le possibili coppie (xb , xn ) che sono rispettivamente i risultati di un dado bianco e di uno nero; le coppie diverse sono 36, tutte equiprobabili e si tratta evidentemente di eventi disgiunti. Le coppie in cui xb = 2 e xn è pari sono (2, 2), (2, 4) e (2, 6). Risulta quindi P (AB) = 3 · (1/36) = 1/12 = P(A) · P(B) .


Densità di probabilità●Il nostro esperimento produce risultati in un intervallo [a,b].

●Ripetiamo n volte l'esperimento, avremo n risultati x1, ..,xn .

●Costruiamo un istogramma dividendo l'intervallo [a,b] in tanti sotto-intervalli uguali.

●Contiamo quanti degli n risultati appartengono ad ogni sotto-intervallo, ni / n.

●Se aumentiamo via via n e corrispondentemente restringiamo la larghezza dei sotto-intervalli l’istogramma tenderà ad una funzione continua.


●Se e contemporaneamente la larghezza dei bin --> 0, si ha che:

–l'istogramma definisce una funzione vera e propria chiamata densità di probabilità (o distribuzione), p(x).

●Conoscere la distribuzione, significa conoscere completamente l'esperimento.

–ad esempio: l'esperimento segue una distribuzione gaussiana (o statistica gaussiana) con valor medio x0 e deviazione standard σ0

–in pratica potremo solo dare delle stime (vedi seguito).

Densità di probabilità


Densità di probabilità●La probabilità che il valore di una misura appartenga a un intervallo [c,d] è:

●La densità di probabilità per essere tale deve soddisfare due requisiti:

●1)

●2) p(x) ≥ 0 (per qualsiasi valore di x)


Distribuzione Gaussiana●Fra le infinite funzioni che soddisfano i criteri per rappresentare la densità di probabilità, la gaussiana ha un ruolo particolarmente importante:

–Curva a campana con il massimo per x=µ,–σ indica la larghezza della campana,–la prob. che sia: µ−σ < x < µ+σ, è il 68%, (2σ: 95%, 3σ: 99.7%)


Distribuzione Gaussiana


Distribuzione Gaussiana●Spesso descrive in maniera ottimale i risultati osservati, per 2 motivi:Quinconce di Galton:su una misura agisce una perturbazione ±∆a con il 50% di probabilità di sommarsi e il 50% di sottrarsi.Le palline si distribuiscono sul fondo seguendo una distribuzione Gaussiana.

Teorema del Limite Centrale:la media di un numero sufficientemente grande di variabili casuali indipendenti tra loro, ognuna con valor medio e varianza finita, segue una distribuzione Gaussiana.

Pioli fissi

Palline verdi


Valore di aspettazione

●Nella teoria delle probabilità il valore di aspettazione di una variabile casuale è dato dalla media pesata della variabile su tutti i possibili valori che può assumere la variabile casuale.●Caso discreto: Somme di probabilità●Caso continuo: densità di probabilità


Valore di aspettazione (1)●Si definisce il valore di aspettazione della funzione H(x):

●Un caso molto importante è quando H(x) coincide con la variabile casuale stessa x:

●Esso indica il valor medio (mean) della distribuzione, e ci dà un il valore attorno al quale sono collocati i nostri dati.


Valore di aspettazione (2)●Data la funzione H(x) si definisce varianza di H(x):

●È il valore di aspettazione del quadrato della differenza tra H(x) e il suo valore di aspettazione.

●Un caso particolare molto importante è dato da:

●Questa è la varianza della variabile casuale x dalla quale si desume la dispersione dei dati attorno al valor medio della distribuzione.


Varianza di H(x)●Come visto prima si definisce varianza di H(x):

●Ma questa si può anche riscrivere come:

●Ricordando che il valore di aspettazione di H(x) è una costante e che il valore di aspettazione di una costante è la costante stessa, si ottiene infine:

●Il valor medio è dato quindi dalla media degli x pesati secondo p(x). (Valor medio del lancio di un dado. Con istogramma che parte da 0.5 e pesato1/6)

●La mediana è quel valore di x che divide a metà il campione. Ovvero, data una densità di probabilità, è quel valore tale da:

●La moda è il valore(i) massimo(i) che assume la distribuzione, (unimodale, bimodale ecc.).


Distribuzioni

●Nella Gaussiana µ rappresenta sia la moda, sia la media, sia la mediana. In generale questi tre valori sono distinti.

●La somma di due Gaussiane è a sua volta una Gaussiana.

●Il prodotto di due Gaussiane è a sua volta una Gaussiana.

●La convoluzione di due Gaussiane è a sua volta una Gaussiana.


Distribuzione Gaussiana

●Il valor medio indicato, come abbiamo visto, è dato dal valore di aspettazione della variabile casuale x, E{x} = µ.

● La varianza di una distribuzione è definita come il valore di aspettazione di (x - µ)2 :


Varianza della distribuzioneGaussiana


Stimatori●Lo sperimentatore non conosce, ne può conoscere, esattamente la distribuzione delle misure che ottiene (numero infinito di campionamenti).

●Possiamo però, dal nostro campione di n misure, dare una stima dei parametri della distribuzione. In particolare:

–Stima del valor medio

–Stima della varianza

●Due richieste essenziali:–Non polarizzabilità (Unbiased)

–Consistenza (All'aumentare di n si riduce l'incertezza).

●Perché K, calcolato con N misure (x1, …. , xn), sia uno stimatore del parametro G occorre che:

● Cioè il suo valore di aspettazione deve coincidere con G.●Non polarizzabilità:

–date N misure, dato lo stimatore K del parametro G, il suo valore di aspettazione NON deve dipendere dal numero di misure effettuate!

●Consistenza:–a mano che cresce il numero di misure N, si richiede che il nostro stimatore K si avvicini sempre di più al parametro G, questo si traduce nelle richiesta che la varianza di K tenda a 0 all'aumentare di N.


Stimatori

●Noi non conosciamo µ .●Però sappiamo che la media µ, ovvero il valore medio di x, si ottiene pesando x secondo p(x).

●Usiamo quindi la media aritmetica delle nostre misure (Continuo: Integrale Discreto: Somma):


Stima della media di unadistribuzione


Media aritmetica●Valore di aspettazione:

●Quindi, oltre a essere uno stimatore di µ, è anche NON polarizzato (unbiased).

● E{ẍ} NON dipende da N. ● Ricordatevi che il valore di aspettazione della variabile x è µ !

●Inoltre è consistente, si dimostra che**:

Al crescere di N quindi la media aritmetica si avvicinerà sempre di più al valore “vero” µ .

●Analogamente alla media, ricordandoci che:

●Potremo definire una varianza come somma dei quadrati delle differenze dei valori misurati xi e µ .

● In questo caso però non conosciamo µ !●Usiamo la media aritmetica al suo posto:


Stima della varianza di unadistribuzione

●In realtà lo stimatore S così definito è solo asintoticamente non polarizzato. Infatti si ha:

●Basta una piccola correzione e ridefinire quindi:

●I gradi di libertà sono n . Ma uno è già stato usato per il valor medio di x. Quindi ne rimangono n-1.

● Infatti S2 non è calcolabile con una sola misura (0/0).● Si dimostra che è anche consistente.


Stima della varianza


Stima della varianza (2)●Il calcolo della varianza richiede due passi in sequenza:

–Calcolo del valor medio–Calcolo della varianza

●Ma S2 può essere riscritto anche come (vedi slide successiva):

● Quindi basta aggiornare via via queste due somme per avere immediatamente sia valor medio che varianza.

S2 =


Formula pratica per la varianza●L'algoritmo di calcolo NON deve necessariamente eseguire due “loop” di calcolo (uno per il valor medio e l'altro per il calcolo della varianza)

●Infatti si può riscrivere:● Così:

●Quindi basta un solo “loop” di calcolo dove si esegue la sommatoria delle misure e la sommatoria dei quadrati delle misure.


●Pensate di misurare molte volte una variabile x:●Dividete il vostro campione in tanti sotto-campioni N (SETS) e di ognuno di essi calcolate la media aritmetica xi. e la varianza s2

x .

●La somma di queste medie aritmetiche, = Σ xi , avrà come valore di aspettazione: E{Σ xi } = Nµ .

●La varianza associata a questa somma avrà valore di aspettazione: E{Σ s2i } =

Nσ2x .

●Quindi la media “della Somma delle medie” = 1/N * Σ xi avrà valore d'aspettazione µ e la sua varianza sarà data da: 1/N2 * Nσ2

x (VAR(H(x) = E{(H(x) – H(x))2} quindi se moltiplico H(x) per 1/N la varianza sarà quella di H(x) * 1/N2).

●In altre parole, la distribuzione di questi valori medi,

xi , è caratterizzata da una dev. st.:

Errore della media

N

●Possiamo anche usare la definizione di varianza e applicarla alla media aritmetica.

●Infatti la definizione di varianza per la funzione H(x) è :

●Nel caso della media aritmetica si ha quindi:

●Sostituendo alla media aritmetica la sua espressione e ricordando che il valore di aspettazione di è proprio uguale a µ si ha:


Errore della media

= 1/n σ2x


Errore a posteriori●La varianza, o meglio la deviazione standard, può essere e infatti viene citata come errore della misura.●Tenete presente che solamente se i dati sono distribuiti Gaussianamente si ha:

–µ−σ < x < µ+σ, ha il 68% di probabilità .

●Succede raramente di dover usare altri stimatori per l'errore.

–Ad esempio lo scarto massimo (già visto per l'errore a priori o sistematico), nel caso di distribuzione sconosciuta o un sospetto di anomalie nei dati.

–Sostanzialmente inadeguato per l'errore statistico, in quanto diverge al crescere di n.


Propagazione quadratica●Si applica agli errori statistici:

●La stima in questo caso non è più per eccesso ma tiene conto del fatto che ogni variabile indipendente può fluttuare sopra o sotto il suo valore “vero”.●Non è un “optional”; DEVE essere propagato a questo modo. La somma di due gaussiane è una gaussiana con valor medio ….. e s2 = s1

2 + s22 .


Perché deve essere quadratica ?●Supponiamo di avere una grandezza Y che dipende da N osservabili aleatorie xi ognuna con la sua deviazione standard si : Y(x) = Y(x1, x2, x3, …....., xN)●La varianza di Y, σY

2 per definizione è data da:

●Infatti (vedi slides precedenti):

●Sviluppiamo quindi Y(xi) nell'intorno dei valori medi delle varie xi fermandoci al second'ordine.


Propagazione quadratica (2)●Quindi:

●Il valore di aspettazione di Y è dato da :

●Ricordandosi che E{xi} = ẍi e che E{cost.} = cost., si ha:

●Il quadrato, (E{Y})2,(sempre fermandosi al second'ordine):


Propagazione quadratica (3)●Il quadrato di Y (sempre fermandosi al second'ordine) è dato da:

●Il valore di aspettazione, E{Y2}, quindi è dato da:


Propagazione quadratica (4)●La varianza, E{Y2}- E2{Y}, è quindi data da:

●Il termine in rosso è nullo per i motivi detti precedentemente.

●Se le varie xi sono indipendenti, allora:

●Quindi solo i termini con i=j , che sono proprio le varianze delle singole misure, daranno contributo non nullo:

●Di conseguenza avremo che la varianza di Y sarà :


Covarianza●Supponiamo di avere una funzione g(x,y) di due osservabili aleatorie x e y di cui abbiamo eseguito varie misure (xi e yi), e quindi con un valor medio e una varianza associata.

●Il valor medio di g:

●Ma la somma sugli xi e su yi per definizione danno proprio i valori medi di x e y, e quindi sono nulli i due termini a destra.


Covarianza

●Quindi la media di g(x,y) è semplicemente gvalutato in x e y medio:●Per la varianza di g seguiamo la definizione:

●Sostituendo, troviamo:

●Sviluppiamo il quadrato:

●I primi due termini sono quelli che abbiamo già incontrato con σx

2 e σy2, l'ultimo rappresenta la covarianza tra x e y e si

chiama σxy .


Covarianza


Covarianza●La nostra propagazione completa quindi diventa:

●Se x e y sono indipendenti allora σxy ha valore di aspettazione nullo ed è lecito trascurarlo.●La covarianza HA UN SEGNO, e può quindi essere positiva o NEGATIVA.●Esempio finale:


Esempio covarianza (pg. 214, Taylor)

●Ad esempio: la somma di due angoli, e il suo errore.

●I valori medi (media aritmetica) sono:

●αmedio = 33 ; βmedio = 52

●Sono anticorrelati !●σα

2 = 2,0 ; σβ2 = 3,2 ; e σαβ = -2,4

Misura α β α-αmedio β-βmedio cov(α,β)

A 35 50 2 -2 -4

B 31 55 -2 3 -6

C 33 51 0 -1 0

D 32 53 -1 1 -1

E 34 51 1 -1 -1


Coefficiente di correlazione

●2 variabili:●Scatterplots!


Combinazione di errori sistematici e statistici

●Se uno dei due trascurabile, il problema non si pone.●Altrimenti è un discorso complesso:–Dipende anche dalla natura dei sistematici che spesso hanno molteplici origini di non facile comprensione.●A rigore:–x ±∆x ± σx


Combinazione di errori sistematici e statistici

●La somma lineare dei due non tiene conto, nei fatti, delle molteplici cause che possono determinare un errore sistematico.●In pratica un errore sistematico, non è detto che si “sommi” a un errore statistico, ma può anche sottrarsi.●Si preferisce quindi fare una somma in quadratura dei due: (A rigore è necessario dividere ∆x2 per 12, σ2 = (b-a)2/12 , vedi prossime pagine.)

σx


L'errore sistematico da un punto di vista statistico (1)

●L'errore sistematico ha una distribuzione rettangolare* (non c'è possibilità che una misura assuma un valore al di fuori dell'intervallo).●pdf = 1/(b-a)

a b

(b-a)-1

*In realtà non sempre questo è vero, ad esempio se ci sono molti contributi all'errore vale il teorema di limite centrale.


●La varianza associata a una distribuzione rettangolare è uguale a:

●(N.B. area corrisp. a ± σ => 58%)




Quindi se abbiamo una misura x affetta da un errore sistematico ∆x : x ± ∆x , la varianza associata a questa misura sarà data da :● σx = 2∙∆x/√12 (in quanto b - a = 2∙∆x )●Questo sarà quindi il valore dell'errore sistematico che dovremo inserire nelle nostre procedure di fit.


Incertezza sulla misura●xA ± σA ± ∆xA=> xA ± √ (σA

2 + ∆xA2)=>xA± √ (σA

2 + ∆xA2/3)

●●ERRORE SISTEMATICO:Errore di scala (taratura)Errore di troncatura (lettura)Errore di sensibilità

●ERRORE STATISTICO:

●VALOR MEDIO (risultato di piùmisure fatte nelle stesse condizioni operative)


●Supponiamo che siano stati eseguiti più esperimenti su una certa osservabile (variabile) x, e che ognuno abbia ottenuto un valore x medio , con larghezza della distribuzione σx .●Quale è la procedura corretta per combinare insieme i risultati ?●Guardiamo alle probabilità associate ai risultati, sotto l'ipotesi ragionevole che siano distribuiti Gaussianamente e che siano indipendenti.

La combinazione di più esperimenti



●Due esperimenti indipendenti, la probabilità combinata dei due:



●L'esponente prende il nome di χ2 .

●Quale sarà il valore di x che meglio rende conto dei due valori trovati ? Quello che massimizza la probabilità di ottenerli. Quindi quello che MINIMIZZA il χ2 .


Minimo del χ2 .

●Deriviamo rispetto a x, e imponiamo che la derivata sia uguale a zero.


Media pesata●La media pesata somma i vari contributi pesandoli con l'inverso dell'errore associato. (Weighted Average).–Più sono piccoli gli errori, più “pesa” il contributo.

–Se wA = wB allora si riottiene la media aritmetica.

● Formula generale:


Errore sulla media pesata●Propaghiamo gli errori (quadratica):


Errore sulla media pesata

●Infine si ha:


Il χ2 è un metodo generale.●La media pesata è utilissima per combinare più risultati affetti da errori statistici e, in alcuni casi, anche da errori sistematici (esempio

Taylor della resistenza è sbagliato, non ha senso mediare letture affette dallo stesso errore sistematico).

●In generale dalle nostre misure potremmo voler ricavare i parametri di una funzione che “dovrebbe” descrivere la nostra osservabile.

●Esempio più semplice, il caso di una retta:

●Misuriamo y per vari valori (M) di una variabile x che è sotto nostro controllo e conosciuta con infinita precisione.–Avremo un set di yi = (y1, y2, .... , yM) misure, corrispondenti a un set di valori per la variabile x --> xi = (x1, x2, .... , xM)


Parametri di una retta●Supponiamo di poter trascurare l'errore sul parametro che controlliamo xi = (x1, x2, ...., xM).–Quindi σi

x = 0 , in pratica equivale a dire che: σix << σi

y

●Le yi = (y1, y2, .... , yM), avranno un certo errore σiy, valutato

secondo i modi che abbiamo visto in precedenza:–Ogni singolo valore yi viene (ad esempio) dalla media aritmetica di Nmisure di yi fatte per un determinato valore della variabile xi .

–Lo stesso per le σiy che (ad esempio) potranno essere calcolate con la

formula della stima della deviazione standard sempre sulle N misure di yi .


Parametri di una retta●Quindi per ognuno degli M “punti sperimentali” corrispondenti agli M valori che faremo assumere alla variabile x, dovremo compiere N misure di y dalle quali ricavare il valor medio e la varianza.

●Una volta ottenuti gli M valor medi con le loro deviazioni standard si pone il problema di come ottenere la migliore stima dei parametri a e b della retta ?

–Metodo del minimo del χ2.

–Ovvero MAX della probabilità di aver misurato i valori (y1, y2, .... , yM).

●NB!! Di qui in seguito indicheremo con (y1, y2, ...., yM) i valori medi ottenuti da N misure di ognuna delle varie (y1, y2, .... , yM).

●La probabilità associata a un singolo valore yi è:

●La probabilità totale (misure indip.) è data da:

●Quindi all'esponente ho una somma (χ2) che se minimizzata mi renderà massima la probabilitàassociata a tutte le misure.●La minimizzazione è ovviamente rispetto ai parametri a e b della retta cercata.


Parametri di una retta

●L'espressione all'esponente (il χ2) è:

●cerchiamo il minimo, quindi:

●Definiamo:





●Abbiamo un sistema di equazioni:

●Risolviamo per a:

●per b, analogamente:


Parametri di una retta●Gli errori sui parametri sono dati da:

●Le espressioni si semplificano in:


Parametri di una retta (2)●Analogamente per σ2

b:

●Riassumendo, per una retta y=ax + b, si ha:


(1) Parametri di una retta, caso b = 0●Se la retta da trovare passa per l'origine, allora il termine b viene “forzato” ad essere nullo.●Questo porta a delle notevoli semplificazioni dell'equazioni precedenti.●Per trovare le equazioni semplificate basta partire dal nuovo χ2 senza il termine b:

●Derivare rispetto al parametro a , ecc. ecc.


●Un altro modo di procedere parte dalla valutazione dei termini Sx e Sy .●Il fatto che la retta DEVE passare dall'origine equivale a dire che i valori di aspettazione di x e di y devono essere nulli. Quindi sono nulli anche Sx e Sy .●Si ha quindi:

–∆ = SSxx - Sx2 = SSxx , in quanto Sx

2 = 0 !–a = (SSxy - SxSy) /∆ , quindi a = Sxy/Sxx , in quanto SxSy = 0 !–σa

2 = 1/Sxx

(2) Parametri di una retta, caso b = 0


χ2 caso generale.

●Questo metodo è assolutamente generale, purchègli errori associati alla misura abbiamo una distribuzione gaussiana.●In generale avremo:

●Non sempre l'espressione sarà calcolabile in modo analitico, comunque con metodi numerici si arriva alla miglior stima della f(xi) con i relativi errori.


Il significato del valore del χ2.

●Trovando il minimo, non si ottiene solamente la migliore stima dei parametri della funzione dai dati.●Si ha anche un'indicazione della qualità del fit.–Gli errori possono essere sovra o (più spesso) sotto stimati.–La funzione stessa non riproduce in maniera adeguata i dati.

●I gradi di libertà sono il numero di dati effettivamente disponibili (i.e. le misure meno i parametri da determinare) per il calcolo finale di una statistica.

●Il χ2 segue una distribuzione asimmetrica piccata su MAX (0, NDOF - 2) , con varianza pari a 2*NDOF e valor medio pari a NDOF.

●Quindi dal suo valore, possiamo capire la probabilità del nostro risultato.


Il valore del χ2

dof prob.= .05 .01

1 3.84 6.63

2 5.99 9.21

3 7.81 11.34

4 9.49 13.28

5 11.07 15.09


Il χ2 ridotto

●Spesso risulta più comodo definire il χ2 ridotto:●χ2

Reduced = χ2/ NDOF .●Ovviamente il χ2

R picca a uno, e quindi si ha un immediato riscontro della qualità del nostro risultato.–Se χ2

R>> 1 avremo sottostimato gli errori–Se χ2

R<< 1 avremo sovrastimato gli errori


Quali sono gli errori sulle yi che compaiono nella procedura di fit (1) ?

●Nella formula del χ2 compaiono le yi che in realtà sono le medie aritmetiche dei valori ottenuti da più misure di yi per un determinato valore di xi. Quindi yi → yi .

●Le σiy che compaiono al denominatore dovrebbero essere a

rigore quelle legate alla dispersione dei valori medi calcolati precedentemente.–Quindi σi

y → σiy = σi

y/N1/2.

●Questo riflette anche la condizione che aumentando il numero di misure aumento la precisione della mia stima del valore “vero” di y !


Quali sono gli errori sulle yi che compaiono nella procedura di fit (2) ?

●Aumentando il numero di misure yi alla fine cozzeremo contro il limite sulla precisione imposto dall'errore sistematico ∆y che vanificherà qualsiasi miglioramento di σi

y = σiy/N1/2.

●Infatti l'errore che dovrebbe comparire nella formula del χ2 dovrebbe essere dato dalla somma in quadratura dei due.

●In molti casi si ha una scarsa conoscenza dei sistematici coinvolti nella misura. Questa scarsa conoscenza viene evidenziata dall'ottenimento di valori del χ2 estremamente elevati (segnalazione di una sottostima dell'errore).

●In questi casi si possono sostituire alle σiy le σi

y, considerandole come un’allargamento della dispersione dei valori medi dovuto a dei sistematici non considerati. PERDENDO IL SIGNIFICATO PROBABILISTICO DEL χ2 .


Parametri di una retta (errore costante)●Si ha una semplificazione:

●Di conseguenza:

●Il termine a destra nella parentesi è proporzionale al quadrato del valor medio di xi ! (vedere dopo).

●Il coefficiente lineare diventa:

●Il termine costante:

●L'errore sui coefficienti:–ovvero:


Parametri di una retta (errore costante)


Parametri di una retta (errore costante e termine noto = 0, retta passante per l'origine)

●Si semplifica ulteriormente, b è “forzato” a essere zero, rimane solamente: y = ax .●Tenete presente che nelle espressioni per a e ∆viste precedentemente compaiono spesso termini proporzionali alla media degli xi e/o degli yi, che in questo caso hanno un valore di aspettazione uguale a 0 perché la retta passa per l'origine.●Di conseguenza:

●Il valore di aspettazione 0 (la retta passa per l'origine).–Quindi:

●Il coefficiente a assume anche lui una notazione semplice:

;


Parametri di una retta (errore costante e termine noto = 0, retta passante per l'origine)



●Gli errori sui parametri ( a, b ) che abbiamo visto non tengono conto di eventuali correlazioni nei dati.●In generale dovremo dare anche la covarianza dei parametri ( Cov (a,b) ):

●E anche il coefficiente di correlazione:Il coefficiente varia da -1 a +1 e tiene conto dellaco-variabilità dei parametri (sale a sale b,sale a scende b, ecc.).

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