e su alcuni argomenti di Fisica Generale (integrati da...

Universita degli Studi di Firenze

Dipartimento di Fisica e Astronomia

Corso di Laurea in Fisica

Prof. R. Falciani Prof. A. Stefanini

Riflessioni di Fisica Domestica

e su alcuni argomenti di Fisica Generale

(integrati da un’appendice su

”Introduzione fenomenologica alla Meccanica Quantistica”)

Novembre 2014

Indice

1 Introduzione 4

2 Meccanica 62.1 Moti relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Moto parabolico di un corpo pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Forze e momenti di forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Forze apparenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Conservazione della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Fisica dei fluidi 223.1 Idrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Idrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Gas e vapore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Tensione superficiale e capillarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Viscosita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5.1 Moto vorticoso e numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5.2 Resistenza di un fluido reale al moto di un corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.3 Sedimentazione e centrifugazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Pressione osmotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Le equazioni fenomenologiche delle leggi di trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Termologia 524.1 Trasmissione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1 Conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1.2 Convezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.3 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.4 L’effetto serra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Alcune semplici trasformazioni termodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Le straordinarie proprieta fisiche dell’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Ottica 685.1 Lenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Lastra a facce piano-parallele e prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Specchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Altre osservazioni e considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Elettrologia 776.1 Elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.1 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1.2 Multimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.3 Bilance piezoelettriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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6.1.4 Fotocopiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2 Fornitura dell’energia elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A Introduzione fenomenologica alla meccanica quantistica 83A.1 Lo spettro della radiazione di corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.2 Lo spettro dell’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.3 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.4 La scoperta della radiazione X e della radioattivita naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A.5 Esperienza di Thomson per la misura della carica specifica dell’elettrone . . . . . . . . . . 89A.6 Esperienza di Millikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91A.7 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.8 Esperienza di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.9 Il modello di Bohr per l’atomo d’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.10 Esperienza di Franck e Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.11 Dualismo onda-corpuscolo per la radiazione elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.12 Esperienza di Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.13 Ipotesi di de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.14 Esperienza di Davisson e Germer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.15 Principio d’indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.16 Necessita di un nuovo approccio per la Fisica dell’infinitamente piccolo: la meccanica

quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.17 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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Capitolo 1

Introduzione

Con il termine Fisica domestica intendiamo tutto quel vasto insieme di fenomeni fisici, di azioni anchebanali ma riconducibili a fenomeni fisici, di comportamenti spiccioli e spesso effettuati in modo quasiautomatico e non percepito, che incontriamo quotidianamente nella nostra vita di tutti i giorni, ma chenascondono l’uso (magari inconsapevole) di fenomeni e leggi fisiche di grande importanza.Queste riflessioni, oltre che cercare di abituare il giovane fisico all’analisi critica dei comportamenti anchepiu semplici, possono costituire un utile e valido sussidio soprattutto per coloro che si dedicheranno al-l’insegnamento. Infatti uno dei principali ostacoli che si incontrano nell’attrarre l’attenzione e l’interessedei giovani per la materia da insegnare e rappresentato dall’indifferenza che i giovani spesso riservano perla materia, soprattutto quando, come la Fisica, si tratta di una materia di tipo logico-deduttivo quan-titativo. Poter offrire loro esempi tratti dalla vita quotidiana, far loro riflettere su azioni che compionoquasi automaticamente, ma che invece nascondono profondi significati fisici, puo rappresentare un’efficacemolla per suscitare attenzione e curiosita nelle loro menti. Senza questa molla l’insegnamento decade ine-vitabilmente in nozionismo, destinato a non lasciar traccia stabile nella formazione culturale dell’allievo.Con questi obbiettivi, quindi, discuteremo alcuni dei vari fenomeni fisici che incontriamo in ogni momen-to della nostra vita quotidiana, non volendo ovviamente esaurire l’argomento ma invece incoraggiando ilfuturo insegnante a trovarne altri, molti altri, nella sua esperienza di vita, per arricchire continuamenteil suo bagaglio culturale di buon docente di Fisica.Queste note nascono da appunti formulati per il corso di “Complementi di Fisica 1”, tenuto negli anni2000-2008 da uno degli autori per gli specializzandi dell’indirizzo Fisico-Informatico-Matematico dellaSSIS Toscana presso l’Universita di Firenze. Per questo, per alcuni argomenti (come la Fisica dei fluidi),generalmente trascurati (se non ignorati) dai corsi di Fisica Generale non del CdL in Fisica, abbiamo an-che riportato alcune riflessioni disciplinari di Fisica Generale, come esempio di riflessioni critiche che ognifuturo docente di Fisica dovrebbe fare, nell’ambito della propria preparazione disciplinare, nel continuoprocesso di affinamento del proprio bagaglio culturale per diventare un buon docente.E utile ribadire che condizione necessaria per diventare un buon insegnante e la profonda e ampiaconoscenza della materia (sarebbe ancora meglio “amarla”) per poter essere in grado di affrontare ivari argomenti (spesso delicati e non semplici) in vari modi per poi riuscire a trovare la “chiave” giustaper ogni studente si abbia di fronte. L’ignoranza (nel senso piu etimologico del termine) e magari unatteggiamento sospettoso rispetto alla materia vengono immediatamente percepiti dagli studenti, e il di-alogo e a quel punto finito. La condizione sufficiente per diventare un buon insegnante e sapere scegliere lesequenze logiche e nozionistiche in modo tale da facilitare il compito (non facile!) agli studenti di seguirel’insegnante, di comprendere (non apprendere!) lo sviluppo e la concatenazione degli argomenti in mododa “metabolizzare” gli aspetti fondamentali della disciplina. In altre parole la condizione sufficiente e“essere un insegnante efficiente” e questo e molto difficile: serve modestia, riflessione, disponibilita cul-turale, ma tutto diventa inutile se non poggia su solide basi di conoscenza e padronanza disciplinare.

Ricordiamo che con FISICA intendiamo la scienza che fornisce spiegazioni razionali (quindi neces-sariamente antropocentriche) dei fenomeni naturali.I vari capitoli in cui la FISICA viene convenzionalmente divisa hanno avuto sostanzialmente due modidiversi di origine: 1) origine sensoriale ( e ne resta chiara evidenza nella loro denominazione); 2) originestrumentale.

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Rientrano nella prima tipologia:

• Meccanica e astronomia posizionale classica (vista, tatto, udito)

• Fisica dei fluidi (vista, tatto, udito)

• Termologia (tatto)

• Acustica (udito)

• Ottica (vista)

mentre appartengono al secondo gruppo

• Elettrologia

• Fisica atomica, molecolare, nucleare, particelle elementari

• Fisica della materia

• Astrofisica

• Geofisica

• Biofisica

Daremo ampio spazio ad alcuni aspetti dei capitoli della Fisica di origine sensoriale, nella qualele sollecitazioni che possono provenire dalla vita quotidiana sono molto piu numerose e maggiormenteconnesse con l’esperienza comune. Il nostro scopo e infatti quello di sollecitare il futuro insegnante diFisica a crearsi un metodo, anche di autocritica conoscitiva, piuttosto che imbottirlo di nozioni, chepossono poi essere acquisite in ogni momento.Ovviamente il livello di schematizzazione e di intima comprensione dei fenomeni fisici presentati allaplatea dei discenti deve essere rapportato al loro livello di conoscenze e di maturita culturale (in sensolato). A esempio, se si devono illustrare i fenomeni connessi con l’attrito a ragazzi di scuole secondarie di1 grado dobbiamo limitarci agli aspetti qualitativi dei fenomeni (sensazione di sforzo per far muovere uncorpo, frenamento di un corpo in movimento, calore che si sviluppa fra superfici a contatto in presenzadi attrito, ecc.), mentre per ragazzi di scuole secondarie di 2 grado si devono trattare anche gli aspettiquantitativi, introducendo la forza di attrito (statico o dinamico, radente o volvente) nelle equazioni dimoto in modo da poter spiegare quantitativamente le misure che si possono effettuare in laboratorio.A studenti universitari di discipline fisico-matematiche si puo anche entrare in dettagli delle interazionimicroscopiche che si manifestano fra le “asperita” delle superfici a contatto, con trattazioni quantitativedelle interazioni fra le strutture dipolari delle molecole che costituiscono i corpi posti a contatto. Questodiventa essenziale, poi, se si vogliono comprendere i complessi fenomeni legati alla lubrificazione, cioeai fenomeni chimico-fisici che portano alla riduzione dell’entita quantitativa delle forze di attrito (perstudenti universitari di corsi magistrali).Per molti argomenti daremo un elenco (necessariamente incompleto) di fenomeni fisici semplici, trattianche dall’esperienza quotidiana. Ognuno di questi potra (e dovra) essere sviluppato quantitativamentedall’insegnante se usato come prova sperimentale per illustrare e far comprendere l’argomento fisico acui ci si riferisce. In alcuni casi (a esempio nel paragrafo 3.7) includiamo anche riferimenti ad argomentigenerali di Fisica Matematica, correlati con gli aspetti trattati di Fisica Generale, per ricordare sempre, aifuturi insegnanti, l’unitarieta del processo di schematizzazione logico-deduttiva (tipico della Matematicae della Fisica) dei fenomeni naturali.Abbiamo aggiunto, infine, una Appendice fenomenologica alla meccanica quantistica, argomento lontano“anni-luce” dalla sensitivita immediata della Fisica Domestica. Questa scelta non e stata dettata da unanostra mania di grandezza, ma dalla strampalata iniziativa del nostro ineffabile MIUR, come spiegatonell’introduzione all’appendice, a cui rimandiamo per i dettagli.

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Capitolo 2

Meccanica

Per introdurre il concetto di vettore 1 si puo partire dalla definizione che si usa in geometria euclidea,nella quale il vettore descrive una corrispondenza tra punti geometrici nello spazio. Se si parte da unpunto fisso di riferimento O (origine) e si vuol arrivare in un qualunque punto P dello spazio si hannoinfinite possibilita, ma la piu semplice (e piu corta) e rappresentata dal segmento di retta che unisceO con P. Questo si rappresenta formalmente con una freccia orientata da O verso P, la cui lunghezza

(modulo) fornisce la distanza di P da O, e si indica con−−−−−→(P −O). A seconda del sistema di riferimento

che si usa avremo che il vettore−−−−−→(P −O) potra essere scomposto nella somma delle componenti lungo i

versori degli assi di riferimento del sistema scelto.La cinematica inizia con la necessita di descrivere quantitativamente lo spostamento nel tempo di unpunto materiale 2. Supponiamo che il punto materiale si trovi nell’intorno di un punto P dello spazio3, che riferiamo a un sistema di riferimento (cartesiano ortogonale, oppure polare sferico, oppure polarecilindrico ecc.), centrato in un punto fisso O. E ovvio che il modo piu semplice che conosciamo per espri-

mere la posizione di P rispetto a O sara quello di definire il vettore−−−−−→(P −O) = ~r, di componenti (x, y, z)

in un sistema cartesiano ortogonale, (r, θ, φ) in un sistema polare sferico, (r, θ, z) in un sistema polarecilindrico, ecc.Se dico che P si trova a una distanza d = 10.0 cm da O, P puo trovarsi su uno degli (∞)2 punti della sferacentrata in O e avente raggio 10.0 cm ; se preciso inoltre che P si trova sul piano orizzontale passante perO si puo trovare su uno degli ∞ punti della circonferenza centrata in O e contenuta nel piano orizzontalepassante per O. Ma se indico anche il diametro lungo il quale mi devo muovere dal centro O verso lacirconferenza orizzontale suddetta (cioe avro precisato la direzione), basta solo che precisi il verso dipercorrenza del diametro per individuare univocamente la posizione di P rispetto a O.Risulta quindi evidente che la definizione operativa della posizione di un punto materiale e una grandezzafisica vettoriale.Lo stesso ragionamento puo essere poi applicato alla definizione di tutte le altre grandezze vettoriali cheandremo a introdurre (velocita, accelerazione, forza, ecc.).

2.1 Moti relativi

Alcuni esempi concreti per illustrare la nostra familiarita coi moti relativi:

• moto di un passeggero su un mobile (treno, veicolo, nave, aereo);

• moto di un treno rispetto alla stazione o al treno a fianco (in assenza di scosse, quando il trenoparte si ha la percezione di star fermi e che si muova il treno a fianco);

1Notare che ha la stessa radice etimologica delle parole come veicolo, vettura, ecc., cioe il verbo latino veho, vexi, vectum,

vehere → trasportare, portare2Un corpo avente dimensioni trascurabili, coi limiti imposti dalla precisione delle misure che effettuiamo, rispetto alle

distanze che caratterizzano il nostro sistema, ma con dimensioni molto maggiori di quelle atomiche, per le quali dovremmointrodurre le modalita di rappresentazione della meccanica quantistica.

3Usiamo la dizione intorno di un punto perche il nostro corpo, che rappresentiamo come un punto materiale, ha dimensionifisiche finite, mentre il punto geometrico nello spazio non ha dimensioni proprie.

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• moto di una barca (o nuotatore o pesce) in un fiume in presenza di corrente;

• moto di un aereo (di un proietto, di un volatile, di un aquilone) in presenza di vento;

• moto di oggetti trasportati dal vento;

• moto (apparente!) degli astri in cielo.4

2.2 Moto parabolico di un corpo pesante

Di seguito sono riportati alcuni esempi concreti di tali moti:

• discipline atletiche (getto del peso, salto in alto, in lungo, triplo, corsa a ostacoli, lancio del disco edel giavellotto [complicati dalle interazioni con l’aria!], lancio del martello);

• giochi sportivi con la palla (calcio, tennis, pallacanestro, pallavolo, ping-pong, ecc.) [complicatidalle interazioni con l’aria, v. effetto giro];

• tappo dello champagne;

• fuochi artificiali (senza esplosione in volo);

• salto del ballerino e degli animali che saltano mentre corrono (gazzelle, cervi, ecc.), che sollevanole gambe durante il salto per dare limpressione di essere molto piu in alto mentre il loro centrodi massa continua a muoversi sulla parabola impressa dalle condizioni iniziali, ovvero dalla spintadelle gambe al distacco dal suolo;

• salto del salmone sulla rapida-cascata (notare la furbizia “fisica” dell’orso che cattura il salmone alvertice della sua traiettoria parabolica sulla cascata, cioe quando la sua velocita rispetto all’orso eminima);

• salto del pinguino e della foca sul pack dall’acqua;

• espulsione a scatto di semi maturi da involucri seminali di piante (es., le ginestre), per assicurarsiuna vasta copertura territoriale di colonizzazione.

2.3 Forze e momenti di forza

Questo e un argomento che deve essere chiarito con grande cura, soprattutto agli allievi di scuole medie(ma forse anche elementari), anche perche esiste una grande confusione e ignoranza nel lessico usuale (epurtroppo anche in vari libri che circolano per le scuole) sull’argomento.Quando un corpo e vincolato, e necessario sempre considerare le reazioni vincolari per stabilire le con-dizioni fisiche statiche o dinamiche del sistema che consideriamo. Viene spesso detto, erroneamente, cheapplichiamo una forza (quella applicata dalla nostra mano) per aprire una porta. Se fosse vero dovremmocadere indietro (con la porta addosso) o in avanti (sdraiati sulla porta!); in realta i cardini della portaesercitano un sistema di reazioni vincolari per cui si ha solo una rotazione della porta attorno all’asseindividuato dai cardini e quindi il moto della porta e causato dall’applicazione di un momento di forza,applicata dalla mano alla maniglia della porta, rispetto all’asse dei cardini della porta. Infatti per faci-litare l’apertura della porta (cioe per applicare la minima forza per aprirla) si mette la maniglia (puntodi applicazione della forza della mano) il piu lontano possibile dall’asse dei cardini, per creare quindi, aparita di forza applicata, un momento di forza elevato rispetto all’asse di rotazione della porta.Altri esempi che evidenziano l’importanza dei momenti di forza sono:

• apertura e chiusura di un rubinetto;

4E stato l’origine delle tecniche di orientamento per i viaggi dei nostri lontani progenitori, ma anche della nascita dellaFisica, attraverso il percorso Tolomeo → Copernico → Galileo → Keplero → Newton.

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• ogni tipo di leva 5 funziona, nel caso statico, in accordo con la seconda equazione cardinale dellastatica, considerando cioe l’esatta compensazione tra i momenti meccanici applicati rispettivamentenei punti di “forza” e di “resistenza” rispetto al fulcro della leva (che rappresenta quindi il centrodi riduzione dei momenti meccanici applicati); nel caso dinamico si dovra invece considerare laseconda equazione cardinale della dinamica per caratterizzare il moto del sistema. Sono molti gliesempi di leve che utilizziamo quotidianamente; ne citiamo alcuni: apriscatola, apribottiglia, pie-di-porco, remo, scopa, zappa, vanga, mestolo, romaiolo, cucchiaio, pinze, tenaglie, schiaccianoci,maniglia, carrucola (semplice e composta), forbici, tagliasiepi, cesoie, bilancia a bracci, basculameccanica, sistema mascella-mandibola, sistema avambraccio-gomito, sistema omero-spalla, sistematibia-ginocchio, sistema femore-anca, (insomma tutte le articolazioni del corpo umano) ecc.;

• la vite;

• sollevamento ed equilibrio di un sistema pesante.Se vogliamo sollevare una sedia possiamo, a esempio, applicare alla spalliera una forza diretta versol’alto equivalente alla forza peso della sedia e la sedia resta ferma nella nostra mano perche rispetto alcentro di massa della sedia il momento meccanico della forza applicata e nullo e l’equilibrio e stabile(cioe qualunque spostamento infinitesimo dalla condizione di equilibrio tende a riportare il sistemanelle condizioni di equilibrio). Se invece applicassimo la forza a una gamba della sedia potremmofar rimanere la sedia in equilibrio solo se il punto di applicazione della forza sara sulla verticalepassante per il baricentro della sedia e le condizioni sarebbero di equilibrio instabile (cioe qualunquespostamento infinitesimo dalla condizione di equilibrio tenderebbe ad allontanare il sistema dallecondizioni di equilibrio).Lo stesso ragionamento sta alla base di tutte le manifestazioni di “equilibrismi” (camminare su unafune sospesa, giocolieri del circo e simili) effettuati nel campo di gravita terrestre.Queste considerazioni possono essere svolte anche in termini energetici, sui quali invitiamo il lettorea cimentarsi.

2.4 Forze apparenti

Questo e un argomento delicato e non facile, su cui sono scritti anche pesanti strafalcioni su vari libri.Una forza e descritta correttamente solo in un sistema di riferimento inerziale quando si e individuatocorrettamente l’agente (o il corpo) che applica la forza in esame al nostro sistema di cui vogliamo studiareil moto (o le condizioni di equilibrio). Nelle esperienze quotidiane utilizziamo ovviamente un sistema diriferimento di laboratorio, cioe ancorato con la Terra che sappiamo ruotare su se stessa in un giorno,muoversi attorno al Sole in un anno e ruotare attorno al centro della Galassia in circa 2.6 · 108 anni,equivalente, quindi, a una trottola errante nello spazio, lontanissima dalla definizione formale di sistemainerziale come data dal 1 principio della dinamica del punto materiale di Newton. Tuttavia un sistema diriferimento di laboratorio puo approssimare un sistema di riferimento inerziale se consideriamo fenomeniche avvengono in tempi “trascurabili” rispetto a quelli caratteristici dei moti di rotazione e rivoluzionedella Terra (la trascurabilita o meno dipende dalla precisione delle misure di tempo che effettuiamo). Inaltre parole, approssimiamo il moto reale della Terra, durante le nostre misure, con un moto rettilineouniforme.Nella teoria dei moti relativi si dimostra che

~aA = ~aR + ~aT + ~aC

dove ~aA indica l’accelerazione assoluta (cioe misurata nel sistema di riferimento inerziale), ~aR l’acce-lerazione nel sistema mobile, ~aT l’accelerazione di trascinamento (cioe del sistema mobile rispetto alsistema inerziale), e ~aC = 2 · ~ω×~vR l’accelerazione di Coriolis, essendo ~ω velocita angolare del sistema diriferimento mobile e ~vR la velocita nel sistema di riferimento mobile.Nel sistema mobile (come e la Terra) possiamo solo misurare

~aR = ~aA − (~aT + ~aC) (2.1)

5La distinzione che vari testi fanno fra leve di prima, seconda e terza specie e abbastanza arbitraria e opinabile

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e sono proprio i termini −(~aT + ~aC) che fanno nascere l’idea dell’introduzione di forze apparenti che,applicate sul punto materiale considerato, generino le −~aT e −~aC misurate. In realta non si possonotrovare i corpi responsabili dell’applicazione di queste forze apparenti e quindi non e valido il terzoprincipio della dinamica del punto materiale, a dimostrazione che la nostra descrizione dei fenomeni none corretta.Tuttavia spesso e intuitivamente utile parlare di forze centrifughe, esempio chiaro di forze fittizie; l’esempioche viene spesso citato e quello della fionda: la mano che trattiene il filo della fionda apprezza una forza(diretta verso l’esterno), direttamente proporzionale al quadrato della velocita angolare della fionda,proporzionale alla lunghezza del filo della fionda e alla massa della fionda, e si parla quindi di forzacentrifuga esercitata dalla fionda sulla mano.In realta la mano, dovendo esercitare una forza centripeta sulla fionda per farla muovere di moto circolareuniforme sulla traiettoria circolare considerata, esperimenta una reazione centrifuga, sulla base del terzoprincipio della dinamica.Elenchiamo alcuni esempi nei quali sono considerate le cosidette forze centrifughe:

• centrifughe per l’estrazione di succhi da verdure e frutta;

• asciuga-verdure rotatorio;

• lancio del disco e del martello (in atletica), durante la rotazione del lanciatore per imprimereall’attrezzo l’energia cinetica necessaria per il suo moto parabolico successivo;

• curve rialzate sul bordo esterno di strade e piste dove corrono veicoli;

• inclinazione (verso il centro di curvatura) di cicli e motocicli in curva;

• giostra a seggiolini liberi;

• regolatore di Watt (utilizzato come regolatore di velocita nelle locomotive a vapore);

• separatori di liquidi (utilizzati, a es., nei frantoi per la produzione dell’olio, sfruttando la diversadensita dell’olio dall’acqua di vegetazione);

• ultracentrifughe per sedimentazione differenziata.

Varie esperienze indicano che la Terra e un sistema di riferimento ruotante (e quindi inerziale solo inprima approssimazione), nel quale agisce quindi l’accelerazione di Coriolis:

• variazione dell’accelerazione di gravita con la latitudine del punto sulla Terra considerato.Desideriamo esplicitare questo argomento (e altri nel seguito) come suggerimento operativo (peri futuri insegnanti) per la presentazione quantitativa dei vari esempi citati nel testo agli studentidelle scuole secondarie di secondo grado.Con riferimento alla Fig.(2.1) consideriamo, per semplicita, la Terra sferica, di centro C e raggioR, e con massa MT distribuita in maniera sfericamente simmetrica, e un punto P sulla superficieterrestre individuato dalla sua latitudine geocentrica ϕ. Se la Terra non ruotasse, l’accelerazione digravita che subirebbe ogni corpo posto in P sarebbe semplicemente

~aG = −G MT

R2vers~R

originata dall’attrazione gravitazionale della Terra sul corpo in esame e passante per il centro Cdella Terra.Con la rotazione terrestre, individuata dal vettore ω nella Fig.(2.1), la Terra non e piu un sistema

di riferimento inerziale e occorre quindi applicare la cinematica dei moti relativi per cui ~aG = ~aT +~g,dove ~aG e l’accelerazione assoluta, ~aT e l’accelerazione di trascinamento offerta dalla Terra al corpoconsiderato, e ~g e l’accelerazione relativa del corpo rispetto alla Terra, cioe l’accelerazione di gravita.Introducendo i versori ~ip e ~in rispettivamente parallelo e ortogonale a ~ω possiamo scrivere

~g = ~aG − ~aT = −G · MT

R2vers~R + ω2 · d ~in (2.2)

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ϕ

ω

Pa

g

T

Ga

C

ip

in

Figura 2.1: Dipendenza dell’accelerazione digravita dalla latitudine geocentrica

ω

C

N

S

v

v

vp

n

c

EO

aCa

T

Figura 2.2: Deviazione verso Est della cadutalibera di un grave.

con d = R · cosϕ. Scomponendo ~g lungo ~ip e ~in, quadrando e sommando, otteniamo il modulodell’accelerazione di gravita

g =√

(−aG · senϕ)2 + (−aG · cosϕ+ ω2 · d)2 =√

a2G −R · cos2ϕ · ω2(2 · aG − ω2 · R) (2.3)

da cui si evidenzia la dipendenza di g dalla latitudine geocentrica ϕ. Risulta anche evidente chel’accelerazione di gravita ~g(P ) non passa sempre per il centro della Terra, come talvolta erronea-mente detto, anche in alcuni libri di testo.All’equatore ϕ = 0 e quindi g(0) = aG −R ·ω2, mentre al polo ϕ = π/2 e g(π/2) = aG. In entrambiquesti casi, ma solo in questi, ~g(0) e ~g(π/2) passano per il centro della Terra C.

• deviazione verso Est del moto di caduta libera di un grave (e deviazione verso Ovest del moto diun grave lanciato lungo la verticale verso l’alto). Con riferimento alla Fig.(2.2), se scomponiamo lavelocita di caduta ~vc nei componenti ~vp parallelo a ~ω e ~vn ortogonale a ~ω, si comprende facilmenteche l’accelerazione di Coriolis misurata in un sistema di riferimento terrestre ~aC = −2 · ~ω × ~vR (v.2.1) e diretta verso Est nel caso della caduta libera del grave lungo la verticale e verso Ovest nelcaso del lancio verso l’alto.Si puo dimostrare (ma i relativi calcoli non sono banali) 6 che l’entita della deviazione verso Est(caduta) o Ovest (lancio in alto), rispetto alla verticale di partenza del grave, x(h), dipende dallaquota h percorsa lungo la verticale e vale

x(h) =ω

3√g· senϕ · (2h)3/2

Per h = 100 m al polo (ϕ = 90), essendo ω = 7.25 · 10−5 rad s−1, vale x(100 m) = 22 mm.

• rotazione degli uragani (in senso orario nell’emisfero Nord e antiorario nell’emisfero Sud). Le figure2.3 e 2.4 dovrebbero essere sufficienti per comprendere il meccanismo di formazione dei cicloni, allaluce di quanto detto nei punti precedenti sul verso dell’accelerazione di Coriolis sui moti meridianidelle correnti atmosferiche (verso l’equatore o verso il polo N), accoppiati col moto ascensionaledelle correnti d’aria calda (cicloni) e fredda (anticicloni).

• Moti degli alisei.Anche in questo caso, seguendo quanto detto al punto precedente e con l’aiuto della Fig.(2.5)dovrebbe essere semplice spiegare qualitativamente il moto degli alisei.

6v. A. Bertin, M. Poli, A. Vitale, Fondamenti di Meccanica, ed. Esculapio, BO, 1997, p. 192.

10

Figura 2.3: Circolazione delle principalicorrenti atmosferiche

Figura 2.4: Schema per la formazione deicicloni nell’emisfero Nord terrestre.

• pendolo di Foucault.La trattazione rigorosa del moto di un pendolo e sicuramente improponibile a studenti delle scuolesuperiori.7 Offriamo invece una trattazione molto semplificata (e ovviamente non rigorosa) ma cherisulta di facile comprensione anche per studenti liceali.Con riferimento alla Fig.(2.6) consideriamo il moto di un pendolo di massa M posto in oscillazione

inizialmente nel meridiano di un punto P della Terra di latitudine geocentrica ϕ, con una sospensioneperfetta (cioe un filo inestendibile, di massa trascurabile rispetto a M e che non trasmetta nessunareazione di flessione e torsione al corpo in sospensione) di lunghezza l, attaccata nel punto O, fissorispetto a terra. Indicando con θ l’angolo di oscillazione del pendolo rispetto alla verticale passanteper il punto di sospensione O, la massima distanza del pendolo dalla verticale per O risulta esserer = l senθ. Essendo tutto il sistema vincolato a ruotare insieme alla Terra con velocita angolareω, il punto piu a Nord N dell’oscillazione del pendolo avra una velocita vN , rispetto all’asse dirotazione terrestre, minore di quella del punto piu a Sud vS , e precisamente 8

vN = ω(R · cosϕ− r · senϕ) ; vS = ω(R · cosϕ+ r · senϕ)

La differenza ∆v fra queste due velocita e la velocita del pendolo quando passa da O′ che si trovasulla verticale passante per il punto di sospensione O e data da

∆v = ‖vS − vO′‖ = ‖vO′ − vN‖ = ω · r · senϕ .

Questa differenza indica che il sistema solidale con la Terra ruota attorno all’asse di sospensionedescrivendo una circonferenza di raggio r. Essendo ∆v costante, il tempo TF impiegato da questipunti per percorrere l’intera circonferenza sara

TF =2π · r

ω · r · senϕ =2π

ω · senϕ =Tsenϕ

essendo T = 2π/ω il periodo di rotazione della terra, cioe un giorno. Conseguentemente il periododi rotazione, rispetto a un riferimento terrestre, del piano di oscillazione di un pendolo sospeso inun punto della Terra avente latitudine geocentrica ϕ e sempre maggiore (per un fattore 1/senϕ)

7Una trattazione molto ben fatta e contenuta nella tesi di laurea (triennale) in Matematica di Carlo Cintolesi Le equazioni

di moto del pendolo di Foucault, relatore prof. Paolo Maurenzig, Dipartimento di Matematica e Informatica U.Dini, Fac.di SMFN, Universita di FI, a.a. 2007/2008, che puo essere consultata nella biblioteca del suddetto Dipartimento, posiz.MATL-2008-91.

8Nella realta i punti P e O′ praticamente coincidono, mentre nella Fig.(2.6) sono rappresentati distanti per ovvia comoditagrafica.

11

Figura 2.5: Andamento generale degli aliseisuperficiali.

ϕ

θ

C

Oω

P

lN

R

rO’

V

N

S

V

Figura 2.6: Schema semplificato dell’oscil-lazione del pendolo di Foucault.

di quello che misurerei ai poli geografici. Infatti mentre ai poli (senϕ = 1) TF = T all’equatore(senϕ = 0) TF = ∞.Nell’esperimento originale di Foucault (Parigi, cupola del Pantheon, anno 1851) M = 21 kg, l =70 m, T ≈ 17 s, il piano di oscillazione del pendolo ruotava con una velocita angolare apparentedi ∼ 11/h, per cui una rotazione completa del piano di oscillazione del pendolo si compiva in≈ 32 h Essendo la latitudine geocentrica di Parigi ϕ(Parigi) = 48 51′, senϕ(Parigi) = 0.753, inperfetto accordo col periodo di rotazione misurato. Il raggio della circonferenza descritta dal motodi rotazione del pendolo era di ∼ 3 m e a ogni oscillazione il punto di stazionarieta del pendolo sispostava di ∼ 3 mm sulla circonferenza predetta.Un altro modo di ragionare e il seguente. In un punto P della Terra di latitudine geocentrica ϕ vedoproiettato sul raggio vettore che unisce il centro della Terra al punto P il vettore ~ω velocita angolaredella Terra, per cui la velocita angolare apparente in P e ω · senϕ vers~R, orientata in direzioneantioraria (come ~ω). Ho conseguentemente l’impressione di vedere ruotare il piano di oscillazionedi un pendolo oscillante in P con una velocita angolare −ω · senϕ.

• moto di corpi inviati nello spazio dalla Terra;

• sbandamento (in direzione ortogonale al raggio della giostra) che si registra muovendosi radialmentesu una giostra in movimento.

2.5 Attrito

Spesso le forze di attrito sono definite come forze dissipative poiche, essendo per definizione dirette nelverso opposto ai vettori velocita dei corpi a cui sono applicate, compiono un lavoro meccanico negativo,trasformato in quantita di calore. Conseguentemente, in tutte le applicazioni pratiche e negli esercizinumerici si cerca di porsi nelle condizioni piu favorevoli per poter trascurare gli effetti dell’attrito. Inaltre parole l’attrito e considerato un effetto negativo ai fini del moto dei sistemi meccanici (soprattuttoper ragioni energetiche).Tuttavia senza la presenza dell’attrito la nostra vita sarebbe molto complicata. Infatti senza attrito nonpotremmo avere locomozione. Quando camminiamo applichiamo con la pianta del piede una forza alterreno; se esiste attrito sufficiente fra la pianta del piede e il terreno, il terreno costituisce un vincoloe reagisce applicando al nostro piede una reazione uguale e contraria a quella che applica al terreno ilnostro piede ed e proprio questa reazione applicata dal terreno la forza che ci fa deambulare. Se non ci

12

fosse attrito (pensiamo di tentare di camminare su una superficie ghiacciata o ricoperta di grasso) sarebbeimpossibile camminare, anzi, il movimento di camminare ci farebbe perdere l’equilibrio rischiando unamusata a terra.9

Lo stesso vale per la locomozione di veicoli sulla strada (si pensi a cosa succede alle ruote di un’autosul ghiaccio o meglio sulla rena: le ruote girano, si solleva rena, spinta dalla forza applicata dalle ruote,e l’auto resta ferma (o presenta movimenti inconsulti apparentemente sconnessi con la direzione chedesidereremmo avere). Per far muovere correttamente l’auto sulla rena basta creare un attrito sufficientefra le ruote e il terreno, inserendo legno, frasche, stracci o altro materiale frizionante.Inoltre la presenza dell’attrito ci consente di realizzare una vasta serie di utili applicazioni pratiche:

• frenare;

• fissare impalcature e tubi tipo Dalmine;

• salire su una scala a pioli appoggiata sul terreno;

• usare la frizione;

• usare la sega (anche quella a corda per il marmo, che utilizza come materiale frizionante la polveredi marmo);

• riscaldarsi le mani fregandole l’una all’altra;

• usare la lima;

• lisciare superfici con tela smeriglio o carta vetrata;

• lucidare superfici metalliche;

• usare pinze e tenaglie e simili;

• stringere oggetti in una morsa;

• stringere dadi di fissaggio su bulloni;

• stringere una vite.

L’uso di viti e bulloni ci sollecita a riflettere sul loro moto.10 Un punto si muove di moto elicoidalecilindrico quando e simultaneamente soggetto a un moto circolare (che supponiamo inizialmente uniforme)e a un moto rettilineo uniforme lungo l’asse della circonferenza (che assumiamo come asse z) su cui sisvolge il moto circolare (nel cui piano mettiamo gli assi x e y in modo da formare una terna destrorsacon z). Le equazioni parametriche di moto del punto mobile saranno quindi, indicando con R il raggio econ ω la velocita angolare del moto circolare, e con p il cosidetto “passo”, cioe lo spazio percorso lungola z mentre la proiezione del punto mobile sul piano (x, y) percorre un giro completo sulla circonferenza,

x(t) = Rcos(ωt)

y(t) = Rsen(ωt)

z(t) =p

2π· (ωt) (2.4)

che, derivate rispetto al tempo, forniscono le componenti della velocita sugli assi del sistema di riferimento

x = −Rωsen(ωt)

y = Rωcos(ωt)

z =pω

2π9Notare che, per camminare, premiamo sul terreno col metatarso del piede di appoggio , creando una reazione con un

componente verticale, che bilancia il nostro peso, e un componente orizzontale che sposta il centro di massa del nostrocorpo, situato nella zona dello stomaco, in avanti; quando il nostro centro di massa si trova oltre la verticale del punto diappoggio del metatarso (chiamato anche punto di rovesciamento) si crea un momento meccanico che ci farebbe cadere inavanti, ma il movimento in avanti dell’altra gamba porta a eseguire il passo successivo e cosı via.

10Sembra che il loro uso sia iniziato fra il XII e XIII secolo e ha rappresentato un efficientissimo elemento di progressonello sviluppo della tecnologia meccanica all’epoca.

13

Si ricava subito che ‖~v‖ = ‖√

x2 + y2 + z2‖ = ‖ω‖√

R2 + p2

4π2 , cioe il modulo della velocita e costante.

Differenziando le equazioni parametriche di moto (2.4) si ottiene

dx = −Rωsen(ωt)dt

dy = Rωcos(ωt)dt

dz =pω

2π· dt (2.5)

Dalle prime due equazioni delle (2.5) ricaviamo che ds2 = dx2+dy2 = R2ω2dt2, da cui ds = Rωdt, essendods lo spostamento elementare lungo la circonferenza del punto mobile, da cui si ricava dt = ds/Rω, chesi puo sostituire nella terza equazione delle (2.5) per ottenere infine

dz =p

2πR· ds (2.6)

Generalmente p/(2πR) ≪ 1 e quindi dz ≪ ds, evidenziando il fatto che a grandi spostamenti rotatoricorrispondono piccoli spostamenti lineari.La trattazione sopra riportata puo essere facilmente applicata al moto di una vite che viene avvitatanella sua madrevite. In questo caso, essendoci sempre un sistema di forze di attrito fra la vite e lamadrevite, per ruotare di ∆φ la vite occorre applicare un momento di forza (diretto lungo z) tramite unacoppia di forze di modulo F sulla circonferenza, di raggio RT normalmente > R, della testa della vite.Conseguentemente, si compie un lavoro

∆L = 2RT · F∆φ = Iω∆ω +Mv‖∆v‖ + Lattr (2.7)

I primi due termini al secondo membro della (2.7) rappresentano l’aumento di energia cinetica di rotazionee di traslazione della vite, generalmente trascurabili rispetto al termine Lattr, legato all’avanzamento ∆zdella sua punta. Si capisce, il vantaggio che offre la vite (v. 2.7):

∆L = 2F∆s ≃ Lattr ≃ Fz;attr∆z (2.8)

Essendo ∆s≫ ∆z abbiamo che Fz;attr ≫ F , cioe possiamo esercitare una notevole forza di penetrazioneFz con una modesto momento di forza F ·RT applicato alla testa della vite.

2.6 Pressione

Abbiamo visto durante il corso di Fisica Generale 1 che quando si hanno forze che si esercitano attraversosuperfici, e molto utile considerare la grandezza fisica pressione, cioe la forza che si esercita (uniformementee ortogonalmente) attraverso l’unita di superficie considerata. Vediamone alcune applicazioni.Quando infiliamo una puntina da disegno in una tavola di legno, applichiamo una forza F⊥ sul capo dellapuntina tramite il polpastrello del dito premente, esercitando sul polpastrello una pressione p = F⊥

∆S ,essendo ∆S la superficie del capo della puntina. Considerando la puntina da disegno come rigida, laforza F⊥ si applichera anche alla punta, che esercitera quindi sul legno una pressione P = F⊥

∆s , dove ∆se la superficie della punta a contatto col legno. Essendo ∆s≪ ∆S, la pressione P esercitata dalla puntasul legno e molto maggiore della pressione p esercitata dal polpastrello sulla testa e puo vincere la forzadi adesione delle fibre di legno e conseguentemente far penetrare facilmente la puntina nel legno. Si pensialla pressione che si dovrebbe esercitare se volessimo far penetrare nel legno un cilindro avente diametrouguale alla testa della puntina da disegno considerata.Questo effetto punta (chiamiamolo cosı per ricordarlo facilmente) e frequentemente usato in una granvarieta di applicazioni quotidiane:

• chiodi, bullette, spiedi, rebbi forchetta ecc.;

• aghi, spilli, ecc.;

• affilatura superfici da taglio (coltelli, sgorbie, forbici, falci, rasoi, bisturi, ecc.);

14

• rasaerba, decespugliatori, apparecchi per potature ecc. (in questi casi ci sono apparati ruotanti, mache sostanzialmente svolgono lo stesso lavoro di forbici o falci molto veloci);

• tacchi a spillo (penetrano nell’asfalto caldo, mentre se la persona cammina sulla pianta della scarpapuo camminare normalmente);

• racchette da neve (in questo caso, e nei successivi, si utilizza l’effetto punta al contrario, diciamocosı, ma la Fisica che si usa e la stessa);

• zoccoli larghi per gli animali che devono camminare su terreni non solidi (cammelli, dromedari,plantigradi, bovidi, equini, ecc.).

2.7 Conservazione della quantita di moto

Dalla dinamica dei sistemi sappiamo che in un sistema isolato si conserva la quantita di moto totale delsistema. Nel caso di urti fra corpi (consideriamone solo due per semplicita) il sistema dei due corpi puoessere considerato come isolato durante il tempo (molto breve rispetto ai tempi di evoluzione dinamica

del sistema) di contatto fra i due corpi urtanti. Le forze impulsive ~Fimp che si manifestano fra le superficidei due corpi urtanti sono forze interne al sistema e per il terzo principio della dinamica sono uguali inmodulo, cioe ~F1,2 = −~F2,1. Si conserva la quantita di moto totale del sistema e quindi il centro di massadel sistema si muove di moto rettilineo uniforme durante l’urto, continuando a muoversi, prima e dopol’urto, sotto l’azione del risultante delle forze esterne applicate al sistema.Ricordando la teoria degli urti (si consiglia di farlo subito!) svolta nel corso di Fisica Generale 1, se icorpi urtanti hanno massa molto diversa fra loro, in pratica il corpo di massa minore tende a “rimbalzare”sul corpo di massa maggiore. Questo significa che le forze impulsive durante l’urto hanno valori tali danon provocare praticamente nessuna variazione di moto sul corpo piu massiccio, mentre causano unavariazione del moto del corpo piu leggero.Ricordiamo che si definiscono urti elastici quelli nei quali si conserva l’energia cinetica totale dei corpiurtanti durante l’urto e urti anelastici quelli nei quali l’energia cinetica totale dei corpi urtanti diminuiscedurante l’urto (si pensi al caso limite di corpi che si “appiccicano” l’un l’altro durante l’urto, tipo pendolobalistico).Alcuni esempi di urti in cui si ha conservazione della quantita di moto del sistema dei corpi urtanti (siconsiglia di riflettere su quali di questi urti possano essere considerati elastici e quali no):

• biliardo, bocce, bowling, curling;

• calcio al pallone, schiacciata a pallavolo, palleggio a terra e rimbalzo sul tabellone a pallacanestro;

• tennis, ping-pong, pelota, baseball, hockey e tutti i giochi che prevedono l’urto di un attrezzo conuna palla;

• placcaggio volante nel rugby;

• incidenti fra veicoli (sia a terra, che in acqua, che in aria);

• “picchiata” di rapaci sulle loro prede.

Ricordiamo un modo diverso di scrivere la terza legge di Newton

m · ∆~v = ~F · ∆t (2.9)

che definisce l’impulso ∆~I = ~F · ∆t fornito al corpo m dall’applicazione della forza ~F , costante durantel’intervallo di tempo ∆t, associato a una variazione di quantita di moto ∆q = m · ∆~v del corpo stesso.Consideriamo l’urto di un martello di massa m che urta uno scalpello appoggiato a un muro (che avrapraticamente una massa infinita rispetto a m). Dopo l’urto il martello rimbalza sullo scalpello, ma conuna velocita molto inferiore a quella con cui l’ha colpito. Si nota poi che qualche frammento di muro si estaccato e che (soprattutto dopo vari colpi ripetuti) si ha un leggero riscaldamento dello scalpello e anchedella testa del martello.Durante l’urto si ha la conversione della quantita di moto m · (~viniz − ~vfin) in una variazione di impulso

15

~Fimpulsiva · ∆t, dove ∆t e la durata dell’urto e ~Fimpulsiva e la forza impulsiva (di natura elastica) che si

manifesta sullo scalpello. Nell’ipotesi di uno scalpello rigido la ~Fimpulsiva si traferisce alla punta dello

scalpello, cioe viene applicata alla superficie di muro a contatto con lo scalpello. Se la ~Fimpulsiva e maggioreo uguale della forza di adesione della porzione di muro con il restante corpo del muro, una scheggia dimuro sara staccata dal muro. Per aumentare il modulo della ~Fimpulsiva effettivamente applicata dalloscalpello al muro si ricorre all’affilatura del bordo dello scalpello (v. effetto punta in precedenza).Il riscaldamento della testa del martello e dello scalpello indica che gli urti non sono perfettamente elastici;infatti la schematizzazione elastica e una delle tante utilissime schematizzazioni semplificatrici, di tipoprocesso-limite, che si usano in Fisica [a es., punto materiale, gas perfetto, corpo rigido, ecc.], a cui cisi puo avvicinare quanto si vuole, ma che non sono mai vere in assoluto nella realta quotidiana. Essesono indispensabili per poter comprendere i meccanismi fondamentali della Fisica che stiamo esaminandoe dedurne le conseguenze quantitative che ci danno la comprensione logico-quantitativa dei fenomenistudiati. Le considerazioni sopra esposte possono essere applicate anche al sistema del cuneo colpitodal maglio. Con riferimento alla Fig.2.7 consideriamo un cuneo, di sezione trasversale ABC e angolo diapertura α, supposto rigido, inserito completamente in un materiale che lo contiene lungo le facce AC eBC. Inizialmente il cuneo e in equilibrio sotto l’azione del suo peso e del sistema di forze di attrito e dipressione esercitato sul cuneo dal materiale esterno attraverso le facce AC e BC.

A B

C

G

N

H

F

R

F F

imp

imp

S Dα

α

Figura 2.7: Schema forze impulsive agenti su uncuneo

Colpiamo il cuneo con un maglio; sulla testa ABdel cuneo agira, durante l’urto, una forza impulsiva~Fimp data dalla (2.9), dovuta all’urto col maglio chesi abbatte con quantita di moto finita (e rilevante!)sulla testa del cuneo. Consideriamo l’istante inizialedi applicazione della ~Fimp e supponiamo che il cu-neo rimanga in equilibrio; questo significa che tuttoil sistema di forze impulsive applicate al cuneo devedare un risultante nullo e quindi che nel baricentrodel cuneo G debba essere applicata una forza impul-siva ~Rimp, diretta lungo la direzione di ~Fimp, di verso

contrario e di modulo uguale. Questa ~Rimp non puoessere originata che dal simultaneo effetto sul cuneodelle reazioni vincolari ~FS e ~FD, originate rispetti-vamente sulle facce AC e BC dal sistema di reazionivincolari agenti sulle facce laterali del cuneo. Per lasimmetria del sistema ‖ ~FS‖ = ‖ ~FD‖ = F .Essendo il cuneo rigido le forze agenti possono essere“trasportate” lungo la loro retta d’azione ai fini delledeterminazione delle condizioni di equilibrio e pensia-mole, quindi, applicate in G. Il triangolo ABC e simileal triangolo GNH, avendo i lati ortogonali a uno a uno; all’equilibrio possiamo scrivere

‖ ~Fimp‖ = ‖ ~Rimp‖ = 2Fsenα

2(2.10)

Essendo F il modulo di una reazione vincolare, cioe sostanzialmente di una serie di reazioni di tipoelastico generate dalle strutture del materiale in cui il cuneo e inserito, F non potra mai essere maggioredi una Fmax, oltre la quale le fibre del materiale non potranno mantenere la loro struttura stabile. Sepero ‖ ~Fimp‖ ≫ 2Fsenα

2si creeranno pressioni impulsive sulle facce di penetrazione AC e BC del cuneo in

grado di separare le fibre del materiale in cui il cuneo e inserito. Risulta evidente il vantaggio di utilizzarecunei “stretti” (fattore senα

2nella (2.10)).

Proponiamo adesso un semplice esercizio che tuttavia offre lo spunto per importanti riflessioni sulprincipio di conservazione della quantita di moto.Con riferimento alla Fig. 2.8 consideriamo un piano inclinato liscio su cui e posto un sistema rigido,di massa totale M , costituito da due corpi, assimilabili a punti materiali, di massa m1 e m2, comm1 + m2 = M , uniti da una sottile sbarretta rigida, di massa trascurabile rispetto a m1 e m2. Fra idue corpi e posta una molla (anch’essa di massa trascurabile rispetto a m1 e m2), di costante elastica k,compressa di un tratto ∆l, appoggiata (ma non agganciata!) fra i due corpi. Inizialmente viene impressaal sistema rigido una velocita iniziale v, diretta lungo il piano inclinato verso l’alto.

16

= x’

α

M

M

m m

v

1 2

o

x

y

y’

Figura 2.8:

x

y

= x’

α

mm

v

v

1 12

2

’

’y’

x*(t*)

Figura 2.9:

Ovviamente il sistema rigido si muove di moto uniformente accelerato lungo il piano inclinato con acce-lerazione x = −g · senα, risale di un tratto xstop = v2

/(2 · g · senα) in un tempo tstop = v/(g · senα) eritorna al punto di partenza con la stessa v in un tempo totale 2 · tstop

11. La quantita di moto totale

del sistema rigido ~Q(t)tot = M · ~v(t) variera quindi nel tempo.E semplice valutare che il sistema, al tempo t∗, si trovera in

x∗(t∗) =v2 − v∗(t∗)2

g · senα (2.11)

con una velocitav∗(t∗) =

√

v2 − 2g · senα · x∗(t∗) (2.12)

Supponiamo adesso che al tempo t∗, tale che 0 ≤ t∗ ≤ tstop, si possa (tramite un opportuno congegnotelecomandato), rimuovere la sottile sbarretta rigida che teneva uniti i due punti materiali costituentiil sistema rigido (v. Fig.2.9). La molla, non piu vincolata a rimanere compressa, si distendera quasiistantaneamente (se k avra un valore sufficientemente elevato) cedendo la propria energia potenzialeelastica 1/2 · k · (∆l)2 ai due punti materiali sotto forma di energia cinetica. Durante questa azione lamolla esercita sui due punti materiali una forza (quasi impulsiva), interna al sistema, che risulta essereuguale in modulo, lungo la stessa retta d’azione e contraria in verso sui due punti. Conseguentementel’azione della molla durante la sua distensione non altera la quantita di moto del sistema complessivo.La conservazione della quantita di moto del sistema (durante l’intervallo di tempo quasi istantaneo delladistensione della molla compressa) ci permette di scrivere, considerando un sistema di riferimento S

′

centrato nel centro di massa del sistema rigido,

m1 · ~v′

1 +m2 · ~v′

2 = 0; ~v′

1 = −~v ′

2

m2

m1

(2.13)

La conservazione dell’energia meccanica durante la distensione della molla implica che

m1|~v′

1 |2 +m2|~v′

2 |2 = k · (∆l)2 (2.14)

Dalle (2.13) e (2.14) otteniamo, dopo alcuni semplici passaggi

|~v ′

2 | = ∆l

√

k ·m1

m2(m1 +m2); |~v ′

1 | = −∆l

√

k ·m2

m1(m1 +m2)(2.15)

Nel sistema fisso (x,y) potremo quindi scrivere, immediatamente dopo la distensione della molla,

~v∗1 = ~v ∗ + ~v ∗′

1 ; ~v ∗2 = ~v ∗ + ~v ∗′

2 (2.16)

L’energia cinetica totale del sistema delle due masse puntiformi, dopo la distensione della molla, sara

Etot =1

2m1|~v∗1 |2 +

1

2m2|~v∗2 |2 (2.17)

11Questi risultati potevano essere ottenuti ovviamente anche utilizzando il principio di conservazione dell’energiameccanica.

17

Inserendo le (2.16) e (2.15) nella (2.17) si giunge, dopo alcuni semplici passaggi di algebra elementare(accessibili a qualunque studente di scuola media superiore minimamente preparato) a

Etot =1

2(m1 +m2)(v

∗(t∗))2 +1

2[m1(v

′

1)2 +m2(v

′

1)2] =

1

2·M(v∗)2 +

1

2· k(∆l)2 (2.18)

Ovviamente la (2.18) esprime ancora una volta la conservazione dell’energia meccanica durante il processodi distensione della molla, o, anche, il teorema di Koenig per l’energia cinetica, separando i contributidell’energia cinetica del centro di massa e quelli del sistema relativamente al centro di massa.La quantita di moto totale del sistema subito dopo la distensione della molla ~Qtot;finale sara

~Qtot;finale = m1 · ~v1(t∗) +m2 · ~v2(t∗) (2.19)

Inserendo le (2.16) e (2.13) nella (2.19) si giunge a dimostrare che ~Qtot; finale = ~Qtot; prima distensione,come era ovvio essendo le forze in gioco durante la distensione forze interne al sistema e quindi non ingrado di alterare la quantita di moto totale del sistema.Questo semplice esempio dimostra passo-passo e quantitavamente come agiscono i contenuti dei principidella meccanica che abbiamo utilizzato (conservazione dell’energia meccanica se non agiscono forze dissi-pative e conservazione della quantita di moto totale nel caso che agiscano solo forze interne). Vogliamoricordare che gli stessi principi fisici vengono utilizzati per situazioni molto piu complicate formalmentee analiticamente (es., esplosioni, urti [centrali e non, elastici e non], di vari corpi, reazioni nucleari, inte-razioni fra sistemi gravitanti, interazioni fra particelle elementari ecc.).Consideriamo adesso un’altra semplice applicazione del teorema dell’impulso applicata a un sistema a mas-sa variabile. Con riferimento alla Fig.2.10 consideriamo un sistema di massa

MM

V(t)

M− Mv(t+ t)

d dM− M

dd

d

dV(t+ t)

Figura 2.10: Schema del moto con massa variabile

M = (M − dM) + dM che al tempo t si muova con

velocita ~V (t); supponiamo che al tempo t+ dt un si-stema di forze interne (puo essere la molla di massatrascurabile dell’esempio precedente, o un’esplosioneinterna al sistema o un motore a “reazione”) provochiil distacco della piccola massa dM dal corpo principaledel sistema, imprimendogli anche una velocita ~v(t +dt) relativa a M − dM .Scriviamo la prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi (o anche dalla (2.9))

~Fest =d ~Q(t)tot

dt(2.20)

e consideriamola durante l’intervallo infinitesimo di tempo dt, ottenendo

~Fest ≃~Q(t+ dt) − ~Q(t)

dt=

(M − dM) · ~V (t+ dt) + dM · ~v(t+ dt) −M~V

dt≃

= Md~V

dt+dM

dt· (~v − ~V )

dove abbiamo considerato che ~V (t + dt) = ~V (t) + d~V e ~v(t + dt) = ~v(t) + d~v e abbiamo trascurato i

termini dM · d~V e dM · d~v rispetto agli altri termini.Passando al limite e tenendo conto che il nostro esempio e unidimensionale, otteniamo

M · dVdt

= Fest +dM

dt· (V − v) = Fest + M · vrel (2.21)

dove vrel = V − v indica la componente della velocita relativa di dM rispetto alla massa principaleM − dM e considerando che M < 0 nel nostro caso. Il termine M · vrel e detto forza di reazione o,nel caso del moto di razzi, spinta e rappresenta la forza (di natura interna al sistema) che utilizzandouna fonte di energia interna al sistema, fornisce il lavoro necessario per aumentare l’energia cinetica delsistema principale, che pero perde massa durante il moto. Ovviamente per massimizzare la forza direazione occorre espellere la massima quantita di materia nell’unita di tempo per massimizzare il termineM e occorre simultaneamente imprimere la massima vrel alla massa espulsa per massimizzare l’altro

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termine della forza di reazione.Consideriamo il moto di un razzo (posto su un piano orizzontale liscio), che espelle (con continuita) unamassa di gas dM nel tempo dt, con una velocita relativa al corpo principale del razzo di modulo u (indirezione opposta a quella del moto del razzo), a causa di un sistema di forze interne al razzo (motorea reazione). Avremo, in questo caso, che Fest = 0 e la conservazione della quantita di moto totale delsistema si esprime come Fest = 0 e la conservazione della quantita di moto totale del sistema si espremecome

M · V (t) = dM · v(t+ dt) + (M − dM)V (t+ dt) = dM [v(t) + dv] + (M − dM)[V (t) + dV ] =

= dM · v(t) + dM · dv +M · V (t) +M · dV − V (t)dM − dM · dV

Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo otteniamo, ricordando che u = v − V ,

0 = dM (v − V ) +M · dV ; −u dM

M= dV

che, integrata fra la situazione iniziale (Vi,Mi) e quella finale (Mf , Vf ), fornisce

Vf − Vi = u · lnMi

Mf(2.22)

Essendo Mi > Mf ⇒ Vf > Vi. E evidente la soluzione adottata nella tecnica spaziale di razzimultistadio, che consente di sganciare sezioni del razzo che hanno esaurito il combustibile e che consentonodi ridurre drasticamente la massa finale (e utile) del razzo (carico pagante).Applicazioni di quanto descritto finora si possono trovare in:

• moto dei fuochi artificiali (moto a reazione dell’involucro dall’accensione a terra fino all’esplosione involo, dopo la quale i frammenti si muovono secondo moti parabolici determinati dalla loro velocitaal momento dell’esplosione, mentre il centro di massa dei frammenti si muoverebbe idealmente lungola traiettoria parabolica definita dalla velocita dell’involucro prima dell’esplosione);

• moto dei razzi multistadio;

• moto dei frammenti delle bombe a grappolo (purtroppo molto spesso le conoscenze accumulate conpassione dalla scienza vengono utilizzate in modo barbaro e disumano dalla stupidita umana, che,com’e noto, tende a non avere limiti);

• moto dei razzi di segnalazione (idem c.s., solo che dopo l’esplosione si apre un piccolo paracadute(o un apparato di frenamento), che tende a ritardare il moto di discesa del razzo acceso in mododa aumentare la probabilita di essere osservato da qualcuno);

• bengala illuminanti (v. razzo di segnalazione).

• moto di corpi in acqua. Questo potrebbe essere un vasto capitolo di Fisica applicata, ma limiti-amoci a alcuni semplici esempi. Sia i pesci in moto che i nuotatori spostano (o con le pinne lateralie con le mani e i piedi) masse d’acqua in direzione opposta a quella in cui vogliono andare; per laconservazione della quantita di moto del sistema pesce (o uomo) + acqua spostata si produce ilmoto relativo fra il sistema pesce (o uomo) e quello acqua spostata rispetto all’acqua in quiete, cioel’azione che definiamo nuoto. Alcuni animali acquatici usano una forma di spostamento dell’acquapiu efficiente dell’uso delle pinne laterali, utilizzando il movimento di tutta la parte posteriore delcorpo (coda), spostando una quantita maggiore di acqua (ma usando quindi una maggior quantitadi energia corporea) e questa tecnica e chiamata “bratto”; muovono la coda in direzione orizzontaleil coccodrillo, il tonno, il pescecane, ecc., muovono in direzione verticale il delfino, la balena, ilnuotatore in stile “delfino” (con le gambe!). Utilizzano la conservazione della quantita di moto(in direzione verticale ) anche i giocatori di pallanuoto per elevarsi col busto fuori dalla linea digalleggiamento naturale (assicurata dalla spinta di Archimede), eseguendo velocemente ed energica-mente il moto tipo “bicicletta” delle gambe in acqua per muovere verso il basso la maggior quantitadi acqua possibile con la massima velocita possibile 12, le nuotatrici del nuoto sincronizzato e delballetto in acqua;

12Per lo scatto finale per la parata, inoltre, i portieri della pallanuoto fanno scattare energeticamente e simultaneamenteentrambe le gambe verso il basso in modo da realizzare la massima elevazione fuori dall’acqua.

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• il moto dell’elica, che con la sua forma particolare (v. moto elicoidale descritto precedentemente),induce nell’acqua un moto circolare (attorno all’asse dell’elica, che non produce nessun effetto utileal moto dell’imbarcazione) e un simultaneo moto rettilineo lungo l’asse dell’elica di una massa diacqua cospicua. E questo moto rettilineo di acqua (spesso detto impropriamente per “reazione”)che produce il moto in avanti dell’imbarcazione in modo da conservare la quantita di moto delsistema globale, generando l’elica un sistema di forze interno al sistema.

2.8 Conservazione del momento angolare

Considerando la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi, se il sistema considerato e isolato(cioe il momento meccanico risultante delle forze esterne rispetto a un asse passante per il centro di massadel sistema e nullo) il momento angolare del sistema resta costante. Se il sistema puo essere considerato

rigido e ruotante attorno a un asse di versore ~k, il momento angolare ~Lk, rispetto a quest’asse, e espressosemplicemente da

~Lk = Ik · ω · ~k (2.23)

dove ω e la componente lungo ~k della velocita angolare del sistema e Ik e il momento d’inerzia del sistemarispetto a ~k.Conservandosi il momento angolare deve quindi rimanere costante il prodotto Ik · ω.Questa relazione e la base della rotazioni rapide dei ballerini e dei pattinatori: infatti, iniziano la rotazione(attorno a un asse verticale passante per il loro centro di massa) a braccia larghe, avendo cioe un momentod’inerzia Iiniz e una velocita angolare iniziale ωiniz . Quando stringono le braccia al corpo, il loro momentod’inerzia diminuisce, divenendo Ifin < Iiniz , e conseguentemente la loro velocita angolare diverra

ωfin = ωiniz · Iiniz

Ifin

per cui ωfin > ωiniz e vedremo il ballerino-pattinatore ruotare molto piu velocemente alla fine dell’eser-cizio.Altri esempi che utilizzano il principio fisico sopra descritto:

• tuffi carpiati, avvitati, rovesciati ecc,;

• moto di un boomerang;

• moto impresso ai coltelli da un (bravo!) lanciatore di coltelli;

• evoluzioni dei ginnasti nella ginnastica a corpo libero;

• evoluzioni di pattinatori e ballerini. In questi casi la situazione fisica diventa piu complicata perchei bravi atleti riescono ad aumentare sia la loro quantita di moto sia il loro momento angolareutilizzando il cambio di gamba (o di pattino) d’appoggio e, tramite l’attrito col suolo, ad aumentarela loro energia cinetica;

• salti fuori dall’acqua di delfini, orche, pinguini, pesci volanti, balene ecc.

Nei casi sopra indicati c’e anche da considerare il moto di traslazione dei diversi sistemi consideratisolidalmente al moto del loro centro di massa, descritto dalla prima equazione cardinale della dinamicadei sistemi. Si tratta di moti parabolici, perche effettuati nel campo di gravita terrestre con una velocitainiziale impressa inizialmente dall’impulso della spinta applicata al sistema.Esaminiamo, in modo molto semplificato, cosa accade nell’esecuzione di un tuffo dalla piattaforma altuffatore, in piedi sulla piattaforma, al momento della spinta ~S che imprime al suo corpo all’istantedel distacco dalla piattaforma (v. Fig.2.11). In realta il metatarso del tuffatore imprime una pressionesull’area A della piattaforma, che, tramite l’attrito esistente fra piattaforma e piede, reagisce applicandola forza di spinta impulsiva ~S. La forza ~S agisce per un brevissimo intervallo di tempo ∆t comunicandoun impulso ~I = M · ~V al tuffatore (M = massa e ~V = velocita del tuffatore dopo la spinta iniziale).

E piu istruttivo scomporre ~S nei componenti ~S⊥ perpendicolare e ~S‖ parallelo al corpo del tuffatore.Questo significa che il tuffatore, nel tempo ∆t, deve aver spostato il proprio centro di massa dalla verticale

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A

SS

S

Figura 2.11: Schema della spinta in untuffo

Figura 2.12: Evoluzione di un tuffo

passante per A verso l’esterno della piattaforma. Nel tempo ∆t, ~S‖ crea un impulso ~I‖ che, diretto versoil centro di massa del tuffatore, fa aumentare la sua quantita di moto, fornendogli la velocita di distaccodalla piattaforma, che poi definira il moto del centro di massa del tuffatore.~S⊥, invece, crea, nel tempo ∆t, una variazione di momento d’impulso rispetto al centro di massa delcorpo del tuffatore, a cui corrisponde un aumento di momento angolare del tuffatore rispetto al suocentro di massa. Al distacco dalla piattaforma il tuffatore avra un momento angolare iniziale di moduloIiniz · ωiniz , essendo Iiniz e ωiniz rispettivamente il momento d’inerzia e la velocita angolare iniziali deltuffatore. Durante l’esecuzione del tuffo il tuffatore varia, con rapidi movimenti, il suo Iistantaneo e,conseguentemente, la sua ωistantanea, conseguendo (se eseguite correttamente) le bellissime evoluzioniche caratterizzano questa disciplina sportiva (v. Fig.2.12).Notare che, al momento dell’ingresso in acqua, il tuffatore si distende (riassumendo Iiniz , e quindi ωiniz ,che e la minima possibile), per poter entrare in acqua ortogonalmente alla superficie e non provocareeccessivi spruzzi.

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Capitolo 3

Fisica dei fluidi

Premettiamo alcune riflessioni su concetti fondamentali della Fisica dei fluidi. Si definiscono (in modosemplice) come “fluidi” quei sistemi non dotati di forma propria definita e che assumono la forma delrecipiente che li contiene. I fluidi possono essere sia i “liquidi” (che occupano solo una parte del reci-piente che li contiene) che i “gas” (che occupano invece tutto lo spazio a disposizione nel contenitore).Una definizione piu operativa puo essere: i liquidi hanno un coefficiente di comprimibilita isoterma circanullo, mentre i gas lo hanno positivo 1. Poiche i fluidi devono sempre essere contenuti in un contenitore,di cui e facile misurare il volume interno (purtroppo si continua a usare spesso il termine capacita, didubbio significato e che puo generare confusione quando si affronta l’elettromagnetismo), e utile definire legrandezze fisiche “densita” (o massa volumica secondo la moda recente) e “pressione” per caratterizzarele proprieta inerziali dei fluidi e di scambio di forze di superficie con l’ambiente esterno.

3.1 Idrostatica

In idrostatica le leggi elementari fondamentali (che si trovano nei testi) per fluidi isotropi sono:

• la legge di Pascal, che stabilisce che la pressione all’interno di un fluido in quiete e una grandez-za scalare, cioe il valore della pressione misurata e indipendente dall’orientazione della superficieattraverso la quale viene misurata la forza che esercita la pressione su quella superficie. Questalegge si puo dimostrare sperimentalmente tramite una sfera avente fori simmetrici sulla superficiee uno stantuffo tramite il quale applicare una forza di breve durata ma di alta intensita al liquidocontenuto nella sfera. I getti di liquido escono dai vari fori con la stessa velocita e radialmente (inprossimita della superficie della sfera) per poi assumere le tipiche traiettorie paraboliche (dovuteal campo di gravita). Questa legge potrebbe anche essere illustrata teoricamente dall’esame dellecondizioni di equilibrio di ogni elemento di volume all’interno del liquido, soggetto all’equilibrio frale forze di volume e di superficie agenti sull’elemento considerato;

• la legge di Archimede che afferma che in un fluido pesante in quiete un corpo immerso nel fluido(e in quiete rispetto a esso) riceve dal fluido una “spinta” (cioe una forza verticale diretta versol’alto) pari al peso del fluido spostato dal corpo e applicata nel centro di massa del volume difluido spostato. In realta non si tratta di una legge particolare ma semplicemente dell’espressionedell’equilibrio che deve sussistere fra le forze di volume (peso del corpo) e l’insieme delle forze disuperficie applicate dal fluido pesante alla parte immersa del corpo. Una semplice dimostrazionesperimentale: si prenda una busta di plastica e la si immerga in un largo recipiente di acqua (o altroliquido pesante), allargandola in modo che si riempia di acqua ma che resti in equilibrio (il peso dellabusta e ovviamente trascurabile rispetto alle altre forze in gioco). Si sollevi e si estragga poi la busta

1Il coefficiente di comprimibilita isoterma e definito come c = − 1∆p

·(

∆VV

)

t; cH2O ≃ 4.6 · 10−10 Pa−1, mentre cHg ≃

3.5 · 10−11 Pa−1; per chiarire meglio il significato fisico di questi valori sperimentali, essendo 1 Pa−1 = 105 Atm−1,cHg ≃ 3.5 · 10−6 Atm−1, cioe 1 dm3 di Hg presenta una diminuzione di volume di 3.5 mm3 per un aumento di pressionedi 1 Atm a temperatura ordinaria, che corrisponde alla contrazione isobara che avrebbe subito per una diminuzione di−0.002 C. Per un gas perfetto, dalla relazione di Boyle, si ricava che cgas perfetto = 0.5 Atm−1.

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piena di acqua e si misuri il peso a cui e soggetta da parte del campo di gravita. Riposizionando labusta (in modo quasi statico) nell’acqua si vede che il peso dell’acqua contenuta nella busta deveessere bilanciato dall’insieme delle forze che si esercitano da parte dell’acqua circostante attraversola superficie della busta immersa perche il sistema “busta” resti in quiete. E ammirevole cheArchimede se ne sia accorto circa 2500 anni fa ma non sembra che si possa trattare di una leggespecifica della Fisica quanto di una semplice applicazione dei principi dell’equilibrio dei sistemimeccanici;

• la legge di Stevino, p(z) = Pest +ρ ·g ·z, che stabisce che all’interno di un fluido pesante in quietela pressione totale alla profondita z nel fluido e data dalla somma della pressione esterna al fluidoPest e della pressione idrostatica del fluido sovrastante; e una conseguenza del fatto che le pressioninei fluidi “onesti”2 sono scalari e quindi si sommano con le semplici regole delle somme degli scalari.L’espressione per la pressione idrostatica ρ · g · z si ottiene banalmente imponendo l’equilibrio alsistema di forze di volume (gravita) e di superficie (pressione) che agiscono su ogni volumettodi fluido all’interno del fluido alla quota z nell’ipotesi che g e ρ non varino con z (altrimenti ciritroveremmo un integrale definito da valutare).

Piuttosto che scomodare leggi fisiche a hoc forse sarebbe piu semplice considerarle come importanticonseguenze dei principi fisici generali (leggi dell’equilibrio di sistemi continui, proprieta di simmetria eisotropia).Lo stesso discorso si puo applicare al cosidetto principio dei vasi comunicanti, che invece risulta come unaconseguenza ovvia della legge di Pascal.In alcuni testi la presentazione della fondamentale esperienza di Torricelli (sulla misura indiretta dellapressione atmosferica) e fatta in modo non molto preciso, soprattutto nei suoi aspetti operativi; si consigliadi vedere le dispense relative a questa misura Misura della pressione atmosferica col barometro di Fortinandando sul sito hep.fi.infn.it/fisichetta1/dispensea.html e poi cliccando su → Miscellanea dispense a.a.precedenti.Un’applicazione importante idrostatica e rappresentata dal torchio idraulico, che andrebbe sempre illu-strato agli studenti; applicazioni del torchio idraulico sono tutti i tipi di presse idrauliche e il sistema ditrasmissione della pressione esercitata dal piede dell’automobilista sul pedale del freno (che esercita unaforza limitata) alle ganasce dei freni (che esercitano una forza molto maggiore sui dischi o sul tamburodei freni, ovviamente in assenza di servo-freno!).Un altro argomento importante dell’idrostatica e la determinazione dell’andamento con l’altezza dellapressione nell’atmosfera terrestre. L’equazione dell’equilibrio idrostatico ci dice che dP = −ρ · g · dh,dove dP e la diminuzione di pressione atmosferica P per un aumento della quota dh nell’atmosfera,che consideriamo (come semplificazione di prima approssimazione) come un gas perfetto isotermo dimassa molecolare Mmol. Conseguentemente, dall’equazione di stato dei gas perfetti, otteniamo che ρ =(P ·Mmol)/(R · T ), e, definendo h = (R · T )/(Mmol · g) detta scala d’altezza, otteniamo che P (h) =P · exp(−h/h), dove P rappresenta la pressione atmosferica al suolo (h = 0). Assumendo per Mmol =29 · 10−3 kg/mole, corrispondente alla composizione dell’aria, fatto per 3/4 di N2 e 1/4 di O2, si ottieneche h ∼ 8 km, cioe in circa 8 km la pressione atmosferica si riduce a circa il 37% (e−1) del suo valoreal suolo. Il realta un valor medio della scala d’altezza atmosferica e dell’ordine di 7.5 km; questo edovuto al fatto che l’ipotesi di isotermia per l’atmosfera terrestre e un’approssimazione grossolana percheil gradiente termico medio nell’atmosfera terrestre e dell’ordine di −6.5 oC/km.Fra le molte esperienze quotidiane relative all’idrostatica ricordiamo:

• vari tipi di galleggiamento in acqua; il corpo umano immobile galleggia se la persona resta “calma”,cioe col torace dilatato; se viceversa il torace e contratto dall’apprensione, il nostro “galleggiante”naturale (l’aria nel torace) si riduce di volume (il diaframma si contrae), la spinta di Archimede siriduce e il .... fifone beve;

• l’iceberg, di cui circa 1/10 del volume emerge dall’acqua (e conseguentemente si deduce che ladensita del ghiaccio e circa 0.9 la densita dell’acqua);

• palloncini, palloni aerostatici, mongolfiere ad aria calda (il cui funzionamento necessita di alcuneulteriori considerazioni che lasciamo volentieri al lettore!).

2Cioe con proprieta fisiche macroscopiche isotrope, in quiete, nel campo di gravita.

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3.2 Idrodinamica

Consideriamo inizialmente il moto di un fluido non viscoso, cioe che non presenta fenomeni di attritointerno fra le varie porzioni di fluido in moto. Tale fluido e detto ideale. In un fluido ideale, quindi,non si ha dissipazione di energia meccanica durante il moto. I gas approssimano molto meglio dei liquidiil comportamento di un fluido ideale; fra i liquidi l’acetone e fra quelli che presenta un attrito internominore durante il moto.Il moto del fluido puo essere:

A1 rotazionale (presenta vortici durante il moto; e caratterizzato matematicamente da avere il rot ~v =∇× ~v 6= 0 in molti punti del fluido in moto);

A2 irrotazionale (non presenta mai vortici durante il moto; e caratterizzato matematicamente da avereil rot ~v = ∇× ~v = 0 in ogni punto del fluido in moto);

B1 stazionario (la velocita di ogni porzione di fluido durante il moto dipende solo dalla posizione dellaporzione di fluido considerata, ma non esplicitamente dal tempo. Matematicamente ~v = f(x, y, z)ovunque nel fluido);

B2 non stazionario (la velocita di porzioni di fluido o di tutto il fluido durante il moto dipendeesplicitamente dal tempo, matematicamente ~v = g(x, y, z; t)).

Per semplicita iniziamo a considerare il moto di un fluido ideale in moto stazionario e irrotazionale,che chiamiamo anche moto laminare. Nell’intorno di un punto P1(x1, y1, z1) tutti gli elementi di fluidodV in moto devono transitare con la stessa velocita ~v1(P1); ma il vettore velocita e sempre tangente allatraiettoria, quindi tutti i dV di fluido transitano, nell’intorno di P1, con la stessa traiettoria. Se consi-deriamo un punto P2 prossimo a P1 e ripetiamo il ragionamento precedente, giungiamo alla conclusione

che tutti gli elementi di fluido percorrono la stessa traiettoria nel tratto−−−−−−→(P2 − P1). Iterando il ragiona-

mento per tutto l’insieme di punti occupati successivamente dall’elemento dV , si giunge a definire unatraiettoria ben definita all’interno del fluido, che deve essere percorsa da tutti gli elementi di fluido che laintercettano; infatti, se per un qualunque elemento di fluido fosse possibile, nell’intorno dello stesso pun-to P, seguire almeno 2 diverse traiettorie, significherebbe che questo elemento di fluido potrebbe averealmeno 2 diversi vettori velocita nell’intorno di P, contraddicendo all’ipotesi di stazionarieta. Questa

traiettoria (inizialmente definita da−−−−−−→(P2 − P1)) viene detta linea di flusso.

L’insieme delle linee di flusso che si appoggiano a una linea chiusa, contenuta tutta all’interno del flui-do in moto stazionario, si chiama tubo di flusso. Ogni elemento di fluido che transita attraverso unasezione del tubo di flusso deve uscirne necessariamente dalla parte “finale” del tubo stesso, non potendoassolutamente attraversare le pareti laterali del tubo di flusso per l’ipotesi della stazionarieta del moto.Quindi per un tubo di flusso deve valere il principio della conservazione della massa, cioe della costanzadella portata ∆M/∆t valutata attraverso qualunque sezione del tubo di flusso. Si ricava facilmente chel’espressione che esprime quanto descritto, chiamata equazione di continuita, e

ρ(P ) · S(P ) · v(P ) = cost. (3.1)

dove P e un qualunque punto all’interno del tubo di flusso, ρ(P ) rappresenta la densita, v(P ) il modulodella velocita del fluido nell’intorno di P e S(P ) e la sezione del tubo di flusso normale a ~v.Considerando il moto di un fluido ideale in moto stazionario in un tubo di flusso in presenza della gravitae applicando il teorema dell’energia cinetica a un elemento di fluido in moto, si arriva a dimostrarefacilmente l’equazione di Bernoulli, valida in qualunque punto contenuto nel tubo di flusso considerato

p+ ρgz +1

2ρv2 = cost. (3.2)

dove p e la pressione, z e la quota del punto considerato e gli altri simboli sono noti.Talvolta puo essere utile esprimere l’equazione di Bernoulli in termini di lunghezze,

p

ρg+ z +

v2

2g= cost. (3.3)

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dove il primo termine, detto quota piezometrica, rappresenta, in quiete, l’altezza di una colonna difluido pesante esercitante una pressione p alla sua base, il secondo termine e la quota geometrica e ilterzo termine, detto quota d’arresto, rappresenta l’altezza a cui arriverebbe un elemento di fluido pesantelanciato verticalmente con velocita iniziale v. La forma (3.3) e spesso utilizzata per verificare la correttezza

Figura 3.1: Schema del venturimetro

di funzionamento degli impianti di alimen-tazione dell’acqua.Sono molteplici le applicazioni pratiche e glieventi di vita quotidiana che sfruttano quantoespresso dalla combinazione simultanea dell’e-quazione di continuita (costanza della portatain un tubo di flusso, ma, a maggior ragione, inun condotto fisico) e dell’equazione di Bernoul-li (fluido non viscoso, quindi conservazione del-l’energia meccanica):

• tubo di Venturi, per misurare la portata in un condotto (ancora usato dai tecnici degli acquedotti), dicui riportiamo la semplice schematizzazione come possibile esempio di applicazione didattica. Conriferimento alla Fig. 3.1 consideriamo il moto stazionario di un fluido, con viscosita trascurabile, inun condotto cilindrico orizzontale, che presenta una strozzatura limitata della sezione del tubo, daA1, dove la velocita del fluido sia v1 e la pressione nel fluido sia p1, ad A2, caratterizzata da v2 e p2.Le due sezioni A1 e A2 sono connesse da un manometro laterale che misura la differenza di pressione∆p = p1−p2 tramite la differenza di quota h+∆h del liquido presente nel manometro (solitamenteHg) 3. Dall’equazione di Bernoulli si ricava che ∆p = p1 − p2 = 1/2 · ρ · (v2

2 − v21), essendo ρ la

densita del fluido, supposta costante. Dall’equazione di continuita si ricava che v2 = v1(A1/A2),che sostituita nella relazione precedente permette di esprimere

v1 =

√

2(p1 − p2)

ρ[(A1/A2)2 − 1]=

√

2ρHg · g · (h+ ∆h)Hg

ρ[(A1/A2)2 − 1)]

da cui si ottiene che la portata di volume nel tubo e

Qv = v1 · A1 = K ·[

(h+ ∆h)Hg

ρ

]1/2

con K = A1 ·[

2ρHg

(A1/A2)2 − 1

]1/2

Conoscendo la costante K di costruzione del venturimetro, misurando (h + ∆h)Hg e sapendo ladensita del fluido ρ si ottiene una semplice misura indiretta della portata di volume nel tuboprincipale, parametro importante per il corretto funzionamento di ogni impianto idraulico.

• ugello di un becco Bunsen;

• formula di Torricelli, v =√

2 · g · ∆h, che fornisce la velocita di efflusso di un fluido pesante da unpiccolo foro posto a una quota ∆h dalla superficie libera di un vasto recipiente (si noti che v e lastessa che avrebbe avuto un elemento di fluido in caduta libera per un tratto ∆h);

• comportamento del traffico automobilistico e delle file di persone in una strettoia (allo stadio,all’uscita delle stazioni, ecc.);

• dispenser per profumo, ugelli delle spruzzatrici, spray, ecc.;

• ugello dell’idrante;

• portanza delle ali dell’aeroplano;

3Si noti che h + ∆h si riferisce alle quote verticali dei limiti superiori del tubo principale e della sua strozzatura. Inoltrela strozzatura deve essere smussata per non indurre moti turbolenti nel fluido in moto, dovuti a discontinuita geometrichedella sezione del tubo.

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• sollevamento di un foglio quando ci si soffia sopra (o, peggio, di un tetto di una casa o di uncapannone con temporale e forte vento);

• sifone;

• l’aumento del tiraggio del fumo in un caminetto (o in una ciminiera) con vento forte;

• vuotamento del “collo d’oca” in un WC con violento flusso d’acqua;

• il frullino a immersione, che si attacca al fondo della pentola quando e in funzione.

3.3 Gas e vapore

Percorriamo rapidamente il percorso logico-sperimentale che ha condotto i fisici a ipotizzare l’esistenzadi un gas-limite, il gas perfetto.Le esperienze condotte sui gas reali avevano portato a stabilire tre relazioni fenomenologiche fondamentaliper trasformazioni quasi-statiche

P · V = cost. (trasf. isoterme, legge di Boyle) (3.4)

V (t) = V · (1 + αx · t) (trasf. isobare, 1a legge di Gay − Lussac) (3.5)

P (t) = P · (1 + βx · t) (trasf. isocore, 2a legge di Gay − Lussac) (3.6)

dove V e P indicano il volume e la pressione del gas a 0 C, αx e βx rappresentano rispettivamente icoefficienti di espansione e di tensione per la sostanza chimica x mentre t indica la temperatura misuratain C. αx e βx sono dell’ordine di 3.66− 3.67 C−1 ma, con misure molto accurate, risultano numerica-mente diverse fra loro e soprattutto variano da gas a gas.Tuttavia misure effettuate con concentrazione di gas sempre piu ridotte, cioe per valori decrescenti dellapressione P (proporzionale alla densita ρ del gas e quindi alla concentrazione a 0 C), mostrano chiara-mente un andamento lineare di αx e βx con P, ma soprattutto e illuminante l’evidenza sperimentale(v. Fig.3.2) che tutte le rette interpolanti i dati sperimentali di αx e βx convergono, per P → 0 a ununico valore γ = 3.6608 C−1. Inoltre i valori di α e β per i gas nobili sono molto vicini fra loro e il loroandamento con P e grosso modo parallelo all’asse delle ascisse P, cioe quasi indipendente da P. Vienequindi evidente l’indicazione, dall’andamento dei dati sperimentali di tutte le sostanze gassose utilizzate

Figura 3.2: Andamento dei coefficienti αx e βx con laconcentrazione del gas

(v. Fig.3.2), di pensare a utilizzare un gas, chechiameremo gas perfetto, molto rarefatto, nonchimicamente reattivo (useremo He o Ne nonO2), per il quale i coefficienti di espansione α edi tensione β coincidano e siano uguali a γ. Leleggi di Gay-Lussac si scriveranno allora

P (t) = P (1 + γ · t) (3.7)

V (t) = V (1 + γ · t) (3.8)

Solo adesso possiamo impostare il noto ra-gionamento che ci porta a dedurre l’equazionedi stato dei gas perfetti. Infatti, partendo,con trasformazioni quasi-statiche, da (P, V),con una isocora, possiamo giungere all’isoter-ma generica t, per la quale varra la (3.7).Moltiplicando ambo i membri per V avremo

P (t;V) · V = P · V (1 + γ · t) (3.9)

Su un qualunque punto dell’isoterma a temperatura t avremo che P (t;V) · V = P (t) · V (t) e quindi,sostituendo in (3.9),

P (t) · V (t) = P · V · γ(

1

γ+ t

)

(3.10)

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Ma V = n · V(mol), dove n e il numero di moli contenute in V e V(mol) = 22.414 dm3 e il volumedi una mole di gas perfetto in condizioni normali. Ponendo R = P · V(mol) · γ = 8.314 J/(mole· K),costante dei gas perfetti, e T = ( 1

γ + t) = (273.15 C + t), temperatura assoluta dal gas perfetto, e

sostituendo nella (3.10) otteniamo la ben nota equazione dei gas perfetti

P · V = n · R · T (3.11)

Avremmo potuto anche, partendo da (P, V), raggiungere l’isoterma a temperatura t con una trasfor-mazione quasi-statica isobara e ottenere V (t) = V (1 + γ · t), e proseguire con il ragionamento fattoprecedentemente (moltiplicando ambo i membri della relazione precedente per P, e successivamente“spostarsi” sull’isoterma) e saremmo giunti ovviamente all’equazione di stato dei gas perfetti (3.11), maquesto SOLO perche troviamo lo stesso valore γ per il coefficiente di espansione e di tensione nelle re-lazioni di Gay-Lussac. Anche una piccola differenza nei loro valori numerici avrebbe avuto la conseguenzadi non poter definire un unico valore per la costante dei gas perfetti R, che, ovviamente, non sarebbe piustata una costante fondamentale della Fisica.La definizione di T come temperatura assoluta significa che non sono possibili temperature inferiori allozero assoluto (−273.15 C), perche, se potessero esistere, inserite nelle (3.7) e (3.8), porterebbero a valorinegativi della pressione e del volume, che sono assurdi fisici 4 5.Essendo la (3.11) valida per ogni T si giunge alla conclusione che un gas perfetto non puo mai cambiaredi stato, cioe un gas perfetto non e mai liquefattibile.Sappiamo invece che anche l’elio (il gas nobile piu leggero che meglio approssima, in condizioni di granderarefazione, il comportamento sperimentale di un gas perfetto) e liquefattibile (a T < 5.2 K). Quindiqualunque gas reale si discosta sperimentalmente dal comportamento previsto per un gas perfetto incondizioni standard (e detto cosı sembra quasi la scoperta dell’ombrello!).Per descrivere gli scambi energetici che avvengono nei cambiamenti di stato sono stati introdotti i calorilatenti (di liquefazione, di evaporazione ecc.), che rappresentano numericamente l’energia che si devescambiare con l’unita di massa di sostanza, in condizioni standard di pressione, per fare avvenire il cam-biamento di stato considerato. Se esaminiamo i valori numerici dei calori latenti per le varie sostanze 6, sivede che lo stato di vapore e associato con la maggiore quantita di energia per unita di massa di sostanzache cambia di stato, mentre lo stato solido e quello associato con la minima quantita di energia specificadella sostanza.Il cambiamento di stato avviene a temperatura e pressione costanti, spesso con variazioni di volume nonrilevanti 7. Quindi tutta l’energia ceduta al sistema (nel caso della fusione a esempio) deve essere im-magazzinata dal sistema allo stato liquido, sotto forma di energia potenziale, perche nel cambiamentodi stato inverso (solidificazione) esattamente la stessa energia (sotto forma di calore latente di solidifi-cazione) e restituita dal sistema all’esterno.Se, in questi processi, e coinvolta energia potenziale, significa che devono essere presenti forme di forzeconservative. Forze conservative sono, a esempio, le forze posizionali centrali non dipendenti esplici-tamente dal tempo; se sistemi di molecole presentano la capacita di immagazzinare energia potenzialepossiamo dedurre che fra le molecole si debbano esercitare forze posizionali centrali attrattive, ricordan-do le proprieta delle forze elastiche studiate in meccanica. Una rappresentazione funzionale semplice diforza di questo tipo potrebbe essere ~F = −k · r−α vers ~r, che ammette un’energia potenziale del tipoU = k

−α+1· r−α+1 + cost..

Poiche siamo interessati a trovare un’equazione di stato che valga anche per i gas reali in condizioni

4Con l’introduzione della temperatura assoluta T = 273.15 + t(C) l’isocora di Gay-Lussac diventa P (T ) = P · γ · T ,mostrando una dipendenza lineare di P (T ) da T , con termine noto nullo. Questo ci consente di costruire un termometro agas perfetto a volume costante e di poterlo tarare su un unico punto fisso, come il punto triplo dell’acqua pura, con un valoredi temperatura di riferimento T3 = 273.16 K, essendo la temperatura centigrada del punto triplo dell’acqua t3 = 0.01 oC.

5Per una presentazione piu articolata si veda quanto contenuto nel primo capitolo del libro di Bertin, Poli , Vitale,Fondamenti di Termodinamica, Progetto Leonardo, BO, 1998.

6Per l’acqua Cliq = 0.333 MJ/kg, Cevap = 2.26 MJ/kg alla pressione atmosferica standard.7Solo nel caso dell’acqua si ha un aumento di volume dell’ordine del 10% nella solidificazione dell’acqua, che causa la

rottura di tubi, contatori, ma anche vasi sanguigni e linfatici, causando necrosi dei tessuti biologici. Anche la ghisa, bismutoe argento hanno un notevole aumento di volume nella solidificazione, e questo fenomeno e molto utilizzato nelle fusioni distrutture fatte con tali materiali perche, versati in stampi rigidi, il materiale aumenta di volume nella solidificazione andandoa aderire perfettamente alla cassaforma della fusione. Invece l’oro, rame ad altre sostanze comuni presentano una leggeradiminuzione di volume all’atto della solidificazione per cui le fusioni tendono a non venire perfette copie della cassaforma ein questo caso si preferisce utilizzare la tecnica dello stampaggio a forte pressione per produrre,a esempio, monete in oro oin rame senza difetti.

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normali (per ovvie necessita pratiche e applicative) vediamo se sia possibile introdurre alcune correzioniall’equazione di stato dei gas perfetti per renderla utile a descrivere il comportamento anche dei gas realiin condizioni normali. Se il gas reale non e estremamente rarefatto, vuol dire che la concentrazione dimolecole non e prossima a zero ma finita e quindi le dimensioni delle singole molecole limitano significa-tivamente il volume a disposizione. L’insieme di tutte le molecole, pensate impacchettate le une accantoalle altre, occupera un volume proprio b, detto covolume, esprimibile anche come b = n · bmol dove ne il numero di moli di gas contenute nel volume V e bmol e il covolume molare. Il volume realmente adisposizione del moto delle molecole sara quindi V − b.Le forze attrattive fra le molecole del gas reale non potranno pero avere una dipendenza da r del tipok · r−α, perche, avendo le singole molecole un volume proprio, quando due molecole vengono a contatto,non potendosi compenetrare l’una con l’altra, dovranno esercitare, a quel punto, fra loro una intensaforza repulsiva. Dovra quindi esistere un r-minimo al di sotto del quale le forze attrattive divengonointensamente repulsive.Una semplice soluzione fu proposta da van der Waals (alla fine del XIX secolo) ipotizzando l’esistenza diuna forza intermolecolare del tipo

~F (r) =(

A · r−13 −B · r−7)

vers ~r (3.12)

I valori di A e B nella (3.12) (caratterizzanti la molecola considerata) sono tali per cui ~F si annulla perun determinato valore r = rm. Una forma classica e molto semplice per V(r), energia potenziale da cui

poter derivare l’espressione di ~F (r), e quella proposta da Lennard-Jones 8

V (r) = 4ǫ[

(d/r)12 − (d/r)6]

(3.13)

Nella (3.13) ǫ rappresenta il valore minimo dell’energia potenziale e d e la distanza per cui V (d) = 0. Inquesto caso avremo che

F (r) = −dV (r)

dr=

24ǫ · d6

r7

[

2

(

d

r

)6

− 1

]

(3.14)

Dalla (3.14) si ricava che F (rm) = 0 per 2d6 = r6m, cioe per rm = d · 21/6 = 1.1225 · d, oppure perd = 0.89 · rm. Per i gas nobili si ottiene sperimentalmente che rm ∼ 0.3 − 0.4 nm. Un esempio diandamento dell’energia di interazione intermolecolare con la distanza e dato in Fig.3.3.Per r ≪ rm la forza di van der Waals e nettamente positiva, cioe repulsiva, e lo si spiega col fattoche a queste distanze la molecola e praticamente impenetrabile (si entrerebbe nella struttura internadell’atomo); per r ≫ rm invece la forza di van der Waals e debolmente negativa, cioe attrattiva, ed ela forza responsabile dell’aggregazione delle molecole (a temperature non elevate) e del comportamentosperimentale delle sostanze reali (cambiamenti di stato, calori specifici, tensione superficiale, ecc.). Lacomponente attrattiva della forza di van der Waals e praticamente attiva fino a distanze dell’ordine dirmax ∼ 300 · rm, conseguentemente ogni molecola potra esercitare una forza di attrazione non nullasu tutte le molecole contenute in una sfera di raggio rmax, centrata sulla molecola in esame, detta sferad’azione molecolare. Per il terzo principio di Newton tutte le molecole entro la sfera d’azione eserciterannouna forza di attrazione (uguale e contraria a quella esercitata dalla molecola in esame) su questa molecola,e la forza totale esercitata sulla molecola al centro della sfera d’azione sara nulla.Con riferimento alla Fig.3.4 consideriamo un volume V riempito di gas con densita uniforme. Le molecoleM e M3 (rappresentate con un punto nella figura) non sono soggette a forze di attrazione molecolareperche le sfere d’azione (ombreggiate in figura) delle loro forze molecolari sono uniformemente riempitedalle molecole circostanti di gas.Per le molecole che si trovano in una zona di spessore rmax dalle pareti del contenitore (cioe nella zonacompresa fra le pareti del contenitore e la zona trattaggiata di Fig.3.4), la forza totale esistente su diesse, da parte delle molecole contenute nello spazio definito dalla superficie della sfera d’azione e dallepareti fisiche del contenitore, non e nulla, perche il volume della sfera non e uniformemente riempito dimolecole di gas (mancano le molecole delle calotte sferiche definite dalle pareti del contenitore e dallasuperficie esterna al contenitore della sfera d’azione). Conseguentemente ogni molecola di questa zonadi “confine” sara soggetta a una forza, diretta ortogonalmente alla parete verso l’interno del contenitore;

8Una presentazione semplice ma rigorosa puo essere trovata nel cap. 10 del bel testo di G. Boato, Termodinamica, casaed. Ambrosiana, MI, 1987.

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Figura 3.3: Andamento dell’energia diinterazione intermolecolare nel caso dell’Ar

M

M M

M

M

F

F

F

0

1 1

2 2

3

4 4

Figura 3.4: Effetto della sferad’azione (indicata con un cerchietto)delle forze intermolecolari

sempre con riferimento alla Fig.3.4 si comprende anche intuitivamente che ~F2 > ~F1 > ~F4. Il valor medio diqueste forze su una superficie ∆S creera una extra-pressione, diretta verso l’interno del contenitore, che siaggiungera alla pressione che si esercita da parte delle pareti del contenitore sul gas come conseguenza dellevariazioni di quantita di moto nel tempo per gli urti delle molecole del gas, in movimento per agitazionetermica, con le pareti del contenitore (formula di Clausius-Kroenig). Questa extra-pressione ∆Pex saraproporzionale al prodotto del numero delle molecole attraenti nella sfera d’azione per il numero dellemolecole attratte entro la sfera d’azione del gas. La concentrazione delle molecole nel gas e esprimibiletramite la densita numerica specifica delle molecole ν = NTOT /VTOT = n ·NA/VTOT , quindi ∆Pex saraproporzionale a ν2 e si potra esprimere come ∆Pex = a · n2/V 2, con n numero di moli di gas contenutenel volume V e a una costante dimensionale dipendente dal tipo di gas reale utilizzato.Possiamo apportare le correzioni all’equazione di stato dei gas perfetti per tener conto del covolume edell’extra-pressione delle molecole del gas reale scrivendo la ben nota equazione di stato dei gas reali divan der Waals

(P +a · n2

V 2)(V − n · b) = n · R∗ · T (3.15)

Il valore di R∗ non coincidera ovviamente col valore della costante dei gas perfetti (puzzerebbe di mira-colo!) ed e tale che la temperatura misurata da un termometro a volume costante riempito del gas realein esame fornisca la stessa temperatura assoluta T che misurerebbe un termometro a volume costantea gas perfetto 9. Per gas molto rarefatti V >> n · b, il termine dell’extra-pressione (a · n2)/V 2) → 0 eR∗ → R e si ottiene, ovviamente, il comportamento descritto dall’equazione dei gas perfetti.Esaminiamo adesso l’andamento, nel piano di Clapeyron, dei dati sperimentali relativi a trasformazioniquasi-statiche isoterme di una sostanza pura, il cosidetto diagramma di Andrews (v. Fig.3.5). Per Televate gli andamenti delle isoterme sono iperboli equilatere aventi gli assi coordinati come asintoti, cioesono sostanzialmente gli andamenti di un gas perfetto (v. andamenti T4 e T3 Fig.3.5). Diminuendo Tle isoterme si scostano dall’andamento iperbolico (v. andamento T2 Fig.3.5) fino a giungere all’isotermaalla temperatuta Tc che presenta un flesso parallelo all’asse V , nel punto (VC , PC) di Fig.3.5, che vienedetta isoterma critica.Diminuendo ancora la temperatura (v. isoterme T1 e T di Fig.3.5) si nota un sostanziale cambio di regime:nella regione compresa fra l’asse delle ordinate P , l’isoterma critica e la curva tratteggiata PC → P1 → Ail fluido si presenta allo stato liquido, mentre nella regione compresa fra l’asse delle ascisse V , l’isotermacritica e la curva tratteggiata PC → Q → B il fluido si presenta allo stato aereiforme (e la chiamiamoregione del vapore).

All’interno della regione compresa fra l’asse delle ascisse V e la curva tratteggiata (in Fig.3.5)A − P1 − PC − Q − B le isoterme divengono anche isobare e durante questo “percorso” fisico 10 si

9Le costanti a, b e R∗ dell’equazione di van der Waals possono essere espresse tramite i valori dei parametri critici delgas in esame, v. par. 1.11 del testo di Bertin, Poli, Vitale citato precedentemente.

10Ricordiamo che si tratta di trasformazioni quasi-statiche, cioe di una successione continua di stati di equilibrio raggiuntieffettivamente dal fluido durante queste “lente” trasformazioni durante i quali sono stati misurati i parametri di stato P, V, Tcaratterizzanti lo stato di equilibrio.

29

Figura 3.5: Diagramma di Andrews, in cuisono rappresentate le isoterme quasi-statichedi una sostanza pura

Figura 3.6: Isoterma di van der Waals eisocora di cambiamento di stato reale

ha il passaggio di stato da liquido (punto P1) a vapore (punto Q) e viceversa, con scambio di energiafra il fluido e l’ambiente esterno misurato dal calore latente di vaporizzazione (o di liquefazione), esatta-mente uguali in valore ma di segno opposto (secondo le convenzioni adottate in termodinamica). Il ramoPC → A e detto curva del liquido saturo mentre il ramo PC → B e detto curva di rugiada (con ovviosignificato etimologico).L’andamento descritto dall’equazione di van der Waals si adatta piuttosto bene con l’andamento delleisoterme sperimentali nel diagramma di Andrews nelle zone del liquido e del vapore, mentre differiscenotevolmente durante i cambiamenti di stato (v. curve tipo a “S” orizzontale R-T-S-Q tratteggiate inFig.3.6) 11. L’andamento R → T descrive una situazione fisica non di equilibrio ma fisicamente esi-stente; si tratta di una situazione di liquido sovraespanso, che si realizza quando si lascia del liquido ariscaldare lentamente in modo che il vapore (e l’aria) contenuti nel liquido siano evaporati e il volumesia un po’ maggiore a quello a cui dovrebbe iniziare il cambiamento di stato. Basta una leggerissimaazione di disturbo di questa situazione di equilibrio instabile perche il fluido passi istantaneamente (etumultuosamente) allo stato di parziale vaporizzazione (imposto dai valori dell’isoterma sperimentale),con fuoriuscita violenta di vapore dal fluido 12. Anche l’andamento Q → S descrive una situazione nondi equilibrio fisico ma fisicamente esistente ed e detta curva di vapore sovrasaturo; si realizza facendocontrarre lentamente il vapore saturo e si arriva a un volume inferiore a quello in cui avrebbe dovutoiniziare la condensazione del vapore in liquido. Basta una minima perturbazione a questa situazione diequilibrio instabile affinche il fluido passi istantaneamente alla situazione di parziale liquefazione, indicatadall’isobara di cambiamento di stato 13.Invece il ramo T → S non e assolutamente realizzabile sperimentalmente e non ha significato fisico(sarebbe proprio bizzarro che in un’isoterma si abbia simultaneamente aumento di volume e di pres-sione!).E importante notare che l’insieme dell’isoterma isobara R → Q e dell’isoterma di van der WaalsR − T − S − Q realizza un ciclo isotermo e che le aree delimitate dall’isoterma isobara con il trattoR − T (area Σ1 di Fig.3.6) e con il tratto Q − S (area Σ2 di Fig.3.6) sono uguali in modulo. Questo lopotevamo supporre perche la formulazione di Kelvin-Planck del secondo principio della termodinamica

11L’andamento a S, con tre punti di intersezione con rette parallele all’asse delle ascisse era prevedibile, essendo l’equazionedi van der Waals del terzo ordine in V .

12Spesso, lasciando l’acqua sul fornello a riscaldare lentamente si nota che, versandoci dentro o sale, o cibo, o immettendoviqualunque oggetto, inizi a bollire violentemente, fuoriuscendo dalla pentola; e una manifestazione di liquido sovraespanso.

13Situazione che si puo verificare in autunno inoltrato al mattino, dopo una fredda nottata, con un tasso di umidita vicinoal 100%; uscendo di casa, o mettendo un indumento all’esterno immediatamente si bagna vistosamente.

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impedisce che si realizzi un lavoro positivo prelevando calore da un unico termostato. Conseguentementeil lavoro ottenibile nel ciclo completo isotermo sopra descritto puo al massimo essere nullo (se assumiamotutte trasformazioni reversibili) ed essendo i segni dei lavori ottenibili attorno all’area Σ1 e all’area Σ2

opposti (il verso di percorrenza attorno alle due aree e opposto, v. Fig.3.6) non potra che essere possibilela situazione di uguaglianza dei valori delle due aree.Dobbiamo quindi concludere che l’equazione di van der Waals e un’utilissima approssimazione per la de-scrizione del comportamento effettivo dei fluidi reali, vista la semplicita e l’eleganza degli argomenti checi hanno permesso di giungere alla sua formulazione partendo dall’astrazione (di importanza concettualeenorme) del gas perfetto.Le forze di van der Waals giocano un ruolo fondamentale anche in numerosi fenomeni di interazione tracorpi solidi; tra questi fenomeni ricordiamo in particolare:

• la tendenza ad “appiccicarsi” l’un l’altro di due oggetti, fatti dello stesso materiale e aventi superficiperfettamente identiche (come forma) ma opposte (in segno). La forma piu semplice e ovviamente ilpiano e infatti due lastre di specchio piano, due piani metallici (lavorati alla macchina rettificatrice)aderiscono tenacemente fra loro. E molto difficile creare una simile aderenza reciproca fra duepiani di legno. Tutto questo e intimamente collegato con la definizione operativa di piano fisico14, che puo raggiungere precisioni dell’ordine di ≈ 10−10 m nel caso del piano ottico (specchi),di ≈ 10−5 − 10−6 m nel caso del piano metallico rettificato, ma solamente di ≈ 10−4 m nel casodel piano di legno. Ovviamente queste precisioni di lavorazione sono un’indicazione dello scartoquadratico medio delle varie fluttuazioni e asperita della superficie reale rispetto al piano idealeche quella superficie vuol rappresentare e devono essere almeno dell’ordine di grandezza di rmax

affinche le mutue forze di attrazione di van der Waals siano attive fra le due superfici a contatto.La realizzazione di due superfici sferiche complementari (nel senso descritto sopra per i piani) epossibile, ma con estrema complessita di lavorazione. Si tratta di realizzare due calotte sfericheaventi lo stesso raggio di curvatura ma con segno opposto (una concava e l’altra convessa) ed emolto difficile al livello delle precisioni indicate nel caso delle superfici piane. Per superfici di formadiversa (anche se di rivoluzione, cioe con simmetria cilindrica) la loro realizzazione e estremamenteardua, possibile solo per piccole porzioni di superficie.Notiamo che non si tratta (come talvolta viene detto) del fatto che fra le superfici viene creato...un vuoto d’aria!. Questo fenomeno si verifica invece quando una ventosa viene deformata, nellasua parte centrale, da una forza di trazione verso l’esterno, mentre il bordo della ventosa rimanea contatto della superficie su cui la ventosa e appoggiata. La forza che la ventosa esercita sullasuperficie di appoggio e data dalla differenza di pressione fra l’esterno della ventosa (generalmentela pressione atmosferica esistente) e la pressione che si crea nell’intercapedine fra il centro dellaventosa e la superficie di contatto, moltiplicata per la superficie di distacco della ventosa dal corpoa cui si appoggia. Questo fenomeno viene utilizzato nei dispositivi di sollevamento o di sostegnodi oggetti pesanti, fragili e molto lisci, come le lastre di vetro. Ovviamente se la pressione esternaviene ridotta al valore della pressione interna all’intercapedine la ventosa si distacca. Il fenomenodell’aderenza si verifica, invece, anche ponendo gli oggetti aderenti sotto una campana a vuoto.

• le forze di van der Waals sono responsabili anche dell’adesione della polvere (di qualunque naturae dimensione) anche a pareti molto lisce, come a esempio uno specchio. Sono ben noti gli sforzipropagandistici di molte imprese che forniscono prodotti per eliminare (sarebbe piu corretto dire“ridurre”) l’elettrizzazione della polvere (cosı dicono negli spot pubblicitari!) e non farla attaccarea oggetti e pareti domestiche.

• una straordinaria applicazione delle forze di van der Waals in natura e offerta dall’efficienza di-mostrata dal geco 15 nel camminare e rimanere attaccato a pareti verticali, anche perfettamentelisce, e perfino sui soffiti (cioe rivolto col dorso verso terra). Le zampe del geco non contengonosostanze appiccicose (che impedirebbero la sua deambulazione veloce e sicura) ne strutture tipoventose. Mostrano invece 5 dita molto larghe, sotto le quali sono presenti una serie di lamelleparallele, ognuna delle quali e formata da sottili setole (setae), del diametro di circa 0.2 µm 16, con

14Si veda al riguardo la chiarissima esposizione contenuta nel cap. I del testo di Mario Ageno, Elementi di Fisica, ed.Boringhieri, (TO), 1960.

15Sauro insettivoro, di abitudini notturne, dal corpo depresso, estremamente agile e veloce.16Per confronto il capello umano ha un diametro medio dell’ordine di 10 µm

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una densita superficiale di circa 1.4 · 104 setole/mm2 per un totale di circa 5 105 setole/zampa.Ogni setola e a sua volta ricoperta da numerosi e sottilissimi peli, detti spatulae, con circa 103

spatulae/setola. In questo modo ogni zampa del geco offre un’elevatissima superficie di contattocon la parete con cui viene in contatto tramite il gran numero di spatulae che aderiscono alla parete.Ogni spatula e composta da tessuti biologici contenenti sostanze chimiche che possiedono un piccolomomento dipolare, in grado di polarizzare le molecole della parete con cui e in contatto. Si vienequindi a creare una distribuzione superficiale di forze di van der Waals (attrattive) fra le spatulae ela parete. E stato stimato che ogni spatula puo esercitare una forza media dell’ordine di 4 10−8 Ncon i silicati, di cui e generalmente fatta una parete (sia naturale che artificiale). Valutiamo la forzatotale FT che il sistema di forze di van der Waals esercita sul corpo del geco.

FT = nr.zampe · nr.setolezampa

· nr.spatulaesetola

· forza di aderenzaspatula

≃ 4 · 5 105 · 103 · 4 10−8 N = 80 N

Essendo la massa media del geco dell’ordine di 40 − 50 g, si vede immediatamente che il valore diFT e maggiore del peso del geco, che puo quindi muoversi liberamente e con agilita e velocita suqualunque superficie comunque inclinata rispetto alla verticale.Solo sul teflon 17, materiale non polarizzabile, il geco non puo camminare, mancandogli la necessariaforza di aderenza di van der Waals. Inoltre le sue spatulae hanno anche la proprieta di autopulirsidai granelli di polvere sottile, che, se aderisse alle spatulae, produrrebbe uno strato isolante, cheridurrebbe notevolmente la polarizzabilita del materiale della parete di appoggio.Anche le mosche presentano sulla parte inferiore delle loro zampe cuscinetti pelosi che hanno lastessa funzionalita delle spatulae del geco.Molti laboratori di biomeccanica e di meccanica applicata stanno studiando la realizzazione di super-fici dotate di nanotubuli di materiale altamente dipolare per tentare di imitare queste straordinariecapacita offerte dalla genialita della natura nella sua evoluzione.

3.4 Tensione superficiale e capillarita

Consideriamo un liquido reale posto, in quiete, in un recipiente (es., acqua in un bicchiere). Per lemolecole del liquido poste in prossimita della superficie libera, a contatto dell’aria, si possono ripetere leconsiderazioni che abbiamo svolto nel caso dell’introduzione dei termini correttivi all’equazione dei gasperfetti per giungere all’equazione di van der Waals. Tutte le molecole di liquido contenute in uno stratosuperficiale di spessore rmax, cioe contenute entro la sfera d’azione delle forze d’attrazione di van der Waals

P

A B

F

l

Figura 3.7: Misura della tensionesuperficiale

(v. Figg.3.4 e 3.3), saranno soggette a una forza risultante non nullae diretta verso l’interno del liquido.Un semplice esperimento ci consente di dare una definizione opera-tiva al sistema di forze superficiali accennate precedentemente. Conriferimento alla Fig.3.7 consideriamo, in un piano verticale, un leg-gero telaietto rigido, vincolato in P, con due tratti verticali sui qualipossa scorrere (con attrito trascurabile) una leggera asta orizzontalerigida AB di lunghezza l. All’interno del telaietto formiamo (conmolta cautela e delicatezza!) una leggera pellicola di liquido (l’acquasaponata puo essere un facile inizio). Per mantenere invariata la su-perficie verticale della pellicola di liquido in aria occorre applicare allasbarretta AB una forza ~F diretta verso il basso. Facendo molti es-perimenti, con sbarrette di diversa lunghezza (e stesso liquido) e condiversi liquidi (con la stessa sbarretta) si arriva a formulare una re-

lazione fenomenologica in cui il modulo di ~F e proporzionale a l, cioeF = τ · 2 · l, che porta immediatamente a definire

τ =F

2 · l (3.16)

τ rappresenta la forza globale che il sistema di forze molecolari dellostrato superficiale del liquido esercita, per unita di lunghezza, per

17Materiale che ricopre le superfici di cottura di vasellame antiaderente, composto da polimeri di tetrafluoroetilene.

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tenere uniti i lembi di un “taglio” superficiale lungo un metro nella superficie di separazione liquido-aria(detto anche strato interfasale). τ e detto anche tensione superficiale liquido-aria (va sempre precisato,ovviamente, quali sono le due fasi a contatto). Il fattore 2 nella (3.16) indica che sono 2 le superfici diinterfase in azione sulla sbarretta AB, una davanti e l’altra dietro al telaietto.Una definizione alternativa di tensione superficiale e la seguente. Se il valore di F applicata alla sbarrettaprovoca un abbassamento ∆x della sbarretta (senza rompere la lamina di liquido contenuta nel telaietto),significa che la forza F ha compiuto un lavoro ∆L = F · ∆x; corrispondentemente la superficie S dellalamina nel telaietto ha subito un aumento ∆S = 2 · l · ∆x per cui

τ =∆L

∆S=

F · ∆x2 · l · ∆x (3.17)

Ovviamente le due definizioni operative (3.16) e (3.17) forniscono lo stesso valore di τ , che si misura, nelS.I., in N m−1 e in J m−2. Valori tipici di τ : per l’acqua in aria (a 20 C) vale 7.27 · 10−2 J m−2,mentreper il mercurio in aria (a 20C) vale 4.65 · 10 −1 J m−2. τ tende a diminuire di valore con l’aumentaredella temperatura (per l’acqua in aria diminuisce del 20 % nel passaggio da 20 → 80 C). Il valore di τe fortemente influenzato dalle impurezze che si possono depositare sulla superficie d’interfase; basta unostrato monomolecolare di sapone o di detergente liquido per ridurre di un fattore 3 la τ dell’acqua pura. Enotevole anche l’invecchiamento della superficie d’interfase nel ridurre il valore di τ ; τ resta costante percirca mezz’ora dal momento della formazione della superficie d’interfase, poi, fenomeni di allineamentomolecolare (e le impurezze sempre presenti nell’aria) fanno ridurre sempre piu il valore di τ .Talvolta τ e detta anche forza di coesione superficiale.Puo essere utile definire operativamente la tensione superficiale anche in maniera “microscopica”. Peraumentare di un ∆S la superficie d’interfase liquido-fluido considerati, occorrera “trasportare”, dall’in-terno del liquido dove tutte le molecole sono in equilibrio fra loro, nello strato d’interfase, di spessorermax, un determinato numero di molecole ∆N , dato da

∆N = ∆V · n = rmax∆S · n = rmax∆Sρ

Mmol(3.18)

dove n rappresenta la densita numerica di molecole nel liquido di densita ρ, Mmol la massa di una molecoladi liquido. Indicando con w il lavoro che si dovra compiere contro le forze di coesione per portare unamolecola dall’interno del liquido nello strato d’interfase, avremo che il lavoro che dovremo globalmentefare sara

∆L = ∆N · w =w · rmaxρ

Mmol· ∆S = τ∆S, con τ =

w · rmaxρ

Mmol(3.19)

Quindi τ rappresenta il lavoro fatto contro le forze di coesione per creare l’unita di superficie interfasale,di spessore rmax, nello strato di interfase.Sappiamo tutti per esperienza “infantile” che per formare una bolla di acqua saponata occorre soffiaredelicatamente nella cannuccia intinta nell’acqua saponata o agitare in aria l’attrezzo (con un cerchiettoposto al termine di un’asta), cioe occorre compiere un lavoro per formare una bolla di sapone. Formatala bolla in aria cerchiamo di capire quale possa essere il bilancio delle pressioni che si esercitano sullesuperfici della bolla 18.Chiamiamo con ∆P = Pi−Pe la differenza di pressione fra l’interno e l’esterno della bolla; se aumentiamoil volume della bolla di ∆V dobbiamo compiere un lavoro ∆L = ∆P · ∆V contro le forze di tensionesuperficiale delle due facce delle superfici interfasali (interna ed esterna) che tenderebbero a far rimanerela bolla nelle dimensioni imperturbate. Il lavoro della forze di tensione superficiale e ∆Lτ = 2τ · ∆S eavremo che

∆P · ∆V = 2τ · ∆S (3.20)

con ∆V = 4πR2∆R e ∆S = 8πR∆R, che sostituiti nella relazione precedente portano alla ben nota leggedi Laplace

∆P = Pi − Pe =4 · τR

(3.21)

Nella (3.21) cambia solo il 4 in 2 se si considera una goccia (una sola superficie interfasale) invece di unabolla (due superfici interfasali).

18Viene quasi automatico pensare che la pressione all’interno della bolla debba essere maggiore della pressione esterna,coincidente con la pressione atmosferica, poiche all’interno deve trovarsi anche il contenuto energetico equivalente al lavorofatto per formare la bolla.

33

F

F

α

ad

coe

FT

a)

F

FF

coe

adT

α

b)

r*

Figura 3.8: Composizione di forze di adesionee di coesione al bordo di fluidi reali

α

R

r*

a)

P P

P

P h

i

e

Atm Atm

r*

= PAtm

b)

Figura 3.9: Effetto capillare

Per quanto espresso nella (3.21) se una bolla di raggio maggiore viene a contatto con una bolla di raggiominore, la bolla piu grande cresce inglobando la bolla piu piccola (fenomeno di coalescenza), perche laPi della bolla piu piccola e maggiore della Pi della bolla piu grande e quindi l’aria della bolla minoreviene spinta all’interno della bolla maggiore. Questo fenomeno e vistosissimo facendo interagire gocce dimercurio (che ha una τ molto alta) di diverso diametro.Una stima dello spessore x di una bolla di acqua saponata puo essere fatta considerando che da una gocciadi acqua saponata del diametro di 2 · r = 2 mm si puo ottenere una bolla del diametro di 2 · R = 20 cme conseguentemente, dalla conservazione della massa di acqua saponata fra la piccola goccia e la grandebolla, otteniamo che x ≃ (r3/3 · R2) = 3 · 10−6 cm.Dobbiamo anche considerare le interazioni che il fluido reale in esame puo avere col materiale di cui ecomposto il recipiente che lo contiene. Ovviamente queste interazioni si manifesteranno solo nelle zonedi confine fra il contenitore e il fluido (cioe nelle parti a contatto con le pareti del recipiente). In questezone di “confine” si eserciteranno sistemi di forze di van der Waals fra le molecole del contenitore e quelledel fluido; mentre le molecole del contenitore sono vincolate a un sistema rigido (e quindi non si possonomuovere altro che tutte insieme!), le molecole del fluido hanno capacita di muoversi anche rispetto all’in-sieme di tutto il fluido, quindi saranno quelle che potranno subire effetti dinamici evidenti. Le forze che ilcontenitore esercita su elementi di volume del fluido si dicono “forze di adesione” del fluido al contenitore.Esaminiamo le molecole del fluido che si trovano nello strato di interfase fra il fluido e l’esterno (general-mente l’aria). Mentre abbiamo visto precedentemente che i “vuoti” presenti nelle sfere d’azione di questemolecole nello strato di interfase generano il sistema di forze di tensione superficiale, in vicinanza dellepareti del recipiente dobbiamo anche considerare le forze di adesione che le pareti (rigide) del contenitoreesercitano sulle molecole del fluido. Con riferimento alla Fig.3.8, nella parte a) e rappresentata la situa-zione in cui la forze di adesione e molto piu grande della forza di coesione (tensione superficiale), per cui

la forza risultante ~FT e diretta verso l’esterno del fluido e conseguentemente la superficie di interfase deveassumere un andamento con la concavita rivolta verso l’esterno (dovendo rappresentare una superficieequipotenziale all’equilibrio). Questa e la condizione in cui il fluido “bagna” le pareti del contenitore,tipico dell’acqua nel vetro (si esamini, anche con una semplice lente d’ingrandimento l’andamento dellasuperficie di interfase dell’acqua in un bicchiere). Si definisce angolo di contatto α l’angolo formato dallaparete interna del contenitore e dalla tangente alla superficie d’interfase al punto di contatto estremofluido-parete.Invece nella parte b) della Fig.3.8 Fcoe e molto maggiore rispetto a Fad e la ~FT e diretta verso l’internodel fluido e la superficie d’interfase assume un andamento con la concavita verso l’interno del fluido, cioeil fluido “non bagna” le pareti del contenitore e questo succede mettendo mercurio nel vetro. In questocaso l’angolo di contatto α e maggiore di π/2.Nel caso a) di Fig.3.8 la forza FT , che agisce essenzialmente solo nel tratto r∗, tende a spostare verso l’altole parti superficiali del fluido. Immergiamo allora nel fluido un tubetto cilindrico, dello stesso materialedi cui sono fatte le pareti del contenitore, e di diametro 2 · r∗. Vedremo che il fluido si innalza nel tubettodi un tratto h (v. Fig.3.9); in queste condizioni il tubetto si comporta da “capillare” 19. Consideriamo

19Non ha senso affermare che tubetti di vetro del diametro di 1 mm sono capillari, bisogna precisare con quale fluido si

34

la situazione nella parte b) di Fig.3.9: la superficie concava verso l’alto puo essere considerata come lasuperficie limite di una goccia di liquido, in cui la pressione interna alla goccia e Pi = Patm, mentre laPe esterna alla goccia e la pressione che si esercita immediatamente al di sotto della superficie concava(interna alla colonnina di fluido risalita nel capillare). Possiamo quindi scrivere la legge di Laplace (3.21),che in questo caso diviene

Patm − Pe =2τ

R, con R =

r∗

cosα(3.22)

Per la legge di Stevino la colonnina di fluido di altezza h crea, a livello della superficie orizzontale diequilibrio del fluido con l’aria circostante al capillare, una pressione idrostatica che deve equilibrare lapressione atmosferica Patm, cioe Patm = Pe +ρ ·g ·h (ρ densita del fluido), che inserita nella (3.22) forniscela classica formula di Jurin

h =2τ cosα

ρ · g · r∗ (3.23)

A es., in un capillare di un filo d’erba del diametro di 2r = 0.2 mm, l’acqua (τH2O ≃ 75 dyne/cm)puo risalire fino a un’altezza massima di ≃ 15 cm. Si possono realizzare una varieta di esperienzequalitative, ma molto istruttive, immergendo vegetali, fiori, fili di lana, in acqua colorata (con coloriaccesi) e misurando la quota di risalita segnalata dalla zona colorata sul vegetale dopo un po di tempo.E estremamente utile, per una comprensione anche visiva degli effetti collegati alla tensione superficiale,andare a esaminare (con una buona lente d’ingrandimento) la formazione di una goccia (cominciandoovviamente con l’acqua, ma sarebbe molto opportuno proseguire con liquidi di differente τ), utilizzandoun contagocce o una pipetta da laboratorio. Inizialmente dall’estremita del beccuccio del contagocce sinota la formazione di un rigonfiamento di liquido, che aumenta fino a formare una goccia, che ricordala forma di un involucro di plastica riempito di liquido pesante, cioe con una strozzatura attaccata albeccuccio che sorregge la goccia vera e propria, grosso modo sferica. La goccia si stacca e cade quando ilsuo peso non e piu bilanciato dalle forze di tensione superficiale che agiscono sullo strato interfasale dellagoccia e il ciclo riprende con la goccia successiva. Analizziamo questo processo.Con riferimento alla Fig.3.10, la formazione naturale della goccia (senza cioe la pressione che si esercitatramite il finale flessibile del contagocce) e dovuta al lavoro fatto dalla forza peso contro la tensionesuperficiale per creare la superficie della goccia. La formazione della goccia si realizza con il passaggio diun volume di liquido contenuto nel cilindro di altezza ∆h e diametro 2r, posto alla fine del beccuccio, nelvolume occupato dalla goccia, che al distacco si suppone (con ragionevole approssimazione dell’evidenzasperimentale) avere un diametro 2R, essendo 2R il diametro esterno del beccuccio. Uguagliando i volumidel cilindretto e della goccia si ottiene ∆h = (4R3/3r2). Per una stima di prima approssimazione 20

possiamo porre r = R/2 e quindi ottenere che ∆h = 16R/3. Il baricentro del liquido che forma la goccia,entro il canale della pipetta, e in P1, posto a una quota (∆h)/2 = 8R/3 dalla fine della pipetta, mentreil baricentro della goccia e in P2, a quota −R dalla fine della pipetta. Quindi avremo che il lavoro fattodal campo di gravita sara

mg · (P1 − P2) = mg(8

3R+R) = mgR

11

3≈ 4mgR (3.24)

mentre il lavoro fatto contro le forze di tensione superficiale per formare la superficie della goccia e 4πR2τ ,che uguagliato al risultato della (3.24) fornisce la formula di Tate

m =π · R · τ

g(3.25)

La massa m della goccia puo essere misurata con una bilancia di precisione, eseguendo la pesata sullamassa di varie gocce (da 10 a 20; per numeri superiori il tempo di attesa per la formazione delle gocce etroppo lungo rispetto al tempo di evaporazione del liquido delle gocce formate e si avrebbe una misurasottostimata) e conseguentemente si puo dedurre il valore di τ . Il valore effettivo di R della goccia none facilmente misurabile e, se non si vuol utilizzare la nostra approssimazione (Rgoccia ≃ Rugello), si puo

mette a contatto perche le forze di adesioni possono cambiare enormemente. La definizione di capillare e relativa a un bendefinito materiale che contiene un ben preciso fluido.

20La modellizzazione esatta della forma delle gocce in campo di gravita e piuttosto complicata ed e il soggetto di studidi idrostatica avanzata e di Fisica Matematica.

35

R

P

P ∆h

2r2R

1

2

Figura 3.10: Schemadi formazione di unagoccia

acqua(1)

aria(2)

olio(3)τ τ

τ

1,21,3

2,3P

Figura 3.11: Schema delle tensioni superficiali agenti suuna goccia d’olio

ricavareRgoccia dalla massa della goccia tramite la relazionem = 4πR3ρ/3, che fornisceR = (3m/4πρ)1/3.Inserendo tale espressione nella (3.25) si arriva finalmente a

τ =mg

πR=mg

π·(

4πρ

3m

)1/3

=g

π·(

4πρm2

3

)1/3

(3.26)

La misura di τ tramite la legge di Tate e molto semplice e significativa, da un punto di vista qualitativo,ma poco accurata da un punto di vista quantitativo, potendo raggiungere approssimazioni dell’ordine del10 − 20 % rispetto al valore effettivo di τ anche a causa di tutte le ipotesi che abbiamo introdotte persemplificare la trattazione (e la vecchia storia della coperta corta!).Un altro aspetto interessante e dato dall’esame del comportamento degli strati interfasali di 3 fluidi reali acontatto, come a es. succede per una goccia di olio posta sulla superficie di acqua in aria. Con riferimentoalla Fig.3.11 ci sono 3 forze agenti sul punto P, intersezione delle 3 superfici di interfase:

1. la tensione superficiale H2O − aria τ1,2 ≈ 7.3 · 10−2 J/m2;

2. la tensione superficiale H2O − olio τ1,3 ≈ 2.0 · 10−2 J/m2;

3. la tensione superficiale aria− olio τ2,3 ≈ 3.5 · 10−2 J/m2;

Si vede subito che τ1,2 > τ2,3 + τ1,3 e quindi il punto P non puo rimanere fermo ed e trascinato dallaforza risultante ad “allontanarsi” sempre piu dalla posizione del centro della goccia, cioe la goccia di oliotende a spandersi sempre piu sull’acqua e a disporsi su tutta la superficie libera dell’acqua fino a trovarsi(al limite) in uno strato quasi monomolecolare.Questo fenomeno puo essere utilizzato per determinare vari parametri “microscopici” a livello molecolare.Per es., una goccia del diametro di 1 mm di benzene (C6H6) si puo spandere su acqua pura, formandouna “macchia” del diametro di circa 102 cm, che possiamo supporre essere costituita da uno stratomonomolecolare di benzene. Dati dati sopra riportati si puo stimare il raggio rmol e il volume Vmol

molecolare del benzene. Da questi, conoscendo la densita del benzene ρ(C6H6) = 0.881 g/cm3, si puo

infine ricavare una stima della massa mmol e del numero di Avogadro NA.Lo spessore dello strato monomolecolare della “macchia” sara infatti

h =4r3

3R2≃ 6.67 · 10−8 cm, rmol ≃

h

2= 3.33 · 10−8 cm Vmol ≃ 1.55 · 10−22 cm3 (3.27)

36

Se indichiamo con Vmole il volume di una mole di C6H6, avremo che il numero di Avogadro NA =Vmole/Vmol. Il peso molecolare di C6H6 e 78, la sua massa molare e µ = 78 g e quindi il volume di unamole di C6H6, Vmole, sara

Vmole =µ

ρ= 88.5 cm3; NA =

Vmole

Vmol≃ 5.9 · 1023 molecole/mole;

m(C6H6) =µ

NA= 1.28 · 10−22 g

D’altra parte la massa molecolare del C6H6 si puo anche esprimere come m(C6H6) ≃ 78·(massa protone) ≃78 · 1.67 · 10−24 g ≃ 1.3 · 10−22 g in accordo col valore trovato precedentemente.Elenchiamo alcuni esempi degli effetti della tensione e della capillarita su fatti e azioni della nostra vitaquotidiana:

• foglie, piccoli insetti, se posati con delicatezza sulla superficie dell’acqua, galleggiano, mostrandoche nelle zone di contatto creano “piccoli avvallamenti” nella superficie libera dell’acqua. Se affon-dati oltre il limite dello strato superficiale affondano. Anche un ago metallico (unto!), posto condelicatezza parallelamente alla superficie in quiete dell’acqua, galleggia, mentre affonda se postoortogonalmente alla superficie;

• il contorno esterno della superficie dell’acqua in un bicchiere di vetro mostra con evidenza che l’acquatende a “bagnare” il vetro, cioe che le forze di van der Waals esistenti fra le molecole d’acqua equelle del vetro creano una forza di adesione che tende a “tirare” verso la parete di vetro le porzionid’acqua vicine alla parete;

• l’acqua viene respinta (non bagna!) da superfici contenenti sostanze “grasse”; l’acqua non bagna varitipi di verdure (cavolo, bietola, carciofi, ecc.) per l’alto valore della tensione superficiale dell’acqua,che tende a formare la “goccia” e a non distendersi sulle foglie delle verdure (e quindi a “lavarle”).Basta salare l’acqua, diminuendone la tensione superficiale, per lavare bene tutte le verdure;

• per sfogliare facilmente le pagine di un libro o di un giornale ci umettiamo le dita della mano,cosı come per raccogliere piccoli pezzetti di carta o granelli di sabbia o minuzzole di pane ecc.(servendoci delle forze di tensione superficiale del velo di umido sulla nostra pelle per applicare leforze necessarie per compiere le azioni descritte);

• le molecole organiche, di elevato peso molecolare, sono efficienti tensioattivi dell’acqua, cioe nediminuiscono molto il valore della tensione superficiale. Infatti queste molecole organiche (menodense dell’acqua) tendono a disporsi sulla superficie libera dell’acqua e con le loro elevate dimensionimolecolari (si pensi che il peso molecolare dell’albumina, una delle proteine piu leggere, e di 64500,cioe oltre 3 ordini di grandezza superiore all’acqua) separano fisicamente le catene superficiali deilegami a idrogeno delle molecole d’acqua, riducendone drasticamente il valore della tensione su-perficiale. La prima presenza di una sofferenza renale e data dallo spumeggiare dell’urina, cioe lapresenza anche di tracce di albumina riduce drasticamente la tensione superficiale dell’urina e siformano cosı bolle stabili sulla superficie, ben visibili;

• lavare qualcosa significa toglierne il “sudicio” che la ricopre, che e essenzialmente composto damolecole grasse, idrorepellenti. Per ottenere tale risultato bisogna quindi cercare di diminuirela tensione superficiale dell’acqua (per “stenderla” sulla superficie da lavare), ma anche cercare diutilizzare grosse molecole che abbiano un estremo idrofilo (cioe che tenda ad attaccarsi alle molecoled’acqua) e l’altro estremo lipofilo (cioe che tenda ad attaccarsi alle molecole di sudicio). Questoe il sapone, che fino a varie decine di anni fa veniva prodotto facendo bollire acqua di cenere dilegna (la cosidetta acqua di lisciva, ottenuta filtrando acqua calda in cenere di legna e contenenteidrossidi di Na e K, elementi elettropositivi che tendono ad attrarre la parte negativa [O−−] dellamolecola d’acqua) e grasso animale fino a creare un composto omogeneo, che, filtrato e raffreddato,formava il sapone da bucato casalingo. Adesso la preparazione dei saponi industriali e molto piuelaborata e complessa, ma sicuramente meno ecologica;

• alcuni prodotti alimentari (burro, maionese, gelati e simili) sono emulsioni stabili di liquidi e aria.Nei liquidi c’e sempre una notevole quantita di acqua, che, per la sua elevata tensione superficiale,

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non puo formare emulsioni stabili (mai provato a “montare” l’acqua con un frullino..!?). Solo conliquidi biologici (panna, latte, uova) si riescono a formare (manovrando con sapienza e delicatezza,senza farle “impazzire”!) le ottime emulsioni stabili che poi gustiamo come delizie del palato;

• quando si chiude un rubinetto si nota che la portata del rubinetto si riduce, cioe il flusso di liquidodiminuisce e il filetto di liquido che esce dal rubinetto si riduce man mano che si chiude il rubinetto.A un certo momento, pero, si nota che il flusso non si riduce ulteriormente ma cambia drasticamenteil regime di fuoriuscita del liquido, che incomincia a gocciolare (v. formazione delle gocce e leggedi Tate illustrate precedentemente).

• ci sono innumerevoli evidenze quotidiane dell’applicazione pratica della legge di Jurin, cioe deglieffetti della capillarita nelle nostre azioni concrete quotidiane, e ne riportiamo alcune, stimolandogli insegnanti di Fisica a trovarne altre, magari coinvolgendo in questa ricerca gli studenti:

* sia l’asciugamano che la federa sono fatte di cotone, ma per asciugarsi usiamo l’asciugamano;

* sia la carta assorbente da cucina che la carta A4 da stampante sono fatte di cellulosa, ma incucina usiamo la carta assorbente;

* sia il cotone idrofilo (o le garze) che la tela dell’ombrello sono fatte di cotone, ma usiamo ilcotone idrofilo (o le garze) per trattare le ferite o spandere disinfettante sulla pelle;

* invece il tessuto della tela di un ombrello, di una tenda da campo, di un soprabito impermeabile,e fatto di sottile filo di cotone, ma con una trama cosı serrata e fitta che e impossibile perl’acqua piovana (che tende a formare gocce) penetrarvi all’interno;

* sia la stoppa che lo spago sono fatti di canapa, ma usiamo la stoppa per togliere l’olio dalfiasco del vino (e perche veniva messo un velo d’olio nel fiasco del vino?);

* sia i savoiardi che i biscotti duri, tipo le “marie”, sono fatti con farina + uova + zucchero, mausiamo i savoiardi per inzupparli bene di liquore o altre essenze liquide;

* sia il pane tipo bolognese che il pane duro tipo “galletta” sono fatti di farina + acqua, mausiamo il pane bolognese per inzupparlo (con gusto!) nel caffe-latte.La spiegazione e sempre la stessa per tutti questi casi.

• la linfa risale (vincendo la gravita) nei capillari (notare l’aiuto dell’etimologia!) delle piante erbacee;lo si mette facilmente in evidenza ponendo le piantine in acqua contenente un colorante;

• l’umidita (cioe l’acqua contenuta nel terreno) risale (vincendo la gravita) in strutture porose (muriesterni, cantine senza vespaio, vasi di coccio, ecc.);

• al mare le “formine” si fanno utilizzando sabbia fine umida, non asciutta ma nemmeno moltobagnata. Infatti si deve formare attorno a ogni granello di sabbia (che possiamo supporre sferico di

raggio R, formato da silice avente una densita ρ = 2.7 g/cm3), uno strato di acqua dello spessore

dell’ordine di rmax21; ogni granello resta al suo posto (e non cadra) se la forza originata dalla

tensione superficiale dell’acqua (attaccata al granello) risulta ≥ della forza peso del granello, cioe2πRτ ≥ ρg 4

3πR3, da cui si ottiene che R =

√

3τ/2ρg ≤ 2 mm con τ = 70 dyne/cm, R ≤ 1.3 mmcon τ = 30 dyne/cm e R ≤ 0.75 mm con τ = 10 dyne/cm. Da questi valori si deduce chesono i granelli piu piccoli quelli che rimangono “attaccati” fra loro, anche se τ si riduce. Inoltrel’acqua marina, contenendo NaCl, quando evapora crea un sottile reticolato di sale che riesce atrattenere solo i granelli piu piccoli (e quindi piu leggeri). Questo fenomeno si osserva anche quandola sabbia si asciuga sulla nostra pelle: i granelli molti fini rimangono attaccati alla pelle in modomolto persistente, perche basta l’umidita residua della pelle a trattenerli. Notiamo che per formareformine (o castelli di sabbia) stabili dobbiamo battere e comprimere bene la sabbia umida, in mododa cercar di formare solo lo strato di acqua di spessore rmax. Tuttavia una pressione eccessiva puoprovocare una “asciugatura” eccessiva della sabbia, compromettendo la stabilita del manufatto.Questo effetto di pressione sulla sabbia umida si nota anche rimanendo in piedi sul bagnasciuga:l’area sotto e circostante il piede sembra piu “asciutta”. Infine con la sabbia asciutta non si formano

21Se lo strato di acqua ha uno spessore > rmax si creerebbe attorno al granello di sabbia anche una pellicola di acquanella quale le molecole risulterebbero tutte soggette a una mutua forza di attrazione nulla, quindi soggette solo al loro pesoe, conseguentemente, faciliterebbero la caduta del granello a terra.

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strutture stabili: si puo solo formare una struttura conica (monte di sabbia) avente al massimo unangolo di circa 30 col piano orizzontale, imposto dal coefficiente di attrito statico dei singoli granellidi sabbia fra loro.Le “formine” sarebbero piu stabili se fatte con sabbia d’acqua dolce, umidificata con acqua distillata(perche?);

• per stendere l’intonaco sui muri i muratori (dopo secoli di esperienza) usano sabbia di fiume, moltofine, mescolata a malta “grassa” (cioe contenente circa la meta di calce spenta), e piuttosto umida.Adesso sappiamo spiegarci perche;

• utilizzando le spugne (sia naturali che in materiale plastico) si vede con chiarezza l’effetto dellacapillarita sull’assorbimento dei liquidi da parte delle strutture spugnose;

• esistono una grande varieta di giochi che si possono realizzare con le bolle di sapone che rendonoevidenti i fenomeni che avvengono sulla superficie di interfase fra la pellicola del liquido (sottileparete) e l’aria interna ed esterna alla bolla.

Ci sono stati notevoli sviluppi tecnologici nello studio del comportamento dei materiali soggetti a forzeinterfasali. Sono stati creati materiali con caratteristiche igroscopiche molto elevate quali:

1. sostanze igroscopiche per attrazione coulombiana, es. cloruro di calcio CaCl2. Le molecole d’acquasono efficienti dipoli elettrici (O−− +2 ·H+); il CaCl2 si dissocia facilmente in acqua formando ioniCa++, che agganciano la parte negativa (O−−) della molecola d’acqua, e 2 ioni Cl−, che aggancianola parte positiva (H+) della molecola d’acqua. In pratica con 1 g di CaCl2 si puo assorbire 0.5 gdi acqua, perche il CaCl2 si forma con molte impurezze. Inoltre alla fine del processo si forma unapoltiglia molto antiestetica per cui il suo uso e molto ridotto;

2. sostanze molto porose, es. gel di silice (SiO2), i cui granuli si formano con una struttura spazialemolto “porosa”, con reticolati di spessori dell’ordine del nm alternati a “vuoti” delle stesse dimen-sioni (circa 1/4 del volume del gel di silice secco e composto di aria, infatti ha una densita relativa di0.7). Presenta quindi una efficientissima capacita capillare e puo assorbire 0.35 g di acqua per ognigrammo di gel di silice secca. E fondamentale che a circa 130 oC (a pressione atmosferica standard)il gel di silice saturo d’acqua la libera in aria, sotto forma di vapore acqueo, rigenerandosi, cioeritornando allo stato di gel di silice secco, riutilizzabile quasi all’infinito;

3. polimeri poliacrilici, sintetizzati recentemente dalla chimica e di cui sono fatti i pannolini (per bam-bini, donne, adulti incontinenti e della cui ossessiva sponsorizzazione siamo quotidianamente afflittidalla reclame televisiva soprattutto nelle ore di pranzo e cena!). Sono sostanzialmente lunghe catenefiliformi di molecole di acido acrilico, intrecciate le une con le altre da un numero elevatissimo di cor-ti filamenti laterali (pensiamo a un piatto di spaghetti ai 4 formaggi, abbondantemente conditi conformaggio parmigiano, che si presenta come un insieme di spaghetti avviluppati da molti filamentilaterali di “filini” di formaggio parmigiano parzialmente fuso!), che terminano con un atomo di Nao di K. I metalli alcalini (Na, K) si legano facilmente anche ad acidi organici (come l’acido acrilico)mettendo in compartecipazione con la fine della catena acrilica l’elettrone di valenza e quindi dive-nendo spazialmente terminali elettropositivi (Na+ o K+). A contatto con le molecole fortementedipolari di H2O la parte negativa O−− si lega tenacemente a due terminali elettropositivi Na+ oK+. Queste catene di acido acrilico con metalli alcalini hanno dimensioni lineari che vanno daiµm fino ad alcune decine di nm, con un rapporto superficie/volume molto elevato, in grado quindidi assorbire una grande quantita di acqua. Per acqua pura si puo ottenere un assorbimento diMH2O ∼ (0.5 ÷ 3.) · 103 Mac. acril.. Se in acqua ci sono sali (o peggio tensioattivi) l’assorbimentoscende a MH2O ∼ 30 ·Mac. acril.. L’acqua assorbita va a diminuire l’attrazione chimica fra le strut-ture filiformi dell’acido acrilico, facendone aumentare il volume totale. Il sistema non perde l’acquaassorbita anche se sottoposto a una pressione esterna “ragionevole” (i legami con gli ioni alcalinisono piuttosto forti) e, nel caso dei pannoloni, il peso di una persona normale non riesce a creareuna pressione sufficiente a far espellere i liquidi assorbiti dalla struttura (ottima cosa soprattuttoper le persone vicine!). A es., un pannolone puo assorbire tranquillamente fino a 0.5 kg di H2O.Questi materiali si trovano anche sul fondo delle vaschette per alimenti umidi nelle confezioni deisupermercati (per carne, pesce, verdure fresche).

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ho

o

S F

v

Figura 3.12: Definizione operativa dellaviscosita

Figura 3.13: Moto laminare in un condottocilindrico

Se mescolato con granuli di gomma si viene a formare un materiale con proprieta praticamenteimpermeabili se vincolato all’interno di una struttura rigida. Infatti se c’e penetrazione di acqua lastruttura poliacrilica aumenta di volume, andando a comprimere i granuli di gomma che, dispostiuniformemente nella struttura spaziale del composto, vanno a sigillare ogni successiva infiltrazionedi acqua nella struttura. Questa tecnica e stata utilizzata come intercapedine del tunnel ferroviariosotto la Manica.

3.5 Viscosita

Consideriamo un fluido reale in quiete in un contenitore e appoggiamo sulla sua superficie, tramiteopportuni sostegni, un corpo solido di area S in modo che penetri oltre la superficie di interfase (v.

Fig.3.12). Applichiamo al corpo una forza ~F , il cui modulo puo essere misurato tramite un dinamometro.Si nota che gli strati di fluido attaccati al corpo (ovviamente nel caso in cui sia “bagnato” dal fluido)si muovono insieme al corpo, mentre gli strati piu profondi tendono ad avere velocita sempre minori,decrescenti in modulo linearmente con la profondita, rispetto alla v superficiale, fino ad arrivare a unavelocita nulla sul fondo del contenitore. Questa fenomenologia e valida solo se le velocita in gioco sonosufficientemente piccole, in modo da garantire che il moto dei vari strati di fluido avvenga in modolaminare, cioe senza la formazione di vortici all’interno del fluido (questo puo essere messo facilmentein evidenza usando coloranti inorganici). Il fenomeno piu evidente e che l’applicazione di una forza dimodulo costante F non provoca accelerazione sul corpo S ma assicura solo costanza al modulo dellasua velocita v, evidenza che sul corpo in movimento deve agire simultaneamente una forza di attritodi modulo F . Dopo serie di misure su corpi di diversa S, con diversa v, con lo stesso corpo e liquididiversi, con diverse profondita h, si arriva a una relazione fenomenologica che riassume il comportamentoquantitativo delle varie misure

F = η · S vh

(3.28)

L’andamento sperimentale dei moduli delle velocita dei vari strati di fluido, lineare e crescente in funzionedella quota h, ci suggerisce di prendere in esame il moto del singolo strato di fluido, di spessore ∆h esituato alla generica quota h, avente velocita v(h), rispetto allo strato immediatamente superiore convelocita v(h+∆h) = v(h)+∆v e a quello immediatamente inferiore con velocita v(h−∆h) = v(h)−∆v.Questo strato si muove con v(h) costante sotto l’azione di una forza F (h + ∆h) = F (h) + ∆F , direttacome ~v(h) e operata su di esso dallo strato superiore “per attrito”, e da una forza (ma diretta in sensoinverso, cioe frenante) F (h − ∆h) = F (h) − ∆F , operata dallo strato inferiore. Con un ragionamentosimile a quello fatto per dedurre la (3.28) otteniamo

F (h) = η · S∆v(h)

∆h(3.29)

dove η e il coefficiente di viscosita del fluido considerato, misurato nel S.I. in kg/(m· s) (unita chiamatapoiseuille e talvolta decapoise, perche maggiore di un ordine di grandezza della corrispondente unita di

40

misura di η nel sistema C.G.S., detta poise), decresce fortemente con l’aumento della temperatura, madipende molto meno dalle variazioni di pressione a cui e sottoposto il fluido in esame. A es., per l’acquapura η(20 C) ≃ 1.00 · 10−3kg/(m · s) e descesce del 2.5% per l’aumento di 1C di temperatura. Per igas η e inferiore mediamente di circa 3 ordini di grandezza ma decresce al diminuire della temperatura(come spiegato dalla teoria cinetica dei gas) 22.In effetti la (3.29) vale rigorosamente per fluidi inorganici classici, detti fluidi newtoniani; se vogliamodescrivere il comportamento viscoso di ogni tipo di fluido occorre modificare la (3.29)

F (h) = ξ · S[

∆v(h)

∆h

]n

(3.30)

Per n = 1, ξ = η(T, P ), cioe fluidi newtoniani. Per n 6= 1 la (3.30) puo essere scritta come

F (h) = ξ · S ·[

∆v(h)

∆h

]n−1

·[

∆v(h)

∆h

]

= ηn · S ·[

∆v(h)

∆h

]

(3.31)

con ηn = ξ(T, P ) · [∆v(h)/∆h]n−1 denominata viscosita globale.Se n < 1, ηn decresce per [∆v(h)/∆h] crescente, essendo (n − 1) < 0; i fluidi di questo tipo sono dettifluidi tixotropici, come il sangue, latte, creme base dei cosmetici ecc. In questi casi la viscosita globaleηn diminuisce man mano che la velocita del fluido aumenta; pensiamo quindi al vantaggio che ne traeil sistema circolatorio sanguigno, l’allattamento naturale, ma anche le procedure del makeup (quando lecreme di bellezza delle nostre belle signore si spandono piu facilmente man mano che procede il massaggio,invece di formare grumi e bacherozzi come fanno le creme di scarsa qualita) 23.Se invece n > 1, ηn aumenta per [∆v(h)/∆h] crescente e i i fluidi di questo tipo sono detti fluidi nonnewtoniani dilatanti, e spesso sono i collanti (la loro viscosita globale ηn aumenta man mano che lavelocita del fluido aumenta).Consideriamo adesso il moto (che supporremo laminare, cioe senza formazione di vortici) di un fluidonewtoniano in un condotto cilindrico orizzontale di raggio R (v. Fig.3.13). La evidente simmetriacilindrica del sistema ci suggerisce di utilizzare un sistema di coordinate cilindriche (x,r,ϕ), nel quale lasimmetria rispetto a ϕ ci permette di scomporre il sistema in cilindri infinitesimi, di spessore dr, centratisull’asse x, di lunghezza ∆l. Analizzando le forze che agiscono sulle superfici laterali di un cilindro assialeinfinitesimo generico 24, per effetto delle forze di attrito viscoso applicate dai cilindri elementari adiacential cilindretto considerato, e uguagliandole alle forze di pressione esercitate dal fluido sulle basi elementaridS = 2π · r · dr, cioe ∆P · dS, con ∆P = P − P ′, si arriva a dimostrare che in condizioni stazionarie

voR

rv(r)

Figura 3.14: Andamento parabolicodelle velocita di un fluido in motolaminare in un condotto cilindrico

l’andamento delle velocita del fluido viscoso nel condotto cilindricoha un andamento parabolico

v(r) =∆P

4η · ∆l · (R2 − r2) (3.32)

come rappresentato il Fig.3.14.Per valutare il flusso di materia che, in regime stazionario, transitanel condotto (quella che viene chiamata “portata”), basta valutarela quantita

Qm =∆M

∆t=

∫ R

0

ρ · v(r)2πr dr =πρ

8η·R4 ∆P

∆l(3.33)

che rappresenta la ben nota legge di Poiseuille. La quantita η/ρ = ν viene denominata viscosita cinemat-ica, con ovvio significato anche etimologico del termine.Vogliamo presentare anche una versione semplificata della dimostrazione della legge di Poiseuille proponi-bile anche a studenti liceali non a conoscenza del calcolo differenziale. Va loro detto esplicitamente che se

22Si consiglia di esaminare le tabelle dei coefficienti di viscosita di vari liquidi per riflettere sul loro comportamentosperimentale nell’uso quotidiano che ne viene fatto.

23L’industria dei cosmetici spende cifre cospicue per migliorare le prestazioni delle varie creme base, formate da fluiditixotropici.

24Rimandiamo per la dimostrazione completa al classico testo di G.Bernardini, Fisica Sperimentale, parte 1, ed. Veschi,Roma, 1954, oppure al manuale di C.Mencuccini-V.Silvetrini, Fisica 1, ed. Liguori, NA, 1996, dove la trattazione e fatta inmodo chiarissimo ed esauriente.

41

rappresentiamo il fenomeno naturale con una legge semplificata otterremo risultati approssimati rispet-to alle misure che poi si effettueranno realmente sui fenomeni analizzati. L’approssimazione sara tantomigliore quanto piu l’approssimazione introdotta nel modello matematico utilizzato sara equivalente allamodellizzazione corretta del fenomeno studiato.Con riferimento alla Fig.3.15 consideriamo il solido condotto cilindrico di raggio R in cui scorre

Rr

vo

A

B C

D

v(r)p

p

p

p

1

1

2

2

l

Figura 3.15: Rappresentazione lineare delle ve-locita radiali di un fluido in moto laminare in uncondotto cilindrico

un fluido viscoso in moto stazionario di densita ρ.Supponiamo che l’andamento dei vettori velocita deifiletti di fluido possa essere rappresentabile con unandamento lineare con la distanza r dal centro delcondotto

v(r) = v(1 − r

R) ;

∣

∣

∣

∣

∆v

∆r

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

−vR

∣

∣

∣

∣

(3.34)

Ricordiamo che il modulo della forza di attrito viscosoe fv = ηSl · (∆v/∆r), dove Sl = 2πR · l e la superfi-cie laterale dell’elemento cilindrico di fluido ABCD e,nella nostra approssimazione, (∆v/∆r) e la penden-za della retta inviluppo dei vettori velocita v(r) ed edata dalla (3.34). All’elemento di fluido ABCD e applicata dal fluido una forza di pressione data dafp = (p1−p2) ·S = ∆p ·πR2 e la stazionarieta del moto impone che debba necessariamente essere fp = fv

per cui

∆p · π ·R2 = η · 2π · R · l vR

; v =∆p ·R2

2ηl(3.35)

Si noti che il valore di v ottenuto semplicemente dalla (3.35) differisce per un fattore 2 dal quello esattovalutato dalla (3.32).La portata di massa del condotto sara semplicemente

Qm = ρS < v >=πρ

4η · l · R4 ∆P

l(3.36)

dove< v >= v/2 e la velocita media con cui avanza l’elemento ABCD di fluido considerato. Ovviamentela Qm ottenuta con la (3.36) differisce per fattore 2 dal valore ottenuto con l’uso della rappresentazioneparabolica delle velocita nel condotto cilindrico (eq. 3.33). Quello che si guadagna in semplicita di trat-tazione analitica si perde in precisione nella descrizione corretta dei risultati ottenibili. Contentiamociquindi della correttezza degli ordini di grandezza ottenuti.Notiamo nella (3.33) e nella (3.36) la dipendenza della portata Qm dal termine R4; a parita delle al-tre condizioni (η,∆P/∆l) una riduzione relativa ∆R/R nel raggio del condotto provoca una riduzionerelativa nella portata pari a 4∆R/R, di estrema importanza. Questo fatto e di grande rilevanza perla circolazione del sangue nei nostri vasi (si pensi a cosa possa accadere con una parziale occlusione diuna arteria o di una vena, es. trombi, ischemie, placche arterosclerotiche, embolie, e simili) e in tutti isistemi di condotte industriali in cui si debba garantire un flusso di materia stazionario (come circuiti diraffreddamento di impianti nucleari, pipelines per idrocarburi, acquedotti ecc.).Vogliamo infine trattare brevemente un argomento che spesso suscita interesse, soprattutto nella compo-nente maschile dell’uditorio, l’effetto Magnus 25. Consideriamo il moto di una sfera rigida e omogenea,di raggio r, che trasla con velocita ~V costante e orizzontale (rispetto a un fluido omogeneo, in quiete, conviscosita trascurabile) e ruotante con velocita angolare ω costante, verticale, passante per il suo centroC. Rispetto a un sistema di riferimento inerziale (S) (v. Fig.3.16) questa situazione non e stazionaria,perche il moto della sfera induce profondi cambiamenti locali nella situazione dinamica del fluido, chedipenderanno ovviamente dal tempo. Possiamo pero considerare una situazione “speculare” 26 pensandodi vincolare l’asse di rotazione ω della sfera a una guida orizzontale G (senza attrito) disposta lungo ~j efacendola investire da un fluido con velocita

25Ringraziamo sentitamente i colleghi proff. E. Landi-Degl’Innocenti e F. Rosso per gli utilissimi scambi di informazionie chiarimenti avuti con loro sull’effetto Magnus.

26La legittimazione teorica di questa procedura e data dalle proprieta delle funzioni armoniche, soluzioni dell’equazionedi Laplace, ∇2ϕ = 0, che descrive moti stazionari di fluidi incomprimibili, con velocita ottenibili da potenziali. Perapprofondimenti si consiglia il cap. 7 di F. Rosso - Istituzioni di Fisica Matematica, 2004.

42

ω ω

i

j(S)

V −VC C

A

B

b)a)

Figura 3.16: Sistema di riferimento per spiegare l’effettoMagnus

−~V , uniforme per grandi distanze d≫ r daC (teoricamente d → ∞). Assumendo cheil fluido a contatto con la superficie dellasfera sia “trascinato” dal moto di rotazionedella stessa 27, avremo che i filetti di flu-ido passanti in vicinanza dei punti A e Bdella sfera (v. Fig.3.16) avranno velocitarispettivamente

~vA = −(V−ωr)~i ; ~vB = −(V+ωr)~i

E evidente che ‖ ~vA‖ < ‖~[vB ]‖. Ricordan-do l’equazione di Bernoulli (3.3) si ricavache PA > PB nei filetti di fluido circostan-ti la sfera e quindi ci aspettiamo che sullasfera agisca una forza ~F , normale all’asse dirotazione della sfera e diretta secondo −~j.

O C

ω

+ ϕ

θ− V C

ω+ ϕ

− ϕ

r senθP(−

ϕ)

ϕ)

P(+

− V

− V

− V

b)a)

rr

equatore palla

A’(θ)

B’(θ)

− V

− V

P(

P(

+ϕ+π)

−ϕ−π)

Figura 3.17: Sistema di riferimento per spiegare l’effetto Magnus

Per ottenere un’espressione analiti-ca di ~F possiamo ragionare nel mo-do seguente. Con riferimento allaFig.3.17 consideriamo, per semplici-ta, la semisfera superiore della pallain moto. Essendo solidali con la pallaconviene adesso riferirsi a un sistemadi riferimento polare (θ, ϕ) centratonella palla. L’areola elementare at-torno al punto P (+ϕ), evidenziatanella Fig.3.17, a), possiede una veloc-ita ~v(θ,+ϕ) = (V +ωrsenθ)~uϕ, men-tre attorno al punto P (ϕ+π) la veloc-ita e ~v(θ, ϕ + π) = (V − ωrsenθ)~uϕ.Essendo il filetto di fluido, aderentealla corona sferica elementare consi-derata, in moto stazionario, applican-

do il teorema di Bernoulli, troviamo la differenza di pressione ∆p(θ, φ) = p(θ, ϕ+π)−p(θ,+ϕ) fra i puntiP (ϕ+ π) e P (+ϕ)

∆p(θ, ϕ) =1

2ρ[(V + ωrsenθ)2 − (V − ωrsenθ)2] = 2ρV ωrsenθ

∆p(θ, ϕ) insiste su l’areola elementare d2a = r2senθdθdϕ, su cui crea, conseguentemente, una forzaelementare, ortogonale a d2a,

d2F (θ, ϕ) = 2ρV ωr3sen2θdθdϕ

costante su tutta la semicorona sferica di raggio rsenθ e azimuth +ϕ. Mentre d2F (θ, ϕ) agisce lungo ladirezione ϕ→ ϕ+π (verso il basso della Fig.3.17), la forza elementare d2F (θ,−ϕ) agisce lungo la direzione−ϕ→ −ϕ− π (sempre verso il basso della Fig.3.17). Le componenti d2F (θ, ϕ)cosϕ e d2F (θ,−ϕ)cosϕ sicompensano, mentre si sommano (verso il basso) le componenti lungo la direzione A′(θ) → B′(θ).Quindi la forza totale agente su tutta la sfera sara data da 28

FT = 2ρV ωr3∫ π

0

senϕdϕ

∫ π

0

sen2θ dθ = 2ρπr3V ω = 2ρ r St V ω (3.37)

27Per assicurare questa condizione la superficie della sfera viene generalmente coperta da piccole asperita, come a esempioleggera peluria nelle palle da tennis, piccoli fori o piccole asperita nelle palle da golf e da ping-pong, cuciture evidenti neipalloni da calcio e rugby, ecc.).

28Ricordiamo che∫ π

0sen2θ dθ = π/2

43

con St = πr2 sezione trasversale massima presentata dalla sfera 29.Ritornando nel sistema di riferimento (S) di Fig.3.16 e ricordando che la Ft della (3.37) deve essere direttasecondo −~j, possiamo scrivere che

~FT = 2 ρ r St ~ω × ~V (3.38)

Un’interessante applicazione della forza trasversale al moto che si origina nell’effetto Magnus 30 e stata

Figura 3.18: Esempio di effettoMagnus su un pallone con giro

la progettazione (da parte dell’ingegnere tedesco A. Flet-tner, 1924) di una nave (la “Buchau”) che, utilizzando ilvento proveniente trasversalmente al moto e mettendo in ro-tazione due larghi cilindri/fumaioli, potesse ricevere una ~Ft

nella direzione del moto della nave. I risultati (non economi-ci) di questo esperimento e l’instabilita al rollio e beccheggioper venti molto forti (infatti e naufragata nei Caraibi nel1931!) hanno condotto all’abbandono di questo progetto.Questi studi sono stati pero ripresi negli anni 2000 in paesiscandinavi per lo sviluppo di catamarani definiti “ecologi-ci”.L’effetto Magnus e il fondamento fisico su cui si basa ilcosidetto “giro” che si imprime alla palla in vari tipi di giochi.Il bravo battitore di punizioni “a rientrare” (nel calcio) deveimprimere una forza impulsiva alla palla non solo direttalungo la traiettoria parabolica che desidera, ma anche conun componente trasverso, in modo da creare il moto di ro-tazione rispetto a un asse passante per il centro di massadella palla, che poi creera la differenza di velocita periferiche sulla superficie della palla, che darannoorigine alla FT , spiazzando i difensori e il portiere avversari (v. Fig.3.18).

3.5.1 Moto vorticoso e numero di Reynolds

Il moto laminare di un fluido in un condotto cilindrico e descritto dalle relazioni (3.32) e (3.33) solo sela velocita del fluido rimane “piccola”; aumentando il valore del termine ∆P/∆l si aumenta il valore delmodulo della velocita media nel condotto e, a un certo punto, si osserva che il moto del fluido diventaimprovvisamente disordinato, si creano al suo interno vortici, con complicati moti di rimescolamento frale varie parti del fluido. Sperimentalmente si e visto che e utile, ai fini della stima della velocita limiteche garantisce il moto laminare, definire una quantita adimensionale, detta numero di Reynolds, definitada

Re =v · d · ρη

=v · 2Rν

(3.39)

con ν = η/ρ coefficiente di viscosita cinematica e d dimensione travsersale del tubo.Per Re < 103 il moto e sicuramente laminare, mentre per Re > 105 e sicuramente turbolento, cioe convortici e rimescolamenti vari. Nella zona intermedia sono possibili varie situazioni. non completamentestabili; basta una minima perturbazione (colpo, asperita nella superficie del condotto, al limite anche unsuono violento) per far passare il regime da laminare a immediatamente turbolento. Innescato il regimeturbolento e piu difficile ritornare al regime laminare (occorre riportarsi a valori di Re < 103).Una giustificazione qualitativa dell’espressione di Re, data nella (3.39), e la seguente. L’aumento delmodulo della velocita media del fluido nel condotto porta, a un certo punto, che gli strati laminari difluido non riescono piu a seguire gli strati contigui e a rimanerci attaccati. Questo significa che le forzeinerziali, agenti sull’elemento di volume di fluido in moto laminare, diventano molto maggiori delle forzedi attrito, originate dalla viscosita, per cui questo elemento di fluido non procede piu nel suo moto

29Molte misure di FT , dovuta all’effetto Magnus, presenti nella letteratuta scientifica, si riferiscono al moto di palle dabaseball e non sono particolarmente coerenti fra loro. Consigliamo al lettore interessato L.J. Briggs, Am. J. Phys. 27, 589(1959) e R.G. Watts & R. Ferrer, Am. J. Phys. 55, 40 (1987).

30La (3.38) e in accordo col teorema di Kutta-Zukovskij dell’aerodinamica che afferma che per moti potenziali (cioe in

cui la ~V = ∇ϕ) la portanza ~Fl, cioe la forza per unita di lunghezza, su un cilindro ruotante con velocita angolare ~ω e data

da ~Fl = ρ~Γ × ~V , con ~Γ =∮

C~V · d~s vers~ω, circuitazione di ~V attorno al cilindro in moto.

44

ordinato, insieme con gli strati contigui, ma prosegue quasi isolandosi, e una minima perturbazione (chesicuramente si origina al distacco fra gli strati) crea un momento angolare che origina il moto vorticoso.Rendiamo quantitativo il ragionamento qualitativo descritto sopra

Re ≈ forze inerziali, Fin

forze d′attrito, Fatt(3.40)

Ma possiamo anche stimare che

Fin ≃ ∆p

∆t≃ ∆m

∆t· v ≃ Qm · v ≃ ρ · S⊥ · v2 (3.41)

Fatt ≃ η · Slateralev

d/2

che, sostituite in (3.40) danno

Re ≃ ρ · S⊥ · v2 · dη · Slat · v · 2

≃ ρvd

η(3.42)

che coincide con la definizione data nella (3.39).Per la valutazione della portata di un condotto cilindrico orizzontale in regine turbolento non vale piu,ovviamente, la legge di Poiseuille. Esiste una relazione fenomenologica che si esprime come

Q2m =

ρ ·R5

k· ∆P

∆l(3.43)

in cui Qm = ∆m/∆t e la portata di massa e k e una costante numerica sperimentale, che in molti casi dipratica utilita e dell’ordine di ≈ 0.4. E utile fare un confronto fra la portata di un condotto in regime dimoto laminare (o anche detto regime viscoso) e la portata dello stesso condotto ma in regime turbolento;possiamo stimare

Qm;turb

Qm; visc≈ ηρ−1/2 ·

(

∆P

l

)−1/2

·R−1.5 (3.44)

Nel S.I. il termine ηρ−1/2 ≈ 10−4.5, quindi possiamo dire che, dalla (3.44), risulta che Qm;turb ≪ Qm;visc,per cui e di grande importanza pratica (ed economica) cercare di mantenere il flusso dei liquidi nei con-dotti in regime di moto laminare (o viscoso) il piu a lungo possibile e di non far innescare il regimeturbolento.Una stima di Re nel caso di un condotto di 2 cm di diametro, in cui scorra acqua η ≈ 10−3, ρ ≈ 103

nel S.I., a una velocita di 2 m/s, ci porta a Re ≈ 4 · 104, al limite del regime laminare, ma in condizioniinstabili.E utile anche fornire una derivazione dimensionale di Re; sappiamo che deve essere una quantita adi-mensionale e che le grandezze fisiche coinvolte nella transizione dal regime laminare a quello turbolentosono ρ, v, d, η. Possiamo quindi scrivere l’equazione dimensionale per Re, nell’ipotesi (ragionevole) chel’espressione di Re(ρ, v, d, η) sia a variabili separate,

[Re] = [dαρβvγηδ] = [lα−3β+γ−δmβ+δt−γ−δ] (3.45)

da cui si ottiene, dopo qualche passaggio, imponendo che tutti gli esponenti delle grandezze fondamentalisiano nulli per garantire l’adimensionalita di Re

β

δ= −1;

γ

δ= −1;

α

δ= −1 (3.46)

che, sostituite nell’equazione dimensionale (3.45) per Re, forniscono la sua corretta definizione, tenendoconto che l’esperienza ci indica che Re ∝ η−1 e quindi che δ = −1.

3.5.2 Resistenza di un fluido reale al moto di un corpo

Consideriamo il moto di un corpo solido in un fluido reale (v. fig.3.19); si possono avere sostanzialmentedue casi: a) il moto del fluido attorno al corpo e laminare, con assenza di vortici (figura inferiore); b) ilmoto avviene con produzione di vortici posteriormente e lateralmente al corpo. Diciamo subito che per la

45

descrizione quantitativa dei fenomeni un parametro fondamentale e la velocita relativa del fluido rispettoal corpo, cioe sostanzialmente e lo stesso considerare il corpo vincolato e fermo e il fluido che si muovecon velocita relativa ~v rispetto al corpo, oppure il fluido in quiete e il corpo in moto rispetto al fluido convelocita relativa ~v 31.Si applichi al corpo un dinamometro per misurare il modulo della forza ~F necessaria per mantenerecostante la velocita del corpo stesso durante il moto (ovviamente sara uguale alla risultante

Figura 3.19: Schema del motodi un corpo immerso in un flui-do reale in condizioni viscose (inbasso) e turbolenti (in alto)

delle forze di attrito da parte degli strati di fluido che scorrono sul-la superficie del corpo e nelle vicinanze, scorrimenti dovuti al motodel corpo in studio). Anche in questo caso si definisce un numero diReynolds (per il corpo in movimento) Re,c dato da

Re,c =v · d · ρη

=v · dν

(3.47)

in cui i simboli hanno lo stesso significato di quelli usati precedente-mente per la definizione del numero di Reynolds per il moto in uncondotto cilindrico, fatta eccezione per d, che, in questo caso, indicala dimensione trasversale del corpo in moto. Fissato il corpo, cioe d,fissato il fluido in cui il corpo si deve muovere, cioe ν, l’unico grado diliberta per variare Re,c resta v.Ogni corpo possiede un proprio valore critico per Re,c, indicato conRe,crit, per il quale se Re,c ≪ Re,crit il moto del fluido circostanteil corpo e sicuramente laminare, mentre per Re,c ≫ Re,crit il moto esicuramente turbolento e vorticoso. In questo caso, pero, il passaggiodal regime laminare a quello turbolento e quasi continuo: si iniziano aformare alcuni piccoli vortici, poi, con l’aumentare della velocita rel-ativa, se ne formano altri, sempre in numero maggiore e con maggiori dimensioni, fino ad arrivare a unregime di turbolenza estrema (si pensi al moto di un motoscafo da corsa e al sistema di gorghi, onde, evortici che produce in acqua).In regime laminare (o di moto viscoso) la forza che agisce sul corpo in moto puo essere espressa da

Fv = k · η · d · v (3.48)

con k fattore di forma, che dipende dalla forma “aerodinamica” del corpo in moto. Per una sfera, k = 3πper cui la forza che agisce su un corpo sferico di raggio R in moto con velocita v risulta essere

Fv = 6π · η · R · v (3.49)

La (3.49) e nota come legge di Stokes.In regime turbolento la forza che agisce sul corpo in moto diventa

Ft = c · S · ρ · v2 (3.50)

dove c e sempre un fattore di forma (che per la sfera vale 0.25), S e la sezione trasversale del corpo inmovimento (per una sfera πd2/4), ρ la densita del fluido e v la velocita relativa del fluido rispetto al corpoin moto.Valutiamo il rapporto Ft/Fv per una sfera

Ft

Fv=c · S · ρ · v2

k · η · d · v =cπ

4k· dρ · v

η≈ 10−2 · Re,c (3.51)

Si comprende, quindi, che, per un corpo in moto in un fluido reale, il superamento della velocita relativatale da far aumentare Re,c oltre il limite dell’innesco del regime turbolento causa un improvviso e violentoaumento della forza frenante il suo moto nel fluido, anche di vari ordini di grandezza, secondo il valore

31E sostanzialmente quello che succede con l’uso delle gallerie del vento, in cui si studiano gli effetti aereodinamici su uncorpo fermo rispetto a un flusso di aria che si muove rispetto al corpo. I risultati sono poi utilizzati per produrre corpi chesi muovono “meglio” in aria (ferma!) con la stessa velocita relativa studiata nella galleria del vento; si comprende quantosia importante questa tecnica in tutte le applicazioni al moto di veicoli e areomobili.

46

raggiunto da Re,c. Per una sfera Re,crit ≈ 104, quindi un corpo sferico di 2R = 1 m che si muove in acqua,ν ≃ 10−6 (S.I.), con una velocita di 10−2 m/s, e caratterizzato da un Re,c ≈ Re,crit e quindi gia iniziaa generare sistemi di piccoli vortici nell’acqua anche a questa piccola velocita. Invece delfini, cetacei esimili hanno Re,crit ≈ 107 e quindi con 2R ≈ 1 m possono permettersi velocita dell’ordine di 10 m/s quasisenza innescare un regime turbolento. Infatti il loro nuoto e estremamente efficiente, elegante, morbido.Questo e il motivo per cui nei decenni recenti si siano sviluppati studi approfonditi sui fattori di formae sulla struttura “acquadinamica” di questi bellissimi abitanti del mare per migliorare le prestazioni deinatanti, ma soprattutto dei mezzi subacquei (in particolare sommergibili, che hanno assunto sempre piula conformazione simile a quella dei cetacei e capodogli). L’uomo cerca di carpire i segreti dell’efficienzaevolutiva della natura (si pensi anche alle imitazioni delle tecniche di volo degli uccelli per i profili degliaerei), ma non si preoccupa quasi mai di osservarne le regole di rispetto per l’ambiente nel quale dovran-no vivere i propri discendenti, a dimostrazione, ancora una volta, che la “stupidita umana → ∞”, comediceva saggiamente Einstein.

3.5.3 Sedimentazione e centrifugazione

Consideriamo il moto di un corpo rigido, omogeneo di massa m, diametro trasversale d, volume V edensita ρ in un fluido di densita ρl e coefficiente di viscosita η, che parta da fermo; esso e soggetto allapropria forza peso mg, alla spinta di Archimede −mg(ρl/ρ) e alla forza di attrito viscoso −kη · d · v(abbiamo assunto come positiva la direzione di discesa verso il basso). La sua equazione di moto sara

m · a = m · g · (1 − ρl

ρ) − kη · d · v (3.52)

Si vede subito che la massima a sara all’inizio, per t = 0, con v = 0; appena v cresce in modulo adiminuisce e avremo, a un certo istante, che a = 0 e questo avverra per una velocita limite vs, dettavelocita di sedimentazione, data da (v. 3.52)

vs =ρ · V · g(1 − ρl

ρ )

kη · d (3.53)

Se il corpo e assimilabile a una sfera di raggio r avremo

vs =2

9·r2ρ · g(1 − ρl

ρ )

η(3.54)

E ovvio che vs aumenta per r che aumenta e per ρ crescente, quindi le sfere di diametro maggiore e didensita piu alta hanno una velocita di sedimentazione piu elevata. Infatti un fiume in piena (per l’elevatovalore della velocita dell’acqua) trasporta materiale di ogni tipo e dimensione; si nota che, nella fase di“stanca” della piena, i sassi e le pietre piu grandi, quindi con vs elevate, sedimentano al centro del fiume,dove la velocita di scorrimento e maggiore (v. profilo parabolico delle velocita 3.14), mentre la sabbiafine, caratterizzata da un basso valore di vs, sedimenta vicino alle rive del fiume, dove la velocita discorrimento e piccola.A livello biologico (inserendo nella (3.54) i dati per le macromolecole biologiche) si ottengono valore di vs

dell’ordine di 10−6−10−7 m/s; poiche le distanze tipiche su cui avviene la sedimentazione sono dell’ordinedella decina di cm, ne segue che i tempi di sedimentazione per gravita sarebbero dell’ordine di giorni. Siapplica allora non solo la g del campo di gravita, ma si immette il materiale in una potente centrifuga,che applica un campo “centrifugo” (ricordare le forze fittizie!) ω2 · R, che puo raggiungere anche valoridell’ordine di 106 g, ottenendo cosı tempi di sedimentazione centrifuga di pochi minuti. Questa tecnicae molto utile in biologia per separare molecole di diverso peso molecolare, che avranno quindi diverse vs

a parita di campo centrifugo. Possiamo quindi riscrivere la (3.54) come

vs,centrif =2

9·r2ρω2R(1 − ρl

ρ )

η(3.55)

Dividendo vs,centrif per ω2R otteniamo il cosidetto coefficiente di sedimentazione s

s =ρV (1 − ρl

ρ )

kdη(caso generale)

47

s =2

9·r2ρ(1 − ρl

ρ )

η(sfera)

L’unita di misura utilizzata per s e lo svedberg, che corrisponde a 10−13 s.s dipende fortemente dalla temperatura, soprattutto tramite η. Il valore di s e ottenibile da misuredi grandezze macroscopiche (vs,centrif , ω,R) ed e legato alle proprieta della particella sedimentante(ρ, V, k, d) e del fluido in cui avviene la sedimentazione (ρl, η). Per risolvere tutte le incognite occor-rono quindi altre misure (a es., la misura dei coefficienti di diffusione, stima dei pesi molecolari ecc.), maquesti aspetti esulano dal contesto in cui ci stiamo muovendo in questa sede.

3.6 Pressione osmotica

Una soluzione chimica e un insieme omogeneo in cui una sostanza (generalmente solida), il soluto, vienedisciolto (a livello molecolare) in un solvente (generalmente un liquido). Si pensi all’acqua salata, al caffezuccherato ecc. Per la soluzione Si definiscono la concentrazione cs = ms/V come il rapporto fra lamassa di soluto ms e il volume della soluzione, la concentrazione molare (o molarita) come cM = ns/V ,dove ns e il numero di moli di soluto disciolto in soluzione, e la frazione molare x = ns/(ns + nsolv),definita da rapporto fra il numero di moli di soluto disciolto in soluzione rispetto al numero totale di molicontenute nella soluzione. Ci occuperemo di soluzioni diluite per le quali x≪ 1; in questo caso V coincide

Figura 3.20: Schema dell’effetto della pressione osmotica inpresenza di una parete semipermeabile

praticamente col volume di solvente in-iziale. Per le soluzioni diluite tuttele quantita fisiche coinvolte risultanosperimentalmente esprimibili con re-lazioni lineari fra loro e questo sem-plifica enormemente la trattazione deifenomeni.Con riferimento alla Fig.3.20 consideri-amo un tubo a U riempito parzialmentecon solvente, in cui sia inserita una mem-brana semipermeabile 32; nella parte de-stra del tubo a U mettiamo una picco-la quantita di soluto, per formare unasoluzione diluita. Dopo un po’ di temposi osserva che il livello della soluzione in-izia ad aumentare rispetto a quello dellaparte sinistra occupata da solvente puro(che contemporaneamente si abbassa) fi-no a quando il sistema si trovera in equilibrio con un aumento totale di quota h rispetto alla parte sinistra(dove si trova ancora solvente puro). A tale differenza di livello corrispondera una differenza di pressioneidrostatica ∆p fra le due parti del tubo a U . Chiaramente la soluzione dovra esercitare una pressioneidrostatica Π = ρ·g ·h (ρ densita del solvente) sulla membrana semipermeabile. Sperimentalmente si trovache Π risulta, per soluzioni diluite, proporzionale a cM , mantenendo la soluzione a temperatura costante,mentre, mantenendo costante cM , Π risulta proporzionale alla temperatuta assoluta T della soluzione ela costante di proporzionalita ha il valore della costante R dei gas perfetti. Quantitativamente

Π = cM R T (legge di van′t Hoff) (3.56)

Ricordando la definizione di cM otteniamo che

Π · V = ns ·R · T (3.57)

32Una membrana semipermeabile consente il libero passaggio del solvente attraverso la sua parete ma non al soluto. Puoessere realizzata con una porzione di membrana ricavata da tessuto biologico [animale o vegetale, a es. un sottile stratodi pergamena vegetale] oppure sinteticamente facendo, a es., precipitare elettroliticamente ferrocianato di rame in un settoporoso, come puo essere una parete di terracotta non verniciata.

48

La pressione Π e detta pressione osmotica della soluzione diluita considerata.E notevole che la (3.57) risulti formalmente identica alla equazione di stato dei gas perfetti; significache le condizioni fisiche che venivano descritte quantitativamente nell’equazione dei gas perfetti devonorappresentare anche le condizioni fisiche nella soluzione considerata. Le molecole del solvente sono liberedi muoversi in tutto il recipiente (la membrana semipermeabile non offre ostacolo apprezzabile), mentrele molecole di soluto (che “trasportano” anche molecole di solvente a cui sono “agganciate”) urtano sullamembrana semipermeabile, venendone respinte, quindi variando la loro quantita di moto di 2 · m · v,essendo m la massa e v la velocita prima dell’urto di ogni molecola di soluto. Sappiamo che la pressionesu una parete da parte di un gas e generata dal valor medio della variazione di quantita di moto totale∆QT = 2 ·m · v ·NT di NT particelle di gas urtanti, divisa per l’intervallo di tempo durante il quale sivaluta ∆QT e divisa per la superficie S su cui avvengono gli urti. Quindi Π sara generata, nel nostrocaso, dagli urti delle molecole di soluto sulla membrana semipermeabile, che, supposta rigida, reagisceelasticamente applicando alla soluzione una pressione in valore assoluto uguale a Π, che e proprio quellache garantisce alla colonnina di soluzione h di rimanere in equilibrio 33.Soluzioni diverse ma aventi la stessa Π si dicono isotoniche.La pressione osmotica ha un’enorme importanza in biologia; tutti gli scambi di sali, nutrienti e prodottidi reazioni biologiche fra cellule, tessuti, ecc, sono influenzati dalla pressione osmotica; a es., se in unacellula esiste una concentrazione molare di cM ≈ 0.3 moli/dm3 a temperatura di 20 C → 293 K, la suaΠ vale circa 8 Atm. Si comprende quindi l’impatto che questa grandezza fisica possa avere nei processidi scambio a livello cellulare.La pressione osmotica e anche responsabile (insieme ad altri fenomeni di natura piu specificamente bio-logica) della salita della linfa nei vasi vegetali degli alberi; infatti le radici sono ricche di elementi nutrientie sali minerali e con una cM ≈ 5 · 10−2 moli/dm3 si provoca una Π che (dalle (3.56) e Π = ρgh) causa larisalita della linfa fino a 12 m di altezza. E la pressione osmotica presente nelle radici delle viti (ricche dizuccheri, soprattutto a fine estate) che, alle piogge primaverili, dopo la potatura dei tralci a fine inverno,provoca il cosidetto pianto della vite, cioe la caduta di gocce di linfa dai tagli della recente potatura.

3.7 Le equazioni fenomenologiche delle leggi di trasporto

Riscriviamo alcune leggi che abbiamo dedotto in vari settori della Fisica Generale e che ci porterannoa interessanti conclusioni sulla efficacia (ma forse anche sulla bellezza) delle descrizioni quantitative deifenomeni naturali che sono tipiche della Fisica.La legge di Poiseuille descrive essenzialmente il principio della conservazione della massa in un condottocilindrico di raggio R, lunghezza ∆x, soggetto a una differenza di pressione ∆P = Pingresso − Puscita, diun fluido viscoso di coefficiente di viscosita η e densita ρ in moto laminare nel condotto

∆M

∆t=πρ

8η· ∆P

∆x·R4 =

ρ · R2

8η· S · ∆P

∆x(3.58)

Notiamo che QM = ∆M/∆t (detto anche portata) rappresenta il flusso di massa che attraversa qualunquesezione del condotto cilindrico nel tempo ∆t.La legge di Fourier sulla conduzione del calore Q attraverso una lastra piana (indefinita), di spessore∆x e costituita da un materiale di conducibilita termica k, soggetta a una differenza di temperatura∆T = Tparete iniz. − Tparete fin. supposta costante tra le due pareti isoterme di superficie S, si esprimetramite la ben nota equazione della conduzione

∆Q

∆t= k · S∆T

∆x(3.59)

Combinando la prima con la seconda legge di Ohm per le correnti elettriche stazionarie possiamo scrivere

∆q

∆t=

1

ρe· S∆V

∆l(3.60)

dove i = ∆q/∆t e l’intensita di corrente che scorre in un filo di lunghezza ∆l, sezione S, resistivitaelettrica ρe, sottoposto a una differenza di potenziale ∆V ai suoi estremi e ∆q e la quantita di carica

33In altre parole, e come se la membrana semipermeabile fosse un pistone che esercita una pressione Π sulla soluzione.

49

elettrica che fluisce attraverso qualunque sezione del filo nell’intervallo di tempo ∆t.Applichiamo la legge di Fick per i processi di diffusione al caso della solubilita di un soluto, di massa ms,in un solvente. La legge (fenomenologica) si scrive in questo caso come

∆ms

∆t= h · S · ∆cs

∆x(3.61)

dove h indica il coefficiente di solubilita del soluto, S la superficie totale del soluto a contatto del solvente,∆cs/∆x il gradiente radiale della concentrazione del soluto cs

34, e ∆ms/∆t rappresenta il flusso di massadi soluto che diffonde nella soluzione nell’unita di tempo.La (3.61) esprime chiaramente gli aspetti operativi che, spesso inconsapevolmente, si compiono quando sieffettuano soluzioni nella nostra vita quotidiana (salare l’acqua, zuccherare bevande, preparare coloranti,diluire miscele, ecc.). Affinche il termine ∆ms/∆t abbia il massimo valore possibile (significa minimizzareil tempo per poter disporre della soluzione finale!), quindi occorre rendere massimi i tre termini a destradell’uguaglianza nella (3.61). Sappiamo che h e generalmente una funzione monotona crescente dellatemperatura, quindi useremo solvente caldo; inoltre per aumentare S (a parita di ms che deve andarein soluzione) useremo frammentare al massimo il soluto (usare sale fine o zucchero a velo rende piuveloce le operazioni relative!) e infine per assicurare che ∆cs/∆x sia massimo occorre provocare nellasoluzione moti convettivi stocastici, in modo da riportare continuamente solvente fresco a contatto delsoluto e quindi rendere elevato il gradiente ∆cs/∆x (infatti si usa girare il caffe, rigirare l’acqua nellaquale abbiamo gettato il sale ecc.). In realta queste operazioni sono svolte spesso in modo non razionale,perche si usa girare un attrezzo (cucchiaino nel caffe, mestolo nell’acqua, ecc.) con velocita angolareuniforme provocando moti circolari ordinati nella soluzione; la conseguenza e che al centro del recipientela velocita della soluzione e molto bassa, quindi il gradiente della concentrazione resta a un valore basso(non arriva solvente fresco a contatto del soluto) e alla fine si nota un accumulo di soluto residuo al centrodel recipiente. Il modo corretto e quello di muovere l’attrezzo (cucchiaino, mestolo, ecc.) in modo casuale,in direzione radiale rispetto al recipiente ma in tutte le direzioni angolari, assicurando moti convettivinon ordinati nella soluzione per ottenere una soluzione omogenea e uniforme in tempi rapidi.Esaminando la struttura delle 4 equazioni (3.58), (3.59), (3.60), (3.61) si vede immediatamente chepresentano tutte la stessa struttura: la variazione rispetto al tempo di una quantita estensiva (M , Q, q,ms), rappresenta il flusso della grandezza considerata attraverso la sezione S del condotto ed e ugualea un coefficiente, che dipende dalle sostanze considerate e dal fenomeno in esame, per la sezione S,per il gradiente di una grandezza intensiva (∆P/∆x, ∆T/∆x, ∆V/∆l, ∆cs/∆x). Conseguentemente leconnessioni logiche e le soluzioni ai problemi che riguardano questi fenomeni saranno dello stesso tipoformale, cioe lo sforzo fatto per comprendere come si evolve uno di questi fenomeni ci fornisce facilmentegli strumenti per comprendere cosa succede anche agli altri.Le 4 equazioni (3.58), (3.59), (3.60), (3.61) possono essere scritte anche in un altro modo

∆P =8η · ∆xρ · R2 · S · ∆M

∆t= Ri ·

∆M

∆t, con Ri =

8η · ∆xρ · R2 · S (3.62)

∆T =∆x

k · S · ∆Q

∆t= Rt ·

∆Q

∆t, con Rt =

∆x

k · S (3.63)

∆V =∆l

c · S · ∆q

∆t= Re ·

∆q

∆t, con Re =

∆l

c · S (3.64)

∆cs =∆x

h · S · ∆ms

∆t= Rs ·

∆ms

∆t, con Rs =

∆x

h · S (3.65)

in cui Ri indica la resistenza idraulica, Rt la resistenza termica, Re la resistenza elettrica e Rs la resisten-za alla solubilita dei vari componenti coinvolti nei fenomeni analizzati. Da quanto sappiamo sulla primalegge di Ohm sui circuiti elettrici, possiamo concludere che le leggi per le resistenze in serie (che dannoluogo a una resistenza totale uguale alla somma delle varie resistenze) e le resistenze in parallelo (incui si sommano i reciproci delle resistenze) valgono anche per le combinazioni di vari elementi dotati diresistenza negli altri fenomeni. Si pensi a connettere diversi condotti per il passaggio dell’acqua in serie oin parallelo, oppure a mettere vari materiali termicamente isolanti l’uno sull’altro (cioe in serie) per crearestrati con elevata efficienza isolante ecc. Si comprende immediatamente l’utilita di saper comprendere

34La concentrazione cs di una soluzione e il rapporto fra la massa di soluto ∆ms e il volume ∆V di soluzione in cui ∆ms

e contenuta.

50

l’essenza dei collegamenti logici e funzionali fra le diverse grandezze coinvolte nei fenomeni analizzati edi saperli ricondurre a schemi di comprensione unitari: e una delle tante bellezze della Fisica.Le (3.58), (3.59), (3.60), (3.61) sono state ottenute in condizioni stazionarie, in sistemi con spiccata sim-metria lineare (tipo muro) o cilindrica (tipo condotto) e con moti laminari.Possono essere scritte in modo locale, per qualunque geometria, senza le condizioni di stazionarieta, e, uti-lizzando gli operatori differenziali vettoriali (divergenza, gradiente, rotore) e i teoremi relativi dell’AnalisiMatematica (teorema della divergenza 35, teorema di Gauss, equazione di continuita [che esprime laconservazione di grandezze fisiche estensive] ecc.), si arriva sempre, in tutti e quattro gli argomenti fisiciconsiderati, a una delle fondamentali equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, di tipo parabolico36,

D(P ) · ∇2T =∂T

∂t(3.66)

che costituisce uno dei capitoli fondamentali della Fisica Matematica [D(P) e il cosidetto coefficientedi diffusivita, e ∇2 e il quadrato simbolico dell’operatore nabla, cioe l’operatore differenziale laplaciano

definito, in coordinate cartesiane, da ∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 ].

Illustriamo, come esempio, la derivazione della (3.66) nel caso della conduzione del calore. Supponiamodi considerare un mezzo omogeneo, isotropo, caratterizzato da densita ρ, calore specifico a pressionecostante cp e conducibilita termica k, e prendiamo una qualunque superficie Σ, contenente un volume V ,tutta interna (non deve nemmeno toccare la superficie esterna del mezzo considerato) al mezzo, in cui latemperatura T vari da punto a punto. La quantita di calore dQ scambiata da una porzione dm = ρ · dV ′

(interna a Σ) con l’esterno, nel tempo dt, per effetto di una variazione di temperatura dT = (∂T/∂t)dt,e espressa da

dQ

dt= cpρdV

′ ∂T

∂t(3.67)

L’incremento totale di quantita di calore, nell’unita di tempo, in tutto il volume V e dato da∫

V

cpρ∂T

∂tdV ′ (3.68)

Per la conservazione dell’energia (e quindi per la conservazione delle quantita di calore scambiate tra ilvolume V e l’esterno) la quantita di calore data dalla (3.68) deve essere uguale a quella trasmessa perconduzione attraverso la superficie Σ, cioe, scrivendo la (3.59) in modo locale, applicata al caso che stiamoconsiderando, otteniamo

k ·∫

Σ

dT

dn· ~ndσ = k ·

∫

Σ

∇T · ~ndσ (3.69)

Uguagliando le (3.68) e (3.69) otteniamo

cpρ

∫

V

∂T

∂tdV ′ = k ·

∫

Σ

∇T · ~ndσ (3.70)

Applicando il teorema della divergenza al secondo membro della (3.70) otteniamo

∫

V

∂T

∂tdV ′ =

k

cpρ

∫

V

∇ · (∇T )dV ′;

∫

V

∂T

∂tdV ′ =

k

cpρ

∫

v

∇2TdV ′ (3.71)

Essendo il volume V qualunque, ponendo D = k/(cpρ) coefficiente di diffusivita termica del mezzo,otteniamo la (3.66). Analogamente si puo procedere negli altri casi illustrati.Ovviamente queste ultime considerazioni non possono essere nemmeno accennate a studenti liceali (maanche a studenti universitari di laurea triennale!), ma le abbiamo volute menzionare per ribadire, ancorauna volta, la bellezza conoscitiva e concettuale della Fisica e gli intrecci, profondi e fecondi, che esistonocon la Matematica e che un buon docente di Matematica e Fisica deve cercare sempre di far apprezzaredai suoi studenti, chiaramente con esempi semplici.

35Il teorema della divergenza corrisponde alla definizione intrinseca dell’operatore differenziale divergenza: div~v = ∇·~v =

limV →0ΦΣ(~v)

V, dove Σ e una superficie chiusa contenente il volume V , centrato attorno al punto P dove e definito il vettore

~v e ΦΣ(~v) e il flusso del vettore ~v attraverso Σ.36Si veda il cap. 11 del testo gia citato di G.Boato per una presentazione piuttosto semplice, oppure il cap. VII del

classico testo di E.Persico: Introduzione alla Fisica Matematica, Zanichelli, BO, 1960.

51

Capitolo 4

Termologia

4.1 Trasmissione del calore

Gia nel termine che si usa (trasmissione) e presente, anche etimologicamente, l’idea che la forma discambio di energia fra sistemi, a diversa temperatura, chiamata scambio di quantita di calore (o spessosemplicemente, ma forse non molto esattamente, scambio di calore), implichi che nei sistemi reali questatrasmissione debba avvenire con una velocita finita. Esaminiamo brevemente le tre modalita classiche ditrasmissione del calore.

4.1.1 Conduzione

Si ha conduzione termica quando due corpi solidi, a differente temperatura, sono posti a contatto termicoe quindi si ha uno scambio di quantita di calore dal corpo piu caldo a quello piu freddo.Il modo piu semplice di descrivere il processo fisico della conduzione termica e quello di descriverequantitativamente la situazione stazionaria di una parete omogenea piano-parallela, le cui superfici e-sterne siano tenute a temperature diverse e costanti che creano una differenza di temperatura costante∆T = Tparete iniz. − Tparete fin. > 0. In tali condizioni misureremo un passaggio di quantita di calore∆Q, attraverso un cilindro (o un parallelepipedo) di lunghezze ∆x e sezione S, (posto ortogonalmentealla parete e isolato termicamente dall’esterno), in un intervallo di tempo ∆t secondo la cosidetta leggedi Fourier

∆Q

∆t= k · S∆T

∆x(4.1)

dove k e la conducibilita termica del materiale (omogeneo) di cui e formata la parete. Esaminando letabelle dei valori misurati di k per i diversi materiali (a temperature ambiente) si vede che esistonomateriali ottimi conduttori di calore (come Ag, Cu, Au), che hanno valori di k ≈ 102 J/(s m K), emateriali isolanti termici (come il sughero, lana animale, lana di vetro, terreno secco, aria secca ecc.) chehanno k ≈ 10−2 J/(s m K).La (4.1) si puo scrivere anche come

k · S · ∆T

∆Q=

∆x

∆t= v (4.2)

La quantita ∆x∆t = v rappresenta la stima della velocita con cui una quantita di calore ∆Q = 1 J si

propaga, per ∆T = 1 K e S = 1 m2, per conduzione nella direzione x. Per ottimi conduttori termici∆x/∆t ≈ 4 · 102 m/s, mentre per buoni isolanti termici ∆x/∆t ≈ 4 · 10−2 m/s. Notiamo che i mate-riali ottimi (o buoni) conduttori termici sono anche ottimi (o buoni) conduttori elettrici; ne possiamodedurre (intuitivamente, salvo approfondimenti ulteriori in sede di studi di elettrologia) che anche nellaconduzione termica sono gli elettroni di conduzione (elettrica ma anche termica!) che giocano il ruolofondamentale per questo trasporto di energia.Esaminiamo l’effetto della conducibilita termica sulla distribuzione della quantita di calore e della tem-peratura all‘interno di una sbarra conduttrice. Con riferimento alla Fig.4.1 una sbarra cilindrica, dimateriale termicamente conduttore, di sezione S (perimetro p =

√4πS), lunghezza l ≫

√S, avente in-

filati (in perfette condizioni di contatto termico) una serie equidistante di termometri Ti, viene scaldataall’estremo A con una TA costante, con TA ≫ TB, essendo TB la temperatura ambiente. Si tratta di

52

T T

T

TT

T T

A B

l

dx x

D

C

F

ES

A B

1

23

4 5

Figura 4.1: Sbarra conduttrice scaldata a un estremo

determinare l’andamento spaziale (a un certoistante) delle temperature indicate dai variter-mometri Ti.

1 L’equilibrio energetico dell’ele-mento di sbarra di lunghezza dx, posto alla di-stanza x dall’origine della sbarra, richiede chela quantita di calore (∆Q)CD che nel tempo∆t viene condotta attraverso la superficie CDsia uguale alla quantita di calore (∆Q)EF che,nello stesso intervallo di tempo, viene condottaattraverso EF e alla quantita di energia ∆Enche viene perduta per convezione attraverso lasuperficie laterale del cilindretto dx nello stessointervallo di tempo. In formule

∆QCD

∆t=

∆QEF

∆t+

∆En

∆t; k · S

[(

dT

dx

)

CD

−(

dT

dx

)

EF

]

= h · p · dx · (T − TB) (4.3)

dove il termine a secondo membro rappresenta il termine di trsmissione per convezione (vedi par.successivo). Notiamo che

(

dT

dx

)

CD

−(

dT

dx

)

EF

=d2T

dx2· dx = fracd2(T − TB)dx2 · dx (4.4)

che, sostituita nella (4.3) fornisce l’equazione differenziale lineare, omogenea, del secondo ordineacoefficienti costanti

d2(T − TB)

dx2= a · (T − TB), con a =

h · pk · S (4.5)

L’integrale generale della (4.5) e

(T − TB) = C1exp(√a · x) + C2exp(−

√a · x) (4.6)

che, con le condizioni al contorno T = TA per x = 0 e T = TB per x = l, con l → ∞ (vista l’ipotesidella sbarra molto lunga), fornisce la soluzione del nostro problema

(T − TB) = (TA − TB)exp(−√a · x) (4.7)

L’andamento esponenziale della distribuzione spaziale della temperatura lungo la sbarra e verificato benedalle misure dei termometri distribuiti lungo la sbarra (v. Fig.4.1). L’esperienza e piuttosto semplice,mentre la trattazione e difficilmente semplificabile.Alcune considerazioni tratte dalla vita quotidiana, in cui il nostro comportamento dimostrerebbe chesiamo a conoscenza delle leggi della conduzione termica (purtroppo questo e vero molto raramente!):

• i manici di padelle, romaioli, forchettoni da cucina, sciumarole sono molto lunghi;

• i manici delle pentole sono rivestiti di materiale termicamente isolante;

• le prese (o guanti da forno) per afferrare oggetti molto caldi sono riempiti di materiale tipo bambagia(in cui viene immagazzinata una quantita notevole di aria);

• per scaldare il contenuto di una recipiente (pentola, padella, ecc.), posto sulla fiamma del gas do-mestico, NON SI DEVE MAI aprire il gas a fondo creando una fiamma (sorgente di quantita dicalore) che abbia un diametro superiore al fondo del recipiente. La quantita di calore trasferita alcontenuto del recipiente e proporzionale SOLO alla superficie del recipiente a contatto della fiamma(fra l’altro bisognerebbe ricordare che la parte piu calda della fiamma e quella piu esterna [il “man-tello” della fiamma, spesso coincidente con il limite azzurro della fiamma], dove l’ossidazione del gase completa, essendo a diretto contatto con l’ossigeno dell’aria; in caso di fiamma sovrabbondantequesta parte della fiamma va SOLO a scaldare l’aria e a bruciare i manici del contenitore, oltre chead aumentare vistosamente la bolletta del gas!);

1L’apparato sperimentale descritto e detto di Wiedemann-Franz.

53

• durante l’inverno si deve proteggere il contatore dell’acqua (esposto generalmente in armadi amuro posti all’esterno) con materiali termicamente isolanti per evitare il congelamento dell’acquanell’indicatore di consumo del contatore (il ghiaccio ha una densita minore dell’acqua e quindispaccherebbe il vetro dell’indicatore con conseguente fuoriuscita di acqua allo scongelamento);

• gli idraulici proteggono i tubi di rame degli impianti idraulici con stracci umidi quando devonoeseguire saldature in vicinanza di apparati delicati (contatori, sensori di pressione o di temperaturaecc.);

• gli indumenti di lana (o, al limite, di qualunque fibra di origine animale, peli, capelli, ecc. che hannoun canalino vuoto al loro interno) o fibre sintetiche (tipo “pile”), che riescono a immagazzinare moltaaria al loro interno “tengono caldo”, mentre quelli di cotone o fibre vegetali compatte “non tengonocaldo”.

4.1.2 Convezione

Si ha “convezione” quando uno degli elementi posti a contatto termico e un fluido. In questo casoil riscaldamento di un elemento di fluido provoca una diminuzione di densita dell’elemento di fluido,e poiche viviamo nel campo di gravita, a causa della spinta di Archimede, questo elemento di fluido(non essendo vincolato a una struttura rigida) inizia a salire nel fluido rimanente creando un sistema dicorrenti, dette correnti convettive.Tali correnti si possono osservare facilmente ponendo sul fondo di unapentola con acqua un po’ di farina di semolino (o di mais) e scaldando il recipiente. Il fondo della pentolainizia a scaldarsi e si notano i primi grani di farina che tendono a muoversi verso l’alto. Aumentandola temperatura degli strati d’acqua a contatto del fondo della pentola le correnti convettive verso l’altoaumentano la loro portata e la farina tendera a muoversi tutta verso l’alto, per poi scendere di nuovoverso il basso appena le correnti convettive si siano raffreddate alla superficie dell’acqua.Una descrizione quantitativa fenomenologica degli scambi energetici in atto e data dall’equazione diNewton

∆Q

∆t= λ · S · ∆T (4.8)

dove ∆Q/∆t rappresenta il flusso di quantita di calore che attraverso la superficie S passa nel fluido aseguito della differenza di temperatura ∆T fra la parete solida e il fluido.Si raggiunge la fase di ebollizione (corrispondente a T = 100 C a pressione atmosferica standard) quandola tensione di vapor saturo nel fluido2 uguaglia la pressione atmosferica presente all’esterno del fluido. Aquel punto si formano una serie tumultuosa di bolle di vapore saturo all’interno del fluido, fenomeno cheviene detto ebollizione. E ovvio che se ci troviamo in ambienti con ridotta pressione atmosferica (comea es. in alta montagna) si raggiunge la fase di ebollizione dell’acqua a temperature inferiori a 100 C,cambiando il regime di cottura dei cibi.Alcune considerazioni di vita quotidiana legate a quanto detto finora:

• per una cottura uniforme gli spaghetti non possono avere diametro superiore a un limite massimo(dell’ordine di 1.0− 1.5 mm per pasta secca di grano duro); infatti la temperatura all’interno dellospaghetto cresce con velocita finita (e una propagazione per conduzione fra i vari strati concentricia simmetria cilindrica nello spaghetto) e durante il tempo di propagazione del calore verso gli stratipiu interni gli strati esterni gia arrivano a cottura per cui questi spaghetti giganti risulterebberoo scotti all’esterno o crudi all’interno. L’esperienza ragionata (ma a cui adesso possiamo arrivareanche con la comprensione fisica e conseguente modellizzazione matematica, argomento irrilevantedal punto di vista gastronomico!) ha portato a creare i “bucatini”, pasta di diametro maggiore di1.5 mm a crudo, che puo cuocere perfettamente avendo anche una superficie interna da cui il calorepossa penetrare all’interno della pasta per provocarne le modificazioni strutturali e organoletticheche chiamiamo cottura;

• per una cottura uniforme i cibi (o pezzi di cibi) devono avere grosso modo dimensioni confrontabilifra loro (v. argomentazione precedente). Mettendo a esempio a cuocere patate di diversa dimen-sione, otterremo che le piu piccole arriveranno a essere praticamente disfatte quando le maggiorisaranno ancora crude al loro interno;

2Si riguardi il paragrafo dell’equazione di Clapeyron e argomenti correlati nella parte di Termodinamica del programmadi Fisica Generale 1.

54

• per risparmiare energia (e soldi in bolletta) sarebbe bene spengere la fiamma del gas un po’ primadel termine della cottura e lasciare che il tutto rimanga per qualche minuto alla temperatura diebollizione. Per migliorare l’efficienza di questa procedura bisognerebbe isolare termicamente ilrecipiente dopo lo spegnimento della fiamma; infatti le vecchie (e sagge) contadine usavano farfinire di cuocere cibi a lunga cottura (lesso, fagioli, ceci, ecc.) togliendoli dal fuoco e rinvoltandola pentola (o il paiolo) in una vecchia coperta di lana e lasciar finire di cuocere lentamente e senzaspesa (ma occorreva avere tempo, pazienza e attenzione, cose che purtroppo sono desuete in questitempi frenetici e forse un po’ folli);

• i liquidi raggiungono prima l’ebollizione se i recipienti hanno il coperchio. In tal modo tutta l’ener-gia ceduta al liquido va ad aumentare l’energia interna del liquido (sostanzialmente quindi la suatemperatura), minimizzando il lavoro di espansione del vapore verso l’esterno (e questo ce lo diceil primo principio della termodinamica!);

• e conveniente salare l’acqua quando si butta la pasta, perche la presenza di sale (cioe l’esistenza diuna soluzione) aumenta il valore della temperatura di ebollizione a parita di pressione atmosfericaesterna (v. effetto ebullioscopico);

• perche si “soffia” una sostanza troppo calda (la minestra nel cucchiaio o il caffe, il the, ecc.) perraffreddarla;

• perche per raffreddare un liquido caldo conviene passarlo in diversi recipienti freddi (invece dimetterlo in frigo come purtroppo spesso viene fatto in modo irrazionale);

• perche non si deve MAI mettere in frigo sostanze calde, ma farle arrivare a temperatura ambiente(o metterle all’esterno se d’inverno) e poi collocarle in frigo;

• perche su strade ghiacciate si spande sale (abbassamento del punto di congelamento per effettocrioscopico);

• perche e irritante (per chi conosce un briciolo di Fisica) veder decongelare cibi mettendoli nel fornoa microonde (consumo insipiente di energia), quando con un minimo di preveggenza si potrebbe farscongelare il cibo a temperatura ambiente togliendolo dal congelatore qualche ora prima dell’utilizzo;

• per raffreddare ambienti in estate potrebbe essere conveniente nebulizzare acqua; le goccioline insospensione evaporano e sottraggono calore all’ambiente abbassando piano piano la temperaturadell’ambiente. Questo sistema viene usato talvolta per ambienti con uscita esterna, mentre per gliinterni aumenterebbe la concentrazione di umidita degli ambienti con conseguenze non desiderate;

• il problema del corretto “tiraggio” di caminetti e stufe: affinche il fumo della combustione si incanalivelocemente nel camino, soprattutto nella fase di accensione iniziale, (e non ristagni languendo nellastanza dove avviene la combustione, evento spesso catastrofico per la quiete familiare!) occorre chesi crei il massimo ∆T possibile (v. (3.59) e (4.8)) fra la zona della prima combustione e l’esterno(cioe la sommita del camino). Poiche la stanza in cui si sta formando la fiamma si trova certamentea una temperatura intermedia fra quella esterna e quella circostante la prima fiamma, conviene(anche per evitare l’asfissia degli astanti!) aprire una finestra (o una porta) e creare cosı un alto∆T nella zona della prima fiamma, che faciliti l’inizio della salita nel camino dei gas di combustionee anche l’afflusso di aria “fresca” (ricca di ossigeno) sulla fiamma. I vecchi muratori mettevanoin comunicazione il fornello della cenere dei caminetti con l’esterno tramite un piccolo tubo diferro, rifornendo quindi continuamente di aria fresca l’ambiente della combustione, e dicevano che ilcaminetto doveva poter respirare, se no “soffocava anche lui”, quasi con un tocco poetico nei riguardidi un fenomeno ritenuto quasi sacro, il fuoco. Sprazzi di una cultura ormai perduta, purtroppo;

• in inverno, con la scusa di “cambiare l’aria delle stanze” (cosa necessaria), si lasciano gli ambiential freddo esterno per ore, necessitando di grandi quantita di energia per riportarsi a temperaturedegne di una vita civile, quando si dimostra che nell’arco di 10-20 s l’aria di qualunque stanza sirinnova varie volte (visti i gradienti termici invernali fra l’esterno e l’interno delle civili abitazioni).Il grande problema dell’isolamento termico delle abitazioni (ma, in generale, di tutti gli ambientiutilizzati per attivita umane) e di estrema importanza per gli alti costi economici (e di inquinamento

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collegato) che puo produrre. Sarebbe molto istruttivo se nelle scuole si sviluppassero progetti dieducazione scientifica sui temi del risparmio energetico, sull’autosufficienza energetica, ecc., basatisu solide conoscenze fisiche e scientifiche (spesso si sentono dire scemenze inaudite su questi temisui media divulgativi), facendo capire che anche gli aspetti applicativi della Fisica sono importanti,interessanti e stimolanti, nella consapevolezza che gli attuali nostri studenti diverranno molto presto“cittadini”, che vogliamo produttivi ma responsabili.

4.1.3 Irraggiamento

L’irraggiamento e il processo di emissione e assorbimento di energia raggiante da parte dei corpi, cioeriguarda l’emissione e l’assorbimento delle onde elettromagnetiche, di varia lunghezza d’onda, da partedi corpi e sostanze.La sorgente di energia raggiante per eccellenza e per noi il Sole, che ci garantisce la vita. Se esponiamoqualunque oggetto alla luce del Sole questo si riscalda, manifestazione evidente che l’oggetto ha assorbitoenergia. Lo stesso oggetto emette energia raggiante, ma di lunghezze d’onda diverse a seconda dellatemperatura a cui si trova durante il processo di emissione. Inoltre il riscaldamento dell’oggetto e diverso(cioe si trovera a temperature diverse dopo lo stesso tempo di esposizione alla medesima radiazione solare)a seconda che sia verniciato oppure no, e a seconda del colore (e della composizione chimica!) della vernice(bianco → resta abbastanza fresco, nero → diventa molto caldo). Viene quindi l’idea che il colore nerocaratterizzi un assorbitore (ma anche un emettitore) di energia raggiante piu efficiente degli altri colori.Ma il colore e solo una sensazione fisiologica del nostro occhio; in termini fisici dobbiamo riferirci soloalla lunghezza d’onda (o alla frequenza) delle radiazioni elettromagnetiche assorbite ed emesse dal corpoin studio. Inoltre una descrizione fisica corretta delle proprieta emettitrici del corpo dovra essere basatasu grandezze fisiche ben definite operativamente. Consideriamo quindi una superficie dS di un corpo cheemette energia raggiante dEν nel tempo dt nell’angolo solido dω nella direzione θ rispetto alla normale adS e nell’intervallo di frequenze ν → ν + dν; avremo che dEν sara proporzionale alle quantita descritte,in formule

dEν = Rν dS cosθ dω dt dν; Rν =dEν

dS cosθ dω dt dν(4.9)

dove Rν , detta radianza (o intensita della radiazione emessa) della sorgente, rappresenta la potenzaraggiante emessa dall’unita di superficie emittente, in direzione normale, nell’angolo solido unitario, perintervallo unitario di frequenze attorno a ν. Nel sistema S.I. e misurata in W/(m2 sterad Hz).Spesso la radianza viene definita in termini di emissione in funzione della lunghezza d’onda e allora lasua definizione operativa e

dEλ = Rλ dS cosθ dω dt dλ; Rλ =dEλ

dS cosθ dω dt dλ(4.10)

Rλ ha la stessa definizione data in precedenza, con la sola variante che l’energia emessa viene valutataper intervallo unitario di lunghezza d’onda attorno a λ. Nel sistema S.I. e misurata in W/(m2 sterad m);notiamo subito che per il passaggio dalla descrizione dell’emissione in termini di frequenza a quella inlunghezza d’onda occorre esprimere ‖dλ‖ = (c/ν2)· dν e d‖ν‖ = (c/λ2)·dλ, altrimenti si scrivono relazionisenza senso (e non torna nemmeno il bilancio energetico!).Proseguendo il percorso culturale della Fisica (cioe di cercar di comprendere e spiegare razionalmente lapiu ampia varieta di fenomeni naturali), si e definito il radiatore perfetto come quel radiatore capace diassorbire perfettamente qualunque radiazione, di qualunque frequenza, e capace di emettere qualunqueradiazione, di qualunque frequenza; a questa astrazione (a cui ci si puo avvicinare quanto si vuole) si edato il nome di “corpo nero” (con ottima scelta etimologica). Una possibile realizzazione sperimentaledi un corpo (sarebbe piu corretto dire, in questo caso, “cavita”) nero e illustrata in Fig.4.2; in un corposolido, mantenuto a temperatura costante T , si crea una cavita che comunica con l’esterno tramite unpiccolo foro, di area S, avente le pareti verniciate con nero fumo (o vernice “nera”). Dopo un temposufficientemente lungo (rispetto ai tempi di stabilizzazione dell’equilibrio termico) si puo supporre cheall’interno della cavita si sia stabilito l’equilibrio fra l’emissione raggiante delle pareti della cavita el’assorbimento di radiazione da parte delle pareti della cavita. Supponiamo che il tutto si trovi nel vuoto.Attraverso il piccolo foro di area S, una quantita (molto piccola3) di energia raggiante puo lasciare la

3La piccolezza di S e fondamentale per assicurare che le perdite d’energia, ma anche il rifornimento energetico perassorbimento di radiazione proveniente dall’esterno, siano trascurabili rispetto all’energia totale contenuta nella cavita.

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S Ω

T

T

T

T

T

Figura 4.2: Schema di un corpo neroFigura 4.3: Distribuzione della radianza di un corponero; notare l’ottimo accordo con le misure.

cavita verso l’esterno, entro un angolo solido Ω; sperimentalmente si misura che questa radiazione emessadalla cavita non dipende ne dalla sostanza di cui e fatta la cavita, ne dalla forma della cavita, ma dipendesolamente dalla temperatura T a cui e mantenuto il corpo in cui e ricavata la cavita. La radiazione emessadal “corpo nero” attraverso il piccolo foro S e detta radiazione del corpo nero e ha una distribuzionespettrale tipica e ben definita (v.Fig.4.3).La spiegazione teorica dello spettro del corpo nero fu uno dei maggiori problemi della Fisica classica dellafine del XIX secolo. Infatti la spiegazione classica di Rayleigh-Jeans (basata sulla statistica di Boltzmann,sul principio dell’equipartizione dell’energia e sull’elettromagnetismo classico) 4 portava alla relazione

Rν =2

c2kB T ν2; oppure Rλ =

2ckBT

λ4(4.11)

con c velocita della radiazione elettromagnetica nel vuoto, kB = R/NA costante di Boltzmann, T tem-peratura assoluta del corpo irraggiante. La (4.11) si accorda con la distribuzione dell’emissione di corponero solamente per ν → 0, ma soprattutto porta all’assurdo che il suo integrale, esteso fra 0 e ∞ diverge,portando a un assurdo fisico inaccettabile, perche l’intensita di qualunque radiatore e una quantita chedeve essere finita.Questo problema fu risolto nel 1900 da Planck, che postulo (lui sostenne come ipotesi di disperazione,avendone tentate di tutte per risolvere questo problema) che l’energia raggiante si potesse scambiare (frale pareti del corpo “nero” e il campo di radiazione elettromagnetica con cui era in equilibrio) non inmodo continuo ma secondo quantita discrete, in modo che ogni scambio elementare di energia raggiantefosse multiplo della frequenza della radiazione, cioe Eν = h · ν, con h costante. Giunse a formulare perla radianza del corpo nero (e quindi anche per l’intensita del campo di radiazione emesso) le seguentiespressioni

Bν(T ) =2hν3/c2

exp(hν/kBT ) − 1; Bλ(T ) =

2hc2/λ5

exp(hc/λkBT ) − 1(4.12)

Notiamo che le espressioni delle radianze del corpo nero 5 date nella (4.12) rispettano la condizione per cuideve essere che Bν(T )dν = Bλ(T )dλ. Il valore della costante di Planck, dopo decenni di misure accuratis-sime su vari effetti in cui l’ipotesi quantistica di Planck era ormai entrata in maniera decisiva, e diventatouna delle costanti fondamentali della Fisica, con un valore di h = (6.62606957± 0.00000029) · 10−34 Js.L’andamento della distribuzione di Planck dato dalle (4.12) si accorda perfettamente con le misure speri-mentali per la radianza del corpo nero (v. Fig.4.3).

4Per una presentazione accurata, ma ben comprensibile di rimanda al cap. XII del testo di C.Mencuccini - V.Silvestrini,Fisica II, ed. Liguori, NA, 1998.

5Useremo d’ora in avanti il simbolo B per indicare la radianza data dalla distribuzione di Planck, in accordo con lasimbologia generalmente usata in tutti i testi.

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Figura 4.4: Andamento delle planckiane con latemperatura

Un campo di radiazione descritto dalla distribuzionedi Planck (spesso detta “planckiana”), dovendo esserein equilibrio col corpo nero che lo genera, e detto incondizioni di Equilibrio Termodinamico (ET).In Fig.4.4 sono rappresentate le planckiane di cor-pi neri a diverse temperature; si vedono subito dueimportanti proprieta : 1) il massimo della radianzamonocromatica si sposta verso le lunghezze d’ondapiu corte (e corrispondentemente verso le frequenzemaggiori) con l’aumentare della temperatura T ; 2)l’area sottesa dalla planckiana e dall’asse delle ascisse(che rappresenta quindi la radianza integrale, cioe sututte le λ, emessa) cresce cospicuamente con l’au-mentare della temperatura T .Per determinare quantitativamente la prima propri-eta basta derivare la Bλ(T ) rispetto a dλ e annullarla;troviamo la condizione

dBλ(T )

dλ= 0 → xex

ex − 1= 5; con x =

hc

λkBT(4.13)

L’equazione trascendente xex

ex−1= 5 ha per soluzione grafica 6 x = 4.965, quindi segue che

λmaxT =hc

4.965kB= 2.898 · 10−3 m K (4.14)

dove λmax indica la lunghezza d’onda a cui si ha il massimo della radianza del corpo nero per la temper-atura T . La (4.14) e nota come la legge di spostamento di Wien (spostamento di λmax con T ). E unarelazione di grande importanza pratica e sperimentale, perche rappresenta un modo molto semplice perstimare la temperatura di un radiatore dalla semplice misura di λmax.7 Si pensi al processo di riscalda-mento di un pezzo di ferro: a temperatura ambiente (per semplicita circa 17C, cioe circa 290 K) emettepreferenzialmente a λmax ≈ 10 µm, quindi a noi sembra freddo (il nostro senso del tatto avverte soprat-tutto l’elevata conduzione termica del materiale, ma uno spettrografo infrarosso rivelerebbe facilmentequesta radiazione); aumentando la temperatura iniziamo a sentire una leggera sensazione di caldo (mentreλmax si sta spostando verso la zona dell’infrarosso “vicino”); aumentando ancora la temperatura si iniziaad avvertire sempre maggior caldo e il ferro inizia a colorarsi di rosso cupo, per virare sempre piu versoil rosso vivo fino al giallo, quando, per T = 1530 K fonde, cambiando di stato. A questa temperaturaλmax ≈ 1.9 µm, ma quello che vediamo col nostro occhio e solamente la coda delle lunghezze d’onda piucorte della planckiana a T = 1530 K.Se avessimo impostato la ricerca del massimo della planckiana espressa in funzione delle frequenzeavremmo ottenuto

dBν(T )

dν= 0 → xex

ex − 1= 3; con x =

hν

kBT(4.15)

per cui (risolvendo l’equazione trascendente contenuta nella (4.15)) avremmo dedotto

νmax

T=

2.831kB

h≃ 0.5901 · 1011 (sK)−1 (4.16)

Ovviamente la forma funzionale della (4.16) e diversa dalla (4.14), ma questo e ovvio data la differentedipendenza funzionale della distribuzione di Planck in funzione di λ o di ν.Se vogliamo determinare la radianza integrale (cioe su tutto il dominio spettrale emesso) basta cheintegriamo la radianza monocromatica, cioe

B(T ) =

∫ ∞

0

Bν(T )dν =2k4

BT4

h3c2

∫ ∞

0

x3dx

ex − 1(4.17)

6La soluzione si ottiene plottando nel primo quadrante cartesiano la funzione x/5 e la funzione ex − 1/ex e trovandonel’intersezione, che corrisponde a x = 4.965.

7La legge di Wien e usata in astrofisica per una prima stima della temperatura superficiale delle stelle.

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L’integrale definito∫ ∞

0x3dxex−1

vale π4/15 per cui, sostituendo nella (4.17) otteniamo

B(T ) =σ

πT 4; con σ =

2π5k4B

15h3c2= 5.670 · 10−8 W/(m2K4) (4.18)

La (4.18) e la famosa legge di Stefan-Boltzmann, da cui si evince la forte dipendenza della radianzaintegrale di un corpo nero dalla temperatura.8

Esaminiamo il comportamento asintotico della distribuzione spettrale di una planckiana a una determi-nata T e prendiamo, a es., quello della Bλ(T ) (v. eq.(4.12)); per λ ≫ λmax (matematicamente si vedebene quando λ → ∞) l’esponente hc/λkBT diviene piccolo a piacere e quindi l’esponenziale puo esseresviluppato in serie arrestandosi al termine lineare ottenendo

Bλ(T ) ≃ 2hc2/λ5

1 + hc/λkBT − 1=

2ckBT

λ4(4.19)

che coincide con l’approssimazione di Rayleigh - Jeans (v. eq.(4.11)), rappresentata in Fig.4.4 dall’an-damento indicato con classical theory. Si vede molto bene che l’approssimazione e migliore per λ moltograndi.Se invece λ ≪ λmax il fattore exp(hc/λkBT ) ≫ 1 e quindi si puo trascurare 1 rispetto all’esponenzialeottenendo

Bλ(T ) ≃ 2hc2

λ5exp(−hc/λkBT ) (4.20)

nota come approssimazione di Wien, molto utile nella descrizione dell’emissione di un corpo nero neldominio dei raggi UV e X, se la T non diventa troppo elevata da non rendere possibile l’approssimazioneconsiderata, nei limiti della precisione con cui vogliamo procedere.Ovviamente le approssimazioni di Rayleigh-Jeans e Wien si possono derivare anche dall’espressione diBν(T ), ma questo lo lasciamo al lettore.

4.1.4 L’effetto serra

Abbiamo accumulato le conoscenze per spiegare quantitativamente, in modo semplice e approssimato,l’effetto serra, di cui si parla tanto sui media, talvolta affermando anche cose profondamente inesatte.La Terra e investita dalla radiazione elettromagnetica emessa dal sole, una sorgente con una Teff = 5783 Ke conseguentemente con una distribuzione spettrale della radiazione che avra la sua λmax ≈ 0.5 µm(v. (4.14)), cioe la maggior parte dell’energia che il Sole ci manda e nella banda visibile dello spettro.La potenza specifica media della radiazione solare al di fuori dell’atmosfera terrestre (quella grandezzafisica che viene anche definita come irradianza solare media, soprattutto nel linguaggio meteorologico)(v. Fig.4.5 a) vale C⊙ = 1366 W m−2.9 Riflessione e diffusione (sia sulle nubi, che sulle particelle insospensione nell’atmosfera, che dal suolo direttamente) causano che circa il 30% della potenza specificasolare sia rinviata nello spazio (infatti la Terra possiede un albedo di circa 0.3). Quindi il 70% dellapotenza specifica media inviataci dal Sole verra assorbito, in condizioni stazionarie, dalla terra (solida +acqua + aria).Tuttavia bisogna considerare che la radiazione solare deve attraversare l’atmosfera terrestre prima digiungere a terra e interagire (tramite assorbimento, riflessione, diffusione, ecc.) con i corpi e le struttureche si trovano nel nostro mondo. L’atmosfera terrestre e praticamente trasparente alla radiazione visibile,(v. Fig.4.5, b) mentre assorbe fortemente dall’ultravioletto fino al dominio dei raggi X e γ e presentavistose ed estese bande di assorbimento nell’infrarosso, dovute essenzialmente alla presenza di molecole dianidride carbonica CO2 e metano CH4 nell’alta atmosfera. Questi assorbimenti alterano in minima partela distribuzione spettrale della radiazione solare, che ricordiamo e concentrata nel visibile. Considerandoche la Terra ruota con un periodo di un giorno, possiamo stimare che in un giorno la radiazione solare

8Viene utilizzata in astrofisica per definire la Teff di una sorgente, essendo la Teff la temperatura che dovrebbe avereun corpo nero per emettere la stessa potenza specifica, cioe per unita di superficie, della sorgente considerata. Ovviamentequesto parametro si collega solo alla quantita di potenza radiante emessa, ma non alla sua distribuzione spettrale, cancellatadall’integrazione, ma talvolta anche questo dato risulta molto significativo per la comprensione del fenomeno studiato.

9Parliamo di potenza specifica media perche si possono avere piccole variazioni legate al livello dell’attivita solare(dell’ordine di qualche unita in 10−4) e alla diversa distanza fra il Sole e la Terra nei vari periodi dell’anno.

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a) b)

C CPN

PS

R

SOLE

S

L

E

O

Atmosfera

Figura 4.5: Schema dell’effetto serra atmosferico

intercettata dalla sezione del cerchio di raggio R⊕ si distribuisca uniformemente sulla superficie di unasfera di raggio R⊕, quindi con un fattore di diluizione di 1/4 (pari al rapporto tra la superficie del discoterrestre e quella dell’emisfera terrestre). La potenza specifica media assorbita dalla Terra sarebbe, inassenza di effetto serra, quindi

P⊕ =0.7

4· C⊙ ≃ 239 W/m2 (4.21)

Ricordando la legge di Stefan-Boltzmann (4.18) possiamo stimare che la temperatura a cui si porterebbela Terra (in media) in queste ipotesi sarebbe

T⊕ =4

√

P⊕

σ≃ 4

√

239 W/m2

5.67 · 10−8 W/(m2K4)≃ 255 K(≈ −18C) (4.22)

Per la legge di Wien (4.14) un corpo a 255 K emette radiazione essenzialmente nell’IR (infrarosso), conλmax ≈ 11 µm. Ricordiamo che la condizione di stazionarieta richiede che la potenza specifica assorbitadeve uguagliare la potenza specifica emessa.10 Tuttavia la radiazione IR emessa dalla Terra a 255 K vienesuccessivamente assorbita e diffusa in tutte le direzioni (quindi anche verso il basso, cioe verso terra) dallemolecole di CO2 e CH4, per cui il rifornimento energetico sulla Terra aumenta, creando quello che vienechiamato effetto serra, per identita con l’effetto che una lastra di vetro (trasparente al visibile ma nonall’IR) crea all’interno di una serra per coltivazioni. Si crea un complesso meccanismo di assorbimenti eriemissioni successive da parte della Terra e degli alti strati atmosferici, per cui alla fine possiamo stimareun aumento medio dell’ordine di ≈ 60% della potenza specifica media assorbita dalla Terra nel visibiledalla radianza primaria solare. Conseguentemente la stima della temperatura media della Terra sara

T⊕;finale ≃ 255 K4√

1.6 ≃ 287 K (≈ 14C) (4.23)

che fornisce una stima ragionevole della temperatuta media (su tutta la superficie terrestre!) durante uncompleto irraggiamento (totale assenza di nuvole!) della superficie terrestre.Si comprende quindi l’importanza che ha per l’equilibrio energetico terrestre un aumento della concen-trazione dei gas “serra” (CO2, CH4 soprattutto); infatti negli ultimi 30 anni si sono misurate cospicuevariazioni climatiche, che fanno temere molto per il futuro delle condizioni ambientali globali per la vitadelle future generazioni.11

10Si considera che le condizioni stazionarie raggiunte non consentano altre perdite energetiche, come conduzione nelterreno e simili.

11Si consiglia di consultare il sito www.noaa.gov, dove sono riportati i risultati delle misure di questi anni, misureattendibilissime e analizzate da ottimi fisici con grande professionalita. Altri siti da consultare: www.wmo.int → WorldMeteorological Organization, Ginevra, e www.nimbus.it.

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4.2 Alcune semplici trasformazioni termodinamiche

• La pentola a pressione.L’uso della pentola a pressione permette forti risparmi energetici. Infatti per la cottura dei cibi(non in forno) utilizziamo generalmente temperature dell’ordine di 100C, corrispondente alla tem-peratura di ebollizione dell’acqua alla pressione di 1 Atm. Nella pentola a pressione la cessione diquantita di calore al sistema (che si sta portando dalla temperatura ambiente a quella d’ebollizione)avviene a volume costante, quindi (v. primo principio della termodinamica) tutto il calore cedutoviene immagazzinato come aumento di energia interna del sistema, sostanzialmente rappresentatoda un aumento della temperatura molto rapido (non avendo da fare lavoro verso l’esterno). Inoltrela pressione all’interno della pentola (ermeticamente chiusa) aumenta per il vapore che si forma dalliquido scaldato; questo causa l’aumento della temperatura di ebollizione per cui il tempo di cotturadei cibi viene ridotto, anche di un fattore 3-4. Soprattutto per lunghe cotture (lesso, legumi secchi,patate, stufati, ecc.) il risparmio energetico e notevole, come pure il tempo impiegato in cucina.Tuttavia la pentola a pressione deve essere usata con cautela, perche un eccessivo aumento di pres-sione interna potrebbe causarne l’esplosione, se la struttura non dovesse piu sopportare il regimedella pressione interna formatasi. Per questo le pentole a pressione sono dotate di doppio sistema divalvole di sicurezza, una generalmente costituita da un cappuccio pesante (con una massa di circa100 − 150 g), infilato su un tubetto di sostegno (del diametro di 2 mm), e l’altra da una valvolafissa, a molla o a sigillazione calibrata. Generalmente il funzionamento di regime delle pentole apressione comporta una pressione interna di circa 2 Atm con una temperatura di ebollizione di120C. La differenza di pressione fra l’interno e l’esterno sara quindi di 1 Atm, che, attraverso iltubetto di sostegno (avente una sezione di π mm2), produce una forza, diretta verso l’alto, di circa0.314 N, corrispondente a circa 320 gpeso, ben sufficienti a espellere il cappuccio, pesante circa lameta. Quindi il sistema e in funzionamento di sicurezza.Un uso oculato della pentola a pressione suggerisce di chiudere l’afflusso di energia (il gas!) unpo’ prima della meta del tempo di cottura indicato dalle istruzioni tecniche della pentola (o dai“milianta” manuali di cucina facile esistenti) e lasciare che la cottura prosegua durante il raffredda-mento di tutto il sistema fino a quando l’indicatore di pressione (posto sul coperchio) non indichi ilraggiungimento della pressione atmosferica esterna (per poter aprire in sicurezza il coperchio). Inquesto modo si aumenta ancora il risparmio energetico e si evita di invadere gli ambienti di casa divapori e odori non sempre piacevoli.

• La macchina da caffe tipo Moka.Il funzionamento di questa macchina da caffe e simile a quello della pentola a pressione, nel sensoche l’acqua messa nella base della macchina (fino al livello indicato dal costruttore, troppa acquapotrebbe rendere pericoloso il funzionamento del tutto!), scaldandosi produce vapore, che va adaumentare la pressione all’interno della base della macchina; questa spinge l’acqua calda contenutanella base a salire nell’imbuto contenente la polvere di caffe e a fare l’infuso (il caffe!). Con unatemperatura di circa 80−85 C dell’acqua nella base della macchina la pressione interna del vaporearriva a circa 1.5 Atm; conseguentemente la pressione effettiva sull’acqua calda, per salire nell’im-buto, e di circa 0.5 Atm, e questo permette all’acqua di risalire 12 attraverso la polvere di caffe efornire il piacevole infuso nel deposito di utilizzo della macchina.Nella macchina da caffe “alla napoletana”, invece, l’acqua calda viene fatta percolare attraversoil deposito di polvere di caffe per gravita (infatti la macchina viene girata sotto-sopra!), fino alcompletamento del passaggio di tutta l’acqua calda. Spesso il caffe si raffredda durante questaprocedura e la polvere di caffe viene sfruttata con minore efficacia rispetto alla “Moka”.Nella macchina da bar l’acqua bollente e forzata a passare attraverso la polvere di caffe (compres-sa!) da una pressione notevole esistente sopra il contenitore di caffe e l’infuso e molto piu “forte”e lo sfruttamento della polvere di caffe piu accentuato; in questo caso si ha un miglioramento (peralcuni) delle proprieta organolettiche dell’infuso, ma forse aumenta anche la presenza di sostanzenon proprio utili alla salute (caffeina, e altre sostanze generalmente sconsigliate).

• Aspirazione e compressione.

12Lentamente, visto l’attrito esercitato sull’acqua calda dalla percolazione forzata nella polvere di caffe; questa fase deveessere seguita con cura, evitando di far spruzzare con violenza l’acqua calda dall’ugello posto nel deposito superiore, sia permigliorare il processo di solubilizzazione delle essenze aromatiche del caffe sia per risparmiare energia.

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Esaminiamo cosa succede quando aspiriamo una bibita da un tetrapack con una cannuccia: ilsistema costituito dall’interno del tetrapack + cannuccia + labbra + polmoni e inizialmente unsistema soggetto alla PAtm esistente e avente un volume totale iniziale Vin. Il procedimento disuzione consiste essenzialmente nel far aumentare il volume del sistema (soprattutto attraverso ladilatazione dei muscoli del torace, che aumenta di volume) fino a un valore Vfin = Vin + ∆V ; sepossiamo considerare questa trasformazione come una isoterma avremo che ∆V/Vin ≈ −∆P/PAtm,dove −∆P rappresenta la diminuzione della pressione che si crea, dopo la dilatazione, all’internodel sistema considerato. La maggior pressione esterna al sistema, PAtm, crea conseguentemente unsistema di forze sul liquido contenuto nel tetrapack, che viene cosı spinto nella nostra bocca e poiimmediatamente deglutito.13

Anche se volessimo considerare la trasformazione di aumento di volume ∆V come un’adiabatica, lalogica della spiegazione data non cambia, avremmo solo che ∆P/PAtm ≈ −γ · ∆V/Vin.Il processo invece di compressione (a es., gonfiaggio di un palloncino, di un salvagente. ecc.) si attuaattraverso una compressione del volume toracico, sia tramite una contrazione dei muscoli toracici,ma soprattutto tramite una sollevazione del diaframma; le spiegazioni sul gioco delle variazioni dipressione collegate sono le stesse descritte precedentemente, solo che tutti i segni sono invertiti.Nei procedimenti per la creazione delle confezioni cosidette “sotto vuoto” una pompa toglie aria dagliinvolucri (isolati dall’esterno), provocando una diminuzione di pressione interna negli involucri, che,non essendo rigidi, collassano aderendo ai contenuti; segue poi la sigillazione finale degli involucri.Quando si aprono queste confezioni si sente un leggero soffio dell’aria che precipita all’interno perristabilire la Pin = PAtm. Ovviamente il problema degli equilibri fra variazioni di pressione e divolume si sposta sul funzionamento della pompa aspirante, ma forse quest’aspetto e troppo tecnicoper essere trattato in questa sede.

• Il frigorifero.Il frigorifero e un sistema che preleva quantita di calore ∆Q da una sorgente a temperatura piu bassaTi per cederlo a una sorgente a temperatura superiore Test insieme al lavoro ∆L necessario per farcompiere questa trasformazione ciclica in accordo con il 1 e con il 2 principio della termodinamica.Le trasformazioni non sono ovviamente reversibili. ∆L viene fatto dal motore del compressoredel frigorifero, che deve comprimere il gas refrigerante per liquefarlo, farlo circolare nel circuitoidraulico e farlo giungere nella zona dove compie una rapida espansione che lo porta in condizionidi evaporazione, costringendolo a sottrarre all’ambiente (cioe all’interno del frigorifero) la quantitadi calore, prelevata a Ti. La cessione all’ambiente esterno dell’energia totale ∆Q + ∆L, avvienetramite scambiatore di calore, struttura a nidi d’ape, con un alto rapporto superficie/volume, dicolore nero (perche?), disposta sul retro del frigorifero, che dovra smaltire questa quantita di caloretotale sia per convezione con l’aria circostante sia per irraggiamento (ecco il “nero”!). Per unfunzionamento ottimale del frigorifero, quindi, bisognerebbe che lo scambiatore fosse ben pulito(il sudicio e la polvere sono isolanti termici), ben arieggiato (per facilitare la convezione), nonattaccato a un muro. Queste condizioni non sono quasi mai rispettate, peggiorando la funzionalitadell’elettrodomestico (si pensi alle condizioni difficili in cui deve operare un frigorifero incassatoin un mobile chiuso e attaccato a un muro!). Inoltre l’abitudine di lasciare aperta la porta delfrigorifero mentre si fanno altre attivita e semplicemente sciocca, facendoci consumare energia (ilcompressore dovra lavorare piu a lungo) e usurando piu in fretta l’apparato.Al limite il frigorifero puo anche funzionare da stufa, basta vuotarlo di cibi, lasciare aperta la porta eil continuo funzionamento del compressore produrra un flusso di calore allo scambiatore posteriore,che andra a riscaldare l’ambiente. Ovviamente una vera stufa avrebbe un’efficienza indubbiamentesuperiore (perche?).

• Radiatore dell’auto.Il funzionamento del radiatore dell’auto e identico a quello dello scambiatore di calore del frigorifero,essendo un dispositivo che deve cedere all’ambiente esterno una notevole quantita di calore perconvezione e irraggiamento. In questo caso il flusso d’aria attraverso le celle della struttura a nido

13E infatti una complessa sequenza di azioni automatiche, suzione + aspirazione + cessazione della suzione + deglutizione+ ripresa della fase successiva ecc., che purtroppo le persone con problemi neurologici non sanno coordinare, potendo anchecreare seri problemi di asfissia e affogamento.

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d’ape del radiatore e garantito dal moto relativo dell’auto rispetto all’aria circostante e anche dalventilatore se la temperatura del liquido di raffreddamento diventa troppo elevata.

• Ventilatore e impianto di condizionamento termico.Durante i periodi di caldo estivo e meglio usare un ventilatore o il condizionatore? Il ventilatore(inclusi anche i sistemi a pale ruotanti al centro stanza) produce un flusso d’aria che, passando sullanostra pelle, trasporta via il vapor acqueo formatosi per la sudorazione. Questo induce l’epidermidea produrre altro sudore, cioe a far evaporare altra acqua dai nostri tessuti dell’epidermide, e, vistol’elevato valore del calore latente di evaporazione dell’acqua, si produce un notevole prelievo diquantita di calore dai nostri tessuti epidermici superficiali, dandoci la sensazione di raffreddamentobenefico.Il condizionatore invece e un grosso frigorifero, che abbassa la temperatura di tutto l’ambienteimmettendovi correnti di aria fredda. Ovviamente e molto piu efficiente, ma molto piu costoso, siacome installazione che come gestione, e puo essere anche dannoso per la salute, se usato in modoesagerato. In questo caso i gusti e le abitudini personali polarizzano le scelte, che pero dovrebberoessere sempre razionali e non dissennate.

• Isolamento termico delle abitazioniDovrebbe essere molto evidente, a questo punto, che isolare termicamente la propria abitazionerappresenta un modo estremamente efficiente di risparmio energetico e di benessere, sia in inverno,sia in estate. Le immagini di case, prese in inverno con camere a infrarossi, sono di un’evidenzaplateale: zone brillanti in infrarosso corrispondono a pareti non isolate, a porte e finestre noncoibentate, a soffitti non isolati, ecc. Lo stesso si vedrebbe in estate ma prendendo le immaginiinfrarosse dall’interno dell’abitazione. Talvolta basterebbe usare un termometro sensibile e misu-rare la temperatura dei vari elementi considerati (un cattivo isolamento termico li rende caldi inestate e freddi in inverno). Il nostro tatto, invece, puo essere molto fallace anche per una sempliceindicazione qualitativa; infatti il senso del tatto e molto sensibile alla quantita di calore che si di-sperde tramite la superficie di epidermide interessata e quindi, toccando superfici fredde alla stessatemperatura, una metallica e una di legno, si ha l’impressione che quella metallica sia piu fredda,semplicemente perche il coefficiente di conduzione del metallo e piu elevato di quello del legno.

• Forno a incandescenza e forno a microonde.Nel forno a incandescenza (sia elettrico che a legna o a gas) normalmente si riscalda, con differentimeccanismi fisici e chimici, un elemento (le resistenze elettriche o le pareti di terracotta del forno)a temperature dell’ordine di 400 − 900C , che fanno salire la temperatura dell’aria all’interno delforno a circa 100 − 300C (la temperatura di regime all’interno del forno dipende dall’isolamentoe dai materiali con cui e costruito). Conseguentemente (v. leggi di Wien dell’irraggiamento), ilforno diventa un ambiente in cui esiste radiazione infrarossa distribuita, in modo quasi continuo, suintervalli di lunghezza d’onda da 0.7 µm fino alle microonde. Questo flusso di radiazione infrarossatrasporta molta energia raggiante, che provoca l’evaporazione dell’acqua contenuta negli strati su-perficiali dei cibi (e forma cosı la crosta croccante tipica delle cotture in forno), ma puo ancheprovocare la carbonizzazione di alcune parti meno protette dei cibi (“si e bruciato l’arrosto!!”). Lavera e propria cottura (trasformazione delle strutture delle proteine e dei tessuti dei cibi) avvienesoprattutto perche contengono acqua.Le molecole d’acqua non assorbono in ugual misura tutte le radiazioni, ma assorbono solo quelleche sono capaci di emettere (v. principio di Kirchhoff dell’irraggiamento). Un’importante bandarotazionale della molecola d’acqua si trova attorno alle frequenza di 2.45 GHz, corrispondente a unalunghezza d’onda di ≈ 10 cm; quindi la molecola d’acqua investita da radiazione di questa frequenzainizia a ruotare velocemente, cioe aumenta la sua energia rotazionale, in altre parole “si scalda”e scalda le sostanze con cui e in contatto (i cibi) e ne provoca la cottura. Questo e il principiodi funzionamento del cosidetto forno a microonde, che quindi utilizza come veicolo di trasmissionedell’energia non uno spettro ampio di radiazioni infrarosse, ma solo una ristretta banda nel dominiodelle onde centimetriche (emesse, generalmente, da un dispositivo detto magnetron). Infatti in unforno a microonde tutto rimane alla temperatura iniziale, solo i componenti contenenti molecoled’acqua si riscaldano molto efficacemente (anche alcune porcellane contenenti composti idrati siriscaldano molto!). Chi sostiene che i cibi cotti nel microonde sono dannosi alla salute, o peggioancora inquinati, dimostra solo di essere ignorante dei principi fondamentali della Fisica.

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Bisogna fare invece molta attenzione alla perfetta chiusura del forno a microonde. Infatti le mi-croonde sono pericolose perche non provocano sensazione di caldo sui tessuti umani e quindi possono“cuocerli” senza che ce ne accorgiamo. La rete metallica posta sul vetro dello sportello del forno amicroonde serve a intercettare le microonde e a non farle uscire. Occorre quindi adoprare il forno amicroonde con cura e consapevolezza, curandone la manutenzione, come d’altronde dovrebbe essereper qualunque apparato domestico, sempre potenzialmente dannoso se utilizzato con irresponsabileleggerezza.

• Propagazione del calore nel suolo.La trattazione rigorosa di questo problema rappresenta uno dei capitoli fondamentali della Fisica-Matematica, irto di difficolta matematiche che vanno ben oltre i limiti di queste riflessioni. Cerchia-mo di riassumerne i risultati. Consideriamo un terreno solido, omogeneo, isotropo, di densita ρs,calore specifico a pressione costante cp,s e conducibilita termica ks, con struttura piano-parallela.14

Definiamo la profondita verticale nel suolo z, positiva verso il basso e chiamiamo con S la superficieterrestre, su cui supponiamo che la temperatura possa variare in modo sinusoidale secondo unalegge

TS = TS + ∆TS · cos(

2π

P· t

)

(4.24)

dove TS e il valor medio della temperatura superficiale durante il periodo P considerato e ∆TS =(TS;max − TS;min)/2 rappresenta la meta dell’escursione massima della temperatura superficiale. Ilperiodo P sara di 24h nel caso delle variazioni diurne o di 12 mesi nel caso delle variazioni annualidi temperatura superficiale. Come abbiamo visto nel paragrafo 3.7 il trasporto di calore e un casodi fenomeni piu generali indicati come fenomeni di trasporto; per riportarsi alle equazioni generalidel trasporto definiamo il coefficiente di diffusione termica del suolo come ds = ks/(ρs · cp,s). Dallatrattazione teorica risulta che alla profondita z e al tempo t la temperatura varia secondo la seguentelegge

T (z, t) = TS + ∆TS · exp(−z/L) · cos(

2π

P· t+

z

L

)

=

= TS + ∆TS · exp(−z/L) · cos2π

P

(

t+zP

2π · L

)

(4.25)

con L =√

dsP/π, definita come profondita di smorzamento termico.15 Pergiustificare il fattoredi smorzamento exp(−z/L) basta ricordarsi della (4.7), relativa all’andamento esponenziale dellatemperatura in una sbarra conduttrice.16 Anche il ritardo di tempo δt(z) = zP/2π · L nell’an-damento di T (z) e ragionevole, perche quando si verifica il massimo TS + ∆TS della temperaturasuperficiale lo strato a profondita z si trova a una temperatura inferiore, in quanto che il calore sipropaga nei mezzi fisici con velocita finita. Possiamo stimare la velocita di propagazione dell’ondatermicavT = z/δt(z) = 2π

√

ds/π · P . 17

Scrivendo il flusso di calore che transita alla profondita z nel suolo si vede che il ritardo di fasenella distribuzione di temperatura (v. (4.25)) modula il flusso di calore che viene condotto allevarie profondita (se la temperatura raggiunge il suo massimo con un determinato ritardo ∆t, laquantita di calore che riesce a essere condotta a quella quota sara minima a quel ∆t). Pertanto ilminimo flusso di quantita di calore che dalla superficie terrestre si propaga negli strati piu profondidel terreno avverra con un ritardo rispetto al massimo della temperatura al contorno (4.24). Comeconseguenza di questo ritardo nel flusso di calore anche la temperatura del terreno, ovvero perz → 0, variera con un ritardo di fase ∆φ rispetto all’andamento indicato dalla (4.24). La teoriaindica che questo ritardo di fase e di ∆φ = π/4, corrispondente a P/8. Quindi nel caso diurnoP/8 = 3ore e infatti il massimo di temperatura del suolo si ha verso le 15, mentre il minimo verso

14Lo spessore del suolo interessato e al massimo di pochi metri, ovviamente trascurabilissimi rispetto al raggio terrestree quindi possiamo trascurare la curvatura della superficie terrestre.

15Alcuni valori sperimentali per informazione: sabbia e argilla secca → Lgiorno ≃ 7 cm, Lanno ≃ 1.5 m, sabbia e argilla

umida → Lgiorno ≃ 10 cm, Lanno ≃ 2 m. Si noti che L ∝√

P e infatti Lanno/Lgiorno =√

365 ≈ 19, come dai dati.16Per z = 3L il fattore exp(−z/L) ≃ 0.05 e quindi gia a queste profondita si puo considerare che le fluttuazioni superficiali

di temperature non abbiano piu influenza.17vT e, per normale terreno umido, dicirca 3 cm/ora per le fluttuazioni diurne e di circa 4 cm/giorno per quelle annuali.

64

le 3 di notte, mentre nel caso annuo il gran caldo si ha circa 1.5 mesi dopo il solstizio d’estate (aiprimi d’agosto, il cosidetto “solleone”; ma perche si chiama cosı?) e il gran freddo circa 1.5 mesidopo il solstizio d’inverno (ai primi di febbraio).Ovviamente queste stime rappresentano solo ordini di grandezza, essendo la situazione reale (di-somogeneita del terreno, fluttuazioni di temperatura non sinusoidali, non omogenee, presenza divento, pioggia ecc. in superficie) molto diversa dalla schematizzazione ideale che abbiamo usato.Tuttavia sono considerazioni molto interessanti, che dimostrano, ancora una volta, la validita delmetodo fisico per la descrizione quantitativa dei fenomeni naturali.

• Dilatazione termica.Il fenomeno della dilatazione termica, fondamentale per la scelta della proprieta termometricanecessaria per la definizione operativa della grandezza fisica “temperatura”, e utilizzato in molteapplicazioni pratiche. Pensiamo agli interruttori termici, che chiudono (o aprono) contatti elettriciin vari circuiti di apparati di controllo in funzione della temperatura (e quindi della lunghezza diun elemento metallico) esistente nell’ambiente che si vuole sorvegliare termicamente. Richiamiamole relazioni funzionali principali. Per un solido filiforme (cioe con una lunghezza l(t) ≫ V 1/3),essendo V il volume del solido, abbiamo l(t) = l(1 + αt), con t temperatura misurata in C e α =coefficiente di dilatazione lineare (misurato in C−1, mentre per un solido di forma cubica, ma ilrisultato varra per una forma qualunque, abbiamo

V (t) = l(t)3 = l3(1 + αt)3 ≃ V(1 + γt) (4.26)

con V = l3, γ = 3α, arrestandosi al primo ordine nello sviluppo del cubo nella (4.26).A causa degli effetti della dilatazione termica le strutture meccaniche e edili di grandi dimensioni,esposte alle variazioni di temperatura ambientali, devono possedere adeguate cerniere per permet-tere le variazioni di volume (o di lunghezza) causate dalle variazioni di temperatura ambientale: ibinari dei treni e dei tram presentano interruzioni che causano il ben noto “dum-dum—dum-dum”al passaggio delle ruote sulle interruzioni, i ponti hanno sezionature metalliche nella struttura delcemento armato, che permettono le variazioni di lunghezza dei vari segmenti senza causarne defor-mazioni, ecc.Un’utilizzazione domestica e rappresentata dai termometri a colonna, detti talvolta di tipo “Galileo”,contenenti un liquido e alcune palline colorate che salgono (o scendono) nella colonna a secondadella temperatura dell’ambiente in cui si trovano. Le singole palline portano appese indicazionisulla temperatura a cui si “muovono” in alto-basso nel liquido. Quando si e raggiunto l’equilibriotermico con l’ambiente circostante, si vengono solitamente a creare due gruppi di palline, uno piuin basso nella colonna e l’altro in alto. La temperatura segnata sulla pallina piu in basso tra quelledel gruppo in alto segnala l’attuale temperatura ambiente. Analizziamone il funzionamento. Se Ve il volume di una pallina e w e il suo peso, la pallina sara in equilibrio indifferente nel liquido sew = V ρl(t)g, essendo ρl(t) = ml/Vl(t) la densita del liquido e ml la massa di liquido racchiusa nelvolume Vl(t). Se si produce una variazione di temperatura dt avremo una corrispondente variazionedi densita del liquido data da

ρl(t) =m

Vl(t);

dρl(t)

ρl(t)= −dVl(t)

Vl(t);

dρl(t)

ρl(t)= − γdt

1 + γt(4.27)

La spinta di Archimede agente sulla pallina variera quindi di dSA = V ·g ·dρl, con dρl dedotto dalla(4.27). La pallina non potra piu rimanere in equilibrio indifferente e quindi tendera a galleggiarese dρl > 0, cioe se dt < 0, (raffreddamento dell’ambiente), mentre tendera ad affondare nel casoopposto (dρl < 0 con dt > 0). Come liquido si sceglie l’alcool, perche ha (nell’intorno di t ≈ 20 C)un γ ≃ 1.012 · 10−3 C−1, molto maggiore di quello dell’acqua −0.064 · 10−3 C−1, mentre ilsuo calore specifico e minore di quello dell’acqua, quindi e piu “pronto” nel mettersi in equilibriocon le variazioni di temperatura ambientale, dovendo scambiare una minor quantita di calore conl’ambiente.Valutiamo dSA per un dt = 2 C, generalmente corrispondente alla risoluzione offerta da questogenere di termometri domestici. Con un valor medio di densita di 0.79 g/cm3 per l’alcool e conpalline sferiche aventi un diametro di 2 cm, abbiamo

dSA = −V g ρlγdt

1 + γt≃ −6.8 mg (4.28)

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sufficiente a far galleggiare (o affondare) la pallina tarata per rimanere in equilibrio alla temperaturat segnata nella sua targhetta.

4.3 Le straordinarie proprieta fisiche dell’acqua

Riassumiamo brevemente le caratteristiche fisiche e strutturali dell’acqua:

• la struttura spaziale della singola molecola e piana, con gli atomi di H disposti a V rispetto all’atomodi O con un angolo relativo di 104.5, a una distanza di circa 10−1nm;

• le singole molecole tendono a creare strutture spaziali di tipo tetraedrico, con l’atomo di O−− alcentro, i due atomi di H+ collegati da un legame covalente, e altri due atomi di H+ di un’altramolecola d’acqua attratti elettrostaticamente, per dar luogo a una struttura spaziale molto stabiledetta di legame a idrogeno;

• poiche una mole di acqua ha una massa di circa 18 g e la densita dell’acqua e di circa 1 g/cm3, ilvolume molare dell’acqua e di circa 18 cm3; il volume medio di una molecola d’acqua sara dell’ordinedi (18 cm3)/NA cioe di ≈ 3 · 10−23cm3, da cui possiamo ricavare che una stima della dimensionemedia spaziale totale della molecola d’acqua di ≈ 0.3 nm, in ottimo accordo con la misura deldiametro medio di van der Waals per la molecola d’acqua di 0.282 nm;

• il momento dipolare p della molecola d’acqua e di circa 6 · 10−30C m, il maggiore fra quelli dellemolecole dei liquidi naturali piu diffusi. Essendo p = 2ed, con e carica dell’elettrone, si puo facil-mente ricavare che d, distanza media fra gli elettroni del due atomi di H dall’atomo di O, proiettatasulla bisettrice dell’angolo di 105 fra i due atomi di H , sara di circa 0.019 nm, da cui si ricava che ladistanza l fra gli atomi di O e di H sara dell’ordine di l = d/cos(52.5) ≈ 0.03 nm, circa un ordine digrandezza inferiore del diametro medio della molecola d’acqua. Ricordiamo che la definizione di dcorrisponde, grosso modo, alla distanza fra i baricentri elettrici degli atomi di H e quello dell’atomodi O, ed e ragionevole che risulti minore del diametro spaziale dell’intera molecola;

• il ghiaccio ha una struttura cristallina a simmetria esagonale, ma con strutture che possono variarein funzione delle condizioni fisiche a cui e stato sottoposto al momento del cambiamento di stato eanche a possibili successive modifiche (forti variazioni di pressione, a esempio). Comunque il volumespecifico del ghiaccio e maggiore di circa il 10% quello dell’acqua prima della solidificazione.

Da queste proprieta derivano le seguenti caratteristiche uniche dell’acqua come sorgente primaria eindispensabile per lo sviluppo della vita nella forma evolutasi nelle condizioni fisico-chimiche della Terra:

1. la dipendenza della densita dell’acqua dalla temperatura (v. Fig.4.6) e tale per cui la massimadensita si ha per una temperatura di 3.98 C. Avendo densita minore dell’acqua, il ghiacciosi formasulla superficie di una distribuzione d’acqua (stagno, lago o mare) e la porzione d’acqua a circa 4Cscende negli strati piu profondi (avendo massima densita). Il ghiaccio superficiale protegge (perdistanze di alcuni metri) l’acqua sottostante dalla propagazione di temperature inferiori a 0C, percui negli strati piu profondi dei bacini d’acqua non si arriva mai alla formazione di ghiaccio e non sipuo produrre il congelamento (cioe rottura) dei vasi e dei tessuti biologici e la vita puo continuare;

2. per il suo elevato momento dipolare l’acqua e un solvente efficientissimo sia per i sali che per lesostanze organiche (a es., zuccheri, amidi, proteine, ecc.), quindi un ottimo trasportatore di elementinutrienti e costitutivi della vita, basata sul C (molecole organiche);

3. l’estrema efficienza dei legami a idrogeno garantiscono che l’acqua possegga il calore specifico apressione costante cp ≃ 1 cal/(g C) piu elevato fra le molecole naturali allo stato liquido e quin-di funzioni da efficiente termostato (i forti cambiamenti di temperatura non aiutano la vita, e,modernamente, vengono utilizzati nella “pastorizzazione” che ha lo scopo di sterilizzare, cioe diinibire i processi vitali). Anche i calori latenti dell’acqua sono i massimi fra i liquidi naturali(cfus ≃ 2.26 MJ/kg; cevap ≃ 0.333 MJ/kg), garantendo all’acqua la proprieta di immagazzinareuna grande quantita di energia nella fase liquida. Infine il valore della tensione superficiale dell’ac-qua e elevato (τ ≃ 75 dyne/cm), e la costante dielettrica dell’acqua pura e la massima fra i liquidinaturali (ǫr ≃ 80).

66

Figura 4.6: Andamento della densita dell’acqua con la temperatura

Dobbiamo all’insieme di tutte queste eccellenti proprieta fisiche dell’acqua se la vita sulla Terra ha potutoraggiungere questo stadio evolutivo, con una ricchezza e varieta di forme di vita straordinarie e affasci-nanti.18

18L’acqua, con le sue meravigliose proprieta fisiche e chimiche, ha anche permesso che per circa 1.5-2.0 milioni di anniuna scimmia antropomorfa abbia potuto evolversi in modo tale da riuscire a scrivere La Divina Commedia, dipingere La

Gioconda, scolpire La Nike di Samotracia, comporre La nona sinfonia di Beethoven, ecc.. Negli ultimi tempi, tuttavia, vienda dubitare sul reale livello di “evoluzione” raggiunto stabilmente dalla razza umana, ma questo non dipende dall’acqua!

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Capitolo 5

Ottica

Per un’introduzione all’ottica geometrica si rimanda alle dispense di Introduzione all’ottica geometrica eLa formazione delle immagini nell’ottica geometrica, che si trovano sul sitohttp://e-l.unifi.it/file.php/3891/Dispense old/Dispense Lab Fis I.htm.

5.1 Lenti

Dopo aver introdotto l’astrazione fisica di “raggio luminoso” (come un sottile pennello di luce, tantosottile da essere confuso con l’asse del pennello, a cui ci si puo avvicinare nella pratica realizzazione finoa quando i limiti tecnologici a disposizione lo concedono e non si vanno a creare fenomeni di diffrazione),ricordiamo che le proprieta rifrattive del vetro erano note fin dall’antichita e che gia nei secoli XIII e XIVsi conosceva il modo di costruire una struttura piano-convessa in vetro, nella quale la parte convessa avevala forma di una calotta sferica, a cui fu dato il nome di “lente”.1 Gia allora era noto che una lente avevala proprieta di convogliare i raggi luminosi che si propagavano parallelamente all’asse ottico (la rettaortogonale al piano della lente e passante per il suo centro ) in un unico punto del suo asse ottico detto“fuoco”.2 Inoltre accoppiando (sulla parte piana) due lenti piano-convesse si creava una lente biconvessaavente una capacita di convergenza (quella che poi definiremo potere diottrico) doppia rispetto alla lentepiano-convessa. Chiamiamo distanza focale di una lente 3 la distanza del fuoco dal piano meridiano disimmetria della lente; in una lente esistono due fuochi (a seconda che i fasci di raggi luminosi incidanosulla lente da sinistra o da destra della lente), F1 e F2, posti simmetricamente rispetto al piano meridianodella lente se questa e immersa in un unico mezzo (generalmente e in aria, v. Fig.5.1 a)).Inoltre se la lente e sottile (cioe lo spessore della lente sull’asse ottico e trascurabile rispetto alla distanzafocale f), il raggio luminoso che si propaga per il centro della lente praticamente non viene deviato dallalente e prosegue il suo percorso rettilineo.Con riferimento alla Fig.5.1 b), consideriamo una lente biconvessa sottile, di distanza focale f , e poniamo

un oggetto luminoso AB sull’asse ottico a distanza p > f dalla lente. Ogni punto di AB puo essereconsiderato una sorgente puntiforme di luce; se a es. prendiamo in esame il punto B, questo emette nellospazio un’infinita di raggi luminosi, per 3 dei quali sappiamo seguire il percorso dopo l’interazione con lalente: il raggio BB∗ si propaga parallelamente all’asse ottico, quindi la lente lo rifrange in F2; il raggioBV prosegue indisturbato e si incontra col precedente raggio luminoso in B′; infine il raggio BF1 vienevisto dalla lente come proveniente dal primo fuoco F1 e quindi viene rifratto parallelamente all’asse otticoe incontra in B′ con altri due raggi luminosi. Conseguentemente i punti B e B′ sono in corrispondenzabiunivoca e si dicono otticamente coniugati. Ripetendo il ragionamento per tutti i punti luminosi dellasorgente AB si trova che A′B′ e otticamente coniugata con AB ed e detta immagine “reale” di AB, esi presenta capovolta rispetto ad AB. Chiamiamo q la distanza dell’immagineA′B′ dalla lente e dallaFig.5.1 b) ricaviamo che i triangoli ABV e A’B’V sono simili, quindi AB/p = A′B′/q. Inoltre sono simili

1Ricordava la forma di una lenticchia, che in latino si chiama lenticula, ae, ma anche lens, lentis.2L’etimologia spiega tutto! Basta ricordare che con una lente convergente si riesce a dar fuoco a oggetti di carta, legno

e materiali facilmente infiammabili, cioe con temperature d’innesco della combustione autoalimentata non elevate.3Da ora in poi definiremo lente un sistema diottrico bi-convesso e bi-concavo, salvo avvertenze contrarie.

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F F

f f

lente

A

B

A’

B’

p

q

B*

F Ff f1 2

V

a)b)

Figura 5.1: Lente convergente e schema della formazione delle immagini reali

i triangoli B∗V F2 e F2A′B′ e quindi B∗V/f = AB/f = A′B′/(q − f). Sostituendo in questa relazione

l’espressione di A′B′ ricavata da quella precedente otteniamo

AB

f=

AB q

p(q − f); quindi pq − pf = qf (5.1)

Dividendo per pqf ambo i membri della (5.1) si perviene a

1

p+

1

q=

1

f= P (5.2)

La (5.2) e la ben nota formula dei punti coniugati e P e il potere diottrico della lente che si misura indiottrie nel S.I.Ricordiamo che la distanza focale di una lente semplice e affetta da aberrazione cromatica, cioe dipendedalla lunghezza d’onda λ della radiazione incidente e quindi f(λ) e P (λ) dipenderanno da λ. E utilericordare la formula dei costruttori di lenti (valida per lenti biconvesse di ugual curvatura)

P (λ) =1

fλ= (nλ − 1)

2

R(5.3)

dove nλ e l’indice di rifrazione relativo al passaggio dall’aria al vetro di cui e fatta la lente e R e il raggiodi curvatura delle superfici convesse (se le superfici fossero concave il segno di R sarebbe negativo).Si definisce ingrandimento lineare operato dalla lente il rapporto g = A′B′/AB.Con riferimento alla Fig.5.2 , se l’oggetto AB e posto fra il primo fuoco F1 e la lente, la costruzione otticadell’immagine fatta in precedenza mostra che i raggi luminosi B∗F2 e BV non si incontrano nel semipianodelle immagini, ma si incontrano i loro prolungamenti nel semipiano degli oggetti, dando l’impressione,a un occhio che veda i due raggi B∗F2 e BV divergere dalla lente, che provengano da un’immagine“virtuale”, dritta, A′′B′′ che si trovi oltre il primo fuoco F1. Alla stessa conclusione si giunge operandoanaliticamente tramite la relazione dei punti coniugati (5.2), ottenendo un valore negativo per q. Questoe il principio su cui si basa il funzionamento della lente d’ingrandimento.Lenti divergenti sono quelle che hanno superfici sferiche concave (cioe con R < 0 e quindi con distanzefocali negative). Investite da un fascio di raggi luminosi paralleli all’asse ottico lo rifrangono, dopo ilpassaggio dalla lente, in modo che i raggi si “aprano” in un cono divergente come se provenissero da unfuoco virtuale situato dalla parte di arrivo dei raggi luminosi sulla lente. Ovviamente (si controlli sia conla costruzione geometrica che con la formula dei punti coniugati (5.2)) le lenti divergenti non possonomai fornire immagini reali ma virtuali; il loro utilizzo e sempre in combinazione con lenti convergenti conlo scopo di realizzare sistemi composti convergenti.Una proprieta molto utile dei sistemi composti da due o piu lenti, poste a contatto (cioe con distanze fraloro trascurabili rispetto alle distanze focali delle lenti componenti) e che il sistema composto possiede unpotere diottrico che e la somma dei poteri diottrici (ognuno preso con segno) delle singole lenti componenti

Ptotale =

N∑

k=1

Pk; (nel caso di due lenti) → PT = P1 + P2,1

fT=

1

f1+

1

f2(5.4)

L’ultima relazione delle (5.4) e molto utile per misurare facilmente la distanza focale di una lente di-vergente; infatti abbinandola a una lente convergente di distanza focale nota e misurando la fT totale

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A

B

q

pF F

V

B*

A"

B"

1 2

Figura 5.2: Lente convergente usata comelente d’ingrandimento

A

A

B

B

y

y’

y

f

d

d’

0

A’

B’

θ

θ’

Figura 5.3: Schema di un oculare

si ricava facilmente il valore di fdiverg, anche se con un’incertezza notevole nella misura. Per metodipiu precisi si rimanda all’esperienza della misura della distanze focali di lenti (descritta nel sito indicatoall’inizio del capitolo).Nell’uso di sistemi ottici (binocoli, canocchiali, telescopi, microscopi, ecc.) nei quali e l’occhio umano

l’elemento che acquisisce l’immagine finale, poiche l’occhio umano possiede un potere risolutivo angolarelimitato (in media dell’ordine di 1′, solo in condizioni d’illuminazione ottimale e di riposo si puo arrivarea un limite di 0.5′), si utilizzano particolari lenti d’ingrandimento (dette oculari) che permettono unavisione molto ingrandita angolarmente dell’immagine finale fornita dal sistema ottico. Gi oculari Sonocaratterizzati dal loro ingrandimento angolare Gθ, che, con riferimento alla Fig.5.3, si esprime come

Gθ =θ′

θ=y′

d′· dy, con θ ≃ y

d; θ′ ≃ y′

d′(5.5)

dove d = 25 cm e la distanza della visione distinta per l’occhio umano (cioe la distanza minima a cui,esercitando al massimo l’accomodazione del cristallino, si riesce ad avere ancora una visione nitida), d′

e la distanza dall’occhio a cui si forma l’immagine virtuale A′B′ fornita dall’oculare L, avente distanzafocale f . Dalle relazioni che hanno portato a ricavare la formula dei punti coniugati (5.2), ricaviamo chey′/y = (q− f)/f . Ponendo l’oggetto (o l’immagine da ingrandire angolarmente) circa nel primo fuoco diL, avremo che q ≫ f , d′ ≫ f e infine q ≃ d′. Inserendo queste conclusioni nella (5.5) otteniamo

Gθ ≃ q

f· dd′

≃ df

=0.25

f= 0.25 · PL (5.6)

Essendo PL il potere diottrico dell’oculare (spesso inciso sulla ghiera stessa dell’oculare) si usa mis-urare Gθ in diottrie (oppure direttamente in ingrandimenti; un oculare di 10X significa che possiede unPL = 40 diottrie, cioe una focale equivalente di 2.5 cm).Si apre la possibilita di una grande varieta di esperienze. con diverse lenti convergenti e divergenti, racco-mandate caldamente a ogni livello di studenti. Si possono eseguire con varie lenti da occhiali (acquistabilidi seconda mano da negozi di ottico, che generalmente ne hanno in gran quantita dopo il cambio degliocchiali) e con varie lenti d’ingrandimento, presenti in ogni casa. Alcune possibilita:

• misura della distanza focale di varie lenti, iniziando con la misura diretta, formando cioe l’immaginereale di una sorgente posta a grande distanza dalla lente convergente e misurandone la distanzadal piano di simmetria della lente (anche con un semplice metro a nastro). Si puo usare ancheil sole (infatti il cerchietto luminosissimo che si forma nel piano focale della lente non e altro chel’immagine del sole fornita dalla lente, che ha un diametro di fc · 10−2 rad, essendo 10−2 l’angolosotteso in media dal disco del sole in cielo);

• utilizzando la (5.4) si possono misurare successivamente le distanze focali di lenti divergenti;

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• per misure piu accurate si possono porre le varie lenti su un tavolo e costruire una sequenza fissa dioggetti (sorgente + lente + schermo nel piano immagine) e tramite la formula dei punti coniugati simisura la distanza focale della lente. La precisione di questa misura e migliore di quella ottenibilecon il metodo del punto precedente (si consiglia di stimare sempre l’incertezza delle misure ottenute);

• avendo a disposizione un banco ottico (anche se non professionale) si possono usare metodi di misuraancora piu precisi (v. le dispense sulla misura delle distanze focali nel sito indicato all’inizio delcapitolo);

• con una lente convergente a lunga focale (P ≈ 0.5−1 diottria) e una a corta focale (P ≈ 20 diottrie),come oculare, si puo realizzare (con un tubo di cartone o di plastica, da disegni) un canocchiale;

• la lente convergente a corta focale puo essere sostituita con una lente divergente a corta focale, comeoculare negativo da porre prima del fuoco principale della convergente a lunga focale, per avere uncanocchiale galileiano;

• con una lente convergente ad alto potere diottrico (P ≈ 40 − 50 diottrie) come lente primaria e unbuon oculare si puo costruire un microscopio composto galileiano;4

5.2 Lastra a facce piano-parallele e prisma

Una lastra a facce piano-parallele sposta lateralmente il raggio luminoso che l’attraversa senza cambiarnela direzione di propagazione. Il vetro di una finestra rappresenta un semplice esempio di lastra a faccepiano-parallele; aprendo la finestra (a circa 45 dal piano di chiusura) e osservando da sotto il bordo dellafinestra un oggetto verticale (lo spigolo di una casa, un albero, un palo dell’illuminazione, ecc.), per metavisto direttamente da sotto il bordo e per meta attraverso il vetro della finestra, si vede nettamente chel’oggetto sembra “spezzato” in corrispondenza del bordo vetro della finestra. E la manifestazione delladeviazione laterale del fascio luminoso creata dal passaggio entro il vetro della finestra.E interessante anche esaminare il comportamento di una finestra con i vetri termici (doppi); ogni su-perficie di separazione aria-vetro riflette, per propria natura, circa il 5% della radiazione incidente (ilrimanente viene trasmesso e rifratto, eventualmente assorbito a seconda della lunghezza d’onda dellaradiazione utilizzata). Ponendo la finestra sempre con un angolo di circa 45 rispetto al piano di battutae osservando una sorgente di luce esterna (questa osservazione e piu facile di sera, ovviamente) si vedonole diverse immagini riflesse mutuamente fra le superfici dei due vetri costituenti la finestra; si vede anchela notevole diminuzione di intensita delle immagini che si originano da riflessioni multiple (ognuna e il 5%della precedente e cosı via). Anche la deviazione laterale di strutture verticali subisce un doppio effettodi spostamento laterale al passaggio del primo e poi del secondo vetro.E facile procurarsi un prisma, anche se di qualita ottiche non eccelse (sempre in un negozio di ottico) e dilimitate dimensioni. Si puo vedere la dispersione della radiazione continua, prodotta da una lampada aincandescenza, interponendo fra la lampada e il prisma un cartone dove si e praticata una sottile fessura,da porre parallela allo spigolo del prisma. In questo modo un sottile fascio di luce investe una faccia delprisma; dall’altra faccia del prisma uscira un fascio di luce “dispersa”, che, fatto incidere su uno schermoopaco, mostrera lo spettro della radiazione che ha attraversato il prisma. Questa semplicissima esperienzae sempre molto interessante, soprattutto le prime volte che si mostra a un uditorio studentesco. Si puosostituire la lampada a incandescenza con una lampada alogena e si potra riflettere e commentare sulledifferenze spettrali che si osservano. Ancora piu interessante e alimentare il prisma con la luce del sole,ottenendo lo spettro della radiazione solare. Potendo disporre di un piccolo spettroscopio si puo anchefare uno spettro di emissione di alcune sostanze: basta prendere come sorgente una fiamma (basta anchequella di una candela) e gettarci sopra alcuni grani di sale da cucina (NaCl) per vedere l’intensa emissionegialla caratteristica del sodio (si pensi all’illuminazione di alcune periferie cittadine ottenuta con lampadeal sodio per avere miglior visione in caso di nebbia). Con altre sostanze (K, Ca, ecc.) si ottengono “colori”diversi, ognuno caratteristico della sostanza utilizzata. E un modo semplice per introdurre, volendo, ilmetodo spettroscopico a una platea studentesca.

4Galileo lo descrisse ufficialmente nel 1624, e un esemplare e al Museo “Galileo” di Firenze, P.za dei Giudici; con questostrumento Galileo aprı una nuova strada alla medicina, permettendo innumerevoli e fondamentali scoperte nel campodell’anatomia e fisiologia umana.

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Si puo anche utilizzare il prisma tenendolo in mano con lo spigolo parallelo a un tubo fluorescente del-l’illuminazione domestica e ponendo il braccio, steso, lungo la direzione di visuale diretta verso il tubofluorescente: ruotando lentamente il prisma intorno allo spigolo, vedremo, per un ben determinato ango-lo d’incidenza dei raggi luminosi proveniente dal tubo fluorescente, emergere dal prisma varie immaginicolorate del tubo, ognuna delle quali caratteristica della sostanza posta nel tubo. Molto spesso questicolori corrispondono alle righe spettrali tipiche del mercurio e sono di sicura attrazione e interesse.

5.3 Specchi

Sono innumerevoli le applicazioni che si fanno quotidianamente del funzionamento degli specchi, soprat-tutto degli specchi piani. Ognuno ha le sue esperienze, che pero andrebbero analizzate alla luce delle leggifisiche della riflessione. E interessante anche l’utilizzo di diversi specchi piani in serie per rendersi contopraticamente delle proprieta di inversione destra-sinistra (e in alcune configurazioni anche alto-basso)operate dagli specchi. Ricordiamo solo che quando ci “guardiamo allo specchio” vediamo un’immaginevirtuale di una persona identica a noi, che sembra stare dietro lo specchio, con lo scambio destra-sinistra.Questo effetto e evidente se si fa osservare un’immagine ottenuta con uno specchio piano a un essere non“educato” (puo essere un infante che inizia ad andare a “gattoni” ma anche un giovane cane o gatto): laloro reazione e identica, cercano subito di girare dietro allo specchio per andare a vedere “chi c’e dall’altraparte” (e il gattino spesso accompagna il tutto con una soffiata intimidatoria all’ipotetico rivale che loguarda minaccioso!).Il comportamento degli specchi concavi (spesso sono sferici) e identico a quello di una lente convergente,fatto salvo il fatto che per lo specchio il semipiano delle immagini si trova dalla stessa parte di quello deglioggetti; vale la stessa legge dei punti coniugati e per fasci assiali e di piccola apertura angolare la distanzafocale di uno specchio sferico concavo e pari a R/2, essendo R il raggio di curvatura della superficie sfericadello specchio. Specchi sferici concavi sono utilizzati negli impianti di produzione energetica solare perconcentrare nel fuoco un’elevata densita di flusso d’energia, che permette di riscaldare l’acqua, di pro-durre anche vapore, ecc. Specchi concavi parabolici sono utilizzati (sfruttando le ben note proprieta deiluoghi geometrici e delle parabole) per produrre fasci luminosi che si propagano parallelamente all’assedella parabola se si pone una sorgente “puntiforme” (generalmente una piccola ma intensa lampadina) nelfuoco della parabola (anzi, del paraboloide di rivoluzione, per essere corretti). Questo fenomeno e utiliz-zato nei fanali dei veicoli, nei fari marittimi, nei proiettori, ecc. Il comportamento degli specchi convessi(spesso sono sferici) e analogo a quello delle lenti divergenti; danno solo immagini virtuali, rimpiccolite, ele leggi del loro comportamento sono le stesse delle lenti divergenti (con i cambiamenti dovuti al fatto chesi tratta di riflessioni, cioe di un cambio di verso di propagazione della luce). Sono quasi sempre utilizzatiin combinazione con elementi convergenti (si pensi, a es., al telescopio in montatura Cassegrain).Un modo molto semplice (anche se grossolano) per presentare il funzionamento degli specchi convergenti(concavi) e divergenti (convessi) e quello di usare un cucchiaio, con la coppetta sferica (cioe quelli di tipo“svedese”). Guardandosi riflessi dalla parte concava la nostra immagine e reale e capovolta, mentre dallaparte convessa l’immagine e virtuale e dritta. Per convincersi che l’immagine fornita dalla parte concavae reale, basta prendere una sorgente puntiforme (la fiamma di una candela, una piccola lampadina afilamento e simili) e formarne l’immagine su uno schermo opaco, posto a fianco della sorgente, simmetri-camente rispetto all’asse di simmetria della sfera della parte concava del cucchiaio; vedremo l’immaginecapovolta della sorgente sullo schermo, con diverso ingrandimento lineare in accordo con la relazione deipunti coniugati.Un uso molto “moderno” delle proprieta degli specchi concavi e rappresentato da superfici di plastica(o cartone) rivestite di carta di alluminio, con una forma concava (anche se irregolare), utilizzate perfar convergere il fascio di luce solare per aumentare l’efficienza “abbronzante” della radiazione solare. Sicorre pero il rischio di provocare anche ustioni epidermiche, che rappresenterebbero tuttavia una correttapunizione per l’uso . . . sconsiderato delle proprieta fisiche della riflessione.Utili applicazioni dei concetti fondamentali dell’ottica possono essere sviluppate avendo una vecchiamacchina fotografica (quelle a pellicola si trovano di recupero a prezzi irrisori) e mostrandone le caratte-ristiche e il funzionamento agli studenti. Si possono anche smontare per illustrarne i dettagli costruttivi.Molto istruttivo e la dimostrazione del concetto di profondita di campo, del funzionamento dell’ottura-tore, del diaframma, la scelta del tempo di posa corretto, della necessita di porla su un cavalletto per

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pose lunghe, e cosı via. Avendone una con sistema reflex e molto facile illustrare le possibilita offertedall’inserimento di specchi mobili nel percorso ottico, come di miniprismi a riflessione totale per il “ripie-gamento” di un fascio luminoso verso l’oculare centrale. Si puo impostare un minicorso di ottica applicatasull’uso delle macchine fotografiche e, successivamente, delle telecamere (otticamente hanno lo stesso tipodi funzionamento).

5.4 Altre osservazioni e considerazioni

Si raccomanda di consultare il sito hep.fi.infn.it/ol/samuele/schede.php, dove si possono trovare inte-ressantissime ma semplici esperienze sviluppate dal dr. Samuele Straulino nell’ambito delle attivita delprogetto OPENLAB del Polo Scientifico e Tecnologico dell’Universita di Firenze, settore FISICA. Nelcapitolo dedicato all’Ottica e particolarmente utile il kit messo a punto per la dimostrazione e lo studiodelle proprieta della riflessione e rifrazione, delle proprieta delle lenti ecc.Un’esperienza banale ma affascinante: in estate (col sole alto sull’orizzonte), sdraiati a prendere la tintarel-la, portate un braccio sulla fronte, di fronte agli occhi per difendervi dall’intensa luce solare. Cercatedi porre il bordo del braccio proprio davanti ai vostri occhi , in modo che la peluria dell’avambraccio sitrovi davanti alla vostra pupilla, avendo il sole alto sull’orizzonte. Mettendo l’altra mano oltre il braccio(per creare uno schermo alla luminosita del cielo sullo sfondo), e guardando la peluria dell’avambraccio,si possono osservare moltissime figure di vari colori e sfumature, che rappresentano le figure di diffrazionedella radiazione solare sulle micro-asperita presenti su ogni pelo presente sulla nostra linea di vista. Euno spettacolo affascinante, mutevole e vario (come quello offerto dalle varie forme e moti delle nuvole incielo), che puo suscitare molte fantasie, ma puo anche far riflettere sul perche si osservano quelle strutture,iniziando cioe a ragionare di Fisica.E facile anche procurarsi due fogli di lamina polaroid, sostanza che trasmette la radiazione con un bendeterminato piano di oscillazione.5 Ci si puo divertire a fare molte prove avendo una lampadina (comesorgente di radiazione non polarizzata) e inserendo nel percorso ottico i due fogli di polaroid, mettendoliparalleli, incrociandoli (per avere estinzione della luce), disponendoli con angoli differenti fra i loro pianidi oscillazione, ecc. Avendo a disposizione anche occhiali da sole con lenti polarizzanti, si puo capirecome funzionano, perche il piano di oscillazione delle lenti polarizzanti e disposto grosso modo in unpiano verticale, e infine ...ricordandosi dell’angolo di Brewster!6

P P10

z

zenith

orizzonte

SOLE SOLE

Figura 5.4: Schema della diffusione multipla della radiazionesolare nell’atmosfera terrestre.

In estate, col sole alto sull’orizzonte, siosserva talvolta che, con persiane o tap-parelle chiuse (per difendersi dal cal-do), si vedono cerchietti luminosi chesi muovono lentamente sul pavimento.Sono immagini stenopeiche 7 del Sole,originate da piccoli fori posti nella strut-tura delle persiane o delle tapparelle.Basta prendere un foglio di carta biancae “risalire” dal cerchietto luminoso sulpavimento fino al forellino da cui l’im-magine stenopeica si origina per capirnel’origine. Ovviamente si muovono sulpavimento con la velocita angolare ap-parente con cui si muove il Sole in cielo.A questo proposito e interessante ricor-dare che una delle piu grandi immagini stenopeiche del Sole (ma sicuramente la piu bella per il luogo dovesi forma) che si possa osservare e quella prodotta dalla bronzina situata sulla sommita della cupola (alivello della lanterna) del Duomo di Firenze. L’immagine stenopeica del Sole (di circa 90 cm di diametro)

5Si raccomanda di riguardare il capitolo della polarizzazione della luce!6E qui si aprirebbe un grande ma complesso capitolo dell’ottica fisica, che e sicuramente oltre gli scopi di queste semplici

considerazioni.7Si vedano le nostre dispense, indicate all’inizio del capitolo, su questo semplice ma interessante fenomeno.

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si forma nella cappella della Croce (lato nord del Duomo), (dove si trova anche uno splendido esempiodi scala ticonica, incisa nel marmo e ricoperta normalmente da una lastra di ottone) attorno al sostiziod’estate (infatti il sistema fu creato all’atto della costruzione del Duomo di Firenze come uno gnomonesolstiziale).8

Una frequente domanda: perche la luce del Sole e bianca e il colore del cielo diurno e azzurro? Rispo-sta: perche fra noi e il Sole c’e l’atmosfera terrestre, che contiene una gran quantita di molecole eparticelle solide di piccolissime dimensioni. Con riferimento alla Fig.5.4 quando il fascio di radiazioneproveniente dal sole incontra l’atmosfera terrestre, la radiazione viene diffusa dai componenti (molecolee micropolveri) presenti negli strati piu alti dell’atmosfera. Questa diffusione e cromatica, nel senso cheil coefficiente di diffusione dipende da λ−4, essendo λ la lunghezza d’onda della radiazione diffusa (diffu-sione alla Rayleigh). Il processo di diffusione e multiplo, vista la densita del materiale atmosferico, cioela radiazione diffusa inizialmente in P viene successivamente diffusa nuovamente in un punto vicino P1

e poi in P2 e cosı via. Poiche i fotoni violetti e azzurri sono quelli che sono diffusi preferenzialmente(vista la dipendenza cromatica sopra detta), la radiazione diffusa verso il basso globalmente dal “cielo”avra una colorazione azzurra per il nostro occhio (che non vede bene il violetto e per nulla le lunghezzed’onda piu corte). Il colore bianco che apprezziamo al suolo risulta dal filtraggio che per diffusione (maanche per assorbimento vero) viene compiuto dall’atmosfera terrestre sulla radiazione solare. 9 Quandoil Sole e invece basso sull’orizzonte (alba o tramonto), cioe si trova a un’elevata angolazione zenitale zin Fig.5.4, poiche il percorso geometrico nell’atmosfera e molto piu lungo di quello quando il Sole e apiccoli valori di z (alto sull’orizzonte), quasi tutti i fotoni violetti e azzurri del fascio proveniente dal Solevengono diffusi attraverso multiple diffusioni e conseguentemente nel fascio luminoso che arriva al nostroocchio restano solo i fotoni gialli ma soprattutto rossi e il colore del Sole e per noi “rosso”. Si trattaquindi di un’altra dimostrazione qualitativa del cromatismo alla Rayleigh della diffusione atmosferica,che manifestano anche gli altri corpi celesti con l’arrossamento del loro colore apparente quando sonoosservati ad alte angolazioni zenitali z.Una ben nota manifestazione della rifrazione che avviene nelle gocce d’acqua presenti in atmosfera e datadall’arcobaleno. Ricordiamo che l’arcobaleno si osserva subito dopo una pioggia (cioe quando ci sonoancora in sospensione in atmosfera gocce d’acqua) e col Sole abbastanza basso sull’orizzonte (non in

Figura 5.5: Struttura dell’arcobaleno primario

culminazione), dando le spalle al sole e osservando indirezione antisolare. Si puo osservare anche in vici-nanza di una grossa cascata d’acqua, quando ci sonoin sospensione una gran quantita di gocce d’acqua.Con riferimento alla Fig.5.5, in genere si osserva so-lo l’arcobaleno primario, piuttosto brillante, in cui ilrosso e l’arco piu esterno (e a maggior altezza sul-l’orizzonte), mentre l’azzurro e il piu interno e piubasso sull’orizzonte. Come vedremo, l’arcobaleno pri-mario si origina da una sola riflessione della luce so-lare all’interno delle gocce d’acqua. In condizioni diparticolare tranquillita atmosferica e con cielo moltopulito (e non “lattiginoso” per inquinamento o neb-bia) si puo talvolta osservare anche l’arcobaleno se-condario, originato da due riflessioni all’interno dellegocce d’acqua, molto piu debole del primario e in cuil’ordine dei colori degli archi e invertito (cioe l’arcopiu esterno ha il colore azzurro e quello piu interno eil rosso).Esaminiamo il percorso di un raggio luminoso, prove-niente dal sole, all’interno di una goccia in sospensione in aria. Con riferimento alla Fig.5.6 il raggio SA,che incide in A con un angolo i, viene rifratto con un angolo di rifrazione r in accordo con la relazione

8Nei due mesi attorno al sostizio d’estate vengono organizzate lezioni ed esposizioni interessanti di questo fenomeno, acui partecipano varie scolaresche e gruppi di turisti.

9Fuori atmosfera il colore della radiazione del sole e leggermente piu azzurro del bianco perfetto che apprezziamo a terra,il cielo appare perfettamente nero (mancando l’effetto di diffusione dell’atmosfera) e si possono osservare le stelle accanto aldisco intenso del Sole. Si vedano le molte immagini prese dallo spazio in cui vedono le stelle col Sole in vicinanza. Andandosui siti dell’ESA e della NASA se ne trovano a centinaia.

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S M

C

O

A

B

i

rr

∆

Figura 5.6: Schema delle riflessioni interne alla goccia perla formazione dell’arcobaleno

∆

Figura 5.7: Schema della formazionedell’arcobaleno secondario

fondamentale della rifrazione n = sen(i)/sen(r), dove n e l’indice di rifrazione relativo al passaggio aria-acqua alla lunghezza d’onda del raggio luminoso considerato. Ricordiamo che una piccola parte del fascioincidente sulla superficie di separazione fra i due mezzi (dell’ordine di grandezza del 5%) viene riflessa nelmezzo di arrivo del fascio, mentre il rimanente dell’energia raggiante incidente viene rifratta nel secondomezzo secondo la legge di Cartesio-Snell prima ricordata. Per la reversibilita del cammino ottico questofenomeno (la riflessione di circa il 5% dell’intensita del fascio incidente sulla superficie di separazione)avviene anche quando si ha rifrazione da un mezzo piu rifrangente (nel nostro caso la goccia) a un mezzomeno rifrangente (nel nostro caso l’aria), a meno che l’angolo d’incidenza non superi l’angolo limite, nelqual caso si avra riflessione totale e tutto il fascio viene riflesso nel mezzo piu rifrangente.Dopo la rifrazione in A il raggio prosegue nella goccia fino a incontrare la superficie della goccia in B, dovela maggior parte dell’energia incidente in B viene rifratta all’esterno della goccia; circa il 5% viene inveceriflesso all’interno della goccia e giunge in C, dove il fascio emerge dalla goccia con un’intensita dell’ordinedel 4.5% dell’intensita incidente sulla goccia e nella direzione MC, cioe con un angolo di deviazione ∆rispetto alla direzione originaria del fascio prima dell’incontro con la goccia.Dal triangolo ABM e facile ricavare (MB e la bisettrice di ∆) che ∆ = 2(2r − i). Ricavando r dallarelazione di Snell abbiano che ∆ = 4 sen−1(seni/n)− 2i; quindi ∆ e una funzione di i. Ma l’osservatorea terra guarda lungo la direzione CM, quindi potra vedere solo i raggi luminosi che incidono con un bendefinito i su gocce che si trovano proprio all’altezza nell’atmosfera tale da definire gli angoli in accordocon la relazione determinata precedentemente. Una distribuzione casuale di gocce in atmosfera e di angolidi incidenza i darebbe origine a una distribuzione casuale di raggi rifratti uscenti dalle gocce, quindi unadistribuzione angolare casuale di raggi di debole intensita, dando origine a una luminosita diffusa manon a un arcobaleno, che e una distribuzione ben organizzata. Se tuttavia la funzione ∆(i) avesse unpunto di stazionarieta la situazione sarebbe diversa perche i raggi luminosi che incidessero sulle goccecon angoli prossimi a istaz sarebbero tutti deviati praticamente dello stesso angolo ∆staz , aumentandol’intensita del fascio deviato e divenendo conseguentemente ben visibili sullo sfondo del cielo luminosoper aumento del contrasto. Vediamo quindi se la funzione ∆(i) presenta almeno un punto di stazionarieta.

d∆

di=

4√

1 −(

senin

)2· cosin

− 2 =4cosi

√

n2 − (seni)2− 2 = 2

[

2cosi√

n2 − 1 + (cosi)2− 1

]

(5.7)

Avremo stazionarieta se

d∆

di= 0 ⇒ 2cos(i) =

√

n2 − 1 + cos(i)2 ⇒ cos(i) =

√

n2 − 1

3(5.8)

Assumendo n = 4/3 abbiamo, dalla (5.8), che istaz ≃ 59.4 e corrispondentemente ∆staz ≃ 42, esatta-mente l’angolo che si misura fra il centro di simmetria dell’arcobaleno e la mediana degli archi colorati.Con riferimento alla Fig.5.7 un raggio luminoso che incida su una goccia d’acqua presente in atmosferanel modo illustrato puo essere rifratto anche dopo due incidenze sulla superficie della goccia. Ripetendoil ragionamento fatto precedentemente si trova che, in questo caso, si forma l’arcobaleno secondario,in condizioni stazionarie, per ∆staz;secondario ≃ 51. Tuttavia bisogna notare che l’intensita di questo

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arcobaleno secondario sara circa il 2.3 · 10−3 dell’intensita del fascio incidente sulla goccia e, quindi, dif-ficilmente osservabile (solo in condizioni quasi perfette di trasparenza e limpidezza del cielo, non faciledopo una pioggia). Inoltre la distribuzione dei colori negli archi dell’arcobaleno secondario sara invertitarispetto a quella del primario (cioe l’arco azzurro sara quello piu alto, mentre quello rosso sara il piubasso sull’orizzonte), come era prevedibile avendo subito il fascio cromatico un’ulteriore riflessione sullaparete della goccia.

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Capitolo 6

Elettrologia

La nostra vita e attualmente invasa da dispositivi che utilizzano l’energia elettrica, che rappresenta lamodalita piu efficiente e semplice di distribuzione d’energia. Utilizziamo quotidianamente un numero sem-pre crescente di ordigni nei quali l’elettricita rappresenta il fulcro centrale del funzionamento. Tuttaviae sempre piu difficile riuscire a comprenderne 1 veramente il funzionamento perche la complessita tecno-logica aumenta sempre, includendo discipline che si sono originate come settori dell’elettromagnetismoclassico, ma che, successivamente, si sono sviluppate in branche specialistiche molto sofisticate (a es.,elettrotecnica, elettronica, fisica dello stato solido, ecc.). Impossibile quindi proporle a studenti liceali so-prattutto facendo riferimento agli argomenti di Fisica classica di base, che sono impartiti necessariamentenelle scuole. Tuttavia desideriamo offrire alcune riflessioni su alcuni argomenti di elettromagnetismo clas-sico, che possono essere estratti (con una certa difficolta) dall’esperienza di vita quotidiana.

6.1 Elettrostatica

Non e difficile avere esperienze concrete di fenomeni legati all’elettrizzazione per strofinio (triboelettricita),cioe separazione di cariche elettriche dovuta a dissipazione di energia meccanica per attrito fra materialiaventi diverse proprieta triboelettriche 2

• elettrizzazione dei capelli (ben asciutti, perche?) pettinati o spazzolati energicamente con pettined’osso o di plastica, che poi tendono a formare una chioma di capelli dritti, che vengono spostatiavvicinando loro il pettine o la spazzola. Funzionano meglio i capelli lunghi e fini (perche?);

• una sbarretta di vetro, elettrizzata tramite strofinio con un panno di lana, e capace di attrarre (perinduzione) piccoli pezzetti di carta o capelli o altri piccoli corpi isolanti, ma di peso molto modesto;

• panni di materiale facilmente elettrizzabile per strofinio, utilizzati come stracci per pulire per terra,che raccolgono facilmente polvere e piccoli residui di sporco;

• indumenti di materiale sintetico, che si elettrizzano facilmente per strofinio (basta stare a sedere suun divano per un po’ di tempo, muovendosi), e che generano una lieve scossa quando si tolgono.Talvolta, se si tolgono velocemente in una stanza al buio, si vede anche una leggera luminescenzaattorno all’indumento. Ci si chieda perche;

• quando siamo seduti in auto, per un certo tempo, con indumenti di materiale sintetico o di lana, e siscende dall’auto indossando scarpe isolanti (con la gomma, per esempio) si prende una lieve scossatoccando l’auto o infilando la chiave nella serratura. Il fenomeno non si verifica se si ha l’avvertenzadi tenere una mano a contatto della parte metallica della carrozzeria mentre si scende dall’auto

1Un buon insegnante deve sempre ricordare ai suoi allievi la profonda differenza che esiste fra comprendere, che derivadal latino cum + prehendere → prendere insieme, far proprio, e apprendere, che deriva da ad + prehendere → prenderevicino. Bisogna che gli argomenti trattati vengano metabolizzati, diventino parte di noi, cioe vengano compresi.

2La serie triboelettrica e sostanzialmente un elenco di materiali, disposti in modo da rappresentare qualitativamente laloro abilita a cedere elettroni per strofinio; i primi sono elettropositivi (ottimi datori di elettroni e troviamo la pelle umanaasciutta, vetro, lana, ecc.), gli ultimi elettronegativi (ottimi accettori di elettroni e troviamo polietilene, PVC, teflon).

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(cioe mentre si separano le cariche accumulate sull’indumento e sulla carrozzeria dell’auto), o sesiamo scalzi, oppure se piove, oppure se l’auto e dotata di una catenella metallica che tocca terra.Perche?

• i fulmini, che si originano sostanzialmente quando cumulonembi (nubi temporalesche ad alto con-tenuto di vapor d’acqua) si muovono ad alta velocita rispetto al suolo, per cui si caricano nega-tivamente (nella parte inferiore del cumulonembo) e positivamente (nella parte superiore). Perinduzione le parti emergenti del terreno (alberi, case, ecc.) si caricano positivamente mentre il ter-reno si carica negativamente. In questo modo si viene a stabilire un’elevata differenza di potenzialefra la parte inferiore del cumulonembo e la Terra, che accelera gli ioni presenti in atmosfera. Questiionizzano per urto altri gas atmosferici, creando miniscariche locali che si propagano stocastica-mente instaurando un processo a valanga che, con un percorso talvolta bizzarro, si propaga finoa Terra, dando luogo al fenomeno che chiamiamo fulmine. Si potrebbe dire che il fulmine e unaspecie di percolazione veloce di cariche elettriche, che si amplifica nel corso del suo cammino, comesuccede nella formazione di alluvioni, frane e smottamenti a seguito di violente e improvvise piogge.In realta la conoscenza attuale dei fulmini e molto piu complessa della semplicistica spiegazionedata precedentemente 3; si tratta di correnti improvvise di plasma ad alta energia, con differenze dipotenziale ≈ 1− 10 GV , correnti ≈ 10− 200 kA, temperature elettroniche ≈ 5 · 104 K, quantita dicarica trasportata ≈ 5−10 C, velocita di propagazione media ≈ 100−300 km/s. La loro trattazionequantitativa richiede quindi profonde conoscenze di Fisica del plasma, impresentabili nel contestoscolastico (ma anche universitario, almeno per i primi anni di corso).I valori sopra esposti ci dicono chiaramente che i fulmini sono estremamente pericolosi 4; non solo sesi viene investiti direttamente, ma anche se cadono nelle vicinanze perche le correnti indotte dagliintensissimi campi elettrici impulsivi possono provocare seri danni sia biologici sia alle apparecchia-ture elettriche ed elettroniche a noi vicine. Bisognerebbe dotare gli edifici di apparecchiature perl’eliminazione delle sovratensioni impulsive, che pero sono costose.

A proposito di fulmini sono da ricordare l’utilita e le proprieta su cui e basato il parafulmine: essenzial-mente il cosidetto potere delle punte. Si consiglia di riguardare criticamente la struttura di un parafulminee di come debba essere collegato a terra per risultare efficiente 5.Altro fenomeno collegato all’elettricita atmosferica e quello dei fuochi di S. Elmo, cioe la leggera lumi-nescenza che si origina nelle parti superiori degli alberi di imbarcazioni che stanno navigando in mareaperto, ma anche sulla sommita di ciminiere e di alte guglie di chiese durante violente tempeste con nubibasse. Perche?

6.1.1 Condensatori

I condensatori possono essere pensati come spugne per le cariche elettriche e risultano utili quando siverificano nei circuiti interruzioni improvvise di correnti elettriche, che provocano le cosidette extra-correnti di apertura (o di chiusura), legate alla legge di Faraday-Neumann. Condensatori sono posti inparallelo alle porte degli elettrodomestici, per evitare che durante il loro funzionamento, magari sottocarico di correnti elettriche notevoli (resistenze di riscaldamento o motori), l’apertura (improvvida) dellaporta crei una violenta scintilla sul blocco della porta con conseguenze anche spiacevoli per l’incautooperatore. Sono messi in parallelo ai terminali di apertura/chiusura dei relais e negli starter dei tubifluorescenti (unitamente a induttanze e interruttori termici). Sono ampiamente utilizzati per rifasare lecorrenti e le tensioni nei circuiti a c.a. (sia a costanti concentrate che nei circuiti integrati), ma questeutilizzazioni appartengono a specialisti e non sono trasferibili nell’ambito scolastico.

3Sono state recentemente scoperte, con misure dallo spazio, anche emissioni di raggi γ associate a fulmini molto violentie questo complica notevolmente la spiegazione fisica di questi fenomeni.

4Una corrente di ∼ 20 mA puo gia produrre folgorazione.5E altamente consigliabile ribadire agli studenti le norme prudenziali da seguire durante i temporali con associate

emissioni di fulmini: non stare in piedi vicino ad alberi o pali soprattutto metallici, non toccare aste metalliche, possibilmenterestare in luogo chiuso e isolato (la casa, l’auto isolata da terra, sono ottimi rifugi in caso di fulmini, funzionano da eccellentigabbie di Faraday), non rimanere su tetti e spioventi elevati, cime di montagne, ecc.

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6.1.2 Multimetri

I multimetri (chiamati anche tester) dovrebbero essere usati ampiamente in laboratorio per misure diintensita di corrente e differenze di potenziale (sia in c.c. che c.a.), resistenza elettrica (c.c.) e impedenza(c.a.), in vari circuiti per verificare le leggi di Ohm e di Kirchhoff (almeno!). Tuttavia e utile sottolineare laloro utilita anche nella vita quotidiana per controllare il funzionamento (o meglio il malfunzionamento)di apparecchi ed elettrodomestici. Spesso di tratta di interruzioni di contatti, di prese o spine in cuiqualche filo si e allentato (anche per la pessima abitudine [forse meglio definibile come barbarie!] dialcuni sprovveduti di togliere le spine dalle prese afferrandole per il filo di trasmissione); in questi casil’intervento di ripristino e semplicissimo e puo essere eseguito da chiunque.E bene ribadire che le misure in c.a. sulla rete domestica (220 V) sono pericolose e vanno eseguite solo daesperti; il rischio di folgorazione e elevato. Se proprio si devono eseguire misure di tensione sotto caricoe consigliabile di mettersi guanti isolanti, porre sotto i piedi un’asse di legno e stare molto attenti a nonessere in contatto, con altre parti del corpo, di oggetti conduttori verso terra.Per le misure di resistenza l’oggetto va sempre tolto dall’alimentazione (qualunque essa sia) e va fattamolta attenzione affinche i puntali del multimetro non vedano chiusure di circuito all’esterno dei puntali.In altre parole, se si desidera misurare la resistenza elettrica di un componente bisogna che non sia incontatto elettrico con tutto quanto di trova a monte e a valle del componente, altrimenti si misurera laresistenza efficace di quanto e presente all’esterno del componente 6.Didatticamente sono da preferire i multimetri analogici (ormai rari anche nei laboratori) perche danno lapossibilita allo studente di seguire la procedura di funzionamento della misura (si vede spostare la bobinamobile, l’ago sulla scala graduata, si deve imparare ad apprezzare il corretto posizionamento dell’agomobile sulla scala, magari con l’aiuto di uno specchietto, ecc.). I multimetri digitali forniscono solo unnumero sul display (oppure lo inviano direttamente a un calcolatore che effettua poi il trattamento deidati) e l’operatore e una specie di servo-muto passivo 7. Non vogliamo essere retrogradi e antistorici,vogliamo solo dire che, inizialmente, i processi di apprendimento, anche nell’esecuzione di misure fisiche,devono essere interiorizzati dallo studente e per questo e necessario condividerne al massimo tutti ipassaggi operativi. Successivamente, nell’applicazione pratica, ci si deve avvalere di tutte le risorsetecnologiche a disposizione, che pero devono essere sempre calibrate e tenute sotto controllo. L’operatoreuomo non deve mai abiurare alla sua capacita di decisione e di critica.

6.1.3 Bilance piezoelettriche

Le moderne bilance elettroniche funzionano sfruttando l’effetto piezoelettrico 8. In cristalli, che nonpresentano un centro di simmetria nella loro struttura cristallina, tagliati in modo che le facce superioree inferiore (fra loro parallele) risultino ortogonali alle direttrici di simmetria della struttura cristallina,se viene applicata una forza di compressione, normale a queste facce, si crea una differenza di potenzialeelettrico fra di esse,che inverte il segno se la compressione viene modificata in estensione (piezoelettricitadiretta). Se invece applichiamo una differenza di potenziale alle suddette facce, si nota una contrazione (oestensione a seconda del segno) meccanica del cristallo (piezoelettricita inversa). Misurando la differenzadi potenziale ∆Vm creata dal posizionamento di un corpo pesante sul piattello della bilancia, dopo avertarato ∆Vm in termini della forza di compressione applicata al cristallo piezoelettrico della bilancia(operazione fatta dal costruttore), si legge sul display digitale il valore attribuito alla massa del corpo.Poiche queste bilance misurano la forza peso (che sappiamo varia sia con l’altezza sul livello del mare siacon la latitudine del luogo), per misure accurate di massa devono essere tarate, al momento della misura,con masse campione corrispondenti al limite della loro portata, a cui verra assegnato il valore di fondoscala e quindi tutte le successive misure indicheranno correttamente il valore delle masse dei corpi postisulla bilancia.

6Ricordarsi sempre i teoremi fondamentali delle reti lineari, Kirchhoff, Thevenin, Miller, ma anche Norton!7La stessa osservazione vale nel caso dei calibri a corsoio classici, analogici, e quelli digitali, che sparano un numero a

cui si deve credere ciecamente.8L’effetto piezoelettrico fu scoperto nel 1880 sul quarzo, SiO2, che possiede un reticolo cristallino trigonale, con tetraedri

Si − O uniti fra loro per i 4 vertici a formare spirali spaziali ad andamento destro o sinistro.

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6.1.4 Fotocopiatrice

Un’interessante applicazione dell’elettrostatica e fornita dal funzionamento della fotocopiatrice. Unacinghia metallica (messa a terra) e ricoperta da un sottile strato di materiale fotoconduttore (spessoe usato selenio 9). La superficie libera del fotoconduttore viene elettrizzata negativamente tramite unopportuno elettrodo metallico e

cinghia metallica

strato di Seimmagine documento

polarizzazione Se

elettroni

fusione toner su carta

raccolta fotocopie

vassoio carta

cilindro di pressione

1)

2)3)

4)bianca

toner

Figura 6.1: Schema di una fotocopiatrice tradizionale

quindi, per induzione, si formauna distribuzione di cariche posi-tive sulla superficie superiore del-la cinghia di supporto [fase 1, v.Fig.(6.1)]. Successivamente l’im-magine del documento da foto-copiare viene proiettata, tramiteun opportuno sistema ottico ed’illuminazione, sul fotocondut-tore [fase 2]. Le aree illuminatedivengono conduttrici e quindi glielettroni depositati sul fotocon-duttore vengono in contatto con lasuperficie (carica positivamente)della cinghia metallica e scaricatia terra. Invece le aree dove si sonoformate le lettere, disegni, grafici dell’immagine originale, nere, rimangono non conduttrici e conservanola loro elettronegativita. Successivamente [fase 3], tramite una specie di spazzola viene depositato il toner10, caricato positivamente, che quindi si attacca alle zone scure del fotoconduttore. Il fotoconduttore vienepoi illuminato uniformemente di nuovo, affinche possa essere cancellata del tutto l’immagine di caricadal fotoconduttore e quindi le particelle di toner si possano poi staccare facilmente dal fotoconduttore eaderire al foglio di carta bianca (leggermente caricata negativamente in modo da tenere aderenti

Figura 6.2: Le quattro fasi principali di unafotocopiatrice tradizionale

le particelle di toner). Alla fine [fase 4] il foglioviene pressato e riscaldato in modo che le parti-celle di toner fondano e s’incorporino nella strut-tura della cellulosa del foglio, che uscira alla finenel vassoio di raccolta delle fotocopie. Riportiamo,per maggior chiarezza, in Fig.6.2 lo schema dellequattro fasi principali per il funzionamento di unafotocopiatrice tradizionale.Le fotocopiatrice moderne utilizzano sistemi conrivelatori digitali d’immagini e con un opportunoprocessore la macchina puo inviare l’immagine di-gitale via telefono (FAX), oppure inviarla a unamemoria di calcolatore (SCANNER), oppure in-viarla a un sistema di stampante laser, internoalla macchina, riprocessando il tutto come primadescritto (FOTOCOPIATRICE).

6.2 Fornitura dell’energia elettrica

Come e noto l’energia elettrica viene fornita nelle nostre abitazioni sotto forma di c.a. monofase, a 50 Hz,220 V (valore efficace)11.Dalle centrali di produzione di energia elettrica partono le linee ad alta tensione (AT), trifase, con

9Il 7934Se e un metalloide, chimicamente affine allo zolfo, isolante al buio, che presenta, nella sua forma cristallina, bande

di valenza separate da ≃ 2 eV dalla banda di conduzione, per cui se viene investito da un fascio di radiazione visibile la suaconducibilita elettrica aumenta di un fattore ∼ 103 e diventa conduttore.

10Polvere plastica isolante che puo contenere anche pigmenti colorati.11In realta dovrebbe essere fornita a 230 V, con una tolleranza del 10%, ma normalmente le misure delle tensioni di rete

domestica si aggirano attorno ai 220 V di valore efficace.

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Veff ≈ 60 − 400 kV (nel caso italiano la Veff tipica e dell’ordine di 380 kV) 12, e potenze trasportate≈ 100 − 400 MVA. Tramite cabine primarie di trasformazione (operazione semplice con c.a., almenoin linea di principio,) si passa alla rete locale di media tensione (MT) ≈ 10 − 30 kV, per poi arrivare,tramite cabine di trasformazione secondaria (le cabine ENEL che vediamo comunemente in giro) allabassa tensione (BT), con Veff < 400 V, che viene fornita ai comuni utilizzatori sotto forma di tensionetrifase oppure monofase (quella per il normale uso domestico). Grandi utilizzatori di energia elettrica(officine, grandi aziende, centri commerciali ecc.) hanno le proprie centrali secondarie di trasformazioneMT/BT.Il vantaggio di usare la c.a. e di facilitare le procedure di trasformazione di tensione in modo da trasportareelevate potenze senza immettere eccessive intensita di corrente nelle linee primarie, che produrrebero(effetto Joule) un’alta dissipazione di energia sulle linee di trasmissione fino anche alla fusione dei cavi.Facciamo un semplice esempio: si voglia trasportare per un tratto di 10 km una potenza di 100 kWusando un cavo di rame di 1.5 cm di raggio. Il cavo avra quindi una resistenza elettrica totale RT =ρCu · l/S ∼ 0.24 Ω , con ρCu ≃ 1.7 · 10−8 Ωm, resistivita del rame e S ∼ 7.1 cm2, sezione del cavo.Se usassimo BT (220 V ) dovremmo immettere nel cavo una corrente i1 = P/Veff ∼ 0.45 kA, cheprodurrebbe una dissipazione Joule sul cavo di PJoule,1 = RT · i21 ∼ 0.5 · 105 W, corrispondente al 50% diquanto si vorrebbe utilizzare, quindi inaccettabile (con alti rischi anche della fusione del cavo!). Se inveceutilizziamo la MT (∼ 2.2 · 104 V), la corrente sul cavo si ridurrebbe a i2 ∼ 4.5 A e conseguentementela dissipazione Joule sarebbe in questo caso di PJoule,2 ∼ 5 W, praticamente nulla rispetto a quellatrasportata. Si puo quindi anche pensare a ridurre la sezione del cavo fino a limiti di dissipazioneaccettabili ma con evidente semplicita ed economicita costruttiva. Si lascia al lettore la valutazione dellaconvenienza nell’uso dell’AT.Ovviamente il trasporto in AT comporta grossi problemi d’isolamento 13, ampiamente compensati daivantaggi di efficienza nel trasporto dell’energia.La BT monofase normalmente utilizzata per usi domestici ha una Veff ∼ 220 V e puo essere moltopericolosa. Infatti una corrente iM ∼ 17 mA a 50 Hz che attraversa il nostro corpo puo risultare mortale(per soggetti deboli). Il corpo umano presenta una resistenza elettrica totale RT data dalla somma dellaresistenza della pelle Rpelle ≈ 3 kΩ (pelle asciutta) e Rpelle ≈ 102 Ω (pelle bagnata), e dalla resistenzainterna degli organi stimabile in Rinterna ≈ 100−500 Ω. Convenzionalmente viene assunta una RT ≈ 3 kΩ14. Conseguentemente la tensione minima pericolosa a 50 Hz sara im ·RT ∼ 50 V.

Figura 6.3: Schema di un interruttoredifferenziale

L’impianto domestico deve prevedere quindi non solo l’ali-mentazione (con 2 fili, uno per la fase [colore marrone] el’altro per il neutro [colore blu]), ma anche un terzo cavo[colore giallo/verde], collegato a terra, tramite un opportunodispersore, che dovra sempre essere presente in tutte le presedi tensione, spine ed elettrodomestici. Tuttavia si puo sem-pre verificare un incidente e creare un contatto della fase conqualche elemento metallico; in questo caso si potrebbe creareun serio pericolo per chi entrasse in contatto con l’elemen-to sotto tensione (soprattutto se non adeguatamente isolatoda terra). Per questo sono stati imposti gli interruttori dif-ferenziali (chiamati anche salvavita), che sconnettono (entroalcuni ms dall’incidente eventuale) l’alimentazione generaledell’impianto monofase dell’abitazione. Con riferimento al-la Fig.(6.3) la linea di fase dell’alimentazione e avvolta, informa di bobina, (P1 nella figura), su un toro di materialeferromagnetico per poi andare al circuito di utilizzazione,rappresentato nella figura da Ru, dove dovrebbe scorrere

12Sono i grandi e alti tralicci metallici che sostengono 4 grossi cavi, di cui il centrale e il neutro e i tre laterali, disposti a120, trasportano le 3 fasi della c.a.

13Esistono prescrizioni severe nelle distanze minime da rispettare per costruzioni, coltivazioni, attivita di ogni tipo, dallelinee ad AT per evitare scariche elettriche mortali ma anche fonti d’incendi.

14Gli effetti prodotti dal passaggio della corrente elettrica sono molteplici, vanno dalla semplice scossa muscolare allatetanizzazione [contrazione permanente dei muscoli] all’arresto respiratorio e alla fibrillazione ventricolare fino alla fol-gorazione. Si consiglia di consultare un testo di fisiologia al riguardo per poi illustrare, magari con la collaborazionedell’insegnante di Scienze, ai ragazzi i pericoli collegati con l’uso non consapevole dell’energia elettrica.

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una corrente I. Se in Ru si ha una dispersione Id verso terra, nel percorso di ritorno verso il neutro lacorrente diminuira a I − Id e nella bobina P2, avvolta in senso contrario a P1 sul toro, il flusso magneticonel toro non sara piu nullo, ma diverso da zero. Conseguentemente, per la legge di Faraday-Neumann, nel-la bobina S si genera una tensione indotta che alimenta un relais SW che stacca (quasi immediatamente,entro alcuni ms) l’alimentazione generale all’impianto permettendo il controllo del malfunzionamento eil ripristino delle condizioni di sicurezza.Al fine di operare in regime di massima sicurezza, e sempre consigliabile di toccare un elemento metallico,su cui si sospetta possa esistere una dispersione di tensione d’alimentazione, col dorso della mano e delledita, per evitare che l’eventuale scossa possa indurre la tetanizzazione permanente dei muscoli della manoe rimanere conseguentemente attaccati al conduttore sotto tensione.Alcune considerazioni (che dovrebbero essere ovvie ma, come spesso si sente, non lo sono) sulla bollettarelativa alla fornitura dell’energia elettrica:

• il costo della fornitura dell’energia elettrica e per kWh d’energia fornita, essendo 1 kWh = 3.6 MJl’unita di misura dell’energia consumata;

• il costo dipende dalla fascia di potenza massima utilizzabile, imposta dal cosidetto contatore, che none altro che un wattmetro con limitazione di potenza erogabile. Questa limitazione serve al gestoredell’energia per sapere la potenza massima che deve erogare, per contratto, in una determinatazona, cioe per sapere quale dovra essere la massima intensita di corrente che le sue linee dovrannosopportare (la tensione di fornitura e fissa!);

• il costo della fornitura dipende dall’orario in cui si utilizza l’energia elettrica, e minore nella fascianotturna e festiva (quando prevedibilmente officine e aziende sono chiuse), e maggiore nella fasciadiurna.

Per limitare errori e incidenti con l’energia elettrica esiste (dal 1990) una normativa europea (CEI 16-4/EN60446) che impone l’uso di colori ben definiti per i fili utilizzati per realizzare impianti elettrici:

• c.a. trifase: blu → neutro, nero → fase Linea1, grigio → fase Linea2, marrone → fase Linea3, altricolori → usi generali di circuito;

• c.a. monofase: blu → neutro, marrone → fase, giallo/verde → terra;

• c.c.: rosso → conduttore +, nero → conduttore - .

220 V

DEV 1

DEV 2

PL

Figura 6.4: Schema di un impianto diilluminazione con due punti di accen-sione/spegnimento.

Riportiamo nella Fig.(6.4), per sollecitare la curiositadei futuri insegnanti anche su aspetti tecnici (ma spesso digrande interesse pratico), uno schema di un impianto di ali-mentazione di un punto-luce con due deviatori, che permettedi accendere e spengere da due punti diversi della stanza ilpunto-luce considerato.Ovviamente per schemi molto piu complessi di accen-sione/spegnimento (di diversi punti-luce ecc.) la situazionesara molto piu elaborata e rimandiamo ai testi specifici alriguardo.

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Appendice A

Introduzione fenomenologica allameccanica quantistica

I nuovi programmi della scuola secondaria superiore (licei) prevedono che all’ultimo anno del corso diFisica siano impartiti anche cenni introduttivi alla Meccanica Quantistica. L’argomentazione usata dallapropaganda ministeriale e che bisogna iniziare a insegnare ai giovani scienziati del futuro la Fisica del XXsecolo e non limitarsi a quella sviluppata fino alla fine del XIX secolo. Potrebbe sembrare un argomentoragionevole ma invece rivela la solita logica superficiale (e sostanzialmente miope) dei nostri ministeri,fra cui eccelle (in questo atteggiamento dannoso) il MIUR.Infatti la Fisica (come la Matematica, la Chimica ecc.) e una scienza logico-deduttiva, che procede perpassi di conoscenze e acquisizioni successive. Occorre aver ben chiare tutte le conoscenze logicamentee cognitivamente precedenti, non solo e non tanto temporalmente, ma soprattutto dal punto di vistaformativo. Poiche l’ignoranza (in senso strettamente etimologico del termine) della popolazione scola-stica media aumenta a ritmo vertiginoso 1, le conoscenze realmente acquisite (forse sarebbe meglio diremetabolizzate) dagli studenti liceali in Fisica non sono, in media, sufficienti a coprire nemmeno una partedella Fisica cosidetta classica. Sembra quindi “ardito” (per non dire insensato) proporre loro un percorsodifficile e impegnativo come quello di iniziare i prodromi della Meccanica Quantistica.Tuttavia la disposizione esiste e i colleghi che insegnano Fisica nei licei si trovano conseguentemente ingrande difficolta. Abbiamo pensato di preparare alcuni appunti basati soprattutto sulle evidenze speri-mentali che hanno portato, nel primo quarto del XX secolo, grandi fisici (ma spesso anche grandi Uomini)a creare questo edificio culturale bellissimo, ma molto difficile, che e la Meccanica Quantistica, come laconosciamo e usiamo adesso.

Va subito detto che la sua applicazione riguarda principalmente il microcosmo 2, cioe i fenomeniche avvengono dalle scale molecolari ≈ 10−9 m fino a quelle subnucleari < 10−15 m. La Fisica classi-ca newtoniana conserva tutta la sua validita e bellezza per tutti i fenomeni che avvengono nella scalaantropocentrica e con velocita trascurabili rispetto alla velocita di propagazione della radiazione elettro-magnetica nel vuoto; nel caso opposto occorre far ricorso, come ben noto, alla correzione relativistica,come sviluppata da Einstein.Risultera subito evidente che per seguire proficuamente gli argomenti proposti e necessario che i princi-pali capitoli di Fisica Generale (soprattutto l’Elettrologia) siano stati ben compresi e assimilati. Questoobbiettivo e estremamente ambizioso e solo pochi studenti (ma purtroppo anche non tutti i docenti)lo raggiungono e senza questo prerequisito, assolutamente necessario, sara inutile qualunque sforzo peravvicinarsi alla comprensione del mondo della microfisica.La concatenazione logica e conoscitiva delle varie esperienze e spiegazioni fisiche che hanno portato alla

formalizzazione della meccanica quantistica alla fine degli anni ’30 del secolo scorso e piuttosto articolata

1Basta leggere una qualunque relazione scritta da studenti universitari dei primi anni per rendersene conto, in cui sitrovano errori di ortografia clamorosi, consecutio temporum strampalate, frasi mozze, vuoti drammatici nelle fondamentaliconoscenze di matematica elementare, tipo impossibilita di risolvere una proporzione, oppure attonita meraviglia alladomanda di scrivere il volume di una sfera di dato raggio e simili beatitudini!

2In realta questo e vero solo parzialmente perche esistono fenomeni quantistici che si verificano anche su scalemacroscopiche. come la superfluidita e la superconducibilita, nei quali entra in gioco pesantemente anche la temperatura

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Onde CorpuscoliEsp. classiche diffrazione e interferenza: Teoria cinetica gas, chimica → atomi, molecole

comportamento ondulatorioCorpo nero → ∆E discreti e quantizzati Eff. Hall → portatori cariche negative

nei conduttoriRaggi X → alta penetrazione Radioattivita naturale → α, β, γ

Esp. Thomson → elettroni, misura di −(e/me)Esp. Millikan → e− (valore minimo) → me

Effetto fotoelettrico → fotoni → dualismo onda/corpuscoloEsp. Rutherford → atomi ≡ strutturelocalizzate (nucleo + con e− periferici)

Teoria BohrSpettri atomici → strutture discrete

dei livelli energetici dell’atomo Esp. Franck-Hertz → quantizzazioneorbite e− nell’atomo

Esp. Compton → fotoni trasportano Esp. Davisson-Germer → particelle mostrano~E e ~p, come corpuscoli comportamenti “ondosi” (diffrazione)

Particelle atomiche → dualismo onda/corpuscoloDe Broglie, Heisenberg, Schroedinger, Dirac, .... → Meccanica Quantistica,

necessaria per trattare fenomeni atomici, nucleari, subnucleari.

Tabella A.1: Quadro sinottico delle connessioni fisiche e conoscitive che hanno portato alla meccanicaquantistica.

e non “lineare”. Abbiano tentato di riassumerla nella tabella A.1 che speriamo risulti chiara e autoesplica-tiva. Nella nostra esposizione del testo seguiremo invece un percorso storico-cronologico per evidenziareanche come le diverse nuove acquisizioni si siano mutuamente influenzate, in modo cosı efficiente e, tuttosommato, affascinante.

A.1 Lo spettro della radiazione di corpo nero

Abbiamo gia trattato (v. paragr. 4.1.3) il corpo nero e le leggi che descrivono l’andamento spettraledella radiazione emessa da un corpo nero, che rappresenta una della innumerevoli astrazioni-limite (pun-to materiale, sistema rigido, sistema di riferimento inerziale, gas perfetto, trasformazione quasi-staticaecc.) tipiche della Fisica, situazioni a cui ci possiamo avvicinare quanto si vuole nei limiti delle precisionisperimentali richieste dall’analisi fisica dei fenomeni studiati.Ci riferiamo all’ottima trattazione quantitativa sviluppata su questo argomento nel volume C.Mencuccini- V.Silvestrini, FISICA II, ed. Liguori, NA, 1998, paragr. XII.1 e XII.2, a cui rimandiamo senza ripeternequi i dettagli. Ricordiamo solo che un corpo nero e realizzabile tramite una cavita, praticata in un cor-po termicamente conduttore mantenuto a temperatura costante T . La cavita e in comunicazione conl’esterno (dove c’e il vuoto) tramite una piccola apertura ∆S, le cui dimensioni lineari sono trascurabilirispetto alle dimensioni della cavita, in modo da garantire che eventuali scambi di energia sotto formadi radiazione elettromagnetica fra l’interno e l’esterno della cavita non possano alterare la stazionarietadell’equilibrio esistente fra i processi di emissione e assorbimento della radiazione da parte delle paretidella cavita e, conseguentemente, si possa assegnare al campo di radiazione esistente nella cavita ( eanalizzabile tramite il pennello di radiazione che puo fuoriuscire da ∆S) la temperatura T . La radiazioneelettromagnetica presente nella cavita dovra essere uniforme e isotropa. Infatti se non fosse uniforme sipotrebbero individuare almeno due punti P1 e P2 all’interno della cavita fra cui si potrebbe stabilire unflusso di energia raggiante; ma questo e proibito dal secondo principio della termodinamica, essendo ilsistema stazionario e isotermo. L’isotropia e garantita dal fatto che se, nell’intorno di un punto P , internoalla cavita, esistessero almeno due direzioni spaziali per cui la radiazione elettromagnetica presentasseintensita diverse, queste potrebbero essere messe in equilibrio fra loro (tramite una serie di opportune

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superfici riflettenti, anch’esse alla temperatura T ) e realizzare quindi uno scambio di energia partendosolo da due situazioni isoterme e violando cosı ancora il secondo principio della termodinamica.Con un ragionamento analogo si puo adesso dimostrare che la radiazione elettromagnetica contenuta indue cavita di corpo nero isoterme non puo dipendere ne dalla forma ne dalla dimensione della cavita.Se cosı fosse, si potrebbero collegare otticamente (tramite una lente e un filtro interferenziale a bandastretta, in modo da poter considerare la radiazione che fuoriesce come praticamente monocromatica) ledue aperture verso l’esterno delle due cavita nere e realizzare un trasferimento di energia raggiante daquella a contenuto energetico superiore a quella a contenuto minore. Ma essendo le due cavita isotermequesto e proibito sempre dal secondo principio della termodinamica e quindi l’assunto e dimostrato.In conclusione possiamo dire che la densita di energia monocromatica della radiazione di corpo nero con-tenuta nella cavita considerata non puo dipendere che dalla temperatura T della cavita e dalla frequenza(o dalla lunghezza d’onda) a cui si considera.Si puo allora scegliere, per semplicita, una cavita quadrata di spigolo a e volume V = a3. Rimandandoal paragrafo XII.1 del citato testo di C.Mencuccini - V.Silvestrini per i dettagli dei calcoli sviluppati, sipuo dimostrare 3 che la densita numerica di onde monocromatiche elementari nν presenti nell’unita divolume della cavita quadrata nell’intervallo di frequenze fra ν e ν + dν e

nν dν =8π

c3· ν2 dν (A.1)

La statistica classica di Boltzmann, sviluppata nella seconda meta del XIX secolo, assegnava, a ogni gradodi liberta di un sistema termodinamico caratterizzato da una temperatura termodinamica T , un’energiakB T , essendo kB = R/NA = 1.38066 10−23 J/K la costante di Boltzmann, definita dal rapporto fra lacostante dei gas perfetti R e il numero di Avogadro NA. Si otteneva conseguentemente che, moltiplicandola nν della (A.1) per kB T , la densita di energia monocromatica risultava (formula di Rayleigh-Jeans 4),espressa sia in funzione della frequenza ν che della lunghezza d’onda λ della radiazione considerata 5,

fν(T ) =8π

c3· kB T · ν2 ; fλ =

8π

λ4· kB T (A.2)

La formula di Rayleigh-Jeans approssima abbastanza bene l’andamento dello spettro della radiazione dicorpo nero per alte λ (o basse ν), ma si discosta brutalmente dall’andamento dello spettro misurato dellaradiazione di corpo nero nelle altre zone spettrali. Soprattutto e inaccettabile perche prevede la cosidettacatastrofe dell’UV, cioe che andando a integrare l’emissione su tutto lo spettro si troverebbe l’assurdo diun’emissione integrata che → ∞.Il problema fu risolto da Planck (nel 1900), che suppose (lui stesso dice ...per disperazione!) che gli scambienergetici fra le pareti della cavita e il campo di radiazione interno avvenissero SOLO per multipli interidi una quantita elementare di energia, proporzionale alle frequenza della radiazione considerata, secondola relazione

E = h · ν ; h = costante di P lanck = 6.6263 10−34 Js (A.3)

In altre parole, per ogni valore di ν, gli scambi energetici fra il campo elettromagnetico interno alla cavitae le pareti della cavita stessa possono assumere, in condizioni stazionarie, solo i valori discreti

E = hν, 2hν, 3hν, 4hν, ... nhν.. con n→ intero (A.4)

Formalmente, mentre nella trattazione classica si determina l’energia media corrispondente alla frequenzaν considerata tramite un integrale, nella trattazione di Planck, essendo non piu nel continuo ma neldiscreto, si usano sommatorie. Nel nostro caso non e difficile mostrare 6 che il limite di questa serie,corrispondente all’energia media degli scambi energetici prima detti per la frequenza ν, vale

E =hν

exp(hν/kB T ) − 1

3Sostanzialmente si usa il teorema di Fourier per esprimere il campo elettromagnetico in serie di onde monocromatichestazionarie, aventi nodi sulle pareti conduttrici della cavita.

4L’evoluzione storica delle leggi fisiche sulla radiazione di corpo nero: legge di Stefan (sperimentale), 1879, giustificataclassicamente da Boltzmann, 1884; legge di Wien (ma con argomentazioni non molto convincenti), 1886; legge di Rayleigh-Jeans, 1990 e 1905.

5Ricordiamo che nella trasformazione delle quantita energetiche radiative si deve imporre che g(ν) · dν = g(λ) · dλ,mediante le sostituzioni ν = c/λ e dν = c · dλ/λ2.

6Vedere esempio E.XII.1 del paragrafo XII.2 del testo citato di C.Mencuccini - V.Silvestrini.

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che, con la (A.1), fornisce l’esatto andamento dello spettro della radiazione del corpo nero, e cioe

fν(T ) =8π · ν2

c3· hν

exp(hν/kB T ) − 1(A.5)

che e esattamente quanto avevamo presentato nel paragrafo 4.1.3.Si noti che l’ipotesi di Planck riguarda gli scambi energetici che avvengono a livello microscopico, atomicoe molecolare, della materia, per il valore molto piccolo della costante di Planck h. Solo con radiazioni difrequenza elevata (si pensi al range dello spettro visibile, con ν ≈ 1014 Hz) e con un numero elevatissimodi scambi energetici si possono raggiungere livelli d’intensita misurabili in termini macroscopici tipici delnostro livello di uso comune.

A.2 Lo spettro dell’atomo di idrogeno

Lo spettro di emissione dell’atomo d’idrogeno presenta solo 4 righe nel visibile, di cui riportiamo lelunghezze d’onda (in µm)

Hα 0.656280 [rosso] Hβ 0.486136 [celeste] Hγ 0.434049 [blu] Hδ 0.410167 [violetto]

Figura A.1: Serie di Balmer dell’idrogeno

La posizione in lunghezza d’onda di queste righe tendead avvicinarsi e Balmer (1885), fotografando anche lerighe successive (vedi Fig.A.1), nell’UV vicino, mostroche realmente tendono ad affittirsi fino a un limite at-torno a λ = 0.3645979 µm. Misuro tutte le lunghezzed’onda delle righe che riuscı a registrate e trovo (dopoaffannosi tentativi) che la regolarita nell’apparenteposizione in lunghezza d’onda delle varie righe del-la serie (che poi da lui prese il nome) poteva essereespressa dalla relazione

λn(Balmer) = B ·(

n2

n2 − 4

)

B = 0.36450682 µm, n > 2 intero (A.6)

Era piu semplice esprimere matematicamente la regolarita di posizione delle varie righe della serie diBalmer tramite il loro numero d’onde ν = 1/λ per cui la (A.6) diviene conseguentemente

ν(Balmer) = Ry ·(

1

22− 1

n2

)

con Ry =4

B, n > 2 intero (A.7)

La costante Ry = 1.0973731568 · 10 µm−1 e detta costante di Rydberg (per l’atomo di Idrogeno) 7.Nel 1908 Paschen scoprı che nel vicino IR l’idrogeno emetteva una serie di righe (che da lui prese in nome)con lo stesso andamento regolare in lunghezza d’onda della serie di Balmer, esprimibile come

ν(Paschen) = Ry ·(

1

32− 1

n2

)

n > 3 intero (A.8)

Nel 1914 Lyman scoprı nell’UV lontano una serie simile alle precedenti (serie di Lyman), le cui posizionidei numeri d’onda erano esprimibili come

ν(Lyman) = Ry ·(

1 − 1

n2

)

n > 1 intero (A.9)

Furono in seguito scoperte le serie spettrali successive di Brackett (IR medio) e di Pfund (FIR); i numerid’onda di tutte le righe (indicate dalla lettera n) di queste serie spettrali (indicate dalla lettera m)dell’Idrogeno potevano essere espresse nella stessa forma come 8

νn(m) = Ry ·(

1

m2− 1

n2

)

=Ry

m2− Ry

n2n > m entrambi interi (A.10)

7Valore attuale da physics.nist.gov.8m = 1 → Lyman, m = 2 → Balmer, m = 3 → Paschen, m = 4 → Brackett, m = 5 → Pfund.

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Lyman (m=1) Balmer (m=2) Paschen (m=3) n

Lα 10.20 eV 2Lβ 12.09 eV Hα 1.89 eV 3Lγ 12.76 eV Hβ 2.55 eV Pα 0.66 eV 4Lδ 13.06 eV Hγ 2.86 eV Pβ 0.97 eV 5Lǫ 13.23 eV Hδ 3.02 eV Pγ 1.13 eV 6L7 13.33 eV Hǫ 3.12 eV Pδ 1.23 eV 7L8 13.39 eV H8 3.19 eV Pǫ 1.30 eV 8

Tabella A.2: Livelli energetici dell’atomo di H.

Per inciso, la (A.10) suggerisce un utilissimo esercizio da proporre agli studenti. Sul sito web del NationalInstitute of Standard and Technology www.nist.gov, alla sezione Physics, sottosezione Atomic SpectraDatabase Lines, si trovano le lunghezze d’onda di tutte le righe misurate dello spettro di emissione dell’H9. Ricavando le νn(m) (in numeri d’onda per µm) per le prime 8-10 righe delle serie di Lyman, Balmer ePaschen (ma si puo anche continuare!), riportandole in grafico in funzione di 1/n2, si vede che si ottieneun grafico lineare di cui si puo facilmente stimare il coefficiente angolare (che deve dare il valore dellacostante di Rydberg, espresso in µm), mentre il termine noto fornisce al quantita Ry/m

2, controprovadella corretta determinazione di Ry.La (A.10) esprime analiticamente il principio di combinazione di Rydberg-Ritz della spettroscopia classica.Fu quindi evidente che la regolarita delle serie di righe spettrali dell’H era una proprieta intrinseca

Figura A.2: Diagramma diGrotrian per i livelli energeticiprincipali dell’idrogeno

dell’atomo di idrogeno.Il principio di Kirchhoff della spettroscopia classica afferma chequalunque sostanza e capace di assorbire solamente le radiazioni chee capace di emettere, cioe lo spettro di assorbimento di una sostanza ecome il “negativo” del suo spettro di emissione. L’ipotesi quantisticadi Planck suggerisce che, a livello microscopico, gli scambi energeticicol campo elettromagnetico possano avvenire, in situazioni stazionarie,per quantita discrete proporzionali alla frequenza ν della radiazione. Sipuo quindi scrivere il principio di Ritz in funzione di termini energeticisemplicemente moltiplicando la (A.10) per h c 10. A livello atomico econveniente (e vedremo presto perche) esprimere gli scambi energeticiusando, come unita di misura l’eV , cioe l’energia acquistata dall’u-nita di carica sottoposta alla differenza di potenziale di 1 V . Essendoh c = 1.9864685 10−25 Jm ed essendo 1 eV = 1.60218 10−19 J , espri-mendo le lunghezze d’onda delle diverse righe spettrali considerate inµm, otterremo i valori delle energie trasportate da ciascun quanto d’e-nergia raggiante nella riga considerata ∆En(m) = 1.24 eV ·µm/λn(µm)e questi valori sono riportati nella tabella A.2 per le prime righe delleprime 3 serie spettrali dell’H. E evidente dai dati della tabella A.2 chel’energia trasportata dalla Hα e esattamente la differenza fra Lβ − Lα,l’energia della Pα = Hβ − Hα = Lγ − Lα e cosı via. Quindi l’atomodi idrogeno e strutturato per livelli energetici stazionari e discreti, con-traddistinti dal numero d’ordine n, a cui corrispondono livelli energeticiben definiti e indicati dai livelli della serie di Lyman. Il livello n = 1e detto livello fondamentale, cioe a energia minima, mentre il primolivello eccitato si trova a 10.21 eV ed e il livello energetico di partenza

9Questo sito offre ottime sollecitazioni a uno studente attento: allena all’uso della lingua e dei termini scientifici inglesi,presenta lo stato dell’arte per la misura delle costanti fisiche fondamentali, fornisce dati attendibilissimi e specifiche sualcuni esperimenti (anche di Fisica attuale) interessanti, elenca tutti i convegni piu importanti in corso di organizzazione,suggerisce e fornisce (spesso gratuitamente) le pubblicazioni scientifiche del nist, puo solleticare la curiosita del lettoreattento anche su altri argomenti di Fisica.

10∆En(m) = h νn(m) = h c νn(m) = h c/λn(m)

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della transizione Lα in emissione, mentre la Hα si origina in emissione per la transizione dal livello n = 3a n = 2 e cosı via per tutte le righe delle altre serie.Una chiara rappresentazione visiva di questa struttura e fornita dal diagramma di Grotrian per i livellienergetici principali dell’H, mostrato in Fig.A.2.

A.3 Effetto Hall

Richiamiamo brevemente l’effetto Hall (1879) solo per ricordare che anche classicamente si era riusciti adimostrare che le correnti di conduzione erano dovute a moti di cariche negative.L’effetto Hall consiste nel fatto che in una sbarretta conduttrice a forma di parallelepipedo rettango-lare, di sezione s · d e lunghezza l, percorsa da una corrente continua di intensita I, sottoposta a un

d

l

s

VHB a)

+ + + +

+ + +− − − −

− − − −

+ −d d

l lB

b)v v+ −E ES S

J C

A

+

Figura A.3: Schema illustrante l’effetto Hall

campo magnetico di induzione ~B, ortogonale al vet-tore densita di corrente ~J e allo spigolo d, si generauna d.d.p. ∆VH fra punti della striscia conduttriceposti in vicinanza dei bordi esterni della striscia maallineati al lato d (v. Fig.A.3, a), punti A e C, peresempio).I portatori di cariche, in moto con una velocita di deri-va ~v per effetto di una d.d.p. applicata all’esterno del-la sbarretta da un opportuno generatore di tensione,sono soggetti alla forza di Lorentz ~FL = n q ~v× ~B perla presenza del campo ~B 11. Tale forza produce un ac-cumulo di cariche sulle superfici laterali che genera uncampo elettrostatico ~ES , diretto lungo d e con i versiindicati nella Fig.A.3, b), che si oppone al campo elettrico (non conservativo), indotto dall’effetto Hall, vB.In situazione stazionaria avremo che ES = v B e questo ES crea una VH = ES d = v B d = V (C)−V (A),che si puo misurare fra le facce laterali della sbarretta (v. punti A e C in Fig.A.3, a)) con un opportunomicrovoltmetro 12.Ricordando che I = J s d = n q v s d, con q carica elettrica dei portatori e n il numero di portatori dicarica per unita di volume, otteniamo

v =I

n q s d; VH = RH · I B

sRH =

1

n q(A.11)

RH viene detta la costante di Hall, il cui valore risulta mediamente dell’ordine di ∼ 10−11 m3/C.Per i conduttori metalliciRH assume valore negativo, indicando che in questo tipo di conduttori i portatoridi carica sono negativi, cioe elettroni 13.

A.4 La scoperta della radiazione X e della radioattivita naturale

Nel 1895 Roentgen scoprı i raggi X studiando la conduzione di correnti elettriche in tubi contenenti gasrarefatti 14. Queste radiazioni avevano la capacita di attraversare spessi strati di materia e venivanorilevati inizialmente dalla loro capacita di impressionare lastre fotografiche poste al riparo in contenitori

11E bene ricordare che il verso della forza di Lorentz e indipendente dal segno dei portatori di cariche, perche se i portatorisono negativi si inverte anche il segno di v, cioe quello che conta e il verso di ~J = q ·~v, densita di corrente, per cui, fissato ilverso di ~B, le cariche si separeranno sempre nello stesso modo, accumulandosi cioe dalla stessa parte laterale della sbarretta,per cui il segno della VH misurata evidenzia inequivocabilmente il segno dei portatori di carica. Nella Fig.A.3, con il campo~B uscente dal foglio, se i portatori di carica sono positivi le cariche positive si accumulano nel lato C della sbarretta, equindi quelle negative vanno verso il lato A, inversamente se i portatori di carica sono negativi.

12Il valore di VH e dell’ordine di alcuni µV , per cui e fondamentale eseguire la misura minimizzando possibili errorisistematici e quindi i puntali del microvoltmetro vanno posizionati in punti A e C piazzati ortogonalmente alla direzione di~J . E comunque consigliabile controllare l’azzeramento della lettura del microvoltmetro con ~B nullo.

13A seguito dell’esperienza di Millikan e stato evidenziato che q assume, in media, un valore per atomo dell’ordine di 1−2cariche elementari (1.3 → Cu, 1.4 → Ag, 1.8 → Au).

14Sappiamo adesso che raggi X si originano per radiazione di frenamento di elettroni a energia elevata, dell’ordine delkeV , che vengono frenati nell’urto contro l’anodo metallico positivo.

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schermati. Non erano influenzati ne da campi elettrici ne da campi magnetici, per cui non trasportavanocariche elettriche. Fu dimostrato da Laue (1912)15 che venivano diffratti da un reticolo cristallino,

Figura A.4: Schema illustrante l’esperimento diBecquerel

per cui si dedusse che fossero onde elettromagnetichedi corta lunghezza d’onda (≈ 10−10 m).Nel 1896 Becquerel, studiando la fosforescenza indot-ta da raggi X su vari materiali, mentre stava ana-lizzando il comportamento del solfato di 92U , scoprıche questa sostanza era capace di annerire una lastrafotografica anche se tenuta lontana dalle sorgenti diraggi X e completamente al buio. Questo significavache l’92U emetteva radiazioni molto penetranti, cheriuscivano a passare anche attraverso schermi appa-rentemente impenetrabili.Mettendo sali di 88Ra entro un contenitore di Pb (ma-teriale che dimostrava un effetto schermante moltoefficiente per queste radiazioni allora sconosciute),con spesse pareti ma con un piccolo forellino su unaparete, riusciva in tal modo a produrre un sottile pen-nello di queste radiazioni, che venivano fatte passarein una zona di spazio in cui era presente un campodi induzione magnetica ~B costante e uniforme, chesupporremo entrante nel piano dell’esperimento, inaccordo con la Fig.A.4. Sulla lastra fotografica antistante si rivelavano 3 distinte zone impressionate:

1. prima zona allineata col foro di uscita del fornetto e ortogonale al piano della lastra fotografica;questo significava che il campo magnetico ~B non aveva avuto nessun effetto deviante sulla traiettoriadi questo raggio, che fu chiamato raggio γ. Successivamente fu determinato essere costituito daradiazione elettromagnetica di lunghezza d’onda molto inferiore ai raggi X (≈ 10−13 m).

2. una seconda zona, a destra della precedente, e questo raggio fu chiamato raggio β, successivamenteidentificato come un elettrone ad alta velocita.

3. una terza zona, a sinistra dell’immagine centrale del raggio γ, meno deviata di quella del raggio β,chiamata raggio α, successivamente identificato come un nucleo di 4He, composto da due protonie due neutroni (uno dei nuclei piu stabili che si conoscano).

Nel 1898 Pierre Curie e sua moglie Marie Sklodowska studiarono piu in dettaglio le radiazioni α, β e γemesse dall’ 92U e scoprirono nella pechblenda (un minerale di uranite, UO2, con giacimenti in Boemia)due nuovi elementi chimici naturali, il 90Th e il 84Po, che mostravano attivita radioattive anche superioria quelle dell’92U , dando cosı origine allo studio sistematico della radioattivita naturale.

A.5 Esperienza di Thomson per la misura della carica specifica

dell’elettrone

L’esistenza dell’elettrone era gia stata ipotizzata nella seconda meta del XIX secolo per spiegare alcunifenomeni chimici (elettrolisi, bilanciamento delle reazioni di ossido-riduzione, ecc.). Solo nel 1897 J.J.Thomson, nello studio della conduzione elettrica nei gas rarefatti, riuscı a misurare la carica specifica,ovvero il rapporto e/me, dell’elettrone.Con riferimento alla Fig.A.5, in un tubo a vuoto vengono prodotte cariche elettriche negative per effetto

termoelettrico in R, che poi vengono accelerate da una griglia A, posta a un conveniente potenzialepositivo. Il fascetto di cariche negative va a colpire uno schermo fluorescente S, creando una piccolamacchia luminosa, allineata con l’asse centrale del tubo. Fra le due placche Py1 e Py2 viene applicatauna differenza di potenziale tale 16 da deflettere il fascetto di cariche negative verso ordinate positive

15La famosa esperienza di von Laue, Friedrich e Knipping (1912) dimostro non solo che i raggi X erano radiazionielettromagnetiche, ma anche che gli atomi, nei cristalli, erano strutture reticolari regolari.

16Elettrodo Py1 positivo ed elettrodo Py2 negativo.

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Figura A.5: Schema illustrante l’esperimento diJ.J. Thomson per la misura della carica specificadell’elettrone

Figura A.6: Sistema di riferimento per la de-flessione degli elettroni nella esperienza di J.J.Thomson

(lo schermo e riferito a un sistema cartesiano ortogonale con origine nel centro di simmetria del tubo eordinata positiva verso l’alto).L’entita della deflessione ys vale 17

ys =1

2· e E l2

me v2

(A.12)

dove E e il modulo del campo elettrico esistente fra le placche Py1 e Py2 e v e il modulo della velocitadelle cariche nel punto A (vedi Fig.A.6).Fra le placche Px1 e Px2 si applica (mediante bobine esterne al tubo) un campo magnetico di vettore d’in-

duzione ~B, avente direzione perpendicolare al piano della Fig.A.6, tale da riportare il fascetto nell’originedel sistema di coordinate (cioe nel punto in cui si trovava prima dell’applicazione del campo elettrico E).Conoscendo B e ricordando la relazione che lega la forza di Lorentz al moto di una carica in un campomagnetico 18 si ricava v

~Ftot

e= ~E + ~v × ~B = 0 → v =

E

B(A.13)

Combinando la (A.12) e la (A.13) si ottiene per la carica specifica dell’elettrone la relazione

e

me=

2 ys E

B2 l2(A.14)

Dalla misura sperimentale delle grandezze a secondo membro della (A.14) si ottiene un valore per lacarica specifica dell’elettrone di −1.7588192 1011 C/kg.Thomson 19 propose un modello di atomo costituito da una sfera contenente cariche positive uniforme-mente distribuite, in cui si trovavano gli elettroni negativi, distribuiti isotropicamente. In altre paroleuna specie di panettone sferico, carico positivamente, in cui l’“uvetta” era rappresentata dagli elettroni.Un’interessante evoluzione dell’esperienza di Thomson per la misura della carica specifica dell’elettronee costituita da un tubo a raggi catodici, contenente idrogeno a bassa pressione (∼ 10−5 bar), immerso inbobine di Helmholtz 20. Il percorso del pennello di elettroni nell’ampolla e visualizzato da una traccialuminosa dovuta all’eccitazione collisionale delle molecole di H2, che si diseccitano emettendo radiazioneelettromagnetica a ∼ 450 nm. Con una semplice calamita e quindi possibile alterare facilmente il per-corso degli elettroni, avvicinandolo a noi, allontanandolo, distorcendolo, a seconda della posizione dellacalamita e del suo orientamento nello spazio. Si tratta di una possibile esperienza tattile sul moto deglielettroni che gli studenti (piu attenti) non dimenticheranno facilmente.

17Rivedere su un testo di elettromagnetismo il paragrafo sugli effetti dinamici dei campi elettrici su cariche in moto.18La (A.13) e anche un modo di definizione operativa del campo d’induzione magnetica ~B.19Il termine elettroni per indicare cariche negative elementari fu usato per la prima volta dal fisico irlandese G. Stoney nel

1874 e lo derivo dal greco ηλǫκτρoν, che significa “ambra”, la resina naturale fossile facilmente elettrizzabile per strofinio.20Si consiglia di esaminarla sul sito hep.fi.infn.it/ol/samuele/ → Schede esperimenti di laboratorio.

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A.6 Esperienza di Millikan

Nel 1913 Millikan pubblico i risultati della sua esperienza per la misura della carica elementare di unelettrone. Con riferimento alla Fig.A.7 in un contenitore di vetro (per evitare correnti d’aria e con-taminazioni di varia natura) sono poste due placche metalliche orizzontali, separate da una distanzad, che costituiscono sostanzialmente un condensatore; mentre l’armatura inferiore e posta a massa,

Figura A.7: Schema dell’esperienza di Millikan

quella superiore puo essere tenuta auna differenza di potenziale positiva ecostante, (variabile con un opportunodispositivo esterno) rispetto a massa epresenta un foro centrale. Al di sopradi essa si trova un nebulizzatore in gra-do di produrre piccole gocce di olio; al-cune di queste riescono a passare dal foroe scendono, per gravita, verso la placcainferiore. Alla stessa quota delle arma-ture si trova, all’esterno del contenitoredi vetro, un canocchiale, avente nell’o-culare una scala graduata verticale, perseguire il moto di una singola gocciolinad’olio.Quando la d.d.p. fra le armature e nulla, le goccioline hanno un moto uniformemente accelerato in regimeviscoso, la cui equazione di moto e, indicando con M la massa della gocciolina e assumendo come versopositivo quello della verticale discendente, M a = M g−FArchimede −Fviscosa. Esplicitandola otteniamo

M a =4

3π r3 g (ρ− ρA) − 6π r η v (A.15)

in cui r e il raggio della gocciolina, ρ la densita dell’olio, ρA la densita dell’aria, η il coefficiente di viscositadell’aria e v la velocita di discesa della gocciolina. All’aumentare di v durante la discesa si ha una costantediminuzione di a fino al momento in cui questa si annulla per un valore limite vG (raggiunto rapidamenteconsiderate le dimensioni ridottissime delle goccioline), che si ottiene dalla (A.15) ponendo a = 0

vG =2

9· r

2 g (ρ− ρA)

η→ r2 =

9 η vG

2 g (ρ− ρA)(A.16)

Mediante una sorgente di radiazione ionizzante, posta lateralmente all’ampolla di vetro ma schermataalla visuale dell’osservatore, si generano ioni e cariche negative nello spazio fra le armature, alcune dellequali possono depositarsi su una gocciolina d’olio. Se adesso applichiamo una d.d.p +V , rispetto amassa, all’armatura superiore, si genera sulla carica − q della gocciolina una forza elettrostatica − q V/d.Conseguentemente il regime stazionario di discesa della gocciolina si raggiungera quando

0 =4

3π r3 g (ρ− ρA) − q

V

d− 6π η r vE (A.17)

Tenendo conto del valore di r dato dalla (A.16) e con un paio di semplici passaggi algebrici si ottiene

q = 6π η rd

V(vG − vE) (A.18)

Ricordiamo che nella (A.18) q rappresenta il valore assoluto della carica depositata sulla gocciolina 21.Facendo una serie di misure indipendenti si vede che i vari valori di q sono sempre multipli interi diuna quantita minima elementare, che rappresenta quindi la carica posseduta da un elettrone e che valeqe = − 1.60217653 10−19 C 22.Ricordando che la carica specifica dell’elettrone vale − 1.7588192 1011 C/kg, si deduce immediatamenteche la massa dell’elettrone risulta me = 0.91093873 10−30 kg.

21Riportiamo per curiosita alcuni dati originali di Millikan: ρolio = 0.896 ρH2O, η(aria) = 1.836 10−4 g/(cm s),m(gocciolina) ≃ 3.2 10−11 g, tempo di caduta libera su un tratto di 1.01 cm = 22.28 s; ottenne un valore di e che sidiscostava dai valori attuali per circa 1%.

22Si consiglia vivamente di esaminare la presentazione dell’esperienza di Millikan fornita da OPENLAB, struttura didattica

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A.7 Effetto fotoelettrico

Figura A.8: Schema dell’esperienzadi Lenard per lo studio dell’effettofotoelettrico

Nel 1902 Lenard scoprı l’effetto fotoelettrico, mettendo in evidenzaun comportamento corpuscolare della radiazione elettromagnetica.In un’ampolla di vetro, in cui e praticato il vuoto, (v. Fig.A.8)sono inseriti un catodo e un anodo, mantenuti a una differenzadi potenziale continua (ma variabile sia in segno che in modulotramite un opportuno sistema potenziometrico esterno), posti inserie a un circuito elettrico, in cui ovviamente non passa correnteessendo catodo e anodo separati dal vuoto. Tramite una finestralaterale in quarzo (necessaria per trasmettere anche radiazione UV)e possibile inviare sul catodo un flusso di radiazione elettromagne-tica di frequenza data (tramite un opportuno monocromatore).Si misura che per radiazioni di frequenza superiore a un valoredi soglia nel circuito passa una corrente elettrica che non e pro-porzionale alla tensione V applicata agli elettrodi ma e inveceproporzionale all’intensita della radiazione incidente sul catodo(v.Fig.A.9 dove I1, I2 e I3 sono le correnti massime ottenibili conflussi di radiazione di intensita crescente). Inoltre, applicando unatensione −V agli elettrodi, la corrente nel circuito si azzera perun ben determinato valore di −Varresto, detto potenziale d’arresto,indipendente dall’intensita della radiazione incidente e dipendentesolo dalla natura del metallo che costituisce il catodo.Dalla Fig.A.10 si deduce che il lavoro di estrazione, dato da−e · Varresto, per un dato metallo, e funzione solo della frequen-za di soglia della radiazione incidente sul catodo e che, in generale,esiste una evidente relazione di proporzionalita fra il potenzialed’arresto e la frequenza di soglia.Questo quadro sperimentale era incompatibile con la teoria classica dell’elettromagnetismo, che prevedevaper la densita superficiale di potenza di un’onda elettromagnetica P = 1/2 ǫ c E

2 e, conseguentemente,

per l’energia totale ETOT = P · S · t raccolta da una superficie S in un tempo t. Qualunque fosse lafrequenza dell’onda elettromagnetica considerata, bastava aspettare un tempo t sufficientemente lungoper cui (ovviamente in assenza di dissipazioni) si poteva accumulare qualunque energia e quindi liberarequalunque numero di elettroni dal catodo. L’intensita di corrente nel circuito considerato doveva dipen-dere dal tempo e dalla superficie illuminata del catodo, ma non dalla frequenza della radiazione incidente,ma questo non era congruo coi risultati sperimentali.Einstein (1905) spiego la fenomenologia dell’effetto fotoelettrico supponendo che la radiazione elettro-magnetica fosse composta da un flusso di quanti elementari d’energia, i fotoni (riprendendo cosı l’idea diPlanck degli scambi energetici elementari della radiazione di corpo nero), ognuno dotato di un’energiaE = h ν = h c/λ, con h costante di Planck e ν frequenza della radiazione considerata. In questo modol’intensita del fascio di radiazione, almeno al momento della sua incidenza sul catodo, sara espressa daIf = n h ν = n h c/λ, con n numero intero ma dal valore grandissimo. E la stessa situazione che sicrea quando consideriamo il flusso di una corrente d’acqua, che, nella nostra percezione (per definizione!)antropocentrica, viene rappresentata come una quantita continua, ma in realta e composta da un enormecorteo di piccolissime molecole d’acqua 23.Indicando con We = −e · Varresto il lavoro di estrazione di un elettrone dal metallo costituente il catodo,(cioe l’energia che occorre fornire a un elettrone della banda di conduzione del metallo per estrarlo dal-la struttura policristallina del metallo), si otterra l’estrazione di un elettrone a opera dell’assorbimentodell’energia di un fotone solo se h ν ≥ We, cioe se la frequenza della radiazione incidente sul catodo e

del Polo Scientifico dell’Universita di Firenze, nel sitohep.fi.infn.it/ol/samuele/didactics/millikan.pdfmolto precisa sugli aspetti sperimentali e che include anche la correzione di Cunningham, necessaria quando le gocciolinehanno dimensioni confrontabili col libero cammino medio in aria delle molecole per raggiungere elevate precisioni nellamisura di q.

23Ricordiamo il valore enorme, per una scala numerica umana, del numero di Avogadro! Per i fotoni, non avendo massa,e impossibile una definizione simile.

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Figura A.9: Dipendenza dell’intensita di cor-rente dalla tensione applicata tra anodo e catodoper diverse intensita della radiazione nell’effettofotoelettrico

Figura A.10: Dipendenza del lavoro di estrazionedalla frequenza della radiazione nell’effettofotoelettrico

ν ≥We/h (in perfetto accordo con quanto riportato in Fig.A.10).L’energia cinetica dell’elettrone che fuoriesce dal catodo e, per il principio di conservazione dell’energia,Kmax = h ν −We, quindi Kmax, per un dato metallo, dipende solo dalla ν della radiazione assorbita,non dalla sua intensita, che abbiamo visto essere If = n h ν, che creera conseguentemente n fotoelettronie quindi una corrente elettrica nel circuito di intensita IMAX ∝ n (come riportato in Fig.A.9).Questo spiegava mirabilmente i risultati sperimentali di Lenard, ma apriva un dilemma di importan-za enorme per la Fisica, il cosidetto dualismo onda-corpuscolo per la rappresentazione della radiazioneelettromagnetica, di cui tratteremo in dettaglio successivamente.

A.8 Esperienza di Rutherford

Nel 1911 Rutherford (insieme a Geiger e Marsden) ideo un’esperienza per verificare la correttezza delmodello proposto da J.J. Thomson (modello a “panettone”) per l’atomo 24. Con riferimento alla Fig.A.11un sottile pennello di particelle α, originate da materiale radioattivo contenuto in un contenitore diPb avente un piccolo foro, andava a colpire una sottile lamina di oro (scelto per la sua duttilita eper il suo elevato peso atomico). Il rivelatore di particelle α a scintillazione (solfuro di zinco) venivaposizionato, attorno alla lamina di Au, a vari angoli rispetto alla direzione del pennello delle particelleα. Se fosse stato valido il modello di Thomson, gli atomi di Au dovevano avere una distribuzione dicarica positiva nucleare uniforme come quella delle particelle α e conseguentemente queste dovevano

Figura A.11: Schema dell’esperienza di Ruther-ford

essere diffuse debolmente, ma isotropicamente, at-torno alla direzione di provenienza delle α incidenti.Invece la maggior parte delle α incidenti passano in-disturbate attraverso la lamina di Au, mentre ≈ 10−4

di loro vengono diffuse con angoli di diffusione > 90.Alcune erano addirittura rimbalzate indietro con lastessa energia, segno che si trattava di urti elasticicentrali con particelle simili.Tale risultato sperimentale, incompatibile con il mo-dello atomico di Thomson, poteva essere spiegato connuclei di Au carichi positivamente, come le α, ma chedovevano avere dimensione dell’ordine di ≈ 10−4 ilvolume dell’atomo di Au. Essendo le dimensioni li-neari dell’atomo di Au dell’ordine di 10−10 m, risul-tava che le dimensioni del suo nucleo dovevano esseredell’ordine di 10−14 m.

24Rutherford fu il primo che chiamo protone il nucleo dell’atomo d’idrogeno, e lo dedusse dal greco πρωτoν che significavaprimo.

93

Questo comportamento fu successivamente confermato anche per molte altre specie atomiche. Quindi ilmodello dell’atomo doveva essere drasticamente cambiato: un nucleo, carico positivamente e di dimen-sioni ≤ 10−14 m, circondato da un numero di elettroni pari alla carica del nucleo (in modo da assicurare laneutralita elettrica dell’elemento), posti a una distanza dell’ordine di 10−10 m. Per non far precipitare glielettroni sul nucleo per attrazione elettrostatica bisognava supporre che questi fossero in moto circolareattorno al nucleo, con una velocita tale da bilanciare la forza di attrazione elettrostatica del nucleo. Ma,in questo modo, gli elettroni avrebbero dovuto irradiare (secondo l’elettrodinamica classica), perdendoenergia, quindi diminuendo la loro velocita, e conseguentemente essendo sempre piu attratti verso il nu-cleo, sul quale avrebbero dovuto precipitare rapidamente.Era necessario trovare una soluzione a questa grave discrepanza nella descrizione dell’intima strutturadella materia.

A.9 Il modello di Bohr per l’atomo d’idrogeno

Nel 1913 Niels Bohr propose un modello rivoluzionario per l’atomo di idrogeno. Con riferimento allaFig.A.12 un protone (particella trasportante la carica elementare positiva + e) e posto,

+p

e−

r

v

Figura A.12: Schema dell’atomo di Bohr

nel vuoto, a riposo 25. Un elettrone, di massame e carica − esi trova a percorrere con velocita ~v una circonferenza di rag-gio r attorno al protone; affinche il suo moto sia stazionario(circolare uniforme) dovra obbedire all’ equazione di moto

me v2

r=

e2

4π ǫ r2(A.19)

L’ipotesi fondamentale di Bohr fu quella di ipotizzare chela quantita di moto dell’elettrone dovesse essere un multiplointero della costante di Planck ridotta, cioe

me v r = n · h2π

= n · h n = 1, 2, 3, 4, .... (A.20)

Dalla (A.20) si ottiene v = nh/2πmer e sostituendo nella(A.19) si giunge a

v =h

2π me r·n ; rn = a · n2 con a =

ǫ h2

π me e2(A.21)

a rappresenta il raggio dell’orbita piu interna, per n = 1,e sostituendo i valori delle costanti fisiche che lo definisconootteniamo il valore di a = 0.529 10−10 m, detto raggio di Bohr e rappresenta una stima delle dimensionidell’atomo d’idrogeno.L’energia totale dell’elettrone sara quindi

ET =1

2me v

2 − 1

4π ǫ· e

2

r= − 1

8π ǫ· e

2

r(A.22)

Saranno quindi “disponibili” all’elettrone n = 1, 2, 3, 4, ...∞ orbite circolari, ognuna caratterizzata daun’energia totale

En = − 1

8ǫ2· me e

4

h2· 1

n2(A.23)

Se l’elettrone “passa” da un’orbita n → m (n > m), per la conservazione dell’energia dovra emettere unfotone di energia

h ν = En − Em =me e

4

8ǫ2 h2·(

1

m2− 1

n2

)

ν = Ry ·(

1

m2− 1

n2

)

Ry =me e

4

8ǫ2 h3

(A.24)

25Questa ipotesi e suffragata dal fatto che il rapporto mprotone/me = 1836.645, che si determina con misure effetuate conlo spettrometro di massa. Ricordiamo che l’unita di massa atomica unificata, detta Dalton, e definita cone la dodicesimaparte di un atomo di 12C e vale 1.660538921 10−27 kg.

94

Figura A.13: Schema dell’esperienza di Frank e Hertzcon atomi di Hg

Figura A.14: Andamento della correnteanodica nell’esperienza di Frank e Hertzper il Hg

Sostituendo i valori delle costanti fisiche indicate in Ry nella (A.24) si ottiene Ry = 3.27177 1015 s−1,che rappresenta il valore della costante di Rydberg, in unita di frequenza, e coincide (fatte le dovutesostituzioni) col valore determinato dall’analisi delle righe spettrali emesse dall’idrogeno (v. A.7). Inoltrel’espressione della (A.24) coincide con la (A.10) e possiamo quindi dire che la semplice teoria di Bohr(anche se basata su ipotesi che potevano sembrare arbitrarie) spiegava bene i livelli energetici fondamen-tali dell’atomo d’idrogeno e degli ioni idrogenoidi. Rafforzava enormemente l’ipotesi quantistica delladescrizione dei fenomeni a livello microscopico 26.

A.10 Esperienza di Franck e Hertz

Nel 1914 Franck e Hertz 27 eseguirono una famosa esperienza per verificare, tramite urti anelastici dielettroni opportunamente accelerati, l’esistenza di stati energetici discreti (quantizzati) per gli elettronidi un atomo. Con riferimento alla Fig.A.13 in un’ampolla di vetro (con una finestra di quarzo per farpassare eventuali fotoni UV prodotti nell’interno) viene creato il vuoto e poi vengono immessi atomi(originariamente di Hg) a bassa pressione. Un filamento emette elettroni (per effetto termoelettrico), chevengono accelerati da una griglia, mantenuta a un potenziale positivo (ma variabile a piacere) rispetto alfilamento da cui si originano gli elettroni. Successivamente una placca, tenuta a un potenziale positivo,ma leggermente inferiore a quello della griglia (in modo da raccogliere solo gli elettroni che possiedonoun’energia cinetica superiore a un’energia di soglia predefinita), raccoglie gli elettroni incidenti dandoluogo da una debole corrente elettrica, che puo essere misurata da un opportuno microamperometro. Gliatomi di Hg si trovano sicuramente nello stato energetico fondamentale (non emettono ne assorbono radia-zione elettromagnetica). Gli elettroni, accelerati dal potenziale V della griglia, acquisteranno un’energiacinetica K = 1/2 ·me v

2 = e V ; se questa energia e V e minore di (E2 − E1), essendo E1 l’energia diun elettrone nello stato fondamentale e E2 la corrispondente energia del primo livello eccitato del Hg,allora l’urto degli elettroni di conduzione con gli atomi di Hg e essenzialmente elastico, l’energia cineticadegli elettroni di conduzione rimane sostanzialmente costante e si misura che la corrente anodica aumenta

26Dobbiamo dire che sembra adesso incomprensibile che, circa un secolo or sono, destasse meraviglia che la Fisica classica,sviluppata e costruita antropologicamente [ricordare quanto sono “umane” le definizioni di metro, chilogrammo, secondo]da un essere insignificante [homo], su un pianeta microscopico [Terra], ruotante attorno a una stella debole [Sole], postain posizione periferica in una dei miliardi di galassie dell’universo, dovesse anche poter spiegare i fenomeni che avvenivanosu scala microscopica ≪ 10−10 m, in tempi brevissimi ≤ 10−8 s. Viene in mente una delle famose frasi di Einstein: “Eincomprensibile quanto l’uomo riesca a comprendere dell’Universo.”

27Gustav L. Hertz, nipote di Heinrich R. Hertz, che scoprı sperimentalmente la propagazione e l’esistenza delle ondeelettromagnetiche nel 1885 a cui e dedicata l’unita di misura della frequenza.

95

all’aumentare della tensione V (v. Fig.A.14).Se, invece, e V = (E2−E1), gli urti degli elettroni di conduzione con gli atomi di Hg divengono anelastici,gli elettroni di conduzione cedono la loro energia cinetica all’atomo di Hg (che ha una massa ≈ 3.6 105

volte me), che la trasmette a un elettrone di valenza dell’atomo di Hg, il quale si porta nel primo statoenergetico eccitato E2. Conseguentemente gli elettroni di conduzione non riescono piu a raggiungerel’anodo (per la debole controtensione applicata far griglia e anodo) e si misura una notevole diminuzionedella corrente anodica (v. primo picco in Fig.A.14 a ≈ 4.9 e V ).L’elettrone eccitato del Hg, pero, dopo un tempo brevissimo (dell’ordine di ≈ 10−8 s) si riporta nel livellofondamentale E1 emettendo un fotone di lunghezza d’onda

λ =h c

E2 − E1

= 253.54 nm

corrispondente esattamente alla lunghezza d’onda della transizione di risonanza dell’atomo di Hg e che efacilmente rivelabile grazie alla finestra a quarzo presente nell’ampolla di vetro dell’esperienza.Aumentando ancora il potenziale V , gli elettroni di conduzione saranno nuovamente accelerati e arriveran-no all’anodo; si misurera un nuovo aumento della corrente anodica fino a quando l’energia fornita agli elet-troni di conduzione sara sufficiente per un nuovo urto elastico (v. secondo picco in Fig.A.14 a ≈ 9.8 e V ).Si osserveranno picchi di caduta della corrente anodica misurata ogni volta che e V = n (E2 − E1), conn = 1, 2, 3, .... e ogni volta misureremo l’emissione di fotoni di 253.54 nm di lunghezza d’onda.L’esperienza puo essere ripetuta con atomi di elementi chimici diversi e si otterranno sempre le stessesituazioni sperimentali (ovviamente cambieranno i valori E1 e E2 e, conseguentemente, λ).Questa esperienza conferma in modo molto convincente l’esistenza di stati energetici stazionari atomici.

A.11 Dualismo onda-corpuscolo per la radiazione elettromagne-tica

Ricordiamo che il comportamento ondulatorio per la propagazione della radiazione elettromagneticaera, alla fine del XIX secolo, un principio saldamente stabilito, sia sperimentalmente (esperienze sulladiffrazione e interferenza in ottica) sia teoricamente (teoria di Maxwell) 28.Il fenomeno della diffrazione era ben noto nella propagazione di onde meccaniche nei fluidi (si pensi alsistema di onde concentriche che si generano quando le onde del mare incontrano un ostacolo di dimensionidell’ordine della lunghezza d’onda dell’onda stessa, a esempio un pilone di un ponte). Per l’ottica ilprincipio di Huygens-Fresnel (enunciato alla fine del XVII secolo) affermava che nella propagazione dellaluce ogni punto di un fronte d’onda diveniva sorgente di un sistema di onde sferiche centrate nel puntoconsiderato. Si spiegava quindi il fenomeno per cui, se un fascio di luce parallela (cioe proveniente dauna sorgente posta a grande distanza dal punto in cui si eseguiva l’esperienza) investiva una fendituradi larghezza a confrontabile con la lunghezza d’onda λ della radiazione considerata, si formava, su unoschermo posto a grande distanza, una figura di diffrazione come mostrato nella Fig.A.15. La trattazionerigorosa del fenomeno mostra che la distribuzione d’intensita del profilo di diffrazione sullo schermo (v.Fig.A.16) e data da

I(α) = Isen2α

α2con α =

π a senθ

λ(A.25)

essendo θ l’angolo formato dalla direzione che unisce il centro della fenditura col punto dello schermoconsiderato e la direzione di incidenza sulla fenditura del fascio parallelo, λ la lunghezza d’onda dellaradiazione utilizzata e I l’intensita centrale della distribuzione d’intensita, corrispondente alla direzionedel punto centrale della fenditura e parallela al versore di propagazione della radiazione (cioe tutte leonde che arrivano in quel punto sono in fase fra loro). I minimi d’intensita si hanno per α = ±n π, cioeper a senθ = ±n λ, con n intero.Nel 1801 Young fece una celeberrima esperienza in cui faceva diffrangere un fascio di luce monocromatica,di lunghezza d’onda λ, parallelo (cioe proveniente da una sorgente praticamente a distanza infinita) sudue fenditure rettangolari identiche, di larghezza a, poste alla distanza d. Sullo schermo si formava unafigura di diffrazione e simultanea interferenza come mostrato nella Fig.A.17. La trattazione rigorosa del

28Per un ripasso serio di questi aspetti si consiglia il classico testo F.A. Jenkins - H.E. White: Fundamentals of Optics,McGraw Hill Book Co., New York, 1957, oppure G. Toraldo di Francia, La diffrazione della luce, Einaudi, TO, 1958.

96

Figura A.15: Diffrazione di Fraunhofer su unafenditura rettangolare

Figura A.16: Figura di diffrazione, formata suuno schermo, da un fronte d’onda piano incidentesu una fenditura

fenomeno mostra che la distribuzione d’intensita del profilo sullo schermo (v. Fig.A.17) e data da

I = 4 · Isen2α

α2cos2γ (A.26)

dove i simboli sono quelli definiti nell’eq.(A.25) e γ = π d senθ/λ e un parametro che rappresenta ilfenomeno dell’interferenza dei fasci di radiazione provenienti dalle due fenditure considerate.Nella Fig.A.18 e riportato in dettaglio la successione dei profili di diffrazione su ogni singola fenditura,il profilo d’interferenza originato da 3 fenditure identiche equidistanti e il profilo d’intensita risultante.E inequivocabile dedurne che la propagazione della radiazione elettromagnetica ha un comportamentotipicamente “ondoso”. Al momento di attraversare due o piu fenditure, su cui si produce la diffrazione, laradiazione sembra che non decida di passare da una sola fenditura, ma dimostra di comportarsi come sepassasse simultaneamente da ogni fenditura presente sul suo cammino. Infatti, se si copre una fenditura(nell’esperienza con due fenditure) sullo schermo si forma immediatamente la distribuzione d’intensita diFig.A.16, mentre nel caso delle 3 fenditure l’ostruzione di una qualunque delle tre provoca che la distri-buzione d’intensita sullo schermo risulti quella di Fig.A.17.Ma la fenomenologia sperimentale e le relative spiegazioni quantitative riguardo ai processi fisici di emis-sione (corpo nero, spettroscopia atomica) e di assorbimento (corpo nero, spettroscopia atomica, effettofotoelettrico) della radiazione elettromagnetica dimostrano che tali fenomeni avvengono in modo “cor-puscolare”, cioe per quantita discrete di energia, i fotoni 29. Si delinea, quindi, il cosidetto dualismoonda-corpuscolo per la descrizione quantitativa della radiazione elettromagnetica, che attraversa la Fisicaper il primo quarto del XX secolo.Vedremo come l’intuizione geniale di de Broglie e l’abilita e profondita culturale di grandi fisici (Schroe-dinger, Heisenberg, Dirac, Pauli, Fermi ecc.) porto rapidamente alla creazione del formalismo (moltocomplesso) della meccanica quantistica, che riuscı a spiegare questo apparente dualismo e a svilupparemetodi adeguati per l’interpretazione del mondo della microfisica, cioe dei fenomeni che avvengono suscale spaziali dell’ordine di ≤ 10−10m e temporali ≤ 10−7s, cioe la Fisica atomica, nucleare e subnucleare.

A.12 Esperienza di Compton

Nel 1923 Compton pubblico i risultati della sua celebre esperienza, in cui ribadiva inequivocabilmente ilcomportamento corpuscolare dei fotoni, mostrando che essi, oltre a trasportare un’energia h ν, possede-vano anche un impulso ~p avente modulo (h ν/c).

29Un fascio laser He-Ne, di lunghezza d’onda λ = 0.6328 µm, di 1 mW di potenza, e formato da una “corrente” dih c/λ · NT fotoni, quindi NT = 10−3J/s 3.14007 10−19 J/fotone ≃ 3 1015 fotoni/s.

97

Figura A.17: Figura di diffrazione prodotta nell’esperienza di Youngsu due fenditure

Figura A.18: Figura didiffrazione prodotta nell’e-sperienza di Young su trefenditure

Con riferimento alla Fig.A.19 a) un fascio collimato di raggi X monocromatici 30 investiva un bersagliocostituito da grafite. L’energia dei raggi X era > 10 keV , quindi molto maggiore dell’energia di legamedegli elettroni negli atomi di carbonio del reticolo cristallino della grafite. Conseguentemente gli elettroni

Figura A.19: Schema dell’esperimento di Compton e sistema di riferimento relativo

del carbonio pote-vano essere conside-rati come elettroniliberi fermi nello spa-zio, dove venivanoinvestiti dal flusso diraggi X incidenti.Sperimentalmente siosservava che unaparte dei raggi Xincidenti veniva dif-fusa in tutte le di-rezioni con un ango-lo φ rispetto alla di-rezione di provenien-za dei raggi X incidenti e con una lunghezza d’onda λ′ maggiore della lunghezza d’onda λ dei raggiincidenti. Contemporaneamente si osservava anche una emissione di elettroni dalla lastra di della grafiteirradiata, secondo un angolo θ, rispetto alla direzione d’incidenza dei raggi X , e una velocita ~v 31.La schematizzazione della fenomenologia descritta (v. Fig.A.19b)) necessita del trattamento relativistico

30Inizialmente furono utilizzati raggi X di 70 pm di lunghezza d’onda; successivamente furono utilizzati raggi X semprepiu energetici, fino ad arrivare a 2.5 pm di lunghezza d’onda.

31L’elettrone diffuso poteva essere rivelato facilmente facendo avvenire l’esperienza in camera di Wilson.

98

delle grandezze considerate, poiche i raggi X , essendo fotoni, si muovono con velocita c. Si poteva quinditrattare il processo di diffusione dei raggi X come un urto elastico fra la particella fotone X e l’elettrone,inizialmente fermo e di massa a riposo m. Le equazioni relative ad un particolare urto in cui il fotone ediffuso di un angolo φ e l’elettrone esce ad un angolo θ sono quindi

h ν

c=h ν′

ccosφ+ p cosθ; conservazione impulso lungo direzione fotoni incidenti

0 =h ν′

csenφ− p senθ; conservazione impulso lungo direzione normale fotoni incidenti

h ν +mc2 = h ν′ +mc

2γ; γ =1

√

1 − (v/c)2; conservazione energia

Figura A.20: Al-cuni risultati speri-mentali dell’effettodi Compton

Moltiplicando per c ambo i membri delle prime due equazioni, quadrando esommando, si ottiene

p2 c2 = (h ν)2 − 2h2ν ν′ cosφ+ (h ν′)2 (A.27)

Separando il termine mc2 nell’equazione della conservazione dell’energia, elevandoal quadrato ambo i membri, ricordando che p2c2 = (m2−m2

) c4 e sostituendo nella

(A.27), dopo alcune semplificazioni si giunge a

(ν − ν′)mc2 = hν ν′ (1 − cosφ) (A.28)

che puo essere riscritta come

(λ′ − λ) = λc(e−) · (1 − cosφ) ;λc(e

−) =h

m c(A.29)

λc(e−) = 2.42631 · 10−12 m e la lunghezza d’onda Compton per l’elettrone.

I risultati sperimentali (v. Fig.A.20 32) confermano le previsioni teoriche espresse da(A.29) sia per i valori numerici ottenuti per la dipendenza angolare della radiazioneX diffusa, che per l’indipendenza di questi risultati dalla sostanza su cui sono fattiinteragire i raggi X diffusi. Sono verificati inoltre i valori dell’energia e dell’impulsoceduti all’elettrone diffuso.E una dimostrazione ulteriore e assolutamente convincente che i fotoni hanno uncomportamento di tipo corpuscolare (cioe propagazione di quanti energetici dotatianche di impulso), almeno nelle interazioni con le particelle atomiche.

A.13 Ipotesi di de Broglie

Nel 1924 Louis de Broglie, nella sua tesi di dottorato, formulo l’ipotesi che i fenomeni che avvengonosu scale atomiche e subatomiche debbano essere pensati e rappresentati in modo diverso dalla Fisicaclassica, deterministica e fondata su principi che derivano da esperienze condotte su scale sostanzialmenteantropocentriche 33. A ogni particella in moto con impulso di modulo p si “associava” una lunghezzad’onda definita dalla relazione

λb =h

pcon h costante di P lanck (A.30)

Veniva cioe assegnato un comportamento ondulatorio a particelle materiali in moto. Il valore moltopiccolo di h significa che questa schematizzazione e importante solo per particelle di dimensioni atomiche

32Nella figura sono riportate le distribuzioni in funzione della lunghezza d’onda degli X del Molibdeno diffusi a diversiangoli da un bersaglio di carbonio (per maggiori dettagli si consiglia la lettura degli articoli originali, Phys. Rev. 21 (1923)483 e Phys. Rev. 22 (1923) 411, che fruttarono il premio Nobel a Compton nel 1927)

33Le leggi di Newton valgono quando le velocita coinvolte sono trascurabili rispetto alla velocita della radiazione elet-tromagnetica nel vuoto, le unita di misura fondamentali della meccanica sono congrue con le dimensioni umane [il m edell’ordine di grandezza di una gamba umana media, il kg dell’ordine della massa d’acqua minima per la sopravvivenza,il s dell’intervallo fra due battiti del cuore umano a riposo], il punto materiale deve avere dimensioni trascurabili rispettoalle dimensioni in cui si svolge il moto, ma deve essere molto maggiore delle dimensioni atomiche, altrimenti l’equazione dimoto non puo essere semplicemente ~F = m ~a e cosı via.

99

e subatomiche. Infatti, se consideriamo una particella di massa m = 1 g che si muove con una velocitav = 1 m/s, cioe con impulso p = 10−3 kg m/s, a questa viene associata una lunghezza de Broglie λb =6.6262 10−34 Js/10−3 kg m s−1 = 6.6262 10−31 m, assolutamente insignificante e priva di conseguenzeosservabili.

Figura A.21: Onda associata di de Brogliesull’orbita di Bohr per l’elettrone nell’atomod’idrogeno

Vediamone alcune conseguenze importanti:

1. nella descrizione dell’effetto fotoelettrico i fotonipossiedono un’energia E = h ν, ma (dalla rela-tivita ristretta) anche un impulso p = E/c =h ν/c = h/λ e si ritrova quindi la (A.30);

2. nell’ipotesi di quantizzazione di Bohr per l’ato-mo d’idrogeno il momento angolare l =me v r = p r dell’elettrone sull’orbita circo-lare doveva essere un multiplo intero di h, cioep r = n h/2π; se teniamo conto della (A.30)λb = 2π r/n, cioe λb n = 2π r. Le orbitestazionarie permesse all’elettrone in moto at-torno al protone erano solo quelle per cui la λb

associata al moto dell’elettrone si “adatta” per-fettamente all’orbita descritta, cioe il sistema dionde λb si chiude perfettamente in fase sull’or-bita considerata, senza provocare fenomeni diinterferenza distruttiva per l’onda di de Broglie che si propaga sull’orbita (v. Fig.A.21).

La relazione (A.30) spiegava bene il comportamento duale (corpuscolare e ondulatorio) dei fotoni, marichiedeva anche che particelle atomiche in moto con impulso p presentassero simultaneamente compor-tamenti ondulatori, che non erano ancora misurati.

A.14 Esperienza di Davisson e Germer

Nel 1927 Davisson e Germer eseguirono un famoso esperimento per dimostrare che si ottenevano figuredi diffrazione identiche facendo incidere sulla stessa struttura 34 sia raggi X che fasci monoenergetici dielettroni aventi velocita corrispondenti, secondo la relazione di de Broglie (A.30).Con riferimento alla Fig.A.22 un opportuno cannone elettronico produce un fascio collimato di elettronimonoenergetici di energia E = p2/2 me, che possiedono quindi un impulso p =

√2 me E, che vien fatto

incidere su un cristallo di Ni, avente una distanza interreticolare d, che funziona da “passo del reticolo”.La lunghezza d’onda di de Broglie associata al fascio di elettroni sara

λb =h√

2me E(A.31)

Per una tensione di accelerazione di 102 V si ottiene λb ≃ 0.12 nm e per avere diffrazione-interferenzacostruttiva nella direzione θ occorre che sia verificata la relazione

d senθ = n λb = nh√

2me E; n→ intero (A.32)

Come si puo facilmente vedere dalla Fig.A.23, il pattern di diffrazione che si ottiene utilizzando raggi Xcon λ ≃ 0.12 nm (a SX nella figura) e praticamente identico a quello ottenuto col fascio di elettroni aventila stessa λb (a parte il nucleo centrale “brillante” nell’immagine elettronica dovuto alla rivelazione dellacomponente non diffratta del fascio elettronico incidente). Entrambe le distribuzioni d’intensita sono inperfetto accordo con la (A.32).Altri importanti esperimenti a sostegno del comportamento duale (corpuscolare e ondulatorio) delle parti-celle atomiche e subatomiche sono stati eseguiti in epoche piu recenti. Vogliamo citare quello di Tonomura

34Utilizzarono cristalli di Ni per avere reticoli con “passo” d dell’ordine di grandezza delle lunghezze d’onda delle radiazioniutilizzate per produrre le figure di diffrazione registrate.

100

Figura A.22: Schema dell’esperienza di Davissone Germer

Figura A.23: Figure di diffrazione prodotte rag-gi X (SX) e da elettroni (DX) nell’esperienza diDavisson e Germer

Figura A.24: Fi-gure di diffrazioneprodotte da elet-troni nell’esperien-za di Tonomura etal. (1989)

et al. 35 in cui hanno riprodotto l’esperienza della diffrazione e interferenza allaYoung usando elettroni, che potevano inviare uno per volta sul cristallo diffrattore.Nella Fig.A.24 sono riportati i risultati dell’esperimento dell’interferenza di elettroni“alla Young” (interferenza su doppia fenditura) con diverso flusso totale di elettroni(indicati nel seguito): a) → 10, b) → 200, c) → 6000, d) → 40000, e) → 140000. Eevidente come l’aumento della statistica delinei in modo migliore la localizzazionedelle frange dovute all’interferenza delle onde di de Broglie associate all’impulsodegli elettroni inviati sulle fenditure.Sono stati utilizzati anche neutroni (diffratti da cristalli di Si) per dimostrare cheil dualismo onda-corpuscolo si realizzava anche con queste particelle (H.Rauch etal., Phys. Lett. A 47, 369, 1974).Riassumendo, si e verificato sperimentalmente che si possono creare fenomeni didiffrazione/interferenza anche con fasci di particelle sempre piu “pesanti”:

• fasci di atomi (Carnal e Mlynek, Phys. Rev. Lett. 66, 2689, 1991);

• fasci di piccole molecole e dimeri e trimeri di gas nobili (Schoellkopt e Toennis,Science 266, 1345, 1994);

• fasci di molecole di fullerene 36 (Naizz, Arndt, Zeilinger, Am. J. Phys. 71,319, 2003);

• il gruppo del Vienna Center for Quantum Science and Technology,vcq.quantum.at sembra aver ottenuto comportamenti ondulatori anche permolecole di 514 e 1298 a.m.u. (2012).

L’intuizione di de Broglie e sperimentalmente ben provata.

A.15 Principio d’indeterminazione di Heisenberg

Nel 1927 Heisenberg introdusse, nella descrizione dei fenomeni atomici e subatomici, oltre a un forma-lismo matriciale (molto complesso) per la descrizione del loro stato energetico, il cosidetto principio di

35A.Tonomura et al., Am. J. Phys. 57, 117, 1989. Non per campanilismo, ma per correttezza, dobbiamo dire che i primia effettuare una misura di diffrazione alla Young con singoli elettroni sono stati italiani, Merli-Missiroli-Pozzi, J. Phys E:Sc. Instrum. 7, 729, 1974, ma non sembra che la letteratura internazionale abbia dato loro il credito dovuto.

3660 atomi di C, disposti in strutture di anelli pentagonali, esagonali, ottagonali (simili alla struttura della grafite),disposti su una superficie sferica, simile a un pallone.

101

indeterminazione secondo il quale per alcune variabili 37 esiste una semplice relazione che lega limitinaturali invalicabili nelle precisioni (indicate nelle formule seguenti col simbolo ∆) a cui si puo arrivarein qualunque misura si possa realizzare su quelle grandezze

∆x ∆px > h4π = h

2x, px → posizione e impulso lungo x

∆y ∆py > h4π = h

2y, py → posizione e impulso lungo y

∆z ∆pz > h4π = h

2z, pz → posizione e impulso lungo z

∆E ∆t > h4π = h

2E, t → energia e tempo

∆φ ∆Jz > h4π = h

2φ, Jz → posiz. angolare e momento angolare lungo z

(A.33)

Ribadiamo con forza che non si tratta di errori di misura; anche misure accuratissime e molto precisepossono solo raggiungere i limiti imposti dalle (A.33), ma mai superarli. Per effettuare qualunque misuraoccorre interagire con la particella su cui si esegue la misura e qualunque interazione altera lo stato incui si trova la particella, causando le incertezze nelle misure descritte dalle disuguaglianze (A.33).Visto il valore numerico molto piccolo di h/2, le (A.33) riguardano solamente misure che si effettuanosu particelle atomiche e subatomiche. Supponiamo infatti di considerare il moto di un cubetto di la-to l = 1 cm , di densita ρ = 5 g/cm3, che trasla con una velocita v = 1 m/s; avra un impulsop = 5 10−3 kg m s−1. Il prodotto p · l assume il valore 5 10−5 Js, che risulta maggiore di h/2 peralmeno 29 ordini di grandezza, assolutamente ininfluente rispetto a qualunque errore di misura si possaconsiderare sulle misure effettuabili sulla posizione e impulso del cubetto; nella definizione che diamo inMeccanica classica, il cubetto e assimilabile a un punto materiale, ma la Meccanica classica, ribadiamoancora una volta, e stata elaborata per spiegare quantitativamente i fenomeni che avvengono su scalefinite e congrue con le nostre esperienze di vita quotidiana.Sostanzialmente le (A.33), che formalizzano il principio d’indeterminazione di Heisenberg, dicono che lamisura (con grande precisione) di alcune grandezze fisiche relative a stati energetici e dinamici di particelleatomiche e subatomiche provoca alterazioni dello stato fisico della particella, che causano necessariamenteincertezze nella simultanea misura di grandezze fisiche associate secondo le relazioni riportate dalle (A.33).Riportiamo alcune esperienze concettuali importanti collegate al principio d’indeterminazione.

1) localizzazione di una particella subatomica tramite la diffusione di radiazione elettro-magnetica.

S

L

PF vx x

y2 ϕ

Figura A.25: Schema dell’esperienzaideale per localizzare una particellatramite diffusione di luce

Con riferimento alla Fig.A.25 vogliamo determinare la posizione xe l’impulso px di una particella, che si trova nel punto P con velo-cita ~v, tramite la diffusione di almeno un fotone su di essa, rivelatoda un microscopio perfetto su uno schermo S preceduto da unalente perfetta L. Dall’ottica fisica sappiamo che ogni lente produceun’immagine affetta da diffrazione 38, per cui la migliore localiz-zazione possibile della posizione x della particella sara dell’ordinedi ∆x ∼ λ/senϕ, dove λ e la lunghezza d’onda della radiazioneimpiegata. Se pensiamo alla diffusione di un singolo fotone, questopossiede un impulso p ∼ h/λ per la relazione di de Broglie. Ma larelazione che fornisce ∆x ci dice che questo fotone e “partito” dal-l’intorno del punto P (NON da P !) con un’indeterminazione ∆x;l’indeterminazione della componente px dell’impulso del fotone dif-fuso sara dell’ordine di ∆ px ∼ (h/λ)·senϕ 39. Non essendo presentiforze esterne durante la diffusione sul sistema composto da [particella + fotone diffuso + microscopio],

37Le variabili sono quelle canonicamente coniugate nel senso espresso dalla meccanica analitica hamiltoniana, ma lacomplessita formale e concettuale di questi argomenti, ostici anche a livello di corsi universitari del terzo anno dei CdL inFisica, consiglia di non affrontarli assolutamente per corsi a livello liceale e anche a livello del primo biennio universitario.Meglio tacere che rischiare di proprorre idee rozze o, peggio, incomplete e foriere di interpretazioni sbagliate.

38Un fascio di radiazione elettromagnetica di lunghezza d’onda λ perfettamente parallela, cioe proveniente da una sorgenteposta a distanza infinita dalle lente, produce una centrica di diffrazione di semilarghezza 1.22λ f/D, essendo f la distanzafocale e D il diametro della lente.

39Il fotone diffuso e contenuto nell’angolo solido di semiampiezza ϕ, quindi il suo impulso p potra, al massimo, esserediretto lungo la direzione P → bordo − lente, per cui la sua proiezione lungo x sara px = p · senϕ. Notiamo inoltre che lecomponenti secondo x degli impulsi della particella e del fotone possono essere misurate con assoluta precisione prima delladiffusione perche non si ha interesse a misurare simultaneamente anche la loro posizione lungo x.

102

si deve dedurre che l’indeterminazione nella componente px della particella non puo che essere ugualeall’indeterminazione ∆px del fotone lungo la stessa direzione, per cui abbiamo che, per la particella,

∆x · ∆px ∼ h

sostanzialmente quanto previsto dal principio di Heisenberg (a parte un fattore numerico 4π, che nonaltera il profondo significato fisico della validita del principio).

2) localizzazione di una particella in direzione ortogonale alla sua direzione di propagazione.

Supponiamo di creare un fascio di elettroni monoenergetici che si propagano tutti con velocita parallelaalla direzione x. Per localizzare la posizione di ogni elettrone lungo la direzione ortogonale a x (chechiameremo y) facciamo incidere il fascio su una fenditura, di larghezza d, molto piccola, posta su unaparete (non trasparente agli elettroni) che si trovi lungo y. Nella regione di spazio attorno alla fenditura laposizione di ogni singolo elettrone e indeterminata per un ∆y = d. Attraversando la fenditura ogni singoloelettrone sara affetto da diffrazione, quindi la sua propagazione dopo l’attraversamento della fendituraavverra in un angolo di diffrazione α ∼ λ/d, con λ = h/pe, essendo pe = me v l’impulso di ogni singoloelettrone. Quindi α ∼ h/(pe d). Ma

∆py = 2 senα

2· p ∼ p α ∼ h

d

da cui, per l’elettrone lungo y,

∆y · ∆py ≃=h

d· d = h

come sostanzialmente previsto dal principio di Heisenberg.Volendo migliorare la precisione di una grandezza si danneggia inevitabilmente. come limite imposto dallanatura, la precisione con cui si puo, al limite, misurare la grandezza associata alla prima da relazioni diconiugazione canonica (v. relazioni (A.33)).

3) esperienza di Young con elettroni.

Nella Fig.A.24 abbiamo visto come si possa riprodurre, con elettroni di opportuna velocita, la distri-buzione di diffrazione-interferenza (Fig. A.17) identica a quella dell’esperienza di Young con i fotoni. Sipuo inviare un elettrone per volta sulle due fenditure e, dopo il tempo necessario per accumulare una sta-tistica dei conteggi sufficiente sullo schermo di collezione degli elettroni diffratti, si delineano le frange diinterferenza tipiche (v. Fig. A.17). Se volessimo tentare di identificare la posizione dell’elettrone in volo,a esempio tappando una delle due fenditure, otterremmo la distribuzione di diffrazione su una singolafenditura (v. Fig. A.16). Ribadiamo quindi che (a livello atomico e subatomico) la distribuzione d’in-tensita I(fend1 + fend2) 6= I(fend1) + I(fend2), avendo indicato con I(fend1 + fend2) la distribuzionedi diffrazione-interferenza su due fenditure (Fig. A.17), mentre con I(fend1) e I(fend2) indichiamo ladistribuzione di diffrazione su singola fenditura (Fig. A.16). I(fend1) e ovviamente identica a I(fend2),solo che e spostata sullo schermo di d, interdistanza delle due fenditure.

Cercando di determinare da quale fenditura passa il singolo elettrone, si distrugge la figura d’interferen-za. Per descrivere il comportamento fisico di sistemi per i quali si applica il principio d’indeterminazionedi Heisenberg si deve, quindi, abbandonare il determinismo della Fisica newtoniana classica (stretta re-lazione causa-effetto) e sostituirlo con un approccio di determinismo “statistico” (o probabilistico).Riportiamo di seguito alcuni esempi schematici, molto semplici, che possono aiutare a comprendere questonuovo modo di descrivere i fenomeni (a scale spaziali e temporali tipiche della fenomenologia atomica esubatomica).

1) energia di una particella in una buca di potenziale nullo, limitato spazialmente.Con riferimento alla Fig.A.26 consideriamo una particella posta in una buca di potenziale tale che V (x) =0 per a ≤ x ≤ b e V (x) → ∞ per x < a e per x > b. Classicamente la particella puo stare in qualunque

103

V(x)

xa b0

Figura A.26: Schema di una particella in unabuca di potenziale nullo, limitato spazialmente

punto dell’intervallo a ≤ x ≤ b con velocita nul-la. Questo non e possibile quantisticamente perchein tale stato la particella potrebbe essere localizzatacon precisione → ∞, quindi ∆x = 0, e con impulsonullo, quindi ∆px = 0; conseguentemente avremmoche ∆x · ∆px = 0 < h/2, in violazione del principiod’indeterminazione di Heisenberg.In realta la particella, trovandosi in qualunque pun-to dell’intervallo b − a, sara caratterizzata da un’in-certezza massima (lungo x) ∆xMAX = (b − a)/2.Conseguentemente l’incertezza minima su px sara

∆px(min) ≃ h

2 ∆xMAX=

h

b− a

e l’energia minima che potra assumere sara

Emin ≃ 1

2 m· (pmin)2 =

h2

2 m (b− a)2

Quantisticamente lo stato di energia minima per una particella vincolata entro una buca di potenzialenullo, limitato da potenziale → ∞ all’esterno, non puo essere 0, come avremmo detto in base alla Fisicaclassica, ma finita (anche se di valore molto piccolo).

2) buca di potenziale quadratico.Ricordiamo che una particella di massa m che si muove di moto armonico attorno all’origine di un sistemadi assi cartesiani ortogonali lungo la direzione x, e soggetta a un potenziale V = 1/2 k x2 e che la suaequazione oraria e x(t) = Acos(ω t + ϕ), essendo ω =

√

k/m la pulsazione del moto armonico e Al’ampiezza degli spostamenti rispetto all’origine degli assi coordinati. La sua energia totale sara

ET (x) =p2

2 m+m ω2 x2

2

Supponiamo di poter localizzare la particella in un intervallo di ampiezza a attorno all’origine (cioe com-presa in un intorno dell’origine fra −a/2 e +a/2). Quindi possiamo porre che ∆x ∼ a e conseguentemente,per il principio di Heisenberg, ∆px = ∆p ≃ h/2 a. Avremo quindi che

ET (a) =h2

8 m a2+m ω2 a2

2

Vogliamo trovare la condizione per cui ET (a) sia minima. Ma ET (a) e una funzione definita positiva e→ ∞ sia per a→ 0 che per a→ ∞. Quindi la condizione di minimo e assicurata da

d ET (a)

d a=

a

m[− h2

4 a4+m2ω2] = 0

Si ricava facilmente che la condizione sopraesposta si realizza per

a4 =

h2

4 m2 ω2; a =

√

h

2 m ω

e otteniamo infine, dopo le opportune sostituzioni, che

ET (a) =hω

2

Anche in questo caso lo stato di energia minima per l’oscillatore armonico quantistico non e quello dienergia nulla.

104

3) buca di potenziale coulombiana.Supponiamo di mettere, nel vuoto, un elettrone in una buca di potenziale coulombiana, la cui espressione,rispetto a un sistema di riferimento in cui nell’origine sia posta una carica +e, ferma, e

V (r) = − 1

4πǫ· e

2

r

Con un ragionamento analogo a quello fatto nel caso precedente, cioe pensando di poter localizzarel’elettrone con un’incertezza totale a attorno all’origine, si ottiene per la sua energia totale

ET (a) =h2

8m a2− 1

4πǫ· e

2

a

e, col solito ragionamento sulla determinazione del minimo per ET (a) si ottiene

d ET

da=

1

4a2· [− h2

ma+

e2

πǫ] = 0

che e risolto per

a =h2πǫm e2

valore molto prossimo al raggio della prima orbita di Bohr dell’atomo d’idrogeno.

A.16 Necessita di un nuovo approccio per la Fisica dell’infini-

tamente piccolo: la meccanica quantistica

Tutte le esperienze effettuate sul comportamento dinamico ed energetico di entita fisiche dell’ordineatomico e subatomico, unitamente a principi (sostenuti da una larga varieta di verifiche sperimentali)fondamentali, come quelli di de Broglie e Heisenberg, dimostrano che e necessario sviluppare un mododiverso dalla Fisica newtoniana classica di descrizione della realta microscopica della natura. Ovviamenteprincipi che troviamo sempre verificati nelle nostre esperienze (conservazione dell’energia, conservazionedella quantita di moto in sistemi isolati) devono continuare a valere anche a livello microscopico 40.Sostanzialmente particelle e fotoni devono essere descritti come entita che presentano un comportamen-to sia corpuscolare (soprattutto in fase di creazione e cattura) che ondulatorio (soprattutto in fase dipropagazione), impossibili a misurare simultaneamente con precisione infinita (almeno per le grandezzeconiugate nel senso definito dalle (A.33)). Si assume che essi possano essere descritti come pacchettid’onde, localizzati, come rappresentato in Fig.A.27.Seguendo l’interpretazione data da M.Born (1926), la funzione d’onda a essi associata ψ(P, t) deve essere

considerata una funzione di densita di probabilita, in modo che ‖ψ(P, t∗)‖2 dV (P ), cioe il modulo quadrodi ψ(P, t∗) al tempo t∗ moltiplicato per il volume infinitesimo dV (P ) centrato attorno a P , rappresentila probabilita di trovare la particella, associata alla funzione ψ(P, t), nel volume dV (P ) al tempo t∗.Ovviamente la ψ(P, t) dovra essere normalizzata, cioe

∫

∞ψ(P, t∗) dV = 1 41.

Il famoso teorema di Fourier 42 offre un potente metodo per esprimere qualunque funzione periodica “o-nesta” come serie di opportune funzioni circolari (seni e coseni). Riportiamo nella Fig.A.28 l’esempio di

40Questi sono ritenuti validi in ogni parte del nostro Universo, per cui anche nella descrizione della macrofisica [dimensionidell’ordine di ≃ 1024 − 1026 m e tempi ≃ 106 − 109 anni] e durante tutta l’evoluzione dell’universo sono ritenuti, almenofino a prova contraria, validi.

41Questa interpretazione probabilistica fu confutata da molti fisici dell’epoca, fra cui Einstein che disse il famoso aforismaDio non gioca ai dadi!. Tutta la Fisica del microcosmo sviluppata successivamente ha invece dimostrato che l’interpretazionedi Born e di tutta la scuola di Fisica Teorica di Copenhagen, guidata da N.Bohr, era corretta e offriva un modo abbastanzasemplice per spiegare la complessita dei fenomeni che si misurano sulle scale tipiche del microcosmo.

42Una funzione f(x) periodica, con periodo 2π, limitata (insieme alla sua derivata prima) nel periodo salvo un numerofinito di punti, in cui pero esista il limite destro e sinistro sia per la f(x) che per la sua derivata prima, e sviluppabile inserie di funzioni circolari

f(x) =1

2a +

∞∑

n=1

an cos(n x) +

∞∑

n=1

bn sen(n x) ; an =1

n

∫ +π

−π

f(x) cos(n x) dx ; bn =1

n

∫ +π

−π

f(x) sen(n x) dx

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Figura A.27: Schema di un pacchetto d’onde,spazialmente e temporalmente localizzato

Figura A.28: Schema della sovrapposizionedelle prime 7 armoniche di Fourier perriprodurre un’onda quadra

come si possa riprodurre l’andamento di un’onda quadra (con approssimazione grossolana) con la sommadelle prime 7 armoniche di Fourier.

Figura A.29: Schema di rappresentazione di unpacchetto d’onde tramite sovrapposizione di ondesinusoidali

Anche nel caso della ψ(P, t) possiamo pensaredi esprimerla come inviluppo di opportune fun-zioni circolari, cioe di rappresentazione di seriedi onde sinusoidali, come mostrato in Fig.A.29.Per studiare sia le condizioni di stazionarie-ta che la propagazione e interferenza connessecon le funzioni ψ(P, t) bisogna quindi utiliz-zare equazioni che trattano e descrivono lapropagazione ondosa. Anche nel caso piu sem-plice di onde meccaniche trasversali (vibrazionedi una corda elastica) si arriva a un’equazionedifferenziale lineare omogenea, a coefficienticostanti, con derivate parziali del secondo or-dine in x, y, z e in t, la cosidetta equazione did’Alembert, che pero e affrontabile solo al ter-mine del secondo anno (meglio al terzo anno) diCdL universitari in Matematica, Fisica o CdLclassici di Ingegneria. Quindi non e assolutamente possibile proporre simili formalizzazioni a studentiliceali e bisogna quindi fermarsi a questo punto, invitandoli a una paziente attesa per formarsi i bagagliculturali e tecnici necessari per affrontare le difficolta matematiche collegate con questi argomenti.

A.17 Conclusioni

Siamo arrivati al punto in cui le evidenze sperimentali e le intuizioni geniali di alcuni grandi fisici di-mostravano la necessita di sviluppare un modo nuovo per descrivere il comportamento delle grandezzefisiche della microfisica, cioe lo sviluppo della meccanica quantistica. Questo fu realizzato quando, nel1926, Schroedinger propose la sua equazione alle derivate parziali per valutare la funzione di densitadi probabilita ψ(P, t), che dimostro subito tutta la sua utilita. Successivamente l’algebra matriciale diHeisenberg, ma soprattutto l’estensione all’elettrodinamica relativistica di Dirac, portarono a compimen-to il processo della formulazione della meccanica quantistica.

106

Da quel momento una valanga di scoperte, di miglioramenti e di nuove teorie (soprattutto nel campodelle fisica delle particelle elementari) hanno portato al quadro soddisfacente delle conoscenze attuali.E stato un percorso difficile e per comprenderlo in pieno sono necessari anni di formazione universitariaspecialistica. Quindi Ad maiora!!Un’ultima considerazione: si legge, ogni tanto, su articoli di divulgazione (non proprio attendibile) maanche su libri non specialistici (e talvolta anche si sente proclamare con sussiego da conferenzieri moltosuperficiali) che la Fisica classica e ormai superata 43, che Einstein (uno dei bersagli preferiti di questicialtroneschi dulcamara) e stato smentito, che le leggi fondamentali della natura sono tutte cambiate ecosı via. Tutte queste scemenze rivelano solo l’ignoranza profonda di chi le propina. La Fisica (comeogni altra Scienza razionale) e un edificio costruito tramite il contributo di tantissimi ricercatori, moltimodesti (ma onesti), tanti brillanti, pochi geniali, ma tutti rispettosi e grati per il contributo dato da altricolleghi ma soprattutto dai predecessori, senza i quali non si potrebbe MAI andare avanti. Ovviamente cipossono essere state interpretazioni errate 44, sviste, percorsi contorti nelle spiegazioni, ma le conoscenzeconsolidate non possono che essere rispettate. Ovviamente non si tratta di Verita ma di conoscenzeattuali (quindi modificabili), ma il nostro profondo rispetto e la nostra sincera gratitudine verso tutticoloro che ci hanno donato questa valanga di conoscenze non devono mai mancare. Soprattutto quandosi sentono i nomi dei cosidetti giganti (Galileo, Newton, Maxwell, Planck, Einstein ecc.) si dovrebbe stareun attimo in silenzio per esprimere loro la nostra sincera gratitudine ma soprattutto per pensare a nonpronunciare (solo noi!) qualche grullata.

43E con la meccanica classica di Newton e successori che si riesce a inviare sonde spaziali fuori dal sistema solare, chesi costruiscono tutte la macchine che utilizziamo, e con l’elettromagnetismo classico che si realizzano gli apparati elettriciche ci rendono la vita piu comoda, e la termodinamica classica che ci aiuta a capire tantissimi fenomeni della nostra vitaquotidiana e cosı via.

44Galileo sosteneva che le comete non erano un fenomeno celeste ma una perturbazione della nostra atmosfera, affer-mazione, in questo caso, sbagliata; questo non inficia minimamente la sua grandezza e profonda importanza nello sviluppodella conoscenza umana, perche e stato una pietra miliare nella costruzione della Fisica come la conosciamo oggi.

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e su alcuni argomenti di Fisica Generale (integrati da...

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