Esercizi sul regime sinusoidale - unina.it

59 - Esercizi sui circuiti elettrici

Esercizi sul regime sinusoidale

A1 - Per la forma d’onda mostrata in figura, calcolare il valor medio in unperiodo.

A

- B t

T

0

A , B > 0

a(t)

T0

Risposta:

Am = A T0

T - B 1 - T0

T .

Quale relazione deve intercorrere fra i parametri A, B, T e T0 affinché lafunzione periodica proposta sia alternata?

A2 - Nel dispositivo mostrato in figura, il cursore C è animato da moto periodicotra la posizione A e la posizione B. Determinare l’energia dissipata nell’interocircuito per effetto Joule, nel tempo T, necessario per andare da A fino a B.

+

−

C

A

B

E

R0

R

i(t)


Risposta: risulta

U = E2 TR

log R0 + RR0

.

A3 - Determinare la somma delle quattro funzioni sinusoidali

a1(t) = 2 sen(10t) , a2(t) = 4 sen 10t - π2

,

a3(t) = 6 sen(10t - π) , a4(t) = 8 sen 10t - 32

π .

Risposta:

a(t) = a1(t) + a2(t) + a3(t) + a4(t) = 4 2 sen 10t + 34

π .

A4 - Determinare la differenza delle due funzioni sinusoidali

a1(t) = 5 cos(2t) , a2(t) = sen 2t - π4

.

Risposta:

a(t) = a1(t) - a2(t) = 26 + 5 2 cos 2t + arctan 11 + 5 2

.

A5 - Dimostrare che la somma delle tre funzioni sinusoidali

a1(t) = A cos(ω t) , a2(t) = A cos ω t - 23

π , a3(t) = A cos ω t - 43

π ,

è nulla quale che sia il valore della pulsazione ω e del valore massimo A.

A6 - Verificare che la somma delle tre funzioni sinusoidali

b1(t) = B sen ω t + 23

π , b2(t) = B sen(ω t) , b3(t) = B sen ω t - 23

π ,

risulta nulla quale che sia il valore scelto per la pulsazione ω e per il valoremassimo B.


A7 - Per il circuito di figura, si determini l’impedenza vista dai morsetti AB siain forma algebrica, sia in forma esponenziale.

A

B

R

C L

Risposta: l’impedenza, scritta in forma algebrica, vale a dire in termini di partereale ed immaginaria, è pari a

ZAB = R + j ωL1 - ω2 LC

,

da cui si ricava facilmente la forma esponenziale ZAB = ZAB exp(j ϕAB), vale adire in termini di modulo e fase,

ZAB = R2 + (ωL)2

1 - ω2 LC 2 , ϕAB = arctan ωL

R 1 - ω2 LC .

A8 - Si determinino i valori dei parametri RS ed XS in maniera tale che i duebipoli mostrati in figura siano equivalenti, nell’ipotesi che RP = 10, XP = 5.

A

B

RP XP

A

B

XS

RS

Risposta: i parametri richiesti valgono


RS = 2 , XS = 4 .

A9 - Determinare l’impedenza vista dai terminali A e B del bipolo mostrato infigura.

X3

X2

X1 R

A B

Dati: R = 5, X1 = 3, X2 = 10, X3 = 4.

Risposta: l’impedenza richiesta risulta pari a

ZAB = 50061

+ 19361

j ≅ 8.20 + 3.16 j .

A10 - Si calcolino l’impedenza e l’ammettenza equivalente del bipolo daiterminali A e B.

A

B

XLXC

Dati: XL = 10, XC = 20.

Risposta: risulta agevolmente che

Y = - 0.05 j , Z = 1Y

= 20 j .


A11 - Determinare le correnti che attraversano i tre rami della rete mostrata infigura, sia come fasori che nel dominio del tempo.

+

−

+

−L

RC

1

0

23

e1(t) e2(t)

i2(t)

i1(t)

i3(t)

Dati: e1(t) = E1 cos(ω t), e2(t) = E2 sen(ω t), E1 = E2 = 10, ω = 1 krad/s, R = 5,L = 5 mH, C = 0.2 mF.

Esercizio A11*Due generatori in corrente alternataR0 1 2 5L0 2 0 5mC0 2 3 0.2mVE1 1 0 AC 10 0VE2 3 0 AC 10 -90.AC LIN 1 159.15 159.15.PRINT AC IM(VE1) IP(VE1).PRINT AC IM(VE2) IP(VE2).PRINT AC IM(L0) IP(L0).END

Risposta: le correnti richieste valgono

i1(t) = - 2 cos(1000t) ,

i2(t) = 2 5 cos(1000t - arctan 2) ,

i3(t) = 4 cos 1000t - π2

= 4 sen(1000t) .

Si osservi che arctan 2 ≅ 1.107 rad.


A12 - Risolvere la rete utilizzando prima le leggi di Kirchhoff, poi il metododelle correnti di maglia, infine il metodo dei potenziali nodali. Quale dei duemetodi ridotti risulta più conveniente per la rete assegnata?

+

−

+

−

R1 L2 R3

C3

1 2 3

4

0

i3(t)i2(t)i1(t)

e2(t)e1(t)

Dati: e1(t) = E1 sen(ω t), E1 = 10, e2(t) = E2 sen(ω t), E2 = 20, ω = 1 krad/s,R1 = R3 = 1, L2 = 1 mH, C3 = 1 mF.

Esercizio A12*Circuito in corrente alternataR1 1 4 1R3 4 3 1L2 2 4 1mC3 3 0 1mVE1 1 0 AC 10 -90VE2 2 0 AC 20 -90.AC LIN 1 159.15 159.15.PRINT AC IM(VE1) IP(VE1).PRINT AC IM(VE2) IP(VE2).PRINT AC IM(C3) IP(C3).END

Risposta: le correnti valgono


i1(t) = 10 sen 1000t + π2

= 10 cos(1000t) ,

i2(t) = 10 2 sen 1000t - π4

,

i3(t) = 10 sen(1000t) .

A13 - La rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Determinare lacorrente i(t) e la potenza complessa erogata dal generatore di tensione.

1 2 3

0

+

−

C

R

L

e(t)

i(t)

j(t)

Dati: e(t) = E sen(ω t), E = 10, j(t) = - I cos(ω t), I = 2 mA, ω = 200 , R = 5 kΩ,L = 5 mH, C = 1 µF.

Esercizio A13*Circuito in corrente alternataR1 0 2 5e+3C1 2 1 1e-6L1 2 3 5e-3VE 1 0 AC 10 -90IJ 0 3 AC 2e-3 -180.PRINT AC IM(R1) IP(R1).PRINT AC IM(VE) IP(VE).AC LIN 1 31.83 31.83.END

Risposta: la corrente che fluisce nel resistore è nulla e, pertanto,

PG = 10 j mVA .


A14 - La rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Applicando ilteorema di Thévenin, oppure quello di Norton, ai morsetti 2 e 0, si determini lacorrente i(t) che attraversa nel resistore.

1 2 3

0

+

−

C

R

L

R

j(t)

j(t)

e(t)

i(t)

Dati: e(t) = E sen(ω t), E = 10, j(t) = I cos(ω t), I = 2, ω = 10 krad/s, R = 10,L = 1 mH, C = 10 µF.

Esercizio A14*Verifica del teorema del generatore equivalenteR1 2 0 10R2 3 0 10L1 1 2 1mC1 2 3 10uVE 1 0 AC 10 -90IJ 0 3 AC 2 0.AC LIN 1 1591.5 1591.5.PRINT AC IM(R1) IP(R1).END

Risposta: la corrente richiesta è pari a

i(t) = - 105

sen ω t + arctan 13

= 105

cos ω t + π2

+ arctan 13

.

A15 - La rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Applicando ilteorema di Thévenin ai morsetti 2 e 0, si determini la corrente i(t) che circola nelresistore.


1 2

0

+

−

C

R L

i(t)

j(t)e(t)

Dati: e(t) = E sen(ω t), E = 1, j(t) = - I cos(ω t), I = 1, ω = 1 krad/s, R = 2,L = 1 mH, C = 1/2 mF.

Esercizio A15*Ancora sul generatore equivalenteR1 2 0 2L1 2 0 1mC1 1 2 0.5mVE 1 0 AC 1 -90IJ 0 2 AC 1 -180.AC LIN 1 159.15 159.15.PRINT AC IM(R1) IP(R1).END

Risposta:

i(t) = 24

sen 1000t - π4

= 24

cos 1000t - 34

π .

Si provi pure a determinare la stessa corrente usando il teorema di Norton: unavolta in possesso dei parametri equivalenti di Thévenin, ottenere quelli di Nortonè piuttosto semplice.

A16 - Il circuito rappresentato in figura è a regime. Determinare la corrente i(t)che attraversa il resistore R, applicando il teorema di Norton ai morsetti 2 e 0.


1 2

0

+

−

C

R L

3R

e(t) j(t)

i(t)

Dati: e(t) = E sen(100t), E = 1, j(t) = I cos(100t), I = 1, R = 1, R = 1, C = 10 mF,L = 10 mH.

Esercizio A16*Teorema di NortonR1 2 0 1R2 2 3 1L1 3 0 10mC1 1 2 10mVE 1 0 AC 1 -90IJ 0 3 AC 1 0.AC LIN 1 15.915 15.915.PRINT AC IM(R1) IP(R1).END

Il listato precedente non realizza il teorema di Norton, ma fornisce una verificadella correttezza del risultato, dato che è possibile ottenere i potenziali complessidi tutti i nodi della rete. Si rammenta che Spice adotta le funzioni cosinusoidaliquali funzioni di riferimento per la descrizione in termini di fasori.Infine, disponendo dei potenziali, è semplice verificare la conservazione dellepotenze complesse, ovvero delle potenze attive e reattive considerateseparatamente.

Risposta: la corrente richiesta, nel dominio del tempo, vale

i(t) = cos(100t) .

A17 - Determinare il circuito equivalente di Thévenin (Norton), visto dai


morsetti 2 e 3, per la rete mostrata in figura.

12

30

+

−

C

R

L

e(t)

Dati: e(t) = E cos(ω t), E = 100, ω = 20 krad/s, R = 10, L = 1 mH, C = 5 µF.

Esercizio A17*Teorema del generatore equivalenteR1 2 3 10L1 1 2 1mC1 3 0 5uVE 1 0 AC 100 0.AC LIN 1 3.183k 3.183k.PRINT AC VM(2,3) VP(2,3).END

Risposta: risulta, facendo la convenzione ai valori efficaci,

Z0 = 5 (1 + j) ,

E0 = 50 (1 - j )

2 → e0(t) = 50 2 cos ω t - π

4 .

A18 - Determinare il circuito equivalente secondo Norton, visto dai terminaliAB, per la rete mostrata in figura.


A

B

XL

XC

R2

R1j(t)

Dati: J = 16, R1 = 25, R2 = 15, XL = 30, XC = 50.

Risposta: l’impedenza equivalente e la corrente di cortocircuito valgono,rispettivamente,

Z0 = 25 (2 - j) , I0 = 85

(4 - 3 j) .

A19 - Determinare il circuito equivalente secondo Thévenin, poi quello secondoNorton, visto dai terminali 2 e 5, per la rete mostrata in figura che opera inregime sinusoidale.

+−

R R

R

R

XL

R0

60

3

2

5

1

4XC

E

Dati: E = 60, R0 = 1, R = 4, XL = 4, XC = 4.

I listati Spice che seguono sono utili per verificare il valore della tensione a vuoto


e dell’impedenza equivalente.

Esercizio A19.1*Verifica della tensione a vuotoR1 1 6 4R2 6 5 4R3 3 4 4R4 2 3 4R5 0 6 1L1 1 2 4C1 4 5 0.25VE 3 0 AC 60 0.AC LIN 1 0.15915 0.15915.PRINT AC VM(2,5) VP(2,5).END

Esercizio A19.2*Verifica dell’impedenza equivalenteR1 1 6 4R2 6 5 4R3 3 4 4R4 2 3 4R5 0 6 1L1 1 2 4C1 4 5 0.25VE1 3 0 AC 0 0VE2 2 5 AC 1 0.AC LIN 1 0.15915 0.15915.PRINT AC IM(VE2) IP(VE2).END

Risposta: i parametri equivalenti risultano pari a

E0 = 10 , Z0 = 296

= 4.83 .

A20 - Calcolare l’impedenza vista dai terminali 1 e 0 per la rete mostrata infigura.


+ −1

0

L R

C

2

3

r i(t)i(t)

Dati: R = 30, L = 0.6 mH, C = 0.4 µF, r = 5, ω = 100 krad/s.

Esercizio A20*Impedenza equivalenteR0 4 3 30L0 2 3 0.6mC0 3 0 0.4uV0 4 2 DC 0H0 1 2 V0 5VIN 1 0 AC 1 0.AC LIN 1 15915.5 15915.5.PRINT AC IR(VIN) II(VIN).END

Risposta: l’impedenza equivalente vale

Z0 = 20 - 15j .

La codifica dei generatori controllati in regime sinusoidale è simile a quellastudiata in regime stazionario.

A21 - La rete mostrata in figura è a regime. Si determini la corrente i(t) el’energia assorbita dal resistore R in un periodo T = 2π/ω .


1 2

0

+

−C

R

Le(t)

i(t)

j(t)

Dati: e(t) = E = 5, j(t) = I cos(ω t), I = 2, ω = 1 krad/s, R = 1, L = 1 mH,C = 1 mF.

Esercizio A21*Energia assorbita dal resistoreR1 1 2 1L1 2 0 1mC1 2 0 1mVE 1 0 DC 5IJ 0 2 DC 0 AC 2 0.AC LIN 1 159.15 159.15.PRINT AC IM(R1) IP(R1).END

Risposta: risulta

i(t) = 5 - 2 cos(1000t) , U(0, T) = R i2(t) dt0

T

= 54 π mJ ≅ 169.65 mJ

A22 - La rete mostrata in figura è a regime. Si determini il valore medio in Tdella potenza istantanea assorbita dal resistore R.


+

−C R

L

i(t)

j(t)e(t)

Dati: T = 0.02, ω = 2π/T, e(t) = E = 10, j(t) = I cos(ω t), I = 2, R = 20,L = 8 mH, C = 0.4 nF.

Risposta: P ≅ 5.62.

A23 - La rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Determinare lacorrente i2(t).

+

−

CL

+

−R2

R1

1 32

4

0

e(t)

i(t) i2(t)

i1(t)

r i2(t)

Dati: e(t) = E cos(ω t), E = 130, ω = 10 krad/s, r = 30, R1 = 40, R2 = 100,L = 5 mH, C = 2 µF.

Esercizio A23*Generatore controllato in alternataVE 1 0 AC 130 0L1 1 2 5mR1 2 4 40


C1 2 3 2uR2 3 5 100VEA 5 0 DC 0H1 0 4 VEA 30.AC LIN 1 1591.5 1591.5.PRINT AC IM(R2) IP(R2).END

Risposta: la corrente richiesta vale

i2(t) = 25

2 cos ω t - π4

.

A24 - La rete mostrata in figura opera in regime periodico. Determinare il valormedio della potenza assorbita nel periodo T dal resistore R1.

+

−

CL

R1 R2

1 2 3

0

e(t)

i(t)

j(t)

Dati: e(t) = E sen(ω1t), j(t) = I cos(ω2t), E = 6, I = 4 17, T = 8π ms, ω1 = 2π/T,ω2 = 2 ω1, R1 = R2 = 2, L = 8 mH, C = 4 mF.

Esercizio A24-1*Agisce il solo generatore di tensioneR1 2 0 2R2 3 0 2L0 2 3 8mC0 1 2 4mVE 1 0 AC 6 -90.AC LIN 1 39.789 39.789.PRINT AC VM(R1) VP(R1).END


Esercizio A24-2*Agisce il solo generatore di correnteR1 2 0 2R2 3 0 2L0 2 3 8mC0 0 2 4mIJ 0 3 AC 16.492 0.AC LIN 1 79.577 79.577.PRINT AC VM(R1) VP(R1).END

Risposta: la potenza richiesta è pari a

P = 1069

.

A25 - La rete mostrata in figura opera in regime periodico. Determinare lacorrente i(t) che fluisce nel generatore.

+

−C

LR

21

0

j(t)j(t)

i(t)

e(t)

Dati: j(t) = I cos(ω1t), e(t) = E cos(ω2t), I = 4, E = 3 2, ω1 = 1 krad/s,ω2 = 3 ω1, R = 0.75, L = 2 mH, C = 0.5 mF.

Per risolvere l’esercizio proposto è opportuno adoperare la sovrapposizione deglieffetti.

Esercizio A25*Analisi con il solo generatore di tensioneR1 1 2 0.75


L1 2 0 2mC1 2 0 0.5mVE 1 0 AC 4.243 0.AC LIN 1 477.46 477.46.PRINT AC IM(VE) IP(VE).END

Risposta: la corrente richiesta vale

i(t) = 4 cos 3000t + π4

- cos(1000t) .

Si noti come la corrente sia una combinazione di due funzioni cosinusoidali didiverse pulsazioni, una per ciascun generatore che forza la rete.

A26 - Calcolare il valore dell’impedenza Z incognita.

+

−

+

−

+ −

IZ

3 2 j

20

- 5 j 4 jVG V1

VZ

IG

Z

Dati: VG = 100 - 50 j, V1 = 40 + 30 j, IG = 20 + 30 j.

Risposta: Z ≅ 1.35 - 3 j.

A27 - La rete mostrata in figura opera in regime sinusoidale. Calcolare il valoredella corrente che fluisce nel ramo 2 - 3.


+

−

3

20

- 10 j 5 j

j

25

12 3

0

IGVG

I

Dati: VG = 10, IG = - 25 j.

Vale la pena notare che i dati di questo esercizio sono stati assegnati direttamentenel dominio dei fasori, non nel dominio del tempo come è consuetudine.

Esercizio A27*Per la codifica si è scelto ω = 1 krad/sR1 1 2 20R2 2 3 25R3 1 4 3L1 3 0 5mL2 4 3 1mC1 2 0 0.1mVG 1 0 AC 10 0IG 0 3 AC 25 -90.AC LIN 1 159.15 159.15.PRINT AC IR(R2) II(R2).END

Risposta: il fasore che rappresenta la corrente richiesta vale approssimativamente

I ≅ - 1.6708 + 0.7745 j .

A28 - Si determini l’impedenza Z che realizza la condizione di adattamento allarete funzionante in regime sinusoidale. Si valutino, poi, la potenza attiva e reattivaassorbite dalla Z.


+

−

1 2

0

C

R

L

3 jC(t)

jB(t)jA(t)

e(t) Z

Dati: ω = 100 rad/s, e(t) = E sen(ω t), E = 100, jA(t) = JA sen(ω t - π/4), JA = 20,jB(t) = JB cos(ω t), JB = 5, R = 10, L = 0.1, C = 1 mF.

Prima di risolvere il quesito proposto, è consigliabile rivedere le condizioni diadattamento.

Esercizio A28*Condizione di adattamentoR0 1 2 10L0 3 0 0.1C0 2 0 1mReq 2 100 10Leq 100 0 0.1VE 1 3 AC 100 -90IA 0 1 AC 20 -135IB 0 2 AC 5 0.AC LIN 1 15.915 15.915.PRINT AC VM(2) VP(2).PRINT AC IM(Req) IP(Req).END

Risposta: risulta

Z = 10 + 10 j , P ≅ 916 , Q ≅ 916 VAr .

Si verifichi, infine, la conservazione delle potenze complesse.


A29 - Un modello di amplificatore a MOSFET, un particolare circuitoelettronico, è mostrato in figura. Calcolare la tensione v(t) sulla resistenza dicarico R.

+

−

1 2

0

C3 R

C0

R0

+

−

+ −

e(t) v0(t) αv0(t)

v(t)

Dati: e(t) = E sen(ω t), E = 10, ω = 1 krad/s, R0 = 100, C0 = 10 µF, C = 8 µF,R = 1 kΩ, α = 10 mS.

Si simuli il circuito per mezzo del listato che segue.

Esercizio A29*Schema di amplificatore a MOSFETV1 1 0 AC 10 0G1 3 0 2 0 1e-2R0 1 2 100C0 2 0 1e-5C1 2 3 8e-6R1 3 0 1000.AC LIN 1 159.155 159.155.PRINT AC VM(3) VP(3).END

Risposta: la tensione richiesta è pari a

v(t) = 6.695 sen 1000 t + π6

.

A30 - La rete in figura opera in regime sinusoidale. Determinare l’ammettenzavista dal generatore, la potenza complessa erogata dal generatore di corrente e,


infine, la tensione vAB(t).

a : 1

R2 CR1L

A

B

j(t)

Dati: j(t) = I cos(ω t), I = 1, ω = 1 Mrad/s, R1 = 200, R2 = 2, L = 200 µH,C = 1.5 µF, a = 10.

Risposta:

Y = 0.01 (1 + j) , P = 25 , Q = - 25 VAr , vAB(t) = 50 2 cos ω t - π4

.

A31 - La rete in figura opera in regime sinusoidale. Determinare la potenzacomplessa erogata dal generatore di tensione.

a : 1

CL

R R

+

−e(t)

Dati: e(t) = E cos(ω t), E = 16.4 V, ω = 200 rad/s, R = 10 Ω, L = 64 mH,C = 0.25 mF, a = 0.8.

Risposta: la potenza complessa è pari a

P = 8.2 .

A32 - Si valutino le potenze, attiva e reattiva, erogate dal generatore di tensionenella rete di figura in regime sinusoidale.


L1 L2

M

R3

R2R1

e(t)

C2

L

j(t)

j(t)

C1

+

−

0

1 2 3 4 5

6

Dati: e(t) = E sen(ω t), E = 100 2, j(t) = - J cos(ω t + π/4) , J = 20 , ω = 1 krad/s,R1 = R2 = 10, R3 = 2.5, L = 5 mH, C1 = 0.1 mF, C2 = 0.4 mF, L1 = 10 mH,L2 = 2.5 mH, |M| = 5 mH.

Questo esercizio è un po’ più complicato rispetto a quelli fin qui proposti. Essopuò essere usato come esercizio riassuntivo su Spice, oppure per organizzare unlavoro di gruppo.

Esercizio A32*Doppio bipolo accoppiamento mutuoR1 1 2 10R2 2 3 10R3 5 0 2.5L0 0 6 5mL1 3 0 10mL2 4 0 2.5mC1 2 0 0.1mC2 4 5 0.4mK12 L1 L2 1VE 1 6 AC 141.42 -90IJ 0 2 AC 20 225.AC LIN 1 159.155 159.155.PRINT AC IR(VE) II(VE).END

Risposta: PE = 0.6 kW, QE = - 1.2 kVAr.


A33 - Dimostrare che la condizione di equilibrio della generica rete a pontemostrata in figura è data dalla relazione

Z1 Z4 = Z2 Z3 .

+ −E

Z4Z3

Z2Z1

Z

A34 - Per la rete mostrata in figura, studiare l’andamento del fasore dellacorrente i(t) al variare della frequenza.

+

−L

1

0

2R1

R2e(t)

i(t)

Dati: e(t) = E cos(ω t).

Per la codifica Spice sono stati utilizzati alcuni valori ai parametri; si provi acambiarli per studiare l’andamento in frequenza del fasore della corrente.

Esercizio A34*R1 = R2 = 20 Ω , L1 = 10 mHR1 1 2 20R2 2 0 20


L1 2 0 10mVE 1 0 AC 1 0.AC LIN 5000 1e-6 1e+5.PROBE.END

Risposta: posto

τ = L R1 + R2

R1 R2 ,

il modulo e la fase del fasore I(ω) risultano pari a

I(ω) = ER1

1

1 + (ωτ)2 , ϕ(ω) = arg I(ω) = - arctan(ωτ) .

A35 - Per la rete mostrata in figura, studiare l’andamento del fasore dellacorrente al variare della pulsazione imposta dal generatore.

+

−C

i(t)

e(t)

R1

R2


Risposta: posto τ = C R1 R2/(R1 + R2), è facile verificare che

Modulo normalizzato → R1

E I(ω) = ωτ

1 + (ωτ)2 ,

Fase → ϕ(ω) = arg I(ω) = π2

- arctan(ωτ) .

I grafici del modulo e della fase della corrente I(ω) sono di seguito riportati.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

Modulo normalizzato

ωτ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20

Fase

ωτ

A36 - Risolvere la rete per ω ≠ ω0 e discutere, a parte, il caso limite ω = ω0.Tracciare i diagrammi dei moduli delle correnti nell’induttore e nel generatore, alvariare della frequenza.


+

−C L

R

iL(t)

i(t)

e(t)


Risposta: posto ω0 = 1/ LC, x = ω /ω0 e Q = ω0 L/R, risulta

modulo di IL(ω) → RE

IL(ω) = 1

(x2 - 1)2 + x2 Q2 ,

modulo di I(ω) → RE

I(ω) = |x2 - 1|

(x2 - 1)2 + x2 Q2 .

0

2

4

6

8

10

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Q = 1/10Q = 1Q = 10

Modulo di IL

ω /ω0


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Q = 1/10Q = 1Q = 10

ω /ω0

Modulo di I

A37 - Determinare l’andamento qualitativo della reattanza X10(ω) al variare dellapulsazione ω .

1 0

L

C

Risposta:

X10(ω) = LC

ωω0

1 - ωω0

2 , con ω0 = 1

LC .

Vale la pena notare che la reattanza è una funzione non definita per ω = ω0, datoche, in corrispondenza di questo punto, presenta un asintoto verticale, attorno alquale assume valori molto elevati, tendenti all’infinito.


A38 - Utilizzare i parametri della rappresentazione in termini di ammettenze percalcolare le correnti nei due generatori.

+

−

+

−

1

1'

2

2'

3

0

LR

R Cv1(t) v2(t)

i2(t)i1(t)

Dati: v1(t) = 10 cos(1000t), v2(t) = 20 sen(1000t), R = 1, L = 1 mH, C = 1 mF.

Nella figura sono stati disegnati anche i nodi 1' e 2', non sono necessari allacodifica Spice: sono stati riportati solo allo scopo di facilitare l’individuazionedella porta primaria e secondaria del doppio bipolo.

Esercizio A38*Doppio bipolo in alternataR1 1 3 1R2 3 0 1L1 2 3 1mC1 3 0 1mVE1 1 0 AC 10 0VE2 2 0 AC 20 -90.AC LIN 1 159.15 159.15.PRINT AC IM(R1) IP(R1).PRINT AC IM(L1) IP(L1).END

Risposta: risulta

Y11 = 0.5 , Ym = 0.5j , Y22 = 0.5 - j ;

i1(t) = 15 cos(1000t) , i2(t) = - 5 17 cos(1000t + arctan 0.25) .

A39 - Per il doppio bipolo mostrato in figura, calcolare le rappresentazioni intermini di impedenze, di ammettenze ed ibrida.


1

1'

2

2'

LR

C

+

−

+

−

I1 I2

V2V1

R0

Dati : ω = 1 krad/s, R = 2, R0 = 2, L = 2 mH, C = 1 mF.

Risposta:

Z11 = 6 - 3 j5

, Zm = 2 - j5

, Z22 = 4 + 3 j5

;

Y11 = 3 + j4

, Ym = - 1 + j4

, Y22 = 3 - 3 j4

;

H11 = 1Y11

= 6 - 2 j5

, H12 = Zm

Z22

= 1 - 2 j5

= - H21 , H22 = 1Z22

= 4 - 3 j5

.

A40 - Per il doppio bipolo mostrato in figura, determinare la rappresentazione intermini di impedenze. Cosa accade se XL = XC?

1

1'

2

2'

R

+

−

+

−RV1 V2

I1 I2

XLXC

Risposta: gli elementi della rappresentazione in termini di impedenze risultano


Z11 = R - j XC R + j XL

R + j XL - XC , Zm = R - j R XC

R + j XL - XC ,

Z22 = R + j R XL - XC

R + j XL - XC .

Nel caso particolare XL = XC, i precedenti elementi diventano

Z11 = R + XC2

R - j XC , Zm = R - j XC , Z22 = R .

A41 - La rete mostrata in figura, a riposo per t < 0, è forzata da un generatoresinusoidale del tipo e(t) = E sen(ω t) u(t).

+

−

+

−

e(t)

i(t)

L C

R

vC(t)

iC(t)

iL(t)

12

0

Assumendo che tra i diversi parametri sussista la relazione

ω = 12 RC

= 1LC

,

determinare la corrente che circola nell’induttore e l’energia complessivamenteassorbita dal resistore. Eseguire, infine, la codifica Spice assegnando dei valorinumerici ai diversi parametri.

Assumendo, per esempio, R = 50, C = 1 µF, L = 10 mH, E = 20, risulta

ω = 12 RC

= 1LC

= 10 krad/s ,

e l’esercizio si può codificare secondo il listato che segue.


Esercizio A41*Codifica SpiceVE 1 0 sin(0 20 1.591549k 0 0)R1 1 2 50L1 2 0 10mC1 2 0 1u.TRAN 1n 0.5m.PROBE.END

Risposta: la corrente risulta pari a

iL(t) = EωL

(1 + ω t) e-ω t - cos(ω t) u(t) ,

mentre l’energia vale (si consulti la tavola di integrali riportata in appendice)

U = R0

∞

i2(t) dt = E2

R (ω t)2

0

∞

e-2ω t dt = E2

ωR x2

0

∞

e-2x dx = 12

C E2 .

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