Potenza in regime sinusoidale

� Potenza istantanea

� Potenza media

� Potenza complessa

� Valore efficace

Principi di ingegneria elettrica

Lezione 14a

Potenza in regime sinusoidale

La potenza istantanea assorbita da un bipolo è il prodotto dei valori istantanei della tensione e della corrente.

Nel caso di grandezze sinusoidali essa assume un tipico andamento oscillatorio che viene caratterizzato con il valore medio.

Uno dei fondamentali parametri identificativi di un utilizzatore èla potenza di targa, che rappresenta la potenza media assorbita dall’utilizzatore in condizioni di funzionamento nominale.

Altre grandezze utilizzate per descrivere le proprietà energetiche dei circuiti funzionanti in regime sinusoidale sono:

� il valore efficace

� la potenza reattiva

� la potenza apparente

� il fattore di potenza

( )( ) iim

vvm

tIti

tVtv

θθωθθω

∠⇒+=∠⇒+=

m

m

I

V

:entecorrispond fasore cos)(

:entecorrispond fasore cos)(

Potenza istantanea

t

( ) ( )imvm tcosItcosV)t(i)t(v)t(p θωθω +⋅+=⋅=

( ) ( )[ ]BAcosBAcosBcosAcos ++−=2

1

( ) ( )ivmmivmm tcosIVcosIV)t(p θθωθθ +++−= 22

1

2

1

Potenza attiva

Il termine costante viene indicato con la lettera P e prende il

nome di potenza attiva (si misura in watt):

( ) [ ] W 21

ivmm cosIVP θθ −=

La potenza istantanea oscilla con pulsazione 2ω intorno ad un

valore costante pari alla potenza attiva P.

L’ampiezza dell’oscillazione è pari a:

Il valore massimo della potenza istantanea (potenza di picco) è

pari a:

mmIV2

1

mmIVP2

1+

Potenza attiva

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) PcosIV

sinsinIVcosIV

dttcosIVT

dtcosIVT

dt)t(pp

ivmm

ivivmmivmm

T

ivmm

T

ivmm

T

=+−=

=++−++−=

=+++−== ∫∫∫

02

1

42

1

4

1

2

1

22

11

2

11

T

1000

m

θθ

θθθθππ

θθ

θθωθθ

La potenza attiva è il valor medio in un periodo della potenza istantanea p(t).

L’energia dissipata dal bipolo in un intervallo di tempo Δt èespressa da:

( )

tP)∆t(W

dttcosIVtPdt)t(p)∆t(Wt

ivmm

t

∆≅

+++∆== ∫∫∆∆

002

21 θθω

Potenza attiva

Resistore

( )( )

( )

( ) ( )

( )imm

ivmmivmm

mm

iviv

im

im

tcosRIRI)t(p

tcosIVcosIV)t(p

RIV

cos

tcosRI)t(iR)t(v

tcosI)t(i

θω

θθωθθ

θθθθ

θω

θω

222

1

2

1

22

1

2

1

1

22 ++=

+++−=

=

=−⇒=

+=⋅=

+=

R

VRIIVP m

mmm

22

2

1

2

1

2

1 ===

Induttore

0=P

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )°+++=

+++−=

=

=−⇒°+=

°++=

=+−=⋅=

+=

90222

10

22

1

2

1

090

90

2im

ivmmivmm

mm

iviv

im

im

im

tcosLI)t(p

tcosIVcosIV)t(p

LIV

cos

tcosLI

tsinLIdt

)t(diL)t(v

tcosI)t(i

θωω

θθωθθ

ω

θθθθ

θωω

θωω

θω

Condensatore

0=P

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )°−++=

+++−=

=

=−⇒°+=

°++=

=+−==

+=

90222

10

22

1

2

1

090

90

2im

ivmmivmm

mm

ivvi

vm

vm

vm

tcosCV)t(p

tcosIVcosIV)t(p

CVI

cos

tcosCV

tsinCVdt

)t(dvC)t(i

tcosV)t(v

θωω

θθωθθ

ω

θθθθ

θωω

θωω

θω

Valore efficace

Un resistore di resistenza R percorso da una corrente costante Iassorbe una potenza istantanea costante pari a:

2RIp =

Nel caso di corrente sinusoidale i(t)=Imcos(ωt) la potenza media assorbita dallo stesso resistore vale:

2

2

1mRIP =

Le due potenze si eguagliano quando:

22

2

1mRIRI =

E cioè quando la corrente costante assume il valore efficace della corrente sinusoidale :

2m

eff

II =

Il valore efficace di una corrente sinusoidale corrisponde al valore della corrente costante che nello stesso resistore determina una dissipazione di potenza pari alla potenza media del regime sinusoidale.

Il valore efficace di una tensione sinusoidale corrisponde al valore della tensione costante che applicata ai capi dello stesso resistore determina una dissipazione di potenza pari alla potenza media del regime sinusoidale.

2m

eff

VV =

2m

eff

II =

La legge di Ohm vale anche per i valori efficaci: effeff RIV =

( )[ ] ( )[ ]

22

11

2cos12

11cos

1)(

T

1

0

2

0

2

0

2T

0

2e

mT

m

T

m

T

mff

XdtX

T

dttXT

tdtXT

dttxX

==

=+===

∫

∫∫∫ ωω

Il valore efficace Veff di una grandezza sinusoidale x(t)=Xmcosωt èanche così definito:

2e

mff

XX =

Poiché il valore efficace è la radice quadrata della media dei quadrati dei valori istantanei, viene anche denominato valore r.m.s. come acronimo di root mean square .

Utilizzando i valori efficaci per le tensioni e le correnti, si può esprimere la potenza media come:

( ) ( ) ( )iveffeffivmm

ivmm cosIVcosIV

cosIVP θθθθθθ −=−=−=222

1

Per un resistore si ha:

R

VRIIVP

eff

effeffeff

2

2 ===

Esempio

L’alimentatore di un PC riporta i seguenti dati: OUTPUT 70 W, 20 V.

Determinare la corrente continua erogata dall’alimentatore e la corrente alternata assorbita dalla presa elettrica, supponendo che l’alimentatore sia assimilabile ad un carico resistivo.

A532070

,IIVP OUTOUTOUTOUT ==⇒=

Supponendo che l’alimentatore sia privo di perdite, si ha:

A3023070

,IPP effOUTIN ==⇒=

Potenza complessa

In regime sinusoidale anche nel calcolo della potenza risulta comodo lavorare con quantità complesse .

La potenza complessa assorbita da un bipolo si definisce come prodotto del fasore tensione per il complesso coniugato del fasore corrente.

( )iviv

iv

jmm

jm

jm

jm

jm

eIVeIeV

eIeV

θθθθ

θθ

−−

∗

==

==

=

2

1

2

1

2

1

S

IV

VIS

Il modulo della potenza complessa è detto potenza apparente

effeffmm IVIVS ===21

S

La potenza complessa e la potenza apparente si misurano in volt-ampere [VA]

Potenza complessa

L’argomento della potenza complessa è la differenza di fase tra la tensione e la corrente:

ϕθθ =−= ivSarg

Il coseno dell’angolo φ è chiamato fattore di potenza

La potenza complessa può essere scritta come:

[ ]

[ ]S

S

S

Im2

1

Re2

1

2

1

2

1

==

==

+=+=

ϕ

ϕ

ϕϕ

sinIVQ

cosIVP

jQPsinIVjcosIV

mm

mm

mmmm

Potenza complessa

La potenza media è la parte reale della potenza complessa.

La parte immaginaria della potenza complessa si indica con la lettera Q e prende il nome di potenza reattiva

Per distinguere la potenza reattiva dalla potenza media si introduce per essa una differente unità di misura il var (volt-ampere reattivi)

Potenza complessa

( )

( )

( )

02

1

2

1

190

02

1

2

1

190

00

22

22

<−=−=⇒=

−=−⇒°+=

>==⇒=

=−⇒°+=

=⇒=−⇒=

mm

Cmm

ivvi

mmLmm

iviv

Riviv

CVC

IQCVI

sin

L

VLIQLIV

sin

Qsin

ωω

ω

θθθθ

ωωω

θθθθ

θθθθ

reCondensato

Induttore

Resistore

Nuove grandezze introdotte

ϕ

ϕ

ϕ

sinSQ

cosSP

S

Pcos

QPS

jQP

=

=

=

+=

+=

reattiva potenza

attiva potenza

potenza di fattore

apparente potenza

Scomplessa potenza

22

Potenza complessa, impedenza e ammettenzaPotenza complessa

Un bipolo di impedenza Z=R+jX impegna una potenza complessa che può essere espressa nei seguenti modi:

( )

22

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

mm

m

XIQRIP

IjXR

==

+==== ∗∗ IZZIIVIS

Analogamente, nota l’ammettenza Y=G+jB si ha:

( ) ( )

22

22

21

21

21

21

21

21

mm

m

BVQGVP

VjBG

−==

−==== ∗∗∗ VYYVVVIS

Interpretazione della potenza reattiva

( )( ) iim

vvm

:entecorrispondfasoretcosI)t(i

:entecorrispondfasoretcosV)t(v

θθω

θθω

∠⇒+=

∠⇒+=

I

V

Scomponendo il fasore V secondo due componenti ortogonali, di cui una in fase con la corrente, si ha:

V = VP + VQ

VP ha modulo Vmcosϕ e fase θi e

moltiplicato per la corrente dà valor medio VmImcosϕ

VQ ha modulo Vmsinϕ e fase θi+90° e

moltiplicato per la corrente dà valor medio

nullo.

Interpretazione della potenza reattiva

Conservazione della potenza complessa

In regime sinusoidale la somma delle potenze complesse estesa a tutti gli elementi di un circuito è nulla.

( ) 0=+=∑∑k

kk jQPk

kS

La stessa proprietà vale per la potenza attiva e per quella reattiva ma non vale per la potenza apparente.

0

0

=

=

∑

∑

kk

kk

Q

P

Conservazione della potenza complessa

Il principio di conservazione della potenza complessa si può enunciare per un circuito in cui sono presenti solo generatori indipendenti ed elementi passivi (resistori, induttori, condensatori) nel modo seguente:

la somma delle potenze complesse erogate dai generat ori èuguale alla somma delle potenze complesse assorbite dagli elementi passivi

∑∑ =passivi elementi

kgeneratori

k SS-

Versi coordinati per il calcolo della potenza complessa erogata da un generatore

Versi coordinati per il calcolo della potenza complessa assorbita da un bipolo

Teorema di Boucherot

Lo stesso principio della conservazione della potenza complessa può essere espresso secondo il teorema di Boucherot per valutare le potenze assorbite da una rete bipolare costituita dalla connessione di più bipoli passivi:

la potenza attiva assorbita dalla rete bipolare è la s ommadelle potenze attive assorbite dai diversi bipoli che la costituiscono;

la potenza reattiva assorbita dalla rete bipolare è la somma algebrica delle potenze reattive assorbite dai diversi bipoliche la costituiscono;

la potenza complessa assorbita dalla rete bipolare è la somma vettoriale delle potenze complesse assorbite dai diversi bipoli che la costituiscono.

esempio

La potenza attiva erogata dal generatore viene dissipata nei dueresistori.

La potenza reattiva erogata dal generatore viene assorbita dai due elementi reattivi.

[ ]

[ ] CL QQ

PP

+=

+=

∗

∗

VI

VI

Im2

1

Re2

121