Circuiti in regime sinusoidale

Parte 2

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 23-3-2014)

2

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● Potenza (istantanea) assorbita dal bipolo

cos2

1)2cos(

2

1

)cos()2cos(2

1

)cos()cos()i()v()p(

MMIVMM

IVIVMM

IMVM

IVtIV

tIV

tItVttt

IV

IM

VM

tIt

tVt

)cos()i(

)cos()v(

3

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

4

Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale

● La potenza istantanea è data dalla somma di un termine sinusoidale con pulsazione 2 (potenza fluttuante) e di un termine costante

● Il termine costante rappresenta il valore medio sul periododella potenza istantanea

● L’ampiezza del termine oscillante è

● Se la tensione e la corrente non sono in fase, esistono degli intervalli in cui la potenza istantanea è negativa

T

MMm IVdttT

p0

cos2

1)p(

1

MM IV2

1

5

Energia assorbita in un periodo

Tt

t

MMmT TIVTpdttpW0

0

cos2

1)(

6

Fattore di potenza

● A parità di VM e IM il valore medio sul periodo della potenza istantanea aumenta all’aumentare di cos

● cos è detto fattore di potenza

Vale 1 se la tensione e la corrente sono in fase ( 0)

Aumentando || il fattore di potenza si riduce fino ad annullarsi quando tensione e corrente sono in quadratura

Per || > 2 il fattore di potenza diventa negativo e vale 1 se la tensione e la corrente sono in opposizione di fase

● cos 0 in ogni periodo l’energia assorbita dal bipolo è 0

● cos 0 in ogni periodo l’energia assorbita dal bipolo è 0

questa condizione si può verificare solo se il bipolo è attivo

per un bipolo passivo si ha necessariamente cos 0

7

Potenza assorbita da un resistore

VMM tIVt 22cos12

1)p(

22

2

1

2

1

2

1MMMMm GVRIIVp 0

Valore mediosul periodo > 0

8

Potenza assorbita da un induttore

2

22cos2

1

222cos

2

1)p( 2

VMVMM tLItIVt

0cos2

1 MMm IVp

2

Il valore medio sul periodo è nullo

9

Potenza assorbita da un condensatore

2

22cos2

1

222cos

2

1)p( 2

VMVMM tCVtIVt

2

0cos

2

1 MMm IVp Il valore medio sul periodo è nullo

10

Componenti attiva e reattiva della corrente

● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nella somma di due termini:

uno in fase con la tensione (come nei resistori)

componente attiva: iA(t) uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei

condensatori)

componente reattiva: iR(t)

)(i

)2/cos(sen

)(i

)cos(cos

)sen(sen)cos(cos

])()cos[(

)cos()i(

t

tI

t

tI

tItI

tI

tIt

R

VM

A

VM

VMVM

IVVM

IM

11

Componenti attiva e reattiva della corrente

Rappresentazione nel piano complesso

VV

V

jM

j

MR

jMA

IjI

I

esenesen

ecos

2I

I

12

Potenza istantanea attiva e reattiva

● Scomposizione della potenza istantanea

● Potenza istantanea attiva

● Potenza istantanea reattiva

)(p)(p)(i)v()(i)v()(i)(i)v()p( tttttttttt RARARA

)22cos(1cos2

1

)cos(cos

)cos(cos)cos()(p2

VMM

VMM

VMVMA

tIV

tIV

tItVt

)22(sensen2

1

)(sensen)cos()(p

VMM

VMVMR

tIV

tItVt

13

Potenza istantanea attiva e reattiva

14

Potenza istantanea attiva e reattiva

● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno (se cos > 0 è sempre 0)

il valore medio sul periodo coincide con quello della potenza istantanea:

flusso unidirezionale di energia (se cos > 0 l’energia è assorbita dal bipolo e convertita in energia di tipo diverso, quindi sottratta al circuito)

● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del tempo con pulsazione 2 il valore medio sul periodo è nullo

flusso bidirezionale di energia(accumulata nel bipolo e poi restituita al circuito)

cos21

MM IV

15

Potenza attiva

● Potenza attiva:valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva = valore medio sul periodo della potenza istantanea (unità di misura watt, W)

cos2

1)p(

1)(p

1

00

MM

TT

A IVdttT

dttT

P

16

Potenza reattiva

● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea reattiva col segno di

● L’unità di misura della potenza reattiva è il volt-ampere reattivo (VAR)

● Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva

● Convenzionalmente si attribuisce

segno alla potenza reattiva assorbita dagli induttori

segno alla potenza reattiva assorbita dai condensatori

sen2

1)sgn()(pmax MMR IVtQ

17

Potenza apparente

● Potenza apparente: è definita dalla relazione

● L’unità di misura della potenza apparente è il volt-ampere (VA)

● La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine oscillante della potenza istantanea

● S è determinata dalle ampiezze della tensione e della corrente

● Fornisce una misura della sollecitazione a cui è sottoposto il bipolo (massima tensione e massima corrente)

MM IVS2

1

18

Triangolo delle potenze

● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva reattiva e apparente

tg

sen

cos

22

PQ

SQ

SP

QPS

19

Potenza complessa

● Si definisce potenza complessa la quantità

● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene

Quindi si ha

*

2

1VIN

jQPIVjIV

IVIV

MMMM

jMM

jM

jM

IV

sen2

1cos

2

1

e2

1ee

2

1N

QIV

PIV

MM

MM

sen2

1Im

cos2

1Re

N

N

)arg(2

1

N

N SIV MM

(I* indica il coniugato di I)

20

Conservazione delle potenze complesse(Teorema di Boucherot)

● Ipotesi: Circuito con l lati Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione

dell’utilizzatore Condizioni di regime sinusoidale Vk, Ik (k 1, ..., l) fasori delle tensioni e delle correnti

La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito è nulla

Le somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai componenti sono nulle

● Dimostrazione: I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle

correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfano La proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen

02

1

1

*

1

l

kkk

l

kk IVN 00

11

l

kk

l

kk QP

21

Additività delle potenze complesse

● Si assume che il lato l del circuito sia costituito da un bipolo

● Si divide il circuito in due parti

una formata dal solo lato l una formata dagli altri lati (che complessivamente costituiscono un

bipolo)

● Per il teorema di Boucherot vale la relazione

● Nl è la potenza erogata dal bipolo l, cioè la potenza assorbita dal bipolo formato dagli altri componenti

La potenza complessa assorbita da un bipolo formato da più compo-nenti collegati tra loro è pari alla somma delle potenze assorbite dai singoli componenti

La stessa proprietà vale per le potenze attive e per le potenze reattive

1

1

1

1

1

1

,l

kkl

l

kkl

l

kkl QQPPNN

22

Potenza complessa in funzione di Z e Y

22*22

22*22

2**2**

2

1

2

1Im

2

1

2

1Im

2

1

2

1Re

2

1

2

1Re

2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1

VVYIIZ

VVYIIZ

VYYVVIZZIIVIN

BXQ

GRP

VYVI

IZIV

)(

)(

jBG

jXR

0,00

0,00

BXQ

GRP

23

Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y

● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi

● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti contenuti nel bipolo, si ricavano le seguenti condizioni:

Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]P Q

Componenti

R

L

C

R-L

R-C

L-C

R-L-C

24

Valori efficaci

● Si definisce valore efficace o valore r.m.s. (root mean square) di una funzione a(t) periodica di periodo T la quantità

● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta

T

eff dttT

A0

2 )(a1

2)]22cos(1[

22

)(cos2

2

0

2

2

0

22

MM

Meff

Adtt

A

dttAA

25

Valori efficaci

● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci

● Potenza assorbita da un resistore

Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale

sensen2

1

coscos22

cos2

1

effeffMM

effeffMM

MM

IVIVQ

IVIV

IVP

22effeff GVRIP

26

Valori efficaci

● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi

● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della trasformata basata sui valori massimi

● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci

● L’espressione della potenza complessa diviene

)sen(cos22

)a( jA

eA

t MjMee SA

)cos(Re2Re)a( ][][ )(1 tAeAet Mtj

Mtj

eee AAS

*eeIVN

27

Trasformatore ideale in regime sinusoidale

● Le tensioni alla porta 1 e alla porta 2 sono in fase tra loro

● Le correnti alla porta 1 e alla porta 2 sono in opposizione di fase

21

21

1i

ki

kvv

21

21

1II

VV

k

k

28

Trasformazione dell’impedenza di carico

22

21

21

1

IZV

II

VV

C

k

k

12

21 IZIZV CC kk

Ceq k ZI

VZ 2

1

1

L’impedenza equivalente di un trasformatore ideale con il secondario caricato da un’impedenza ZC è pari all’impedenza di carico moltiplicata k2

29

Trasferimento di impedenza (1)

2221 ZIVVV kk

12 II k 1

221

1

ZI

V

VV kk

Un’impedenza in serie al secondario può essere portata in serie al primario moltiplicata per k2

30

Trasferimento di impedenza (2)

Z

VIII 2

221

11

kk

12

1VV

k

Z

V

I

II2

121

1

1

kk

Un’impedenza in parallelo al secondario può essere portata inparallelo al primario moltiplicata per k2

31

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva

● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale VG in serie con un’impedenza Z caricato da un’impedenza ZC

Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima quando vale la condizione ZC Z* (adattamento coniugato)

In queste condizioni la potenza attiva (potenza disponibile) vale

jXR Z

CCC jXR Z

R

V

RP GeffG

d 48

22

V

32

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (1)

● Corrente e tensione nel carico

● Potenza attiva ceduta al carico

● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se

● In queste condizioni

C

G

ZZ

VI

C

CG

ZZ

ZVV

])()[(22

Re

2

1Re

22

2

2

2

*

*

CC

CG

C

CG

C

G

C

CGC XXRR

RP

V

ZZ

ZV

ZZ

V

ZZ

ZV

XX C

2

2

)(2 C

CGC RR

RP

V

33

Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (2)

● Al variare di PC il massimo si ottiene per

cioè RC R infatti:

PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R 0 e R la derivata di PC si annulla solo per RC R questo punto deve corrispondere a un massimo

Quindi deve essere RC R, XC X ZC Z*

● In queste condizioni si ha

0)(

)(2)(

2 4

22

C

CCCG

C

C

RR

RRRRR

R

P V

RRR

RPP GG

dC 8)(2

2

2

2

max

VV

34

Rendimento

● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal generatore vale

Il rendimento definito come rapporto tra la potenza attiva erogata dal generatore e la potenza attiva ceduta al carico è

La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati

RRP GG

GG 42Re

2

12* VV

V

5.04

8 2

2

G

G

G

C R

RP

P

V

V

35

Adattamento del carico

● Se il valore dell’impedenza di carico non può essere scelto liberamente, si può realizzare la condizione di adattamento coniugato inserendo tra il bipolo VG-Z e il carico una rete a due porte tale che l’impedenza Zin

vista all’ingresso della porta 1 sia pari a Z* (rete di adattamento)

● Poiché si vuole che la potenza attiva erogata dal bipolo VG-Z sia assorbita dall’impedenza ZC, la rete di adattamento deve essere formata esclusivamente da componenti privi di perdite (come condensatori induttori, e trasformatori ideali)

36

Esempio (1)

● Un possibile metodo per realizzare l’adattatore consiste nell’utilizzare un trasformatore ideale e un bipolo puramente reattivo

● I valori di k e X1 devono essere scelti in modo che Zin Z*

)( 1222

1 XXkjRkkjX CCCin ZZ

)()( 122

12 XXjkRkjXk CCCin ZZ

37

Esempio (2)

● Se il bipolo reattivo è collegato in parallelo a una porta del trasformatore è più semplice porre la condizione nella forma Yin Y*

21

221

k

BBj

k

G

k

jB CCCin

YY

12221 B

k

Bj

k

G

kjB CCC

in

YY

38

Rifasamento

● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)

● Impedenza equivalente della linea:

● Condizioni di funzionamento ottimali:

Ampiezza della tensione sul carico praticamente indipendente dalla corrente (normalmente gli utilizzatori sono progettati facendo riferimento a un valore nominale della tensione sono tollerati scostamenti di pochi percento dal valore nominale prefissato)

Minima dissipazione di potenza nella linea

LLL jXR Z

Linea di distribuzione

Generatore Utilizzatore

39

Rifasamento

● Al crescere dell’ampiezza della corrente I nella linea

si riduce l’ampiezza della tensione sul V carico

aumentano le perdite per effetto Joule lungo la linea

2MLL 2

1IRP

IZVV LGM V

Linea di distribuzione

Generatore Utilizzatore

40

Rifasamento

● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva P assorbita dal carico l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al fattore di potenza

L’ampiezza della componente attiva dellacorrente è fissata dal valore della potenzaattiva

Al diminuire del fattore di potenza (cioèall’aumentare dell’angolo ) aumental’ampiezza della componente reattivadella corrente (e quindi l’ampiezza dellacorrente totale)

Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico

cos

2

MM V

PI

41

Rifasamento

● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di energia elettrica

Se il valore medio mensile del fattore di potenza risulta inferiore a certi limiti vengono applicate delle maggiorazioni sul costo dell’energia

● Le norme attuali, per impianti a bassa tensione con potenza impegnata 15 kW, prevedono:

per cos 0.9 nessuna penale

per 0.7 cos 0.9 pagamento di una penale commisurata al rapporto tra l’integrale della potenza reattiva (energia reattiva) e quello della potenza attiva (energia attiva) nel periodo di fatturazione

i limiti sono prossimi ai valori di cos per cui l’energia attiva e quella reattiva sono uguali (cos 0.707) e l’energia reattiva è pari al 50% dell’energia attiva (cos 0.894)

per cos< 0.7 obbligo da parte dell’utente di prendere provvedi-menti per aumentare il fattore di potenza

42

Rifasamento

● Per aumentare il fattore di potenza si ricorre al rifasamento del carico

● Si collega in parallelo all’utilizzatore un bipolo puramente reattivo con reattanza di segno opposto a quella del utilizzatore stesso

● Se il carico è ohmico-induttivo XU 0, (caso più comune) la reattanza XR deve essere negativa ( condensatore)

43

Rifasamento

● Dimensionando opportunamente la reattanza XR si può fare in modo che

gli scambi di potenza reattiva avvengano prevalentemente tra il carico e il bipolo di rifasamento, riducendo gli scambi di potenza reattiva con il generatore

la componente reattiva IR della corrente nel carico circoli prevalen-temente nel bipolo di rifasamento, riducendo l’ampiezza della cor-rente reattiva IR nella linea

44

Rifasamento

● La potenza reattiva assorbita complessivamente dal carico e dal bipolo di rifasamento è

● Per portare il fattore di potenza da cos ad un valore accettabile cosla potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere

● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha

Quindi la capacità di rifasamento vale

22M

R

)tg(tg)tg(tg2

effV

P

V

PC

2MRR 2

1VCQ

RQQQ

)()(R tgtgPQQQ

45

Risonanza serie

● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale

● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione

● Pulsazione di risonanza:

● Per 0

Im[Z] 0

|Z| è minimo

arg(Z) 0

CLjR

CjLjR

11Z

22 1

CLRZ

RC

L

1

arctg)arg(Z

LC

10

46

Risonanza serie

CLjR

1Z

22 1

CLRZ

● prevale la reattanza capacitiva

● prevale la reattanza induttiva

● la reattanza si annulla

47

Risonanza serie

● la corrente è in anticipo sulla tensione

● la tensione è in anticipo sulla corrente

● la tensione e la corrente sono in fase

RC

L

1

arctg)arg(Z

48

Risonanza serie

49

Risonanza serie

● Potenza complessa assorbita:

● Potenza attiva:

● Potenza reattiva:

Q 0

Q 0

Q 0

22)

1(

2

1

2

1MI

CLjR

IZN

2

2

1MRIP

22

2

1

2

1MM I

CLIQ

50

Risonanza serie

● Corrente nell’induttore:

Energia nell’induttore:

● Tensione del condensatore:

Energia nel condensatore:

● In condizioni di risonanza:

In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante

)cos()i()(i IML tItt

)(cos)(i)(w 22212

21

IML tLItLt

)sen(1)(v1IMCC tI

Ct

Cj

IV

)(sen2

1)(v)(w 22

22

21

IMCC tIC

tCt

)(sen)(sen2

1)(w 0

2202

10

2202

0

IMIMC tLItIC

t

202

1)(w)(w MCL LItt

51

Risonanza parallelo

● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale

● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione

● Pulsazione di risonanza:

● Per 0

Im[Y] 0

|Y| è minimo

arg(Y) 0

LC

10

LCjG

LjCjG

11Y

22 1

LCGY

GL

C

1

arctg)arg(Y

52

Risonanza parallelo

LCjGY

1

22 1

LCGY

● prevale la suscettanza induttiva

● prevale la suscettanza capacitiva

● la suscettanza si annulla

53

Risonanza parallelo

● la tensione è in anticipo sulla corrente

● la corrente è in anticipo sulla tensione

● la tensione e la corrente sono in fase

GL

C

1

arctg)arg(Y

54

Risonanza parallelo

55

Risonanza parallelo

● Potenza complessa assorbita:

● Potenza attiva:

● Potenza reattiva:

Q 0

Q 0

Q 0

22* )1

(2

1

2

1MV

LCjG

VYN

2

2

1MGVP

22

2

1

2

1MM CVV

LQ

56

Risonanza parallelo

● Tensione del condensatore:

Energia nel condensatore:

● Corrente nell’induttore:

Energia nell’induttore:

● In condizioni di risonanza:

In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante

)cos()v()(v VMC tVtt

)(cos)(v)(w 22212

21

VMC tCVtCt

)sen(1)(i1VMLL tV

Lt

Lj

VI

)(sen2

1)(i)(w 22

22

21

VMLL tVL

tLt

)(sen)(sen2

1)(w 0

2202

10

2202

0

VMVML tCVtVL

t

202

1)(w)(w MCL CVtt