28/11/18  

Misura  della  carica  dell’elettrone  con  l’esperimento  di  Millikan  

Nell’esperimento  di  Millikan  una  gocciolina  d’olio  elettricamente  carica  è  soggetta  all’azione  di  un  campo  elettrico   uniforme   presente   fra   le   armature   di   un   condensatore   a   facce   piane   e   parallele.   Il   dispositivo  utilizzato,  mostrato  nella  Fig.  1,  è  formato  da  due  piastre  metalliche  di  forma  circolare  poste  a  una  distanza  d  =  (6.00  ±  0.05)  mm,  che  vengono  collegate  a  un  generatore  di  d.d.p.  esterno.  Un  nebulizzatore  permette  di  spruzzare   piccolissime   gocce   d’olio   nello   spazio   fra   le   armature;   un  microscopio   consente   di   osservare   il  movimento   delle   gocce,   illuminate   da   una   sorgente   di   luce   inclusa   nell’apparato,   per   determinarne   i  parametri  del  moto.  La  modalità  di  produzione  delle  gocce  è  tale  che  alcune  di  esse  possiedono  una  carica  elettrica,  positiva  o  negativa:  tali  gocce  risentono  dell’azione  del  campo  elettrico  che  è  possibile  generare  fra  le  armature  del  condensatore.      

 

Figura  1:  fotografia  del  dispositivo  utilizzato  per  la  misura  della  carica  dell'elettrone.  

Nello   schema  mostrato   in   Fig.  2   sono   illustrate   le   forze   che   agiscono   su   una   gocciolina   d’olio   carica,   in  alcune  situazioni  che  possono  presentarsi  in  funzione  del  valore  del  campo  elettrico  presente.  

 

Figura  2:  schema  delle  forze  che  agiscono  su  una  gocciolina  d'olio  carica,  collocata  in  un  campo  elettrico  uniforme.  

Le   forze  agenti   sono   identificate  dai  vettori  disegnati  con  colori  diversi:   sono  presenti   il  peso   (P),   la   forza  elettrostatica  (FE),  la  forza  di  Archimede  (A)  e  la  forza  di  attrito  viscoso,  descritta,  per  una  sfera,  dalla  legge  di  Stokes  (S).    

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Nella  situazione  n.  1,  che  si  può  realizzare  soltanto  con  un  certo  valore  del  campo  elettrico,  la  gocciolina  è  ferma:   il   suo   peso   è   esattamente   bilanciato   dalla   somma   della   forza   elettrostatica   e   della   forza   di  Archimede   (dato   che   la   goccia   si   trova   in   aria).  Nella   situazione  n.  2   il   campo  elettrico  è   stato   spento:   la  goccia  comincia  a  cadere  e,  dopo  un  tempo  transitorio  molto  piccolo1  in  cui  si  muove  di  moto  accelerato,  raggiunge   una   velocità   di   regime   regolata   dalla   presenza   di   un’ulteriore   forza,   la   forza   di   attrito   viscoso  (Stokes),  diretta  verso  l’alto.  Nella  situazione  n.  3  il  campo  elettrico  è  sufficientemente  intenso  per  far  sì  che  la  goccia  si  muova  verso  l’alto.  Anche  in  questo  caso,  dopo  un  brevissimo  stato  transitorio,  si  raggiunge  una  condizione  “a  regime”  in  cui  la  velocità  è  costante;  adesso  la  forza  di  Stokes  è  diretta  verso  il  basso.  

Per  ricavare   la  carica  q  depositata  sulla  gocciolina  è  necessario  scrivere   le  equazioni  del  moto.  Scegliendo  un  asse  di  riferimento  verticale  orientato  verso  l’alto,  le  varie  forze  possono  essere  scritte  in  questo  modo:  

𝑃 = −43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 𝐹! = 𝑞𝐸        𝐴 =

43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 𝑆 =  6𝜋η𝑅𝑣    oppure    𝑆 = −6𝜋η𝑅𝑣!  

I  simboli  contenuti  nelle  equazioni  hanno  questo  significato:  

R   raggio  della  gocciolina  ρO   densità  dell’olio  che  forma  la  goccia  (ρO=874  kg/m

3  a  20  °C)  g   accelerazione  di  gravità  q   carica  della  goccia  E   campo  elettrico  applicato  ρA   densità  dell’aria  (ρA  =1.2  kg/m

3  a  20  °C)  η viscosità  dell’aria  (η =1.82  10-­‐5  Ns/m2  a  20  °C)  v   velocità  della  gocciolina  d’olio  in  caduta  libera  vE   velocità  della  gocciolina  d’olio  quando  si  muove  sotto  l’azione  del  campo  elettrico.  

 

La  forza  elettrostatica  è  diretta  verso  l’alto  perché,  per  rendere  la  misura  più  facile,  scegliamo  solo  le  poche  gocce  che,   in  presenza  del   campo  elettrico,   si  muovono  “controcorrente”   (cioè   in  verso  opposto   rispetto  alla  maggioranza  delle  gocce  che  cadono,  perché  scariche  oppure  dotate  di  carica  di  segno  “sbagliato”).  La  forza   di   Stokes   si   oppone   sempre   al  moto   della   goccia;   pertanto,   quando   la   goccia   è   in   caduta   libera   è  orientata  verso   l’alto,  mentre  è  diretta  verso   il  basso  quando  la  goccia  si  muove  sotto   l’azione  del  campo  elettrico.    

Il  raggio  della  goccia  si  ricava  facilmente  dallo  schema  delle  forze  illustrato  nella  situazione  n.  2,  imponendo  che  la  somma  delle  forze  che  agiscono  sulla  gocciolina  sia  zero:  

−43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 +

43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 + 6𝜋η𝑅𝑣 = 0  

Con  alcuni  semplici  passaggi  si  trova  questa  formula:  

𝑅 =9η𝑣

2 𝜌! − 𝜌! 𝑔  

                                                                                                                         1  Tenendo  conto  della  densità  dell’olio  e  dell’aria,  della  viscosità  dell’aria  e  della  dimensione  tipica  delle  gocce  (0.1–1  µm),  si  può  calcolare  che  il  tempo  necessario  a  raggiungere  la  velocità  di  regime  è  inferiore  al  millisecondo.  Per  questo,  si  può  assumere  senza  errore  apprezzabile  che  il  moto  della  goccia  avvenga  sempre  a  velocità  costante.  

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Invece,   per   ottenere   la   carica   depositata   sulla   goccia   ci   sono   due  metodi   possibili:   il   primo   è   basato   sul  confronto  fra  le  situazioni  n.  1  e  n.  2,  mentre  il  secondo  prevede  l’utilizzo  delle  situazioni  n.  2  e  n.  3.  

PRIMO  METODO  

Dobbiamo  trovare  il  valore  del  campo  elettrico  E  che  mantenga  ferma  una  gocciolina  e,  successivamente,  determinare  la  velocità  di  caduta  di  quella  stessa  gocciolina  quando  il  campo  elettrico  viene  spento.  Poiché  nelle  situazioni  n.  1  e  n.  2  la  forza  diretta  verso  il  basso  è  la  stessa  (P),  possiamo  uguagliare  fra  loro  le  forze  che  agiscono  verso  l’alto  nei  due  casi:  

𝑞𝐸 +43𝜋𝑅!𝜌!𝑔 = 6𝜋η𝑅𝑣 +

43𝜋𝑅!𝜌!𝑔  

Semplificando  i  termini  uguali  si  ottiene:  

𝑞 =1𝐸∙ 6𝜋η𝑣 ∙ 𝑅  

SECONDO  METODO  

Si  confronta  il  moto  di  una  gocciolina  sotto  l’azione  del  campo  elettrico,  che  avviene  con  velocità  vE  ,  con  il  moto  di  caduta  libera,  in  cui  la  velocità  è  v.  Confrontando  questa  volta  le  situazioni  n.  2  e  n.  3  troviamo:    

6𝜋η𝑅𝑣 = 𝑞𝐸 −  6𝜋η𝑅𝑣!  

Sostituendo  in  questa  equazione  il  valore  di  R  già  trovato,  si  ottiene  questo  valore  di  q:  

𝑞 =1𝐸∙ 6  𝜋η 𝑣 + 𝑣! ∙ 𝑅  

Sulla  base  delle  prove  fatte  in  laboratorio,  possiamo  dire  che  il  secondo  metodo  funziona  meglio,  perché  è  difficile  determinare  esattamente  la  differenza  di  potenziale  per  cui  la  gocciolina  è  ferma.    

Guardando   nel   microscopio,   che   inverte   l’immagine,   le   gocce   in   caduta   libera   si   muovono   verso   l’alto.  L’oculare   è   munito   di   scala   graduata   (Fig.  3):  l’ingrandimento   è   pari   a   2,   cioè   ogni   divisione   grande  corrisponde   a   0.5   mm   nella   realtà.   La   velocità   viene  determinata   misurando   con   un   cronometro   i   tempi  necessari  alla  gocciolina  per  coprire  una  distanza  pari  a  n  divisioni  (n  si  sceglie  di  volta  in  volta,  tenendo  conto  delle  difficoltà   dell’osservazione   e   dei   tempi   di   percorrenza).  Conviene   scegliere   gocce   che   si   muovono   in   prossimità  della  scala  graduata,  per  determinare  le  distanze  percorse  con  un  errore  più  piccolo.    

All’oculare   del   microscopio   può   essere   applicata   una  videocamera   che   trasferisce   l’immagine   su   uno   schermo  per   agevolare   la  misura   dei   tempi   di   spostamento.     Con  questo   dispositivo   è   anche   possibile   capovolgere  nuovamente   l’immagine,   in   modo   che   le   gocce   che  

Figura  3:  scala  graduata  posta  all’interno  dell’oculare.  

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cadono  si  muovano  verso  la  parte  bassa  dello  schermo,  come  è  intuitivo  aspettarsi.    

Un   grafico   da   noi   ottenuto  misurando   con   il   secondo  metodo   la   carica   di   una   cinquantina   di   goccioline  mostra  la  distribuzione  riportata  in  Fig.  4.  

Correzione  di  Cunningham  

Abbiamo  scritto  che  la  forza  di  attrito  viscoso  è  descritta  dalla  legge  di  Stokes:  𝑆 = −6𝜋η𝑅𝑣.  

In  questa   formula  si  assume   implicitamente  che   il   fluido  sia   fermo  e   la  sfera  si  muova  con  velocità  v;  per  sferette   di   dimensioni   confrontabili   con   il   cammino   libero   medio   delle   molecole   del   fluido   questa  condizione   non   è   soddisfatta.   Per   tenere   conto   di   questo   effetto,   la   formula   di   Stokes   va   ridefinita  (correzione  di  Cunningham)  in  questo  modo:  

𝑆 = −6𝜋η𝑅𝑣

1 + 𝑏𝑅𝑝

= −6𝜋η𝑅𝑣

1 + 𝐴𝑅  

dove  b  è  una  costante  (risultati  sperimentali  danno  𝑏 = 80  µμm  hPa  per  sferette  che  cadono  in  aria)  e  p  è  la  pressione  dell’aria;  in  condizioni  standard  di  temperatura  e  pressione  𝐴 = 𝑏 𝑝 = 0.079  µμm.  

Sostituendo  questa  nuova  espressione  della  legge  di  Stokes  nelle  equazioni  precedenti,  si  ha  come  risultato  che  la  carica  q  della  goccia,  la  cui  espressione  è  scritta  nella  pagina  precedente,  va  corretta  in  questo  modo:    

𝑞! =𝑞

1 + 𝐴𝑅

!  

Nel  nostro  esperimento   la  correzione  di  Cunningham  è  essenziale  per  ottenere  risultati  accurati,  poiché   il  raggio  delle  goccioline  è  minore  o  dell’ordine  del  micron.  

 

Figura  4:  distribuzione  dei  valori  misurati.