DaRutherford# ai#quark# - INFN Sezione di Ferrara · Questo dipende dalla lunghezza d’onda di De...

Da Rutherford ai quark

•  Rutherford (1911): come è fatto il nucleo di un atomo?

•  SLAC (1970): come è fatto un protone? •  Le domande sono simili, la tecnica si è

raffinata, ma il metodo è sempre quello di Rutherford

L’ipotesi di Rutherford •  Ipotizzo la presenza di un centro diffusore carico

positivamente, chiamato nucleo, attorno al quale è presente una nuvola di elettroni (carichi negativamente), in modo che l’atomo sia complessivamente neutro

•  Studio la diffusione coulombiana elastica di una particella carica (Q=ze) su nuclei (Q=Ze)

•  Trascuro effetti di rinculo del nucleo (MZ >> mz) •  Cariche puntiformi •  Solo interazione coulombiana: V(r)=zZe2/r •  Potenziale centrale: il momento angolare si conserva

Cinema7ca della diffusione Rutherford

•  L’impulso trasferito è, per simmetria, dovuto alla componente trasversa della forza coulombiana lungo la traiettoria della particella

•  Per collisioni a b=0 la distanza di massimo avvicinamento è d=(zZe2)/Tc

•  Il momento angolare rispetto al nucleo è L=mvb = mr2ω=mr2 dφ/dt → dt/r2 = dφ / vb

Derivazione della sezione d’urto differenziale

•  Le particelle incidenti su un’areola ds=2pbdb vengono deflesse entro un dq a q, ossia entro un angolo solido

•  Essendo

Proprietà della sezione d’urto differenziale 1.  Diminuisce rapidamente al crescere di θ (~1/sin4θ) 2.  Diventa infinita a θ = 0 3.  È inversamente proporzionale al quadrato dell’energia cinetica della particella

incidente (∼ E−2 ) 4.  È proporzionale al quadrato delle cariche della particella incidente e del

nucleo bersaglio (∼ Z2 )

•  Le proprietà 1 e 3 rispecchiano il fatto che la sezione d’urto scala con 1/q4 , essendo:

•  La proprietà 2 è una singolarità della sezione d’urto che in realtà non costituisce un problema: piccoli θ → grandi b e al limite b > RAtomico

•  La carica del nucleo Ze visto da ze diminuisce al crescere di b per effetto di screening degli e− atomici.

•  Quando b > RAtomico il campo coulombiano sentito da ze tende a zero. •  La proprietà 4 è tipica dell’interazione elettromagnetica e non solo del calcolo

alla Rutherford •  Il calcolo fatto con la meccanica quantistica e la regola d’oro di Fermi dà lo

stesso risultato! (Povh, 5.2)

Impulso trasferito e parametro d’impa@o •  Esaminiamo la relazione tra le due quantità nel caso di Rutherford

•  Cioè grandi impulsi trasferiti (q~qMAX) corrispondono a parametri d’impatto piccoli. Quindi, lo studio delle piccole distanze di interazione corrisponde a grandi impulsi trasferiti

•  Questa è una regola generale in fisica, è una conseguenza del principio di indeterminazione ΔpΔx ~ hbar

•  Un’osservazione sulla cinematica: le formule precedenti sono state ricavate supponendo la massa del proiettile (particella α) trascurabile rispetto a quella del bersaglio (nucleo)

•  Si possono estendere al caso generale, pur di sostituire θ à θCM

mα à mα mZ / (mα+mZ)

q2 = 4m2v2 d 2

d 2 + 4b2= qMAX

2 d 2

d 2 + 4b2

Par7celle α ed ele@roni come sonde di nuclei e nucleoni •  Rutherford usava particelle a perchè non aveva di meglio •  Alle distanze nucleari, oltre alla forza e.m., la particella a sente una forza

“forte”, i cui dettagli non sono noti •  Studiando il nucleo con particelle α, si mescolano due problemi

i.  la struttura del nucleo ii.  La forza nucleare

•  Gli elettroni sentono solo le interazioni e.m. e debole, dunque permettono di studiare (i) senza avere le complicazioni di (ii)

•  Usando la formula di Rutherford, per gli elettroni z=1 e quindi…

•  In realtà, devo considerare anche il fatto che l’elettrone ha spin ½ •  Per un bersaglio puntiforme, senza spin, con carica Z, la sezione d’urto di

Rutherford si modifica in quella di Mott

•  Notare che se v<<c ritrovo la formula di Rutherford, e che il termine aggiuntivo è l’effetto dell’interazione del momento magnetico dell’elettrone

v2

c2

Informazioni sullo spin del NUCLEO•

Prendiamo un processo di diffusione a 180°, con l’asse di quantizzazione z

scelto nella direzione dell’elettrone incidente.

•

Per conservare l’elicità la proiezione dello spin su tale asse deve ribaltarsi nel processo di diffusione (spin-flip).

•

Se il bersaglio non è

dotato di spin verrebbe violata la conservazione del momento angolare totale (che coincide con lo spin in

quanto il momento angolare orbitale è

perpendicolare alla direzione del moto e quindi la sua componente lungo l’asse z

è

nulla).

Elicità e spin nucleare •  Si può capire l’origine del termine aggiuntivo nella formula di Mott notando

che, per particelle ultrarelativistiche,cioè al limite per vàc, la proiezione del loro spin s nella direzione del moto h=p/|p| è una quantità che si conserva e va sotto il nome di elicità.

•  Per esempio h = -1 per neutrini ed elettroni mentre h = +1 per antineutrini e positroni (questa assegnazione di h = ±1 vale in generale).

•  La conservazione dell’elicità permette di avere informazioni sullo spin del nucleo bersaglio con un’opportuna scelta dell’esperimento (vedi esempio).

•  Prendiamo un processo di diffusione a 180°, con l’asse di quantizzazione z scelto nella direzione dell’elettrone incidente.

•  Per conservare l’elicità la proiezione dello spin su tale asse deve ribaltarsi nel processo di diffusione (spin-flip).

•  Se il bersaglio non è dotato di spin verrebbe violata la conservazione del momento angolare totale (che coincide con lo spin in quanto il momento angolare orbitale è perpendicolare alla direzione del moto e quindi la sua componente lungo l’asse z è nulla)

Il conce@o di Fa@ore di Forma •  Consideriamo adesso il caso che l’elettrone abbia energia sufficientemente alta

da poter distinguere la struttura del nucleo da esplorare (che supponiamo senza spin)

•  La sezione d’urto si modifica in

•  Dove F(q) è il fattore di forma elettrico a impulso trasferito q

•  Il fattore di forma è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica elettrica: conoscere l’uno è come sapere l’altra

•  Se ρ(r) = ρ(r) à F(q)=F(q2) •  per cariche puntiformi ρ(r) =δ(r) à F(q2)=1 •  F(0)=1, cioè a piccoli impulsi trasferiti la sezione d’urto è quella puntiforme.

Questo si può capire dato che piccoli q significano urti a grande parametro d’impatto, in cui si vede solo la carica totale e non i dettagli

•  Per qà∞, l’integrale fa zero, tranne che il contributo di ρ intorno a zero. Misurare dσ/dq2 a grandi q2 significa studiare il comportamento della densità di carica a piccole distanze

⇒ r 2 def=

dr r 2 ρ (r ) = 4 π

∞

0

dr r 4ρ (r )

F (q) = 1− 16 q2 r 2

Raggio quadratico medio: ⇒ r2 = −6

∂2F (q)

∂q2

q→ 0

6.4 Sezione d’urto di Mott

Quale energia devono avere gli elettroni per sondare la struttura nucleare, ossia risolvere strutturecon dimensioni caratteristiche di qualche fermi?

Questo dipende dalla lunghezza d’onda di De Broglie dell’elettrone: λ =h

p=

h c

E( = qmax)

se poniamo λ ≈ 1 fm ⇒ E =h c

λ≈ 200 MeV

Elettroni di tale energia hanno β = 1, percio richiedono una trattazionequantomeccanica relativistica (alla Dirac).

La diffusione elastica (no rinculo) di e− di alta energia ( m c2 ) con spin su nuclei puntiformie senza spin (J = 0) e descritta dalla sezione d’urto di Mott.

dσ

dΩ

Mott

=

Z e2

2 E

2 cos2 θ2

sin4 θ2

=

dσ

dΩ

Ruth

cos2 θ2

Sui nuclei con J = 0 il cos2 θ2 sopprime la diffusione a θ = π.

⇒ Diffusione di e− con spin e relativistici su nuclei estesi con J = 0

dσ

dΩ

=

dσ

dΩ

Mott

F (q)

2

6.5 Operativamente

dσ

dΩ

Mott

lo so calcolare,dσ

dΩlo misuro sperimentalmente

Ricavo F (q) =

dσ

dΩ

expdσ

dΩ

Mott

⇒ F (q)exp

Potrei allora risalire alla densita di carica calcolando la trasformata inversa:

ρ(r) =1

(2 π)3

dq e−i q r

F (q)exp

Tuttavia questo richiede un’accurata determinazione di F (q) su un ampio intervallo di q, mentresperimentalmente l’energia di fascio disponibile e limitata e l’accesso a grandi θ e limitato dallastatistica (∼ 1

sin4 θ2

)

41

e inoltre F (q) =

dr

ρ (r ) e

i q r

L’integrale rimasto puo essere valutato, ad esempio, introducendo un fattore di convergenza:

dx

ei q x

x= lim

µ→0

dx

ei q x

xe−µ x = lim

µ→0

4π

q2 + µ2=

4 π

q2

La sezione d’urto risulta dunque:

dσ

dΩ=

2π

h

V

c

V

(2π)3

E2

(h c)3

16 π2

q4[F (q)]2

(Z e2)2

V 2=

Z e2

2 E

2 1

sin4 θ2

F [(q)]2 =

dσ

dΩ

Ruth

F [(q)]2

F(q) prende il nome di Fattore di Forma Elastico del nucleo.Esso rappresenta la trasformata di Fourier della distribuzione spaziale di carica ρ (r ).

Si noti che per un nucleo puntiforme ρ (r ) = δ (r ) ⇒ F(q)=1 ⇒

dσ

dΩ

=

dσ

dΩ

Ruth

6.3 Distribuzione sfericamente simmetrica -Raggio quadratico medio

Se la distribuzione spaziale di carica e sfericamente simmetrica:

F (q) =

dr

ρ (r ) e

i q r = 2 π

r2 dr

1

−1

d cos α ρ (r ) ei q r cos α =

= 2 π

dr r 2

i q rρ (r )

i q r

−i q rdx e

x = 2 π

dr r

i qρ (r )

e

i q r − e−i q r

=

= 2 π

drrρ (r )

1

i q

cos (q r

) + i sin (q r)− cos (−q r

)− i sin (−q r)

=

=4π

q

drrρ (r ) sin (q r

)

essendo: cos (−q r) = cos (q r) sin (−q r) = − sin (q r)

Se la lunghezza d’onda degli elettroni incidenti e grande rispetto alla dimensione del nucleo( q R 1 ), l’unica informazione attendibile dal fattore di forma elastico riguarda ilraggio quadratico medio del nucleo.

Infatti sviluppando sin(q r) per piccoli argomenti: sin(q r) = q r − 13! (q r)3 + O ((q r)5)

F (q) =4π

q

∞

0

drrρ (r )

q r

− 1

6(q r

)3 + . . .

=

= 4 π

∞

0dr r 2ρ

r

−4 π

6q2

∞

0

drr 4

ρ (r )

1 =

dr

r 2

ρ (r ) = 2π 2

drρ (r ) Normalizzazione

40

La distribuzione di carica nei nuclei

In linea di principio: •  Si misura la sezione d’urto a diverse energie e per diversi momenti trasferiti q •  Si determina la funzione F(q2) come rapporto tra la sezione d’urto sperimentale

e quella calcolata •  L’antitrasformata di Fourier di F(q2) permette infine di risalire alla

distribuzione di carica elettrica all’interno del nucleo •  Tuttavia questo richiede un’accurata determinazione di F(q) su un ampio

intervallo di q, mentre sperimentalmente l’energia di fascio disponibile è limitata e l’accesso a grandi θ è limitato dalla statistica (∼1/ sin4 θ/2)

•  Alternativamente si può formulare un modello per la distribuzione spaziale di carica ρ(r′), calcolarne la trasformata di Fourier F(q)|mod e fissare i parametri liberi contenuti nel modello di ρ(r′) in modo da riprodurre al meglio F(q) |exp(best fit) o analogamente la (dσ/dΩ)|exp

⇒ r 2 def=

dr r 2 ρ (r ) = 4 π

∞

0

dr r 4ρ (r )

F (q) = 1− 16 q2 r 2


∂2F (q)

∂q2

q→ 0




p=

h c

E( = qmax)


λ≈ 200 MeV



dσ

dΩ

Mott

=

Z e2

2 E

2 cos2 θ2

sin4 θ2

=

dσ

dΩ

Ruth

cos2 θ2



dσ

dΩ

=

dσ

dΩ

Mott

F (q)

2

6.5 Operativamente

dσ

dΩ

Mott

lo so calcolare,dσ


Ricavo F (q) =

dσ

dΩ

expdσ

dΩ

Mott

⇒ F (q)exp


ρ(r) =1

(2 π)3

dq e−i q r

F (q)exp


sin4 θ2

)

41

Possibili modelli per la distribuzione di carica nei nuclei

Alternativamente si puo formulare un modello per la distribuzione spaziale di carica ρ(r),calcolarne la trasformata di Fourier F (q)

mod

e fissare i parametri liberi contenuti nel modello di

ρ(r) in modo da riprodurre al meglio F (q)exp

(best fit) o analogamente la

dσdΩ

exp

Queste tabelle mostrano possibili modelli per ρ(r)e le corrispondenti F (q)

altra possibilita sfera a superficie diffusa, espressione analitica di F(q) complicata

6.6 Confronto fra modelli di ρ(r)

questo grafico mostra unesempio di confronto di fit didati sperimentali di

dσdΩ

in fun-

zione dell’angolo di scattering θ,per modello di distribuzione dicarica:

• puntiforme (point charge in alto)• sfera omogenea (A)• sfera a superficie diffusa (B)quest’ultimo risulta il modellogiusto

42


mod




dσdΩ

exp





dσdΩ

in fun-



42


mod




dσdΩ

exp





dσdΩ

in fun-



42


mod




dσdΩ

exp





dσdΩ

in fun-



42

altra possibilità: sfera a superficie diffusa, espressione analitica di F(q) complicata

I minimi di diffrazione sono del tutto equivalenti alla diffrazione da apertura circolare (Fraunhofer)

Sezione d’urto del 12C a 420MeV

•  La linea tratteggiata corrisponde alla diffusione di un’onda piana su una sfera omogenea con superficie diffusa

•  Il fattore di forma presenta un minimo per Θ ≈ 51°.

•  La lunghezza d’onda ridotta di De Broglie per Θ=51° è:

•  Per una sfera omogenea di raggio R si ha un minimo di diffrazione quando

•  Assumendo che il nucleo di carbonio sia sferico, si può stimare il suo raggio: R= 4,5×0,55 fm= 2,5 fm

⇒ r 2 def=

dr r 2 ρ (r ) = 4 π

∞

0

dr r 4ρ (r )

F (q) = 1− 16 q2 r 2


∂2F (q)

∂q2

q→ 0




p=

h c

E( = qmax)


λ≈ 200 MeV



dσ

dΩ

Mott

=

Z e2

2 E

2 cos2 θ2

sin4 θ2

=

dσ

dΩ

Ruth

cos2 θ2



dσ

dΩ

=

dσ

dΩ

Mott

F (q)

2

6.5 Operativamente

dσ

dΩ

Mott

lo so calcolare,dσ


Ricavo F (q) =

dσ

dΩ

expdσ

dΩ

Mott

⇒ F (q)exp


ρ(r) =1

(2 π)3

dq e−i q r

F (q)exp


sin4 θ2

)

41

Sezione d’urto del 12C a 420 MeV•

La linea tratteggiata corrisponde alla diffusione di un’onda piana su una sfera omogenea con superficie diffusa (approssimazione di Born, valida se

Z < 137).

•

Il fattore di forma presenta un minimo per 51°.

•

La lunghezza d’onda ridotta di De

Broglie

per =51°

è:

•

Per una sfera omogenea

di raggio R

si ha un minimo di diffrazione quando

•

Assumendo che il nucleo di carbonio sia sferico, si può stimare il suo raggio: R= 4,5 0,55 fm= 2,5 fm

(D’Erasmo)

fmsenpq

55,0

22||||

5.4|| Rq

Sezione d’urto del 12C a 420 MeV•

La linea tratteggiata corrisponde alla diffusione di un’onda piana su una sfera omogenea con superficie diffusa (approssimazione di Born, valida se

Z < 137).

•

Il fattore di forma presenta un minimo per 51°.

•

La lunghezza d’onda ridotta di De

Broglie

per =51°

è:

•

Per una sfera omogenea

di raggio R

si ha un minimo di diffrazione quando

•

Assumendo che il nucleo di carbonio sia sferico, si può stimare il suo raggio: R= 4,5 0,55 fm= 2,5 fm

(D’Erasmo)

fmsenpq

55,0

22||||

5.4|| Rq

Sezione d’urto su isotopi di calcio

(Le sezioni d’urto misurate per 40Ca e 48Ca sono state moltiplicate rispettivamente per 10 e 0.1 per evidenziare le differenze) •  Misure effettuate su un intervallo vasto

di q2; sezioni d’urto variano per 7 ordini di grandezza

•  Si notano tre minimi nella figura di diffrazione

•  La misura di F(q) e quindi di r(r) risulta quindi molto accurata

•  I minimi per il 48Ca sono leggermente inferiori a quelli del 40Ca; questo vuol dire che il nucleo di 48Ca ha un raggio maggiore

•  Si possono avere informazioni sui raggi nucleari anche guardando il comportamento del fattore di forma per q2 piccoli

⇒ r 2 def=

dr r 2 ρ (r ) = 4 π

∞

0

dr r 4ρ (r )

F (q) = 1− 16 q2 r 2


∂2F (q)

∂q2

q→ 0




p=

h c

E( = qmax)


λ≈ 200 MeV



dσ

dΩ

Mott

=

Z e2

2 E

2 cos2 θ2

sin4 θ2

=

dσ

dΩ

Ruth

cos2 θ2



dσ

dΩ

=

dσ

dΩ

Mott

F (q)

2

6.5 Operativamente

dσ

dΩ

Mott

lo so calcolare,dσ


Ricavo F (q) =

dσ

dΩ

expdσ

dΩ

Mott

⇒ F (q)exp


ρ(r) =1

(2 π)3

dq e−i q r

F (q)exp


sin4 θ2

)

41

14

Densità e dimensioni nucleari •  La struttura dei nuclei, per A

sufficientemente grande, presenta diverse regolarità

•  La densità è approssimativamente costante all’interno del nucleo, indipendentemente dal nucleo, e quindi decresce rapidamente a zero verso la superficie.

•  La densità è ben descritta da una funzione di Fermi: D(r) = D0/(1 + e(r - b)/a) in termini dei tre parametri:

1.  densità nucleare D0=3.1014g/cm3 Tenendo conto che la massa del nucleone e’ m=1.6 10-24g, ne ricavo n =D0/m ≈0.2 1039 nucleoni/cm3

=0.2 nucleoni/fermi3

2. a=0.54 fm; lo spessore della superficie nucleare, cioè la larghezza dello strato in cui la densità di carica si riduce dal 90% al 10%, è t=2a ln9 ~ 2.4 fm

3.  b=1.07 A1/3 fm è il raggio per il quale la densità si è ridotta di un fattore 2

•  il raggio medio del nucleo è <r2>1/2 ~ r0 A1/3, con r0~0.94fm

•  Se si approssima il nucleo come sfera uniformemente carica di raggio R, allora R2=5/3<r2> . Quantitativamente

R~1.21 A1/3 fm •  Mentre a e Do sono indipendenti dal

nucleo, il raggio del nucleo cresce come A1/3 e quindi il volume del nucleo è proporzionale al numero dei costituenti A.

Diffusione di ele@roni su nucleoni

•  I nucleoni hanno raggio ~ fm e massa ~ GeV •  Per il calcolo della sezione d’urto non si può trascurare l’energia di rinculo del

bersaglio •  Per elettroni relativistici (p ~ E)

la cinematica si semplifica e risulta: (la stessa formula della diffusione Compton!)

•  Se il rapporto E/M è piccolo (nuclei pesanti, A=50) il valore E’/E è praticamente indipendente da Θ a bassa energia (500 MeV) (rinculo trascurabile)

•  Su protoni (A=1) il valore E’/E presenta un’alta variabilità a seconda dell’angolo di incidenza specialmente ad alta energia (10 GeV).

•  La sezione d’urto diventa

Scattering su nucleoni

•

I nucleoni hanno raggio ~ fm

e massa ~ GeV•

Per il calcolo della sezione d’urto non si può trascurare l’energia di rinculo del bersaglio

•

Per elettroni relativistici (p ~ E) la cinematica

si semplifica e risulta: •

La densità

degli stati nello spazio delle fasi

(à

la Rutherford) risulta “pesata”

dal rapporto

E’/E e quindi si ha: EE

dd

dd

MottMott

'*

)cos1(1'

ME

EEScattering su nucleoni

•


e massa ~ GeV•


•



La densità


(à


dal rapporto


dd

dd

MottMott

'*

)cos1(1'

ME

EE

Rinculo e spin del bersaglio non trascurabili

•  Dobbiamo considerare anche lo spin del bersaglio •  Particelle puntiformi a spin semi-intero hanno un momento magnetico •  La sezione d’urto di Mott per bersagli puntiformi di spin ½ è

•  Il termine magnetico in questa nuova espressione della sezione d’urto è dovuto al momento magnetico del bersaglio

•  È quantitativamente importante se il Q2 e l’angolo di diffusione Θ sono grandi

•  Esso fa sì che la sezione d’urto diminuisca meno rapidamente agli angoli di diffusione più grandi.

Cinematica con il quadrimomento

p2=E2-p2

•

Il rapporto tra la sezione d’urto misurata e la sezione d’urto predetta da Mott per un fissato valore di Q2

= -

q2

dovrebbe

essere costante al variare di , e invece……

)cos|'|||2|'||(|'2' 2222 ppppEEEE

2222 )'(')'( ppEEppq

2sin'4

2sin2'2)cos1('2 22 EEEEEE

22*

|)(| qFdd

dd

Mottsperim

RICORDARE CHE

Spin del bersaglio non trascurabile•

Si osserva una dipendenza

lineare da tan2

/2 (coefficiente angolare non nullo)

del rapporto tra sezione d’urto misurata e calcolata.

•

Bisogna considerare il nucleone come una particella di Dirac

(puntiforme e con spin semi-intero).•

Il suo momento magnetico

risulta (con il fattore g = 2 che deriva dall’equazione di Dirac) :

•

Ricordiamo che l’interazione magnetica è

associata all’inversione della direzione dello spin dell’elettrone.

22Meg

Scattering su nucleoni

•


e massa ~ GeV•


•



La densità


(à


dal rapporto


dd

dd

MottMott

'*

)cos1(1'

ME

EE

•  Se il rinculo non è più trascurabile, non è più possibile descrivere l’urto in termini di momento trasferito tridimensionale. Occorre sostituire q2 nella sezione d’urto di Mott con un invariante relativistico

Il termine “magnetico”

nella sezione d’urto

•

L’interazione magnetica introduce un termine nella sezione d’urto di Mott del tipo sin2( /2) derivato dalle opportune matrici di Dirac:

•

Il termine magnetico in questa nuova espressione della sezione d’urto è

quantitativamente importante

se il Q2

e l’angolo di diffusione

sono grandi•

Esso fa sì

che la sezione d’urto diminuisca meno

rapidamente agli angoli di diffusione più

grandi.

2tan21

2tan

421 22

2

2

2/1 MottMottspinpuntiforme d

dMQ

dd

dd

Momento magne7co dei nucleoni

•  Il fattore g dovrebbe essere esattamente 2 per particelle di Dirac (puntiformi) cariche

•  Le misure sperimentali dei momenti magnetici degli elettroni e dei muoni confermano questo valore a meno di piccole variazioni (calcolo di diagrammi di Feynman di ordine superiore)

•  Per quelle neutre il momento magnetico dovrebbe essere nullo •  Per i nucleoni il fattore g non è 2, quindi hanno una struttura interna •  I valori misurati per il protone e per il neutrone sono

•  Con il magnetone nucleare

Momento magnetico dei Nucleoni•

Il fattore g dovrebbe essere esattamente 2 per particelle di Dirac (puntiformi) cariche

•

Le misure sperimentali dei momenti magnetici degli elettroni e dei muoni confermano questo valore a meno di piccole variazioni (calcolo di diagrammi di Feynman di ordine superiore)

•

Per quelle neutre il momento magnetico dovrebbe essere nullo

•

Per i nucleoni il fattore g non è

2, quindi hanno una struttura interna

•

I valori misurati per il protone e

per il neutrone sono:

con il magnetone nucleare: TMeVMe

pN /101525.3

214

NNp

p

g79.2

2

NNn

ng

91.12

Momento magnetico dei Nucleoni•

Il fattore g dovrebbe essere esattamente 2 per particelle di Dirac (puntiformi) cariche

•

Le misure sperimentali dei momenti magnetici degli elettroni e dei muoni confermano questo valore a meno di piccole variazioni (calcolo di diagrammi di Feynman di ordine superiore)

•

Per quelle neutre il momento magnetico dovrebbe essere nullo

•

Per i nucleoni il fattore g non è

2, quindi hanno una struttura interna

•

I valori misurati per il protone e

per il neutrone sono:

con il magnetone nucleare: TMeVMe

pN /101525.3

214

NNp

p

g79.2

2

NNn

ng

91.12

Spin del bersaglio non trascurabile•

Si osserva una dipendenza

lineare da tan2

/2 (coefficiente angolare non nullo)

del rapporto tra sezione d’urto misurata e calcolata.

•

Bisogna considerare il nucleone come una particella di Dirac

(puntiforme e con spin semi-intero).•

Il suo momento magnetico

risulta (con il fattore g = 2 che deriva dall’equazione di Dirac) :

•

Ricordiamo che l’interazione magnetica è

associata all’inversione della direzione dello spin dell’elettrone.

22Meg

La sezione d’urto di Rosenbluth •  Se i nucleoni non sono particelle puntiformi, allora posso definire,

analogamente a quanto fatto per i nuclei, dei fattori di forma per tenere conto delle distribuzioni di carica elettrica e di corrente (effetti magnetici)

•  La sezione d’urto diventa

Sezione d’urto di Rosenbluth•

Per i nucleoni i fattori di forma, correlati con le distribuzioni di carica elettrica e di corrente (effetti magnetici), compaiono nell’espressione della sezione d’urto del processo di diffusione di elettroni:

•

GE

(Q2) e GM

(Q2)

sono i fattori di forma elettrico e magnetico, che per Q2 0

coincidono con la carica

elettrica ed il momento magnetico del bersaglio

2tan)(2

1)()( 222

2222

QGQGQG

dd

dd

MME

MottRosenbluth

•  GE(Q2) e GM(Q2) sono i fattori di forma elettrico e magnetico, che per Q2à0 coincidono con la carica elettrica ed il momento magnetico del bersaglio

•  Per determinare i fattori di forma si fanno misure a Q2 fisso, variando l’angolo di diffusione (quindi l’energia dell’elettrone incidente)

•  In un grafico in funzione di tan2(θ/2) si ottengono rette la cui pendenza determina GM(Q2)e la cui intercetta a θ=0 determina GE(Q2)

Q2 = 2.5 GeV2

Confronto con i da7 sperimentali

Legge di scala!

•  La distribuzione dei portatori di carica e momento magnetico è la stessa nel protone

•  La distribuzione dei portatori di momento magnetico del protone e neutrone è la stessa

•  La distribuzione dei portatori di carica elettrica nel neutrone è zero



•

GE

(Q2) e GM

(Q2)




2tan)(2

1)()( 222

2222

QGQGQG

dd

dd

MME

MottRosenbluth

•

Tutti e tre i fattori di forma sono descritti dalla stessa funzione di dipolo:

caratterizzata dallo stesso parametro MV = 0,84 GeV•

Interpretando i fattori di forma come la trasformata di Fourier della distribuzione di carica si ottiene per i nucleoni un esponenziale = 0

e – M

V

· r

che dà

.

La costante MV viene espressa nel sistema naturale , cioè

MV

= 840 MeV / 200 MeV ·

fm

= 4,2 fm-1.

funzione di dipolo

1c

2

2

22

222 1)(

)()()(

V

dipolo

n

nM

p

pMp

E MQ

QGQGQG

QG

fmMr V 8,0/122

Formula dipolare •  Tutti e tre i fattori di forma sono descritti dalla stessa funzione di dipolo:

caratterizzata dallo stesso parametro MV = 0.84 GeV •  Interpretando i fattori di forma come la trasformata di Fourier della

distribuzione di carica si ottiene per i nucleoni un esponenziale ρ=ρ0 exp(–MV·r) che dà √<r2> = √12 / MV = 0.8fm

•  La costante MV viene espressa nel sistema naturale = c = 1, cioè MV = 840MeV / 200MeV·fm = 4.2fm-1.

•

Tutti e tre i fattori di forma sono descritti dalla stessa funzione di dipolo:

caratterizzata dallo stesso parametro MV = 0,84 GeV•

Interpretando i fattori di forma come la trasformata di Fourier della distribuzione di carica si ottiene per i nucleoni un esponenziale = 0

e – M

V

· r

che dà

.

La costante MV viene espressa nel sistema naturale , cioè

MV

= 840 MeV / 200 MeV ·

fm

= 4,2 fm-1.

funzione di dipolo

1c

2

2

22

222 1)(

)()()(

V

dipolo

n

nM

p

pMp

E MQ

QGQGQG

QG

fmMr V 8,0/122

Riepilogo sca@ering di ele@roni su nuclei e nucleoni Scattering su nuclei •  Rutherford

–  SPIN trascurato per gli elettroni –  Nuclei puntiformi senza SPIN –  Fattore di forma = 1

•  Mott (identica a ‘Rutherford’ per piccoli angoli) –  SPIN dell’elettrone preso in considerazione (elicità) –  Rinculo del bersaglio –  Fattore di forma nucleare F(q2 ) = ∫ρ(R)e-iqR d3R –  Distribuzione di carica (parametrizzazione)

Scattering su nucleoni –  SPIN del nucleone preso

in considerazione –  Rosenbluth –  Momenti magnetici anomali dei nucleoni –  Fattori di forma elettrico e magnetico (dipolo) –  Distribuzione di carica esponenziale

Riepilogo scattering di elettroni su nuclei e nucleoni –

2 –

• Scattering su nucleoni–

SPIN del nucleone preso in considerazione

–

Rosenbluth–

Momenti magnetici anomali dei nucleoni

–

Fattori di forma elettrico e magnetico (dipolo)–

Distribuzione di carica esponenziale

2tan

21 2

2

2

2/1Mq

dd

dd

Mottspinpuntiforme



•

GE

(Q2) e GM

(Q2)




2tan)(2

1)()( 222

2222

QGQGQG

dd

dd

MME

MottRosenbluth

Diffusione profondamente anelas7ca •  Finora abbiamo esaminato urti elastici, ma cosa possiamo dire quando il

“proiettile” elettrone è abbastanza energetico da “eccitare” o “spaccare” il nucleone?

•  L’invariante relativistico q2~ - 2 E E’ (1-cosθ) è determinato unicamente da osservabili relative al proiettile prima e dopo l’urto

•  Cosa so dire dello stato finale di adroni “X”? •  Dato che si conservano energia e impulso:

q = p’-p = PX – P q2 = (p’-p)2 = (EX-M)2 – P2 = = W2 + M2 – 2 EX M dove ho definito W massa invariante di X

•  Dalla conservazione dell’energia EX + E’ = E + M à EX = (E – E’) – M

•  Quindi: q2 = W2 – M2 – 2M(E – E’) •  Ossia: W2 = q2 + M2 + 2M(E – E’)

•  Quindi se misuro E, E’ q, so la massa invariante dello stato adronico prodotto •  In particolare, per l’urto elastico, W=M e q2 = 2Mν, con ν=E’ – E

PX

Diffusione profondamente anelas7ca •  Definisco ν=Pq/M=E’ – E . •  Per urti elastici, W=M e q2 = 2Mν, cioè q2-2Mν =0. Per urti anelastici q2-2Mν >0 •  W varia in maniera continua e così q2 e ν •  Posso dunque, nel caso inelastico, definire una sezione d’urto differenziale rispetto

alle due variabili ν (energia ceduta dall’elettrone) e q2 (quadrimpulso trasferito dall’elettrone)

•  La formula di Rosenbluth diventa quindi (Q2=-q2)

•  Questa è una sezione d’urto inclusiva, nel senso che osservo solo l’elettrone, senza selezionare lo stato adronico finale

•  Introduco la variabile di scaling di Bjorken x=Q2/2Mν

•  È un invariante relativistico. •  Per urti elastici (W=M): q2-2Mν =0 à x=1 •  Per urti anelastici (W>M): q2-2Mν >0 à 0<x<1

Lo scaling di Bjorken e il modello a partoni •  Posso esprimere la sezione d’urto differenziale

in termini di q2 e x introducendo le funzioni di struttura

•  Il risultato sperimentale è che, per grandi q2,

F1 e F2 dipendono solo da x e non più da q2

•  Questo risultato si chiama scaling di Bjorken; F non cambiano raddoppiando q2 e ν •  Il fatto che le funzioni di struttura siano costanti suggerisce che nel protone ci siano

dei costituenti (partoni, quark) carichi puntiformi •  Supponiamo che siano anche di massa nulla •  Mettiamoci in un sistema in cui il protone abbia impulso P grande >>M. I

costituenti porteranno una frazione x dell’impulso con probabilità w(x) •  Descriviamo l’urto dell’elettrone in termini di urti indipendenti sui costituenti

elementari del protone. Nello stato finale 0=(xP+q)2 = x2M2 + q2 + 2x pq ~ q2 + 2x pq

•  pq è Lorentz-invariante à posso calcolarlo nel sistema del laboratorio = -M(E-E’) •  Quindi la condizione di aver urtato un costituente che porta una frazione x

dell’impulso del protone, trasferendo q grande è q2/2Mν = x

x=0.25

Lo scaling di Bjorken e il modello a partoni •  Per un urto contro un costituente del protone che porti una frazione x del suo

quadrimpulso: x=q2/2Mν

•  In questo caso la sezione d’urto è quello per particelle puntiformi e la relazione tra energia quadrimpulso trasferiti è fissa

•  La sezione d’urto (inclusiva) per la diffusione prodondamente anelastica di elettroni su protoni si ottiene sommando i contributi dei vari costituenti, pesati con la rispettiva probabilità ΔP:

•  Questa è la legge di scala che abbiamo trovato sperimentalmente •  Le funzioni di struttura F1 e F2 ci dicono la distribuzione di probabilità che il

costituente porti una frazione x dell’impulso del protone originario •  Lo scaling di Bjorken è la verifica del fatto che i costituenti del protone sono

puntiformi e hanno massa nulla

d!dq2

elastica

=d!dq2

puntiforme

per q2

2M"= x

!!!q2!x

=d!dq2

elastica

w(x) =d!dq2

elastica

w q2

2M""

#$

%

&'

Lo scaling di Bjorken e il modello a partoni •  Il grafico mostra la funzione di

struttura F2 in funzione di x per un vasto intervallo di q2. L’indipendenza da q2 è evidente

•  Si nota un’accumulazione attorno a x=1/3 à I costituenti del protone sono 3

•  Si nota una “dispersione” attorno a 1/3 dovuta al moto dei costituenti all’interno del protone

•  Altri effetti fini sono spiegabili con processi di “ordine superiore”

•  Se i costituenti del protone sono particelle di Dirac (spin ½), allora ci deve essere una relazione tra le funzioni di struttura (Callan e Gross) 2x F1(x) = F2(x) che è quanto si osserva sperimentalmente

DaRutherford# ai#quark# - INFN Sezione di Ferrara · Questo dipende dalla lunghezza d’onda di De...

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