Prova scritta finale – 16 giugno 2015 Istituzioni di Fisica della Materia – Prof. Lorenzo Marrucci – anno accademico 2014-2015 Tempo a disposizione: 3 ore – Uso degli appunti o libri: NON AMMESSO – uso della calcolatrice: AMMESSO NOTA BENE: gli smartphone devono essere tenuti spenti per tutto il corso della prova, pena l’annullamento della prova Nota: per lasciare un margine di recupero, il totale dei punti a disposizione è fissato a 34 invece che a 30.

1) Un elettrone di energia E = 2 eV viaggia nella direzione positiva dell’asse x (siamo in 1D) in una regione in cui l’energia potenziale è nulla (regione I della figura 1). Calcolare (a) la lunghezza d’onda di de Broglie associata all’elettrone finché si trova in tale regione. Lungo il suo percorso, l’elettrone trova in x = 0 un primo gradino di potenziale “rettangolare” di altezza U0 = E (ossia esattamente uguale all’energia dell’elettrone) e lunghezza L = 5 Å (= 0.5 nm) seguito nel punto x = L da una barriera di potenziale di altezza assimilabile ad infinita (vedere figura 1). Determinare: (b) l’espressione della funzione d’onda dell’elettrone nelle tre regioni I, II e III; (c) le probabilità complessive di trasmissione e riflessione per l’elettrone. Assumendo quindi che l’elettrone incidente si trovi inizialmente in un pacchetto d’onde rettangolare lungo 10 nm, calcolare (d) la probabilità di trovare l’elettrone nella regione II (ossia 0 < x < L) mentre avviene la collisione. Infine, seguendo un metodo di calcolo simile a quello che si utilizza per studiare il moto di un pacchetto d’onde molto esteso (quello che ci porta ad introdurre la velocità di gruppo), stimare (e) il ritardo temporale con cui l’elettrone viene riflesso rispetto al caso in cui L = 0. [Nota: anche per energie E leggermente diverse da U0 potete in prima approssimazione continuare ad utilizzare le medesime espressioni trovate per l’onda riflessa]. [punti: a = 2; b = 2; c=1; d=2; e = 2].

2) Considerate un sistema quantistico in due dimensioni (2D) dato da una buca con energia potenziale interna nulla e con pareti di energia potenziale infinita che delimitano una regione di forma rettangolare di lati a = 3 Å e b = a 3 (un “recinto quantico” rettangolare), come rappresentato in figura 2. Inizialmente tale sistema contiene 10 elettroni non interagenti e lo stato di spin non cambia la loro energia (perché non ci sono campi magnetici). Calcolare (a) la configurazione elettronica dello stato fondamentale e la corrispondente energia espressa in eV; (b) la lunghezza d’onda più grande che si osserva nello spettro di assorbimento della luce di questo sistema di 10 elettroni (assumendo che l’assorbimento parta sempre dallo stato fondamentale); (c) il numero di elettroni per unità di area (ossia la densità superficiale di elettroni) al centro della buca (x = a/2, y = b/2). Supponiamo infine di rimuovere 8 elettroni lasciandone solo 2 e di collocare il sistema in un forte campo magnetico che costringa questi due elettroni ad avere il medesimo spin. Il sistema di 2 elettroni si trova nello stato fondamentale (definito tenendo conto che i due spin sono uguali). Se in questa situazione misuriamo la posizione di uno di questi due elettroni e lo troviamo al centro della buca, determinare (d) in quali punti della buca sarà più probabile trovare il secondo elettone se anche questo viene localizzato subito dopo. E se invece il primo elettrone viene trovato nel punto di coordinate x = a/3, y = b/2, determinare (e) in quali punti sarà più probabile trovare il secondo elettrone. [punti: a = 3; b = 2; c=1; d=1; e=2]

3) In non più di una pagina trattate uno dei seguenti due argomenti, a scelta (MA NON PIÙ DI UNO) [punti 8]: a. Illustrare il modello di Bohr dell’atomo d’idrogeno e discutere quali osservazioni sperimentali tale

modello era in grado di spiegare e quali invece non era in grado di spiegare. b. Descrivere il metodo del campo auto-consistente che si utilizza per studiare gli atomi a più elettroni e

spiegare come da questa analisi sia possibile derivare la tavola periodica degli elementi.

Carica dell’elettrone e = 1,60 × 10−19 C Costante di Planck ridotta ħ = 1,055 × 10−34 J·s Massa dell’elettrone m = 9,11 × 10−31 kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...

a

U = 0

U = ∞

x

y

b

Figura 2

Figura 1

x

U(x)

0 L

E U0

regione I

regione II

regione III

U = +∞

seconda pagina - Prova scritta finale – 16/6/2015 - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci 4) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME e NOME: MATRICOLA:

a) Riportare le due relazioni di de Broglie: ______________________________________________________________________________________

b) Scrivere la relazione di indeterminazione di Heisenberg tra posizione x e quantità di moto p: ______________________________________________________________________________________

c) Scrivere l’equazione di Schroedinger dipendente dal tempo per una particella 1D con energia potenziale U(x): _______________________________________________________________________________________

d) Sia data una particella con funzione d’onda ψ (x) = ax per 0 < x < L con L = 2 Å e ψ (x) = 0 al di fuori dell’intervallo (0, L). Calcolare la posizione media della particella

______________________________________________________________________________________

e) Un atomo d’idrogeno al tempo t = 0 è nello stato quantistico ψ 0 (r,ϑ,ϕ ) = ψ 2s (r,ϑ,ϕ )− 2ψ 3p,m=0 (r,ϑ,ϕ )⎡⎣ ⎤⎦ 5 . Scrivere la funzione d’onda valida per tempi successivi (non è necessario esplicitare gli orbitali): _______________________________________________________________________________________

f) Con il medesimo stato quantistico della domanda precedente, si misuri ora l’energia. Quali saranno i valori possibili in eV e con quali probabilità? [si ricorda che l’energia dello stato fondamentale è E1 = −13.6 eV]: _______________________________________________________________________________________

g) Scrivere la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell’atomo di fosforo P (numero atomico Z = 15): ________________________________________________________________________________________

h) Calcolare la degenerazione complessiva (multi-elettronica) dello stato fondamentale dell’atomo di fosforo P: ________________________________________________________________________________________

Soluzioni degli esercizi Esercizio 1 Domanda (a). Nella regione I l’energia potenziale è nulla, per cui l’energia è interamente cinetica, ossia si ha

E = 1

2 mv2 = p2

2m⇒ p = 2mE

Combinando questa espressione con la relazione di de Broglie p = h/λ si ottiene la

risposta a: λ = h

p= h

2mE= 8.7 ×10−10 m = 8.7 Å

A questo stesso risultato si può anche pervenire risolvendo l’equazione di Schroedinger indipendente dal tempo, determinando così il numero d’onde k della funzione d’onda nella regione I (si veda risposta successiva) e quindi usando la relazione tra numero d’onde e lunghezza d’onda λ = 2π/k. Domanda (b). Per rispondere a questa domanda è necessario risolvere l’equazione di Schroedinger indipendente dal tempo nelle tre regioni. Nella regione I, dove U(x) = 0, l’equazione di S. si riduce alla seguente:

−

2

2md 2φdx2 = Eφ (1)

che per E > 0 (come nel caso nostro) ha come possibili soluzioni le onde armoniche

φ(x) = Ne± ikx (2) con

k = 1

2mE (3)

(che poi corrisponde alla risposta (a), in base alla relazione k = 2π/λ). Entrambe queste soluzioni sono valide fisicamente perché non divergono, per cui in generale dobbiamo considerare la funzione d’onda data dalla combinazione lineare delle due, ossia

φ(x) = φI (x) = Aeikx + Be− ikx per x < 0 Nella regione II, dove U(x) = E, l’equazione di S. si riduce invece alla seguente equazione:

−

2

2md 2φdx2 + Eφ = Eφ ⇒ d 2φ

dx2 = 0

che ammette la seguente soluzione generale

φ(x) = φII (x) = Cx + D per 0 < x < L (4) Dato che la regione II si estende solo all’intervallo limitato (0, L) della coordinata x, entrambi i termini della (4) non divergono (il primo divergerebbe se l’intervallo fosse infinito) e vanno perciò considerati fisicamente validi.

Infine, nella regione III dato che l’energia potenziale diverge la funzione d’onda si deve annullare, ossia

φ(x) = φIII (x) = 0 per x > L Raccogliendo insieme le espressioni già scritte abbiamo la seguente espressione della funzione d’onda φ(x):

Risposta b:

φ(x) =φI (x) = Aeikx + Be− ikx per x < 0

φII (x) = Cx + D per 0 < x < L

φIII (x) = 0 per x > L

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(5)

Questa risposta viene considerata già sufficiente per la domanda b, ma non è ancora del tutto completa perché non sono state ancora fissate le relazioni tra i coefficienti A, B, C e D (che comunque serviranno per le domande successive). Per farlo, imponiamo le condizioni di raccordo. Nel punto x = 0 devono valere la continuità della funzione d’onda e della sua derivata, mentre nel punto x = L vale solo la continuità della funzione (dato che l’energia potenziale diverge da un lato), ossia si ha φI (0) = φII (0)′φI (0) = ′φII (0)

φII (L) = φIII (L)

per cui si ottiene A + B = Dik(A − B) = CCL + D = 0

Da queste relazioni possiamo esprimere le tre costanti B, C e D in funzione di A:

B = − 1+ ikL1− ikL

⎛⎝

⎞⎠ A

C = 2ik1− ikL

⎛⎝

⎞⎠ A

D = −LC

(6)

(nota: chi ha determinato queste relazioni nel rispondere alla domanda b riceverà 1 punto preso dai 2 punti validi per la risposta d, dato che queste relazioni sono necessarie per rispondere alla domanda d) Domanda (c). La probabilità di trasmissione è definita come la probabilità che la particella posta in un pacchetto d’onde riesca alla fine a trovarsi nella regione III. Nel caso specifico questa deve chiaramente annullarsi perché la particella non può entrare nella regione di energia potenziale infinita, ossia PT = 0. La probabilità di riflessione deve quindi essere PR = 1 – PT = 1, ossia la certezza. A questo ultimo risultato si arriva anche considerando esplicitamente il modulo quadro di B/A, che è proprio uguale ad 1. Riassumendo Risposta c: PT = 0 e PR = 1 = 100% Domanda (d). Nel caso di un pacchetto d’onde rettangolare le relazioni (6) sono valide per le ampiezze delle onde durante la collisione. Inoltre l’ampiezza A è determinata in modulo dalla condizione di normalizzazione (mentre la fase non ha importanza) A 2 Δx = 1

dove abbiamo indicato con ∆x la lunghezza del pacchetto d’onde. Calcoliamo quindi la probabilità che la particella si trovi nella regione II mediante l’integrale del modulo quadro della funzione d’onda:

PII = φII (x)2 dx

0

L

∫ = Cx + D 2 dx0

L

∫ = C 2 x − L 2 dx0

L

∫ = C 2 x2 − 2Lx + L2( )dx0

L

∫ = C 2 L3

3

Sostituendo la relazione (6) per C in funzione di A ed utilizzando la condizione di normalizzazione troviamo quindi

Risposta d: PII =4k2

1+ k2L2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ A

2 L3

3= 43

k2L2

1+ k2L2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟LΔx

= 0.062 = 6.2%

Domanda (e). Il pacchetto d’onde riflesso nella regione I ha ampiezza B che è uguale ad A salvo per un fattore di fase. Infatti abbiamo visto che |B/A|=1, per cui si può porre B = eiαA (7) dove la fase α è data da

α = Arg(B / A) = Arg −1+ ikL1− ikL

⎛⎝

⎞⎠ = −Arg 1+ ikL( ) +Arg(1− ikL) = −2arctan kL( ) (8)

Ora consideriamo il pacchetto d’onde incidente sotto forma di integrale di Fourier di onde armoniche, con un’ampiezza A(k) piccata in un k0 medio (uguale al k calcolato prima) e con larghezza di banda molto piccola (ossia un pacchetto molto lungo). L’onda incidente è quindi data dalla seguente espressione: ψ in (x,t) = A(k)eikx−iω (k )t dk∫ dove omettiamo per brevità gli estremi d’integrazione (anche perché il coefficiente A(k) si annulla rapidamente allontanandosi da k0) e abbiamo introdotto la frequenza di de Broglie

ω (k) = E(k)

!= !k

2

2m

In particolare al tempo iniziale t = 0 poniamo anche

ψ in (x,t) = A(k)eikx dk∫ = !A(x)eik0x (9) dove !A(x) rappresenta l’ampiezza lentamente variabile del pacchetto d’onde. Il pacchetto d’onde riflesso è invece dato dalla seguente espressione: ψ rif (x,t) = B(k)e− ikx−iω (k )t dk∫ = A(k)eiα (k )−ikx−iω (k )t dk∫ (10) Nella seconda uguaglianza abbiamo usato la relazione (7), esplicitando il fatto che α dipende da k. Seguendo la medesima procedura utilizzata per determinare la dinamica di un pacchetto d’onde, procediamo a sviluppare in serie di Taylor le funzioni di k presenti nell’esponenziale fermandoci al primo ordine, ossia

ω (k) ≈ω (k0 )+dωdk k=k0

(k − k0 ) =ω 0 + vg (k − k0 )

α (k) ≈α (k0 )+dαdk k=k0

(k − k0 ) =α 0 + lg (k − k0 )

dove abbiamo introdotto nella prima espressione la frequenza temporale media ω0 e la velocità di gruppo vg come già spiegato a lezione, mentre nella seconda espressione abbiamo introdotto la fase media α0 e la “lunghezza di gruppo” lg = dα dk( )k=k0 .

Sostituendo questi sviluppi nella (10) otteniamo:

ψ rif (x,t) = e

iα0−ilgk0−iω0t+ivgk0t A(k)eik (lg−x−vgt ) dk∫ = eiα0−ik0x−iω0t !A(lg − x − vgt) (11) dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la (9) con la sostituzione x→ lg − x − vgt . L’espressione così determinata corrisponde ad un’onda armonica portante di frequenza spaziale k0 e temporale ω0 e di fase iniziale α0 che viaggia in direzione negativa dell’asse x, modulata dall’inviluppo !A(x) che viaggia nella direzione negativa dell’asse x con velocità di gruppo vg. L’elemento nuovo importante è la presenza nell’argomento di !A(x) della lunghezza lg, che corrisponde ad una modifica dell’origine dei tempi e quindi ad un ritardo temporale (se negativo, o anticipo se positivo, ma nel nostro caso è negativo quindi è un ritardo). Si ha quindi:

risposta e: τ = −

lgvg

= − 1vg

dαdk k=k0

= 1vg

2L1+ k0

2L2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2mL!k0 1+ k0

2L2( ) = 8.5 ×10−17 s = 85 as

Questo ritardo si annulla per L = 0, quindi il ritardo che abbiamo calcolato è proprio relativo a questo caso. Esercizio 2 Domanda (a). Si procede per separazione di variabili, riconducendo il problema a due problemi 1D, uno per la coordinata x e uno per la coordinata y, entrambi corrispondenti a buche di potenziale infinite, la prima di larghezza a e la seconda di larghezza b. Introducendo due numeri quantici, n ed m, corrispondenti alle due coordinate, otteniamo quindi la seguente espressione dei livelli di energia possibili:

En,m = π 2!2

2ma2 n2 + π 2!2

2mb2 m2 = E0 n2 + 3m2( ) con n = 1, 2, … ed m = 1, 2, … (12)

dove nella seconda espressione abbiamo introdotto l’energia

E0 =

π 2!2

2ma2 = 6.7 ×10−19 J = 4.19 eV

e abbiamo sfruttato la relazione b = a 3 data nel testo. Le corrispondenti autofunzioni sono date dal prodotto delle autofunzioni relative a ciascuna variabile, per cui

φn,m(x, y) = 2

absin nπ x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin mπ yb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La configurazione elettronica di energia più bassa per i 10 elettroni è la seguente: Configurazione elettronica stato fondamentale: (1,1)2 (2,1)2 (3,1)2 (1,2)2 (2,2)2 dove le parentesi (n,m) indicano i corrispondenti stati stazionari di numeri quantici n ed m, e gli apici il numero di elettroni presenti in tali stati. L’energia corrispondente è la seguente: Etot = 2 × 4E0 + 2 × 7E0 + 2 × 12E0 + 2 × 13E0 + 2 × 16E0 = 104 E0 = 435 eV

Domanda (b). Lo stato eccitato più basso in energia si ottiene promuovendo un elettrone dallo stato (2,2) di energia 16E0 allo stato (4,1) di energia 19E0. Il salto energetico è quindi pari a 3E0, per cui si ha

Lunghezza d’onda: λ = hc

ΔE= hc3E0

= 99 nm

Domanda (c). La densità di elettroni è pari alla somma delle densità associate a ciascuna funzione d’onda occupata da un elettrone, ossia al modulo quadro della stessa. E’ facile verificare che le funzioni d’onda che presentano uno dei due numeri quantici pari risultano identicamente nulle al centro, per cui non contribuiscono alla densità in quel punto. Le funzioni d’onda che contribuiscono corrispondono ai seguenti due stati: (1,1) e (3,1). Ciascuna di queste funzioni d’onda al centro della buca ha il medesimo valore, per cui otteniamo:

densità elettronica: ρ = 2 × φ1,1(a / 2,b / 2)

2 + 2 × φ3,1(a / 2,b / 2)2 = 16

ab= 3.1A

o −2

Domanda (d). Per rispondere a questa domanda si può procedere in due modi, uno più intuitivo e facile (o almeno rapido) e uno più formale. Seguiamo prima quello intuitivo, mentre l’approccio formale sarà comunque necessario per la domanda successiva e quindi lo spiegheremo direttamente per quella. Dato che i due elettroni hanno lo stesso spin, non possono occupare lo stesso orbitale per il principio di esclusione di Pauli. Lo stato fondamentale sarà quindi dato dal riempimento dell’orbitale (1,1) e (2,1). Ora se un elettrone viene trovato nel centro della buca poteva occupare solo l’orbitale (1,1) in quanto l’orbitale (2,1) ha probabilità nulla al centro della buca. Se ne deduce che l’altro elettrone (dopo la misura) occupa necessariamente l’orbitale (2,1) ed ha quindi funzione d’onda

φ2,1(x, y) = 2

absin 2π x

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin π yb

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Il modulo quadro di questa funzione fornisce la distribuzione di probabilità per il secondo elettrone (condizionata al fatto di aver trovato il primo elettrone al centro della buca). Essa presenta un massimo nei due punti seguenti: Punti di massima probabilità per il secondo elettrone: x = a/4, y = b/2 e x = 3a/4, y = b/2 Domanda (e). Per questa seconda domanda è impossibile utilizzare il metodo utilizzato sopra perché un elettrone che viene localizzato nel punto x = a/3, y = b/2 può corrispondere ad ambedue gli orbitali che compongono lo stato fondamentale. Dobbiamo quindi adottare un metodo più rigoroso che si basa sulla scrittura della funzione d’onda dei due elettroni mediante la combinazione antisimmetrica dei due orbitali, come segue:

ψ (x1, y1;x2 , y2 ) = 12

φ1,1(x1, y1)φ2,1(x2 , y2 )−φ2,1(x1, y1)φ1,1(x2 , y2 )⎡⎣ ⎤⎦

= 2 2ab

sinπ y1

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinπ y2

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinπ x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− sin

2π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinπ x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Il modulo quadro di questa funzione d’onda fornisce la densità di probabilità congiunta per le posizioni dei due elettroni ed è quindi anche proporzionale alla densità di probabilità condizionata per la posizione del secondo elettrone una volta determinata quella del primo. La misura di uno dei due elettroni corrisponde per esempio a fissare x1 e y1 e lasciare come variabili casuali x2 e y2 (o viceversa, tanto sono interscambiabili):

P(x2 , y2 | x1, y1) ∝ψ (x1, y1;x2 , y2 )2

= 32a2b2 sin2 π y1

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2 π y2

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinπ x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− sin

2π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinπ x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

(13)

Per trovare i punti più probabili dobbiamo quindi trovare i massimi di questa espressione in funzione di x2 e y2, fissati x1 e y1. Per quanto riguarda la variabile y2 è evidente che il massimo si trova per y2 = b/2 (ossia lungo l’asse centrale della buca). Per trovare il massimo rispetto alla x2 conviene eseguire la derivata rispetto a questa variabile e imporla uguale a zero. Si ottiene così la seguente equazione:

sin

π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sin2π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− sin

2π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sinπ x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 2sin

π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos2π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− sin

2π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cosπ x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 0

Dei due fattori che appaiono in questa espressione, il primo si annulla per x2 = x1 che corrisponde ad un minimo della probabilità (dato che questa si annulla), mentre il secondo dopo qualche semplice manipolazione [in particolare usando la formula per il sin(2α)]

può essere riscritto nella forma seguente:

cos

2π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− cos

π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cosπ x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 0

Usando la formula per il cos(2α) si ottiene un’equazione quadratica nel coseno e quindi otteniamo le seguenti soluzioni:

cos

π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

4cos

π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟± 1

4cos2 π x1

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+8

che ci forniscono (usando l’arcocoseno), per qualsiasi valore di x1, i valori di x2 dove ci sono dei massimi di probabilità (il ± viene fissato richiedendo che la soluzione sia compresa nell’intervallo [0,a]). Per esempio è facile verificare che se poniamo x1 = a/2 ritroviamo la stessa soluzione già data per la domanda (d), ossia x1 = a/4 e x1 = 3a/4. Per x1 = a/3 invece otteniamo

cos

π x2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

8± 1

414+8 = 1± 33

8

che, prendendo l’arcocoseno, forniscono le seguenti due soluzioni: punti di massima probabilità per la seconda particella: x2 = 0.181a e x2 = 0.702a con y2 = b/2 Di questi due punti il primo corrisponde in realtà ad un massimo relativo, mentre il secondo è il massimo assoluto, come si può verificare sostituendo i valori nella funzione d’onda e calcolando la densità di probabilità (13) che ne risulta (solo per farvi capire meglio, vi riporto anche la distribuzione di probabilità non normalizzata per x2, che però ovviamente non doveva essere calcolata per dare risposta alla domanda). 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

SOLUZIONI TEST

a) Riportare le due relazioni di de Broglie:

E = hν p = hλ oppure E = ω p = k

______________________________________________________________________________________

b) Scrivere la relazione di indeterminazione di Heisenberg tra posizione x e quantità di moto p:

ΔxΔp ≥

2 dove Δx e Δp sono le indeterminazioni definite come scarto quadratico medio

______________________________________________________________________________________

c) Scrivere l’equazione di Schroedinger dipendente dal tempo per una particella 1D con energia potenziale U(x):

i! ∂ψ

∂t= − !

2

2m∂2ψ∂x2

+U(x)ψ

_______________________________________________________________________________________

d) Sia data una particella con funzione d’onda ψ (x) = ax per 0 < x < L con L = 2 Å e ψ (x) = 0 al di fuori dell’intervallo (0, L). Calcolare la posizione media della particella

x = xψ 2 dx

−∞

+∞

∫ = a2 x3 dx0

L

∫ = a2L4

4= 3

4L = 1.5 A

!

dove si è usato ψ 2 dx−∞

+∞

∫ = a2 x2 dx0

L

∫ = a2L3

3= 1

______________________________________________________________________________________

e) Un atomo d’idrogeno al tempo t = 0 è nello stato quantistico ψ 0 (r,ϑ,ϕ ) = ψ 2s (r,ϑ,ϕ )− 2ψ 3p,m=0 (r,ϑ,ϕ )⎡⎣ ⎤⎦ 5 . Scrivere la funzione d’onda valida per tempi successivi (non è necessario esplicitare gli orbitali):

ψ (r,ϑ,ϕ,t) = ψ 2s (r,ϑ,ϕ )e

− iE2t /! − 2ψ 3p,m=0 (r,ϑ,ϕ )e− iE3t /!⎡⎣ ⎤⎦ 5 dove E2=E1/4 e E3=E1/9 sono le energie per n=2 e n=3

_______________________________________________________________________________________

f) Con il medesimo stato quantistico della domanda precedente, si misuri ora l’energia. Quali saranno i valori possibili in eV e con quali probabilità? [si ricorda che l’energia dello stato fondamentale è E1 = −13.6 eV]: E2 = E1/4 = –3.4 eV e E3 = E1/9 = –1.5 eV con probabilità P2 = 1/5 = 20% e P3 = 4/5 = 80%

_______________________________________________________________________________________

g) Scrivere la configurazione elettronica dello stato fondamentale dell’atomo di fosforo P (numero atomico Z = 15): (1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(3p)3 ________________________________________________________________________________________

h) Calcolare la degenerazione complessiva (multi-elettronica) dello stato fondamentale dell’atomo di fosforo P: 63

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 6!3!3!

= 6 ⋅5 ⋅43⋅2

= 20

________________________________________________________________________________________