LE DOMANDE DEI NUMERI PRIMI UNA SFIDA APERTA DA 23 SECOLI

Progetto di attività didattica

Serena Cenatiempo - Classe di abilitazione A049

7

5

a3

2

Classe destinataria: 2° anno del Liceo Scientifico

102 103 104 106 109

Durata e periodo dell’attività: 8 h nel 2° semestre

FINALITÀ DIDATTICHE

Obiettivo insegnamento della matematica:

comprensione dei procedimenti

argomentativi e dimostrativi

del pensiero matematico

(cf. indicazioni MIUR)

Cosa vuol dire fare matematica? Porsi un problema e

provare a risolverlo con un metodo logico-deduttivo

Potenziare la capacità di ragionamento logico

(dimensioni del «gioco» e della «sfida»)

Offrire una visione, anche se elementare,

degli sviluppi della matematica moderna

Discussione sulle finalità della matematica

(le inattese applicazioni dei numeri primi) 2

Approfondire i concetti di dimostrazione, congettura,

verifica (a mano e con il calcolatore)

PREREQUISITI

Concetto intuitivo degli insiemi

numerici, operazioni elementari,

elevamento a potenza

Criteri di divisibilità

Algoritmo euclideo

delle divisioni successive

Passaggio dall’aritmetica

all’algebra (1° semestre):

- caratterizzare i numeri dispari;

- numeri quadrati e

somma dei primi n dispari;

- numeri triangolari e

somma dei primi n naturali;

- indovinare sequenze di numeri

(es. numeri di Fibonacci)

Concetto di funzione

3

4

METODOLOGIA DIDATTICA IMPIEGATA

Metodologia laboratoriale

Attività utili a rendere concreti i concetti

introdotti (esempi, esercizi, supporto di software

informatici, materiale multimediale)

Incoraggiamento alla ricerca autonoma

Verifiche volte a indagare la comprensione

degli argomenti affrontati, scoraggiando lo

studio mnemonico

Attività: trovare i numeri

primi minori di 100

COME OTTENERLI?

Crivello di Eratostene

ESISTE UNA REGOLA?

E’ sufficiente?

Definizione, storia,

importanza, fattorizzazione

in numeri primi

NUMERI PRIMI

Attività: trovare i numeri

primi in una lista data.

Quale strategia?

COME RICONOSCERLI?

Numeri di Mersenne

e numeri di Fermat

Attività: indicare

quali numeri di

Mersenne M=2n -1

con n ≤11 sono primi

QUANTI SONO?

Il teorema di Euclide

MAPPA CONCETTUALE

Dimostrazione

teorema di

fattorizzazione*

Eulero (1732): la

congettura è falsa.

Problema: i primi di

Fermat sono infiniti?

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Attività: trovare i numeri

primi minori di 100

COME OTTENERLI?

Crivello di Eratostene

ESISTE UNA REGOLA?

E’ sufficiente?

Definizione, storia,

importanza, fattorizzazione

in numeri primi

NUMERI PRIMI

Attività: trovare i numeri

primi in una lista data.

Quale strategia?

COME RICONOSCERLI?

Congettura di Goldbach

Attività: verificare la

congettura per i numeri

pari fino a 100

Numeri di Mersenne

e numeri di Fermat

Attività: indicare

quali numeri di

Mersenne M=2n -1

con n ≤11 sono primi

Congettura

dei primi gemelli

Attività: trovare le

coppie di primi gemelli

e primi cugini minori

di 100

QUANTI SONO?

Il teorema di Euclide

MAPPA CONCETTUALE

Dimostrazione

teorema di

fattorizzazione*

5

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NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

MAPPA CONCETTUALE

«Quando le cose diventano troppo complicate,

qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi:

ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri

«Scoprire qualche ordine nella progressione

dei numeri primi e un mistero che lo spirito

umano non sara mai in grado di penetrare.» Eulero (1751)

6

NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

102 103 104 106 109

Attività: - disegnare π(x) per x≤50;

- comando Prime[x] di Mathematica;

- esempio con «dadi»

IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)

quanti sono i numeri primi minori di x?

MAPPA CONCETTUALE

«Quando le cose diventano troppo complicate,

qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi:

ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri

NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

6

NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

Attività: - disegnare π(x) per x≤50;

- comando Prime[x] di Mathematica;

- esempio con «dadi»

IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)

quanti sono i numeri primi minori di x?

Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x]

CONGETTURA DI GAUSS

E IPOTESI DI RIEMANN (1859) presentazione qualitativa focalizzata sulle idee

MAPPA CONCETTUALE

(1777 - 1855):

NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

6

NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

Attività: - disegnare π(x) per x≤50;

- comando Prime[x] di Mathematica;

- esempio con «dadi»

IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798)

quanti sono i numeri primi minori di x?

PRIMI E CRITTOGRAFIA

Breve storia della

crittografia

Attività: cifrario di Cesare,

frequenza delle lettere

Attività: cifratura con

demo on-line

Cifrario RSA

Crittografia

quantistica

RIFLESSIONE SUL PERCORSO E CONCLUSIONI

Visione del documentario della BBC

«L’enigma dei numeri primi»

MAPPA CONCETTUALE

NUMERI PRIMI

COME

OTTENERLI? QUANTI?

ESISTE UNA REGOLA?

Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x]

CONGETTURA DI GAUSS

E IPOTESI DI RIEMANN (1859) presentazione qualitativa focalizzata sulle idee

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VALUTAZIONE: OBIETTIVI E MODALITÀ

# Qual è il più piccolo numero primo di due cifre?

# Quando due numeri primi si dicono gemelli?

CONOSCENZA

COMPRENSIONE

# Il prodotto di due numeri primi può essere un numero primo? Perché?

# Quale può essere la cifra delle unità di un numero primo maggiore di 5?

APPLICAZIONE

# Saper fattorizzare in primi numeri interi assegnati

# Ogni numero primo nella forma 4n+1 può essere

espresso come somma di due quadrati

seguendo la tassonomia degli obiettivi di Bloom

ANALISI

# Una formula per trovare numeri primi? Es. n2 + n + 41

# Qual è approssimativamente la probabilità che

un numero scelto a caso tra 2 e 100 sia primo?

SINTESI

# Approfondimenti personali

# Esposizione orale

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SITOGRAFIA

http://critto.liceofoscarini.it/mate/primi.html

Sito sui numeri primi del Liceo Classico Foscarini di Venezia, con

approfondimenti sulla crittografia e demo sul metodo RSA

http://www.youtube.com/watch?v=vt8o6BnP5Pk

Video divulgativo della BBC sui numeri primi

http://www.youtube.com/watch?v=xC9jAyGMNjE

La teoria dei numeri, intervista ad Andrew Wiles

http://www.matematicamente.it/cimolin/teorema numeri primi.pdf

Percorso sui numeri primi, spiegazione rigorosa, ma adattata per liceo

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/

Ott_11/NumeriPrimi.htm

http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8731

Siti divulgativi, con link interessanti

http://www.youtube.com/watch?v=PgqEaUT8Qo0

Intervento divulgativo sui numeri primi, Marcus du Sautoy,

Oxford University, Maggio 2008