POR SCUOLA VIVAMODULO N°

COSTRUIAMO LA NOSTRA

ARITMETICA

LICEO SCIENTIFICO “ E. TORRICELLI”

SSPG “S.G.BOSCO - SUMMA VILLA”

LEFRAZIONI

LE FRAZIONI NELLA PREISTORIA

Le frazioni venivano utilizzate sin dalla

preistoria per i bisogni essenziali

della vita quotidiana.

LE FRAZIONI E GLI EGIZI

Il nostro attuale concetto di frazioni risale agli Egizi, che

usavano una simbologia molto più complicata rispetto alla nostra.

Per rappresentare il concetto di frazione, gli Egizi sovrapponevano

al numero un puntino o un ovale che indicava l’unità frazionaria; ES: ⅕ era rappresentato da un 5

con un ovale sopra.

Essi rappresentavano le frazioni attraverso la somma dell’unità

frazionaria e non (come facciamo noi) ponendo al numeratore un

numero maggiore di 1; ES: ⅗ = ⅕ + ⅕ + ⅕ o ½ + 1/10

Con questo metodo di rappresentazione era più facile

dividere numerose quantità uno o più interi:

11/13 = ½ + ⅓ + 1/78

L’OCCHIO DI HORUS

L’occhio di Horus nasce da uno leggenda, la quale narra che Seth aveva

strappato a Horus l’occhio sinistro e glielo aveva ridotto a pezzi, ma Thot riuscì a ricomporlo. Gli Egizi usavano

questo simbolo proprio per descrivere le frazioni. Se si prova a sommare tutti i pezzi si ottiene 63/64 e non 64/64. Gli

Egizi però spiegano questo fatto dicendo che l’1/64 mancante sarebbe

stato aggiunto da Thot.

IL PAPIRO DI RHIND

Grazie a reperti archeologici, come il

papiro di Rhind, abbiamo scoperto quanto siano

antiche le frazioni. Questo reperto è il più importante

documento egizio di matematica.

FRAZIONI, GRECI E ROMANI

Anche i Greci e i Romani conoscevano il concetto di

frazione, anche se a quell’epoca era molto complicato. Di quel

periodo, è rimasto ancora oggi il termine minuzia che noi

utilizziamo per indicare qualcosa di molto piccolo, ma che i Romani

usavano per identificare il concetto di frazione.

LE FRAZIONI ….. OGGI

Nel XVI secolo, lo scienziato Simone Stevino, poichè era

necessario trovare un metodo di calcolo più veloce,

approfondì lo studio delle frazioni decimali e brevettò la simbologia ancora oggi di

uso comune.

LA FREQUENZA DI UN’ONDA SONORA

In fisica un’onda è una perturbazione che si propaga nello spazio e che trasporta

energia da un punto all’altro. L’onda sonora è creata da una perturbazione indotta dalla pressione di un corpo

vibrante nell’aria.

LA FREQUENZA E LE NOTE

Il suono si propaga per oscillazione di un mezzo elastico (anche l’aria);

se aumentano le oscillazioni aumenta anche la frequenza. Ad ogni frequenza corrisponde una

nota. In base a queste affermazioni ed alla tabella quì a fianco, Pitagora scoprì

un rapporto che accomuna ogni nota a quella 5 volte superiore.

Questo rapporto è di 3/2.

LE FRAZIONI Immaginiamo di prendere una barretta di cioccolato : è un intero, la dobbiamo dividere in 3 parti uguali. Di queste 3 ne mangiamo 1: abbiamo mangiato una parte su 3 della cioccolata: ⅓ (un terzo) dell’intero, questa è una frazione.

13

La frazione non deve essere vista come un’operazione fine a se stessa, ma come un elemento che svolge diverse funzioni:

● Un’operazione di divisione● Parte di un intero● Rapporto tra grandezze ● Numero razionale

Esempi:● ¾ = 3:4● ¾= 3 parti su 4 ● Base = ¾ Altezza● ¾ = 0,75

LE FRAZIONI COME DIVISIONICome già detto, abbiamo diviso la barretta in 3 parti, quindi la frazione è anche una divisione, infatti rappresenta i numeri come divisioni tra 2 quantità, perciò possiamo dire che ⅓ = 1:3. Il risultato di una frazione è spesso un numero decimale.

DALLA DIVISIONE ALLA FRAZIONEImmaginiamo ora di avere due barrette da dividere per tre ragazzi, ovvero dividere 2 per 3, cioè 2:3. Quindi dividiamo ogni barretta in 3 parti e ognuno di noi ne prende 2: abbiamo 2 parti su 3 ciascuno, ⅔ di una singola tavoletta, ma 2/6 delle 2 barrette sommate.

FRAZIONI COME RAPPORTO TRA GRANDEZZE Spesso in matematica si usa la frazione per indicare dei rapporti tra grandezze: S/T = V (il rapporto fra spazio e tempo è la velocità); P/V= PS (il rapporto fra peso e volume di un corpo è il suo peso specifico). Le due grandezze possono, quindi, anche essere diverse. A volte, quando aumenta o diminuisce una delle due, aumenta o diminuisce anche l’altra per lo stesso numero: in questo caso sono direttamente proporzionali. Altre volte, all’aumentare di una, diminuisce l’altra per lo stesso numero: si tratta di grandezze inversamente proporzionali:

Esempi:

Viaggiando ad una certa velocità percorro 210 km in 3 ore. Se mantengo una velocità costante in quanto tempo percorro 280 km?

y

0 70 140 210 280 x

ORA ESERCITIAMOCI UN PO’

SVOLGI I SEGUENTI ESERCIZI

Trasforma ogni frazione in un numero decimale.

5/10=0,5 3/10=..... 7/10=..... 4/10=.... 9/10=..... 6/10=..... 8/10=.....

1/100=0,01 5/100=..... 6/100=...... 2/100=..... 7/100=..... 9/100=.....

TRASFORMA OGNI NUMERO IN UN NUMERO DECIMALE

3+1/10= 3,1 5+2/10=...... 6+4/10=..... 2+7/10=..... 4+3/10=..... 7+6/10=.....

6+1/100=6,01 4+2/100=...... 7+4/100=...... 8+3/100=..... 3+5/100=.....

Scrivi i seguenti numeri decimali sotto forma di frazione.

0,7=7/10 0,9=..... 0,4=...... 0,13=...... 0,68=..... 0,5=...... 0,84=......

0,08=8/100 0,07=...... 0,03=...... 0,14=...... 0,02=.... 0,98=...... 0,72=.......

Completa con > o < .

1/4….1/4 3/4…..3/8 1/2 ….1/3 3/7….4/9 1/7…..3/7 2/8…..4/8 3/8…..1/9

8/11….8/13 5/9….4/9 7/10….5/10 6/7….4/7 5/9….7/9

Calcola:

⅛ di 32 = 32:8=4 x 1=45/9 di 54= 2/7 di 14=2/6 di 30=3/6 di 12=⅜ di 16=⅖ di 20=⅘ di 40=6/9 di 360=

★ SE IL DENOMINATORE E’ LO STESSO LA PIU’ GRANDE E’ QUELLA CON IL NUMERATORE MAGGIORE

★ SE IL NUMERATORE E’ LO STESSO E’ PIU’ GRANDE LA FRAZIONE CON IL DENOMINATORE MINORE

ACCANTO AD OGNI FRAZIONE SCRIVI P SE LA FRAZIONE E’ PROPRIA I SE E’ IMPROPRIA E A SE

E’ APPARENTE

9/4 ….. 22/10 ….. 9/33….. 12/23…. 7/12…. 33/3… 14/3….. 15/5…… 20/10….. 37/13…… 9/17 ….. 23/6…. 10/7…. 23/33 …… 8/8…….

ORDINA LE FRAZIONI DALLA MINORE ALLA MAGGIORE

3/12- 8/12- 2/12- 6/12-9/12-7/12-4/12-5/12

----------------------------------------------------------

8/13-8/9-8/11-8/7-8/5-8/12-8/14-8/7

-------------------------------------------------

★ E’ UNA FRAZIONE IMPROPRIA QUANDO IL NUMERATORE E’ MAGGIORE DEL DENOMINATORE

★ E’ UNA FRAZIONE PROPRIA QUANDO IL NUMERATORE E’ MINORE DEL DENOMINATORE

★ E’ UNA FRAZIONE APPARENTE QUANDO IL NUMERATORE E’ UN MULTIPLO O E’ UGUALE AL DENOMINATORE

ACCANTO AD OGNI FRAZIONE DATA SCRIVINE UNA EQUIVALENTE

4/12 2/4 7/9 2/5 6/11

3/5 6/10

COLORA SOLO LE COPPIE DI FRAZIONI EQUIVALENTI

3/5 12/20 4/10 8/10 2/5 3/15

2/4 1/2 3/4 9/12 1/2 6/12

TRASFORMA I SEGUENTI NUMERI DECIMALI IN FRAZIONI

1,5 12,8 13,27 3,663 6,83 3,987 2,95

TRASFORMA LE SEGUENTI FRAZIONI IN NUMERI DECIMALI

4/10 22/100 17/10 26/1000 543/10 43/100 17/1000

TRASFORMA LE SEGUENTI FRAZIONI IN NUMERI DECIMALI POI RIORDINALI DAL MINORE A MAGGIORE

6/9 12/5 5/21 3/7 6/5 7/11 3/4

Frazioni come operatore

…

Le frazioni sono degli operatori grazie a i quali possiamo suddividere un intero in parti uguali e considerarne solo alcune.

NUMERATORE

LINEA DI FRAZIONE

DENOMINATORE

il denominatoreIl denominatore di una frazione è quel numero che indica in quante parti uguali si è diviso l’intero, poiché non ha senso dividere un intero in zero parti, il denominatore deve essere diverso da zero.

⅖

5= denominatore

il numeratore

Il numeratore di una frazione è quel numero che esprime quante parti, dell’intero sono state prese.

⅖2= numeratore

esempio:Consideriamo la terza circonferenza ,⅜ , è divisa in 8 parti secondo il denominatore e ne

vengono considerate 3 secondo il numeratore.

unità frazionaria

L'unità frazionaria rappresenta una sola delle parti uguali in cui è stato diviso l'intero.

Esercitiamoci sulle frazioni!

Svolgi i seguenti esercizi:

1 4

610

58

1.Colora la frazione data

3 8

2.Scrivi la frazione corrispondente alla parte colorata

3. Rappresenta sul quaderno le seguenti frazioni

5 4 2 4 68 5 10 6 9

4. Trova la frazione complementare delle seguenti frazioni.

3 4 2

5 9 8

5. Dall’interno togli la frazione complementare che ti permette di trovare l’unità frazionaria

4 3 1 6 5

4 4 4 6 5

6. Completa la tabella, indicando se le frazioni date sono proprie,improprie o apparenti.

j

5 8

12 4

9 8

3 3

Propria Impropria Apparente

65

42

78

93

Propria Impropria Apparente

CONFRONTO TRA FRAZIONIConfrontare due frazioni significa stabilire se sono maggiori,minori o uguali rispetto all’altra.Esistono tre casi: 1) due frazioni hanno lo stesso denominatore ma diverso numeratore.

Date due frazioni con lo stesso denominatore ma con diverso numeratore è maggiore quella con numeratore maggiore.Infatti,guardando le immagini,notiamo che ⅝ sia maggiore di ⅜.

SECONDO CASO

Due frazioni hanno lo stesso numeratore ma diverso denominatore.

Date due frazioni con lo stesso numeratore ma con diverso denominatore è maggiore quella con denominatore minore.Infatti,guardando le immagini,notiamo che ⅔ è maggiore di 2/6.

TERZO CASO

Due frazioni hanno sia numeratore che denominatore differenti.

In questo caso bisogna ridurre le frazioni date al minimo comune denominatore in modo da ottenere due frazioni con lo stesso denominatore.Quindi sarà maggiore quella con numeratore maggiore.

Indica tra le seguenti coppie di frazioni quelle maggiori(>), quelle minori(<) e quelle uguali(=).

a ⅞….⅜ 8/9….½ 8/6….4 ⅔….⅖

b ⅔….4/6 3/9….2/8 4/8….½ 2/7….¼

c 1/2….2/4 ⅘….4/3 7/9…..7/2 11/4….¾

d ⅘….17/5 6/5….6 ¾….6/8 3/2….6/4

e ¾….0.75 4/3….4/7 0….-⅞ -8….-16/2

Senza eseguire calcoli, distingui tra le seguenti coppie di frazioni quelle maggiori(>), minori(<) e uguali(=).

a 5/2….5/4 ⅖….⅘ ⅜….⅝

b ⅞…. 7/2 ⅚….7/6 ⅜….3/2

c 4/3….⅘ ⅞….8/8 3/2….9/6

d 9/8….⅞ ⅕….1/9 6/5….6/7

e 9/8….11/8 ⅞….7/9 6/3….2

COSA SONO LE FRAZIONI?

Una frazione (dal latino fractus, spezzato, infranto), secondo la definizione classica propria dell'aritmetica, è un modo per esprimere

una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione.

USI DELLE FRAZIONI1 Dividere

2 Parte di un intero

3 Numero

4 Rapporto fra grandezze

L’ARCHEOLOGIA

L’archeologia ci ha aiutato a costruire la storia della matematica. Per esempio, molte conoscenze sui più antichi metodi di calcolo frazionario ci arrivano dal papiro di Rhind, così chiamato perché acquistato nel 1858 dall’antiquario scozzese Henry Rhind. Questo papiro egizio è un documento antichissimo, attualmente conservato al British Museum di Londra, e la sua scoperta ci ha rivelato quanto antico sia l’utilizzo delle frazioni. Ricordate il problema dei pani?

Il papiro di Rhind è il più importante documento egizio di matematica e risale al 1650 a.C.

Dallo studio di questo famoso papiro, risulta che gli Egizi utilizzassero le frazioni per risolvere diversi problemi, tra i quali anche il calcolo dell’angolo da dare alle pareti delle piramidi. Sembra che un approfondimento in questo campo fosse stato necessario dopo il crollo di una piramide, dovuto a una errata inclinazione delle sue pareti.

Si ritiene che il papiro di Rhind sia stato scritto dallo scriba Ahmes, il quale dichiara, sul papiro stesso, di averlo copiato da un altro papiro molto più antico, risalente al 1950 circa a.C. Facendo una semplice somma, le considerazioni matematiche riportate su quel papiro risalgono a 4000 anni fa!

Supponiamo che in un negozio di frutta le mele annurche costino €2 al kg.

Se compriamo 2 kg il costo sarà di €4,se compriamo 3 kg il costo sarà di €6 e cosi via.Da ciò si deduce che il loro rapporto è costante.

Quindi, due grandezze si dicono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante.

A - kg 1 2 3 4 5 6

B - € 2 4 6 8 10 12

GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI