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L’INSIEME Q+

Conoscenze

1. Completa le seguenti affermazioni:

a. Una frazione rappresenta il ....quoziente esatto........ della .....divisione.................

tra .....numeratore..... e ....denominatore..... Esempio: 5 : 7 = ....5/7.......

b. L’insieme N è .....aperto.... rispetto all’operazione di divisione, perché in esso la ...divisione...

non è ...sempre possibile.......

c. Si chiama numero razionale ...assoluto.. ogni classe di ....frazioni tra loro equivalenti.......

d. Ogni numero razionale assoluto è rappresentato dalla .....frazione primitiva..... della

sua ....classe....... di ...equivalenza.........

e. Tutti i numeri razionali formano l’insieme ....dei numeri razionali assoluti... che si indica

con ....Q+...... In esso è ......sempre possibile..... l’operazione di ....divisione.....

2. Quale delle seguenti classi di equivalenza è rappresentata in modo corretto dalla frazione 5

3 ?

{ ..........;40

24;

35

21;

30

18;

20

15;

25

12;

15

9;

10

6;

5

3}

{ ..........;40

24;

35

21;

30

18;

25

15;

20

12;

15

9;

10

6;

5

3}

{ ..........;45

24;

35

21;

30

16;

25

15;

20

12;

15

9;

10

6;

5

3}

3. Collega in modo corretto:

Si riducono le frazioni al minimo comune

denominatore e poi si determina la frazione che ha

come numeratore la somma o la differenza dei

numeratori e come denominatore il m.c.d. trovato

Sommare o

sottrarre due

frazioni

Si determina la frazione che ha per numeratore il

prodotto dei numeratori e per denominatore il

prodotto dei denominatori

Moltiplicare due

frazioni

Dividere due

frazioni

Si determina la frazione ottenuta moltiplicando la

prima per l’inversa della seconda.

4. Vero o falso?

55

0 .......F 1

3

3 ........V 0

0

0 ........F

0

4 indeterminato ......F

5. Nella seguente rappresentazione dei numeri sulla retta orientata sono stati commessi due errori.

Individuali e correggili.

6. Completa:

a. Due frazioni si dicono reciproche se ...il loro prodotto è 1....

b. Il quoziente di due frazioni equivalenti è uguale a ...1.....

c. La potenza n – esima di una frazione è una frazione che ha per numeratore ....la potenza

n – esima del numeratore.. e per denominatore ....la potenza n – esima del denominatore

d. La frazione complementare di una frazione propria si ottiene sottraendo ...da 1 la

frazione data.........

7. Segna la risposta esatta:

7

2

7

3

7

1

14

5

7

5

15

4

15

8

15

12

15

4

0

4

4

3

2

1

6

4

4

4

4

5

2

1

3

4

6

3

6

5

1

3

3

2

8

3

11

6

8

1

4

1

2

7:

7

3

49

6

2

3

6

49

3

5

2

10

9

10

6

25

9

7

9

0

1 0

9

7

8. Segna il completamento esatto:

1 + 2

3=

2

4

2

6

2

5

I 155

3di = 25 9 6

Il numero i cui 3

7 sono 21 = 49 6 9

3/2 8/24/4 6/21/2

u

11/4

u

3/4 5/27/4 11/3

Abilità

1. Esprimi sotto forma di frazione il quoziente delle seguenti divisioni:

3 : 8 = ..... 3/8 6 : 2 = .....6/2 = 3 5 : 11 = ...... 5/11 0 : 5 = .......0/5 = 0

2. Quali delle seguenti frazioni possono essere rappresentate dal numero razionale 6

7?

12

7

36

42

66

77

18

14

12

21

30

35

3

14

18

21

48

63

30

70

3. Scrivi la classe di equivalenza delle seguenti frazioni:

3

5 = {... .....

21

35;

18

30;

15

25;

12

20;

9

15;

6

10;

3

5}

8

9 = {.... .....

56

63;

48

54;

40

45;

32

36;

24

27;

16

18;

8

9}

4. Rappresenta sulla semiretta orientata le seguenti frazioni:

4

3

2

5

4

7

3

11

5. Esegui le seguenti operazioni:

15

2

10

3 13/30

6

5

8

9 7/24

12

5

4

3

3

21

3

7

5

2 14/15

33

20

15

11 4/9

10

33:

5

11 2/3 12:

3

8 2/9

7

449

12

3/7

3

3

2 8/27

0

5

71

6. Esegui le seguenti operazioni applicando le proprietà delle potenze:

32

2

3

2

3

5

2

3

47

4

5:

4

5

3

4

5

22

18

21

3

4

2

9

14

55

35

18:

25

12

5

15

14

3

2

5

4

6

5

4

3

0

9

13 1

7. Trasforma le seguenti frazioni improprie in numeri misti e viceversa:

6

13 …2.. + …1/6..

5

23 .. 17/5 ..

2

15 .. 9/2

8. Calcola il valore della seguente espressione:

10

16:

3

2

5

2

5

8

4

3

2

1 [4/3]

9. Calcola il valore della seguente espressione:

4

31:

4

5

2

3

2

3

5

1

2

1:

5

3

4

32

3

1 [7/6]

10. Risolvi i seguenti problemi:

a. Carla ha completato di scrivere al computer gli 8/13 degli inviti per la festa del suo

compleanno. Se vuole invitare 26 amici, quanti biglietti deve ancora scrivere? [10]

b. Filippo ha percorso in motorino 800 m, che sono i 2/3 del tragitto che deve fare per

andare a studiare a casa di un suo amico. Quanti chilometri dista la casa di Filippo da

quella dell’amico? [1,2 km]

c. Per la gita scolastica di fine anno gli alunni delle prime classi di una scuola media

vengono divisi in due gruppi, uno i 9/11 dell’altro, in modo che nel primo gruppo ci

siano 12 alunni in meno rispetto a quelli del secondo. Determina quanti alunni

partecipano alla gita e da quanti alunni è formato ciascun gruppo. [120; 66; 54]

Altri esercizi di consolidamento

1.

Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.

Soluzione:

2.


Soluzione:

3.


Soluzione:

4.


Soluzione:

5.

Calcola il valore della seguente espressione.

Soluzione:

6.


Soluzione:

7.


Soluzione:

8.

Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.

Soluzione:

9.


Soluzione:

10.


Soluzione:

11.

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

Soluzione:

12.


Soluzione:

13.


Soluzione:

14.


Soluzione:

15.


Soluzione:

16.


Soluzione:

17.


Soluzione:

18.


Soluzione:

19.


Soluzione:

20.


Soluzione:

21.


Soluzione:

22.


Soluzione:

23.


Soluzione:

24.


Soluzione:

25.


Soluzione:

26.


Soluzione:

27.


Soluzione:

28.


Soluzione:

29.


Soluzione:

30.


Soluzione:

31.


Soluzione:

32.


Soluzione:

33.


Soluzione:

34.


Soluzione:

35.


Soluzione:

36.


Soluzione:

PER IL RECUPERO

1. Osserva gli esempi e poi esegui le addizioni e le sottrazioni assegnate:

Ricorda: “Per addizionare e sottrarre frazioni devi calcolare il m.c.m. tra i denominatori

delle frazioni assegnate!”

Esempi:6

19

6

109

6

53:632:6

3

5

2

3

;

24

5

24

914

24

38:24712:24

8

3

12

7

a. 3

1

5

4 17/15

4

3

8

9 15/8

2

7

10

3

5

6 5

b. 3

1

7

4 5/21

3

2

6

7 1/2

12

7

2

3

4

1

6

115/2

2. Osserva gli esempi e poi esegui le moltiplicazioni assegnate:

: 1 2

Esempi: 15

8

53

24

5

2

3

4

9

8

4

3 3

2 semplificazione “a croce”

1 3

a. 5

2

5

6 12/25

2

7

4

3 21/8

b. 81

30

10

9 1/3

7

2

30

21

24

15 1/8

3. Osserva gli esempi e poi esegui le divisioni assegnate:

Ricorda: “Per dividere due frazioni assegnate basta moltiplicare la prima frazione per

l’inversa della seconda! Poi si procede come per le moltiplicazioni......”

Esempi: 27

20

3

5

9

4

5

3:

9

4 ;

2

155

2

3

5

1:

2

3 ;

88

15

11

3

4

5

2

1

3

11:

5

4:

2

1

a. 2

3:

5

64/5

11

4:

33

205/3

b. 4:5

82/5

9

1:

6

7 21/2

15

4:

9

30:

27

121/2

4. Osserva l’esempio e poi esegui le potenze assegnate:

Ricorda: “Per eseguire l’operazione di elevamento a potenza di una frazione basta elevare a

all’esponente indicato sia il numeratore che il denominatore”

Esempio: 49

9

7

3

7

32

22

3

2

3 27/8

2

5

4 16/25

0

4

3 1

4

2

1 1/16

5. Osserva gli esempi e poi esegui le seguenti operazioni con le proprietà delle potenze:

Esempi:

532

3

2

3

2

3

2

;

246

2

7

2

7:

2

7

;

63

2

3

4

3

4

;

3333

15

16

5

2

3

8

5

2

3

8

;

2222

18

5

3

5

6

1

5

3:

6

1

34

2

1

2

17

2

1

58

3

5:

3

5

3

3

5

2

4

3

28

3

2

44

3

2

4

74

6

7

33

5

8:

5

123

2

3

6. Calcola:

a. il numero che è i 5/7 di 21 ..........15..........

b. il numero i cui 4/9 sono 20 ........45..........


a. Il prezzo di una felpa è di 120 euro. Nel periodo dei saldi ricevo uno sconto pari ad 1/3 del

suo costo. Quanto pago? [80 euro]

b. Se dopo 255 Km si sono percorsi i 3/5 di un tragitto, quanti Km è lungo l'intero tragitto?

Quanti Km restano ancora da percorrere? [425 km; 170 km]

c. Mario e Carlo hanno insieme 88 figurine. Calcola il numero di figurine che possiede ciascun

amico, sapendo che quelle di Mario sono i 3/8 di quelle di Carlo. [24; 64]

d. Nella classifica del campionato studentesco due squadre hanno 12 punti di differenza.

Sapendo che una squadra ha i 2/5 dei punti dell’altra, calcola i punti realizzati da ciascuna

squadra. [8; 20]

8. Risolvi la seguente espressione:

4

3:

4

31:

4

1

3

1

20

311:

8

1

5

7

3

41

7

4

4

3

3

5

Altri esercizi di recupero

1.


Soluzione:

2.


Soluzione:

3.


Soluzione:

4.


Soluzione:

5.


Soluzione:

6.


Soluzione:

7.


Soluzione:

8.


Soluzione:

9.


Soluzione:

10.


Soluzione:

11.


Soluzione:

12.


Soluzione:

13.


Soluzione:

14.


Soluzione:

15.


Soluzione:

16.


Soluzione:

17.


Soluzione:

18.


Soluzione:

19.


Soluzione:

20.


Soluzione:

21.


Soluzione:

22.


Soluzione:

PER IL POTENZIAMENTO

1. Rifletti e rispondi, giustificando la tua risposta (si, perché .......; no, perché .......)

a. Aumentando il numeratore di una frazione, il valore della frazione aumenta? ..........sì

perché .....il numeratore indica quante parti si prendono .........

b. Aumentando il denominatore di una frazione, il valore della frazione aumenta? .........no

perché ...... il denominatore divide, più è grande più le parti sono piccole...........

c. Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono aumentati di uno stesso valore si

ottiene una frazione equivalente a quella data? .........no

perché .... per ottenere una fazione equivalente a quella data bisogna moltiplicare o dividere

per uno stesso numero il numeratore e il denominatore....

d. Se il numeratore di una frazione si annulla, la frazione perde di significato? .......no, è 0

perché .......una frazione è il quoziente tra numeratore e denominatore e 0 : a = 0 .......

2. Completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere:

5

2 + ...1/15.... =

15

7

7

9– ..15/14.... =

14

3 ..11/4.... –

4

1=

2

5

4

3 ...5/2... =

8

15

5

3 : ..6/5. =

2

1 ...4/3..... :

9

8=

2

3

5

3 : .3/5.. = 1

4

7 ..4/7.... = 1 1 : ...9/5... =

9

5

..16..

25

4

..5..2

27

..8..

..3..

23

1

4

5...0

3. Rendi vere le seguenti uguaglianze utilizzando le proprietà delle potenze: 73...4

2

3

2

3

..2.

3

235...

.4.

5

4

..5.:

4

5

63...

2

..5.

..4.

5

4

2...2...22

..9.

..7.

18

..21.

..3.

2

..18.

21

3

2

5...5...55

..15..

..14..

...18.

35....

25

12

35

18:

..25..

..12..

4. Traduci in espressioni le seguenti istruzioni :

6

7

4

5

2

1

16

15:

8

5

a. Sottrai 2

1 dal quoziente di

8

5 e

16

15 e moltiplica il risultato per la somma di

4

5 e

6

7.

b. Sottrai da 2

5 la somma di

7

3 e

21

5 e dividi il risultato per

3

11.

3

11:

21

5

7

3

2

5

c. Dividi il quadrato della somma di 4

3e

2

1 per il quadrato della somma di

3

1e

2

1e moltiplica il

risultato per 9

4.

9

4

2

1

3

1:

2

1

4

322

5. Completa, sapendo che a e b sono due numeri diversi da zero:

a. Se b = 9

7di a a – b =

....

....di a 2/9

b. Se b = 8

3di a a + b =

....

....di a 11/8

c. Se b = 7

5di a e a – b = 20 a = ....70 b = ....50

d. Se b = 11

3di a e a + b = 28 a = ....22 b = ....6

6. Risolvi la seguente espressione a termini frazionari:

6

5

9

1

4

1:2

3

4

2

5

8

1

8

5

2

1

2

1

3

2

9

4:

8

14:

8

7

45

8

4

15

22

33

[1/20]


a. Per la sua festa di compleanno Luca riceve dal nonno 120 euro. Spende i 3/5 di questa somma

per l’acquisto di alcuni cd e i 2/3 di quanto gli rimane per comprare una maglietta. Potrà

acquistare anche un videogioco da 34 euro? Se no, quanti euro dovrà risparmiare dalla sua

paghetta settimanale? [€18]

b. Giuseppe ha letto i 5/7 delle pagine di un libro in una settimana e la metà delle pagine rimanenti

nei due giorni successivi. Se gli restano da leggere ancora 30 pagine, quante sono le pagine del

libro? [210]

c. Un libraio ha sistemato 140 libri su due scaffali. Se sul primo scaffale ce ne sono 2/9 in più

rispetto al secondo, quanti libri deve spostare dal primo al secondo scaffale affinché su ciascuno

di essi ce ne sia la stessa quantità? [7]

d. Ho acquistato un lettore di cd e ho versato 80 euro di anticipo, che corrispondono ai 4/11 del

suo intero costo. Dopo due mesi verso i 1/4 della rimanenza e il resto lo pago in 5 rate.

Quanto verserò per ogni rata? [€21]

Altri problemi con le frazioni

1. Un ragazzo ha letto

3

4 di un romanzo. Poiché il libro è di 184 pagine, quante pagine deve

ancora leggere?

2. Da una botte piena di vino sono stati tolti

2

5 del contenuto, e cioè 78 litri. Qual è la capacità

della botte?

3. In una scuola media di 440 alunni,

2

5 frequentano la classe prima e

3

8 frequentano la classe

seconda. Quanti sono gli alunni iscritti alla classe terza? Quale frazione rappresentano?

4. Di un debito sono stati pagati una prima volta i

7

12 , una seconda volta i

2

5 del rimanente e

rimangono da pagare € 150. A quanto ammontava il debito? Quale frazione del debito rimane

ancora da pagare?

5. Quattro persone si sono divise una somma. La prima e la seconda persona hanno avuto

rispettivamente

3

8 e

2

5 dell'intera somma; la terza persona ha avuto

2

3 della somma rimasta e la

quarta persona ha avuto L 120.000. A quanto ammontava l'intera somma? Quanto hanno ricevuto la

prima, la seconda e la terza persona?

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